Aula carlos

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Aula carlos

  1. 1. A CONTA É DE MAIS OU DE MENOS? Quase-problemas no ensino de MatemáticaCarlos Jenningsfisicojennings@gmail.com
  2. 2. Um dos grandes mal-entendidos sobre a matemáticaque perpetramos em nossas salas de aula é que oprofessor sempre parece saber a resposta paraqualquer problema que esteja sendo discutido. Isso dáao aluno a ideia de que, em alguma parte, há umlivro com todas as respostas certas para todas asquestões interessantes, e que os professores conhecemessas respostas. E se conseguirmos por as mãos nesselivro, tudo estará resolvido. Isso se distanciainteiramente da verdadeira natureza da matemática.LEON HENKIN
  3. 3. NOSSO PROBLEMA A ponta do iceberg
  4. 4. Programas de avaliação Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional INAF Desenvolvido pelo Instituto Paulo Montenegro e pela ONG Ação Educativa. Oferece informações sobre as habilidades e as práticas de leitura e cálculo de jovens e adultos.
  5. 5. Programas de avaliação ● 29% encontram muita dificuldade em resolver problemas envolvendo cálculos simples que envolvem operações (de adição, subtração, multiplicação e divisão). ● 23% são capazes de adotar e controlar uma estratégia na resolução de um problema que envolva a execução de uma série de operações envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão e cálculo proporcional.
  6. 6. Programas de avaliação Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica SAEB Desenvolvido pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP. Desde 1990, avalia os estudantes brasileiros da 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e 1ª e 3ª série do Ensino Médio.
  7. 7. Programas de avaliação ● Os alunos desenvolvem algumas habilidades elementares de interpretação de problemas, mas não conseguem transpor o que é pedido no enunciado para uma linguagem matemática específica. ● Na 8ª série, por exemplo, os alunos resolvem expressões com uma incógnita, mas não interpretam os dados de um problema fazendo uso de símbolos matemáticos específicos.
  8. 8. Programas de avaliação Programa Internacional de Avaliação de Estudantes PISA Avalia o desempenho de alunos de 15 anos de idade, produzindo indicadores sobre a efetividade dos sistemas educacionais em diferentes países. Desenvolvido e coordenado internacionalmente pela Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE); no Brasil é coordenado pelo INEP.
  9. 9. Programas de avaliação ● Os alunos apresentam dificuldades em recuperar e transformar um dado matemático. ● Núcleo da dificuldade: leitura e transformação da linguagem matemática.
  10. 10. A aprendizagem como problema Pontos de referência A leitura ultrapassa a aprendizagem em língua materna. A leitura requer uma sistematização por todos os envolvidos no processo de ensino. A resolução de problemas deve ter ênfase no "resgate“ da linguagem matemática. A resolução de problemas não é uma questão exclusiva da Matemática.
  11. 11. Um problema de todos ACIDENTES DE TRÂNSITO CUSTAM R$ 5,3 BI POR ANO No Brasil, registra-se um alto número de mortes devido a acidentes de trânsito. Além da dor e do sofrimento das vítimas e seus familiares, a violência no trânsito tem um custo social de R$ 5,3 bilhões por ano, segundo levantamento realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), publicado em 2003. Desse total, 30% são devidos aos gastos com saúde e o restante é devido à previdência, justiça, seguro e infraestrutura.
  12. 12. Um problema de todos De acordo com esse levantamento, de janeiro a julho de 2003, os acidentes de trânsito consumiram entre 30% e 40% do que o Sistema Único de Saúde (SUS) gastou com internações por causas externas, resultantes de acidentes e violência em geral.
  13. 13. O problema real como método Oferece suporte à curiosidade: situações reais na sala de aula propiciam a descoberta do novo. Desenvolve o raciocínio interpretativo, auxiliando na convivência com esse mundo de interpretações. Necessita de conhecimentos adquiridos anteriormente e da percepção de novos caminhos a serem traçados. Resolução de problemas: assim caminha a Matemática.
  14. 14. O problema real como método Sistema Sistema “De Fábrica” Lacinho Americano Europeu
  15. 15. O problema real como método As disposições possíveis para os cadarços tinham sido estudadas pelo matemático John Halton: casos particulares do problema do caixeiro viajante. Um caixeiro quer passar por um número fixo de cidades, visitando-as todas apenas uma vez e tendo fixada a cidade de partida e a de chegada. Burkard Polster, matemático australiano, abordou o problema em estudo publicado na Nature, apontando as disposições mais eficientes.
  16. 16. O problema real como método
  17. 17. O problema real como método É paradoxal, mas a faixa do lado parece sempre ir mais depressa. Donald A. Redelmeyer (Universidade de Toronto) e Robert J. Tibshirani (Universidade de Stanford) publicaram estudos na Nature e na Chance. A ilusão de que a outra faixa anda mais depressa baseia-se em fatores objetivos. A subjetividade é apenas parte do problema.
  18. 18. Exercício X problema O exercício Sustenta-se num procedimento padrão: o aluno tem certo domínio na obtenção do resultado ou tem memorizado o mecanismo resolutivo. Não demanda decisão sobre o procedimento a ser utilizado para se chegar à solução. Consolida e automatiza certas técnicas, habilidades e procedimentos necessários para posterior solução de problemas.
  19. 19. Piada filosófica profundaProfessor: “Suponha que x seja o númerode ovelhas no problema”.Aluno: “Mas, professor, suponha que xnão seja o número de ovelhas”.John Edensor LittlewoodA Mathematician’s Miscellany
  20. 20. Problema X exercício O problema Uma situação imprevisível, um obstáculo a ser superado com maior ou menor complexidade. Uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta a solução. Exige reflexão, questionamento e tomada de decisão.
  21. 21. Resolução de problemas Ensinar a resolver problemas: criar a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta. Importância: a motivação natural de estudar problemas reais. O cotidiano na sala de aula: abordagem intuitiva e conceitual. O que é desconhecido para alguns, pode ser resolvido muito rapidamente por outros.
  22. 22. Resolução de problemas O problema apresentará uma situação diferente da que já se tenha trabalhado, mas que se utilize de técnicas e estratégias já aprendidas para a sua solução. Exigência: problemas não-rotineiros e não-algorítmicos. A grande significação da Matemática reside fora da matemática.
  23. 23. Problemas padrões Quase-problemas: aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos. Não exigem estratégias para a sua solução. A solução já está contida no próprio enunciado. A tarefa básica é transformar a linguagem usual para uma linguagem matemática adequada, identificando quais operações ou algoritmos são apropriados para resolver o problema.
  24. 24. Problemas padrões Objetivo: recordar e fixar os fatos básicos através dos algoritmos das quatro operações fundamentais e reforçar as relações entre estas operações e suas aplicações nas situações do cotidiano.
  25. 25. Problemas padrões Julgue os itens a seguir: 1. Considere que um pedaço de fio elétrico tenha a seguinte característica: 3 vezes o seu comprimento, em metros, mais 15m é menor que duas vezes o seu comprimento, em metros, mais 27m. Nesse caso, o comprimento desse pedaço de fio elétrico é superior a 14m. Solução: 3x + 15 < 2x + 27 x < 12
  26. 26. Problemas padrões 2. Considere que uma caixa d’água cúbica tem as arestas medindo 2m de comprimento. Então, essa caixa d’água tem capacidade para mais de 7.000 litros de água. Solução: V = a3 = 23 = 8m3 = 8.000dm3 = 8.000 litros
  27. 27. Problemas padrões 3. Considere que 6,2kg de castanhas-do-pará serão acondicionados em embalagens com capacidade para 25kg. Se, em cada embalagem, for colocado o máximo possível de castanhas, então serão necessárias menos de 250 embalagens. Solução: Número mínimo de embalagens:
  28. 28. Fontes de problemas Jornais e revistas Anúncio de venda de um imóvel: a planta do apartamento e sua localização. Escala, área, orientação espacial, perímetro, custo de materiais, confecção de maquetes, sólidos geométricos... Pesquisas de opinião: modos de realização da pesquisa, elaboração das tabelas e dos gráficos, a motivação da pesquisa estatística. Questionar eventuais erros de impressão, de informação, causas e consequências destes.
  29. 29. De volta a um problema de todos ACIDENTES DE TRÂNSITO CUSTAM R$ 5,3 BI POR ANO No Brasil, registra-se um alto número de mortes devido a acidentes de trânsito. Além da dor e do sofrimento das vítimas e seus familiares, a violência no trânsito tem um custo social de R$ 5,3 bilhões por ano, segundo levantamento realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), publicado em 2003. Desse total, 30% são devidos aos gastos com saúde e o restante é devido à previdência, justiça, seguro e infraestrutura.
  30. 30. De volta a um problema de todos De acordo com esse levantamento, de janeiro a julho de 2003, os acidentes de trânsito consumiram entre 30% e 40% do que o Sistema Único de Saúde (SUS) gastou com internações por causas externas, resultantes de acidentes e violência em geral.
  31. 31. De volta a um problema de todos Considerando o texto e o tema por ele abordado, julgue os itens a seguir: 1. Do custo social de 5,3 bilhões por ano, R$ 1,59 bilhão foi gasto com saúde. Solução: Saúde: 30% x 5,3 bilhões = 1,59 bilhão
  32. 32. De volta a um problema de todos 2. Supondo que, em 2004, o gasto com cada um dos itens saúde, justiça, seguro e infraestrutura seja reduzido em 10%, é correto concluir que o gasto total com o conjunto desses itens, em 2004, será superior a 4,8 bilhões. Solução: Redução de 10% de cada componente = redução de 10% do total Gasto com a redução: 90% x 5,3 bilhões = 4,77 bilhões
  33. 33. De volta a um problema de todos 3. Considerando que, de janeiro a julho de 2003, o gasto total do SUS com internações por causas externas, resultantes de acidentes e violência em geral, tenha sido entre R$ 2 bilhões e R$ 2,5 bilhões, é correto concluir que a parte desse gasto que foi consumida pelos acidentes de trânsito foi superior a R$ 500 milhões e inferior a R$ 1,1 bilhão. Solução: Gasto com acidentes: entre 2 bilhões e 2,5 bilhões. Acidentes de trânsito levaram entre 30% e 40% do gasto do SUS: 30% x 2 bilhões = 0,600 bilhão = 600 milhões 40% x 2,5 bilhões = 1 bilhão
  34. 34. De volta a um problema de todos 4. Se os gastos, em reais, com previdência, justiça, seguro e infraestrutura correspondem, respectivamente, a 25%, 20%, 15% e 10% do custo social de 5,3 bilhão, então os gastos com saúde, previdência, justiça, seguro e infraestrutura foram, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão igual a R$ 265 milhões. Solução: Os percentuais de gasto 25%, 20%, 15% e 10% formam uma PA de razão -5% = - 0,05% do gasto total. Razão = -0,05 x 5,3 bilhões = -0,265 bilhão = -265 milhões
  35. 35. Mais um problema de todos FICOU PIOR PARA QUEM BEBE O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos.
  36. 36. Mais um problema de todos * dados de janeiro a junho Veja, ed. 2.072, 6/8/2008, p.51 (com adaptações)
  37. 37. Mais um problema de todos 1. Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número: a) Inferior a 180.000. b) Superior a 180.000 e inferior a 200.000. c) Superior a 200.000 e inferior a 220.000. d) Superior a 220.000 e inferior a 240.000. e) Superior a 240.000.
  38. 38. Mais um problema de todos 2. Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas. Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de CNHs suspensas e o de cassadas é: a) Inferior a 24.000. b) Superior a 24.000 e inferior a 25.000. c) Superior a 25.000 e inferior a 26.000. d) Superior a 26.000 e inferior a 27.000. e) Superior a 27.000.
  39. 39. Fontes de problemas Os alunos se dão conta que nem sempre uma discrepância no resultado é falha deles. Isso lhes dá maior segurança para resolverem problemas em outras situações. O erro passa a ser visto como uma possibilidade e ocorrência natural. Na resolução de problemas não há somente uma solução, pode-se chegar a um determinado lugar por diferentes caminhos; assim os alunos formarão diversificadas opiniões.
  40. 40. Referências DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2 ed. São Paulo: Ática, 1991; _______. Criatividade e resolução na prática educativa Matemática. Rio Claro: Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Tese de Livre Docência, 1988; DEMO, P. Educação e qualidade. Campinas: Papirus, 1996; INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANêSIO TEIXEIRA (2003). Resultados do SAEB 2003. Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), Brasília-DF.
  41. 41. Referências INSTITUTO PAULO MONTENEGRO (2004). Avaliação de habilidades matemáticas. IV Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional (INAF), São Paulo-SP. KLINE, Morris. O fracasso da Matemática moderna. Tradução Leônidas Gontijo de Carvalho. São Paulo: IBRASA, 1976; Letramento em leitura, matemática e ciência. Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA), Ministério da Educação e do Desporto. Brasília-DF.
  42. 42. Referências LOPES, A. J. et al. Resolução de Problemas: observações a partir do desempenho dos alunos. A educação Matemática em revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) Ano II – n. 3 e 2, semestre 94, p. 33-40. MANDEL, Ambrogio Giacomo. A filosofia da Matemática. Lisboa: Edições 70, sem data. MEC (1998) Parâmetros Curriculares Nacionais, terceiro e quarto ciclos: apresentação dos temas transversais – 1998. Secretaria de Educação Fundamental, Ministério da Educação e do Desporto, Brasília, DF.
  43. 43. Deus existe pois a matemática é consistente, e odemônio existe pois não podemos provar isso. ANDRE WEIL

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