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apostila de resistência de mateiras

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  1. 1. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 1 1- TIPOS DE ESFORÇOS Uma força pode ser aplicada num corpo de diferentes maneiras, originando portanto, diversos tipos de solicitações, tais como: tração, compressão, cisalhamento, flexão e torção. Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a solicitação é SIMPLES. No caso de dois ou mais tipos agirem conjuntamente a solicitação é COMPOSTA. TRAÇÃO – solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação da força aplicada. COMPRESSÃO – solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta da força aplicada. CISALHAMENTO – solicitação que tende a deslocar paralelamente, em sentido oposto, duas seções de uma peça (força cortante).
  2. 2. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 2 FLEXÃO – solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça. Ex.: uma barra inicialmente reta que passa a ser uma curva. TORÇÃO – solicitação que tende a girar as secções de uma peça, uma em relação às outras. SIMBOLOGIA DAS TENSÕES
  3. 3. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 3 2- DEFORMAÇÃO A ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua forma, isto é, provoca uma deformação. Com o aumento da intensidade da força, há um aumento da deformação. Existem dois tipos de deformação: Deformação Elástica e Deformação Plástica. Deformação Elástica - deformação transitória, ou seja, o corpo retomará suas dimensões iniciais quando a força for removida. Deformação plástica – deformação permanente, ou seja, o corpo não retornará para suas dimensões iniciais depois de cessado o esforço aplicado. O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite de escoamento. DEFORMAÇÃO UNITÁRIA ou DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA => (AXIAL) Deformação específica (ε ) é a relação entre o alongamento total ( l∆ ou δ ) e o comprimento inicial ( 0l ). 0l a δ ε = ou 0l l∆ =ε ou 0 0 l llf − =ε ( )mm mm [1.1] ε - é adimensional, ou seja, não tem unidade e pode ser expresso em porcentagem multiplicando por 100.
  4. 4. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 4 3- TENSÃO É uma grandeza vetorial que foi introduzida na resistência dos materiais em 1822, por Augustin Louis Cauchy. É definida como sendo a resistência interna de um corpo qualquer, à aplicação de uma força externa por unidade de área, ou seja, é a força por unidade de área. A F =σ       2 cm kgf ou ( )2 mm N = ( )MPa [1.2] onde: σ => Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão simples F => Força aplicada ao corpo (kgf ou N) A => Área da seção transversal do corpo (cm2 ou mm2 )
  5. 5. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 5 4- DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO O ensaio de tração consiste em aplicar num corpo de prova uma força axial com o objetivo de deformá-lo até que se produza sua ruptura. Aumentando-se a tensão, a deformação também vai aumentando e os resultados da experiência podem ser mostrados por um gráfico (σ x ε ), marcando em abscissas (eixo “X”) as deformações e em ordenadas (eixo “Y”) as tensões. GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO (σ xε )
  6. 6. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 6 No gráfico os pontos marcados significam respectivamente: Ponto P – Tensão Limite de Proporcionalidade ( pσ ) Abaixo deste ponto, a tensão é proporcional à deformação específica ( ε ) , portanto a Lei de Hooke, que estabelece que a tensão é proporcional à deformação, vale somente até este ponto. Ponto E – Tensão Limite de Escoamento ( eσ ) Caracteriza o ponto de escoamento, ou seja, a perda da propriedade elástica do material. Nos aços de médio e baixo teor de carbono, ocorre um visível alongamento do corpo-de-prova praticamente sem aumento da tensão. Ponto R – Tensão Limite de Resistência ( rσ ) É a maior tensão que o corpo-de-prova pode suportar antes de se romper. Obs.: conceitualmente pode-se admitir que pσ =  eσ 5- RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO MÓDULO DE ELASTICIDADE A Lei de Hooke (Robert Hooke 1678) estabelece que até a tensão limite de proporcionalidade ( pσ ), ou seja até o ponto P do Diagrama Tensão- Deformação, a tensão em um material é proporcional à deformação nele produzida. Devido a esta condição de proporcionalidade pode se escrever que: ε σ=E ∴ εσ .E= ( )MPa [1.3] onde: σ => Tensão de tração ε => Deformação específica E => Módulo de elasticidade ou módulo de Young ( )MPa  (ver tabela 1) Obs.: Módulo de Elasticidade é a medida de rigidez do material: quanto maior o valor de “E” menor a deformação elástica e mais rígido é o material.
  7. 7. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 7 Substituindo as expressões [1.1] e [1.2] na expressão [1.3] e ordenando, tem- se a equação [1.4] para a deformação total: 0l δ ε = [1.1] A F =σ [1.2] εσ .E= [1.3] AE LF . . =δ ( )mm [1.4] MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL Através de ensaios com corpos-de-prova submetidos a cisalhamento puro por torção, pode-se escrever que: γτ .G= ( )MPa [1.5] onde: τ => Tensão de cisalhamento por torção ( )MPa γ => Deformação angular ou distorção que é a alteração sofrida em um ângulo reto de um elemento ( )rad G => Módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de elasticidade Transversal ( )MPa (ver tabela 1) COEFICIENTE DE POISON As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sofre além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal (afinamento). Poisson demonstrou que estas duas deformações eram proporcionais uma em relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke (até o ponto P do Diagrama Tensão- Deformação).
  8. 8. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 8 Esta constante é dada por: AxialDeformação TansversalDeformação L L =− µ a t ε ε µ =− (adimensional) [1.6] onde: µ => Coeficiente de Poisson (ver tabela 1) As três constantes se relacionam através da expressão: ( )µ+= 1.2 GE ( )MPa [1.7] TABELA 1 – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS Material Módulo de Elasticidade (MPa) “E” Mód. Elasticidade Transversal (MPa) “G” Coeficiente de Poisson “µ” Aços 210000 80000 0,30 Alumínio 72400 26700 0,33 Bronze 113200 42200 0,35 Cobre 121300 45600 0,33 Ferro Fundido Cinzento 102000 42200 0,21 Latão 108000 40800 0,32 Madeira (Pinho) 11200 4200 0,33
  9. 9. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 9 6- DIMENSIONAMENTO (TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA) No dimensionamento dos elementos de máquinas, as peças a serem calculadas deverão suportar as cargas com segurança. Para isto, admitem-se apenas deformações elásticas, portanto, a tensão de trabalho fixada deve ser inferior à tensão de escoamento do material. A esta tensão que oferece a peça uma condição de trabalho sem perigo, chamamos de TENSÃO ADMISSÍVEL. Seu valor é determinado dividindo-se a tensão de resistência do material ( rσ ou rτ ) por um coeficiente “S” chamado de COEFICIENTE DE SEGURANÇA. σ S rσ = ou τ S rτ = ( )MPa [1.8] O coeficiente de segurança é uma relação entre as tensões de resistência e admissível do material. Em princípio, o coeficiente de segurança é determinado levando-se em consideração diversos fatores parciais, tais como, fator em função da homogeneidade do material, fator em função do tipo de carga a ser aplicado, fator em função de causas desconhecidas, etc. Assim, a rigor o coeficiente de segurança é expresso da seguinte forma: S= S1xS2xS3......... Sendo: S - Coeficiente de segurança total S1, S2, S3, ..... – Fatores de segurança parciais Porém, para os nossos cálculos de resistência adotaremos os valores de coeficientes de segurança já consagrados pela prática, baseados na qualidade do material e no tipo de carga aplicada à peça. Os valores desses coeficientes já englobam todos os demais fatores acima referidos.
  10. 10. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 10 Tipos de Solicitações: Basicamente existem 4 tipos de cargas: - Carga Estática Ocorre quando uma peça está sujeita a carga constante, invariável ao decorrer do tempo e aplicada lenta e gradualmente. EX: Vigas - Carga Intermitente Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável de zero a um valor máximo, sempre com a mesma direção e sentido. EX: dentes das engrenagens. - Carga Alternada Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável na mesma direção, mas com sentido contrario. EX: Eixos Rotativos.
  11. 11. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 11 -Carga de Choque Ocorre quando uma peça está sujeita a variação brusca ou a de choque. EX: Componentes de Prensas. Os valores de COEFICIENTE DE SEGURANÇA que serão utilizados estão representados na Tabela 2 abaixo: TABELA 2 COEFICIENTE DE SEGURANÇA (S) * TIPOS DE CARGAS MATERIAL ESTÁTICA INTERMITENTE ALTERNADA CHOQUE Ferro Fundido 6 10 15 20 Aço mole (até SAE-1030) 5 6 8 12 Aço duro 4 6 8 12 Madeira 8 10 15 20 *EM RELAÇÃO À TENSÃO DE RESISTÊNCIA DO MATERIAL As propriedades mecânicas dos materiais que serão utilizadas na resolução dos exercícios propostos estão listadas na tabela 3.
  12. 12. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 12 TABELA 3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS TENSÃO DE RESISTÊNCIA ( )MPa TENSÃO DE ESCOAMENTO NA TRAÇÃO ( )MPa ALONG. ( )% MATERIAL trσ crσ crτ teσ ε OBS.: SAE-1010 350 350 260 130 33 SAE-1015 385 385 290 175 30 SAE-1020 420 420 320 193 26 SAE-1025 465 465 350 210 22 SAE-1030 500 500 375 230 20 SAE-1040 580 580 435 262 18 SAE-1050 650 650 490 360 15 SAE-1070 700 700 525 420 9 Aços carbono, recozidos ou normalizados. SAE-2330 740 740 550 630 20 SAE-2340 700 700 525 485 25 Aços Ni, recozidos ou normalizados. SAE-3120 630 630 475 530 22 SAE-3130 680 680 510 590 20 SAE-3140 750 750 560 650 17 Aços Ni-Cr, recozidos ou normalizados. SAE-4130 690 690 520 575 20 SAE-4140 760 760 570 650 17 Aços Cr-Mo, recozidos ou normalizados. SAE-4320 840 840 630 650 19 SAE-4340 860 860 650 740 15 Aços Ni-Cr-Mo, recozidos ou normalizados SAE-5120 610 610 460 490 23 SAE-5140 740 740 550 620 18 Aços Cr, recozidos ou normalizados SAE-8620 620 620 465 560 18 SAE-8640 750 750 560 630 14 Aços Ni-Cr-Mo, recozidos ou normalizados AISI-301 770 770 580 280 55 AISI-302 630 630 470 248 55 AISI-310 690 690 515 315 45 Aços inoxidáveis austeníticos AISI-410 490 490 370 264 30 Aços inoxidáveis martensítico Fo.Fo. 120 à 240 600 à 850 -- -- -- Ferro fundido Cobre 225 225 168 70 45 Latão 342 342 255 120 57 Bronze 280 280 210 -- 50 Alumínio 180 180 135 70 22
  13. 13. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 13 7- TRAÇÃO E COMPRESSÃO FÓRMULA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO: A F t =σ A F c =σ ( )MPa onde: σ => Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão simples F => Força aplicada ao corpo (N ) A => Área da seção transversal do corpo (mm2 ) CRITÉRIO DE PROJETO: ≤σ σ Sendo: σ S trσ = ou σ S crσ = ( )MPa FÓRMULA DO ALONGAMENTO TOTAL: AE LF . . =δ ( )mm F A F A
  14. 14. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 14 8- CISALHAMENTO PURO Esforço cortante simples desprezando a flexão. Ocorre quando uma peça é submetida a uma força F, atuando transversalmente ao seu eixo, produzindo um cisalhamento (corte). A F C =τ ( )MPa onde: τ => Tensão de cisalhamento F => Força aplicada ao corpo (N ) A => Área da seção transversal do corpo (mm2 ) CRITÉRIO DE PROJETO: ≤cτ cτ Sendo: cτ S rcτ = ( )MPa As tensões de resistência ao cisalhamento ( crτ ), para os materiais em geral, obedecem aproximadamente a seguinte relação com referência à tensão de resistência à tração ( trσ ): =crτ 6,0 a 8,0 trσ
  15. 15. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 15 9- COMPRESSÃO SUPERFICIAL (ESMAGAMENTO) Se a carga “F” atua da maneira que se vê na figura abaixo, as partes “B” são tracionadas contra o rebite, ocasionando uma TENSÃO DE COMPRESSÃO NAS SUPERFÍCIES de contato “M”. F F B B M M D t t Num caso como este, normalmente se usa a área projetada do rebite para o cálculo da compressão na superfície “M”, ao se aplicar a fórmula ( AFc =σ ). Substitui-se então a superfície real que é um semicilindro por um retângulo de dimensões “t” e “D”. t D Assim, a Tensão de Compressão sobre a superfície será obtida por: A Fc =σ ∴ ( )Dt F c . =σ ( )MPa Sendo “t” e “D” as dimensões da área projetada.
  16. 16. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 16 Observando a Figura, pode-se notar que as fibras da superfície do furo e as fibras da superfície do rebite estão comprimidas umas de encontro às outras, mas que a tensão de compressão devido à força “F” não atinge todo o rebite e nem se estende por toda a chapa. A esse tipo de esforço dá-se o nome de COMPRESSÃO SUPERFICIAL. Quando houver mais de um elemento (rebite ou parafuso) utiliza-se: ( )Dtn F c .. =σ ( )MPa Sendo “n” o número de elementos (parafuso ou rebite) em análise.
  17. 17. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 17 10- FLEXÃO Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando perpendicularmente ao seu eixo, produzindo uma flexão na barra. Flexão pura – desprezam-se as forças cortantes. f f f W M =σ ( )MPa F b h a LINHA NEUTRA L onde: fσ => Tensão de flexão fM => Momento fletor (N.mm) VER TABELA 6 fW => Módulo de resistência à flexão (mm3 ) VER TABELA 5 O Módulo de resistência à Flexão é a característica geométrica da seção de uma viga que se opõe à flexão, e é expresso como: a I W f f =
  18. 18. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 18 onde: If => Momento de Inércia à flexão da seção transversal (mm4 ) VER TABELA 5 a => Distância da linha neutra à fibra externa (mm) Exemplo de módulo de resistência à flexão ( fW ): NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia ( fI ) e Módulo de Resistência à Flexão ( fW ) da maioria das seções de uso prático na engenharia estão apresentadas na TABELA 5.
  19. 19. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 19 Tensão de Flexão: Na figura abaixo pode-se observar que uma viga ao se flexionar, as suas fibras situadas acima da LINHA NEUTRA se alongam, enquanto que as fibras inferiores, sofrem um achatamento, denotando uma compressão. Por outro lado, as fibras da camada neutra se mantêm inalteradas. F LINHA NEUTRA + - Dessa forma, deduz-se que o corpo sujeito a um esforço de flexão sofre, simultaneamente, uma tensão de tração e outra de compressão. Consequentemente, para valores de tensões de resistência à flexão dos materiais, tomam-se os mesmos valores de tração ou de compressão, constantes na TABELA 3. Caso os valores das resistências à tração forem diferentes aos da compressão, para flexão toma-se o menor valor. crtrfr ou σσσ = DEFLEXÃO: Para todas as peças submetidas à flexão é necessário verificar a deflexão. A deflexão máxima atuante “f” é calculada utilizando-se as expressões da Tabela 6, e depende do tipo de apoio e carregamento.
  20. 20. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 20 Tensão de cisalhamento na flexão: Além das tensões normais (tração e compressão) que surgem numa seção transversal de uma viga fletida, aparecem também, tensões de cisalhamento ( cτ ). As tensões de cisalhamento não se distribuem uniformemente sobre a seção transversal, quando ela age em conjunto com a Tensão de Flexão. Ela pode ser calculada através da expressão: f s c Ib MQ . . =τ Onde: =sM Momento estático da área. =Q Esforço cortante =fI Momento de inércia à flexão =b Largura da seção resistente DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO RESISTENTE DE UMA BARRA SUJEITA À FLEXÃO: SEÇÃO RETANGULAR A Q máxc . 2 3 =τ ⇒máxcτ 50% maior que cτ simples SEÇÃO CIRCULAR A Q máxc . 3 4 =τ ⇒máxcτ 33% maior que cτ simples VERIFICAÇÃO: ≤máxcτ cτ
  21. 21. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 21 TABELA 5 – MOMENTO DE INÉRCIA À FLEXÃO, MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO E RAIO DE GIRAÇÃO
  22. 22. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 22
  23. 23. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 23 TABELA 6 – FÓRMULAS RELATIVAS À FLEXÃO DE VIGAS DE SEÇÕES CONTÍNUAS
  24. 24. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 24 11- EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
  25. 25. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 25 CONVENÇÃO DE SINAIS MOMENTO NO PONTO FORÇAS NORMAIS OBS.: + + - - +
  26. 26. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 26 APOIOS
  27. 27. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 27 TIPOS DE ESTRUTURAS
  28. 28. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 28 12- DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DISPOSIÇÃO DAS CARGAS CARGA CONCENTRADA: quando a carga age sobre um ponto da viga. CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA: quando a carga se distribui igualmente ao longo da viga CONVENÇÃO DE SINAIS FORÇA NORMAL (N) - COMPRESSÃO +TRAÇÃO
  29. 29. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 29 FORÇA CORTANTE (Q) MOMENTO FLETOR (Mf)
  30. 30. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 30 13- TORÇÃO Ocorre quando uma barra é submetida a uma força P, agindo no plano perpendicular ao eixo da barra, que tende a girar cada seção transversal em relação às demais, produzindo uma torção, que por sua vez causará uma deformação (ϕ ) que chamamos de ângulo de torção. ϕ x Mt F L R LINHA NEUTRA t t t W M =τ ( )MPa onde: tτ => Tensão de torção tM => Momento torçor (N.mm) xFMt .= onde: F => Força aplicada (N) x => Distância entre a força aplicada e o centro de torção da peça (mm)
  31. 31. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 31 tW => Módulo de resistência à torção ou (mm3 ) VER TABELA 8 Módulo de resistência polar O Módulo de resistência polar é a característica geométrica da seção de uma viga que se opõe à torção, e é expresso como: R I W t t = onde: It => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm4 ) VER TABELA 8 R => Distância da linha neutra à fibra externa (mm) Exemplo de módulo de resistência à torção ( tW ): NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia Polar ( tI ) e Módulo de Resistência Polar ( tW ) da maioria das seções de uso prático na engenharia estão apresentadas na TABELA 8. O Momento torçor pode ser obtido também pela seguinte fórmula: n N Mt .9550= ).( mmN onde: N = potência que aciona o eixo (W) n = rpm do eixo
  32. 32. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 32 É importante observar que as tensões de torção no corpo equivalem às tensões de cisalhamento. Portanto, para as tensões de resistência à torção dos diferentes materiais, tomam-se os valores das tensões de resistência ao cisalhamento, TABELA 3, dos respectivos materiais. crtr ττ = ÂNGULO DE TORÇÃO DA SEÇÃO RESISTENTE )(ϕ ϕ x Mt F L O ângulo de torção (ϕ ) poderá ser determinado pela seguinte expressão: t t IG LM .. ..180 π ϕ = )(graus t t IG LM . . =ϕ )(rad onde: ϕ => Ângulo de torção tM => Momento torçor (N.mm) L => Comprimento da peça (mm) G => Módulo de Elasticidade Transversal ( )MPa VER TABELA 1 tI => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm4 ) VER TABELA 8
  33. 33. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 33 DISTORÇÃO )(γ G tτ γ = )(rad onde: γ => Distorção tτ => Tensão de torção ( )MPa  G => Módulo de Elasticidade transversal ( )MPa
  34. 34. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 34 TABELA 8 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR E MÓDULO DE RESISTÊNCIA POLAR
  35. 35. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 35 14- FLAMBAGEM 14.1- DEFINIÇÃO A flambagem consiste na deformação de uma peça, causada por uma força de compressão axial, como ilustrada na figura abaixo. Como conseqüência, a peça pode perder a sua estabilidade (sofrer um colapso) sem que seu material atinja o limite de escoamento. Este colapso sempre ocorrerá na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. I=b.h3 /12 EIXO DE MENOR MOMENTO DE INÉRCIA F L 14.2- CARGA CRÍTICA ( CRF ) Denomina-se carga crítica, a carga axial que faz com que a peça venha a perder a sua estabilidade e comece a flambar. Portanto, se crFF ≤ , não ocorre flambagem, e se crFF ≥ , ocorre flambagem. Euler (1707-1783) foi o primeiro a estudar o fenômeno, e determinou a fórmula da carga crítica nas peças carregadas axialmente. 2 2 .. λ π AE Fcr = ( )N eq. 1 (CARGA CRÍTICA) crF => Carga crítica (N) E => Módulo de elasticidade do material ( MPa ) - Aço= 210.000 MPa A => Área da seção transversal ( mm2 ) λ => Índice de esbeltez (adimensional)
  36. 36. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 36 onde Índice de Esbeltez (λ ) => mede a facilidade ou a dificuldade que um elemento comprimido tem de flambar e é definido como sendo a relação entre o comprimento de flambagem ( fl ) e o raio de giração ( R ) da seção transversal da peça. Uma peça é esbelta quando seu comprimento é grande perante sua seção transversal. Quanto maior o índice de esbeltez maior a probabilidade do elemento flambar. R fl =λ (ÍNDICE DE ESBELTEZ) Onde: fl => Comprimento de flambagem (mm) R => Raio de giração (mm) e A I R MÍNf = (RAIO DE GIRAÇÃO) TABELA 6 Onde: MINfI => Menor momento de inércia da seção (mm4 ) A => Área da seção (mm2 ) Substituindo 2 λ , na equação 1, tem-se: 2 2 2 R fl =λ A I A I R ff =>         = 2 2 f f f f I A A I . 22 2 ll =>=λ
  37. 37. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 37 2 2 2 2 2 2 2 2 .. . ... . .... f f f f f f cr IE A IAE I A AEAE F lll πππ λ π =>=>=>= 2 2 .. f f cr MÍN IE F l π = ( )N eq. 2 (CARGA CRÍTICA) 14.3- COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM ( fl ) Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta diferentes comprimentos de flambagens:
  38. 38. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 38 14.4- CONDIÇÕES PARA USO DA FÓRMULA DE EULER A fórmula de Euler é válida para colunas esbeltas, onde : 105≥λ => Aço-carbono 80≥λ => FoFo 59≥λ => Alumínio 100≥λ => Madeira OBS.: se 40..30 a≤λ não existe flambagem. 14.5- TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM ( flσ ) Tensão Crítica de Flambagem é a tensão que faz com que a peça perca a sua estabilidade e comece a flambar. A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade (abaixo do escoamento) do material. Desta forma, observa- se que o material deverá estar sempre na região de deformação elástica. A Fcr fl =σ => 2 2 . λ π σ E fl = ( )MPa (EQUAÇÃO DE EULER) CRITÉRIO alidadeproporcionfl σσ ≤ OBS.: Para que em uma barra não ocorra a flambagem, o valor de tensão desenvolvido pela força de compressão atuante deve ser menor que o da Tensão Admissível Crítica de Flambagem ( flσ ), isto é: flc A F σσ ≤= onde S fl fl σ σ =
  39. 39. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 39 DIMENSIONAMENTO - NORMA ABNT NB-14 - AÇOS TABELA 1 – Expressões para aços, segundo ABNT NB-14 Índice (λ ) Material flσ (MPa) 105<λ Aço 2 .0046,0240 λσ −=fl 105≥λ (Euler – def. elástica) Aço 2 2 . λ π σ E fl = - DIMENSIONAMENTO ESPECIAL – FLAMBAGEM NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de proporcionalidade do material, a fórmula de Euler (colunas delgadas) perde a sua validade. Para estes casos, utiliza-se o estudo de Tetmajer (colunas curtas) que indica: TABELA 2 – Expressões de Tetmajer para colunas curtas Índice (λ ) Material flσ (MPa) 100<λ Madeira (pinho) λσ .194,03,29 −=fl 80<λ Fofo cinzento 2 .053,0.12776 λλσ +−=fl 89<λ Aço duro λσ .62,0335 −=fl
  40. 40. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 40 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS FIGURA FÓRMULA h b hbA .= a a 2 aA = D 4 . 2 D A π = d D ( ) 4 . 22 dD A − = π
  41. 41. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Prof. Luiz Gustavo 41 ALFABETO GREGO

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