Conjuntos e funções matemáticas

~ .
a ema lea
cawalao BIANCHINI eHerval PACCOLA

Apresenta~ao
Ecom enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova
ediyao de Matematica para 0 2Q
grau.
Mantivemos aqui 0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino
como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior.
Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa
volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado
que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que
mereyam uma abordagem mais aprofundada.
Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendiza-
do/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegian-
do sua aplicayao em problemas que estimulem 0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos
resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com
situayoes retiradas da realidade do estudante.
A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica
Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em
vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de
questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares.
Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0
proprio nome sugere, leva 0 aluno a relacionar 0 tema em estudo com 0 momenta historico
em que foi desenvolvido.
No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn
resumo do assunto estudado auxilia 0 aluno na resoluyao das atividades.
Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com
vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de
futuro vestibulando.
Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas
acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos
dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar 0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar
pessoas.
Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo
apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao
estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se
inverte.
Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os profes-
sores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e su-
gestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto,
contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e efi-
ciente.
Os Autores

Sumario
Capitulo I - CONJUNTOS
1. Primeiras noc;6es 1
2. Representac;ao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio 4
4. Conjuntos iguais 4
5. Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6. Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos 5
7. Subconjuntos 7
8. Operac;6es com conjuntos 10
9. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS
1. Introduc;ao 23
2. Conjunto dos numeros naturais 23
3. Conjunto dos numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
4. Conjunto dos numeros racionais ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
5. Conjunto dos numeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
6. Conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
7. Intervalos 30
8. Operac;6es com intervalos ',' . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
9. Valor absoluto ou modulo de urn numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
Capitulo 3 - FUN<;:OES
1. Introduc;ao 42
2. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
4. Noc;ao de relac;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
5. Noc;ao matematica de func;ao 49
6. Linguagem das func;6es 51
7. Dominio de uma func;ao real de variavel real 53
8. Grafico de uma func;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
9. Analise de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
10. Func;ao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64
11. Func;6es inversas 67
12. Func;ao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
Capitulo 4 - FUN<;:AO DO 12 GRAU
1. Func;ao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
2. Func;ao do 1Q grau 80
3. Estudo do sinal da func;ao do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
4. InequaC;6es do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
Capitulo 5 - FUN<;:AO DO 22 GRAU
1. Introduc;ao 100
2. Grafico da func;ao do 2Q
grau 101

3. Vertice da parabola 104
4. Raizes da func;ao do 2Q
grau 109
5. Estudo do sinal da func;ao do 2Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6. Inequac;oes do 2Q
grau 113
Capitulo 6 - FUNC;::AO MODULAR
1. Introduc;ao 123
2. Func;ao definida por duas ou mais sentenc;as 123
3. Func;ao modular 126
4. Equac;oes modulares 132
5. Inequac;oes modulares 134
Capitulo 7 - FUNC;::AO EXPONENCIAL
1. Revisao de potencia de expoente racional 145
2. Conceito de func;ao exponencial 146
3. Grafico da func;ao exponencial 147
4. Equac;oes exponenciais 149
5. Inequac;oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Capitulo 8 - LOGARITMOS
1. Introduc;ao 162
2. Definic;ao de logaritmo 162
3. Propriedades dos logaritmos 168
4. Sistemas de logaritmos '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5. Propriedades dos logaritmos de mesma base 171
6. Mudanc;a de base 180
7. A func;ao logaritmica 183
8. Dominio da func;ao logaritmica 186
9. Inequac;oes logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;::OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS
1. Introduc;ao 197
2. Calculadora cientifica ou tabua de logaritmos? 199
3. 0 dlculo com logaritmos decimais 209
4. Algumas aplicac;oes dos logaritmos 214
Capitulo 10 - NOC;::OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA
1. Porcentagem 221
2. Juros 229
Capitulo II -TRIGONOMETRIA NOTRIANGULO RETANGULO
1. Introduc;ao 239
2. Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos redngulos 240
3. Aprendendo novos canceitos 241
4. Popriedades e relac;oes do seno, do casseno e de tangente de urn angulo agudo
de urn triangulo redngulo 244
:" . (:omo calcular os valoes das razoes trigonometricas 246
,_Q .- lei dos senos 257
7 . lei dos cassenos 259

Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS
1. Introdus:ao 269
2. Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3. Medida de um angulo central 274
4. 0 eiclo trigonometrieo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5. 0 arco trrigonometrieo 279
Capitulo 13 - FUNC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introduc;ao 285
2. A funs:ao sene 286
3. A funs:ao cosseno 295
4. Os grafieos das funs:oes sene e eosseno 308
5. A func;ao tangente 311
6. Outt'as funs:oes trigonometrieas 318
7. Relas:oes entre as funs:oes trigonometrieas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8. Identidades trigonometricas ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9. Recorreneia a um area do primeiro quadrante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10. Cilculo dos valores das funs:oes trigonometrieas 332
11. Func;oes trigonometrieas inversas 336
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:.o.O
1. Introduc;ao 349
2. Arco soma e area diferrens:a 351
3. 0 arco duplo " 356
4. 0 area metade 359
5. Funs:oes trigonometrieas de um area que mede a, em funs:ao da tangente do
area metade "..................... 362
6. Transformas:ao de soma em produto " " 364
Capitulo IS - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introdus:ao 373
2. Equac;oes trigonometrieas 374
3. Inequac;oes tt'igonometrieas 384
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Capitulo
I Conjuntos
I. Primeiras no~oes
As primeiras nos;oes sobre conjul1tos voce as adquiriu no curso de 1Q grau. Vamos reve-
las e ampliar esses conhecimel1tos introduzindo novos simbolos, liteis nao somente no estu-
do da matematica como tambem em outras areas.
Recordemos que se entende por conjunto qualquer coleS;ao de objetos.
Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos falar em conjul1to de casas, de
alunos, de logotipos, de figuras geometricas, de numeros etc.
o quadro abaixo mostra um conjunto de logotipos de algumas emissoras de televisao de
Sao Paulo.
Wi
,rCULTURIl
Fundat;:ao Padre Anchieta
Dm conjunto geralmente e indicado por uma letra maiuscula do alfabeto.
Os objetos que compoem um conjul1to sao chamados elementos.
Assim, por exemplo, chamando de L 0 conjunto dos logotipos acima, temos que cada um
deles e elemento de L.
Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se:
x E A (le-se: x pertence a A) I
Se x nao pertence ao conjunto A, "cortamos" 0 simbolo com um tras;o, escrevendo:
I x f/= A (le-se: x nao pertence a A) I
Esse tipo de indicaS;ao e utilizado em muitas outras situas;oes. Voce pode verificar isso no
conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibiS;ao.
Proibido fumar. Proibida a presen~a
de cachorros.
1
Proibido jogar
latas e garrafas.
Proibido
fazer fogueira.

2. Representa~ao de conjuntos
Existem varias maneiras de se representar um conjunto. Uma delas eindicar todos os seus
elementos entre chaves. Vamos, como exemplo, representar os seguintes conjuntos:
a) 0 conjunto A formado pelos algarismos pares do numeral 6280 (extensao aproxima-
da, em quilometros, do Rio Amazonas).
Temos: A = 10,2,6,81
Rio Amazonas.
b) 0 conjunto IN dos nllmeros naturais. Como se trata de um conjunto infinito, nao epos-
sivel enumerar todos os seus elementos. Escrevemos, entao, apenas as primeiros elementos,
seguidos de reticencias:
IN = 10, 1,2,3, ... }
c) 0 conjunto B dos numeros naturais impares menores que 100. Como sao muitos os
elementos do conjunto B, por comodidade escrevemos os primeiros elementos, seguidos de
reticencias, e finalmente os ultimos elementos. Assim:
B = (1,3,5,7, ...,97,991
d) 0 conjunto T dos numeros que expressam as medidas dos lados do triangulo EDU,
sendo ED = 15,2 cm, EU = 16,4 cm e DU = 10,8 cm:
T= (15,2; 16,4; 10,81
e) 0 conjunto H dos algarismos do numeral 149 597 870 (disrancia media, em quilome-
tros, entre 0 centro da Terra e 0 centro do Sol). a representas:ao de um conjunto nao repe-
timos os elementos. Assil11, 0 conjunto H tem exatamente sete elementos. Observe:
H = 10, 1,4,5,7,8, 9}
Ul11a outra maneira de se representar um conjunto eindicar entre chaves uma proprieda-
de que caracteriza seus elementos. Vamos considerar 0 conjunto:
A = (janeiro, junho, julho I
Observe que todos os elementos desse conjunto sao meses do ana e seus nomes comec;:am
pela letra j. Essa euma propriedade caracteristica dos elementos desse conjunto. Podemos,
entao, escrever:
A = (x Ix emes do ano cujo nome COl11ec;:a pela letra il
(U-se A e0 conjunto de todo x, tal que x emes do ana cujo nome comec;:a pela letra j.)
Veja outros exemplos:
a) B = 10,5,10,15,20, ... }
B = Ixlxe numero natural multiplo de 5}
2
b) M = Im) a) t) e) i) c}
M = {xix eletra da palavra matemtitica)

},,IA={
Podemos ainda representar um conjunto utilizando 0 diagrama de Venn, que consiste em
colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples. Como exemplo vamos repre-
sentar 0 conjunto
das bandeiras dos palses finalistas da Copa do Mundo de Futebol, de 1994:
A
•
·88
EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Os conjuntos a seguir estao representados por uma propriedade caracterfstica de seus elementos.
Escreva-os indicando esses elementos.
a) A = {x Ix eum numero natural menor que 10}.
b) B = {xix eum numero fmpar maior que 5}.
c) C = {xlxe numero multiplo de 3, maior que 10 e menor que 100}.
d) 0 = {xix enumero natural e 3x2
- 7x + 2 = O}.
2. Agora temos 0 inverso. Os conjuntos estao escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indi-
cando uma propriedade caracterfstica de seus elementos.
a) A = {1, 3, 5, ...}
b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sabado}
c) C = {a, 4, 8, 12, ... , 60}
d) 0 = {10, 15,20,25, 30}
3. Represente 0 conjunto por uma propriedade que caracteriza seus elementos.
A
o verde
o amarelo
o azul
'0 branco
4. Indica-se 0 numero de elementos de um conjunto A por n(A). Assim, dados os conjuntos abaixo,
determine n(A), n(B) e n(C).
a) A = {xix e numero natural e x 2
- 12x + 35 = a}.
b) B = {xix eletra da palavra Recife}.
c) C = {a, 3, 6, 9, ... , 120}
5. Dados os conjuntos A = {a, 2, 4, 6} e B = {x Ix2
- 11 x + 18 = O}, use 0 sfmbolo E ou f£ para
relacionar:
a) °eA b) °e B c) 2 eA d) 2 e B e) 9 eA f) 4 e B
3

3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio
A ideia de conjunto em matematica tern urn sentido mais amplo do que aquele que nor-
malmente esugerido pela propria palavra. Assim eque admitiremos conjuntos com urn so ele-
mento, chamados conjuntos unitarios, e conjunto sem elementos, chamado conjunto
vazio. 0 conjunto vazio erepresentado por 0 ou I }.
Veja os exemplos:
a) 0 conjunto do mamifero voador e0 conjunto unitario Imorcego }.
b) 0 conjunto dos numeros naturais maiores que 2 e menores que 3 e0 conjunto 0.
-
o morcego e0 unico mamffero voador.
'"c:
~
'"""(/)
0-
f-
'"Cl
Cl
I
ci
EXERCiclO PROPOSTO
6. Classifique cada conjunto como unitario ou vazio.
a) A = {xlxe natural e 2x = 5}.
b) B = {xlxe natural e 2x = 6}.
c) C = {xlxe natural e Ox = 6}.
d) 0 = {xlxe natural par e primo}.
4. Conjuntos iguais
Dois ou mais conjuntos sao iguais quando possuem os mesmos elementos.
Assim, se A e0 conjunto das letras da palavra "arte": A = la) r, t) c} e Be 0 conjunto das
letras da palavras "reta": B = Ir, c) t) a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos
elementos, nao importando a ordem em que foram escritos. Se A nao fosse igual a B, escre-
veriamos A =F B (le-se: A ediferente de B).
EXERCiclO PROPOSTO
7. Verifique se A = B ou A i' B, nos seguintes casos:
a) A = {x Ix eletra da palavra amoral e B = {x Ix eletra da palavra roma}.
b) A = {O, 1,2,3, 4} e B = {xix enumero natural menor que 4}.
c) A = {2, 5} e B = {xlx2
- ax + 12 = OJ.
5. Conjunto universo
o conjunto que tern todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se con-
junto universo. Geralmente, urn conjunto universo erepresentado pela letra U.
4

Consideremos a pergunta: Quais sao os numeros menores que 5? A resposta ira depender
do conjunto universo com que se estiver trabalhando. Vejamos:
• Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros naturais, teremos como resposta os
numeros 0,1,2,3 e 4. Tambem podemos indicar a resposta por S = 10, 1,2,3,41, em que
S e chamado conjunto solus:ao.
• Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros naturais pares, teremos como con-
junto solu<;:ao S = 10,2,4).
• Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros inteiros, teremos:
S= 1...,-1,0,1,2,3,4}
EXERCICIOS PROPOSTOS _
8. Considerando U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} como conjunto universo, determine 0 conjunto solU9aO de:
a} {x E UI2 < x < 7} c) {x E Ulx + 1 = 10}
b) {xE Ulx + 3 = 8} d) {XE Ulx
2
- 9x+ 14 = O}
9. De 0 conjunto solU9ao da equa9ao 2x
2
+ 5x - 3 = 0 nos seguintes casos:
a) U = IN
b) U = t-1,---} , 0, 1,--}, 3}
c) U = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3)
d) U = {-3' -1, ---}, 0, --}, 1, 3}
6. Alguns simbolos da linguagem dos conjuntos
Para darmos continuidade aos nossos estudos, vamos introduzir alguns simbolos que irao
facilitar nossa linguagem, tornando-a mais precisa.
Implica~ao e equivalencia
Quando, a partir de uma afirma~ao p, concluimos uma outra afirma~ao q, dizemos que
p implica q e escrevemos p => q (le-se: p implica q ou se p entao q).
c) x e numero par => x e mLlltiplo de 2
(p) (q)
(Le-se: se Jose e pernambucano, entao
Jose e brasileiro, ou Jose e pernambucano
implica que Jose e brasileiro.)
Exemplos
a) Jose e pernambucano
(p)
=> Jose e brasileiro
(q)
x=8-2
(q)
=> x 2
= 25
(q)
b) x = 5
(p)
d) x + 2 = 8 =>
(p)
5

Observe nos exemplos c e d que tambem a partir de q podemos conduir p:
x e multiplo de 2 ~ x e numero par
x=8-2~x+2=8
Nesses casos, dizemos que p e qsao equivalentes e escrevemos p ¢=} q(le-se: p e equivalente a q):
x e nlimero par ¢=} x e mUltiplo de 2, ou seja, x e numero par se e somente se x e mUltiplo de 2.
x+2=8 ¢=} x=8-2
Se p ~ q e q ~ p, entao p ¢=} q
No exemplo a, de Jose e brasileiro, nao podemos conduir que Jose e pernambucano (ele
poderia ser. catarinense, carioca, paulista etc.). Jose e brasileiro p Jose e pernambucano (0
simbolo ~ le-se: nao implica).
No exemplo b, de x 2
= 25, nao podemos conduir que x = 5 (x poderia ser -5), pois
(-5)2 = (-5) . (-5) = 25. Portanto: x2
= 25 =/> x = 5.
Qualquer que seja (v)
Vamos resolver a equas:ao 2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8 no universo U= 10,1,2,31. Temos:
2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8 ~ 6x - 2 = 6x + 6 - 8 ~ 6x - 6x = 6 - 8 + 2 ~ Ox = 0.
Observe que a igualdade Ox = °se verifica para qualquer que seja x pertencente a U.
Representando a expressao qualquer que seja x por 'r/ x (le-se: qualquer que seja x ou para
todo x), podemos escrever:
'r/x E U ~ Ox = °
A solus:ao da equas:ao proposta e 0 proprio conjunto universo, isto e: S = u.
Existe ao rnenos urn (3)
Considere 0 conjunto A*-0. Sendo A*-0, entao existe ao menos urn x, tal que x E A.
Representando a expressao existe ao menos urn x par 3x, podemos escrever:
A*-0~3xlxEA
o simbolo ~x le-se: nao existe x algum.
Exemplos
a) Se A = 0, entao ,tlxlx EA.
b),tlxEIN12x= 3
Existe urn unico (31)
Considerando 0 conjunto universo U = 10, 1,2,3,4,5), existe urn unico valor de x que
verifica a sentens:a 2 < x < 4. Representando a expressao existe urn ilnico valor de x por
31x, podemos escrever:
31x E UI2 < x < 4
Exemplos
a) Se A e conjunto unitario, entao 31x Ix E A.
b) 31x E IN Ix-I = 2
6

EXERCICIOS PROPOSTOS
e) x 2
=16 ~'x=-4oux=4
f) 3x E U 12x = 5
g) 31x E UI3x = -12
h) lxE U=> Ox= 0
10. Sendo U = {-4, -3, -2, -1,0, 1,2,3, 4}, identifique as senten9as como verdadeiras (V) ou
falsas (F).
a) X= -4 => x2
= 16
b) x = 4 => x2
= 16
c) x2
= 16 => x = -4
d) x2
= 16 => x = 4
11. Considerando 0 conjunto A = {1, 3, 5, 6, 7, 9}, identifique as senten9as verdadeiras.
a) Ix E A => x enumero fmpar' c) 3x E A Ix edivisor de 9
b) 31xE Alxe par d) }XE A Ix> 10
7. Subconjuntos
ulB
Considere os conjuntos A = (2,3,5} e B = 11,2,3,4,5,6, 7}. Observe que todo ele-
mento de A e tambern elemeoto de B. Nessas condi<;:6es dizemos que A e subconjunto de B
ou que A esta contido em Be escrevemos A C B. Podemos tambem dizer que B contem A
e escrevemos B ::J A.
Essa situa<;:ao pode ser graticamente
representada assim:
Em simbolos, temos: A C B {=} {'Ix E A ~ x E B}
Voce, que dentro de pouco tempt:?, provavelmente, estara preocupado em "tirar" sua
Carteira Nacional de Habilita<;:ao para dirigir veiculos motorizados, necessitara, entre outtas
coisas, conhecer 0 conjunto S dos sinais de transito.
o conjunto P, dos sinais de transito que indicam proibi<;:ao, mostrado graficamente a
seguir, e urn subconjunto de S.
Sentido
proibido
Proibido virar
aesquerda
Proibido virar
adireita
Proibido
retornar
Proibido
estacionar
Proibido parar
e estacionar
Proibido
ultrapassar
Proibido mudar
de faixa de
trinsito
Proibido
transito de
veiculo de carga
Proibido transito
de veiculos
automotores
Proibido transito
de velculos de
tra~iio animal
Proibido
transito de
bicicletas
Proibido transito
de maquina
agricola
Proibido acionar
buzina au
sinal sonora
Proibido
transito de
pedestres
7

Vejamos outros exemplos:
a) Dados A = 13,6,91 e B = IN, temos que: A C B, pois todo elemento de A e tambem
elemento de B.
b) Sendo A = lxlxe animal mamiferol e B = lcao, baleia), temos que: A ~ B, pois todo
elemento de B e tambern elemento de A.
c) la, bl cIa, b, cl
d) 121 c 121
Se A nao esta contido em B, escreve-se: A r:t. B. Para se ter A r:t. Be necessario que
exista pelo menos urn elemento que pertenc;:a a A e nao pertenc;:a a B. Considere os conjun-
tos A = (1,2,3,41 e B = (1,3,4, Sj ..Temos: A r:t. B, pois 2 E A e 2 r¢. B.
Observap:>es
1. Todo conjunto e subconjunto de si mesmo.
I VA=}ACA
2. 0 conjunto vazio e subconjunto de qualquer conjunto.
I VA=}0 C A I
12. Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {2, 4}, identifique as sentenyas verdadeiras.
a) A c B b) A c C c) C c B d) B ~ C
13. Determine os conjuntos X que satisfazem a condiyao {2, 3} C Xc {2, 3, 4, 5}.
14. Dados os conjuntos A e B, com A # B e A c B, identifique as sentenyas falsas.
a) x E B => x E A d) x E A => x E B
b) xE B=>x$ A e) xE A=>x$ B
c) x $ B=> x $ A
15. Identifique as sentenyas verdadeiras em relayao aos conjuntos A, Be C.
a) Se A c Be B c A, entao A = B. c) Se C cAe A c B, entao C c B.
b) VB=>0CB. d) Sex$AeXEB,entaoAcB.
Conjuntos cujos elementos sao conjuntos
Os elementos de urn conjw1to podem tambem ser conjuntos. Considere, por exemplo, 0
conjunto M cujos elementos sao: la), lb}, la, b}, e Ic, d}. Temos:
M = (la}, lb), la, b), lc) dll
Nesse caso, dizemos que:
(al EM e nao lal eM
o mesmo acontece com os outros elementos de M:
(bl E M, Ia, bl E M, (c, dl E M
8

EXERCiclO PROPOSTO
j) {1, 5} E A
I) {{1, 5}} C A
m) {0, {1}, {5}} C A
16. Dado 0 conjunto A = {0, {1}, {5}, {1, 5}}, identifique as sentent;:as verdadeiras.
a)0EA d){1}EA g) {{1}}cA
b) {0,1,5}EA e)1EA h){5}EA
c) {0} C A f) {1} C A i) 5 E A
Conjunto das partes de urn conjunto
Considere, por exemplo, 0 conjunto A = {a, bl. Vamos escrever os subconjuntos de A:
• com um elemento: {a}, {bl;
• com dois elementos: {a, bl.
o conjunto cujos elementos sao todos os subconjuntos de A echamado conjunto das
partes de A e egeralmente indicado por P(A) (le-se: P de A).
Lembrando que 0 conjunto vazio esubconjunto de qualquer conjunto, temos:
P(A) = 10, (af, {b}, {a, bll
Considerando agora, por exemplo, 0 conjunto B = (m, n, P}, vamos determinar P(B).
Para isso, escreveremos os subconjuntos de B:
• com um elemento: {m), (n}, (p);
• com dois elementos: (m, n}, (m, pI, In, pI;
• com tres elementos: {m, n, pI.
Como 0 C B, temos:
P(B) = {0, {m f, (n}, {p}, {m, n}, {m, pI, {n, pI, {m, n, PII
Observe que:
• no primeiro exemplo 0 conjunto A tem dois elementos e P(A) tem quatro elementos,
ou seja, 22
;
• no segundo exemplo 0 conjunto B tem tres elementos e P(B) tem oito elementos, ou
seja, 23
.
De um modo geral, se urn conjunto A tem n elementos, 0 numero de elementos de P(A)
edado por 2".
Assim, par exemplo, se um conjunto C tem quatro elementos, entao P( C) ted. 24
ele-
mentos.
17. Dado 0 conjunto A = {2, 4, 6, 8}, escreva todos os subconjuntos de A que tenham:
a) um elemento b) dois elementos c) tres elementos
18. Dado 0 conjunto B = {1, 3, 4}, pede-se:
a) 0 numero de subconjuntos de B com dois elementos.
b) 0 numero de subconjuntos de B.
19. Forme 0 conjunto das partes do conjunto B = {8, 9}.
20. Sendo x = {a, 2, 5}, determine P(x).
21. Escreva 0 conjunto das partes do conjunto A = {p, a, z}.
9

22. De 0 numero de elementos de P(A) nos seguintes casos:
a) A={O,1,2,3,4} c) A={x!xepare4<x<10}
b) A={a,m,o,r} d) A={x!xefmpare3~x<18}
23. 0 numero de elementos de um conjunto A e dado por 2", onde n e 0 numero de elementos de A.
Entao, se P(A) tem 64 elementos, qual 0 valor de n?
24. 0 conjunto das partes do conjunto B tem 512 elementos. Quantos sao os elementos de B?
8. Opera~oes com conjuntos
Diferen~a entre conjuntos
Dados os conjuntos A = II, 2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, 9}, vamos escrever 0 con-
junto formado pelos elementos de A que nao pertencem ao conjunto B. Obtemos assim 0
conjunto {l, 3, 5, 71, chamado diferen~ entre A e B. Indicando a diferen<;:a entre A e B por
A - B (le-se: A menos B), temos:
A-B=(1,3,5,7}
Vamos mostrar isso graficamente:
A-B
De urn modo geral:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferen~ entre A e B 0 conjunto formado
pelos elementos de A que nao pertencem a B.
Usando simbolos, definimos a diferen<;:a entre dois conjuntos A e B assim:
I A - B = (xix E A e x ~ B) I
Voltando aos conjuntos dados, vamos determinar a diferen<;:a B - A. Os elementos de B
que nao pertencem ao conjunto A sao 8 e 9. Portanto:
B - A = l8,9}
Graficamente, temos:
10

I CRA = B - A, em que A C B I
Observas;oes
1. Se A e B sao conjuntos tais que A C B, entio a diferenc;:a B - A e chamada complemen-
tal' de A em Be indicada por CRA (le-se: complementar de A em B).
Em simbolo, temos:
A regiao colorida representa 0 complementar de A em B.
2. Em particular, se A e subconjunto do conjunto universo U, 0 complementar de A em rela-
c;:ao a U pode ser representado por A' (le-se: A linha) ou A (le-se: A barra). Assim:
A' = A = CuA = U - A
u
Exemplo
Dados A = {a, b, d}, B = {a, b, c, d, c} e U= (a, b, c, d, c,j;gl, calcular:
a)CRA b)CuA=A
SolUfiio
a) Como A C B, entao a diferenc;:a B - A eo complementar de A em relac;:ao a B:
CRA = B - A = {c, c}
b) CuA = A = U- A = lc, c,j;gl
ee
ecoeo
eb
ed
eg
11
er
u

25. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {3, 5, 7} e e = {5, 6, 7, 8, 9}, determine:
a) A - B c) e - B e) e - A
b) A - e d) B - A f) CAB
26. Se B = {m, n} e A - B = {p, q}, quais os possfveis elementos de A?
27. Se B = {V; i} e A - B = {d, a}, determine A com 0 maior numero de elementos.
28. Determine x e y, sabendo que {2, 4, x, 8} - {2, 4, 5} = {6, y}.
29. Dados A = {m, n, p}, B = {m, n, p, q} e e = {m, p}, determine:
a) CaA b) CAe c) Cae
30. Dados U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7} e B = {5, 6, 7, 8}, pede-se:
- - - -
a) A b) B c) A - B
Intersec~ao de conjuntos
Dados os conjuntos A = 11,2,3,4,5,6, 7}
e B = 12,4,6,8, 101, vamos escrever 0 con-
junto formado pelos elementos comuns ao
conjunto A e ao conjunto B. Obtemos assim 0
conjunto (2,4,61, chamado interseq:ao entre
A e B. Indicando a intersee<rao entre os conjun-
tos A e B por A n B (le-se: A inter B), temos:
An B = (2,4,6)
Vejamos isso no grafico ao lado.
De um modo geral:
Ana
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseq:ao de A com B 0 conjunto formado
pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A interseCli:ao entre A e Be indi-
cada por A n B.
Usando simbolos, podemos definir a interseCli:ao entre os conjuntos A e B assim:
I An B = lxl x E A ex E B} I
Na intersee<rao de A com B, podem ocorrer tres casos, conforme nos mostram os exemplos:
a)A = (2,3,5,6, 8)
B = 13,5,8, 9}
An B = 13,5,81
b)A=13,5)
B = {2, 3,4, 5, 6)
AnB=(3,51
c) A = 12,3,5}
B = 14,61
An B= 0
Observa~o: se An B = 0, entao os conjuntos A e B sao chamados disjuntos.
12

31. Dados A = {1, 3, 4, 5, 7, 8}, B = {1, 3, 5, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9} e 0 = {6, 9, 10}, pede-se:
a) A n B c ) B n C e) (B n C) n 0
b) A n C d) C n 0 f) A n (B n C)
32. Sendo A = {4, 6, x, 8}, B = {1, 2, 7, y, 9} e A n B = {7, 8}, calcule x e y.
33. Sendo A = {x Ix edivisor natural de 18} e B = {x Ix edivisor natural de 24}, determine:
a) 0 conjunto A, indicando seus elementos.
b) 0 conjunto B, indicando seus elementos.
c) 0 conjunto A n B.
d) 0 m.d.c. (18, 24).
34. Dados A = {x E IN' Ix emultiplo de 4} e B = {x E IN' Ix emultiplo de 3}, determine:
a) 0 conjunto A, indicando seus elementos.
b) 0 conjunto B, indicando seus elementos.
c) 0 conjunto A n B.
d) 0 menor mUltiplo comum de 4 e 3.
Reuniao de conjuntos
Dados os conjuntos A = 11,2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, IO}, vamos escrever 0 con-
junto farmado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Obtemos assim 0 conjunto 11,2,
3,4, 5,6, 7, 8, IO}, chamado reuniao ou uniao de A com'B. Indicando a uniao entre os
conjuntos A e B por A U B (Ie-se: A uniao B), temos:
AU B = 11,2,3,4,5,6,7,8, IO}
Vejamos isso graficamente:
De urn modo geral:
A B
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reumao ou uniao de A com B 0 conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A reuniao de A com B e indicada
por AU B.
Usando simbolos, podemos definir a uniao de A com B assim:
AU B = (xl x E A ou x E B}
13

Na uniao de A com B, podem ocorrer tre~s casos, conforme nos mostram os exemplos:
a)A= {O,2,4,51
B = {2, 4, 5, 6}
AU B = {a, 2, 4,5, 6}
b)A= {O,I,3,5,6}
B = {l, 3, 51
AU B = {a, 1,3, 5,61
c)A = {I, 3, 5}
B = [2,4}
AU B = {I, 2, 3,4, 5}
C)el
e5
e3 (::')
~J
OPOSTOS _
35. Sendo A = {2, 5, 8), B = {3, 4, 5, 7, 8), e = {2, 8) eO = {5, 7, 8), determine:
a) AU B c) B U 0 e) (e U 0) U B
b) A U e d) A U 0 f) A U (e U 0)
36. Dados A = {x E IN [xe par e menor que 10}, B = {x E IN [2 < x < 8} e e = {XE IN Ixe divisor de 12},
determine:
a) A U B b) B U e c) AU e d) (A U B) U e
37. Se x E A e x ff; B, identifique as sentenyas verdadeiras.
a) x E (A U B) b) x E (A n B) c) x E (A - B) d) x E (B - A)
38. Sabendo-se que A c S, identifique a sentenya falsa (se achar necessario, construa diagramas).
a) AU B = B b) An B = A c) A - B = 0 d) An B = B
Resolu~ao de expressoes
que associam opera~oes entre conjuntos
Vamos agora resolver algumas express6es envolvendo as operac;:6es estudadas: diferenc;:a,
complementar, intersecc;:ao e undo.
Exemplos
Dados os conjuntos A = {a, 1,3, 41, B = {2, 3,4, 51, C = {4, 5} e D = {5, 6, 7}, determinar:
a) (A U C) n B b) (B n C) U D c) (B - A) n C d) (CBC) U (A n B)
Solufao
a) (A U C) n B = {a, 1, 3,4,51 n {2, 3,4,5} = {3, 4,5)

-...,..--
[-----_.
b) (B n C) U D = {4, 5} U {5, 6, 7) = {4, 5, 6, 7}
~
c) (B-A) n C= {2, 5} n {4, 51 = {5)
d) (CBC) U (A n B) = {2, 3) U {3, 4} = {2, 3, 4}
---+ _J
14

39. Dados os conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 7} e 0 = {2, 4}, determine:
a) (A n B) U C d) (C nO) U A g) B - CAD
b) (C U 0) n B e) (B - A) U 0 h) CA(A n 0)
c) (A n 0) U (A n C) f) B - (C U 0) i) (A - 0) U (B - C)
40. Sejam A, Be C tres conjuntos quaisquer e U 0 conjunto universo. Identifique, entre as seguintes afir-
mayoes, aquelas que sao verdadeiras.
a) Se A n B = A, entao A c B.
b) Se A c Be A c C, entao A c (B n C).
c) x E (A - B) .,. x E A ex(/'. B
d) A n B = 0 => A = 0 ou B = 0
e) An B = A US
f) BUS = U
41. Dados A ={1, 2, 3}, B ={1, 2, 3, 4} e C ={2, 3, 4, 5}, calcule:
a) CB(A n C) b) C(A u c)B c) CdB- A)
42. Se A = {xix enumero fmpar eO < x < 10}, B = {x Ix> 0 edivisor de 24} e C = {xix enumero par
e 2 < x < 13}, determine:
a) (A n C) U B b) C - (A n B) c) (A n B) U C
43. Uma operayao .i entre os conjuntos A e Be definida por M.iN = (M n N) U (M - N). Sendo
M = {a, b, c, d} eN = {b, c, e, f}, calcule M.iN.
9. Numero de elementos
da reuniao entre conjuntos
Indicando por n(A) 0 numero de elementos do conjunto A; n(B) 0 numero de elemen-
tos B; n(A U B) 0 nllmero de elementos de A U Be n(A n B) 0 numero de elementos de
A n B, evalida a seguinte relas:ao:
I n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B) I
Verifiquemos a validade dessa relas:ao no esquema abaixo:
A--~
.0.b
• c
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
'----v------J ~
9 5 + 6 2
Essa relas:ao eimportante na resolus:ao de certos problemas, como veremos a seguir.
Exemplo 1
Sendo n(A) = 10, n(A n B) = 3 e n(A U B) = 12, calcular 0 numero de elementos de B.
Soluyiio
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B), ou seja:
12 = 10 + n(B) - 3 ~ 12 = 7 + n(B) ~ n(B) = 12 - 7 ~ n(B) = 5
o numero de elementos de B e5.
15

Exemplo 2
Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou urn trabalho sobre Ecologia, tendo sido
indicados dois livros sobre 0 assunto. 0 livro A foi consultado por 26 alunos e 0 livro B, por
28 alunos. Pergunta-se:
a) Quantos alw10S consu.ltararn os dois livros?
b) Quantos alunos consultararn apenas 0 livro A?
Soluyiio
a) n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
48 = 26 + 28 - n(A n B)
48 = 54 - n(A n B)
n(A n B) = 6
Os livros A e B foram consultados
por 6 alw10s.
u
b) Entre os 26 alunos que consultaram 0 livro A, existem 6 alunos que consultaram tambern
o livro B. Logo, 0 numero de alunos que consultararn apenas 0 livro A e 26 - 6 = 20.
Exemplo 3
Desejando verificar qual 0 jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os
resultados constantes da tabela abaixo:
A
300
B
250
C
200
AeB
70
Ae C Be.C A, Be C Nenhum
65 105 40 150
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas leem apenas 0 jornal A?
b) Quantas pessoas leem 0 jornal A ou B?
c) Quantas pessoas nao leem 0 jornal C?
d) Quantas pessoas foram consultadas?
Para resolver 0 problema vamos recorrer aos
diagramas.
Em A n B n C colocaremos 40 e na regiao
complementar de AU B U C,150.
u
Como n(A n B) = 70 elementos e ja foram
colocados 40, restam 30 elementos para com-
pletar a regiao A n B.
Da mesma forma:
n(A n C) - 40 = 65 - 40 = 25
n(B n C) - 40 = 105 - 40 = 65
16
A
u
150

Para completar 0 conjumo A, devemos colocar:
300 - (30 + 40 + 25) = 300 - 95 = 205
Da mesma forma:
n(B) - 135 = 250 - 135 = US
n(C) - 130 = 200 - 130 = 70
A
150
u
Agora, consultando 0 diagrama, podemos responder as questoes:
a) 205 pessoas leem apenas 0 jornal A.
b) 205 + 30 + 40 + 25 + 65 + US = 480 ou
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B) = 300 + 250 - 70 = 480
480 pessoas leem 0 jornal A ou B.
c) 205 + 30 + US + 150 = 500
500 pessoas nao leem 0 jornal C.
d) 205 + US + 70 + 30 + 25 + 65 + 40 + 150 = 700
Foram consultadas 700 pessoas.
EXERCiclOS PROPOSTOS
44. Sendo n(A) = 18, n(B) = 22 e n(A n B) = 10, calcule n(A U B).
45. Sendo n(A U B) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calcule n(A n B).
46. Num vestibular eram eliminados os candidatos que nao obtivessem a nota minima 3,0 em mate-
matica e redac;:ao. Ap6s a apurac;:ao dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candi-
datos, sendo 236 em matematica e 210 em redac;:ao. Quantos candidatos foram eliminados nas
duas disciplinas?
47. Numa pesquisa sobre as emissoras de teve a que habitualmente assistem, foram consultadas 450
pessoas, com 0 seguinte resultado: 230 preferem 0 canal A; 250, 0 canal B; e 50 preferem outros
canais diferentes de A e B.
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e nao assistem ao canal B?
c) Quantas pessoas assistem ao canal Be nao assistem ao canal A?
d) Quantas pessoas nao assistem ao canal A?
48. Examinando as carteiras de vacinac;:ao das crianc;:as de uma creche, verificou-se que 60% receberam
a vacina Sabin, 80% receberam a vacina contra 0 sarampo e 10% nao foram vacinadas. Pede-se:
a) a porcentagem de crianc;:as
que receberam apenas
a vacina Sabin;
b) a porcentagem das que
receberam apenas a vacina
contra 0 sarampo;
c) a porcentagem das que
receberam as duas vacinas.
17

49. 0 quadro abaixo mostra 0 resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do 2Q
grau
costumam ler:
A
50
B
54
G
40
AeB
22
AeG BeG
20 16
A, Be G
12
Nenhuma
12
Pergunta-se:
a) Quantos foram os estudantes consultados?
b) Quantos estudantes leem apenas a revista A?
c) Quantos estudantes leem a revista Be nao leem a C?
d) Quantos estudantes nao leem a revista A?
e) Quantos estudantes leem a revista A ou a revista C?
TUNEL DO TEMPO
Georg Cantor nasceu na Russia, na cidade de Sao
Petersburgo, em 1845. A partir dos 11 anos, mudou-se para
a Alemanha, onde iniciou seus estudos de filosofia, fisica e
matematica.
No campo da matematica dedicou-se especialmente ao estu-
do da teoria dos nlimeros. Admitindo a ideia de que "nume-
ras:oes definidas podem ser feitas com conjuntos infinitos tao
bern quanta com finitos", propos uma serie de definis:oes e Georg Cantor.
proposis:oes que deram origem ateoria dos conjuntos.
Cantor, considerado hoje urn dos mais notaveis matematicos de seu tempo, recebeu
naquela epoca severas criticas pelo seu trabalho. as continuos e duros ataques feitos pe-
10 alemao Leopold Kronecker (1823-1891) the valeram sucessivos esgotamentos ner-
vosos. Quase no final de sua vida (faleceu em 1918) recebeu 0 reconhecimento pelo seu
grandioso trabalho. A teoria dos conjuntos venceu e hoje e aplicada nao somente em
matematica como tambem em outras areas do conhecimento humano.
Sobre a teoria dos conjuntos, David Hilbert (1862-1943), urn dos maiores
matematicos alemaes do seculo XX, assim se expressou: "Ninguem nos expulsara do
parafso que Cantor criou para nos".
RELEMBRANDO CONCEITOS
• x E A indica que x pertence ao conjunto A.
• x $. A indica que x nao pertence ao conjunto A.
• A C B indica que A esta contido em B.
• A et. B indica que A nao esta contido em B.
• A ::J B indica que A cantem B.
• A 1J B indica que A nao cantem B.
• A U B indica a uniao de A com B.
• A n B indica a intersecs:ao de A com B.
• A - B indica a diferens:a entre A e B.
• CAB = A - B indica a complementar de Bern relas:ao a A.
• .Ifindica a complementar de A em relas:ao ao conjunto universo U.
• n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B).
18

EXERCiclOS COMPLEMENTARES
50. Se A, B e C sao conjuntos nao-vazios e 0 e 0 conjunto vazio, quais das seguintes sentent;:as sao
verdadeiras?
a) {xix EO A e x EO B} = A - B
b) {xix EO A e x EO B} = An B
c) {xix EO A ou x EO B} = A U B
d) {xix EO A ex(/. B} = A - B
e) AU 0 = 0
f) AcBeBCC=> AcC
51. Dados os conjuntos A e B, assinale as proposit;:6es falsas.
a) Se A U B = B, entao A C B d) 3A IA U B = A
b) Se A c B, entao CBA = A - B e) VA, VB, A - B c A
c) VA, VB, (A n B) C A f) Cu(A n B) = CuA n CuB
52. Dados os conjuntos A, Be C, nao-vazios, encontre as proposit;:6es que sao verdadeiras.
a) x EO A e x EO B => x EO (A n B). d) x EO A => x EO A .
b) x EO A ex(/. B => x EO (A U B). e) x EO (A U B) => x EO A ou x EO B.
c) x EO (A - B) => x EO A ex(/. B. f) Se A C B, entao x EO Be x (/. A.
53. Nas sentent;:as abaixo, assinale V para as sentent;:as verdadeiras e F para as falsas.
a) {2} C {2, 3}
b) {2} EO {{2}, {3}, (2, 3)}
c) 0 C {2}
d) 2 EO {{2}, {3}, (2, 3)}
e) 2 C {2, 3}
f) {2, 3} C ({2, 3)}
54. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6} e C = {4, 5}, pede-se:
a) CAC b) (A - B) U C c) A - (B n C) d) (A U B) - (A n B)
55. Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, B = {1, 2, {1}, {2}}, pede-se:
a) A U B b) A n B c) A - B d) B - A
56. Sabendo que M = {2, 3, 4, 5, 6}, M U N = {2, 3, 4, 5, 6} e M n N = {2, 3, 4}, determine 0 con-
junto N.
57. Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A n B = {5, 6}, determine 0 conjunto B.
58. 0 conjunto das partes de um conjunto A e indicado por P(A). Se A = {s, a, I, V, e}, quantos elemen-
tos tem P(A)?
59. Dados os conjuntos A = {n, U, m, e, r, o} e B = {z, e, r, a}, quantos sao os subconjuntos de
(A U B) - (A n B)?
60. Sendo A = {1, 3} e B = {2, 3}, determine 0 numero de elementos de P(A) n P(B).
61. Sendo P(A) 0 conjunto das partes do conjunto A, quantos sao os elementos de P(P(0))?
62. Dados os conjuntos A, Be A n B, com 30, 50 e 1°elementos, respectivamente, quantos elementos
tem 0 conjunto A U B?
63. Numa escola, a area de ciencias exatas tem 16 professores, sendo que 6 leeionam apenas matema
tica, 5 apenas ffsica e 7 lecionam outras disciplinas distintas de matematica e ffsica. Quantos sao os
professores que lecionam matematica e ffsica?
19

64. Uma escola ofereceu a seus alunos aulas de refor<;:o em matematica (M), ffsica (F) e quimica (0).
a numero de alunos matriculados constam da tabela abaixo:
~I~
Pergunta-se:
a) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de matematica?
b) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de qufmica?
c) Quantos alunos se inscreveram para as aulas de ffsica ou de qufmica?
d) Quantos alunos se inscreveram apenas em ffsica e matematica?
65. A determinat;:ao do tipo sanguineo de uma pessoa deve-se apresent;:a (ou nao) dos antfgenos A e
B no sangue. Se uma pessoa possuir somente 0 antfgeno A, ela edo tipo A; se tiver somente 0 antf-
geno B, edo tipo B; se tiver ambos, edo tipo AB, e se nao tiver nenhum edo tipo 0. Num grupo de
70 pessoas verificou-se que 35 apresentam 0 antfgeno A, 30 apresentam 0 antfgeno B e 20 apre-
sentam os dois antfgenos. Quantas pessoas sao do:
a) tipo A? b) tipo B? c) tipo AB? d) tipo O?
TESTES _
66. (U. Cat6lica de Salvador-SA) Sejam A, B, CeO conjuntos nao-vazios e tais que A c Be CeO.
Nessas condit;:6es, 0 conjunto (B - A) U (C - B) U (0 - C) eigual a:
a) 0 - A b) A U C c) B n O d ) A e) C
67. (Unifor-CE) Se A = {1}, B = to, 1} e C = to, 1, 2}, entao everdade que:
a) CA(A n B) = (1} d) CaA U CcB = {O, 1}
b) CdA U B) = {1, 2} e) CdA U B U C) = (O}
c) Ca(A n B n C) = {O}
68. (UFCE) Sejam os conjuntos K = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}, P1 = {1, 5, 7} e P2 = {3, 7, 8}.
Se P1 = {x E K; x(/: P1} e P2 = {x E K; x(/: P2}, entao P1 n P2 e0 conjunto:
a) {1, 2} b) {2, 9} c) {3, 5} d) {5, 9}
69. (Unirio) Considerando os conjuntos A, Be C, a regiao colorida no diagrama representa:
a) AU (C - B)
b) An (C - B)
c) An (B - C)
d) AU (B - C)
e) (A U B) - C
70. (PUC-PR) A regiao assinalada no diagrama representa:
a) (A n B) U C
b) (A - B) U (B - C)
c) (A - C) n (B - C)
d) (A - B) n (C - 0)
e) (A n C) - (B n C)
c
20

71. (Vunesp) Se A n B = {a} e A U B = {a, b, C, d}, podemos afirmar que:
a) C esta em A e em B.
b) C nao esta em A, mas esta em B.
c) C nao esta em B, mas esta em A.
d) se b "* a, entao b nao esta em A ou b nao esta em B.
e) {b, c, d} c A ou {b, c, d} c B.
72. (Imes-SP) Se A e um conjunto finito qualquer, indicamos por n(A) 0 numero de elementos de A.
Sendo Be C dois conjuntos finitos quaisquer, assinale a afirmayao verdadeira.
a) n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B n C)
b) n(B U C) = n(B) + n(C) + n(B n C)
c) n(B n C) = n(B) + n(C) + n(B U C)
d) n(B n C) = n(B) - n(C)
e) n(B U C) = n(B) + n(C)
73. (U. F. Fluminense-RJ) Considerando tres conjuntos P, Q e R diferentes, tais que P n Q n R"* 0,
sao feitas as seguintes afirmay6es:
I. Pelo menos um dos conjuntos tem mais do que um elemento.
II. Pelo menos dois desses conjuntos tem, na sua intersecyao, dois elementos.
III. A uniao dos tres conjuntos tem, pelo menos, tres elementos. Entao pode-se concluir que somente:
a) a afirmativa I everdadeira. d) as afirmativas I e III sao verdadeiras.
b) a afirmativa II everdadeira. e) as afirmativas II e III sao verdadeiras.
c) as afirmativas I e II sao verdadeiras.
74. (UEBA) Sejam os conjuntos formados por numeros naturais:
A = conjunto dos multiplos de 3, B = conjunto dos divisores de 30 e C = conjunto dos numeros
pares. 0 numero de elementos de A n B n C e:
a) 2 b) 0 c) 3 d) 1 e) 4
75. (UFSE) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que X - A = {O, 1, 5, 6) e
X - B = {O, 4, 6}. Se A n B = {2, 3}, 0 conjunto A U Be igual a:
a) {1, 4, 5) d) {1, 2, 3, 4, 5}
b) {O, 2, 3, 5} e) {O, 2, 4, 5, 6}
c) {1, 2, 3, 4}
76. (Mackenzie-SP) Se A = {3, 7} e B = {7, 8, 9}, entao 0 numero de elementos do conjunto Mtal que
An M = {3}, B n M = {8) e AU BUM = {3, 7, 8, 9, 10} e:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
77. (Unifor-CE) Indica-se por n(X) 0 numero de elementos de um conjunto X. Se dois conjuntos A e B sao
tais que n(A) = 7, n(B) = 5 e n(A n B) = 3, quantos elementos tem 0 conjunto (A - B) U (B - A)?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
78. (Osec-SP) Os conjuntos A e B tem, respectivamente, 16 e 8 subconjuntos. 0 conjunto A n B tem
dois elementos. Quantos elementos tem 0 conjunto A U B?
a) 22 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3
79. (PUC-RJ) Dez mil estudantes fizeram exames
para as universidades A, Be C; 50% dos estu-
dantes foram aprovados na universidade A;
20% dos que passaram em A tambem passa-
ram em B; apenas 10% dos estudantes que
foram aprovados em A e B tambem passaram
em C. Quantos estudantes passaram somente
nas universidades A e B?
a) 900
b) 100
c) 3200
d) 800
e) 1 000
21

80. (PUC-MG) Em uma classe de 45 meninas, cada uma delas ou tem cabelos pretos ou olhos casta-
nhos, 35 tem cabelos pretos e 20 tem olhos castanhos. 0 numero de meninas que tem cabelos pre-
tos e olhos castanhos e:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
81. (Unisinos-RS) Numa pesquisa, realizada em alguns colegios de 22 grau, sobre a preparayaO dos alu-
nos para 0 concurso vestibular 94, foram obtidos os seguintes resultados:
Com base nesses dados, 0 numero de alunos consultados foi:
a) 378 b) 414 c) 450 d) 510 e) 514
82. (F. M. Pouso Alegre-MG) Numa cidade foi feito um levantamento para se saber quantas crianyas
haviam recebido as vacinas Sabin, Trfplice e contra 0 sarampo. Os dados obtidos foram:
Vacinas
I
Numero de crian~as ."
Sabin 5428
Trfplice 4346
Sarampo 5800
Sabin e Trfplice 812
Sabin e sarampo 904
Trfplice e sarampo 721
Trfplice, Sabin e sarampo 521
Nenhuma 1644
Entre as crianyas abrangidas pela pesquisa, assinale a alternativa falsa.
a) 4 233 crianyas receberam apenas a Sabin.
b) 3 334 crianyas receberam apenas a Trfplice.
c) 4 696 crianyas receberam apenas a de sarampo.
d) 874 crianyas receberam pelo menos duas vacinas.
e) Nenhuma.
83. (Mackenzie-SP) Dez mil aparelhos de teve foram examinados depois de um ana de usa e constatou
se que 4 000 deles apresentavam problemas de imagem, 2 800 tinham problemas de som e 3 500
nao apresentavam nenhum dos tipos de problemas citados.
Entao 0 numero de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem e:
a) 4 000 b) 3700 c) 3 500
22
d) 2 800 e) 2 500

Capitulo
Conjuntos numericos
I. Introdu~ao
Embora a ideia de nllinero acompanhe 0 homem desde os tempos mais primitivos, foram
necessarios muitos milhares de anos para chegarmos aos atuais conjuntos numericos.
Urn dos responsaveis pelo sistema de numeras:ao decimal, adotado universalmente, foi 0
matematico arabe Mohammed Ibu-Musa Al-Khowarizmi (780-850).
Ele escreveu varios livros sobre astronomia e dois sobre aritmetica e algebra. Estes ultiffios
tiveram importante papel na hist6ria da matematica. Seu livro De numero hindorum (Sobre a
arte hindu de calcular), em que Al-Khowarizmi nos fala sobre os numerais hindus e a forma
de opera-los, tornou-se 0 principal vekulo de divulgas:ao dos numeros decimais na Europa
ocidental. 0 sistema hindu de numeras:ao foi tao bern exposto, que acabou passando a
impressao de que 0 nosso sistema numerico e de origem arabe.
Convem ressaltar que Al-Khowarizmi em nenhum momenta manifesta a pretensao de
originalidade. Ate pelo contrario: ele assume claramente que 0 sistema decimal e originario
da India.
Como homenagem aimporrancia de sua obra, Al-Khowarizmi teve seu nome perpetuado
em duas palavras do sistema de numeras:ao decimal:
• algarismo, para indicar as simbolos hindo-aribicos 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8 e 9; e
• algoritmo, para se referir a qualquer regra especial de processo ou operas:ao.
Neste capitulo iremos rever os conjuntos numericos estudados ao longo do curso de
1Q grau.
2. Conjunto dos numeros naturais
o conjunto dos numeros naturais, conforme ja foi visto, e representado pela letra IN:
IN = {O, 1,2, 3, ... }
Retirando-se do conjunto IN 0 numero zero, obtemos 0 conjunto dos numeros naturais
nao-nulos:
IN* IN - {OJ (1,2,3, ... 1
Lembrando que, na representas:ao de dois numeros naturais a e b (com a < b) na reta
numerica, 0 numero a fica situado aesquerda de b, temos:
o 2
23
4 x

1. Dados os numeros naturais a e b, quais das seguintes sentenyas sao verdadeiras?
a) 5e a e b forem pares, entao a + b epar.
b) 5e a e b forem impares, entao a + be impar.
c) 5e a for par e b for fmpar, entao a + b efmpar.
d) 5e a for par e b for fmpar, entao a . be impar.
e) 5e a e fmpar, entao a2
sera impar.
f) 5e b2
epar, entao b epar.
g) 5e a e b forem primos entre si, 0 m.m.c. de a e be 0 produto a . b.
h) 5e a e b forem primos entre si, 0 m.d.c. de a e be 1.
2. Responda:
a) Qual 0 maior numero natural de dois algarismos cUjo quadrado tern tres algarismos?
b) Escrevendo todos os numeros naturais de 1 a 100, quantas vezes escrevemos 0 algarismo 3?
3. Usando quatro vezes 0 algarismo 3, eposslvel escrever alguns numerais naturais. Por exemplo:
• 0 numero zero ---> 33 - 33;
• 0 numero 1 ---> 33 : 33;
• 0 numero 2 ---> (3 : 3) + (3 : 3);
• 0 numero 3 ---> 3 . (3 - 3) + 3.
Usando quatro vezes, 0 algarismo 4, escreva todos os numerais naturais de 1 a 10.
3. Conjunto dos numeros inteiros
o conjunto dos numeros inteiros erepresentado pela !etra 7L.
7L = {..., -3, -2, -1,0,1,2,3, ... 1
Representemos 0 conjunto dos nLlmeros inteiros na reta numerada:
-3 -2 -I o 2 x
Do conjunto dos nllmeros inteiros merecem destaque os seguintes subconjuntos:
a) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-nulos:
7L* = 7L - (01 (... , -3, -2, -1, 1,2,3, ... j (xE7L1x:;i:01
-4 -3 -2 -I 2 4 x
b) conjunto dos numeros inteiros nao-positivos:
7L- = {..., -3, -2, -1, OJ = Ix E 7L Ix:OS; 01
-4 -3 -2 -I o x
c) conjunto dos nLuneros inteiros negativos:
7L~= I..., -3, -2, -lj = IxE 7L1 x< OJ
-4 -3 -2 -I x
d) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-negativos:
7L+ = 10,1,2,3, ... j = IN = Ix E 7L Ix;:;': OJ
o
24
2 4 x

e) conjunto dos numeros inteiros positivos:
1'.t = {1,2, 3,4, ... J = fN* = {xE 1'.1 x> 01
2 4 x
4. Usando os sfmbolos E, ri, C ou :::J, estabelec;;a relac;;ao entre:
a) 3 e IN e) 0 e IN
b) 3 e 7L f) 0 e 7L*
c) -3elN g) Oe7L+
d) -3 e 7L h) 0 e 7L-
i) IN e 7L
j)7L_e7L
I) 7L* e 7L*_
m) 7L*+ e 7L
5. Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:
a) {x E 7L Ix > -3} e) {x E 7L 1-2 ~ x ~ 2}
b) {xE7Llx~ 2} f) {xE7L*_lx>-2}
c) {x E 7L* 1-3 < x < 3} g) {x E 7L+ Ix < -3}
d) {x E 7L+ Ix ~ 4} h) {x E L 1-3 < x < 4}
6. Classifique cada sentenc;;a como verdadeira (V) ou falsa (F).
a) x 2
= 36", x = 6 (x E IN) c) 3x E 7L I2x = -5
b) x2
= 36", x = -6 (x E 7L) d) "Ix E 7L '" Ox = 0
4. Conjuntos dos numeros racionais
Chama-se nfunero racional todo nllmero que pode ser colocado na forma de razao P
q'
com p E 1'. e q E 1'.*.
Observa~ao: todo numero racional pode ser representado por uma fra~ao (razao) em que 0
numerador e 0 denominador sao primos entre si, ou seja, por uma fra~ao irredutivel.
Assim sendo:
• Todo numero inteiro eracional.
Veja os exemplos:
a) °eracional, pois pode ser colocado na forma °1
b) - 3 eracional, pois pode ser colocado na forma ~3
.
c) 5 eracional, pois pode ser colocado na forma 5
1
• Todo numero decimal exato eracional.
Veja os exemplos:
a) 0,5 eracional, pois pode ser colocado na forma 5
10
b) 2,21 eracional, pois pode ser colocado na forma 221
100
25

• Todo numero decimal peri6dico eracional.
Veja as exemplos:
a) 0,444... b) 3,444... c) 0,3444 d) 0,131 313... e) -0,21313 ...
Mostremos que as exemplos dadas podem ser colocados na forma : ' com q oF O.
a) 0,444...
Chamando 0,444 de x, podemos escrever:
x = 0,444 CD
Multiplicando as dais membros par 10, temos:
lOx = 4,444... @
Subtraindo 0 de @, vern:
4lOx - x = 4,444... - 0,444... ~ 9x = 4 ~ x =
9
4
Logo, 0,444... = 9 Portanto eracional.
b) 3,444... 4
Temos: 3,444... = 3 + 0,444... = 3 +
9
31
9
c) 0,3444...
x = 0,3444... CD
lOx = 3,444... @
100x = 34,444... @
@ - @ =100x - lOx =34,444... - 3,444... ~ 90x =31 ~ x =
31
90
d) 0,131313 ...
x = 0,1313... CD
100x = 13,1313... ®
® - CD= 100x - x =13,1313... - 0,1313...
e) -0,21313 ...
x = -0,21313 .
lOx = -2,131 3 ~ lOx = -2 - 0,131 3... ~
~ 99x = 13 ~ x = 13
99
~ lOx = - 2 _ 13 ~
99
lOx = -211
99
-211
~ x=--
990
Conhecidos as numeros racionais e indicando par <Q a conjunto que as representa, temos:
<Q = {xIx= : ' em que p E 71.. e q E 71.. *}
26

Vamos destacar as seguintes subconjuntos de <0:
<0* = Ix E <01 x *- 01-> conjunto dos numeros racionais nao-nulos;
<0- = Ix E <0Ix ~ 0) -> conjunto dos numeros racionais nao-positivos;
<o~ = Ix E <01 x < 01-> conjunto dos numeros racionais negativos;
<0+ = Ix E <01 x ~ OJ -> conjunto dos nllmeros racionais nao-negativos;
<O~ = Ix E <01 x> 01-> conjunto dos nllmeros racionais positivos.
Representemos na reta numerada, onde ja se encontram fixados as numeros inteiros, as
. , . . -3 -1 1 1 7
segull1tes numeros raClOnalS: ~, 4' 3' 2 e 3'
-2
•-3
2
-I
• I • •
-I 0 1 I
4" 32
I •
2 7
3
x
Com'em observar que dados as numeros raClonaIS a e b sempre existira entre eles
, a + b b' . 1 A . 1 1 1 . ,a numero ---, tam em raClona. SSlm, par exemp 0, entre - e - eXlste a numero
2 4 2
~+~
3 _ 4 2
8 2
1
4"
•3
8'
1
2
x
7. Identifique as senten<;:as verdadeiras.
a) -5 E IN e)
3
i) 0,12 E '0
5
E
b) -5 E lL f)
3
ElL j) 0,1222... E '05
c) -5 E '0 g)
3
E'O-
I) lL E '05
d) °E '0 h) 3 E '0* m) '0: u '0- = '0
5
8. Escreva na forma ~ ,q =1= 0, com p e q primos entre si:
a) 0,5
b) 2,4
c) -0,25
9. Calcule a valor das express5es:
a) 2-1
+ ~
d) 0,55
e) 0,55 ..
f) 0,355 .
c)
1- 3,15' 0,2
0,3737 ...
g) 2,1
h) 2,111 ...
i) 2,3111...
d)
27
a2
- ab2
1
- - - - , para a = -1 e b =--
2a - 3b 2

5. Conjunto dos numeros irracionais
a fato de sempre existir, entre dois numeros racionais, urn outro numero racional nao sig-
nifica que os numeros racionais preencham completamente os pontos da reta, 0 que vale di-
zer que existem pontos da reta que nao representam nluneros racionais. A esses pontos asso-
ciamos os nfuneros irracionais.
Urn exemplo disso e 0 nllmero ,2, que nao e racional, e, no entanto, existe urn ponto
da reta que 0 representa, conforme podemos verificar pela figura:
I
!1f----------,--+I-------..o 1,[2 2
De acordo com 0 teorema de Pitagoras:
x 2
= 1 + 1 ~ x 2
= 2 ~ x = "2
Mostremos que E nao e nllmero racional.
De fato, se ,'2 fosse racional, entao deveriam existir dois numeros p e q primos entre si,
tal que -v2 = L, ou seja, p = E q.
q
Elevando ambos os membros ao quadrado, teremos: p2 = 2q2. Logo, p2 e par e conse-
qiientemente p e par, pois, se p fosse impar, p2 tambem seria impar.
Fazendo p = 2k (k E /l), teremos: 4k2 = 2 q2~ 2k2 = q2. Logo, q2 e par e entao q e par.
a fato de p e qserem pares nos mostra que a hip6tese de p e qserem primos entre si e falsa.
Logo, nao existe 0 numero racional : ,tal que ,12 = L. Portanto ,0: e numero irra-
. al qcIOn .
De urn modo geral, toda raiz nao-exata assim como todo nfunero decimal nao-exato e
nao-peri6dico sao irracionais.
Considere como exemplo 0 numero n = 0,151617.... Nele, ve-se claramente que a parte
decimal tern uma infinidade de elementos formados por pares de numeros sucessivos. Assim,
desejando expressar n com mais casas decimais, teriamos:
n = 0,15161718 .
n = 0,1516171819 etc.
Esse numero decimal nao e peri6dico nem exato. Ele e urn exemplo de numero irracional.
Vejamos outros exemplos de numeros irracionais:
a) Escritos na forma decimal: 0,373 373 337...; 0,412 413 414...; 2,121 221 222...;
1T = 3,14159...
b) Escritos na forma de radical: .J5; - 3; Vi; V5; 2 E; tfi3.
3
Observa~o: convem lembrar que todo radical pode ser escrito na forma de potencia,
como nos exemplos:
28

Racionaliza~ao de denominadores
Quando 0 denominador de uma fra~ao for um numero irracional escrito na forma de radi-
cal, e POSSIVe! racionaliza-Io multiplicando 0 numerador e 0 denominador por um numero
conveniente, como nos exemplos:
a) 5 =
3
_ 5,,3 _ 5-3
- ,32 --3-
2(4 + ,f5)
10. Classifique cada um dos seguintes numeros em racional ou irracional.
3
a) 5 d) 0,211... g) ,8 j) 2
4
2
1
b) 3,6 e) 0,212212221 ... h) "0,25 I) 4
2
c) "3 f) ~8 i) ~25 m) 0,323 334 35...
11. Dado 0 conjunto {-3,1; -2; ~ ; 0,050050005 ... ; "1; ""2},dest?que 0 subconjunto dos numeros
racionais.
12. Assinale V para as senten<;:as verdadeiras e F para as falsas.
Se 8 e b sao dois numeros irracionais, entao:
a) 8 + be um numero irracional.
b) 8 + b pode ser um numero racional.
c) 8' be racional.
d) 8' be irracional.
e) existem valores de 8 e b de modo que 8 . be racional.
f) 8
2
pode ser um numero racional.
13. Racionalize 0 denominador das fra<;:6es:
a) 5
c)
2
e)
2"3
~ "2 - 1 3"2
b) d)
2
f)
6
~
13 "6 - "2 2 + " 15
14. Efetue:
a) ("5 + 2)2 c) (2"5 - 3,2 )2
b) ("5 - 2)("5 + 2) d) 2(2"2 - 33)
6. Conjunto dos numeros reais
Chama-se nu.mero real todo nllmero racional ou irracional, ou seja, 0 conjllnto dos
numeros reais (IR) ea rellniao do conjllnto dos numeros racionais (<Q) com 0 conjllnto dos
numeros irracionais (0): IR = <Q U O.
29

o diagrama ao lado nos mostra a relaS;ao entre os conjuntos estudados. Observe que:
r - - - - - - - - - - - - - IR------,
A imagem de todos os nllmeros racionais, juntamente com a imagem de todos os nllme-
ros irracionais, preenche completameme a reta numerada, chamada agora reta real.
Vamos construir a reta real e representarmos nela alguns de seus pontos:
---+1---+-1---+1--+-1J. /.d------l---+---1--+--1-----+-+1----'.
-3 - 2,6 -2 -..fi -I -1 0 I l..fi ..f3 2 2,55 1T x
2" "4
15. Identifique as sentenc;:as verdadeiras.
a) ~E 7L c) ~E e) .J5 E 7L g) .J5 E 0
4 4
b) ~E <Q d) ~E IR f) .J5 E <Q h) .J5 E IR
4 4
16. Resolva a equac;:ao 2x2
+ 3x - 2 = 0 de acordo com 0 conjunto universe dado.
a) U = 7L
b) U = <Q
c) U = 0
d) U = IR
17. Resolva a equac;:ao ~ - 4x + 2 = 0, tendo como conjunto universe:
a) U = 7L
7.lntervalos
b) U = <Q c) U = 0 d) U = IR
Os subconjumos dos nllmeros reais determinados por desigualdades sao chamados inter-
valos. Vamos estudar alguns desses intervalos. Para isso vamos considerar dois nllmeros reais
II e b, com a < h.
• Intervalo fechado: equalquer conjunto do tipo Ix E IR Ia ~ x ~ hI, geralmente indicado
por [a, b). Entao: [a, h) = Ix E IR la ~ x ~ hJ. Os nllmeros reais a e hsao chamados extre-
mos do intervalo.
30

Representas:ao na reta:
•a
•b x
Exemplo { ~
o intervalo fechado de extremos - ~ e 2 eescrito [ - ; , 2] = x E IR 1-; ~ x ~ 2J
e representado na reta numerada assim:
• •2 x
• Intervalo aberto: equalquer conjunto do tipo lx E IR Ia < x < b}, geralmente indicado por
]a, h[ ou por (a, b). Entao: ]a, b[ = Ix E IR [a < x < b}.
o
a
o
b x
Observa~o: a bolinha vazia indica que 0 extremo nao pertence ao intervalo e a bolinha
cheia indica que 0 extremo pertence ao intervalo.
Exemplo
o intervalo aberto de extremos -.J5 e - -fi eescrito
]- 5, - 2 [ = Ix E IR 1-"/5 < x < - -fil e representad.o na reta numerada assim:
o o
-../2 x
• Intervalo fechado aesquerda e aberto adireita: equalquer conjunto do tipo
Ix E IR la ~ x < b}, indicado por [a, b[ ou por [a, b). Entao: [a, b[ = Ix E IR[ a ~ x < h}.
-----••------_O~---___i.~
a b x
Exemplo
o intervalo fechado aesquerda e aberto adireita de extremos 3 e 10 eescrito
[3, .,JlO[ = Ix E IR 1 3 ~ x < .,JlOI e representado na reta numerada assim:
-----•.-------O~---___i.~
3 .,JTO x
• Intervalo aberto aesquerda e fechado adireita: equalquer conjunto do tipo
Ix E IR la < x ~ b}, indicado por ]a, b] ou por (a) h]. Entao: ]a, b] = Ix E IR la < x ~ b].
o
a
31
•b x

Exemplo
o intervalo aberto aesquerda e fechado adireita de extremos - 5 e 5 e escrito
]-5,5] = (x E IR 1-5 < x ~ 5) e representado na reta numerada assim:
o
-5 • x
Sendo a um nllmero real, tambem sao intervalos os seguintes subconjul1tos:
[a, +co[ = Ix E IR Ix;, a) • •a x
]-co, a] = Ix E IR Ix ~ a)
• •a x
]a, +co[ = Ix E IR Ix > al 0
•a x
]-co, a[ = Ix E IR Ix < al 0
•a x
]-co, +co[ = IR
•x
Observa~o: os simbolos -co e +co sao lidos, respectivamente, menos infinito e mais infinito.
18. Represente na reta real os intervalos:
a) [-3,5]
b) ]-4,2,5]
c) ]-2,2[
d) ]-x, 2]
e) ]3, x[
f) (xE 1R1-2';:;: x,;:;: 2)
g) (XE 1R1-3 < X< 3)
h) (XE IRlx;;;. 1)
i) (XE IRI X< ,2)
19. Escreva em cada caso 0 intervalo real representado nas retas:
a) • • • d) 0
•-4 3 x 7.5 x
b)
• 0
• e) • •I
10
x 5 x
8'
c) 0 0
• f) 0
• •-6 x -10 10 x
-2
20. Quantos sao os numeros inteiros que pertencem ao intervalo:
a) [-10,20]?
b) [2, 15[?
c) ]-6, 8]?
d) [-5,5]?
e) ]-8, 8[?
f) ]0, 10[?
21. Dado 0 conjunto [-5, 5], responda:
a) Quantos sao os numeros naturais desse intervalo?
b) Quantos sao os numeros inteiros desse intervalo?
c) Quantos sao os numeros reais desse intervalo?
32

8. Opera~oes com intervalos
Vamos estudar a interseG;ao e a reuniao de intervalos.
Intersec~ao
Vejamos tres exemplos da intersecr;ao de intervalos.
4
Exemplo 1
]-2, 4[ n [2,6]
-2 < x < 4
2~x<4
Logo, ]-2, 4[ n [2,6] = [2,4[.
Exemplo 2
]-2,4] n [4, +co[
-2 < x~ 4
x~4
4
Logo, ]-2,4] n [4, +co[ = 14).
Exemplo 3
]-2,4] n ]5, 6[
-2 < x ~ 4
5<x<6
-2 2 4 6
------9-----,;;--- ---------o.~
-Solu~
-2
---------+------l~
4
• -----SOlu~
-2>- 4 ....:,5-~6---..
A intersecr;ao e0 conjunto vazio. Logo, ]-2,4] n ]5, 6[ = 0.
Observa~o:os exemplos acima nos mostram que a intersec~o de dois intervalos pode ser
urn intervalo, urn conjunto unitmo ou 0 conjunto vazio.
33

EXERCICIO PROPOSTO _
22. Determine 0 intervalo correspondente aoperagao indicada:
a) [-5,4]n[-2,6]
b) ]-1,1] n [1, 3]
c) ]-4, 4[ n ]4, 6[
Reuniao
d) ]-00,2] n [-2, x[
e) [-3, 5] n [2, 50 ]
f) (XE IRlx,,;; 3) n (XE IRlx> -3)
Vejamos tres exemplos da reuniao de dois intervalos.
Exemplo 1
]-2,3] U ]2, 4[
Graficamente, temos: -2 < x ~ 3
2<x<4
-2 234
- 2 < x < 4 --6----~...:..-<:J>-----____...
-2 4
Logo, ]-2,3] U ]2, 4[ = ]-2,4[.
-----Snlu~o
Exemplo 2
]-1,4] U [4,6]
Graficamente, temos: -1<x~4
-I
---)---- 4 _ _-,--6_ _......:.~
-1<x~6
Logo, ]-1,4] U [4,6] = ]-1,6].
----<6-----.....;.--t----...
-I
u~
1 ~ x ~ 4 ou 5 ~ x ~ 7
Exemplo 3
[1,4] U [5, 7]
Graficamente, temos: 5 7
•
+ •
• •7
-Sol~
Logo, [1,4] U [5,7] = (x E IR 11 ~ x ~ 4 ou 5 ~ x ~ 71.
34

EXERCiclO PROPOSTO
23. Determine 0 intervalo correspondente aoperayao indicada:
a) [-10,2] U [-3, 5]
b) ]-6, 4[ U [1, 6[
c) ]-oo,3]U[-1,cc[
d) ]-00, 3] U [1, 4]
e) (x E IR Ix < 3) U (3)
f) (x E IR Ix;;. 2) U [-2, 2[
9. Valor absoluto ou modulo de um numero
Ao representarmos os numeros reais na reta, verificamos que:
1Q) Para todo numero real x existe urn numero real -x, chamado oposto ou simerrico de
x, tal que x + (-x) = 0.
-3 -2 -I o 2 x
Exemplos
a) 0 oposto de +3 e-(+3) = -3.
b) 0 oposto de - 2 e- (- 2) = 2.
c) 0 oposto de zero ezero.
2Q
) Os pontos que representam dois numeros opostos situam-se a uma mesma distancia do
ponto que representa 0 zero. Essa distancia echamada valor absoluto ou modulo do numero.
-4 -3 -2
4 unidades
-I o 2 •
4 unidades
4 x
1-41 = 4 e 1+41 = 4
Assim, os modulos de -4 e de +4 sao iguai~ a 4.
Indicando 0 modulo do numero real x pOl' Ixl (le-se: modulo de x), temos, para 0 exem-
plo anterior:
Observando que 0 modulo de urn numero real positivo ou nulo e0 proprio numero, e
que 0 modulo de urn numero negativo e0 seu oposto, podemos definir:
Se x;;': 0, entao Ixl = x.
Se x < 0, entao Ixl = -x.
Logo, se x = -4, temos: Ixl = 1-41 = -(-4) = 4;
sex= O,temos:lxl =101 = 0;
se x = +4, temos: Ixl = 1+41 = 4.
24. Calcule 0 valor das express6es:
a) 2'1-101-4'1-21
b) 110 - 5 . 31 -12' 9 - 101
c) 1-12+3'1-511
d) 1-431.1 ~2 1.1-31
I
e) 1-101. ( -5 )
10 3
35

25. Quais os valores de x para os quais Ix I = 107
26. Quais os valores naturais de x que verifjeam a desigualdade Ix I ,,;;; 57
27. Quais os valores de x E 7L que verifiearn a desigualdade Ixl ,,;;; 57
28. Quais os valores reais de x que verifiearn a desigualdade Ix I ,,;;; 57
29. Reeonhega quais das seguintes sentengas sao verdadeiras.
~
a) Se x E JR, entao ·X = X.
_ 12
b) Se x E JR+, entao ,x = x.
e) Se x E JR, entao .J;2 =Ixl·
d) Se Ixl < IYI, entao x < y.
e) Se Ixl = IYI, entao x = y.
f) Sex <y,entaolxl <IYI.
g) Se x e Y sao numeros reais positivos ex> Y, entao Ix I > IY I.
h) Se x e Y sao nurneros reais negativos e x < Y, entao Ix I > IYI.
i) Se x e Y sao nurneros reais ex> Y, entao Ixl > IYI.
TUNEL DOTEMPO
Os sinais das opera~oes aritmeticas sao hoje de ficil iden-
tifica~ao e aplica~ao. No entanto nem sempre foi assim.
Antigamente os matematicos costumavam indicar essas ope-
ra~oes usando palavras, como, por exemplo, os termos latinos
plus, para indicar "mais", e minus, para indicar "menos".
o monge alemao Jordanus Nemorarius, por volta do ana
1200, empregou os slmbolos p e m para indicar as opera~oes
de adi~ao e subtra~ao. William Oughtred.
Outros matematicos, em diferentes regioes, usavan1 Slm-
bolos distintos para indicar uma mesma opera~ao. 1sso e bastante compreenslvel devido
.adificuldade de comunicac;:ao naqueles tempos. Somente no inicio do seculo XVI, 0
grande mestre alemao Michael Stifel (1487-1567) comec;:ou a empregar os slmbolos +
e - como sinais de operac;:oes da forma usada atualmente.
o sinal X, para indicar a multiplicac;:ao, foi utilizado pela primeira vez pelo ingles
William Oughtred (1574-1660), em 1631. Nesse mesmo ano, outro ingles, Thomas
Harriot (1560-1621), utiliza-se do ponto' para indicar a mesma operac;:ao e 0 frances
Rene Descartes (1596-1650) escreve simplesmente ab para indicar a multiplicac;:ao de a
por b. Deve-se tambem a Descartes a atual indica~ao de uma potencia.
o sinal :, para representar a divisao, apareceu em 1657, tambem atribuldo
a Oughtred, e 0 sinal r, para indicar radical, surgiu em 1526, no livro eoss, do
alemao Christoph Rudolff(1500-1545).
Tantos foram os slmbolos apresentados para indicar as operac;:oes aritmeticas que
muitos seculos foram necessarios ate chegarmos a uma simbologia universal, adotada
nos dias de hoje.
36

RELEMBRANDO CONCEITOS
Conjunto dos nllmeros naturais
rN = 10, 1,2, 3, ... 1
Conjunto dos numeros inteiros
7l. = 1... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... J
Conjunto dos numeros racionais
<Q = {xl x= : ' com p E 7l. e q E 7l.*}
Sao numeros racionais:
• todo nllmero inteiro;
• todo nllmero fraciomlrio;
• todo numero decimal exato;
• todo nllmero decimal peri6dico.
Conjunto dos numeros irracionais
Sao numeros irracionais:
• todo numero decimal nao-exato e nao-peri6dico;
• toda raiz nao-exata.
Conjunto dos numeros reais
IR = 1xIxeracional au xeirracional)
Intervalos reais
Intervalo fechado [a, b]
Intervalo aberto ]a, b[
Intervalo aberto adireita [a, b[
Intervalo aberto aesquerda ]a, b]
EXERCICIOS COMPLEMENTARES
30. Escreva na forma fracionaria:
a) 0,25
b) 0,2525...
31. Escreva na forma de radical:
c) 0,2555...
d) 1,2
e) 1,222...
f) 1,022 2...
3 3 1
a) 58 b) 62 c) 42
32. Calcule 0 valor das potencias:
1
(~ ra) 5-2 c) 4-2 e)
1
b) 643 d) (0,2r
2
f) (2 + -!5l
37
1
d) 93
g) (-f2i

33. Calcule 0 valor das express6es:
a) ~1-(~ Y e) (5 +.J2) . (5-.J2) + (5 +.J2/
b) ~1-0,555 ... f) ~8+ 15 . ~8- 15
c) 8-} ; ( ~ y2.(f )+ g)
cu=;r-(+r
d) 80,666... + 90,5. ( t )-1
34. Sendo a e b numeros reais nao-nulos, qual 0 conjunto de valores que podemos obter para
_. a + b ?
a expressao. TaT TbT .
35. Dados A = [-4,5], B = [-2, 6[ e C = [-3,8], determine:
a) AU B b)An B c) (A n C) u B d) (A n B) n C e) A - B
36. Sabendo que x2 = 91 4
e y3 = 91 6
, calcule (xy)10, com x> O· e y> O.
p2 + 3
37. Determine os tres menores valores naturais de p, de modo que a expressao - - - represente um
numero inteiro. p - 2
38. (EsPCEx) Simplifique:
a) (~4+f7 +~4_f7)2 b) 3,818 1... : 2,4545...
39. (UFSC) Dados os conjuntos A = {x E iZ' 11 < x,,;; 17), B = {x E IN Ixe imparl e C = {x E IR 19,,;; x,,;; 18j,
determine a soma dos elementos que formam 0 conjunto (A n B) - C.
40. (Fuvest-SP) Encontre todos os conjuntos de tres numeros inteiros consecutivos cuja soma e igual ao
seu produto.
TESTES _
41. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Efetuando-se 0,35·3 - 0,648: 0,2, obtem-se:
a) -31,25 b) -2,19 c) 0,726 d) 2,01 e) 7,26
42. (UFCE) Se P = 8· H-~ e q = 3m - 2· ~ 3
6
2 ,entao 2.J3(p + q) e igual a:
43. (U. F. Fluminense-RJ) A desigualdade
a) 63 b) 65 c) 67
a+b
a . b < --- e verdadeira:
2
d) 69
a) para todo a, b E IR+ tal que a *' b.
b) para todo a, bE IR tal que a *' b, a . b> O.
c) para todo a, b E IR tal que a . b < O.
d) para todo a, b E IR+ tal que a = b.
e) para todo a, bE IR tal que a> b.
38

RELEMBRANDO CONCEITOS _
Conjunto dos nluneros naturais
IN = {O, 1,2,3, ... 1
Conjunto dos numeros inteiros
7L = {... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... j
Conjunto dos numeros racionais
~ = GIx = : ' com p E 7L e q E 7L*}
Sao numeros racionais:
• todo numero inteiro;
• todo numero fracionario;
• todo numero decimal exato;
• todo nllmero decimal peri6dico.
Conjunto dos numeros irracionais
Sao numeros irracionais:
• todo numero decimal nao-exato e nao-peri6dico;
• toda raiz nao-exata.
Conjunto dos numeros reais
IR = {x Ix eracional ou x eirracional j
Intervalos reais
Intervalo fechado [a, b]
Intervalo aberto la, b[
Intervalo aberto adireita [a, b[
Intervalo aberto aesquerda la, b]
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
30. Escreva na forma fracionaria:
a) 0,25
b) 0,2525...
31. Escreva na forma de radical:
c) 0,2555...
d) 1,2
e) 1,222...
f) 1,022 2...
3 3 1
a) 58 b) 62 c) 42
32. Calcule 0 valor das potencias:
1
(~ ra) 5-2 c) 4-2 e)
1
b) 643 d) (0,2r
2
f) (2 + "5)0
37
1
d) 93

33. Calcule 0 valor das expressoes:
a) ~1-(~ Y e) (5 + 5) . (5-5) + (5 + 2 )2
b) ~1-0,555 ... f) ~8 + f15 .~8 - f15
c) 8+ : ( ~ r2
• ( +)+ g) cw;=;r-(~r
d) 80,666... +90,5 . ( +r1
34. Sendo a e b numeros reais nao-nulos, qual 0 conjunto de valores que podemos obter para
_. a + b ?
a expressao. jaf TbT .
35. Dados A = [-4,5], B = [-2, 6[ e C = [-3,8), determine:
a) AU B b)An B c) (A n C) U B d) (A n B) n C e) A - B
36. Sabendo que x2
= 91 4
e y3 = 91 6, calcule (xy)10, com x> O· e y> O.
p2 + 3
37. Determine os tn3s menores valores naturais de p, de modo que a expressao - - - represente um
numero inteiro. p - 2
38. (EsPCEx) Simplifique:
a) (~4+ 7 +~4--fi)2 b) 3,818 1... : 2,454 5...
39. (UFSC) Dados os conjuntos A = {XE 1:11 < x,,;;; 17), B = {XE IN Ixe imparl e C = {XE 1R19,,;;; x,,;;; 18},
determine a soma dos elementos que formam 0 conjunto (A n B) - C.
40. (Fuvest-SP) Encontre todos os conjuntos de tres numeros inteiros consecutivos cuja soma e igual ao
seu produto.
TESTES _
41. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Efetuando-se 0,35' 3 - 0,648 : 0,2, obtem-se:
a) -31,25 b) -2,19 c) 0,726 d) 2,01 e) 7,26
42. (UFCE) Se P = 8· 3 _ -J12 e q =3m - 2· ,1 6
,entao 2.J3(p + q) e igual a:
4 2 32
a) 63 b) 65 c) 67 d) 69
43. (U. F. Fluminense-RJ) A desigualdade ~ < ~ e verdadeira:
2
a) para todo a, b E IR+ tal que a '* b.
b) para todo a, b E IR tal que a '* b, a . b > O.
c) para todo a, b E IR tal que a . b < O.
d) para todo a, b E IR+ tal que a = b.
e) para todo a, bE IR tal que a > b.
38

4-J344. (PUC-MG) Se a = - - e b =
,"2
a) 16 - 3
b) 16 + 3
_ 3 ~ entao a - b eigual a:
,3 - ,2
c) -J3 --J2
d) "/3 + 2
45. (Unifor-CE) Se a e b sao numeros reais positivos, tais que a . b * 0, e a * b, a expressao
a-1 -b-1
----- eequivalente a:
...1. 1
a
2
- b
-2
a) ~+~ c) -Ja+.Jb e)
-Ja + ,iJ
a b a b b+a
b) .fa + ,b d)
,8 +,b
ab
46. (FEI-SP) A frayao a2 + ab + b2 ' quando a = 93 e b = 92, eigual a:
a) 0 b) 185 d) 1 e) 185
2
47. (UFSE) Se A= {XIX = ~ e n EIN}
A n B eigual a:
a) 0
b) ~:
e B= {XIX= __n_ e n EIN-},entao 0conjunto
n+2
1 1
d) 2'3
e) {X!x=-_1- enE }
n + 2
c)
1
2
48. (Fuvest-SP) Os numeros X e y sao tais que 5 ,,:;; X ,,:;; 10 e 20 ,,:;; Y ,,:;; 30. 0 maior valor
possivel de ~ e:
y
a)
1
6
b) 1
4
1
c) -
3
d) 1
2
e) 1
49. (Osec-SP) Os numeros a e b sao reais e -1 < a < 0 < b < 1. Entao:
a) -1 < ab < 0
b) ab<-1
c) 0 < ab < b
d) ab> 1
e) b < ab < 1
50. (Vunesp) Sejam x e y dois numeros reais nao-nulos e distintos entre si. Das alternativas abaixo, a
unica necessariamente verdadeira e:
a) -x < y
b) x< x + y
c) y< xy
d) x
2
*y2
39
e) x 2 - 2xy + y2 > 0

51. (F. Santo Andre-SP) Para a = - +e b = +,0 valor numerico da expressao
2 1 -b
a +--
__~--"a'___;__ e:
b2+~
a
a)
39
52
b) 4
5
c) ~
44
d) 57
52
e) ~
5
52. Sejam os numeros reais a, bee.
a) Se a > b e ae > be, entao e = 1.
b) Se a> be ae> be, entao e;;< 2.
c) Se a < be ae < be, entao e < 0.
d) Se a < be ae > be, entao e < 0.
e) Se a > b e ae < be, entao e < -1.
53. (PUC-MG) Sendo x real positivo e y real negativo, a afirmativa correta e:
~
x
a) ~X2 + y2 =x+y d)
~>
-
Y
b) ~x e) x2 + y2 =y-x
17 =y
c) X2.y2 = x·y
54. (UFPE) Qual das afirmativas abaixo nao e verdadeira, a respeito do numero natural
19·18·17·16·15·14·13·12
- - - - - - - - - - - - - ?
8·7·6·5·4·3·2·1
a) Epar.
b) Emultiplo inteiro de 3.
c) Emultiplo inteiro de 7.
d) Emultiplo inteiro de 13.
e) Emultiplo inteiro de 19.
55. (Cesgranrio) A, Bee tentam adivinhar um numero selecionado ao acaso no conjunto
(1, 2, ... , 100}. Ganha um premio quem mais se aproximar do numero selecionado. Se A decidiu-se
por 33 e B escolheu 75, qual a melhor escolha que C pode fazer?
a) 16 b) 32 c) 48 d) 54 e) 76
a)
56. (UFPE) Assinale a afirmativa correta.
3 +~ ~. . . . I
---,,~-=_~ - 2,6 e um numero IrraClona .
3 - ,2
b) 0,6% de 3+ e igual a 0,2.
c)
0,178 178 178
0,50505
e um numero real irracional.
40

57. (Unifor-CE) Se a e b sao numeros reais positivos, a expressao
(a + 2a+.b++ b) . (a - 2a+.b++ b) e equivalente a:
a) (a + b)2
b) (a - b)2
58. (U. F. Santa Maria-RS) Quando se multiplica um numero inteiro N, estritamente positivo, por (0,02)2,
esse numero N fica:
a) dividido por quatro milesimos.
b) multiplicado por quatro centesimos.
c) diminufdo de 2 500 unidades.
d) multiplicado por 2 500.
e) dividido por 2 500.
59. (Osec-SP) Dados os numeros reais a e b tais que 0 < a < b, entao e sempre verdadeiro que:
a) ~<~ d) ~<~
b 2b a b
b) ~<~ e) ~<~
b a a b
c)
a a2
- < -
b b2
60. (UnB-DF) Sabendo que x e y sao grandezas que tornam verdadeira a afirma<;:ao "se x = 2, entao
y < 0", pode concluir-se que:
a) se x "* 2, entao y;;. O.
b) sey= -1,entaox=2.
c) se y = 1 000, entao x "* 2.
d) se x = 2, entao y "* O.
41

Capitulo
Func;6es
I. Introdu(:ao
o conceito de fill1~ao, urn dos mais importantes da matematica, surge toda vez que pro-
curamos estabelecer uma rela~ao entre duas grandezas variaveis.
Assim, se considerarmos urn tanque com 1 200 ede capacidade e uma torneira que des-
peja nele 30 ede agua por minuto, 0 volume de agua despejada dependera do tempo que a
torneira ficar aberta:
• apos 1 min, sera de 30 e;
• apos 2 min, sera de 2 . 30 .e = 60 e;
• apos 5 min, sera de 5 . 30 e= 150 e;
• apos 10 min, sera de 10 ' 30 e= 300 e;
• apos 40 min, sera de 40 ' 30 e= 1200 e, momento em que 0 tanque ficanl totalmen-
te cheio.
Indicando 0 tempo (em minutos) por teo volume de agua '(em litros) por ~" podemos
construir a seguinte tabela:
Observe que as variaveis t e v se relacionam pela igualdade v = 30 ' t, com 0 ~ t ~ 40.
Observe ainda que a cadavalor atribuido avariavel t encontramos urn unico valor para a varia-
vel v. Essa situa~ao constitui urn exemplo de fun~ao. ela dizemos que v e fun~ao de t. A rela-
~ao v = 30t e chamada lei de associas:ao ou lei de formas:ao da funs:ao.
o conceito de fun~ao nao se aplica somente em matematica, mas tambern no desenvolvi-
mento de muitas teorias de varias ciencias.
Vejamos outras situa~6es que sao exemplos de tun~6es:
• 0 pre~o da taxa de agua a ser paga mensalmente e fun~ao da quantidade de agua con-
sumida.
• 0 tempo gasto por urn carro para percorrer determinada disrancia e fun~ao de sua velo-
cidade.
• 0 comprimento C de uma circunferencia e fun~ao de seu raio 1', definido pela lei:
C=2'1T'r
• A area S de urn quadrado e fun~ao da medida de seu lado. Se x for a medida do lado, a
lei que relaciona S com x e:
s = x ' x ou S = x 2
42

• Os dados da tabela abaixo mostram urn inter-relacionamento entre y e x, dado pela lei:
y = x + 3.
Vamos agora realizar urn estudo sobre fun~6es usando as no~6es sobre conjuntos. Para
isso necessitamos da no~ao de par ordenado.
2. Par ordenado
Ao escrevermos os elementos de urn conjunto, nos 0 fazemos sem a preocupa~ao com a
ordem dos mesmos. Desse modo, {a, b, c) = {e, b, al. Se, porem, e dado urn conjunto com
dois elementos men, onde necessariamente m deva ser 0 primeiro elemento e n 0 segundo,
entao 0 conjunto desses elementos e chamado par ordenado e sera representado par (m, n).
Os parenteses em substitui~ao as chaves indicam que a ordem dos elementos deve ser consi-
derada. Assim, se a e b sao numeros reais, entao (a, b) e urn par ordenado de numeros reais,
em que 0 primeiro elemento e a e 0 segundo elemento e b.
Propriedade
Dois pares ordenados (a, b) e (e, d) sao iguais se e somente se a = e e b = d.
I(a, b) = (e, d) {=} a = e e b ='d I
Exemplos
Vamos calcular a e b nos seguintes casos:
a) (a, b) = (2,5)
b) (a + 1,6) = (5, 2b)
SolUfiio:
a) (a, b) = (2,5)
De acordo com a propriedade anterior, temos: a = 2 e b = 5.
b) (a + 1,6) = (5, 2b)
Temos: a + 1 = 5 ~ a = 4 e 2b = 6 ~ b = 3.
Grafico cartesiano do par ordenado
Todo par ordenado de numeros reais pode ser repre-
sentado no plano cartesiano por urn ponto. Associando-
se ao par (a, b) 0 ponto P, cuja representa~ao no plano
cartesiano e vista a seguir, dizemos que:
Y Eixo das ordenadas
• P eo ponto de coordenadas a e b;
• 0 numero a e chamado abscissa de P;
• 0 numero b e chamado ordenada de P;
• a origem do sistema e 0 ponto 0(0,0).
43
b
o
__ P(a, b)
a
Eixo das abscissas
•x

Observe a representa<;:ao dos pontos:
a) M(2, 3)
b) N( -1,4)
c) P(-2, -1)
d) Q(3, -2)
e) R(4, 0)
f) 5(-3,0)
g) T(O, 1)
h) V(O, -3)
N·~I
1 T
S
-4 -3 -2 -I 0
p. -I
-2
~r
R
2 3 4 x
1. Estabeleya a lei que relaciona y com x levando em conta os dados da seguinte tabela:
2. Determine a e b de modo que:
a) (a + 5, b + 4) = (2a - 3, 8)
b) (3a - 5, 2b + 1) = (3 - 5a, 5 - b)
c) (a 2
- 7a, 3b) = (-12, 5b -4)
d) (a, 3a) = (2b - 1, 5b)
3. Represente num mesmo plano cartesiano os pontos A(3, 2),8(-2, -3), C(4, -1),0(0,3), E(-4, 0)
e F(-3, 4).
3. Produto cartesiano
Dados os conjuntos A = 12, 3,4) e B = {3, 5), vamos formar todos os pares ordenados
onde 0 primeiro elemento pertence a A e 0 segundo, a B.
Temos: (2,3); (2, 5); (3, 3); (3, 5); (4,3); (4, 5). Ao conjunto de todos esses pares orde-
nados chamaremos produto cartesiano de A por B e 0 indicaremos por A X B.
Podemos representar graficamente urn produto cartesiano indicando os pares ordenados
por meio de flechas.
Portanto:
A X B = 1(2,3); (2, 5); (3,3); (3, 5); (4, 3); (4,5)1
44

De urn modo geral:
~,e A e B sao conjuntos nao-vazios, chama-se produto cartesiano de A por B 0 con-
juno de todos os pares ordenados (x, y) em que x E A eyE B, isto e:
A X B = {(x, y)1 x E A eyE Bl
Observas:ao: se A = 0 ou B = 0, entao A X B = 0.
Vejamos algW1S exemplos.
Exemplo 1
Dados A = (1, 3} e B = {2, 3,41, determinar:
a) A X B b) B X A
Solufao
Temos:
a) A X B = {(I, 2); (1, 3); (1, 4); (3,2); (3, 3); (3, 4)}
b) B X A = {(2, 1); (2, 3); (3,1); (3, 3); (4,1); (4, 3)}
c) A 2
= A X A = {(I, 1); (1, 3); (3,1); (3, 3)}
c) A 2
= A X A
Observe que 0 produto cartesiano nao ecomutativo, isto e, A X B *- B X A.
Exemplo 2
Dados A = {3, 4,5) e B = {I, 21, determinar 0 numero de elementos de A X B.
Solufao
o esquema nos mostra que cada elemento de A da origem a dois pares ordenados. Como A
tern 3 elementos, entao 0 numero de elementos de A X B e3 . 2 = 6. De urn modo geral,
se A tern m elementos e B tern n elementos, entio A X B ted m . n elementos.
4. Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2} e B = {-1, 1}, determine:
a) A x B b) B x A c) A2
d) B2
5. Dados A = {5, 6} e B = {3, 4, 5, 6}, determine 0 numero de elementos de:
a) A x B b) A x A c) B x A d) B2
6. Sejam A e B dois conjuntos tais que n(A) = 10 e n(B) = 3. Ache n(A x B).
7. Sendo A e B dois conjuntos, calcule x nos seguintes casos:
a) n(A) = 6, n(B) = x + 5 e n(A x B) = 54
b) n(A) = 3, n(B) = 7 e n(A x B) = 5x + 1
c) n(A) = x, n(B) = x - 2 e n(A x B) = 48
d) n(A) = 2x - 1, n(B) = x + 3 e n(A x B) = 8x - 1
45

Exemplo 3
Representar no plano cartesiano os produtos A X B nos seguintes casos:
a)A= {1,3,5}eB= {2,31
b) A = [1,4] e B = [1, 3[
c) A = {21 e B = [-3,3]
d) A = Ix E IRI x;:' I} e B = Iy E IRI y ;3 3}
-- .--- .
Solurao
a)A= {1,3,5} e B= {2,31
o grafico de A X B eformado pOl' todos os
pontos cuja abscissa eelemento de A e cuja
ordenada eelemento de B. Logo, A X B =
= {(I, 2); (1, 3); (3,2); (3, 3); (5, 2); (5, 3)).
Colocando esses pares ordenados no plano car-
tesiano, teremos sua representac;:ao cartesiana.
2 •
o 2
-.
4 x
b) A = [1,4] e B = [1, 3[
Pelos pontos de abscissas 1
e 4, trac;:amos retas perpen-
diculares ao eixo dos x.
Pelos pontos de ordenadas
1 e 3 trac;:amos retas parale-
las ao eixo dos x. Como 3
nao pertence ao intervalo
[1, 3[, a reta que passa pela
ordenada 3 sera tracejada.
A regIao retangular repre-
senta 0 grafico de A X B.
• y
4
.J .................•......
2
4
2
Do 234 x o x o 2 4 x
Grafico de A
c) A = {21 e B = [-3,3]
Pelo ponto de abscissa 2
trac;:amos uma reta perpen-
dicular ao eixo dos x.
Grafico de B
Pelos pontos de ordenadas
-3 e 3 trac;:amos retas parale-
las ao eixo dos x.
y
2
Grmco de A X B
o segmento de reta que liga 0
ponto (2, -3) ao ponto (2, 3)
representa 0 grafico de A X B.
2
o 1 2
Grafico de A
x o
-I
-2
-3
Grafico de B
46
x o
-I
-2
-3
2 3 4
Grafico de A X B
x

d) A = Ix E IRIx ~ If e B = {y E IRIy ~ 3}
y
4
3
2
o 2 3 4 'x
8. Represente no plano cartesiano os produtos A x B nos seguintes casos:
a) A = {-3, -1, 1, 3} e B = {2, 4}
b) A = {1, 4} e B = {-3, -2, 2, 3}
c) A = {2} e B = [1, 4]
d) A = [- 2, 3] e B = {3}
e) A = [1, 4] e B = [2, 4]
f) A={XElRlx~1}eB={yElRly~2}
9. Os grcHicos a seguir representam produtos cartesianos de A por B. Identifique, em cada caso, 0 con-
junto A e 0 conjunto B.
e--,
a)
:j
2T - ~
, --if-- --.j I ------+I----.,-I--~~
-2 -I 0 1 2 x
• -1 -- -.
.. :"2r-- ·
c) y
2
o
-I
-2
-3
2 x
e)
-3 o 4 x
:r.-.. -., .
b)
-2 _I 0
-I
-2
2 x
d) y
2
1
-3 -2 -I 0 1 2 3 x
-I
-2
f)
-3
y
o
-I
-2
4. No~ao de rela~ao
Dados os conjuntos A = (1,2, 3} e B = (2,3,4, 51, temos:
A X B = {(I, 2); (1, 3); (1,4); (1, 5); (2, 2); (2, 3); (2,4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5)}
47

Destaquemos de A X B, por exemplo, 0 conjunto R formado pelos pares (x, y) que satis-
fas:am a seguinte lei de associas:ao: x + y = 5, ou seja:
R = {(x, y) E A X B Ix + y = 5)
Na tabela abaixo estao todos os valores de x + y, com destaque para aqueles cuja soma e5.
1
2
3
1
3
4
1
4
5
1
5
6
2
2
4
2
3
5
2
4
6
2
5
7
3
2
5
3
3
6
3
4
7
3
5
8
Essa tabela nos mostra que R edado por:
R = ((1,4); (2, 3); (3, 2)}
Observe que RCA X B.
Consideremos urn outro conjunto Sde A X B, cuja lei de associas:ao seja dada por y > 2x,
ou seJa:
S = {(x, y) E A X BI y > 2x}
o diagrama de flechas nos mostra os casos em que y > 2x.
A B
Valores de x Valores de y
Temos, portanto:
S = {(I, 3); (1,4); (1, 5); (2, 5)}
Observe que SeA X B.
Os conjuntos ReS, subconjuntos de A X B, constituem exemplos de rela~6es de A em B.
De urn modo geral:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relas:ao de A em B qualquer subconjunto de
A X B, isto e:
R euma relas:ao de A em B ** RCA X B
10. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 3} e B = {O, 1, 2, 4, 6, 10j, determine as seguintes rela90es de A
em B:
a) R1 = {(x, y) E A x Bly = 2x + 4}
b) R2 = {(x, y) E A x BIY= x2}
c) R3 = {(x, y) E A x Bly = 12xl}
11. Sendo A = {-2'-1, - +,O},determine:
b) R2 = ~X,Y)EA2IY=x+ ~}
48

12. Sendo A = {1, 2, 3, 6, 9}, determine as seguintes relayoes:
a) R = {(x, y) E A21 x . y = 18} b) S = {(x, y) E A21 x2 + y2 < 20}
13. Determine as seguintes relayoes:
a) R = {(x, y) E IN x IN12x + Y = 10} b) R = {(x, y) E IN X Zlx2 + y2 = 25}
5. No~ao matematica de fun~ao
Sejam dados, por exemplo, os conjuntos A = {2, 3, 51 e B = (1,3,4,61.
Vamos considerar os conjuntos de pares (x, y), tais que x E A eyE B.
Sabemos que qualquer urn desses conjuntos e chamado rela~o de A em B; porem, se a
rela~ao associar cada e1emento de A a urn <:mico e1emento de B, dizemos que ela e uma
fun~o de A em B.
Tomemos, por exemplo, 0 conjunto dos pares (x, y) E A X B, definidos pela lei de asso-
cia~ao: y = x + 1.
Veja 0 esquema:
Chamando de R essa rela~ao, temos que:
R = {(x, y) E A X BI y = x + 1l,
ou seja:
R = ((2,3); (3,4); (5, 6)}
Observe que cada x pertencente a A esta
associado a urn f:m.ico y pertencente a B. Nesse
caso, a rela~ao e urna fun~o de A em B.
Consideremos agora 0 conjunto dos pares (x, y) E A X B, definidos pela lei de associa-
~ao: y < x.
Veja 0 esquema:
Chamando de S essa rela~ao, temos que:
S = {(x, y) E A X BI y < xl,
ou seja:
S = ((2,1); (3,1); (5,1); (5, 3); (5, 4)}
Nesse caso, nao acontece de cada x perten-
cente a A estar associado a urn :mico y perten-
cente a B. Assim sendo, a rela~ao S n3:o efun-
~o de A em B.
Observe as re1a~6es de A = {Xl> x2, X3, x4 1em B = {YI, Y2, Y3, Y4, Ysl mostradas nos seguin-
tes esquemas:
Esta rela~ao efun~o de A em B, pois para
cada x de A esta associado urn unico Y de B.
49

Esta relas;ao nao efuns;ao de A em B, pois
o elemento X2 de A esta associado a mais de
urn elemento de B.
Esta relas;ao nao efuns;ao de A em B, pois
o elemento X 3 de A nao esta associado a
nenhum elemento y de B.
De urn modo geral:
Dados os conjuntos A e B, nao-vazios, e uma relas;ao R de A em B, dizemos que R e
uma funs;ao de A em B se para cada x de A existir em correspondencia urn unico y de B.
14. Os esquemas abaixo representam relayoes de A em B. Indique as .relayoes que sao funyoes.
a)
A-_r.t c) A B e)
.A.~B~.I
2.~:~ 2.~.2
.3
3. 4 • 8. .6
• 4
10.
b) d) f)
15. Dados os conjuntos A = (-2, -1, 0, 1, 2) e B = {O, 1, 2, 3, 4}, construa 0 esquema de flechas e,
atraves dele, identifique as relayoes que sao funyoes.
a) R1 = {(-2, 0); (-1,1); (0, 2); (1, 3); (2, 4)}
b) R2 = {(-2, 0); (-2, 1); (0, 2); (0, 4)}
c) Rs = {( -2, 2); (-1, 2); (0, 3); (1, 3); (2, 4)}
d) R4 = {(O, 0); (1, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4)}
16. Sendo A = {-1, 0, 1, 2} e B = {O, 1, 2, 3, 4}, identifique as relayoes que sao funyoes.
a) R1 = {(x, y) E A x B Iy = x2
}
b) R2 = {(x, y) E A x B Iy = x + 1}
c) Rs = {(x, y) E A x B /y = 2x + 1}
50

6. Linguagem das fun~oes
Dados dais conjuntos nao-vazios A e B, e
uma lei f que associa a cada demento x de A
urn fullco demento y de B, teremos uma fun-
c;:ao fde A em B.
1Q) Ao conjunto A da-se a nome de domi-
nio da func;:ao. 1ndica-se a dominio da func;:ao
fpor D ou D(f). Logo, D(f) = A.
2Q
) Ao conjunto B da-se a nome de contra-
dominio da func;:ao. 1ndiea-se 0 eontradominio
da func;:ao fpor C(f). Logo, C(f) = B. Dominic
Conjunto imagem
Contradominio
3Q
) Ao elemento yde B, assoeiado ao elemento xde A, da-se 0 nome de imagem de x, pela
func;:ao f 1ndiea-se que yea imagem de x pela notac;:ao y = f(x) (le-se: ye igual a f de x).
4Q
) Ao conjunto dos elementos y de B, que sao imagens dos elementos x de A, da-se a
nome de conjunto imagem au simplesmente imagem da func;:ao. 1ndiea-se a eonjunto ima-
gem da func;:ao par 1m au 1m(f). Para toda func;:ao, 1m C B.
5Q
) 1ndiea-se que fe uma ftll1c;:ao de A em B pela notac;:ao f: A -> B (le-se: fde A em B).
Observas:ao: a ftll1c;:ao tambem poderia ter sido indieada par qualquer outra !etra.
Para que uma func;:ao fique bem definida e preciso que sejam dados as conjuntos nao-
vazios A e B e uma lei que assoeie a eada x de A um linieo elemento y de B.
Vejamos os exemplos.
Exemplo 1
Dados as eonjuntos
A = {I, 2, 31 e B = {O, 1,2,3,4,5,6, 7},
eonsideremos a func;:ao f: A -> B,
definida par f(x) = 2x + 1 au y = 2x + l.
Temos:
Para x = 1 => y = 2 . 1 + 1 = 3.
Para x = 2 => y = 2 . 2 + 1 = 5.
Para x = 3 => y = 2 . 3 + 1 = 7.
Logo,f= {(I, 3); (2,5); (3, 7)1.
1ndiea-se que 3 e a imagem de 1, pela func;:aoj, porf(l) = 3.
Da mesma forma, temos: f(2) = 5 e f(3) = 7.
o eonjunto imagem dessa func;:ao e 1m(f) = (3,5, 71.
y=2x+ I
(Lei de associa,ao)
Exemplo 2
Dado A = {-2, -1,0, 1, 2}, determinar a eonjunto imagem da func;:ao f: A -> IR, definida
par f(x) = x 2
.
SolUfao
Temos: f( -2) = (-2)2 = 4
f(-I) = (-I? = 1
f(O) = (0)2 = 0
Portanto 1m(f) = {O, 1, 4}.
f(I)=1 2
=1
f(2) = 22
= 4
51

Exemplo 3
Dada a func;:ao f: IN -+ IR, definida por f(x) = 2x2
- 7x + 3, calcular 0 valor de x para que
f(x) = O.
SolUfiio
f(x) = 0 =} 0 = 2x2
- 7x + 3
2x2
- 7x + 3 = 0
11 = (-7? - 4· 2· 3 = 49 - 24 = 25 =} ~ = 5
-(-7) ± 5 7 ± 5 1
x = = - - =} x = 3 ou x = - $ IN.
2·2 4 2
Como D(f) = IN, entao x = 3.
17. 0 diagrama representa uma fun<;:ao de A em B. Pede-se:
a) f (1)
b) f(2)
c) f(3)
d) D(f)
e) C(f)
f) Im(f)
18. Dada a fun<;:ao f: IR --+ IR, definida por f (x) = 5x - 3, determine:
a) f(-2) c) f(O)
b) f( +) d) f(-3)
19. Dada a fun<;:ao f: IR --+ IR, definida por f (x) = 5x2
- 8x + 3, calcule:
e) x, sabendo que f (x) = 2
f) x, sabendo que f (x) = -1
20. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1} e B = {-3,
da fun<;:ao f: A --+ B, definida por:
a) f (x) = x + 3 b) f (x) = 3x
0, +, 1, 2, 3, 1,determine 0 conjunto imagem
a) f(-1)
b) f (0) d) f(.J2)
c) f(x) = 3X
e) x, de modo que f (x) = 0
f) x, de modo que f (x) = 7
d) f(x) = E.13
21. Dada a fun<;:ao f de IN em IR, definida por f (x) = x2
- 3x - 3, determine x, tal que f (x) = 1.
Exemplo 4
Sendo f(x - 5) = 3x - 8 uma func;:ao de IR em IR, calcular f(x).
SolUfiio
Fazendo x - 5 = t, temos: x = t + 5.
Substituindo, emf(x - 5) = 3x - 8, x por t + 5, teremos:
f(t) = 3 . (t + 5) - 8 =} f(t) = 3t + 15 - 8 =} f(t) = 3t + 7.
Logo,f(x) = 3x + 7.
52

22. Dada a func;:ao ,: IR ---> IR, definida por , (x + 1) = 5x - 2, calcule '(x).
23. Na func;:ao ,: IR ---> IR, definida por '(3x - 2) = 2x + 5, calcule '(4).
24. Dada a func;:ao ,: IR ---> IR, definida por ,(x + 2) = x + 2, calcule ~~~~.
25. Dadas as func;:5es '(3x + 1) = x + 2 e g(x - 3) = 4x + 7, de IR em IR, calcule 0 valor de
'(4) + g(-1).
7. Domlnio de uma fun~ao real de variavel real
Vimos que para definir uma funr;ao enecessario conhecermos dois conjul1tos A e B nao-
vazios e a lei que associa a cada elemento x de A urn unico elemento y de B. 0 entanto, e
comum definirmos uma funr;ao fapenas pela lei de associar;ao, sem especificarmos os conjun-
tos A e B. Nesse casa, convencionaremos que A e B sao subconjuntos de IR e diremos que
f euma fun~ao real de variave1 real.
o conjunto A, dominio da funr;ao f, sera formado par todos os valores reais de x, para os
quais as operar;6es indicadas na lei de associar;ao sejam possiveis em IR.
Exemplo
Determinar 0 dominio das seguintes funr;6es de variavel real:
a) y = Xl + 3x c) f(x)=_x-
x-2 e) f(x)=,3x-2 +'-x+4
1
b) y=-
x
f) f(x) =
SolUfiio
a) y = x 2
+ 3x
Substituindo x por qualquer numero real, obteremos para y urn valor real.
Logo, D( f) = IR.
1
b) )' =-
x
A expressao .l- somente tera sentido se x *- o.
x
Logo, D( f) = IR*.
c) f(x) =_x_
x-2
A expressao x 2 somente tera sentido se x - 2 *- 0, ou seja, se x *- 2.
x -
Logo, D(f) = IR - 121 ou D(f) = Ix E IR Ix *- 21·
d) Y =~3x - 2
Substituindo x por qualquer nlllnero real, obteremos para y urn valor real.
Logo, D( f) = IR.
53

e) f(x) = ~3x - 2 +,I-x + 4
Devemos ter simultaneamente:
{
3x - 2 ~ 0 ~ 3x ~ 2 ~ x ~ ~
-x + 4 ~ 0 ~ -x ~ -4 ~ x:S;: 4
Determinemos a solu~ao comum:
2
3"
(51) •
4
•2
3"
f) f(x) = -J;+2
.,J-x+4
1
i
4
Devemos ter simultaneamente:
x + 2 ~ 0 ~ x ~ -2
-x + 4 > 0 ~ -x> -4 ~ x < 4
Logo, D(f) = {x E IR 1-2:S;: x < 4}.
EXERCICIO PROPOSTO
26. Determine 0 dominio das funyoes.
2x - 1 5 2
a) Y= 3x + 2 f) y= I) y=-+--
,!3x + 5 x x-2
b) Y = x2
- 4
3x + 1 5 2
g) y=
x2
- 1
m) Y=- +
x-2x
2x - 1 x+4 5 2
c) y=-- h) y=
x2
-7x+12
n) Y=-+
.JX+2x-2 x
d) Y = ,!3x + 5 i) Y = ~-3x + 1 0) Y = ..-Ix - 2 + 2x - 1
-.j3X+5 rx=2 x-1e) y = ~3x + 5 j) y= p) Y=,x-2 +--
2x - 1 x+3
8. Grafico de uma fun~ao
Dada urna rela!tao f( fun!tao ou nao), se representarmos no plano cartesiano tOOos os pares orde-
nados (x, y), com x E D(f) e y = f(x), abteremas urn conjunto de pontas que e0 gcifico de f
Exemplo 1
Representar no plano cartesiana 0 grifico da fun~ao f(x) = 2x - 1, nos casas em que a domi-
Ilio seja:
a) D(f) = {-I, 0,1,2, 3} b)D(f) = {xE IRI-l :S;:x:S;: 3}
54
c) D(f) = IR

4
5
Grmco
-4 -3 -2 -I 0 1 2 4 5 x
B -I
/ -2
A_ -- -3
/
C(1,1)
D(2, 3)
E(3, 5)
B(O, -1)
A(-I, -3)
Tabela
3
5
1
-3
-1
3
2
1
°
-1
SolUfiio
a) D(f) = 1-1,0,1,2, 3}
Para cada x E D(f), vamos encontrar 0 valor y = 2x - 1. Com isso obteremos os pares
(x, y), que representados no plano cartesiano pelos pontos A, B, C, D, Enos dao 0 grifi-
co da funs;ao.
Para x = - 1 =) y = f (- 1) = 2( - 1) - 1 = - 3.
Para x = ° =) y = f (0) 2 . °- 1 = - 1.
Para x = 1 =) y = f (1) 2 . 1 - 1 = 1.
Para x = 2 =) y = f(2) 2 . 2 - 1 = 3.
Para x = 3 =) y = f (3) 2 . 3 - 1 = 5.
Observe que os pontos A, B, C, DeE estao apoiados sobre uma reta. Isso acontece para
qualquer ponto determinado pela funs;ao y = 2x - 1.
55

Exemplo 2
Construir 0 grafico da funr;ao)' = f(x) = x2
- 1, nos seguintes casos:
a) D(f) = {-2, -1,0,1,2) b) D(f) = (x E IR 1-2:;;; x:;;; 2} c) D(f) = IR
x )' Ponto (x, y)
-2 3 A(-2, 3)
-1
° B(-I, 0)
° -1 qo, -1)
1
° D(I,O)
2 3 E(2, 3)
- -
SolUfaO
a) Tabela Grafteo
4
A. 3
.E
2
B D
-3 -2 -I 0 2 3 x
-I
C
-2
y
c) 0 grifico da funr;ao y = x 2 - 1 ea curva
abaixo. Curvas desse tipo sao chamadas
parabolas.
o grafico e0 conjunto dos pontos A, B, C, DeE.
b) 0 grafico ea curva abaixo.
E
x x
27. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = 2x + 1 nos seguintes casos:
a) O(f)=·{-2,-1,0,1,2} b) O(f)=[-2,2] c) O(f) = IR
28. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = x2
- 3 nos seguintes casos:
a) O(f)={-3,-2,-1,0,1,2,3} b) O(f) = [-3,3] c) O(f) = IR
29. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = 4 - x2
nos seguintes casos:
a) O(f) = {-3, -2, -1,0,1,2, 3) b)O(f)={XEIRI-3,,;;x";;3} c) O(f)=1R
30. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = 2 x + 1 nos seguintes casos:
a) O(f) = {-3, -2, -1,0, 1) b) O(f) = [-3, 1] c) O(f) = IR
31. Construa 0 grafico da funt;:ao f(x) = ~ nos seguintes casos:
x
a) O(f)= {-2,-1,-f,f,1,1 b)O(f)=IR*
32. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = x3
, sendo O(f) = {-2, -1, 0, 1, 2).
56

9. Analise de graficos
Ao examinarmos 0 grifico de uma re!a<;ao R, e possive! obter atraves dele algumas infor-
ma<;6es sobre as propriedades que a caracterizam, como par exemplo:
• reconhecer se R e ou nao e fun<;ao;
• se R for uma fun<;ao, identificar graficamente 0 dominio e 0 conjunto imagem e deter-
minar, se existirem, os valores de x para os quais R(x) = O.
Como reconhecer quando
um grafico representa uma fun~ao
Exemplo I
Verificar se os conjuntos de pontos das figuras constituem grificos de uma fun<;ao com domi-
nio D = (I, 2, 3,4):
a) b)
4 4
.---. .-- - - •
2 • 2 ,- - .,
• I· -- - .- ..
-I 0 2 4 x -I 0 2 4 x
-I -I
Solurao
a) 0 grifico representa uma fun<;ao, pois ca-
da xED tem uma unlca imagem.
b) 0 grifico nao representa fun<;ao, pois 0
e!emento x = 2 tem duas imagens: y = 1
e y = 2.
Exemplo 2
Reconhecer, a seguir, as curvas que representam fun<;6es:
a) y
o x
b)
o x
Solurao
Para reconhecer se uma curva representa ou nao uma fun<;ao, basta verificar se qualquer reta
parale!a ao eixo Oy e que passe por um ponto do dominio:
• encontra a curva em um s6 ponto; nesse caso a curva e grifico de uma fun<;ao;
• nao encontra a curva ou a encontra em mais de um ponto; nesse caso a curva nao e grifi-
co de uma fun<;ao.
57

Visto isso:
a) b) y
o x o
Dominio
x
Nao existe reta paralela ao eixo )' passando
por urn ponto do dominio que corte a curva
em mais de urn ponto. Essa curva egrafico de
uma funS;ao.
Existe reta paralela ao eixo y passando por urn
ponto do dominio que corte a curva em mais
de urn ponto. Essa curva nao e grafico de
uma funS;ao, pois para alguns valores de x
existe, em correspondencia, mais de um valor
de y.
33. Identifique os conjuntos de pontos que representam grafico de fungoes com domfnio D = {-2, -1, 1, 2).
a) b) c) d)
• •
2 • 2 • 2
• • 2
• • • • • • •
• -. • • • •
-2 -I 0 1 2 3 x -2 -I 0 2 x -2 -I 0 2 x -2 -I 0 2 x
• •-I • • • -I •-I
-I
-2 -2 • -2
-2
34. Identifique os graticos que sao fungoes.
D =[-3.3]
g)
xo 1 2
e)D=IRc)
x
a)
b) d) f) h) y
D=IR
2 D=IR
x -2 -I 0 I 2 x -2 x 0 x
-I
58

Identifica~ao pelo grafico do dominio
e imagem de uma fun~ao
Considere a nll1S;aO representada pelo grifico abaixo:
~{:.E 3
2
o l 2 3 4 5 !J x
o dominio e0 conjunto das abscissas x dos
pontos do grafico.
Na figura, temos:
D(f) = [x E IR 11 <S; x <S; 6)
A imagem e 0 conjunto das ordenadas y
dos pontos do grifico. Na figura, temos:
Im(f) = ly E IR 12 <s; Y <s; 5)
EXERCiclO PROPOSTO
35. Determine 0 dominic e 0 conjunto imagem das fungoes.
-2 -I 0 1 2 3 x
-I
•-2
-2 -I 0
-I
-2
d)
xo
c)b) y
•
-- - .2
a)
Zeros de uma fun~ao
Os valores de x para os quais f(x) = 0 chamam-se zeros ou raizes da funS;ao. Geometrica-
mente os zeros de uma funs;ao sao as abscissas dos pontos onde 0 grafico corta 0 eixo x.
No grifico abaixo, temos:
f(l) = 0 e f(5) = 0
Logo, os numeros 1 e 5 sao os zeros da nll1s;ao.
o
A (1,0) e B (5,0)
x
59

Fun~ao crescente e fun~ao decrescente
o I+-A -I+- B--l
De um modo geral:
x
Considere a fw1~ao fdefinida pelo gratlco.
Observe que, no intervalo A, aumentando
o valor de x, aumenta tambem 0 yalor de y.
Dizemos entao que a fun~ao e crescente no
intervalo A.
No intervalo B, aumentando 0 valor de x,
o valor de y diminui. Dizemos entao que a
fi.ll1~ao e decrescente no intervalo B.
Sendo XI e X2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com Xl < X2,diz-se que
a fun~ao e crescente em A sef(x]) < f(x2 ) e decrescente sef(x]) > f(x2 ).
Exemplo
Dada a fi.ll1~ao representada pelo grafico ao lado,
vamos determinar:
a) os zeros da fun~ao;
b) os intervalos onde a fun~ao e crescente
e decrescente.
Solurao
a) Os zeros da fun~ao sao as abscissas dos pontos
onde a curva corta 0 eixo x. Logo, os zeros
da fun~ao sao -1, 0 e 1.
b) A fun~ao e crescente nos intervalos
A = {X E n<lx ~ - ~} e
x
B = {X E n<lx;;': ~} e decrescente no intervalo C = {X E n<1- ~ ~ X~ ~}.
36. Determine as zeros das func;:6es representadas graficamente.
a) b) y c) y
x
60
x

37. Nas fun90es reais definidas pelos graticos a seguir, de os intervalos em que cada uma e:
• crescente • decrescente
a)
x
b) c)
Valor maximo e valor minimo
Consideremos a funs:ao I: IR -+ IR, dada peIo seguinte grafieo:
o
-I
v
x
Esse grafico nos mostra que, para todo x do seu dominio, tem-se:
I(x) ;;. 1(4),
pois 1(4) = -1 e eIa nao assume nenhum valor menor que -1.
Nessas condis:6es, dizemos que 4 e urn minimante da funs:ao e 0 valor1(4) = -1 eo seu
valor minimo. 0 ponto do grafieo onde oeorre 0 valor minima e V(4, -1).
Da mesma forma, para a funs:ao g: IR -+ IR, definida peIo grafieo:
y
v
x
tem-se que, para qualquer valor de x do seu dominio,g(x) ,;;;; g(3).
Nessas eondis:6es, dizemos que 3 e urn maximante da funs:ao e 0 valor g(3) = 4 e 0 seu
valor maximo. 0 ponto do grafico onde ocorre 0 valor maximo e V(3, 4).
Vamos generalizar esses coneeitos eonsiderando as funs:6es representadas peIos grafieos da
pagina seguinte.
61

o grafico ao lado nos mostra que para to-
do x do dominio da funr;ao temos:
f(x) ~ f(xo)
Dizemos entao que X o e urn minimante
da funr;ao fe Yo = f(xo) e 0 valor minimo da
funr;ao.
o ponto do grafico da funr;ao f onde
ocorre 0 valor minimo e V{xo, Yo).
o grafico ao lado nos mostra que para to-
do x do dominio da funr;ao temos:
f(x) ,,;;: f(xo)
Dizemos entao que X o e urn maximante
da funr;ao fe Yo = f(xo) e 0 valor maximo da
funr;ao.
o ponto do gra.fico da funr;ao f onde
ocorre 0 valor maximo e V(xo, Yo).
y
v
f(xol --~
x
x
o grafico ao lado nos mostra que a funr;ao
fnao tern maximante nem minimante.
Fun~io par e fun~io impar
(
y
x
Considerando a funr;ao f(x) = Xl - 4, temos:
f(-l) = f(l) = -3
f(-2) = f(2) = 0
f(-3) = f(3) = 5
Isso quer dizer que a funr;ao possui 0 mes-
mo valor para valores simetricos da variavel.
Dizemos entao que a funr;ao e par. Observe
que a funr;ao tern 0 grafico simetrico em relar;ao
ao eixo y.
62
x

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