O documento descreve a estrutura da molécula de água e do gelo, as interações de Van der Waals entre moléculas de água, e como a estrutura da água é alterada na presença de sais em solução aquosa. Também discute os critérios quantitativos para o equilíbrio termodinâmico e deriva a equação de Clausius-Clapeyron, demonstrando que a pressão de vapor de saturação acima do gelo é maior que acima da água para temperaturas abaixo de 0°C.

1. Microfísica da Precipitação – Exercícios dos capítulos 1 e 2
Ex. 1 (cap. 2 slide 12) - Descrever a estrutura da substância água:
- A estrutura da molécula isolada
A molécula de água é constituída por dois átomos de hidrogênio ligados a um de
oxigênio, com uma estrutura tetraédrica. O átomo de oxigênio partilha dois dos seus
elétrons de valência com os átomos de hidrogênio, formando ligações covalentes. Assim, o
hidrogênio tem sua camada de valência completa e o oxigênio ainda possui dois pares de
elétrons de valência que não participam de ligações, mas possuem uma carga negativa que
tende a repelir os átomos de hidrogênio. Desse modo, a molécula de água possui um
ângulo, conforme a figura a seguir:
- A estrutura do gelo
No gelo, cada molécula de água está ligada a outras quatro moléculas por ligações
de “pontes de hidrogênio”. O gelo Ih possui a estrutura de um cristal hexagonal e é o mais
comum encontrado nas condições de temperatura e pressão da superfície terrestre. Possui a
densidade menor que a da água líquida (0,917g/cm³), devido à baixa densidade de seu
formato cristalino, porém sua densidade aumenta com o decréscimo da temperatura. A
estrutura é composta por planos contendo hexágonos lado a lado, com um oxigênio em
cada vértice, e os lados desses anéis são formados pelos hidrogênios e as pontes de
hidrogênio (veja figura a seguir). Essa é a estrutura esperada, porém o gelo formado
naturalmente pode apresentar outros arranjos. Sujeitado a diferentes pressões e
temperaturas, o gelo pode se organizar em vários outros estados, como o gelo Ic, que pode
aparecer na alta atmosfera.

2. - Interação de Van der Waals
A energia potencial de interação entre um par de moléculas de água é dado pela
equação de Stockmayer (1941):
, onde:
r é o raio de separação entre as moléculas
µ é o momento do dipolo associado a molécula de água
σ é o diâmetro de colisão
c é uma constante
f é uma função conhecida da orientação mutua das duas moléculas
O primeiro termo diz respeito à contribuição do dipolo-dipolo para a interação da
energia. Pode representar atração ou repulsão, conforme a orientação do dipolo.
O segundo termo explicita a interação entre o dipolo permanente da molécula e o
dipolo induzido por outra molécula e a energia líquida resultante de flutuações da interação
do dipolo interagindo com o dipolo induzido.
Os dois primeiros termos são chamados como Interações de Van der Waals,
representando a força atrativa entre as moléculas. O terceiro termo representa forças de
curto alcance de repulsão resultante da sobreposição de orbitais eletrônicos incompatíveis
segundo o princípio de Pauli.

3. - A estrutura da água e da solução aquosa – size effect
A estrutura da água é alterada ao dissolver-se sais nela. Por exemplo, algumas
moléculas podem não se encaixar na estrutura da água e causarem um efeito de distorção
(size effect). Existe também o fato de que os íons de soluto tendem a interagir com os
dipolos de água, que, dependendo do tamanho e carga elétrica do íon, se agrupam ao redor
do íon, ao que chamamos de hidratação. Esse efeito é maior para íons pequenos, que
possuem campos elétricos locais mais fortes, e para íons positivos, que tendem a interagir
com os dois pares de elétrons solitários que bloqueiam a formação de ligações covalentes
entre hidrogênios, enquanto que o íon negativo tende a interagir com apenas um grupo de
H-O da molécula de água, o que bloqueia a formação de uma ligação com apenas um
hidrogênio.
Ex. 2 (cap. 2 slide 29) - Discuta os critérios quantitativos para as condições de
equilíbrio termodinâmico
Os critérios quantitativos para as condições de equilíbrio termodinâmico vêm da 2ª
Lei da Termodinâmica. Seja um sistema isolado que não está em equilíbrio, a entropia S
cresce até alcançar seu valor máximo. Nesse estado todos os processos irreversíveis
cessarão e somente irão restar os componentes reversíveis.
Num sistema aberto e homogêneo com constantes U, V e n1,n2,...nc, o critério de
equilíbrio é dado por (1), onde δS é a variação virtual da entropia
relacionada a um estado próximo. Já para um sistema com constantes S, V e n1,n2,...nc, o
critério de equilíbrio é (2). O equilíbrio pode ser classificado como:
 (δ2
S)U,V,nc < 0 = estável
 (δ2
S)U,V,nc > 0 = instável
 (δ2
S)U,V.nc = 0 = condicionalmente estável
Onde (δ2
S) é a segunda variação virtual da entropia.
O estado de equilíbrio instável não ocorre na natureza, pois os sistemas estão
continuamente expostos a perturbações. Por outro lado, os estados condicionalmente
estáveis ocorrem frequentemente na natureza (água super-resfriada num ambiente de ar
saturado com vapor d’água, por exemplo).
Para um sistema heterogêneo de C componentes µi e ηi, com todas as fases α
originalmente isoladas e em equilíbrio interno (sem reações), são removidas as restrições de
isolamento das fases e cada uma constitui um sistema aberto homogêneo, cujas condições
de equilíbrio são dadas por (2). Considerando as variáveis como extensivas, temos:
; ; ; (3)
Considerando:
(4)
as condições de equilíbrio podem ser expressas como:

4. (5)
onde δS=0, δV=0 e δηi=0.
Considerando-se o sistema apenas com duas fases, representadas como (´) e (´´),
podemos expressar a condição de equilíbrio como:
(6)
Temos que δS’’, δV’’ e δηi’’ podem ser escolhidas independentemente, e a equação
somente pode ser satisfeita se os coeficientes de cada uma das variações seja igual a zero.
Assim, as condições para o equilíbrio termodinâmico de um sistema heterogêneo em que
todas as interfaces das superfícies são perfeitamente deformáveis, condutoras de calor, e
permeável para todos os componentes são:
T´= T´´=............= Tα
P´= P´´=.............= Pα
µ´= µ´´=.............= µα
Essas relações expressam, respectivamente, as condições de equilíbrio térmico,
mecânico e químico.
Ex. 3 ( cap. 2 slide 29) - Assumindo que para um sistema fechado constituído de duas
fases, uma unidade de massa da substância água é transferida de forma reversível da
fase 1, com n1 moles, para a fase 2, com n1 moles, durante um intervalo de tempo em
que p e T do sistema é mantido constante. Calcule o calor latente da mudança de fase,
bem como a sua dependência da temperatura.
A variação total de entalpia dada por:
(1)
Para um sistema fechado:
(2)
Assim, o calor latente de mudança de fase (1) para fase (2) em um sistema fechado
com T e P constantes por mol é definido como:
(3)
Como dH = T dS, então:
(4)
Por conservação de energia (1ª Lei da Termodinâmica) aplicada ao ponto triplo
(onde gelo, água líquida e vapor estão em equilíbrio, T = 273,15K), temos:
Ls= Lm,o+ Le,o (5)
onde Le,0, LS e Lm,0 são os calores latentes de evaporação, sublimação e fusão,
respectivamente.
Para obter a dependência de L com T, utiliza-se a relação;

5. (6)
Substituindo a relação (6) em (4) e utilizando µ1i = µ2i = .... =µi
α
, onde i=1,2,...,c,
obtemos:
(7)
Adicionalmente, temos que
(8)
Fazendo a derivada total da equação (7), aplicando (6) e usando (8), temos que:
(9)
Como uma primeira aproximação, pode-se desprezar o segundo termo e obtém-se as
equações de Kirchoff:
(10)
Utilizando valores obtidos empiricamente, os calores específicos para o gelo e para
a água são dados por:
(11)
o que concorda com o valor tabelado em cal g-1
°C-1
para -40≤ T ≤ 0°C,
e
(12)
o que concorda com o valor tabelado em cal g-1
°C-1
para -40 ≤ T ≤ 0°C.
o que concorda com o valor tabelado em cal g-1
°C-1
para 0 ≤ T ≤ 35°C.
Também observa-se que o calor específico do vapor d’água, , varia
entre 0,44 e 0,46 cal g-1
°C para todas as condições meteorológicas de interesse.
Os calores latentes de evaporação e de fusão, são, respectivamente:
(14)
com T = [K] e le,o = [cal g-1
]
(15)

6. O resultado encontrado para a equação (14), de acordo com os valores tabelados, é
±0,3 cal g-1
, para mudanças de temperatura de -40°C para 40°C. E para a equação (15), o
valor encontrado é de ±0,05 cal g-1
, para mudanças de temperatura na faixa de -50°C à 0°C.
Ex. 4 (cap. 2 slide 44)
4a. Deduza a equação de Clausius-Clapeyron
A equação de Clausius-Clapeyron é encontrada através de aplicações feitas para as
condições de equilíbrio termodinâmico (vide ex. 1). Considerando-se um ambiente fechado
e termicamente isolado, segue abaixo uma figura esquemática com um sistema inicial
somente com água e ar seco e sua evolução temporal até a saturação:
Ao ser alcançada a taxa de equilíbrio entre a evaporação e a condensação, a
temperatura do ar e do vapor d’água se igualam a do líquido, não havendo transferência
líquida de uma fase para outra, sendo que o ar acima do líquido é dito então ser saturado em
relação ao vapor d’água.
Para que uma unidade de massa de água líquida seja convertida em vapor d’água a
T e p constante, é necessário que seja adicionado calor latente. Pela 1ª Lei da
Termodinâmica:
(1)
onde dw = esdα e 1-líquido, 2-vapor e 3-sólido.
Considerando-se o processo de mudança como isotérmico e isobárico:
(2)
Para um processo reversível:
(3)
Da definição da Energia Livre de Gibbs, temos que:

7. (4)
e portanto G1=G2.
Considerando-se uma mudança de fase não-isotérmica e não-isobárica:
(5)
Temos que, da 1° e 2° Leis da Termodinâmica:
(6)
Considerando-se a vaporização de uma unidade de massa de água líquida em um
processo reversível:
Utilizando a relação obtida anteriormente e lembrando que:
(7)
então:
Assim, a Equação de Clausius- Clapeyron é:
(8)
4.b) Demonstre que esat,w > esat,i para T< 0°C
Considerando-se inicialmente um volume contendo água e vapor e outro volume
contendo gelo e vapor, temos, respectivamente:
(1)
(2)
onde Vv,o >> Vw e Vv.o >> Vi
Em um sistema fechado com T e p constantes, dH=TdS:
(3)

8. onde Le,o é o calor latente de evaporação, Ls é o calor latente de sublimação e Lm,o é o calor
latente de fusão. Usando a lei dos gases ideais e aplicando (1), (2) e (3):
Integrando a equação acima:
(4)
De modo análogo, para desat,w obtém-se:
(5)
Como somente o calor latente muda de (4) para (5) e os valores desses são
Le,o = 2,5 x 106
J/Kg e Ls = 2,86 x 106
J/Kg, então esat,w > esat,i

9. 4c) Faça o gráfico do diagrama de fase p-T para a dependência da pressão de vapor
de saturação em relação à água líquida e em relação ao gelo:
onde:
a = curva de sublimação
b = curva de evaporação (abaixo de 0°C)
c = curva de fusão
d = curva de evaporação (acima de 0°C)
4d) Faça o gráfico de Δesat = esat,w – esar,i, para T<0°C

10. Microfísica da Precipitação – Exercícios do capítulo 3
Ex. 3.1 (cap. 3 slide 49) - Estude a equação de Koehler
A equação de Koehler é utilizada pra determinar o equilíbrio entre uma gota de
solução aquosa e o ar úmido. O solvente em solução é mais desordenado que o solvente
puro; isso significa que a solução tem menor tendência a vaporizar, de modo que o
equilíbrio é alcançado a uma menor pressão de vapor. Sendo a pressão de vapor do soluto
menor que a do solvente, a pressão de vapor da gota é reduzida proporcionalmente à
quantidade de soluto presente, de modo que uma gotícula de solução pode estar em
equilíbrio com o ambiente a valores menores de sobressaturação do que uma gota de água
pura do mesmo tamanho.
A redução na pressão de vapor devido à presença de um soluto em uma superfície
plana de água (razão entre a pressão de vapor e’ de equilíbrio da solução e a pressão de
vapor plana) pode ser expressa pela Lei de Raoult (pressão de vapor é proporcional à sua
fração molar em solução):
(1)
onde de n0 é o número de moléculas de água e n é o número de moléculas de soluto. Para
soluções diluídas (n<<n0):
(2)
Para soluções em que as moléculas dissolvidas estão dissociados, n deve ser
modificado multiplicando pelo grau de dissociação iônica (i). Por exemplo, para o NaCl
temos i = 2 em soluções diluídas e (NH4)2SO4 => 2NH4
+
+1SO4
-
temos i = 3. O número
efetivo de íons em uma solução de massa M é dado por:
(3)
onde N0 é o número de Avogadro (número de moléculas por moles) e ms é o peso molecular
do soluto.
O número de moléculas de água de massa m poder ser escrita como:
(4) , onde .
Substituindo as equações (3) e (4) em (2), temos:
(6) , onde .
Assim, a equação de Kelvin (equação de Laplace com a pressão de vapor do líquido
corrigida com seu raio de curvatura) e o efeito da solução (Lei de Raoult) podem ser
combinados para determinar a razão de equilíbrio de saturação para uma solução de
gotículas:
(7), onde

11. Para r não muito pequeno, uma boa aproximação de (7) é:
(8) , onde e
Assim, na equação de Koehler, temos:
a/r – termo de curvatura: mostra o aumento da razão de saturação sobre uma gotícula em
comparação a uma superfície plana.
b/r3
– termo de soluto: mostra a redução da pressão de vapor devido à presença de um
soluto.
A Equação de Koehler descreve a taxa de saturação em função do tamanho da
gotícula (raio). Considerando valores típicos de a e b, a equação de Koehler foi plotada para
uma solução de gotas contendo dois sais.
Quanto maior o diâmetro do soluto, menor é a porcentagem de supersaturação
necessária para que haja condensação. Também ocorre dependência do soluto, podendo ser
mais ou menos higroscópico. Pode-se também notar que, para partículas de mesmo
tamanho, o NaCl tem uma afinidade maior com o vapor, sendo portanto mais eficiente
(necessita de uma menor supersaturação para que haja condensação). Ao atingir a saturação
crítica , o pico da curva de Koehler corresponde ao raio crítico .
Abaixo desse valor, as gotículas crescem somente se houver aumento de umidade relativa;
acima desse valor a taxa de saturação será menor que a saturação crítica e o vapor se
difundirá para a gotícula sem aumento de saturação. Excedendo o raio crítico, a gota

12. cresceria indefinidamente em teoria, mas isso não ocorre, pois as gotas competem por
vapor e a saturação cai.

13. Microfísica da Precipitação – Exercícios do capítulo 4
Ex. 4.1 (cap. 4 slide 22) - Analisar e discutir os resultados apresentados na Fig. 7.1 e
calcular a Tab. 7.3 do capítulo 7 do livro de R. R. Rogers & M. K. Yau
A linha tracejada corresponde à pseudoadiabática Өw= 290K, e indica a variação do
processo de crescimento durante toda a extensão vertical da nuvem. A figura mostra que a
variação do parâmetro de crescimento, log10 (Fk + Fd), é proporcional à temperatura e
inversamente proporcional à pressão (o parâmetro aumenta, de modo mais suave se
comparado com a dependência da temperatura, com o decréscimo da pressão). O termo Fk
representa a termodinâmica que está associada com a condução de calor ( ),
e Fd é o termo associado com a difusão de vapor ( ). Considerando-se a
equação de crescimento da gotícula:
Para gotas grandes (quando r torna-se suficientemente grande), a/r e b/r3
podem ser
desprezados quando comparados a (S-1), obtendo-se:
Considerando-se essa equação aproximadamente constante, o aumento do raio da
gotícula é dado pela equação:
, onde
Essa fórmula é denominada Equação do Crescimento Parabólico da gota e leva a um
estreitamento da distribuição de tamanho das gotículas com o processo de crescimento. Por
exemplo, considerando-se duas gotículas com raio inicial de 1µm e 10 µm, crescendo sob
as mesmas condições, é possível demonstrar que a gotícula maior cresce apenas até 14µm
no mesmo tempo que a gotícula menor cresce até 10µm.
Tabela 7.3 - Distância de queda de uma gota antes da evaporação, assumindo
atmosfera isotérmica.
Considerando:
S = 0,8
T = 280K
Rv = 461,5 J/Kg.K
L = 2,489 x 106
J/Kg
ρL = 103
Kg/m3
K = 2,48 x 10-2
J/msK
D = 2,36 x 10-5
m2
/s
es(T) = Ae-B/T
= 991,79 Pa
Raio Inicial Distância de Queda
1µm 2µm
3µm 0,17mm
10µm 2,1cm
30µm 169m
0,1mm 208m
0,15mm 1,05km

14. Equação de crescimento da gotícula:
Para substituir dt e incluir a altura, pode-se considerar:
Para gotas com r0 < 30µm, temos que , onde K1 = 1,19x108
m-1
s-1
. Assim, para
calcular a altura da queda da gota:
Para gotas com 30µm ≤ r0 ≤ 0,6mm, temos que , onde K3 = 8x103
s-1
. Assim, para
calcular a altura da queda da gota:
Substituindo-se os valores dados e calculando-se as constantes, temos que:
* r0 = 1µm = 10-6
m
* r0 = 3µm = 3x10-6
m
* r0 = 10µm = 10x10-6
m

15. * r0 = 30µm = 30x10-6
m
* r0 = 0,1mm = 0,1x10-3
* r0 = 0,15mm = 0,15x10-3
m
Desse modo, temos que:
Raio Inicial Distância de
Queda dada
Distância de
Queda calculada
1µm 2µm 1,8µm
3µm 0,17mm 0,15mm
10µm 2,1cm 1,8cm
30µm 169m 1,45m
0,1mm 208m 160,8m
0,15mm 1,05km 543m
Os valores obtidos para raios iniciais menores que 30µm são bastante próximos dos
apresentados na tabela. Porém, para raios entre 40µm ≤ r0 ≤ 0,6mm, os valores obtidos de
distância de queda diferem bastante dos apresentados na tabela, provavelmente por ter se
desprezado o efeito de solução e de curvatura e também à escolha da equação da
velocidade.
Ex. 4.2 (cap. 4 slide 46) - Analisar e discutir sucintamente o conjunto de correções
devido aos efeitos cinéticos, de ventilação, do crescimento não estacionário, da
corrente ascendente variável no tempo e dos efeitos estatísticos – p. 112 a 119 do R. R.
Rogers e M. K. Yau
a) Efeitos Cinéticos
As equações de transferência de calor, massa e momento entre a gota e sua
vizinhança utilizadas dependem do Número de Knudsen, que é definido como a razão entre
o livre caminho médio molecular do gás (l) e o raio da gota (r). Assim, temos l/r<<1 para
gotas grandes e l/r>>1 para gotas pequenas. Para estas vale a teoria da colisão molecular,
enquanto que para gotas médias (entre 0,1 e 1,0µm de raio), a melhor aproximação é uma
interpolação entre a teoria molecular e a teoria do contínuo.

16. Em 1970, Fukuta e Walter desenvolveram um método para determinar o efeito da
energia cinética no cálculo do crescimento da gota. Para tanto, é necessário utilizar dois
novos parâmetros na caracterização da transferência de calor, que podem ser determinados
experimentalmente:
- Coeficiente de acomodação α: é a fração de moléculas que saltam para fora da superfície
da gota, dada pela razão da diferença entre a temperatura da molécula de vapor que sai da
superfície do líquido (T2
’
) e a temperatura do vapor (T1) pela diferença entre a temperatura
do líquido (T2) e a temperatura do vapor (T1):
- Coeficiente de condensação β: é a fração de moléculas que colidem com a superfície
líquida e se condensam.
Os fluxos de massa e vapor são controlados pelos efeitos cinéticos dentro de uma
distância “d” da superfície através da seguinte equação:
onde:
e = pressão de vapor
es= pressão de vapor de saturação
T= temperatura do ambiente
Com um pequeno ajuste no coeficiente de difusão, Fukuta e Walter mostraram que
este fluxo é o mesmo da Teoria de Maxwell a menos de um fator de normalização g(β):
com , onde é a escala de
comprimento.
A equação do calor também deve ser normalizada através do fator f(α):
com , onde é a escala
de comprimento.
Ao incluir esses efeitos, a equação do crescimento pode ser reescrita como:
Para gostas pequenas (f(α) e g(β) < 1), os efeitos cinéticos são uma barreira para o
crescimento. Já para gotas grandes, o efeito cinético não influencia (f(α) e g(β) ~ 1).
b) Efeito de Ventilação

17. Para uma gota em repouso, pode-se supor que o campo de vapor que envolve a gota
é esfericamente simétrico. Porém, para uma gota em movimento, o ar do ambiente a sua
volta é alterado continuamente, tornando o campo de vapor distorcido e as taxas de
aumento de calor e transferência de massa mais significativas na porção corrente acima da
nuvem. Para incorporar esses efeitos, é necessário multiplicar o lado direito das equações
de variação da densidade de vapor e calor por um coeficiente de ventilação. Quando a gota
está em repouso, esses coeficientes se igualam a 1, e vão aumentando conforme aumenta a
velocidade da queda.
O coeficiente de ventilação para transferência de vapor, segundo Pruppacher, H.R. e
Klett, J.D., pode ser escrito em função do Número de Reynolds em torno da gota:
f = 1,00 + 0,09Re para 0≤ Re ≤ 2,5
f = 0,78 + 0,28Re
1/2
para Re >2,5
O número de Reynolds é definido por , onde r é o raio da gota, u é a
velocidade de queda da gota, ρ é a densidade do ar e µ é a viscosidade dinâmica do ar.
Para gotas menores de 10µm de raio na região tropical, o efeito de ventilação
mostrou ser insignificante. Para gotas com raio maior, temos f(r=20µm) = 1,06 e f(r=40µm)
= 1,25. Podemos concluir então que os efeitos de ventilação não são importantes no
crescimento de gotas de nuvem, sendo que o os mecanismos realmente importantes nesse
sentido são os de crescimento por condensação e por colisão e coalescência. No entanto,
para a evaporação de pingos de chuva e de outras partículas de precipitação que tem
elevada velocidade relativa de queda em relação ao ar, o efeito da ventilação é significativo.
c) Efeito do crescimento não estacionário
Os campos de vapor e temperatura sobre uma gota que está crescendo ou
evaporando não são constantes, pois a superfície da gota está se expandindo ou contraindo.
A quantidade de vapor no ar que cerca a gota pode mudar enquanto ela se move, sendo
necessário um ajuste contínuo do campo de difusão na sua vizinhança. Esta simplificação é
uma boa aproximação, pois os campos de temperatura e vapor se ajustam rapidamente à
presença de uma gota e com isso supões uma configuração de estado constate.
Borovikov et al (1961) introduziu uma solução não constante da equação da difusão
para a situação em que uma gota é introduzida num campo inicialmente uniforme de vapor.
Considerando que em um tempo zero a concentração das moléculas de vapor n(R) é
constante no valor não perturbado n0 para todas as distâncias R > r, a concentração de vapor
na superfície da gota e o valor de equilíbrio para a vizinhança que satisfaz a estas
circunstâncias é dada por:
, onde erf é a função erro
Pode-se observar que as taxas de crescimento são essencialmente as mesmas para
gotas com mais de 10µm, e a difusão molecular estabelece rapidamente um campo em
torno da gota que corresponde à solução de estado constante. Portanto, a resposta transiente
do campo pode ser desprezada nos cálculos do crescimento e da evaporação da gota.
d) Efeito da corrente ascendente não estacionária

18. Muitos estudos foram realizados sobre o crescimento da distribuição de gotas em
uma corrente ascendente que varia com o tempo, tentando com isso explicar o alargamento
do espectro com o aumento da altura em relação à base da nuvem. O espectro observado é
muito parecido com o obtido por uma corrente ascendente estacionária, porém as correntes
ascendentes aceleradas também alargam o espectro pela ativação de novos CCNs, causando
uma distribuição bimodal. Assim, a conclusão que se chegou foi que, exceto pela criação de
novas gotas, as correntes ascendentes variáveis no tempo possuem um efeito bastante
pequeno na evolução do espectro de gotas.
e) Efeito estatístico
As gotículas de uma população de gotas não permaneçam juntas indefinidamente
devido aos processos de mistura e de sedimentação gravitacional, assim como pelo fato de
algumas gotas crescem mais rapidamente que outras por experimentarem uma
supersaturação média maior ao longo do seu desenvolvimento. Tendo isso em mente, um
grupo soviético de físicos de nuvens desenvolveu uma teoria de crescimento da gota pela
condensação que incluía efeitos de flutuação do índice de turbulência na supersaturação e
misturas por difusão. Esse método foi chamado Condensação estocástica.
Através de medidas feitas por aviões em nuvens orográficas havaianas, Cooper et al
(1986) observaram uma elevada variabilidade na supersaturação, com valores tão grandes
quanto 2% em 2 a 3% do volume da nuvem. Isto sugere que essa variabilidade elevada
pode fazer com que algumas gotas cresçam muito mais rapidamente que a média.
Através dessas observações, especula-se que gotas podem crescer com taxas
diferentes mesmo em um campo homogêneo de vapor, pois a concentração de gotas em
uma nuvem bem misturada é uma variável aleatória com uma distribuição de probabilidade
de Poisson.
Ex. 4.2 (cap. 4 slide 48) - Analisar e discutir sucintamente os resultados apresentados
nos slides seguintes:

19. (slide 49): Equação de crescimento de gotículas para diferentes raios iniciais a 0,1%
de supersaturação
O crescimento de gotículas por difusão de vapor é mais eficiente para gotículas que
começam menores. Também se pode observar que em um determinado ponto às curvas se
tornam muito próximas. Assim, passam a cresce juntas, porém com menor velocidade,
devido à massa de vapor condensado sobre elas ser muito pequena.
(slide 50): Sensibilidade do número de gotículas à velocidade vertical
a) Altitude x Supersaturação: Existe um aumento da supersaturação com velocidade
vertical, e o máximo de supersaturação dentro da nuvem ocorre em altas altitudes (logo
após esse ponto, a supersaturação tenda a decrescer com a altura, mais acentuadamente para
menores valores de velocidade vertical).
b) Altitude x Conteúdo de água líquida: O conteúdo de água líquida é maior para
movimentos verticais mais fracos, pois menos CCN’s são ativados e um menor número de
gotas é gerado. Desse modo, as gotas que foram geradas tem maior conteúdo de vapor
disponível e assim crescem mais, tornando a curva quase linear com a altura.
c) Altitude x Concentração de Núcleos de Condensação: Existe um aumento da
concentração de gotas com o aumento da velocidade vertical, pois ocorre um maior número
de núcleos de condensação de nuvens que são ativados, aumentando o número de gotículas
que conseguem atingir o seu raio crítico. A concentração ocorre até o nível máximo de
supersaturação, tornando-se constante com a altura após esse nível.

20. d) Altitude x Raio da gota: Quanto mais intenso o movimento vertical, menor o tamanho
das gotas. Pela equação parabólica, o raio cresce mais rápido para gotas pequenas do que
para gotas grandes.
(slide 51): Curvas de Koehler
A ativação dos CCN’s depende de diversas condições, porém, uma vez ativados,
crescem juntos lentamente. A curva com 100% sulfato de amônia (magenta), que é solúvel
em água, tem valores bem mais baixos de saturação para a ativação dos CCN’s e para a
formação de gotas. As gotas formadas a partir dessa substância têm um tamanho inicial
maior, dependendo de ambientes pouco saturados para desenvolver-se.
A curva relativa a 100% poeira (azul claro) mostra que a ativação dos CCN’s
precisa de valores altos de supersaturação, pois tem o comportamento de água pura
(segundo a curva de Kelvin). Já na curva de 90% poeira e 10% sulfato de amônia (azul
escuro), a ativação dos CCN’s pode ocorrer em ambiente com saturação relativamente
baixa por causa do sulfato de amônia, mas o crescimento ainda precisa de supersaturação
por ter 90% de poeira.

21. (slide 52): Evolução do espectro de partículas
A evolução temporal do espectro de gotículas segue de modo diferenciado conforme
as combinações de compostos: geralmente alarga-se com o tempo, na direção de maiores
raios.

22. (slide 53): Evolução do espectro de partículas e a supersaturação
a) 100% de AA: Existe um máximo de supersaturação bem definido. O pico de saturação e
o raio ficam constantes com a altura. Partículas com raios maiores que 0,1µm crescem mais
rapidamente na região do máximo de supersaturação, e depois desta fase, crescem juntas.
b) 100% de sulfato de amônia: Não existe um máximo de supersaturação bem definido,
devido a ativação de um número maior de CCN’s que disputam o vapor. Na presença desse
sal, as gotículas já começam com um tamanho maior e assim o crescimento com a altura
não é muito acentuado. Porém, o máximo de supersaturação também é o máximo de
crescimento, crescendo igualmente com a altura após passar esse estágio.
Os outros dois casos apresentam um padrão de comportamento intermediário aos já
apresentados, sendo uma mistura dos dois componentes.

23. (slide 54): Desenvolvimento de nuvens para diferentes aerossóis (w = 1 m/s)
A curva de 100% de sulfato de amônia (linha preta) apresenta baixa supersaturação
pelo fato do sulfato ser um soluto que facilita a condensação sobre as partículas, retirando
assim o vapor da atmosfera. Para a mesma curva também se observa uma alta concentração
de gotas com um alto conteúdo de água líquida, devida a ativação dos CCN’s, facilitando o
crescimento das gotas.
Já a curva correspondente a 99,9% de poeira e 0,1% de sulfato de amônia (linha
magenta) mostra que, como existe alta concentração de poeira, a supersaturação do
ambiente também é maior e diminui lentamente com a altura. Isso ocorre devido ao fato da
poeira ser insolúvel, impedindo a condensação e, portanto, não retirando o vapor da
atmosfera. Por esse motivo o conteúdo de água líquida é baixo e atinge seu máximo junto
com o máximo de supersaturação. Os raios, porém, não mudam com a altura, por causa da
pouca ativação dos CCN’s no máximo de supersaturação, não atingindo raios muito
grandes.

24. Microfísica da Precipitação – Exercícios do capítulo 5
(cap. 5 slide 38) – Resolver os exercícios 8.1 e 8.4 do livro do Rogers & Yau
Ex. 8.1: Uma nuvem orográfica na ilha do Havaí tem 2 km de espessura e conteúdo de
água líquida uniforme de 0,5g/m3
. Uma gota de 0,1mm de raio no topo da nuvem
começa a cair através dela.
a) Encontre o tamanho da gota ao deixar a base da nuvem, negligenciando o
movimento vertical do ar na nuvem. Desprezar o crescimento por condensação (use a
forma elementar da equação de crescimento contínuo) e assumindo uma coleção com
eficiência igual à unidade (E = 1).
=>
Considerando E = 1 e integrando:
Assumindo a corrente ascendente desprezível (u=0), temos que:
Considerando Vf >> V0:
R0 = 0,1.10-3
m
Zf = 2.103
m
Wl = 0,5.10-3
m
ρl = 1000 Kg m-3
Substituindo os valores, temos:
b) Assumindo que a velocidade terminal da gota é igual a K3r, onde K3 = 8x10-3
s-1
,
encontrar o tempo despendido pela gota ao cair através da nuvem.
=>
Considerando Vf = K3R, E = 1 e t0 = 0:

25. =>
R0 = 0,1.10-3
m
Zf = 2.103
m
Wl = 0,5.10-3
m
ρl = 1000 Kg m-3
K3 = 8.10-3
s-1
Substituindo os valores, temos:
t = 1252s = 20,88 min
c) Nuvens orográficas no Havaí são efetivamente mantidas pelo movimento suave da
corrente ascendente, o que causa um constante vento fraco. Calcule o tamanho da
gota como no item (a), considerando que surge a partir da nuvem um vento uniforme
de 20 cm/s.
Como Vf = K3R:
Considerando Vf = K3
R >> V0 e E = 1:
=>
u = 20 cm/s = 0,2 m/s
R0 = 10-4
m
z0 = 2000 m
Substituindo os valores, temos:

26. Rf = 0,38mm
Ex. 8.4: Uma gota de 0,2 mm de diâmetro é inserida na base de uma nuvem cumulus
que tem um conteúdo uniforme água líquida de 15g/m3
e um vento constante de 4m/s.
Usando a forma elementar da equação do crescimento contínuo e negligenciando o
crescimento por condensação, determinar o seguinte:
Obs.: Assuma uma coleção com eficiência igual a unidade, e para a diminuição da
dependência da velocidade, como tamanho utilizar os dados na tabela 8.1.
a) o tamanho da gota no topo da sua trajetória:
Como a gota tem inicialmente 0,1mm de raio, ela não tem força suficiente para
vencer a resistência do ar provocada pela corrente ascendente que é de 4m/s. Por sua
velocidade de queda ser de aproximadamente 0,72 m/s, ela sobe pela corrente ascendente,
crescendo durante seu trajeto.
Quando ela chega no ponto mais alto da trajetória, sua velocidade de queda é de 4
m/s, vencendo a corrente ascendente, e caindo. Utilizando a tabela 8.1, obtém-se o diâmetro
da gota (~1mm), e consequentemente o raio: Rf = 0,5 mm.
b) O tamanho da gota quando ela deixa a nuvem
=>
Como o início e o fim da trajetória da gota é a base da nuvem, então:
=>
Vf = Rk3 30 µm < R < 0,6 mm
Vf = R1/2
K2 0,6 mm < R < 2 mm
u = 4 m/s
K3 = 8.103
s-1
K2 = 2,01 cm 1/2
= 0,201 m1/2
s-1

27. R0 = 1.10-4
Substituindo os valores, temos que:
=>
c) O tempo que a gota reside na nuvem
R0 = 0,1 mm
Rf = 1,6mm
Substituindo os valores, temos que:

28. Microfísica da Precipitação – Exercícios do capítulo 6
Ex. 6.1 (cap. 6 slide 44) - Discuta o crescimento de cristais de gelo por difusão de
vapor
O crescimento de gelo por difusão de vapor acontece em nuvens cujo topo
ultrapassa a isoterma de 0°C. O vapor presente nessa nuvem está saturado em relação à
água líquida super-resfriada e supersaturado em relação aos cristais de gelo presente
(ambiente mais favorável para o crescimento dos cristais de gelo por difusão). Esse
crescimento, só acontece se estiver em presença de Ice Nuclei (ICN) para começar o
processo de formação do cristal. Não havendo a presença do ICN, o gelo só se formará
quando a temperatura for de aproximadamente -40°C.
Numa mistura de líquido/gelo, o líquido pode evaporar e então congelar sobre o
cristal do gelo por deposição (fazendo com sua massa aumente) cuja forma é definida pelo
parâmetro C e também depende de fatores como a umidade relativa.
Ex. 6.2 (cap. 6 slide 44) - Discuta o processo de 3-fases de Bergeron
O processo de três fases de Bergeron aplica-se a nuvens frias com temperaturas
abaixo de zero grau, e está baseado nas seguintes propriedades da água:
a) As gotículas de nuvem não congelam a temperatura de 0°C
b) A água pura presente no ar só irá congelar a temperatura de -40°C
c) Para a formação de um embrião de gelo de tamanho razoável seja possível, deve haver
baixa temperatura.
d) A água abaixo de zero grau é dita ser supersaturada
e) Abaixo de zero grau não existe formação de gelo espontaneamente
É necessária a presença de Ice Nuclei (ICN) para que haja o início da formação dos
cristais de gelo. Em temperaturas entre 10°C e 20°C, a presença de gotículas de água super-
resfriadas é muito maior que a de cristais de gelo, devido ao fato de haver mais CCN do
que ICN, de forma que cada cristal de gelo está cercado por muitas gotículas de água super-
resfriada. Como a pressão de vapor de saturação é muito menor no gelo do que na água, o
ar está supersaturado em relação ao gelo, mas somente saturado em relação à água super-
resfriada. O processo de Bergeron depende exatamente dessa diferença de pressão de
saturação, e por causa dela o cristal de gelo é mais eficaz na coleta do vapor d’água a sua
volta. Com isso ele vai retirando o vapor d’água da nuvem, e quando a UR torna-se menor
de 100%, as gotículas de água super-resfriadas começam a evaporar.
Ex. 6.3 (cap. 6 slide 44) - Discuta o crescimento de partículas de gelo por acreção de
gotículas e por agregação de cristais
No crescimento por acresção, os cristais de gelo capturam as gotículas de água
super-resfriada durante sua queda. Haverá a formação do Graupel se essas gotículas
congelarem imediatamente por contato. No entanto, se o congelamento não for imediato,
formara estruturas densas chamadas de Granizo.

29. No crescimento por agregação, os cristais de gelo colidem com outros cristais de
gelo durante sua queda, juntando-se e formando os flocos de neve.
Ex. 6.4 (cap. 6 slide 44) - Analise as características microfísicas e dinâmicas para a
formação de granizo em nuvem Cumulonimbus
Para que o granizo seja formado em uma nuvem Cumulonimbus, é necessário que
haja fortes correntes ascendentes e uma quantidade suficiente de água super-resfriada. O
granizo começa como pequenos cristais de gelo, que crescem inicialmente por difusão e
depois coletando gotículas de água super-resfriada durante sua subida na corrente
ascendente, até alcançar tamanho suficiente para vencer a corrente e cair. Durante a queda,
ele também coleta gotículas de água super-resfriada. Se houver outra corrente ascendente
que consiga levantá-lo novamente, ele irá se manter nesse círculo coletando as gotículas e
crescendo, até que caia. Durante esse processo, as gotículas não congelam imediatamente
sobre o gelo, formando assim camadas quase concêntricas.

30. Microfísica da Precipitação – Exercícios gerais
1) Analise a evolução temporal de um espectro de tamanho de gotículas que são
levadas a partir da base da nuvem por uma corrente ascendente constante. Analise
também a variação temporal da razão de saturação como uma função da altura
dentro dessa nuvem. (Rogers, p. 109)
Gotículas levadas a partir da base da nuvem por uma corrente ascendente constante
crescem rapidamente, enquanto bem pequenas, por difusão de vapor. Ao atingirem
tamanhos significativos (r~14 um), o processo de crescimento mais importante passa a ser o
de colisão/coalescência, que é o mais rápido na formação de gotas de chuva.
Em uma corrente ascendente constante, a razão de saturação (S=e/es) no interior da nuvem
cresce rapidamente a partir da base da nuvem e atinge seu máximo em aproximadamente 10
m acima da base da nuvem, valor esse que depende da velocidade da corrente ascendente e
do número de núcleos ativos. Depois, passa a decrescer com a altura a uma taxa
aproximadamente constante.
2) Faça um resumo do processo de iniciação da precipitação em nuvens quentes,
descrevendo suas principais etapas sucintamente. Discuta também o papel que os
aerossóis possuem nos diferentes espectros de gotículas de nuvens e consequentemente
na sua precipitação.
Nuvens quentes são aquelas cujo topo não ultrapassa a isoterma de 0ºC e, portanto, não
possuem a fase gelo. Pequenas gotículas são formadas na presença de aerossóis em
ambientes com alta saturação. Essas pequenas gotículas geradas crescem por condensação
de vapor sobre elas e não possuem massa suficiente para vencer a resistência do ar. Esse
processo ocorreria indefinidamente, no entanto, na natureza a quantidade de vapor
disponível é finita. Quando o vapor disponível se esgota, as gotas que estão com um r~14
um e já possuem massa suficiente para vencer a resistência do ar e adquirir uma certa
velocidade terminal. Porém, há no interior da nuvem fortes correntes ascendentes, e essas
gotas são forçadas a subirem, dando início ao processo de crescimento por colisão e
coalescência. Estas subirão até que cresçam o suficiente para a sua velocidade terminal
vencer a corrente ascendente e elas começarem a cair. Com isso, as gotas se tornarão ainda
maiores, dependendo de fatores como conteúdo de água líquida, espessura da nuvem, etc.
3) Discuta a diferença (esat,w – esat,i) para temperaturas abaixo de 0ºC para um
sistema contendo gotículas de água super-resfriadas e cristais de gelo.
Para um sistema contendo gotículas super resfriadas e cristais de gelo, os cristais crescerão
mais rápido por difusão de vapor do que as gotas, pois a pressão de saturação sobre o gelo é
menor do que sobre o líquido. Nesse ambiente, os cristais crescerão por difusão removendo
vapor do meio e tornando-o subsaturado em relação ao líquido. Essas gotículas podem
evaporar e manter o ambiente supersaturado em relação ao gelo.
4) Descreva sucintamente o mecanismo de crescimento de cristais de gelo por difusão
e esboce graficamente a variação típica da taxa de crescimento em função da

31. temperatura. Analise a influência sobre essa taxa do nível de pressão onde o processo
está sendo desenvolvido.
O crescimento de cristais de gelo por difusão de vapor é bastante eficiente para gotas
pequenas, onde a massa do vapor depositada no cristal exerce a grande contribuição da
massa total do mesmo. Já para cristais grandes, o processo é mais lento, pois a agregação de
massa de vapor por deposição sobre o cristal é pequena em relação a sua dimensão. Esse
processo é favorecido na presença de gotas super resfriadas, pois servem como suprimento
de vapor para o crescimento dos cristais ao evaporarem: o vapor tende a se depositar sobre
os cristais (es>ei), tornando o meio subsaturado com relação à água e favorecendo que
essas gotas evaporem. Assim, a supersaturação com respeito aos cristais é mantida, fazendo
com que estes continuem crescendo.
Quanto à temperatura, nota-se que existe, para cada pressão, uma temperatura “ótima” para
o crescimento de cristais por difusão de vapor. Além disso, a taxa de crescimento é
inversamente proporcional à pressão (quanto maior a pressão, menor a taxa de
crescimento).
5) Houghton (1950) mostrou que, sob condições favoráveis de super saturação, a taxa
de crescimento de cristais por difusão de vapor e a taxa de crescimento de gotículas
por condensação podem ser expressas conforme apresentada na figura abaixo: (slide
49) Discuta a importância desses resultados para o entendimento do processo de
formação da precipitação.
Para gotas e cristais pequenos, o processo de difusão de vapor é bem mais eficiente no
crescimento dos cristais de gelo do que para as gotículas, pois es>ei. No entanto, observa-se
que, a medida que o cristal cresce, este processo começa a acontecer a uma taxa bem menor
do que para gotículas do mesmo tamanho, fazendo assim com que as gotículas cresçam
mais rápido que os cristais, atingindo assim tamanhos necessários para iniciarem o processo
de colisão e coalescência e formando gotas precipitáveis.
6) Utilize a representação esquemática abaixo para discutir a evolução temporal da
distribuição de gotículas durante o processo de crescimento por difusão de vapor.
Apresente a equação simplificada que descreve esse processo.
Nota-se a maior eficiência de crescimento por difusão para gotículas pequenas do que para
gotas grandes. Isso ocorre porque a quantidade de vapor agregado por difusão é uma
quantidade grande se comparada com a massa das gotículas pequenas, mas pequena se
comparada com as maiores. Assim, a medida que o crescimento progride, em um certo
momento, o espectro de tamanho apresenta-se aproximadamente constante, e as gotas
passam a crescer juntas. A equação que descreve esse crescimento parabólico é rdr/dt = (S-
1)/(Fk+Fd).
7) Descreva o equilíbrio entre uma gotícula de solução aquosa e o ar úmido, utilizando
o gráfico abaixo que mostra a variação da supersaturação crítica de uma gotícula
para várias quantidades de NaCl em solução a 0ºC. Qual a equação que descreve esse
equilíbrio, bem como, o valor da saturação no ponto de equilíbrio instável?

32. A equação que descreve o equilíbrio entre uma gotícula de solução aquosa e o ar úmido é a
equação de Kohler, dada pela seguinte expressão: S=1+a/r-b/r³. Do gráfico, observa-se que
quanto maior a quantidade de soluto na gota, menor a supersaturação necessária para
formação e crescimento da gota, ou seja, a presença de soluto reduz a pressão de vapor de
saturação de vapor sobre a gota. Podemos entender esse processo da seguinte forma:
quando as moléculas do soluto entram no líquido, “afastam” algumas moléculas do líquido,
situadas na camada superficial da gota e as substitui, e como geralmente a pressão de vapor
do soluto é inferior à do solvente, a pressão de vapor diminuirá na proporção do soluto
presente.
8) De acordo com a equação de Koehler, havendo equilíbrio entre uma gotícula de
solução aquosa e o ar úmido. Discuta o significado físico dos termos desta equação.
A Equação de Koehler descreve a taxa de saturação em função do tamanho da gotícula
(raio).
a/r – termo de curvatura: mostra o aumento da razão de saturação sobre uma gotícula em
comparação a uma superfície plana.
b/r3
– termo de soluto: mostra a redução da pressão de vapor devido à presença de um
soluto.
9) O que você entende por equilíbrio termodinâmico e quais condições para esse
equilíbrio, considerando um sistema heterogêneo com interfaces deformáveis,
condutoras de calor e permeáveis?
Seja um sistema isolado e que não está em equilíbrio. De acordo com a 2ª Lei da
Termodinâmica, a entropia cresce até alcançar a entropia máxima. Nesse estado, todos os
processos irreversíveis cessarão e somente irão ocorrer processos reversíveis.
Considerando-se um sistema heterogêneo com interfaces deformáveis, condutoras de calor
e permeáveis, as condições para equilíbrio termodinâmico para todos os componentes do
sistema, podem ser expressas por:
T´= T´´=............= Tα
condição de equilíbrio térmico
P´= P´´=.............= Pα
mecânico
µ´= µ´´=.............= µα
químico
10) Defina calor latente de mudança de fase para um sistema fechado contendo duas
fases. Qual é a equação que representa a condição de equilíbrio nesse sistema?
Para que haja passagem da fase líquida para a fase de vapor, é necessário uma quantidade
de calor, devido as moléculas gasosas terem maior energia cinética que as do líquido.
Chamando L a quantidade de calor necessária para converter a unidade de massa líquida em
vapor, mantendo constante pressão e temperatura, é neste caso chamado calor latente de
vaporização. Dessa forma, podemos resumir a definição de calor latente de mudança de
fase como o calor exigido para que uma molécula faça a transição de uma fase para outra.
A equação representante deste processo é a equação de Clausius-Clapeyron.
11) Discuta o significado físico da equação e/es = exp(2sigma/RvrolTr)

33. A gotícula torna-se estável se o seu tamanho supera um certo valor crítico, que por sua vez
é dependente das tendências de crescimento e de evaporação da gota. O crescimento da
gota vai depender da pressão parcial de vapor d'água ao seu redor, enquanto o processo de
evaporação vai depender da temperatura da gota e de sua tensão superficial.
Quando é estabelecido um equilíbrio entre líquido e vapor, as velocidades de condensação e
de evaporação se compensam. Nesse caso, a pressão de saturação de vapor é igual à pressão
de saturação da água líquida. Mas a pressão de vapor sobre a superfície da gota depende da
sua curvatura e é dada pela expressão apresentada, onde e é a pressão de saturação do vapor
sobre a superfície de uma gota, es é a pressão de saturação de vapor respectivo à água, r é o
raio da gota esférica, sigma é a tensão superficial, rol é a densidade a temperatura T e Rv é
a constante dos gases para o vapor de água. Note que a razão é inversamente proporcional
ao raio, de modo que a medida que a gota cresce, a razão diminui até o ponto onde a
gotícula atinge o raio crítico (es(r)=es(inf)=e(pressão de vapor ambiente)). Temos então
uma equação entre líquido e vapor, onde as taxas de evaporação e condensação se igualam.
12) Descrever o modelo de Bowen
Considerando-se que uma gota com o dobro do tamanho das demais resultando da
coalescência entre duas gotículas é levada para cima pela corrente ascendente e continua
crescendo por colisão e coalescência, coletando gotículas em seu volume de varredura. Ao
atingir um tamanho suficiente para que seu peso vença a força imposta pela velocidade da
corrente ascendente, ela cai e pode continuar a crescer pela coleta de mais gotículas,
emergindo então da base da nuvem na forma de uma gota de chuva. Bowen fez uso desse
processo para explicar a precipitação em nuvens quentes, cuja coalescência é o processo
dominante. (Coalescência é o processo em que duas ou mais partículas ou gotículas
fundem-se, formando apenas uma única gotícula)
13) Utilize o diagrama representativo do processo de crescimento por coleção
mostrando a trajetória limites de gotículas que colidem com a gota coletora para
descrever o modelo de Bowen para o crescimento contínuo de gotas de chuva.
Gotículas pequenas crescem por difusão de vapor, fazendo com que haja um estreitamento
e deslocamento do espectro. Nesse momento, existem mecanismos como o entranhamento
e colisões estatísticas que fazem com que haja na nuvem gotas muito grandes e gotas muito
pequenas gerando assim o início do processo de crescimento por colisão e coalescência,
fazendo com que o processo seja contínuo. No modelo de Bowen, são consideradas várias
gotículas de massa m e uma gota com o dobro de massa das demais (2m), que continuam
crescendo por condensação e coalescência. Essa gota maior é carregada pela corrente
ascendente com as outras e coleta uma fração das gotículas no seu volume de varredura. A
coleta tem uma eficiência, dada pela razão entre as gotículas coletadas pelas gotículas
presentes no volume de varredura. A eficiência pode não ser completa (=1), pois forças
aerodinâmicas fazem com que as pequenas gotículas sejam desviadas ao redor da gota
maior. Ao vencer a corrente ascendente, ela cai podendo precipitar.
14) Descreva o crescimento de partículas de gelo por acreção de gotículas e por
agregação de cristais.

34. Acreção: as partículas de precipitação na fase gelo durante a queda capturam gotículas
superresfriadas. Se as gotículas congelam imediatamente no contato, formam-se os
graupels. Quando o congelamento não é imediato, são formados granizos.
Agregação: processo no qual os cristais que caem colidem com outros cristais, unem-se e
formam os flocos de neve.
A distribuição bimodal (moda grossa e fina) típica de tamanho de aerossóis possui grande
importância na formação de gotículas, pois aerossóis maiores contribuem com uma massa
maior na composição das gotas, fazendo com que cresçam maiores. Observações mostram
que muitas vezes a precipitação é mais provável quando o ambiente possui poucas
partículas grandes do que muitas partículas pequenas. Outra característica importante a ser
analisada sobre os aerossóis é a sua solubilidade em água, pois estas substâncias solúveis
facilitam a formação de gotas, já que diminuem sua pressão de vapor de equilíbrio.
15) Determine a relação funcional para o cálculo da distância percorrida por uma
gotícula de raio inicial r antes de sua completa evaporação durante seu percurso
através de um meio sub saturado à temperatura T.
16) Uma pequena gota é injetada numa nuvem Cumulus Congestus e cresce por
condensação e coalescência num ambiente super saturado. Considere a super
saturação constante e que a velocidade terminal dessa gota pode ser expressa por v(r)
= kr. Desenvolva e resolva a equação diferencial que descreve o crescimento dessa
gota pelos dois processos simultaneamente.
17) O conteúdo de água líquida de uma nuvem de 2 km de profundidade varia
linearmente a partir de 1g/m³ na sua base até 3 g/m³ no seu topo. Uma gota de 100
micras de diâmetro inicia sua queda a partir do topo dessa nuvem. Determine seu
tamanho quando esta deixar a base da nuvem. Assuma que a eficiência de coleta é 0,8
e que não há corrente ascendente. Despreze também a velocidade de queda das
gotículas da nuvem.
18) Se você possuísse um instrumento que mede a velocidade de queda de gotas de
precipitação como função da altura, como seria esperada a função v(h) para um
sistema estratiforme onde a isoterma de 0ºC estivesse a uma altura média da
profundidade total dessa nuvem? Considere o seguinte modelo para uma população
de gotas de chuva:
A distribuição de tamanho das gotas é dada por N(D) = N0 exp (-bD)
A velocidade terminal dessas gotas é dada por v(D) = kD
Calcule a taxa de precipitação e o conteúdo de água líquida associada a essa
população de gotas.