Aula 02 torcao

Universidade Federal do Pará - UFPA
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
Prof.: Bernardo Moraes Neto 1/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02
5. Torção:
● A Torção diz respeito à rotação que sofre o eixo longitudinal de uma peça retilínea
quando esta é solicitada por momentos/torques.
● O sentido do momento de torção é indicado pela regra da mão direita.
5.1. Introdução:
Nota: Unidade de momento: [T]=[F]·[d].

T
n
n
5. Torção:
● Torção Pura: Este tipo de torção ocorre em peças que apresentam seção transversal
idêntica ao longo do seu eixo longitudinal e que estão sujeitas ao mesmo
momento/torque interno.
5.1. Introdução:
T
n
n
a) Seção circular b) Seção retangular

T
n
5. Torção:
● Hipóteses adotadas na teoria de torção pura:
a) As deduções de torção pura aplicam-se às barras prismáticas com seção transversal
circular (cheia ou vazada).
b) Os materiais que constituem as barras obedecem a Lei de Hooke;
5.1. Introdução:
c) As seções transversais das barras torcidas permanecem
inalteradas ao longo do seu eixo longitudinal, ou seja, todas as seções
transversais permanecem planas e circulares e todos os raios
permanecem retos;
d) O ângulo de rotação entre as extremidades da barra é
pequeno. Desta forma, nem o comprimento e nem o raio da seção
transversal da peça variam;
e) As formulações das tensões são válidas apenas para seções
transversais distantes de concentrações de tensões (regiões com furos, variação
abrupta da seção, pontos de aplicação das cargas, etc).

T
b
b'
dx
d

T
a
c
d
d'

b
d
a
c
b'
d'
T
n
n'
Lx(x)


dx
5. Torção:
● Admitindo que a extremidade esquerda da barra esteja fixa e que a extremidade direita
rotaciona de um pequeno ângulo de torção/rotação , tem-se:
5.2. Deformações de torção de uma barra circular:
Nota 1: Se todas as seções transversais
apresentam o mesmo raio e o mesmo torque T, o
ângulo (x) varia linearmente ao longo da peça.
Nota 2: O elemento
torcido encontra-se em
cisalhamento puro.

T
b
b'
dx
d

T
a
c
d
d'b
b'
d
r
5. Torção:
● Deformação (distorção) de cisalhamento : É a diminuição do ângulo no ponto a, ou
seja, do ângulo bac.

ab
'bb

dx
dr 



● Razão/Ângulo de torção por unidade
de comprimento :

dx
d

  r
L
r

 







Seção transversal
Nota: As equações de  são válidas apenas na
superfície externa da barra.



() T
b
b'
dx
d

T
a
5. Torção:
  

 
r
   
Nota: As equações de deformações são baseadas
apenas em conceitos geométricos. Assim, estas são
válidas para qualquer material, para comportamento
elástico ou inelástico e linear ou não linear.
● As deformações de cisalhamento no interior da barra () podem ser encontrados de
forma análoga, uma vez que os raios nas seções transversais permanecem retos e não
distorcidos durante a rotação. Sendo assim, têm-se:


b
d
a
c
b'
d'




 ()
r
Seção transversalElemento abcdT
n
m'
m
n'
a
b
c
d
a
c
b'
d'

5. Torção:
5.3. Tensões de cisalhamento de uma barra circular torcida:
  G
  

 
r
G
● Aplicando a Lei de Hooke em cisalhamento (material
elástico linear), obtêm-se:
  rG (superfície externa da barra)
(superfície interna
da barra)

0 0
0
0
x
y
45°




xy
0x
45°




xy
5. Torção:
5.3. Tensões de cisalhamento de uma barra circular torcida:
Nota: No caso de cisalhamento puro 2D, a análise das tensões e deformações mostra:


 ()
r
Seção transversal
TT
1)
2)

5. Torção:
5.4. Relação entre as tensões e o torque:
  dAF  
● Força de cisalhamento F e o momento M de F:

 ()
r
dA
F
  dAM  
T

A
MT 
 dA
r
M  2



● Torque T (fórmula de torção):

PI
r
T 




 24
/rI
:Sendo
P 
ou
PI
rT 

Nota 1: IP é o momento de inércia polar da seção circular;
Nota 2: A tensão de cisalhamento no interior da barra:
    PI/Tr/  

y
x
C
dA
x
y

5. Torção:
5.4. Relação entre as tensões e o torque:
 
A
P dAI 2

● Momento de inércia polar IP de seções circulares:
 222
yx yxP III 
y
x
C

d
rdA
 ddA  2
 A
P dAI 2

2
4
r
IP




5. Torção:
5.5. Relação entre o ângulo de torção e o torque:
● Ângulo de torção :
● Fórmula de torção:



 24
/rI
:Sendo
P PI
rT 
 Nota 1: A quantidade G∙IP/L, rigidez de torção linear kT, é
o torque necessário para produzir uma unidade de ângulo
de rotação. A flexibilidade de torção, fT=L/G∙IP, é o ângulo
de rotação produzido por uma unidade de torque;
Nota 2: O valor do módulo de elasticidade de
cisalhamento G de um material pode ser estabelecido
através de ensaios de torção utilizando-se a seguinte
expressão:
  rG
● Relação entre  e T:
PIG
T

 ou
PIG
LT



PIG/LT 

5. Torção:
5.6. Tubos circulares:
● Relação entre as tensões e o torque:
r1
r2
(r1)
(r2)
 
PI
rT
r 2
2


● Relação entre o ângulo de torção e o torque:
PIG
T

 ou
PIG
LT



● Tensões de cisalhamento:
   2
2
r
r
G 

     22 rGr ou
 


 2
4
1
4
2 /rrI
:Sendo
P 

T
r
5.7. Exemplo 1: Aplicação didática.
● A barra de aço sólida é submetida à torção T, determine: a) A tensão de cisalhamento
máxima e o ângulo de torção entre as extremidades para um torque T=340 kN·mm e b) O
torque T máximo permitido se a tensão de cisalhamento máxima é 40 MPa e o ângulo de
torção admissível é 2,5º.
Dados: r=20 mm; L=1400 mm e G=80 GPa.
a.1) A tensão de cisalhamento máxima :



PI
rT
 MPa27
a.2) O ângulo de torção :




PIG
LT
  3610240 ,rad,
b) O torque T máximo:





 




P
adm
P
admmax
I
rT
,
IG
LT
minT 

mmkNTmax  503

● Uma barra de aço deve transmitir um torque de 1200 kN∙mm sem exceder a adm=40 MPa
e adm=0,75∙10-3 o/mm. Dado G=78 GPa, determinar: a) O diâmetro ds necessário quando
utiliza-se uma barra sólida, b) O diâmetro externo dt necessário quando utiliza-se um tubo
de espessura t=dt/10 e c) As razões entre os diâmetros dt/ds e os pesos Pt/Ps.
a) O diâmetro ds: O valor de ds será determinado
através de IP, sendo assim:















,P
adm
,P
,s
adms
IG
T
,
I
rT
maxd
mm,rI ,s,P 027 
mm,rI ,s,P 529 
mmmmrd ,ss 60592  
 ()
r

b) O diâmetro dt: O valor de dt será determinado
através de IP, sendo assim:















,P
adm
,P
,t,
admt
IG
T
,
I
rT
maxd 2
mm,rI ,t,,P 0322  
mm,rI ,t,,P 5332  
mmrd ,t,t, 672 22  
r1
r2
(r1)
(r2)
c) As razões dt/ds e os pesos Pt/Ps:
121
60
672
,
d
d
s
t,

  450
60
678067
2
22
2
2
1
2
222
,
,
d
dd
A
A
P
P
s
t,t,
s
t,
s
t,






● Duas barras, uma sólida e outra vazada, são construídas do mesmo material, têm o
mesmo comprimento e o mesmo raio externo r. Assumindo que as barras são submetidas
ao mesmo torque, determine: a) A razão entre as tensões de cisalhamento, os ângulos de
torção e os pesos da barra vazada e sólida, b) A razão de peso-resistência para ambas as
barras.
a) A razão entre as tensões de cisalhamento, os ângulos de torção e os pesos:
0,6r
rr
PI
rT 

PIG
LT



4
4
571
2
r,
r
I s,P 



   4
44
371
2
60
r,
r,r
I v,P 










 151,
I
I
v,P
s,P
s
v
s
v





  640
60
2
22
,
r
r,r
A
A
P
P
s
v
s
v




b) A razão peso-resistência: Para uma barra em torção esta razão é definida como o torque admissível
dividido pelo peso. Sendo assim, têm-se:
0,6r
rr
3
371 r,
r
I
T adm
v,Padm
v 

 







 3
571 r,
r
I
T adm
s,Padm
s 

 

   222
260 rLLr,rPv  
22
3 rLLrPs  









L
r,
P
T adm
v
v




70
L
r,
P
T adm
s
s




50
 
 
41,
P/T
P/T
ss
vv


T4
T3
T2
T1
T
T
T(x)
a) b) c)
5. Torção:
5.10. Torção não uniforme:
● Na torção não uniforme a barra não precisa ser prismática e os torques podem ser
aplicados em qualquer seção transversal ao longo do eixo da barra.
● Barras sujeitas a torção não uniforme podem ser analisadas pela teoria de torção pura,
mediante análises apropriadas.
● Casos de torção não uniforme:

T4
T3
T2
T1 LAB
LBC
LCD
A
B
C
D
5. Torção:
5.11. Barra com segmentos prismáticos e torque constante entre
segmentos:
● Estrutura: A barra apresenta diâmetros diferentes e está carregada em A, B, C e D.
● Análise: Divide-se a barra em segmentos prismáticos e sujeitos a torques constantes.
Desta forma, obtêm-se os trechos AB, BC e CD.

5. Torção:
segmentos:
● Torque interno em cada segmento: Aplicam-se as equações de equilíbrio.
Nota: Cada torque é constante ao
longo do comprimento de seu
segmento.
T4
T3
T2
T1
A
B
C
D
A
C
T3
T2
T1
B
TCD
A
T1
TAB
A
T2
T1
B
TBC
321 TTTTCD  21 TTTBC  1TTAB 

A
B
C
T3
T2
T1
A
T2
T1
B
TBC
A
T2
T1
B
TBC
a) Positivo b) Negativo
5. Torção:
segmentos:
● Convenção de sinal para os torques internos:

A
B
C
T3
T2
T1
A
T2
T1
B
TBC

r
5. Torção:
segmentos:
● Tensão de cisalhamento máxima : A tensão de cisalhamento é obtida aplicando-se a
fórmula de torção em cada segmento da barra.




 2
4
/rI
:Sendo
BCBC,P BC,P
BCBC
BC
I
rT 
 Nota: A tensão máxima da barra é a
máxima tensão obtida nos segmentos.

5. Torção:
segmentos:
● Ângulo de torção : O ângulo de torção para cada segmento é calculado por:
● O ângulo de torção total de uma extremidade da barra em relação à outra é determinado
por:
i,Pi
ii
i
IG
LT






 .nalisadoaegmentosodãodentificaçiAi
:Sendo
 











n
i i,Pi
ii
n
i
i
IG
LT
...
11
321 



 .segmentosdetotalnúmeroOn
:Sendo

● O eixo apresentado é comandado pela engrenagem C, a qual aplica um torque T2=450
N·m, e gira livremente nos mancais A e E. Sabendo que as engrenagens B e D são giradas
pelo eixo e têm torque T1=275 N·m e T3= 175 N·m, determinar: a) A tensão máxima de
cisalhamento em cada parte do eixo e b) O ângulo de torção entre as engrenagens B e D.
A
B
C
D
E
Dados:d=30 mm; LBC=500 mm; LCD=400 mm e G=80 GPa.
B
D
C
T3
T1
T2
LBC
LCD

a.1) Tensão máxima no segmento CD:
B
D
C
T3
T1
T2
LBC
LCD
 27545012 TTTCD mNTCD 175
 




 4
3
10957
23010175
,
/
I
rT
CD,P
CDCD
CD MPaCD 33







 44
4
10957
2
mm,
r
I
:Sendo
CD
CD,P

TCD
B
C
T1
T2

a.2) Tensão máxima no segmento BC:
B
D
C
T3
T1
T2
LBC
LCD
 1TTBC mNTBC  275
 




 4
3
10957
23010275
,
/
I
rT
BC,P
BCBC
BC MPaBC 52







 44
4
10957
2
mm,
r
I
:Sendo
BC
BC,P

B
T1
TBC

TBC
B
C
BC
TBC LBC
TCD
C
D
CD
TCD LCD
b) O ângulo de torção entre as engrenagens B e D:
CDBCBD  
  





 43
3
109571080
50010275
,IG
LT
BC,PBC
BCBC
BC  24102160 ,rad,BC






 43
3
109571080
40010175
,IG
LT
CD,PCD
CDCD
CD  6300110 ,rad,CD
 630241 ,,BD  610,BD
Nota: O sinal negativo de 
indica que a engrenagem D
rotaciona no sentido oposto
(em relação à engrenagem
B) ao indicado na figura.

T
T
B
A
Lx
dx
5. Torção:
5.13. Barra com seção transversal variável e torque constante:
● Tensão de cisalhamento máxima : Uma vez que o torque é constante, a tensão de
cisalhamento máxima ocorre na seção transversal de menor raio.



PI
rT
 3
2
r
T





● Ângulo de torção : O ângulo de torção é calculado por:




)x(IG
dxT
d
P
  
L
d
0

 


L
P
dx
)x(IG
T
0

Nota: As fórmulas da tensão de
cisalhamento e do ângulo de torção são
aplicáveis satisfatoriamente as seções
transversais que variam gradualmente.

x dx
L
T T
rA
rB
A B
r(x)
● Sabendo que uma barra com seção transversal variável é torcida, determinar: a) A tensão
de cisalhamento máxima  e b) A equação que descreve o ângulo de torção .
T
T
B
A
Lx
dx
a) A tensão de cisalhamento máxima :
A,P
A
I
rT 








2
4
A
A,P
r
I
:Sendo

Nota: Sendo rB>rA.

x dx
L
T T
rA
rB
A B
r(x)
b) A equação que descreve o ângulo de torção :
 


 
L
P
dx
xIG
T
0

   
2
4
xr
xIP



   






L
xrr
rxr
:Sendo
AB
A
   




 







 
L
AB
A
L
L
xrr
r
dx
G
T
dx
xrG
T
0
4
0
4
22




   




 








L
AB
A
AB
L
xrr
r
L
rrG
T
0
3
3
12


  












 33
111
3
2
BAAB rrrrG
TL



B
A
Lx
dx
t(x)
TB
TA
A
x
t(x) T(x)
TA
5. Torção:
5.15. Barra com seção transversal e torque variável:
● Tensão de cisalhamento máxima : Conhecendo os
valores de T(x) e de IP(x), a tensão de cisalhamento
máxima é determinada através da fórmula de torção,
conforme segue:
     
 xI
xrxT
x
P


● Ângulo de torção : O ângulo de torção é calculado por:
  



)x(IG
dxxT
d
P
  
L
d
0

 
 


L
P
dx
)x(IG
xT
0

Nota: As fórmulas da tensão de cisalhamento e do ângulo de torção são
aplicáveis satisfatoriamente as seções transversais que variam
gradualmente.
t(x): Torque por unidade
de comprimento

L
B
A
tAL/2
tA
x
t(x)
T(x)
L
B
A
t(x)
tA
● Uma barra é torcida por um torque que varia linearmente. Determinar: a) A tensão de
cisalhamento máxima  e b) O ângulo de torção  entre as extremidades da barra.
a.1) O torque por unidade de comprimento t(x):
  






L
x
txt A 1
t(x): Torque por unidade
de comprimento
L
x L-x
tA
t(x)
A B

L
B
A
tAL/2
tA
x
t(x)
T(x)
a.2) O torque interno T(x):
L
x L-x
tA
t(x)
A B
    
22
x
xtt
Lt
xT A
A



  






L
x
xL
t
xT A
2
2
2
 











L
x
txt
:Sendo
A 1
T(x)
x
L
A B
tAL/2

a.3) A tensão de cisalhamento máxima :
 


















2
2
2
4
2
r
I
L
x
xL
t
xT
:Sendo
P
A

    


PI
rxT
x   








L
x
xL
r
t
x A
2
3
2


  3
0
r
Lt
x A





b) O ângulo de torção  entre as extremidades da barra:
  

 
L
P
dx
IG
xT
0
 4
3
2
rG
LtA






5. Torção:
5.17. Estruturas torcidas estaticamente indeterminadas:
● A Estrutura: Quando os torques internos e as reações podem ser obtidas a partir das
equações de equilíbrio, trata-se de uma estrutura estaticamente determinada. Entretanto, se
restrições adicionais (redundantes) são adicionadas à estrutura, as equações de equilíbrio
não serão suficientes para determinar os torques, tratando-se assim de uma estrutura
estaticamente indeterminada.
● A análise: A análise deste tipo de estrutura exige a consideração dos deslocamentos
rotacionais para obterem-se equações de compatibilidade que suplementem as equações
de equilíbrio.

L
B
A
T
A
● Uma estrutura é formada por uma barra sólida (barra interna) e um tubo (barra externa),
constituindo assim uma barra composta. Estas barras, interna e externa, são unidas apenas
em suas extremidades (pontos A e B) e então carregadas por um torque T na extremidade
B. Determinar: a) os torques que se desenvolvem na barra sólida TS e no tubo TT.
TS TTT 
Seção transversal
rS
rT
a.1) Aplicação da equação de equilíbrio:
B
A
TT
B
TS
A


Seção transversal
a.2) Aplicação da equação de compatibilidade:
B
A
T
A









PIG
LT
:Sendo
TS  
T,PT
T
S,PS
S
IG
T
IG
T



a.3) Os torques TS e TT:









T,PT
T
S,PS
S
TS
IG
T
IG
T
TTT
T,PTS,PS
S,PS
S
IGIG
IG
TT



T,PTS,PS
T,PT
T
IGIG
IG
TT




LA
C
A
B
LB
TC
● A estrutura apresentada é engastada nos extremos (pontos A e B) e solicitada no ponto
C pelo torque TC. Esta estrutura é formada por dois tipos de barras, com raios rA e rB,
ambas do mesmo material. Sendo assim, determinar: a) As reações de apoio TA e TB, b)
As tensões de cisalhamento máximas nas duas barras AC e CB e c) O ângulo de rotação
no ponto C C.
BAC TTT 
a) As reações de apoio TA e TB:
C
A
B
TC
TB
TA
)equilíbriodeEquação(

a) As reações de apoio TA e TB:
C
A
B
TC
TB
TBTC   )dadeompatibilicdeEquação(









B,P
BB
A,P
AB
A,P
AC
IG
LT
IG
LT
IG
LT






A,P
AC
B,P
BB
A,P
AB
I
LT
I
LT
I
LT
Seção transversal no ponto B
TC TB
TC TBB B











A,PBB,PA
B,PA
CB
ILIL
IL
TT
 BAC TTT











A,PBB,PA
A,PB
CA
ILIL
IL
TT

C
A
TA LA
C
C
B
TB
LB
C
C
A
B
TC
TB
TA
b) As tensões de cisalhamento máximas nas duas barras AC e CB:
A,P
AA
AC
I
rT 










22
44
B
B,P
A
A,P
r
I;
r
I
:Sendo

B,P
BB
CB
I
rT 

c) O ângulo de rotação no ponto C C:
B,P
BB
A,P
AA
C
IG
LT
IG
LT







T
L
t
T
5. Torção:
5.20. Tubo de parede fina:
● A Estrutura: Os tubos de paredes finas, com seções transversais circulares ou não, são
frequentemente utilizados em estruturas leves.
● Análise: Admite-se um tubo cilíndrico de
parede fina com seção transversal
arbitraria e sujeito ao torque T nas
extremidades (torção pura). A espessura t
do tubo pode variar ao longo da seção
transversal, porém, é considerada
pequena em relação à largura total do
tubo.

T
T
x
t
L
dx
a
d b
c
T
T
dxa
d b
c

5. Torção:
● Tensões de cisalhamento: As tensões de cisalhamento  que agem na seção do tubo
podem ser visualizadas quando se consideram duas seções transversais distantes dx uma
da outra. Estas tensões, que atuam no plano da seção, apesar de consideradas uniformes
ao longo da espessura da parede, podem variar ao longo do seu contorno.

T
T
dxa
d b
c

5. Torção:
● Tensões de cisalhamento: A magnitude das tensões de cisalhamento  é obtida a partir
do equilíbrio do elemento abcd. Na face bc do elemento atuam as tensões , as quais
assumisse variar de b a c do ponto b ao ponto c, respectivamente. Para que o corpo esteja
em equilíbrio é necessário que nas faces ab e cd atuem, respectivamente, as tensões b e
c, as quais produziram as forças Fb e Fc, conforme segue:
dxtF bbb  dxtF ccc 
a
d b
c b
c
b
c
c
b
a
d b
c
Fb
Fc
F1
F1
Do equilíbrio, tem-se que Fb=Fc,
assim:
ccbb tt  

T
T
dxa
d b
c

5. Torção:
● Fluxo de cisalhamento: Visto que a análise do elemento abcd é genérica, conclui-se que
o produto t é o mesmo para qualquer ponto da seção transversal. Este produto é definido
como fluxo de cisalhamento f.
tetanconstf 
Nota 1: O produto t mostra que a maior tensão de
cisalhamento ocorre no menor valor de t, ou vice-versa.
Nota 2: O fluxo de cisalhamento é a força de cisalhamento por
unidade de comprimento ao longo da seção transversal.

s
ds
O
t
fds
r
Am
5. Torção:
● Fórmula de torção para tubos de paredes finas: Para relacionar o fluxo de
cisalhamento f, ou a tensão , ao valor do torque T aplicado ao tubo, analisa-se a seção
transversal do tubo.
● A força de cisalhamento atuando no elemento de área:
dsfdF 
● O valor do torque T:
 dsfrdT  
mL
dsrfT
0
mAfT  2
● A fórmula de torção:
mA
T
f


2 mAt
T


2

Linha mediana ou de centro

s
ds
O
t
fds
r
Am
O
Am
r
t
O
b
ht1 t1
t2
t2
Am
5. Torção:
● Aplicação do conceito Am:
2
rAm   hbAm 
2
22 rt
T
At
T
m 





hbt
T
;
hbt
T
At
T
horizvert
m 





21 222


O
T

5. Torção:
● Ângulo de torção: O ângulo de torção  para um tubo de parede fina com seção
transversal arbitrária pode ser determinado equacionando o trabalho W realizado pelo
torque aplicado à energia de deformação U do tubo. Sendo assim, tem-se:
UW 
● O trabalho W realizado pelo torque:
2


T
W
JG
LTT





22
2

JG
LT



 




 
mL
m
t
ds
/AtorçãodetetanconsJ
:Sendo
0
2
4

T
T
dxa
d b
c
a
d b
c
dx
t
ds
5. Torção:
● A energia de deformação U do tubo: O valor de U
pode ser determinado encontrando-se a energia de
deformação de um elemento abcd e então integrando
ao longo do volume da barra, ou seja, a energia de
deformação total do elemento é igual à densidade de
energia de deformação vezes o volume do elemento,
conforme segue: .
dxdstVabcd 
● O volume do elemento abcd:
abcdVudU 




 2
htV
:Sendo
abcd








(/2)-
V
V
V
V


t
h
h
5. Torção:
2
htVabcd 
● A densidade de energia de deformação u do elemento abcd: Da análise de um
elemento em estado de cisalhamento puro, tem-se:
thV 
   h/tg 
22
2
 



ht
U
V
U



2

u
V
U
abcd 


  G
:Sendo
G
u


2
2

  h
O
V


T
T
dxa
d b
c
a
d b
c
dx
t
ds
5. Torção:
● A energia de deformação U do tubo: Conforme dito, a energia de deformação total do
elemento é igual à uVabcd. Sendo assim, tem-se:
dxdst
G
VudU abcd 


2
2




 tf
:Sendo



 dx
t
ds
G
f
dU
2
2


 
LL
dx
t
ds
G
f
dUU
m
00
2
2 

 mL
t
ds
G
Lf
U
0
2
2  


 mA/Tf
:Sendo
2



 
mL
m
t
ds
AG
LT
U
0
2
2
8 JG
LT
U



2
2
 




 
mL
m
t
ds
/AJ
:Sendo
0
2
4

O
Am
r
t
t1
5. Torção:
● Aplicação do conceito J: Tubo circular.
2
rAm   rLm  2


 mL
m
t
ds
A
J
0
2
4
  





 t
r
r
t
ds
A
J mL
m


2
44
22
0
2
trJ  3
2 

O
Am
r
t
O
b
ht1 t1
t2
t2
Am
5. Torção:
● Aplicação do conceito J: Tubo retangular.
hbAm 


 mL
m
t
ds
A
J
0
2
4
  











 21
2
0
2
2
44
t
b
t
h
hb
t
ds
A
J mL
m
21
21
22
2
thtb
tthb
J









  210 20 10
222
t
b
t
h
t
ds
t
ds
t
ds
bhLm

● Dado um tubo circular, determinar a tensão máxima de cisalhamento segundo: a) Teoria
de torção, b) Teoria aproximada para tubo de parede fina e c) Relação entre as teorias.
P
ext
I
rT 

a) Teoria de torção:
r
t
 
PI
t,rT 

50

 


2
44
intext
P
rr
I








t,rr
t,rr
:Sendo
int
ext
50
50
    
2
5050
44
t,rt,r
IP



 
    441
5050
502
t,rt,r
t,rT






0,8
0,85
0,9
0,95
1
0 20 40 60
t
2/1
t
r
mAt
T


2

b) Teoria aproximada para tubo de parede fina:
r
t


 2
rA
:Sendo
m 
22
2 rt
T




c) Relação entre as teorias: Admitindo torque unitário, obtém-se:
mmt
mmr
20
100


mmt
mmr
40
100


mmt
mmr
60
100


T=Unitário

● Um tubo circular e outro retangular, além de serem do mesmo material, também
apresentam a mesma espessura, comprimento e seção transversal. Sabendo que os tubos
são submetidos ao mesmo torque, determinar a razão entre: a) as tensões de
cisalhamento c/r e b) os ângulos de torção c/r.
mAt
T


2

a) As tensões de cisalhamento c/r:
r
t
b
t





 2
22
2
2
4 r
r
r
b
A
A
c,m
r,m
r
c




790,
r
c



        
2222
5050 t,rt,rtbtbAA cr  2/rb 

b) os ângulos de torção c/r:
r
t
b
t
JG
LT
















3
3
42
4
0
2
0
2
2
2
4
4
4
4
4
r
b
r
tr
b
tb
t
ds
A
t
ds
A
J
J
m
m
L
c
c,m
L
r
r,m
c
r
r
c




620,
r
c




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