Gd vol 1 - cap 3 - estudo do plano

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Geometria Descritiva - Príncipe Júnior - estudo do plano

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Gd vol 1 - cap 3 - estudo do plano

  1. 1. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Prof. Marcelo Gitirana
  2. 2. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Sumário  Traços do plano  Posições do plano  Pertinência de reta e plano  Pertinência de ponto e plano  Retas de máx. declive e máxima inclinação  Elementos geométricos que definem um plano  Retas de planos não definidos por seus traços  Paralelismo de retas e planos
  3. 3. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Traços do plano (’) () () (T) TT’ 1+ 2 - O traço de um plano é a interseção deste plano com um outro. Entretanto, emprega-se geralmente a expressão “traços do plano” para exprimir a interseção deste plano com os planos de projeção. Em geral, um plano possui dois traços, podendo entretanto possuir apenas um, quando for paralelo a () ou a (’). Apenas representamos os traços vistos no 1. diedro.
  4. 4. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Posição do plano  Plano qualquer  Plano horizontal (de nível)  Plano frontal  Plano vertical  Plano de topo  Plano de perfil  Plano paralela à linha de terra  Plano passando pela linha de terra  Resumo
  5. 5. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () Plano qualquer () T TT’ É oblíquo a () e a (’). Possui os dois traços oblíquos à LT.
  6. 6. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano qualquer ’ ’  Não importa como fiquem!
  7. 7. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano horizontal (de nível) (’) () () ’ É paralelo a (). Possui um só traço (vertical) paralelo à LT.
  8. 8. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano frontal (’) ()  () É paralelo a (’). Possui um só traço (horizontal) paralelo à LT.
  9. 9. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano vertical (’) () () ’ ’  É perpendicular a () e oblíquo a (’). Possui o traço vertical perpendicular à LT e o traço horizontal oblíquo à mesma.
  10. 10. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano de topo (’) ()  ()  É perpendicular a (’) e oblíquo a (). Possui o traço horizontal perpendicular à LT e o traço vertical oblíquo à mesma.
  11. 11. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano de perfil (’) ()  ’ () ’  É perpendicular a () e a (’). Possui os traço vertical e horizontal perpendicular à LT.
  12. 12. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano paralelo à LT (’) () ’ ()  Como o próprio nome diz, é paralelo à LT (e oblíquo aos planos de projeção). Possui ambos os traços, vertical e horizontal, paralelos à LT.
  13. 13. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano passando pela LT (’) () ’() Os traços vertical e horizontal coincidem com a LT. O mesmo ocorre na épura.
  14. 14. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Posição do plano Resumo 2 traços distintos Qualquer Oblíquo à () e a (’). Traços oblíquos à LT De perfil Perpendicular à () e a (’). Traços perpendiculares à LT Paralelo à LT Traços paralelos a () e a (’) Vertical Perp. a () e oblíquo a (’). Traço vert. perp. à LT e horiz. oblíquo à LT. De topo Perp. a (’) e oblíquo a (). Traço vert. oblíquo à LT e horiz. perp. à LT. 1 traço apenas Horizontal Paralelo à (). Só possui traço vertical paralelo à LT. Frontal Paralelo à (’). Só possui traço horizontal paralelo à LT. 2 traços em coincidência Que passa pela LT Traços coincidentes c/ a LT.
  15. 15. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Pertinência de reta e plano Reta qualquer (que pertence) (’) () () T TT’ (H) (V) H r' r H’ V’ V Regra Geral: uma reta pertence a um plano quando possui os seus traços sobre os traços correspondentes do plano. Com exceção do plano que passa pela LT.
  16. 16. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Pertinência de reta e plano Reta qualquer (que ñ pertence) (’) () T TT’ (H) (V) H H’ V’ V () r' r Não pertence. Passa por baixo do plano.
  17. 17. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Pertinência de reta e plano Casos particulares Plano qualquer Reta qualquer Reta horizontal Reta frontal Reta de perfil Plano horizontal Reta horizontal Reta fronto- horizontal Reta de topo Plano frontal Reta frontal Reta fronto- horizontal Reta vertical Plano // à LT Reta qualquer Reta fronto- horizontal Reta de perfil Plano vertical Reta qualquer Reta horizontal Reta vertical Plano de topo Reta qualquer Reta frontal Reta de topo Plano de perfil Reta de topo Reta vertical Reta de perfil Plano que passa p/ LT Reta qualquer Reta fronto- horizontal Reta de perfil
  18. 18. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Exercícios Parte 1 Exercícios 53, 54, 55 e 57.
  19. 19. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano qualquer Reta qualquer (’) () () T TT’ (H) (V) H r' r H’ V’ V
  20. 20. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano qualquer Reta horizontal (’) () () T TT’ (V)V’ r' r V (V)V’
  21. 21. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano qualquer Reta frontal (’) () () T TT’ (H)H (r) r' r H’ H
  22. 22. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano qualquer Reta de perfil (’) () () T TT’ (H)H (V)V’ (r) r' r (r1)
  23. 23. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano horizontal Reta horizontal (’) ()() ’ (V)V’ r r' V (V)V’
  24. 24. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano horizontal Reta fronto-horizontal (’) () () ’ r r'
  25. 25. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano horizontal Reta de topo (’) () () ’r'(V)V’ (V)V’ (r) r V
  26. 26. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () () Plano frontal Reta frontal  r' H’ H r (H)H (r)
  27. 27. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () () Plano frontal Reta fronto-horizontal  r r'
  28. 28. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () () Plano frontal Reta vertical  (H)H (r) r(H)H r’ H’
  29. 29. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano paralelo à LT Reta qualquer (’) () ’ ()  (H) (V) (r) H (H) r' r H’ V V’(V)
  30. 30. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano paralelo à LT Reta fronto-horizontal (’) () ’ ()  r r' O' O V’(V) H (H)
  31. 31. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano paralelo à LT Reta de perfil (’) () ’ ()  (H)H (V)V’ (r) r' r (r1)
  32. 32. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano vertical Reta qualquer (’) () () ’ ’  H (H) A H’ V V’(V) (H) (V) (A) (B) B A’ B’ V
  33. 33. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano vertical Reta horizontal (’) () () ’ ’  (V)V’ (A) (B) V V (V)V’ A B A’ B’
  34. 34. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano vertical Reta vertical (’) () () ’ ’  (H)H (r) r(H)H r’ H’
  35. 35. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano vertical Projeção de um figura (’) () () ’ (A) (C) (B) B A C Toda figura contida em um plano vertical, se projetará no plano() sobre o traço horizontal .
  36. 36. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano de topo Reta qualquer (’) ()  () (H) (V) (r) H (H) H’ V V’(V) r r’
  37. 37. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano de topo Reta frontal (’) ()  () (H)H (r) r' H’ H r
  38. 38. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano de topo Reta de topo (’) ()  ()  (V)V’ (r) r'(V)V’ r V
  39. 39. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano de topo Projeção de um figura (’) ()  () (A) (C) (B) B’ A’ C’ Toda figura contida em um plano de topo, se projetará no plano(’) sobre o traço vertical ’.
  40. 40. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano de perfil Retas de topo vertical e de perfil (’) ()  ’ () ’  (A) (B) A’ B’ A’ B’ ABH (D)(C) C’B’V’ DC D C C’B’V’ (F) (E)E’ F’ FE E’ F’ F E
  41. 41. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano passando pela LT Reta qualquer (’) () ’() (H)(V) (r) r r’
  42. 42. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano passando pela LT Reta fronto-horizontal (’) () ’ () r r'
  43. 43. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Plano passando pela LT Reta de perfil (’) () ’ () (H)(V) (r) (H)(V) r’ r
  44. 44. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Pertinência ponto e plano Raciocínio Para verificar se um ponto pertence a um plano, usamos uma reta como artifício! Planos são determinados apenas pelos seus traços. Retas são determinados por suas projeções e pelos seus traços. Pontos são determinados apenas por suas projeções.
  45. 45. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () A’ A Pertinência ponto e plano Usando uma reta horizontal () T TT’(A) A' A Regra Geral: um ponto pertence a um plano quando pertence a uma reta do plano. (V)V’ Reta horizontal passando por (A). r'V’ V V r (A)  ()
  46. 46. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () A A’ (A) Pertinência ponto e plano Usando uma reta horizontal Regra Geral: um ponto pertence a um plano quando pertence a uma reta do plano. () T TT’ A' A r'V’ r’ V r(A)  ()
  47. 47. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () r A A’ r H’ Pertinência ponto e plano Usando uma reta frontal () T TT’(A) A' A (r) (H)H Reta frontal passando por (A). r H r' (A)  () H’
  48. 48. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Pertinência ponto e plano Usando uma reta frontal Planos Projetantes Plano horizontal Plano frontal Plano vertical Plano de topo Plano de perfil Não projetantes Plano qualquer Plano // à LT Plano que passa p/ LT A épura indica diretamente se um ponto dado pertence ou não plano. P/ planos  a (), a proj. horiz. do ponto  ao traço horiz. do plano. Recorremos ao processo anterior. P/ planos  a (’), a proj. vertical do ponto  ao traço vertical do plano.
  49. 49. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Pertinência ponto e plano Plano paralelo à LT (’) ()() ’  A' A (A) (H) (V) H’ V’(V) H (H) V
  50. 50. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Pertinência ponto e plano Plano passando pela LT (’) () ’ () (A) A' A Neste caso, necessitamos de um outro elemento do plano (ponto ou reta, por exemplo), para podermos afirmar que o ponto (A) pertence realmente ao plano ().
  51. 51. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas principais de um plano () A (B) (A) (F) (E) (D) (C) A reta de máximo declive de um plano em relação a outro plano é a reta que, pertencendo ao primeiro plano, forma com o segundo, o maior ângulo possível.
  52. 52. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas principais Reta de máximo declive (’) () () TT’ T (H) (V) (r) r H V H’ V’ r'
  53. 53. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas principais Reta de máxima inclinação (’) () () TT’ T (V) (H) (r) r' V’ H’ H V r
  54. 54. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas principais Reta principais (pl. paralelo à LT) (’) ()() ’  r’ V’ r H VH’ (r) H V’ A reta de máximo declive (e de máxima inclinação) será uma reta de perfil.
  55. 55. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () ’ () Retas principais Reta princ. (pl. passando pela LT) (H)(V) (r) (H)(V) r’ r
  56. 56. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas principais de planos projetantes Plano horizontal Máximo declive: não há Máxima inclinação: reta de topo Plano frontal Máximo declive: reta vertical Máxima inclinação: não há Plano vertical Máximo declive: reta vertical Máxima inclinação: reta horizontal Plano de topo Máximo declive: reta frontal Máxima inclinação: reta de topo Plano de perfil Máximo declive: reta vertical Máxima inclinação: reta de topo
  57. 57. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Exercícios Parte 2 Exercícios 62, 63, 64, 66, 67, 68, 70, 72.
  58. 58. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Elementos geométricos que definem um plano Elementos geométricos 2 retas concorrentes 1 reta e um ponto (exterior) 3 pontos não colineares 2 retas paralelas
  59. 59. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) EGs que definem um plano Retas concorrentes Para definir os traços do plano (), basta encontrar e ligar os verticais e os traços horizontais das retas (r) e (s). Os traços horizontal () e vertical (’) do plano () concorrerão no ponto (T), sobre a LT V1’ V1 H1 H1’ V’ V r' s' r s H’ H TT’ Quando são dados 3 pontos, ligam-se as projeções horizontal e vertical dos pontos formando duas retas concorrentes e, a partir daí, o processo é similar. Algo similar se faz com uma reta e um ponto (não colinear) dados.
  60. 60. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) H’ H EGs que definem um plano Retas concorrentes r r’ s' s V V’ H1’ H1 V1’ V1 TT’ Só se considera o segmento de (’) acima da LT e Só se considera o segmento de () abaixo da LT. Só se considera o que se vê a partir do 1. diedro.
  61. 61. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) EGs que definem um plano Retas paralelas Com duas retas paralelas, o processo também é idêntico. r V’ VH’ H r' s V1’ V1 H1’ H1 s' TT’
  62. 62. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas de planos não definidos por seus traços r' s' r s 1' 2' 1 2 Reta horizontal (proj. vert. // à LT). r' s' r s Reta frontal (proj. horiz. // à LT). 1 2 1' 2'
  63. 63. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas principais Relação c/ horizontais e frontais (’) () () T (H) (V) (r) (’) () () T (V) (H) (r) (V1) (V2) (H1) (H2) Retas de máx. declive são perp. às retas horizontais de (). Tb suas proj. horiz. Retas de máx. inclinação são perp. às retas frontais de (). Tb suas proj. vert..
  64. 64. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Rts de plns ñ def. p/ traços Reta horiz. p/ reta máx declive r' r Proj. horiz. perp. à proj. horiz. de (r). 1' s' s 1 Proj. vertical paralela à LT. Reta horizontal. Reta de máximo declive.
  65. 65. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Rts de plns ñ def. p/ traços Traços de plano p/ reta máx decl. r' r Reta de máximo declive. V V' V1 V1' Nas extremidades da reta de máximo declive, traçamos retas horizontais e perpendiculares à reta (logo pertencentes ao plano). Os traços verticais das retas horizontais traçadas determinarão o traço vertical do plano. TT’ O traço horizontal do plano é paralelo às projeções horizontais das retas horizontais e parte do ponto (T).
  66. 66. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Retas de planos não definidos por seus traços TT’ A' A Achar os traços do plano (), a partir do seu traço () e das projeções de um ponto (A). V HProjeção horiz. de uma reta qualquer de () e que vai de um traço ao outro do (), passando por (A). H’ V’ Achar os traços do plano (), a partir do seu traço () e das projeções de uma reta (A)(B). TT’ B’ B A’A V V’
  67. 67. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo de retas e planos 1. Grupo Reta paralela a plano Plano paralelo a reta 2. Grupo Plano paralelo a plano
  68. 68. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Reta paralela a plano () (B) (A) (D) (C) (r) (s) Regra Geral: uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta do plano. Este problema é indeterminado, visto que há em () uma infinidade de retas paralelas a (A)(B).
  69. 69. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Reta paralela a plano TT’ A A' Quando se tem os traços de () e um ponto (A), traçam-se as projeções de uma reta qualquer me () e, em seguida projeções paralelas passando por (A). V H H’ V’ r' r 1 2 1' 2' r' s' r s M' M Quando não se tem os traços de (), procede- se de forma similar. t' t
  70. 70. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Reta paralela ao I e ao P A’ A Reta paralela ao I C’ BB’ C r’ r A’ A Reta paralela ao P C C’ BB’ r’ r
  71. 71. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Plano paralelo a reta Regra Geral: para que um plano seja paralelo a uma reta, basta que ele possua uma reta paralela a essa reta. r r' A A' s V’ VH’ H s' Traçar pelo ponto (A) um plano paralelo à reta (r). TT’ Observe que este problema é admite infinitas soluções.
  72. 72. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Plano paralelo a reta r r' s s' Traçar pelo ponto (A) um plano paralelo às reta (r) e (s), reversas entre si. V’ VH’ H A A' V1 V1’ H1 H1’
  73. 73. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) (’) () Paralelismo retas e planos Plano paralelo a plano TT’ () T1 () T T1T1’ Regra Geral: dois planos são paralelos quando um deles contiver duas retas concorrentes paralelas ao outro. Os traços de mesmo nome dos planos serão paralelos. Porém esta não condição não é suficiente. Para os casos de planos que passam pela LT e também dos paralelos à LT!
  74. 74. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Plano paralelo a plano Traçar pelo ponto (A) um plano () paralelo ao plano (), dado. TT’ A A'V’ r’ V r TT’
  75. 75. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Plano paralelo a plano (’) () () ’  ()  ’ Dois planos paralelos à LT (não paralelos) se interceptam numa reta fronto-horizontal. ’  2 1 2’ 1’ 11 21 (I)I’ I A’ B’ A B Para encontrar suas projeções na épura usamos um plano de perfil (). I1
  76. 76. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Plano paralelo a plano (// à LT) ’  A A' V’ H’V H V1’ H1’V1 H1  ’ Traçar pelo ponto (A) um plano () paralelo ao plano (), paralelo à LT.
  77. 77. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Planos paralelos ao bissetores i p i p O afastamento é igual à cota O afastamento é igual à cota (em módulo)
  78. 78. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Plano paralelo ao I ’ i   ’
  79. 79. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Paralelismo retas e planos Plano paralelo ao P ’ p  
  80. 80. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC) Exercícios Parte 3 Exercícios 76, 77, 78, 80, 82, 83, 85, 86, 90, 92, 94, 95 e 96.
  81. 81. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)

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