Unidade 05 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

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Unidade 05 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

  1. 1. Unidade 05 Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Fundamentos de Mecânica das Estruturas Leonardo Goliatt Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão 13.04 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 1 / 16
  2. 2. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Programa 1 Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Tangenciais Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 2 / 16
  3. 3. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Programa 1 Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Tangenciais Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 2 / 16
  4. 4. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Até o momento, determinamos as expressões para as tensões normais Precisamos definir também as tensões de cisalhamento em cada ponto da seção Considere a barra curva de seção coplanar abaixo Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 2 / 16
  5. 5. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Um elemento típico da seção é mostrado abaixo Vamos assumir que todas as tensões resultantes e carregamentos são funções conhecidas das cordenadas dos pontos da barra e satisfazem o equilíbrio Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 3 / 16
  6. 6. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Vamos examinar o equilíbrio de um elemento A mostrado abaixo 1 As tensões normais desenvolvidas em A resultam na força normal σ s dA F= A 1 por simplicidade, assuma que a dimensão b de A é paralela ao eixo z Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 4 / 16
  7. 7. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Usando N s σs = Mz Jy − My Jyz My Jz − Mz Jyz N s Mz y z − + + 2 2 A AR Jy Jz − Jyz 1 − y/R Jy Jz − Jyz 1 − y/R temos que σ s dA = F= A Mz Jy − My Jyz My Jz − Mz Jyz N s Mz − A + Qz + Qy 2 2 A RA Jy Jz − Jyz Jy Jz − Jyz onde Qz = A Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) y dA, 1 − y/R Unidade 05 Qy = A z dA 1 − y/R versão 13.04 5 / 16
  8. 8. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Similarmente, as tensões as tensões de cisalhamento desenvolvidas em A resultam na força de cisalhamento Vy τ sy dA Vy = A Observe que se integrarmos em toda a área temos que F −→ N s Vy −→ Vy Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 6 / 16
  9. 9. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Neste caso, tensões normais devem se desenvolver na seção para equilibrar as componentes verticais das forças F e Vy Essas tensões resultam na força σy b(R − y)∆ψ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 7 / 16
  10. 10. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Para determinar a influência de Vy em σ s , fazemos o equilíbrio na direção vertical ∆ψ ∆ψ ( F + ∆F − F ) sin − σy b(R − y)∆ψ + (Vy + ∆Vy − Vy ) cos =0 2 2 e fazendo ∆s → 0   F ∂Vy F y 1    + ∂Vy     + − σy b ( 1 − ) = 0 → σy =   R ∂s R ∂s  b(1 − y/R)  R Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 8 / 16
  11. 11. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Programa 1 Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais Tensões Tangenciais Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 9 / 16
  12. 12. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Se F e Vy adquirem incrementos ∆F e ∆Vy no intervalo ∆s, deve existir uma força horizintal na área b(R − y)∆ψ para promover o equilíbrio Seja τys a tensão de cisalhamento média nesta área, então a força horizontal desenvolvida é τys b(R − y)∆ψ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 9 / 16
  13. 13. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Somando as forças na direção horizontal ∆F cos ∆ψ ∆ψ y − (2Vy + ∆Vy ) sin − τys b 1 − R∆ψ = 0 2 2 R ou, no limite ∆s → 0    ∂F Vy  ∂F Vy y 1      − − τys b 1 − = 0 → τys =    ∂s + R   ∂s R R b(1 − y/R) Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 9 / 16
  14. 14. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Temos então σy τys =   F 1     + ∂Vy      R ∂s  b(1 − y/R) =    ∂F Vy  1         ∂s + R   b(1 − y/R) onde τ sy dA Vy = A Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 10 / 16
  15. 15. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais O que resulta em σy = 1 F b(1−y/R) R τys = ∂F 1 b(1−y/R) ∂s + + ∂ ∂s A τ sy dA 1 R A τ sy dA Note que As equações acima envolvem as funções desconhecidas τ sy = τys , resultando em equações integrais em τys Para evitar tal complexidade, introduzimos a aproximação Vy ≈ A Vy A e usamos a relação2 Vy = py + 2 ver Ns R ⇒ Vy ≈ A Ns py + A R unidade anterior Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 11 / 16
  16. 16. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais E finalmente chegamos na expressão para a tensão radial      1  Mz A Mz Jy − My Jyz My Jz − Mz Jyz  A  1     − − p      + Qz + Qy  σy =     A y  2 2 b(1 − y/R)  R  AR Jy Jz − Jyz Jy Jz − Jyz Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 12 / 16
  17. 17. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Retornando na equação    ∂F Vy  1      τys =     ∂s + R  b(1 − y/R) e substituindo F= Mz Jy − My Jyz My Jz − Mz Jyz N s Mz − A + Qz + Qy 2 2 A RA Jy Jz − Jyz Jy Jz − Jyz e também Vy ≈ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) A Vy A Unidade 05 versão 13.04 13 / 16
  18. 18. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Chegamos em τys = A 1 b(1−y/R) A + dN s ds − A AR + + dMz ds + Qz Jy −Qy Jyz dMz 2 Jy Jz −Jyz ds Qy Jz −Qz Jyz dMy 2 Jy Jz −Jyz ds − A AR Vy e substituindo Vy dN s = , ds R Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) dVy Ns = −py − , ds R Unidade 05 dMz = Vy ds versão 13.04 14 / 16
  19. 19. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Temos então a equação das tensões tangenciais em barras curvas 3 τys = 3 Em 1 b(1−y/R) + Qz Jy −Qy Jyz 2 Vy Jy Jz −Jyz + Qy Jz −Qz Jyz 2 Vz Jy Jz −Jyz − A AR Vy A barras com pequena curvatura, o termo − AR Vy pode ser desprezado Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 15 / 16
  20. 20. Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais Casos particulares (discutir em sala): py = My = Vz = 0 seção simétrica com relação ao eixo y ⇒ Jyz = 0 analisar o caso na pag. 105 barras retas ⇒ R → ∞, com py = My = Vz = 0 barras retas ⇒ R → ∞, com py = My = Vz = 0 e seção transversal simétrica τys = Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) 1 b(1−y/R) + Qz Jy −Qy Jyz 2 Vy Jy Jz −Jyz Unidade 05 + Qy Jz −Qz Jyz 2 Vz Jy Jz −Jyz − A AR Vy versão 13.04 16 / 16

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