Apostila de Desenho Técnico e Geometria Descritiva parobe

1. CENTRO TECNOLÓGICO ESTADUAL PAROBÉ
ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL PAROBÉ
CURSO TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES
GEOMETRIA DESCRITIVA
Polígrafo elaborado pela Professora
Carmen Moniz, Coordenadora do
Componente Curricular.
Porto Alegre

2. 2009
SUMÁRIO
Carga Horária....................................................................................................... 03
Competências.........................................................................................................03
Habilidades.............................................................................................................03
Material...................................................................................................................03
Conteúdos Programáticos e Formas de Desenvolvimento.....................................04
Iniciação.................................................................................................................05
1. Traçado de Linhas à Mão Livre....................................................................06
2. Letra Técnica...............................................................................................06
Exercícios.....................................................................................................08
3. Selo..............................................................................................................13
Selo Utilizado no Componente Curricular....................................................14
4. Formatos e Margens....................................................................................14
5. Dobras..........................................................................................................14
6. Traçado com Instrumentos de Desenho......................................................16
7. Escala..........................................................................................................17
8. Cotas............................................................................................................18
9. Perspectiva..................................................................................................19
Geometria Descritiva............................................................................................21
1. Sistemas de Projeção..................................................................................22
2. Planos de Projeção......................................................................................23
3. Estudo do Ponto..........................................................................................25
Lay out para as folhas de exercício.............................................................28
4. Estudo da Reta............................................................................................29
Posições da Reta.........................................................................................30
Exercicios de Reta.......................................................................................31
5. Estudo do Plano.........................................................................................32
Posições do Plano.......................................................................................33
Exercicios.....................................................................................................34
6. Estudo do Solido.........................................................................................37
Exercicios de Solido.....................................................................................38
Bibliografia....................................................................................................44
2

3. CARGA HORÁRIA
5 horas-aula/semana – de 80 a 100 horas-aula/semestre
COMPETÊNCIAS
• Interpretar as legislações e as normas técnicas pertinentes.
• Interpretar as convenções do desenho técnico.
• Aplicar normas, métodos, técnicas e procedimentos visando à qualidade do
trabalho.
• Conhecer os entes geométricos (ponto, reta, figuras planas e sólidos) no
espaço tridimensional.
• Conhecer a planificação do sistema espacial – épura - dos entes
geométricos projetados nos planos ortogonais de projeção.
• Compreender a visualização tridimensional.
HABILIDADES
• Desenvolver levantamentos, croquis e esquemas gráficos usando grafite e
ferramentas computacionais, de acordo com as normas técnicas.
• Usar os instrumentos, ferramentas e tecnologia disponível apropriadamente
para a execução de trabalhos.
• Observar as normas técnicas de desenho.
• Desenvolver a visualização espacial e planificada
• Aplicar adequadamente os conceitos e princípios da geometria descritiva.
• Utilizar adequadamente os instrumentos de desenho.
MATERIAL
• Régua “T” (80 cm) ou paralela (conforme mesa)
• Escalímetro (1:100; 1:50; 1:20).
• Esquadro de precisão 45°
• Esquadro de precisão 30°/60°
• Lapiseira 0,5
• Fita adesiva
• Borracha
• Compasso
• 25 folhas de papel sulfite tamanho A3 com margem
• 2 folhas de papel manteiga formato A1
• Material de limpeza (pano, “bigode”, benzina ou álcool,...)
3

4. • Material a ser adquirido no setor de cópias (polígrafo)
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS E FORMAS DE DESENVOLVIMENTO
1. Normas e exercícios de traçado à mão livre de linhas perpendiculares em
folha sulfite A4.
2. Letra Técnica tipo bastão: normas e exercícios; Selo: utilização, dimensões,
componentes e elaboração de selo utilizado na disciplina de Geometria
Descritiva.
3. Normas de formatos A1, A2, A3, A4 e A5, margens e dobras utilizadas em
trabalhos técnicos: exercício prático em papel manteiga.
4. Normas do traçado com instrumentos de desenho e exercício de fixação em
papel sulfite A3, com a utilização dos instrumentos de desenho.
5. Escala de ampliação, escala natural e escala de redução; utilização do
escalímetro, exercícios de fixação no polígrafo e exercícios em folha A3
representando uma planta baixa simplificada em três escalas distintas,
evidenciando espessura das paredes, aberturas (simplificadas) e cotas.
6. Perspectiva paralela cavaleira e isométrica; Exercícios de volumes cotados,
representados nas duas perspectivas e exercício de planta baixa
representada em perspectiva isométrica (iniciação ao esteriograma).
7. Sistemas de Projeção: Sistema Cônico e Sistema Cilíndrico (oblíquo e
ortogonal); Planos de Projeção a partir do Sistema Mongeano: Plano
Horizontal, Vertical e de Perfil; Sistema Espacial – TRIEDRO – e
Planificação do Sistema Espacial – ÉPURA. Estudo do Ponto: Abscissa,
afastamento e cota; Coordenadas Descritivas; Localização do ponto no
triedro e na épura.
8. Exercícios de ponto.
9. Estudo da Reta: Projeções ortogonais de retas no triedro e na épura;
Análise das projeções nos planos de projeção; Classificação das retas.
10.Exercícios de reta.
11.Estudo do plano: Projeções ortogonais de planos no triedro e na épura;
Análise das projeções nos planos de projeção; Classificação dos planos.
12.Exercícios de plano.
13.Avaliação dos conteúdos abordados.
14.Estudo dos sólidos: Substituição da projeção ortogonal no triedro
(construída através de coordenadas descritivas) por representação em
perspectiva isométrica a 30°, cotada, e respectiva representação em épura.
15.Exercícios de sólidos.
16.Avaliação dos conteúdos abordados.
4

5. 5

6. . Iniciação
1. TRAÇADO DE LINHAS À MÃO LIVRE
O traçado à mão livre deve seguir as ordens:
1. Da esquerda para a direita
2. De cima para baixo
A linha pode ser:
1. Cheia – linha propriamente dita.
2. Tracejada – projeção de uma linha.
3. Traço-ponto – eixo de simetria.
4. Curva.
As linhas paralelas devem obedecer a espaçamentos regulares e em desenho
arquitetônico são traçadas usualmente:
1. Na horizontal
2. Na vertical
3. Inclinadas (30°, 45° e 60°)
2. LETRA TÉCNICA
O tipo bastão é recomendado pelas normas brasileiras de desenho técnico “NB 8”.
Ele pode ser do tipo vertical, onde as hastes são representadas a 90°, ou do tipo
inclinado, onde as hastes são representadas a 75°.
Proporções:
1. Escolher a altura (pauta) da letra
2. Dividir a pauta (h) em três partes iguais e acrescentar 1/3 para baixo.
3. O corpo das letras minúsculas ocupa 2/3 da pauta. As hastes superiores e
inferiores ocupam devidamente 1/3 para cima e 1/3 para baixo.
6
Hastes superiores
Letras minúsculas
Hastes inferiores

7. Espaçamentos:
1. Entre letras: de 1/7 até 2/7 da pauta “h”.
2. Entre palavras: 4/7 da pauta “h”.
Observações:
1. O espaçamento correto deve ser ótico e não mecânico. Acima temos
apenas uma noção para iniciar os espaçamentos.
2. O estilo, a altura, a verticalidade ou inclinação e a espessuras dos traços
devem ser uniformes, garantindo condições de um bom letreiro.
3. Todos os trabalhos técnicos feitos em Desenho Técnico Básico, em
Geometria Descritiva, em Desenho Arquitetônico e outros devem ser
escritos com letras e algarismos técnicos.
4. Toda escrita deve estar apoiada nas linhas guias, garantindo sua
regularidade. Estas linhas devem ser traçadas com pouca expressão e não
precisam ser apagadas.
Exercícios:
1. Escrever com letra técnica, conforme as normas de traçado à mão livre,
proporções e espaçamentos, as letras e os algarismos que seguem:
7

8. Desenhar cada letra, o número de vezes que for possível fazer no espaço
ao lado.
8

9. 9

10. 10

11. 11

12. 12

13. 3. SELO
• O selo ou legenda é utilizado nos trabalhos técnicos para uniformizar as
informações que constam na prancha, organizando todo o conjunto de
plantas. O selo identifica cada prancha.
• A altura do selo varia conforme necessidade; A largura e de 17,5cm ou
18,5cm, dependendo do formato utilizado.
• O selo ocupa o espaço da 1ª dobra, localizado junto à margem direita, no
canto inferior da folha.
• No selo feito à mão livre a escrita e os algarismos devem ser com letra
técnica, com a utilização de linhas guias para manter a uniformização.
Deve possuir os seguintes itens, ficando a critério do escritório o acréscimo ou
supressão de alguns:
1. Título do projeto (casa residencial, edifício comercial,...).
2. Endereço da obra.
3. Marca e nome da construtora.
4. Proprietário (nome e espaço para assinatura)
5. Projeto (nome do responsável técnico, assinatura e nº do CREA).
6. Execução (nome do responsável técnico, assinatura e nº do CREA).
7. Assunto (desenhos que constam na prancha: fachada, planta baixa,...).
8. Data.
9. Escala.
10.Desenho (1º nome do desenhista).
11.Nº da prancha (geralmente no canto direito inferior, como se fosse a
página).
Observação:
 Para os trabalhos desenvolvidos em Desenho Técnico Básico no curso de
Edificações usaremos selo com 6 cm de altura com as seguintes
informações:
• CENTRO TECNOLÓGICO ESTADUAL PAROBÉ
• Componente Curricular: GEOMETRIA DESCRITIVA
• Assunto: .......................
• Turma: ..........; Professor: ..........................
• Data: ............; Aluno: .......................................; Visto: ..........
• Logotipo do aluno no canto superior esquerdo.
• Nº da prancha no canto inferior direito.
Exercício:
 Desenhar um selo para o componente com caixas de 1 cm, medindo 17,5 X
6,0, contendo todas as informações necessárias.
13

14. CENTRO TECNOLÓGICO ESTADUAL PAROBÉ
CURSO TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES
COMPON. CURR. GEOMETRIA DESCRITIVA
TURMA ALUNO FULANO DE TAL
DATA ASSUNTO TRAÇADO COM INSTRUMENTOS VISTO
3,0 12,5 2,0
17,5
4. FORMATOS E MARGENS
A associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) normalizou os formatos das
folhas de desenho criando a série “A”. Estes formatos têm origem na folha A0 que
mede 84,10cm por 118,90cm que é igual a 1m². Dividindo-se a folha A0 no meio,
obtemos duas folhas A1 e assim sucessivamente. As margens também são
normalizadas.
formato dimensões
em mm
margem
esquerda
demais
margens
legenda
A0 841 X 1189 25 10 175
A1 594 X 841 25 10 175
A2 420 X 594 25 7 178
A3 297 X 420 25 7 178
A4 210 X 297 25 7 178
A5 148 X 210 - - -
14
11112

15. 5. DOBRAS
Como o formato A4 corresponde ao tamanho de arquivo, os demais formatos
devem ser dobrados a partir dele. O procedimento para dobrar o papel, planta ou
prancha segue este modelo, sempre permanecendo o selo para frente, conforme o
esquema:
15
Efetua-se o
dobramento a
partir do lado
direito em
dobras verticais
de 185 mm.

16. 6. TRAÇADO COM INSTRUMENTOS DE DESENHO
Todo traçado com instrumentos de desenho deve ser feito com folha previamente
fixada na mesa, de acordo com a régua “T” ou paralela, e seguir as ordens:
1. Da esquerda para a direita – sobre régua “T” ou paralela.
2. Debaixo para cima – apoiado em um esquadro, que por sua vez, estará
apoiado na régua “T” ou paralela.
O uso das linhas no desenho arquitetônico:
• Traço fino cheio cotas, azulejos, pisos, aberturas.
• Traço cheio grosso linhas visíveis e de contorno.
• Traço-ponto fino eixo de simetria.
• Traço-ponto grosso cortes ou seções.
O uso das cores no desenho arquitetônico:
• Preto ou azul existente.
• Amarelo a demolir (reforma).
• Vermelho a construir.
• Verde concreto, estrutura.
Exercício:
1. Em uma folha de papel sulfite A3 (prancha 1) fazer 10 repartições.
Utilizando as técnicas de traçado com instrumentos, traçar linhas paralelas
com espaçamento de 0,5cm e os seguintes ângulos:
• Linha cheia, 0 graus;
• Linha cheia, 90 graus;
• Linha cheia, 45 graus;
• Linha cheia, 30 graus;
16

17. • Linha cheia, 60 graus;
• Linhas cheias cruzadas, 0 e 90 graus;
• Linhas cheias cruzadas, 45 e 135 graus;
• Linhas cheias, curvas, com um mesmo vértice;
• Linhas tracejadas, 0 graus;
• Linhas traço-ponto, 90 graus.
7. ESCALA
Escala é a relação constante existente entre as dimensões de um desenho e as
dimensões reais do desenho que ele representa.
A Escala de Ampliação é utilizada quando se deseja desenhar objetos de
pequenas dimensões. Nesta escala duas unidades de desenho são representadas
por uma unidade do objeto (esc. 2:1). Ex: Instrumentos científicos, pequenas
peças,...
A Escala Natural é utilizada para representar os objetos no tamanho real. A
unidade do desenho é igual à unidade do objeto (esc. 1:1). O desenho é feito em
verdadeira grandeza (VG). Ex: Trabalhos de entalhe, letreiros, modelos,...
A Escala de Redução é utilizada quando se deseja desenhar objetos de grandes
dimensões. Nesta escala o desenho é invariavelmente menor do que o objeto
desenhado em escalas variadas como: 1:20, 1:50, 1:100, etc. Ex: Plantas de
arquitetura, topografia, estruturas, máquinas,...
• Escala 1 - unidade constante
100 - nº de vezes que foi dividido o metro (dividindo-se o metro em
100 partes iguais, temos cada parte medindo 1cm. Trata-se da
régua comum).
• Escala 1 - unidade constante
50 - nº de vezes que foi dividido o metro (dividindo-se o metro por
50 partes iguais, temos cada parte medindo 2cm. Trata-se de
um desenho maior do que o anterior).
• Escala 1 - unidade constante
20 - nº de vezes que foi dividido o metro (dividindo-se o metro em
20 partes iguais teremos um desenho ainda maior do que o
anterior).
Exercícios:
1. Representar nas escalas 1:100, 1:50 e 1:20 três retas medindo:
o 2,0m
17
selo

18. • 1,30m
• 0,50m
• 1,80m
• 0,25m
2. Desenhar retas conforme metragem e escala indicadas:
• 7,95m na escala 1:100
• 3,40m na escala 1:50
• 46m na escala 1:500
8. COTAS
Chamamos de cotas as medidas de um objeto desenhado em perspectiva ou as
medidas de uma planta arquitetônica desenhada em planta baixa ou corte. Um
desenho cotado é aquele que contempla todas as suas medidas, estando ele em
escala ou não.
Para que se faça uma correta leitura das cotas é necessário obedecer a algumas
regras gerais:
1. As linhas de cota devem correr paralelamente com a aresta do desenho
que queremos dar a medida.
2. Estas linhas de cota devem ter início e fim exatamente nas mesmas
dimensões do desenho, feito através de um pequeno traço (aproveitando-
se a perspectiva do desenho).
3. Além do início e término da linha de cota conforme desenho, deve-se ainda
enfatizar o tamanho desta linha em outra direção, com um traço pequeno e
mais expressivo.
4. A medida deve ser escrita entre linhas guias, sem a inicial m de metro, ou
cm de centímetros e sempre sobre a linha de cota.
18
Cotas
horizontais
As cotas verticais
devem
acompanhar a
linha de cota,
como se o
observador
estivesse à direita
do desenho.
As cotas oblíquas
devem acompanhar as
linhas de cotas e estas
devem ser paralelas à
face cotada.

19. Exercício:
1. Em folha de papel sulfite A3 (prancha 2) represente um lavabo de 1,20m x
1,55m nas escalas 1/10, 1/20 e 1/50 com os seguintes dados:
Lavatório de 0,60m x 0,40m, vaso sanitário de 0,40m x 0,60m, janela
centralizada medindo 0,80 x 0,60 x 1,50 em parede de 25 cm e porta de
0,70m. As demais paredes devem ser de 15 cm. Os equipamentos devem
ter 20 cm de afastamento da parede e entre eles o afastamento deve ser de
15 cm.
9. PERSPECTIVA
As perspectivas podem ser CÔNICAS, com ponto de fuga e representação bem
próxima da realidade, ou CILÍNDRICAS, também chamadas de PARALELAS, sem
ponto de fuga e com as visuais de profundidade paralelas entre si.
19
selo
PLANTA BAIXA
ESC. 1/10
PLANTA BAIXA
ESC. 1/20
PLANTA BAIXA
ESC. 1/50

20. As PERSPECTIVAS CILÍNDRICAS apesar de não corresponderem a realidade,
são muito utilizadas em esboços, croquis e desenhos rápidos, por sua facilidade
de execução. Estudaremos noções básicas de dois tipos: Cavaleira e Isométrica.
PERSPECTIVA PARALELA CAVALEIRA
LT
Esta perspectiva e geralmente utilizada com ângulo de 45°, mas também pode ser
desenhada com outros ângulos:
• cavaleira a 45° – redução de 50%
• cavaleira a 30° – redução de 1/3 do tamanho real
• cavaleira a 60° – redução de 2/3 do tamanho real
PERSPECTIVA PARALELA ISOMÉTRICA
LT
Esta perspectiva e mais utilizada a 30°, mas também pode ser construída a 45° ou
ainda a 60°, sendo que estas fogem bastante da realidade.
Exercício:
Em folha de papel sulfite A3 (prancha 3) represente:
1. Um cubo e uma escada cotados, de 300 x 300 cm, em perspectiva
cavaleira e em perspectiva isométrica;
20
LT = linha de terra
Linhas // (paralelas) a LT = projetadas em VG
Linhas (perpendiculares) a LT= proj. em VG
Linhas a 45° (profundidade) = redução de 50
LT = linha de terra
Linhas // (paralelas) a LT = não ha
Linhas (perpendiculares) a LT= VG
Linhas a 30° (nos dois sentidos) = VG

21. 2. O lavabo da prancha 2 em perspectiva isométrica na escala 1/20
21
6,58,5
selo
ESTERIOGRAMA
ESC. 1/20
PERSPECTIVA CAVALEIRA
ESC. 1/100
PERSPECTIVA ISOMETRICA
ESC. 1/100

22. . Geometria Descritiva
1. SISTEMAS DE PROJEÇÃO
Geometria Descritiva e a ciência que estuda as figuras do espaço no plano; Um
objeto que existe em 3D será representado no plano de projeção em 2D, através
de linhas projetantes. A projeção de um objeto e’ sua representação gráfica no
plano de projeção.
observador
objeto
linha
projetante
projeção
plano de
projeção
Os sistemas de projeção podem ser:
a) Cônico ou Central
O centro de projeção fica a uma distancia finita; As linhas projetantes são
divergentes; A projeção é deformada em relação ao objeto.
b) Cilíndrico Obliquo
O centro de projeção fica no infinito; As linhas projetantes são paralelas entre si e
formam ângulo menor que 90° em relação ao plano de projeção; A projeção não é
deformada.
22

23. c) Cilíndrico Ortogonal
O centro de projeção esta no infinito; As linhas de projeção são paralelas entre si e
formam em ângulo de 90° em relação ao plano de projeção; A projeção não é
deformada.
Este é o sistema de projeção utilizado pelo método mongeano em geometria
descritiva.
a) b) c)
2. PLANOS DE PROJEÇÃO
Geometria Descritiva é uma ciência que estuda os métodos de representação das
figuras espaciais sobre um plano. Surgiu no século XVII a partir dos estudos de
Gaspard Monge1
resolvendo muitos problemas de construção de vistas
ortogonais, obtenção de verdadeiras grandezas de cada face de um objeto e
construções de protótipos de objetos representados, dando grande impulso à
indústria.
O método de Monge consiste na interseção de dois planos: plano horizontal e
plano vertical; onde são representadas as projeções ortogonais dos objetos,
através de suas coordenadas descritivas.
PV SUPERIOR
II DIEDRO I DIEDRO
LT
PH POSTERIOR PH ANTERIOR
1
Gaspard Monge (1746 – 1818) foi um sábio desenhista e matemático francês, fundador da escola
politécnica francesa, criador da geometria descritiva e grande teórico da geometria analítica.
Gaspard Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que
representava apenas a planta, a elevação e o perfil. Este interesse em estudar esta técnica
resultou de impulso patriótico que visou tirar a Franca da dependência da indústria estrangeira.
23
SISTEMA ESPACIAL
Gaspard Monge desenvolveu seus
estudos a partir da representação em
perspectiva dos 4 quadrantes.
Os elementos fundamentais do Método
de Monge são os planos horizontais e
verticais (PH e PV), perpendiculares entre
si. Eles são considerados infinitos e
dividem o espaço em 4 regiões
denominadas: primeiro, segundo, terceiro
e quarto diedro. Assim qualquer ponto no
espaço pode ter sua representação neste
sistema.
1° TRIEDRO
Neste polígrafo estudaremos apenas o 1°
diedro, que é formado pelo PHA e PVS.
Acrescentamos a este conjunto, mais um
plano de projeção: o plano de perfil ou
plano auxiliar, formando assim o 1°
triedro, inserido nos eixos x, y e z.

24. III DIEDRO IV DIEDRO
PV INFERIOR
z
PP
PV
y
PH
x
PP
PV
PH
π2 π3
π1 REBATIMENTO
24
REBATENDO O SISTEMA
A geometria descritiva consiste em
representar no plano as figuras do
espaço. Para tanto, giramos o PH para
baixo e o PP para trás, abrindo o
triedro que ainda esta sendo observado
em perspectiva.
PH pode ser chamado de π1
PV pode ser chamado de π2
PP pode ser chamado de π3
LT pode ser chamada de π1π2
SISTEMA PLANIFICADO
Os planos de projeção são visualizados
ortogonalmente ao observador, vemos
cada plano absolutamente de frente
para ele.
ÉPURA
Sistema planificado propriamente dito.
Não possui mais as linhas limítrofes do
sistema espacial, configurando planos
infinitos.

25. 3. ESTUDO DO PONTO
Um ponto é representado no Sistema Mogeano através de suas projeções,
definidas pelas coordenadas descritivas, nos planos de projeção.
PLANO HORIZONTAL............................PH............ π1
PLANO VERTICAL.................................PV............. π2
PLANO DE PERFIL OU AUXILIAR.........PP............. π3 OU π0
Abscissa - Distância do ponto a um lugar de referencia marcado aleatoriamente
sobre a linha de terra (π1 π2). Valores marcados a direita deste são positivos e
valores marcados a esquerda deste são negativos. A abscissa marca o ponto de
referencia no espaço, a profundidade, e corresponde a 1ª coordenada descritiva
do ponto estudado.
Afastamento – Distância do Plano Vertical π2, projetada no Plano Horizontal π1.
O afastamento é uma distância lateral e corresponde a 2ª coordenada descritiva
do ponto estudado.
Cota – Distância do ponto ao Plano Horizontal π1, projetada no Plano Vertical π2.
A cota é uma relação de altura e corresponde a 3 ª e ultima coordenada descritiva
do ponto estudado.
Ponto P: (x; y; z)
nome do ponto abscissa afastamento cota
25

26. z
p’’’ p’’ p’’
p’’ AFASTAMENTO
P
y
p’
ABSCISSA
X p’
Exercicios:
Um ponto pode estar localizado em diferentes posições no triedro:
1. O ponto está no espaço quando possui afastamento e cota, independente
de sua coordenada de abscissa.
Ex: A ( 1 ; 2 ; 3 )
2. O ponto está no plano horizontal quando possui afastamento diferente de
zero e cota igual a zero (não tem altura), independente de sua coordenada
de abscissa.
Ex: B ( 1 ; 3 ; 0 )
26
COTA

27. 3. O ponto está no plano vertical quando possui afastamento igual a zero
(não tem afastamento) e cota diferente de zero, independente de sua
coordenada de abscissa.
Ex: A ( 1 ; 0 ; 3 )
4. O ponto está na linha de terra quando não possui afastamento e nem cota,
independente de sua coordenada de abscissa.
Ex: A ( 2 ; 0 ; 0 )
27

28. Exercícios de ponto
Represente no triedro e em épura e localize os pontos abaixo:
1. Ponto A ( 3 ; 2 ; 3 )
2. Ponto B ( 2 ; 1 ; 3 )
3. Ponto C ( 1 ; 3 ; 2 )
4. Ponto D ( 0 ; 3 ; 1 )
5. Ponto E ( 3 ; 3 ; 1 )
6. Ponto F ( 0 ; 1 ; 3 )
7. Ponto G ( 3 ; 2 ; 0 )
8. Ponto H ( 1 ; 3 ; 0 )
9. Ponto I ( 2 ; 2 ; 0 )
10. Ponto J ( 0 ; 3 ; 0 )
11. Ponto K ( 3 ; 3 ; 0 )
12. Ponto L ( 0 ; 1 ; 0 )
13. Ponto M ( 3 ; 0 ; 2 )
14. Ponto N ( 1 ; 0 ; 3 )
15. Ponto O ( 2 ; 0 ; 2 )
16. Ponto P ( 0 ; 0 ; 3 )
17. Ponto Q ( 1 ; 0 ; 1 )
18. Ponto R ( 0 ; 0 ; 1 )
19. Ponto S ( 3 ; 0 ; 0 )
20. Ponto T ( 1 ; 0 ; 0 )
21. Ponto U ( 2 ; 0 ; 0 )
22. Ponto V ( 0 ; 0 ; 0 )
23. Ponto W ( 0,5 ; 3 ; 1,5 )
24. Ponto X ( 0 ; 2,5 ; 0 )
25. Ponto Y ( 1,5 ; 0 ; 0,5 )
26. Ponto Z ( 0,5 ; 0 ; 0 )
28

29. Lay out para as folhas de exercícios:
4. ESTUDO DA RETA
Uma reta projeta todos os seus pontos no plano de projeção.
C D
B
A
d’
c’
b’
a’
Projeções de uma reta sobre um plano:
E
A
D
C
B e’
d’
c’
a’=b’
29
5
5
5
5
5 1
66
Reta AD
Linhas projetantes
Projeção a’d’ da reta AD
VERDADEIRA GRANDEZA (VG): A reta
está paralela ao plano de projeção, tem
sua projeção de igual tamanho. Ex: A reta
AE tem sua projeção no plano horizontal
a’e’.
PROJEÇÃO ACUMULADA (PA): A reta
está perpendicular ao plano de projeção,
seus pontos são coincidentes, ou seja, se
projetam no mesmo local. Ex: A reta AB
tem projeção acumulada a’e’ no plano
horizontal de projeção.
PROJEÇÃO REDUZIDA (PR): A reta está
obliqua ao plano de projeção. Ex: A reta
AC e a reta AD tem suas projeções em a’c’
e a’d’, respectivamente.
5

30. Análise das projeções de uma reta:
A reta possui uma projeção em cada plano de projeção:
• Projeção no Plano Horizontal;
• Projeção no Plano Vertical;
• Projeção no Plano de Perfil.
Para a análise das projeções, devem ser observadas as seguintes relações:
1. Reta e projeção estão // (paralelas) entre si................. VG
2. Reta e projeção estão I (perpendiculares) entre si...... PA
3. Reta e projeção estão (obliquas) entre si................... PR
Posições da reta:
RETA VERTICAL
π3
π2
π1
abscissas π1
afastamentos π2
cotas π3
RETA DE TOPO
π3
π2
π1
abscissas π1
afastamentos π2
cotas π3
RETA PARALELA A LINHA DE TERRA OU
RETA FRONTO HORIZONTAL
π3
π2
π1
abscissas π1
afastamentos π2
cotas π3
RETA HORIZONTAL OU
RETA DE NIVEL
π3
π2
π1
abscissas π1
afastamentos π2
cotas π3
RETA DE PERFIL
π3
π2
RETA FRONTAL
π3
π2
30

31. π1
abscissas π1
afastamentos π2
cotas π3
π1
abscissas π1
afastamentos π2
cotas π3
RETA QUALQUER
π3
π2
π1
abscissas π1
afastamentos π2
cotas π3
Exercícios de reta
Represente no triedro e em épura, classifique e analise as projeções das
seguintes retas:
1. Reta AB: A ( 2 ; 3 ; 4 )
B ( 2 ; 4 ; 2 )
2. Reta CD: C ( 0 ; 3 ; 2 )
D ( 3 ; 3 ; 2 )
3. Reta EF: E ( 1,0 ; 2,5 ; 3,5 )
F ( 1,0 ; 2,5 ; 0,0)
4. Reta GH: G ( 2 ; 1 ; 3 )
H ( 2 ; 2 ; 3 )
5. Reta IJ: I ( 1 ; 1 ; 3 )
J ( 3 ; 3 ; 3 )
6. Reta KL: K ( 0 ; 3 ; 1 )
L ( 3 ; 3 ; 3 )
7. Reta MN: M ( 0,5 ; 1,0 ;1,5 )
N ( 3,0 ; 3,5 ; 4,0 )
8. Reta OP: O ( 1 ; 2 ; 3 )
P ( 1 ; 2 ; 4 )
9. Reta QR: Q ( 1 ; 2 ; 3 )
R ( 1 ; 4 ; 1 )
10.Reta ST: S ( 1 ; 1 ; 3 )
T ( 3 ; 4 ; 3 )
11.Reta UV: U ( 1,0 ; 3,0 ; 1,5 )
V ( 3,0 ; 3,0 ; 3,0 )
12.Reta WX: W ( 1 ; 1 ; 2 )
X ( 3 ; 4 ; 1 )
13.Reta YZ: Y ( 1 ; 3 ; 4 )
Z ( 1 ; 3 ; 1 )
14.Reta BC: B ( 1 ; 2 ; 3 )
C ( 4 ; 3 ; 2 )
15.Reta DE: D ( 1 ; 1 ; 3 )
31

32. E ( 4 ; 3 ; 1 )
16.Reta FG: F ( 3 ; 4 ; 2 )
G ( 3 ; 3 ; 2 )
17.Reta HI: H ( 0 ; 0 ; 4 )
I ( 4 ; 4 ; 4 )
18.Reta JK: J ( 0 ; 0 ; 0 )
K ( 4 ; 0 ; 3 )
5. ESTUDO DO PLANO
A projeção ortogonal de um plano é obtida através da projeção dos pontos
essenciais que formam este plano. Se o plano estudado for um retângulo,
seus vértices serão projetados nos três planos de projeção; Se o plano
estudado for um pentágono, seus cinco vértices serão projetados nos
respectivos planos de projeção. Obtem-se as projeções ligando os pontos
projetados em cada plano respectivamente.
z
y
X
Análise das projeções de um plano:
32

33. As projeções de um plano sobre os planos de projeção devem ser analisadas
assim como nas projeções de reta:
• Projeção no Plano Horizontal;
• Projeção no Plano Vertical;
• Projeção no Plano de Perfil.
Para a análise das projeções, devem ser observadas as seguintes relações:
4. Plano e projeção estão // (paralelas) entre si................. VG
5. Plano e projeção estão I (perpendiculares) entre si...... PA
6. Plano e projeção estão (obliquas) entre si................... PR
Posições do plano:
PLANO DE PERFIL
π3
π2
π1
π1
π2
π3
PLANO FRONTAL
π3
π2
π1
π1
π2
π3
PLANO HORIZONTAL
π3
π2
π1
π1
π2
π3
PLANO VERTICAL
π3
π2
π1
π1
π2
π3
PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
π3
π2
π1
π1
PLANO DE TOPO
π3
π2
π1
π1
33

34. π2
π3
π2
π3
PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
π3
π2
π1
π1
π2
π3
PLANO QUALQUER
π3
π2
π1
π1
π2
π3
Exercícios de plano
Represente no triedro e em épura, classifique e analise as projeções dos
seguintes planos:
1. O retângulo ABCD:
2. O retângulo ABCD:
3. O retângulo ABCD:
ponto absc afast cota
A 1 1 3
B 3 1 3
C 3 3 3
D 1 3 3
ponto absc afast cota
A 1 2 4
B 1 4 4
C 1 4 2
D 1 2 2
ponto absc afast cota
A 4 1 4
B 4 4 4
C 1 4 2
D 1 1 2
34

35. 4. O triângulo ABCD:
5. O retângulo ABCD:
6. O retângulo ABCD:
7. A fachada da casa ABCDE:
ponto absc afast cota
A 1,0 1,5 2,0
B 3,0 1,5 2,0
C 2,0 3,0 2,0
ponto absc afast cota
A 0,5 0,0 3,0
B 3,5 0,0 3,0
C 3,5 3,0 0,0
D 0,5 3,0 0,0
ponto absc afast cota
A 1 0 1
B 1 0 3
C 3 3 3
D 3 3 1
ponto absc afast cota
A 1 1 2
B 2 1 3
C 2 2,5 4
D 2 4 3
E 2 4 1
35

36. 8. A estrela formada pelos dois triângulos ABC e DEF:
9. A fachada da casa ABCD com telhado EFGH e janela GHIJ:
10.A cruz ABCDEFGHIJKL:
ponto absc afast cota
A 2,5 2,0 3,0
B 1,5 2,0 1,5
C 3,5 2,0 1,5
D 1,5 2,0 2,5
E 3,5 2,0 2,5
F 2,5 2,0 1,0
ponto absc afast cota
A 4,0 2,0 2,5
B 1,0 2,0 2,5
C 1,0 2,0 1,0
D 4,0 2,0 1,0
E 4,0 2,0 3,5
F 1,0 2,0 3,5
G 3,0 2,0 2,0
H 2,0 2,0 2,0
I 3,0 2,0 1,5
J 2,0 2,0 1,5
36

37. 11.A letra “G” formada pelos pontos ABCDEFGHIJKLMN:
ponto absc afast cota
A 0 2 3
B 0 3 3
C 1 3 3
D 1 4 3
E 2 4 3
F 2 3 3
G 3 3 3
H 3 2 3
I 2 2 3
J 2 1 3
K 1 1 3
I 1 2 3
ponto absc afast cota
A 3,0 2,0 2,5
B 3,0 3,5 2,5
C 1,0 3,5 2,5
D 1,0 0,5 2,5
E 3,0 0,5 2,5
F 3,0 1,5 2,5
G 2,5 1,5 2,5
H 2,5 1,0 2,5
I 1,5 1,0 2,5
J 1,5 3,0 2,5
K 2,5 3,0 2,5
L 2,5 2,5 2,5
M 2,0 2,5 2,5
N 2,0 2,0 2,5
37

38. 12.O telhado de uma água, com dois ângulos diferentes, formado pelos
pontos ABCDEFG:
13.A fachada de uma igreja formada pelos pontos ABCDEFG:
ponto absc afast cota
A 3,0 3,5 1,5
B 1,5 3,5 1,5
C 1,5 2,5 2,5
D 0,0 2,5 2,5
E 0,0 0,5 3,5
F 3,0 0,5 3,5
G 3,0 2,5 2,5
ponto absc afast cota
A 0,5 2,0 1,0
B 3,0 2,0 1,0
C 3,0 2,0 2,5
D 2,5 2,0 3,0
E 2,0 2,0 2,5
F 2,0 2,0 2,0
G 0,5 2,0 2,0
38

39. 6. ESTUDO DO SÓLIDO
Os sólidos podem ser representados assim como os pontos, as retas e os planos,
ou seja, através das coordenadas descritivas dos pontos que formam a figura.
Assim teremos:
1. Visualização espacial no triedro em perspectiva cavaleira.
2. Planificação do sistema em épura evidenciando as vistas
ortogonais.
z
y
X
Podemos representar os sólidos, sem prejuízo de compreensão, em perspectiva
isométrica a 30°. O sólido agora deve ser cotado e não mais serão
confirmadas suas coordenadas descritivas. As vistas ortogonais serão
igualmente demonstradas na épura.
Vista superior
Projetada no PH (π1)
39
PV
-Vista frontal
-Altura X largura
-Fachada
principal
PP
-Vista lateral
-Altura X
profundidade
-Fachada
secundaria
PH
-Vista superior
-Largura X profundidade
-Planta de cobertura

40. Vista de perfil vista frontal
Projetada no PP (π3) projetada no PV (π2)
Exercícios de sólido
1. Represente no polígrafo, a mão livre, a perspectiva e a épura dos seguintes
sólidos:
a) Um cubo de aresta 3 cm.
b) Uma barraca de 1m x 2m, com 1,5 de altura.
c) Uma rampa de 1m de largura, 3m de comprimento e 2m de altura.
d) Uma caixa de 8 cm de largura, 15cm de comprimento e 4cm de altura.
2. Represente os croquis abaixo em perspectiva isométrica cotada e em épura:
a)
b)
40

41. c)
d)
e)
41

42. f)
g)
h)
42

43. i)
j)
43

44. k)
l)
44

45. m)
n)
45

46. BIBLIOGRAFIA
BARISON, Maria Bernadete. Geometria Descritiva. Paraná, Londrina. Disponível
em www.mat.uel.br/geometrica. Acessado em 13 de fevereiro de 2006.
BORGES, Gladys Cabral de Mello; BARRETO, Deli Garcia Olle; ENIO, Zargo
Martins. Noções de Geometria Descritiva. Ed. Sagra.
CARVALHO, Benjamim de. Geometria Descritiva, 16ª edição. São Paulo:
Companhia Editora Nacional, 1959.
LA COUR, Helena. Noções de Geometria Descritiva.
PENTEADO, Jose Arrida. Curso de Desenho. 3ª edição. São Paulo:
Companhia Editora Nacional, 1978.
PRINCIPE JUNIOR, Alfredo dos Reis. Noções de Geometria Descritiva. Rio
de Janeiro: Ed. Nobel, 1978.
Anotações, desenhos e exercícios dos professores de Geometria Descritiva,
do curso de Edificações, do Centro Tecnológico Parobé, 2005.
Polígrafo de Desenho Técnico Básico e Geometria Descritiva do Curso de
Edificações, do Centro Tecnológico Parobé, 2006.
46