A ESTIMAÇÃO DO TETRÁDICO 4X NA LEI =4X: QUEESTABELECE PROPORCIONALIDADE ENTRE OS DIÁDICOS E , PELO MÉTODO DO GRADIENTE...
2A norma de 4 é, assim, uma função do segundo grau do tetrádico (incógnita) 4X. Para um dado valor(arbitrário) de 4, log...
311)Q( .No espaço tetrádico, as extremidades das setas dos 4X (todos com origem na extremidade da setade 4Xpre) perten...
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Metodo gradiente

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Metodo gradiente

  1. 1. A ESTIMAÇÃO DO TETRÁDICO 4X NA LEI =4X: QUEESTABELECE PROPORCIONALIDADE ENTRE OS DIÁDICOS E , PELO MÉTODO DO GRADIENTE.Elysio R. F. RuggeriFurnas Centrais Elétricas SACentro Tecnológico de Engenharia Civil1 – Introdução.Sejam (1,1), (2, 2), ..., (6, 6), seis avaliações (ou medidas) de dois diádicos simétricos em relação auma base diádica ortonormada fixa, arbitrária (eventualmente, convenientemente escolhida),}ˆ,...ˆ,ˆ{}ˆ{ 621 . Por hipótese, esses diádicos se correlacionam através do tetrádico 4G - umaincógnita - pela lei  4 : , onde ,  e 4X são valores verdadeiros, pretendendo-se que o 4X sejasimétrico (embora, em geral, não o seja necessariamente). Vamos admitir que os seis diádicos  sejamlinearmente independentes, constituindo, assim, uma base para o espaço dos diádicos simétricos,representada por },...,,{}{ 621 .Nestas condições, um valor preliminar do tetrádico 4X é dado por iipre4   (i=1,2,...,6), emque os isão os diádicos da base recíproca de }{  , isto é, }{  , diádicos esses que podem sercalculados a partir dos diádicos dados. O tetrádico 4Xpre é de fato uma avaliação preliminar do tetrádicofinal uma vez que não existe nenhuma garantia de que esse tetrádico seja simétrico. Com efeito, para queisso ocorresse, deveria ser ijji ::  para ij, igualdades essas (em número 15) que, em geral, nãose verificam.Como, por hipótese, os ´s definem uma base, podemos expressar os diádicos  em relação à basediádica }{  , escrevendo: jjii)(  : (i,j=1,2,...,6).*Como as avaliações são acompanhadas de erros podemos escrever:i4ii :X , (i=1,2,...,6) (01),em que i é um diádico que expressa o erro cometido na i-ésima avaliação, erro esse suposto calculadocom o 4X verdadeiro.O produto posterior direto de cada uma das relações (01) pelo correspondente iˆ transforma (01)na expressãoX4pre44   , (02),sendoii4 ˆ  , (03).Podemos estimar um 4X que mais se aproxime do verdadeiro impondo a condição de que a normado tetrádico 4 seja mínima. Tem-se:||||2|||||||| 2444gro4gro44   ., (04).
  2. 2. 2A norma de 4 é, assim, uma função do segundo grau do tetrádico (incógnita) 4X. Para um dado valor(arbitrário) de 4, logo também de sua norma, vemos por (04), lembrando (02), que, no espaço dostetrádicos, existem infinitas setas de tetrádicos 4X, de origem na extremidade de 4Xpre e extremidade naesfera1de raio igual ao módulo de 4, que satisfazem a equação (04).*2 – Aplicação do método dos gradientes.Seja dado um 4 qualquer, ao módulo do qual corresponde certa esfera concêntrica com a anterior. Estaesfera, evidentemente, envolverá ou será envolvida por aquela conforme a norma de 4 seja maior oumenor que a norma daquele (4 anterior).O sentido do crescimento da norma será dado pelo sentido da seta do tetrádico gradiente da normade 4. Esse tetrádico é a derivada de ||4|| em relação a 4X, sendo: 44pre444222||||, (05).*Imaginemos agora que tenhamos arbitrado um valor 4X0 para 4X, ao qual corresponde, segundo(04), certa norma ||40||. Ao 4X0 corresponde certo ponto na esfera de raio igual a |40|. Demos a 4X0 umacréscimo igual a (2 40)/2= 40, no sentido contrário ao do gradiente, com um número /2 <<1 (ou<<2), e calculemos o valor do tetrádico correspondente, 4X1. Encontramos:040414   , (06).A esse tetrádico corresponde uma norma, calculada por (04), certamente menor que a normaanterior. Com efeito, de (02) escrevemos: 04gro404 X  e 14gro414 X  ; logo, considerando(06), deduzimos: 0414 (1   . Vem, então: ||||λ)1(|||| 04214   , o que comprova ser|||||||| 0414   porque (1-)2é um número menor que um. A extremidade da seta de 4X1 pertenceránecessariamente a uma esfera interior à correspondente a 4X0.*Demos agora um acréscimo arbitrário ao tetrádico 4X1, no sentido contrário ao gradiente -241,digamos, da mesma forma que o anterior, 41. O novo tetrádico será, então,141424   ,cuja norma é certamente menor que a do tetrádico anterior e cuja seta tem extremidade numa terceiraesfera interior a toda as anteriores. Temos:||||λ4)(λ4|||||||| 042044040424   ..Assim devemos prosseguir até que na N-ésima iteração a norma ||4N|| satisfaça certa condição detolerância. Como a norma ||4N|| é menor que a anterior, ||4N-1||, podemos expressar essa condição pelaexpressão:tol||||||||||||N41-N4N4, (07),onde tol é um número negativo cujo módulo, arbitrado conforme as nossas conveniências, representa aqueda relativa no valor da norma (em cada iteração).No caso em apreço, sendo ||4N||=||4N-1|| qualquer que seja N, a queda assume o valor1Trata-se, na verdade, de um hiper esfera uma vez que o espaço dos tetrádico simétricos tem 21 dimensões.
  3. 3. 311)Q( .No espaço tetrádico, as extremidades das setas dos 4X (todos com origem na extremidade da setade 4Xpre) pertencem cada uma a uma esfera e a cada uma corresponde certa queda. Se os acréscimos dadosaos tetrádicos forem suficientemente pequenos (pequenos ) a poligonal poderá ser visualizada como umacurva.*3 – Conclusão.A aplicação do método do gradiente (seção 2) poderia ser dispensada uma vez que, sendo o tetrádicogradiente, 4, ortogonal à esfera, apontará sempre para a extremidade de 4Xpre (centro das esferas). Comoos raios das esferas, |4|, devem tender para um valor mínimo, tenderão para zero necessariamente.Conseqüentemente, conforme (02), as estimativas do tetrádico incógnita estarão necessariamenteconvergindo para 4Xpre.Esses resultados mostram que a estimativa do tetrádico pelo teorema fundamental dastransformações lineares é plenamente satisfatória; mas em nenhum instante foi imposta a condição de queo tetrádico devesse ser simétrico.

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