1. Matemática – Prof. Vicente
AULA 02- Divisão proporcional
1)Números diretamente proporcionais
Os números de uma sucessão numérica ‫ܣ‬ = ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … ሻ são diretamente proporcionais aos números de uma sucessão
numérica ‫ܤ‬ = ሺܾଵ, ܾଶ, ܾଷ, … ሻ quando a razão de cada termo de A pelos seu correspondente em B, forem iguais, isto é:
Onde K é o coeficiente (constante) de proporcionalidade.
EXEMPLOS
01)Verificar se os números da sucessão (18, 6, 3,...) são ou
não diretamente proporcionais aos números da sucessão (6,
2, 1,...)
02)Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20,
x, y) são diretamente proporcionais aos números da
sucessão (4, 2, 1)
2)Números inversamente proporcionais
Os números de uma sucessão numérica ‫ܣ‬ = ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … ሻ são inversamente proporcionais aos números de uma sucessão
numérica ‫ܤ‬ = ሺܾଵ, ܾଶ, ܾଷ, … ሻ quando os números da sucessão A forem diretamente proporcionais ao números da sucessão
ቀ
ଵ
௕భ
,
ଵ
௕మ
,
ଵ
௕య
, … ቁ, formada pelos inversos dos números de B, isto é:
Que equivale a:
Onde K é o coeficiente (constante) de proporcionalidade.
EXEMPLOS
1)Verificar se os números da sucessão (30, 24, 20) são ou
não inversamente proporcionais aos números da sucessão
(4,5,6)
2)Encontrar x, y, e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9,
y, 36) são inversamente proporcionais com constante de
proporcionalidade k = 36
3)Proporcionalidade composta
Sejam as sucessões ‫ܣ‬ = ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … ሻ, ‫ܤ‬ = ሺܾଵ, ܾଶ, ܾଷ, … ሻ e ‫ܥ‬ = ሺܿଵ, ܿଶ, ܿଷ, … ሻ. Diz-se que A é diretamente proporcional a
B e C, de forma composta, quando A for diretamente proporcional a uma sucessão B.C onde cada elemento é dado por
ܾ. ܿሺܾଵ. ܿଵ, ܾଶ. ܿଶ, ܾଷ. ܿଷ, … ሻ . Assim temos:
a)A é de proporcionalidade composta direta a B e C quando:
Onde K é o coeficiente (constante) de proporcionalidade.
b)A é de proporcionalidade composta inversa a B e C, quando:
Onde K é o coeficiente (constante) de proporcionalidade.
c)A é de proporcionalidade direta a B e inversa a C, quando:
Simplificando:

2. Matemática – Prof. Vicente
EXEMPLOS
1)Verificar se os números da sucessão (100, 120) são
ou não de proporcionalidade composta direta aos
números de (2,3) e (5,4)
2)Descobrir o valor de x, sabendo que A=(x,15) é de
proporcionalidade composta inversa a B=(5,4) e C =
(1/10, 1/12).
EXERCÍCIOS
01)Dividir 144 em partes diretamente proporcionais a 3, 4
e 5.
02) Dividir 36 em partes inversamente proporcionais
a
ଵ
ଶ
,
ଵ
ଷ
e
ଵ
ସ
.
03) Dividir 740 em partes diretamente proporcionais a 2,
3 e 4 e também diretamente proporcionais a 4, 3 e 5.
04) Dividir 490 em partes diretamente proporcionais a 2,
3 e 4 e em partes inversamente proporcionais a
ଵ
ଷ
,
ଵ
ହ
e
ଵ
଻
.
05) Dividindo 54 em partes diretamente proporcionais a
4, 6 e 8 obtemos os números x, y e z. Então 2x – y + z é
igual a:
a) 15 b) 20 c) 30 d) 35 e) 40
06) (UFMG) Se A + B = 160 e A e B são diretamente
proporcionais a 5 e 3 respectivamente, então:
a) A = 100, B = 60
b) A = 60, B = 100
c) A = 40, B = 120
d) A = 120, B = 40
e) n d a
07) (UFMG) As famílias Oliveira, de três pessoas, e Alves,
de cinco pessoas, alugaram uma casa na praia. No fim da
temporada a primeira família pagou R$ 1 060,00 e a
segunda, R$ 812,00. A quantia que cada família deveria
ter pago, para que a despesa fosse proporcional ao
números de pessoas de cada uma, é:
a) R$ 374,00 e R$ 1 498,00
b) R$ 624,00 e R$ 1 248,00
c) R$ 702,00 e R$ 1 170,00
d) R$ 750,00 e R$ 1 122,00
e) R$ 872,00 e R$ 1 000,00
08) (FCC) Na oficina de determinada empresa há um certo
número de aparelhos elétricos a serem separados.
Incumbidos de realizar tal tarefa, dois técnicos dividiram o
total de aparelhos entre si, na razão inversa de seus
respectivos tempos de serviço na empresa: 8 anos e 12
anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos, o total
reparado foi
(A) 21 ( B ) 20 ( C ) 18 ( D ) 15 ( E ) 12
09)(FCC) Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a
dois de seus funcionários uma gratificação no valor de R$
500,00. Essa quantia foi dividida eles, em partes que eram
diretamente proporcionais aos respectivos números de
horas de plantões que cumpriam no mês e, ao mesmo
tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas
idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e cumpriu
24 horas de plantões e, o outro 45 anos e cumpriu 18
horas, coube ao mais jovem receber
( A ) R$ 302,50 ( B )R$ 310,00 ( C )312,50 ( D )325,00
( E ) 342,50
10)(FCC) certo mês, os números de horas extras
cumpridas pelos funcionários A, B e C foram inversamente
proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na
empresa. Se A trabalha a há 8 meses, B há 2 anos, C há 3
anos e, juntos, os três cumpriram um total de 56 horas
extras, então o número de horas extras cumpridas por B
foi
( A ) 8 (B) 12 ( C ) 18 ( D ) 24 ( E ) 36
11) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de
serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional
Federal de uma certa circunscrição judiciária.
Idade
(em anos)
Tempo de
Serviço
(em anos)
João 36 8
Maria 30 12
Esses funcionários foram incumbidos de digitar
as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas
entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus
tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas,
o total de laudas do processo era
(A)40 (B) 41 (C)42 (D)43 (E)44
12)(universa)Hoje, as idades de duas pessoas estão na
razão de 2 para 3. Há 10 anos, a razão entre as idades
delas era de 4 para 7. A diferença entre as idades dessas
pessoas é de
(A) 10anos (B ) 15anos (C) 20anos (D)25 anos (D)30 anos
13)(70-FR) Para atender à prescrição médica de 6mg de
dexametasona, deve-se aspirar do frasco de 2,5ml,
contendo 4mg/ml, o volume equivalente a:
a)2,5ml b)2,0ml c)1,5ml d) 1,0ml
14) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram
incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse
total na razão direta de suas respectivas idades e inversa
de seus respectivos tempos de serviço público. Se um
deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro
42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a
diferença positiva entre os números de processos que
cada um arquivou é
(A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56
15) )(FCC)Num dado momento, no almoxarifado de certa
empresa, havia dois tipos de impressos: A e B. Após a
retirada de 80 unidades de A, observou-se que o número
de impressos de B estava para o de A na proporção de 9
para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades de B e a
proporção passou de 7 de B para cada 5 de A.
Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era.
( A ) 780 ( B ) 800 ( C ) 840 ( D ) 860 ( E ) 920