Múltiplos

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múltiplos de um número

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Múltiplos

  1. 1. Múltiplos Consideremos os múltiplos de 𝑘 ∈ 𝑁. E um número inteiro D positivo fixado. Questão1: Qual o primeiro múltiplo k que é maior que D? Estamos admitindo que D não seja múltiplo de k. Notamos que 𝑘𝑞 é múltiplo de k, claramente e 𝑘𝑞 < 𝐷. Afirmação: 𝐷 < 𝑘( 𝑞 + 1) = 𝑘𝑞 + 𝑘 Prova da Afirmação: 𝐷 = 𝑘𝑞 + 𝑟. Como 𝑟 < 𝑘, segue imediatamente que 𝐷 = 𝑘𝑞 + 𝑟 < 𝑘𝑞 + 𝑘 = 𝑘(𝑞 + 1), o próximo múltiplo é o primeiro que é maior que D. Obs.: No programa em C, Foi usado o seguinte formato 𝐷 − 𝑟 + 𝑘 = 𝑘𝑞 + 𝑟 − 𝑟 + 𝑘 = 𝑘𝑞 + 𝑘 = 𝑘(𝑞 + 1) Questão2: O menor múltiplo de k que seja menor que um número inteiro dado X, admita que X não seja múltiplo de k. Afirmação: Este número é ( 𝑋 − 1) − ( 𝑋 − 1)%𝑘. Prova da afirmação: Dividindo ( 𝑋 − 1) por k temos
  2. 2. ( 𝑋 − 1) = 𝑘. 𝑞′ + 𝑟′ com 0 < 𝑟′ < 𝑘 na notação de módulo podemos escrever 𝑞′ = ( 𝑋 − 1)%𝑘. ( 𝑋 − 1) − [( 𝑋 − 1) − 𝑘𝑞′] = 𝑘𝑞′ isto mostra que a expressão é um número múltiplo de k. Em vermelho é o resto. ( 𝑋 − 1) − [( 𝑋 − 1) − 𝑘𝑞′] < 𝑋 − 1 < 𝑋 Isto implica que 𝑘𝑞′ < 𝑋. Falta que o próximo múltiplo de k é maior que X. O próximo é 𝑘𝑞′ + 𝑘 Afirmação: 𝑋 < 𝑘𝑞′ + 𝑘 Entre X e X-1 não existe número inteiro, em particular não existe múltiplos de k. É claro que 𝑘𝑞′ + 𝑘 é maior 𝑋 − 1, pois 𝑟′ < 𝑘 → 𝑘𝑞′ + 𝑟′ < 𝑘𝑞′ + 𝑘 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋 − 1 = 𝑘𝑞′ + 𝑟′ segue que 𝑋 − 1 < 𝑘𝑞′ + 𝑘 E por consequência 𝑋 < 𝑘𝑞′ + 𝑘 Raciocinando com PA Os múltiplos de k são representados no conjuntos 𝑀 = {𝑘, 2𝑘, … , 𝑝𝑘, … } O n-ésimo termo de uma PA. 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1). 𝑟, digamos que que X e Y são tais que 𝑋 < 𝑎1 < ⋯ < 𝑎 𝑛 < 𝑌 o número de termos da PA é 𝑛 = 𝑎 𝑛−𝑎1 𝑟 + 1.
  3. 3. 𝑛 = 𝑎 𝑛−𝑎1 𝑟 + 1. Na código 𝑛 = (𝑎−𝑎%𝑘)−(𝑥−𝑥%𝑘+𝑘) 𝑘 + 1. 𝑛 = 𝑎−𝑎%𝑘−𝑥+𝑥%𝑘 𝑘 − 𝑘 𝑘 + 1 𝑛 = 𝑎−𝑎%𝑘−𝑥−𝑥%𝑘 𝑘

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