1) O documento discute como encontrar o primeiro múltiplo de um número k que seja maior que um número dado D. 2) Também aborda como encontrar o menor múltiplo de k que seja menor que um número dado X. 3) Explica como calcular o número de termos de uma progressão aritmética entre dois números X e Y.

1. Múltiplos
Consideremos os múltiplos de 𝑘 ∈ 𝑁. E um número inteiro D
positivo fixado.
Questão1: Qual o primeiro múltiplo k que é maior que D?
Estamos admitindo que D não seja múltiplo de k.
Notamos que 𝑘𝑞 é múltiplo de k, claramente e 𝑘𝑞 < 𝐷.
Afirmação: 𝐷 < 𝑘( 𝑞 + 1) = 𝑘𝑞 + 𝑘
Prova da Afirmação: 𝐷 = 𝑘𝑞 + 𝑟. Como 𝑟 < 𝑘, segue
imediatamente que 𝐷 = 𝑘𝑞 + 𝑟 < 𝑘𝑞 + 𝑘 = 𝑘(𝑞 + 1), o próximo
múltiplo é o primeiro que é maior que D.
Obs.: No programa em C, Foi usado o seguinte formato
𝐷 − 𝑟 + 𝑘 = 𝑘𝑞 + 𝑟 − 𝑟 + 𝑘 = 𝑘𝑞 + 𝑘 = 𝑘(𝑞 + 1)
Questão2: O menor múltiplo de k que seja menor que um número
inteiro dado X, admita que X não seja múltiplo de k.
Afirmação: Este número é ( 𝑋 − 1) − ( 𝑋 − 1)%𝑘.
Prova da afirmação: Dividindo ( 𝑋 − 1) por k temos

2. ( 𝑋 − 1) = 𝑘. 𝑞′
+ 𝑟′
com 0 < 𝑟′
< 𝑘 na notação de módulo
podemos escrever 𝑞′
= ( 𝑋 − 1)%𝑘.
( 𝑋 − 1) − [( 𝑋 − 1) − 𝑘𝑞′] = 𝑘𝑞′
isto mostra que a expressão é
um número múltiplo de k. Em vermelho é o resto.
( 𝑋 − 1) − [( 𝑋 − 1) − 𝑘𝑞′] < 𝑋 − 1 < 𝑋
Isto implica que 𝑘𝑞′
< 𝑋.
Falta que o próximo múltiplo de k é maior que X. O próximo é
𝑘𝑞′
+ 𝑘
Afirmação:
𝑋 < 𝑘𝑞′
+ 𝑘
Entre X e X-1 não existe número inteiro, em particular não existe
múltiplos de k. É claro que 𝑘𝑞′
+ 𝑘 é maior 𝑋 − 1, pois
𝑟′
< 𝑘 → 𝑘𝑞′
+ 𝑟′
< 𝑘𝑞′
+ 𝑘 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋 − 1 = 𝑘𝑞′
+ 𝑟′
segue que
𝑋 − 1 < 𝑘𝑞′
+ 𝑘
E por consequência
𝑋 < 𝑘𝑞′
+ 𝑘
Raciocinando com PA
Os múltiplos de k são representados no conjuntos
𝑀 = {𝑘, 2𝑘, … , 𝑝𝑘, … }
O n-ésimo termo de uma PA. 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1). 𝑟, digamos que
que X e Y são tais que 𝑋 < 𝑎1 < ⋯ < 𝑎 𝑛 < 𝑌 o número de
termos da PA é 𝑛 =
𝑎 𝑛−𝑎1
𝑟
+ 1.

3. 𝑛 =
𝑎 𝑛−𝑎1
𝑟
+ 1.
Na código 𝑛 =
(𝑎−𝑎%𝑘)−(𝑥−𝑥%𝑘+𝑘)
𝑘
+ 1.
𝑛 =
𝑎−𝑎%𝑘−𝑥+𝑥%𝑘
𝑘
−
𝑘
𝑘
+ 1 𝑛 =
𝑎−𝑎%𝑘−𝑥−𝑥%𝑘
𝑘