O “mundo” da simetria  Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida [email_address]
Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte
Que imagens têm ou não têm simetria?
Afinal, de que falamos quando falamos em simetria? Simetria: Que significado?  Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara...
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Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a recon...
Simetria de reflexão de uma figura <ul><li>Por vezes a simetria de reflexão é designada por  sime tria  axial; o  eixo de ...
Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria 2 eixos de...
Figura  com  simetria rotacional Figura  sem  simetria rotacional Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, um...
Simetria rotacional de uma figura Que simetrias rotacionais tem a figura? C:  Centro da simetria rotacional  (ponto em tor...
Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos,  uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a ...
Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente i...
Em busca de simetrias de figuras O estudo das simetrias das figuras  constitui uma aplicação muito interessante das isomet...
Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? D C B A
Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? <ul><li>Simetrias de reflexão </li></ul><ul><li>Simetrias rotac...
Simetrias de polígonos Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas  <ul><li>Figuras compostas por diversos módulos geo...
Que simetrias existem nestas rosáceas?  Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas •  assinala o centro de simetria...
Identificar •  assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura Que simetrias existem nestas rosáceas?  Sime...
Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch  Simetrias na arte decorativa: o caso das r...
Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch  Simetrias na arte decorativa: o caso das r...
Exemplos de frisos  As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a...
Que simetrias existem neste friso?  Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar recta horizontal Nomenclat...
Que simetrias existem neste friso?  Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos <ul><li>De translação. Por exemplo, tr...
Que simetrias existem neste friso?  Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar
Que simetrias existem neste friso?  Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos <ul><li>De reflexão de eixo horizontal...
A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando  isometrias Simetrias na arte decorativa: o ...
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação) Obtém-se o friso  Simetrias do friso: de translaçã...
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “...
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 1:  gerado por  translação Investigar Tipo 2:  gerado por  reflexão d...
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 3:  gerado por   reflexão de eixo vertical   e   translação Tipo 4:  ...
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 5:  gerado por  rotação de 180 0   e   translação Investigar Motivo s...
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 6:  gerado por  reflexão deslizante  e  translação Investigar Motivo ...
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 7:  gerado por  reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante  e   t...
Simetria: A busca de equilíbrio,  harmonia, beleza... ( Alcazar, Sevilha)
Bibliografia e outros materiais consultados Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de G...
Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida ...
O “mundo” da simetria  Reflectindo sobre desafios do PMEB 15º EREPM, 30/4/2011- Bragança Ana Maria Roque Boavida [email_ad...
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  • O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavida - PFCM da ESE/IPS)

    1. 1. O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida [email_address]
    2. 2. Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte
    3. 3. Que imagens têm ou não têm simetria?
    4. 4. Afinal, de que falamos quando falamos em simetria? Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos?
    5. 5. Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. ( Serra, 1993) <ul><li>Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias </li></ul>Simetria: Que significado? <ul><li>A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo </li></ul>Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70)
    6. 6. Simetria: Estabilizando um significado <ul><li>Falar de simetria é falar de simetria de uma figura . </li></ul>Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,... (Bastos, 2006) <ul><li>Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas... </li></ul>... embora possa perguntar-se se a boneca (uma figura) tem simetria.
    7. 7. Simetria de uma figura: Estabilizando um significado Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006) <ul><li>Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais </li></ul>Focando-nos nas figuras do plano <ul><li>Manutenção da congruência e da posição </li></ul>O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens. <ul><ul><li>P odem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante . (Veloso, 1998, p. 182) </li></ul></ul><ul><li>Invariante significa globalmente invariante </li></ul>
    8. 8. Revisitando isometrias a propósito de simetria <ul><li>Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante </li></ul><ul><li>Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. </li></ul><ul><li>Quatro tipos fundamentais de isometrias: </li></ul><ul><li>Rotação </li></ul><ul><li>Translação </li></ul><ul><li>Reflexão </li></ul><ul><li>Reflexão deslizante </li></ul>
    9. 9. Revisitando isometrias a propósito de simetria 75º . O Rotação O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus. Rotação de centro O e amplitude 75 0
    10. 10. Revisitando isometrias a propósito de simetria Rotação .O 75 0 .O 360 0 Centro de rotação: pode ser um ponto da figura 180 0 (meia volta) Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura .O .O 270 0 O 75º .
    11. 11. Revisitando isometrias a propósito de simetria <ul><ul><li>Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: </li></ul></ul><ul><ul><li>qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ ); </li></ul></ul><ul><ul><li>a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P ’ é igual a α. </li></ul></ul>Rotação de centro O e amplitude 90 0 Rotação F F
    12. 12. Revisitando isometrias a propósito de simetria Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância. Translação Translação associada ao vector Translação associada ao vector
    13. 13. <ul><ul><li>Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O + </li></ul></ul>Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação F <ul><li>Translação da figura F associada ao vector </li></ul>
    14. 14. Revisitando isometrias a propósito de simetria Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”... Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexão
    15. 15. Revisitando isometrias a propósito de simetria <ul><ul><li>Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que: </li></ul></ul><ul><ul><li>a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou s é a mediatriz de [O O’]; </li></ul></ul><ul><ul><li>se O pertence a s , a sua imagem coincide com O . </li></ul></ul>Reflexão <ul><li>Reflexão da figura F de de eixo s </li></ul>s F
    16. 16. Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão deslizante <ul><ul><li>Transformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s . </li></ul></ul>O’’ imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector s F
    17. 17. Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...) . (Oliveira, 1996, p. 187) <ul><li>Simetria de reflexão (ou simetria axial) </li></ul><ul><li>Simetria de rotação (ou simetria rotacional) </li></ul><ul><li>Simetria de translação </li></ul><ul><li>Simetria de reflexão deslizante </li></ul>Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos . ( Serra, 1993, p. 305)
    18. 18. Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... <ul><ul><li>Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; </li></ul></ul><ul><ul><li>Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; </li></ul></ul><ul><ul><li>Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima); </li></ul></ul><ul><ul><li>... </li></ul></ul>
    19. 19. Simetria de reflexão de uma figura <ul><li>Por vezes a simetria de reflexão é designada por sime tria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria . (Serra, 1993, p. 305) </li></ul>Eixo de simetria? 1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria
    20. 20. Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria 2 eixos de simetria 4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.
    21. 21. Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0 0 e inferior a 360 0 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 360 0 . Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Como a reconhecemos? (ou qualquer outro tipo de simetria)
    22. 22. Simetria rotacional de uma figura Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”) Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura. Três quartos de volta (270º) Uma volta inteira (360º) Um quarto de volta (90º) Meia volta (180º) C
    23. 23. Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? <ul><li>Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original </li></ul><ul><li>Se a figura for infinita, existe essa possibilidade… </li></ul>
    24. 24. Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? <ul><li>Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original. </li></ul><ul><li>Se a figura for infinita, existe essa possibilidade… </li></ul>
    25. 25. Em busca de simetrias de figuras O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...) Potencialidades (Bastos, 2006, p. 11) O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração (…) A análise de objectos artísticos ou de cristais através das suas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...) Conhecimento matemático Resolução de problemas Conhecimento matemático Comunicação e raciocínio Conexões matemáticas
    26. 26. Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? D C B A
    27. 27. Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? <ul><li>Simetrias de reflexão </li></ul><ul><li>Simetrias rotacionais </li></ul>4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 90 0 , 180 0 , 270 0 e 360 0 . 4 Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos 90º B C D
    28. 28. Simetrias de polígonos Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos
    29. 29. Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas <ul><li>Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 360 0 e a medida desta amplitude é exacta . </li></ul>Rosáceas <ul><li>Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura). </li></ul><ul><li>Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão. </li></ul>
    30. 30. Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura Identificar •
    31. 31. Identificar • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas <ul><li>Simetria de reflexão </li></ul><ul><li>2 eixos de simetria – lado/lado </li></ul><ul><li>Simetria rotacional </li></ul><ul><li>R rotação de 180 0 </li></ul><ul><li>R 2 rotação de 360 0 (identidade) </li></ul>R rotação de 60 0 R 2 rotação de 120 0 R 3 rotação de 180 0 R 4 rotação de 240 0 R 5 rotação de 300 0 R 6 rotação de 360 0 (identidade) <ul><li>Só simetria rotacional </li></ul>• <ul><li>Simetria de reflexão e simetria rotacional </li></ul>
    32. 32. Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Motivo simples
    33. 33. Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Motivo simples
    34. 34. Exemplos de frisos As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita <ul><li>Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção . </li></ul><ul><li>No friso, o grupo de simetria fixa uma recta. </li></ul><ul><li>Pode haver outras simetrias para além das de translação </li></ul>Friso Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
    35. 35. Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar recta horizontal Nomenclatura adoptada recta vertical
    36. 36. Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos <ul><li>De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores e . </li></ul><ul><li>De reflexão de eixo horizontal </li></ul>Identificar recta horizontal Nomenclatura adoptada recta vertical
    37. 37. Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Identificar
    38. 38. Que simetrias existem neste friso? Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos <ul><li>De reflexão de eixo horizontal </li></ul><ul><li>De reflexão de eixos verticais </li></ul><ul><li>De translação da figura </li></ul><ul><li>associadas a vectores com a direcção de e comprimento múltiplo do deste vector. </li></ul>Identificar
    39. 39. A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Construir Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo r [A´, B’, C’, D’] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r . A’ B’ C’ D’ [A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de [A´, B’, C’, D’] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r ). A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’
    40. 40. Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação) Obtém-se o friso Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante Através de translações sucessivas da figura
    41. 41. Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Investigar Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria . (Veloso, 1998, p. 202) Que tipos de frisos há?
    42. 42. Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 1: gerado por translação Investigar Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação Motivo simples Motivo composto
    43. 43. Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação Tipo 4: gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação Investigar Motivo simples Motivo composto Motivo composto
    44. 44. Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 5: gerado por rotação de 180 0 e translação Investigar Motivo simples
    45. 45. Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação Investigar Motivo simples
    46. 46. Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação Há apenas sete tipos de frisos... Investigar Motivo simples Motivo composto
    47. 47. Simetria: A busca de equilíbrio, harmonia, beleza... ( Alcazar, Sevilha)
    48. 48. Bibliografia e outros materiais consultados Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM – Simetria. Educação Matemática, 88 , 9-11. Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. E ducação e Matemática, 94, 23-27. Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages . Paris: ACL- Éditions. Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões . Porto: Porto Editora. Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept . Bolinas, California: Shelter Publications. Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers . London: Sage. Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.) . Upper Saddle River: Prentice-Hall. Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas . Lisboa: Universidade Aberta. Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach . Berkeley: Key Curriculum Press. Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101 , 23-28. Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais . Lisboa: Instituto de Inovação Educacional
    49. 49. Bibliografia e outros materiais consultados Documentos não publicados Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010). Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) . Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011). Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009). Sites http://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.html http://www.atm.org.uk/resources/ http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.html http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168 http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html
    50. 50. O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB 15º EREPM, 30/4/2011- Bragança Ana Maria Roque Boavida [email_address]

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