Mapas de Karnaugh (introdução, até 4 variáveis)

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Mapas de Karnaugh. Definição. Introdução. Até 4 variáveis. Agrupamentos possíveis com 2, 4 e 8 células. Exemplos. Problemas. Video à 1024 x 768 pixels @ 24 fps disponível no YouTube: http://youtu.be/ohRBnobVvgo

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Mapas de Karnaugh (introdução, até 4 variáveis)

  1. 1. Mapas de Karnaugh Circuitos Digitais I Prof. Fernando Passold 1Thursday, April 24, 14
  2. 2. Introdução • Origem: • Desenvolvido em 1953 por Maurice Karnaugh, um engenheiro de telecomunicações da Bell Labs • Objetivo: • Reduzir (simplificar) expressões lógicas. 2Thursday, April 24, 14
  3. 3. Lógica do Mapa • Representar tabela verdade num outro formato (gráfico); num formato “matricial”. • Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de entrada: Ref A B Saída 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 2 3 3Thursday, April 24, 14
  4. 4. Lógica do Mapa • Representar tabela verdade num outro formato (gráfico); num formato “matricial”. • Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de entrada: Ref A B Saída 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 2 3 8Thursday, April 24, 14
  5. 5. Lógica do Mapa • Representar tabela verdade num outro formato (gráfico); num formato “matricial”. • Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de entrada: Ref A B Saída 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 2 3 Que Falta ? Completar a tabela verdade e o mapa! 9Thursday, April 24, 14
  6. 6. Uso do Mapa • Exemplo: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 F = A B + A B 1. Completando a tabela... 11Thursday, April 24, 14
  7. 7. Uso do Mapa • Exemplo: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 1 2 3 1 F = A B + A B 2. Completando o Mapa... 13Thursday, April 24, 14
  8. 8. Uso do Mapa • Exemplo: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 1 2 3 1 F = A B + A B 3. Note: agrupamento de células (contíguas)! 15Thursday, April 24, 14
  9. 9. Uso do Mapa • Exemplo: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 1 2 3 1 F = A B + A B F = AB + AB F = B (A + B) F = B 17Thursday, April 24, 14
  10. 10. Uso do Mapa • Exemplo: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 F = A B + A B A B A B F = AB + AB F = B (A + B) F = B B  A 0 1 0 0 1 1 1 2 3 1 18Thursday, April 24, 14
  11. 11. Uso do Mapa • Exemplo: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 F = A B + A B A B A B F = AB + AB F = B (A + B) F = B B  A 0 1 0 0 1 1 1 2 3 1 Variável que mudou de nível: Variável eliminada (simplificada) 18Thursday, April 24, 14
  12. 12. Uso do Mapa • Exemplo: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 F = A B + A B A B A B F = AB + AB F = B (A + B) F = B B  A 0 1 0 0 1 1 1 2 3 1 Variável que mudou de nível: Variável eliminada (simplificada) “sobra” 18Thursday, April 24, 14
  13. 13. Uso do Mapa • Exemplo_2: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 1 F = A B + A B 19Thursday, April 24, 14
  14. 14. Uso do Mapa • Exemplo_2: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 2 1 3 1 F = A B + A B 19Thursday, April 24, 14
  15. 15. Uso do Mapa • Exemplo_2: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 1 B  A 0 1 0 0 1 1 2 1 3 1 Variável que mudou de nível: Variável eliminada (simplificada) “sobra” F = A B + A B F = A B + A B F = A (B + B) F = A " AB " AB F = A 19Thursday, April 24, 14
  16. 16. Uso do Mapa ☞ Outra forma: • Exemplo_2: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 1 A  B 0 1 0 0 2 1 1 1 3 1 F = A B + A B Note mudança na ordem entre A e B! B  A 0 1 0 0 1 1 2 1 3 1 20Thursday, April 24, 14
  17. 17. Uso do Mapa ☞ Outra forma: • Exemplo_2: Seja a função: Ref A B Saída 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 1 Variável que mudou de nível: Variável eliminada (simplificada) “sobra” F = A B + A B F = A B + A B F = A (B + B) F = AF = A AB A B Note mudança no ordem entre A e B! A  B 0 1 0 0 2 1 1 1 3 1 21Thursday, April 24, 14
  18. 18. Outros Mapas para 2 variáveis 22Thursday, April 24, 14
  19. 19. Outros Mapas para 2 variáveis " = A B + A B = B(A + A | {z } =1 ) = B " = A B + A B = B(A + A | {z } =1 ) = B = A B + A B = A(B + B | {z } =1 ) = A = A B + A B = A(B + B | {z } =1 ) = A 22Thursday, April 24, 14
  20. 20. Mapa K para 3 variáveis Ref ABC Y 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 ABC 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 ABC 0 1 00 m0 m1 01 m2 m3 11 m6 m7 10 m4 m5 • Mapa - Opção 1 e 2: 23Thursday, April 24, 14
  21. 21. Mapa K para 3 variáveis • Mapa - Opção 1 e 2: Ref ABC Y 0 000 m0 1 001 m1 2 010 m2 3 011 m3 4 100 m4 5 101 m5 6 110 m6 7 111 m7 ABC 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 ABC 0 1 00 m0 m1 01 m2 m3 11 m6 m7 10 m4 m5 31Thursday, April 24, 14
  22. 22. Mapa K para 3 variáveis Ref ABC Y 0 000 m0 1 001 m1 2 010 m2 3 011 m3 4 100 m4 5 101 m5 6 110 m6 7 111 m7 ABC 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 ABC 0 1 00 m0 m1 01 m2 m3 11 m6 m7 10 m4 m5 Repare na ordem das céculas • Ordem das células: 33Thursday, April 24, 14
  23. 23. Mapa K para 3 variáveis • Ordem das células: Ref ABC Y 0 000 m0 1 001 m1 2 010 m2 3 011 m3 4 100 m4 5 101 m5 6 110 m6 7 111 m7 ABC 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 ABC 0 1 00 m0 m1 01 m2 m3 11 m6 m7 10 m4 m5 A ordem segue o código Gray (apenas 1 bit varia de estado entre células!) 34Thursday, April 24, 14
  24. 24. Exemplo_1: • Sem Mapa:Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 0 3 011 0 4 100 1 5 101 0 6 110 1 7 111 0 Y = X m {0, 1, 4, 6} 35Thursday, April 24, 14
  25. 25. Exemplo_1: • Sem Mapa:Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 0 3 011 0 4 100 1 5 101 0 6 110 1 7 111 0 = A B C = A B C = A B C = A B C Y = A B C + A B C + A B C + A B C Soma de Produtos: Minitermos Y = A B (C + C) + A C (B + B) Y = A B + A C } Y = X m {0, 1, 4, 6} 35Thursday, April 24, 14
  26. 26. • Sem Mapa: • Com Mapa: Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 0 3 011 0 4 100 1 5 101 0 6 110 1 7 111 0 = A B C = A B C = A B C = A B C Y = A B C + A B C + A B C + A B C Y = A B (C + C) + A C (B + B) Y = A B + A C } ABC 0 1 00 1 1 01 11 1 10 1 Y = X m {0, 1, 4, 6} 36Thursday, April 24, 14
  27. 27. • Sem Mapa: • Com Mapa: Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 0 3 011 0 4 100 1 5 101 0 6 110 1 7 111 0 = A B C = A B C = A B C = A B C Y = A B C + A B C + A B C + A B C Y = A B (C + C) + A C (B + B) Y = A B + A C } ABC 0 1 00 1 1 01 11 1 10 1 A B Y = X m {0, 1, 4, 6} 36Thursday, April 24, 14
  28. 28. • Sem Mapa: • Com Mapa: Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 0 3 011 0 4 100 1 5 101 0 6 110 1 7 111 0 = A B C = A B C = A B C = A B C Y = A B C + A B C + A B C + A B C Y = A B (C + C) + A C (B + B) Y = A B + A C } ABC 0 1 00 1 1 01 11 1 10 1 A B " A C Y = X m {0, 1, 4, 6} 36Thursday, April 24, 14
  29. 29. • Sem Mapa: • Com Mapa: Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 0 3 011 0 4 100 1 5 101 0 6 110 1 7 111 0 = A B C = A B C = A B C = A B C Y = A B C + A B C + A B C + A B C Y = A B (C + C) + A C (B + B) Y = A B + A C } ABC 0 1 00 1 1 01 11 1 10 1 A B " A C Y = A B + A C { Y = X m {0, 1, 4, 6} 36Thursday, April 24, 14
  30. 30. • Mapa:Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: 38Thursday, April 24, 14
  31. 31. • Mapa:Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Detalhe: não existem agrupamentos de 3, 5 células ou os que não sejam múltiplos de 2n. Sempre serão: 21 ! 2 c´elulas ! 1 var. eliminada 22 23 ! 4 c´elulas ! 8 c´elulas ! 2 var. eliminadas ! 3 var. eliminadas Exemplo_2: 39Thursday, April 24, 14
  32. 32. ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 = A B C + A B C + A B C = B C(A + A) + A B C = B C + A B C Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta! Exemplo_2: 40Thursday, April 24, 14
  33. 33. ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 = A B C + A B C + A B C = B C(A + A) + A B C = B C + A B C " A C B C Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta! Exemplo_2: 40Thursday, April 24, 14
  34. 34. ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: = A B C + A B C + A B C = B C (A + A | {z } =1 ) + A B C Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta (nenhuma simplificação direta)! Desenvolvendo... 41Thursday, April 24, 14
  35. 35. ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: = A B C + A B C + A B C = B C (A + A | {z } =1 ) + A B C = A B C + A C(B + B | {z } =1 ) ou Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta (nenhuma simplificação direta)! Desenvolvendo... 41Thursday, April 24, 14
  36. 36. ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: = A B C + A B C + A B C = B C (A + A | {z } =1 ) + A B C = A B C + A C(B + B | {z } =1 ) ou Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta (nenhuma simplificação direta)! Desenvolvendo... 41Thursday, April 24, 14
  37. 37. ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: = A B C + A B C + A B C = B C (A + A | {z } =1 ) + A B C = A B C + A C(B + B | {z } =1 ) ou Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta (nenhuma simplificação direta)! Desenvolvendo... 41Thursday, April 24, 14
  38. 38. ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: = A B C + A B C + A B C = B C + A B C = C(B + A B) = B C (A + A | {z } =1 ) + A B C = A B C + A C(B + B | {z } =1 ) = A B C + A C = C ( A B + A) ou Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta (nenhuma simplificação direta)! = C (A + B) = C (A + B) x + x y = x + y Desenvolvendo... 41Thursday, April 24, 14
  39. 39. • Mapa:Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 A C B C A B Y = A C + B C + A B Exemplo_2: 43Thursday, April 24, 14
  40. 40. • Mapa:Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 - Não implica em erro, mas aumenta circuito! Exemplo_2: Atenção: Evitar agrupamentos redundantes! 44Thursday, April 24, 14
  41. 41. Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: 45Thursday, April 24, 14
  42. 42. Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: 45Thursday, April 24, 14
  43. 43. Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: 45Thursday, April 24, 14
  44. 44. Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: 45Thursday, April 24, 14
  45. 45. Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Exemplo_2: 45Thursday, April 24, 14
  46. 46. Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 1 3 011 1 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 01 1 1 11 1 10 1 1 Agrupamentos Redundantes: - Não implica em erro, mas aumenta circuito! Exemplo_2: 45Thursday, April 24, 14
  47. 47. Mapa K para 4 variáveis • Mapa - Opção 1: • Mapa - Opção 2: Ref ABCD Y 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 ABCD 00 01 11 10 00 01 11 10 CDAB 00 01 11 10 00 01 11 10 47Thursday, April 24, 14
  48. 48. • Mapa - Opção 1: Ref ABCD Y 0 0000 m0 1 0001 m1 2 0010 m2 3 0011 m3 4 0100 m4 5 0101 m5 6 0110 m6 7 0111 m7 8 1000 m8 9 1001 m9 10 1010 m10 11 1011 m11 12 1100 m12 13 1101 m13 14 1110 m14 15 1111 m15 ABCD 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10 Mapa K para 4 variáveis 63Thursday, April 24, 14
  49. 49. Mapa K para 4 variáveis • Mapa - Opção 1: • Mapa - Opção 2: Ref ABCD Y 0 0000 m0 1 0001 m1 2 0010 m2 3 0011 m3 4 0100 m4 5 0101 m5 6 0110 m6 7 0111 m7 8 1000 m8 9 1001 m9 10 1010 m10 11 1011 m11 12 1100 m12 13 1101 m13 14 1110 m14 15 1111 m15 ABCD 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10 CDAB 00 01 11 10 00 m0 m4 m12 m8 01 m1 m5 m13 m9 11 m3 m7 m15 m11 10 m2 m6 m14 m10 64Thursday, April 24, 14
  50. 50. Problemas Ref A B X 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1 "AB ABC Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 65Thursday, April 24, 14
  51. 51. Soluções Ref A B X 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 AB 0 1 0 1 1 1 F = ¯A ¯B + AB Y = ¯A ¯B + B ¯C 66Thursday, April 24, 14
  52. 52. Observações ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 Ref A2B2C Y 0 02020 1 1 02021 1 2 02120 1 3 02121 0 4 12020 0 5 12021 0 6 12120 1 7 12121 0 Y = ¯A ¯B+B ¯C 67Thursday, April 24, 14
  53. 53. Observações ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 Ref A2B2C Y 0 02020 1 1 02021 1 2 02120 1 3 02121 0 4 12020 0 5 12021 0 6 12120 1 7 12121 0 Y = ¯A ¯B+B ¯C 67Thursday, April 24, 14
  54. 54. Observações ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 Ref A2B2C Y 0 02020 1 1 02021 1 2 02120 1 3 02121 0 4 12020 0 5 12021 0 6 12120 1 7 12121 0 Y = ¯A ¯B+B ¯C 67Thursday, April 24, 14
  55. 55. Observações ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 ⇥ + ¯A ¯C ⇤ Redundante Ref A2B2C Y 0 02020 1 1 02021 1 2 02120 1 3 02121 0 4 12020 0 5 12021 0 6 12120 1 7 12121 0 Y = ¯A ¯B+B ¯C 67Thursday, April 24, 14
  56. 56. Observações ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 ⇥ + ¯A ¯C ⇤ Redundante Ref A2B2C Y 0 02020 1 1 02021 1 2 02120 1 3 02121 0 4 12020 0 5 12021 0 6 12120 1 7 12121 0 Y = ¯A ¯B+B ¯C 67Thursday, April 24, 14
  57. 57. Observações ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 0 5 101 0 6 110 1 7 111 0 ⇥ + ¯A ¯C ⇤ Redundante Ref A2B2C Y 0 02020 1 1 02021 1 2 02120 1 3 02121 0 4 12020 0 5 12021 0 6 12120 1 7 12121 0 Y = ¯A ¯B+B ¯C Redundante 67Thursday, April 24, 14
  58. 58. Problema: ABC Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 0 3 011 1 4 100 0 5 101 1 6 110 0 7 111 1 Resp.: Y = C 68Thursday, April 24, 14
  59. 59. Solução: ABC 0 1 00 1 01 1 11 1 10 1 Ref ABC Y 0 000 0 1 001 1 2 010 0 3 011 1 4 100 0 5 101 1 6 110 0 7 111 1 Prova: Y = ¯A ¯BC + ¯ABC + A ¯BC + ABC Y = ¯AC( ¯B + B) + AC( ¯B + B) Y = ¯AC + AC Y = C( ¯A + A) Y = C ABC 0 1 00 1 01 1 11 1 10 1 Y = ¯A ¯BC + ¯ABC + A ¯BC + ABC Y = ¯AC( ¯B + B) + AC( ¯B + B) Y = ¯AC + AC Y = C( ¯A + A) Y = C Y = C 69Thursday, April 24, 14
  60. 60. Agrupamentos Possíveis • Com 2 variáveis 0 1 0 1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 0 1 00 01 11 10 C AB AB C AB AB C CD 70Thursday, April 24, 14
  61. 61. Agrupamentos Possíveis • Com 2 variáveis 0 1 0 1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 0 1 00 01 11 10 C AB AB C AB AB C CD 70Thursday, April 24, 14
  62. 62. Agrupamentos Possíveis • Com 4 variáveis 0 1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 1000 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 AB C AB AB ABAB CD CD CDCD 71Thursday, April 24, 14
  63. 63. Agrupamentos Possíveis • Com 4 variáveis 0 1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 1000 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 AB C AB AB ABAB CD CD CDCD 71Thursday, April 24, 14
  64. 64. Agrupamentos Possíveis • Com 8 variáveis 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 AB AB AB AB CD CD CDCD 72Thursday, April 24, 14
  65. 65. Agrupamentos Possíveis • Com 8 variáveis 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 AB AB AB AB CD CD CDCD 72Thursday, April 24, 14
  66. 66. • Mesmo problema - 2 soluções possíveis: 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 AB AB CDCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 73Thursday, April 24, 14
  67. 67. • Mesmo problema - 2 soluções possíveis: 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 AB AB CDCD 74Thursday, April 24, 14
  68. 68. • Mesmo problema - 2 soluções possíveis: 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 AB AB CDCD 74Thursday, April 24, 14
  69. 69. Problema ABC Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 Resp.: Y = ¯B + ¯C 75Thursday, April 24, 14
  70. 70. Solução Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 1 1 Até aqui em 15 Apr 2014 Corrigir algumas equações em slides anteriores... Y = ¯B + ¯C 76Thursday, April 24, 14
  71. 71. Solução Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 1 1 Até aqui em 15 Apr 2014 Corrigir algumas equações em slides anteriores... Y = ¯B + ¯C 76Thursday, April 24, 14
  72. 72. Solução Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 1 1 Y = ¯C + ¯B Até aqui em 15 Apr 2014 Corrigir algumas equações em slides anteriores... Y = ¯B + ¯C 76Thursday, April 24, 14
  73. 73. Solução Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 1 1 ¯A ¯B¯C A ¯BY = + + Y = ¯C + ¯B Até aqui em 15 Apr 2014 Corrigir algumas equações em slides anteriores... Y = ¯B + ¯C 76Thursday, April 24, 14
  74. 74. Solução Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 1 1 ¯A ¯B¯C A ¯BY = + + Y = ¯C+ ¯B( ¯A + A) Y = ¯C + ¯B Até aqui em 15 Apr 2014 Corrigir algumas equações em slides anteriores... Y = ¯B + ¯C 76Thursday, April 24, 14
  75. 75. Solução Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 1 1 ¯A ¯B¯C A ¯BY = + + Y = ¯A ¯B ¯C + ¯A ¯BC + ¯AB ¯C + A ¯B ¯C + A ¯BC + AB ¯C Y = ¯C+ ¯B( ¯A + A) Y = ¯C + ¯B Até aqui em 15 Apr 2014 Corrigir algumas equações em slides anteriores... Y = ¯B + ¯C 76Thursday, April 24, 14
  76. 76. Solução Ref ABC Y 0 000 1 1 001 1 2 010 1 3 011 0 4 100 1 5 101 1 6 110 1 7 111 0 ABC 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 1 1 ¯A ¯B¯C A ¯BY = + + Y = ¯A ¯B ¯C + ¯A ¯BC + ¯AB ¯C + A ¯B ¯C + A ¯BC + AB ¯C Y = ¯A ¯B( ¯C + C) + B ¯C( ¯A + A) + A ¯B( ¯C + C) Y = ¯C+ ¯B( ¯A + A) Y = ¯C + ¯B Até aqui em 15 Apr 2014 Corrigir algumas equações em slides anteriores... Y = ¯A ¯B + B ¯C + A ¯B Y = ¯B( ¯A + A) + B ¯C Y = ¯B + B ¯C Y = ¯B + ¯C 76Thursday, April 24, 14
  77. 77. Problemas Ref ABCD Y 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 0 3 0011 0 4 0100 0 5 0101 1 6 0110 0 7 0111 0 8 1000 0 9 1001 0 10 1010 0 11 1011 0 12 1100 0 13 1101 1 14 1110 0 15 1111 1 ABCD 00 01 11 10 00 01 11 10 77Thursday, April 24, 14
  78. 78. Problemas ABCD 00 01 11 10 00 1 01 1 1 1 1 11 1 1 10 ABCD 00 01 11 10 00 1 01 1 1 11 1 1 10 1 ABCD 00 01 11 10 00 1 01 1 1 1 11 1 1 1 10 1 ABCD 00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 1 11 10 1 1 1 ABCD 00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 1 1 1 11 10 ABCD 00 01 11 10 00 01 11 10 78Thursday, April 24, 14

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