O documento apresenta a resolução de 10 exercícios de pré-cálculo envolvendo funções trigonométricas como tangente, secante, cossecante e suas propriedades. Os exercícios abordam cálculo de sinais, definição de funções, simplificação de expressões, identidades trigonométricas e resolução de equações.

1. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 1 de 16
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2
Profa. Maria Lúcia Campos
Profa. Marlene Dieguez
EP10 – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráficos
GABARITO
_____________________________________________________________________________________
Exercício 1 Determine o sinal de:
a) tan (
11𝜋
5
) b) sen(21°) × cos (90°1′) × tan(181°)
Resolução:
a)
11𝜋
5
=
10𝜋+𝜋
5
= 2𝜋 +
𝜋
5
≡
𝜋
5
e 0 <
𝜋
5
<
𝜋
2
, ou seja,
𝜋
5
é um ângulo do 1º. quadrante.
Portanto, tan
11𝜋
5
= tan
𝜋
5
é positivo.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 21° está no 1º. quadrante, logo sen(21°) é positivo.
90°1′
está no 2º. quadrante, logo cos (90°1′) é negativo.
181° está no 3º. quadrante, logo tan(181°) é positivo.
Produto de dois positivos por um negativo, o resultado é negativo.
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Exercício 2 Para que ângulos, no intervalo [−3𝜋, 5𝜋], a tangente não está definida? E a cotangente?
Resolução:
Sabemos que tan 𝜃 não está definida quando 𝜃 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro.
Uma maneira de resolver é substituir os valores de 𝑘 e verificar se 𝜃 está no intervalo [−3𝜋, 5𝜋].
Para 𝑘 = 0, temos 𝜃 =
𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = 1, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 𝜋 =
3𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = −1, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 𝜋 = −
𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = 2, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 2𝜋 =
5𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = −2, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 2𝜋 = −
3𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = 3, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 3𝜋 =
7𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = −3, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 3𝜋 = −
5𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = 4, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 4𝜋 =
9𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋]
Para 𝑘 = −4, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 4𝜋 = −
7𝜋
2
∉ [−3𝜋, 5𝜋]

2. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 2 de 16
Para 𝑘 = 5, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 5𝜋 =
11𝜋
2
∉ [−3𝜋, 5𝜋]
Portanto, a tangente não está definida em −
5𝜋
2
, −
3𝜋
2
, −
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
.
Outra maneira:
resolver uma inequação na incógnita 𝑘 e depois substituir os valores de 𝑘.
Sabemos que tan 𝜃 não está definida quando 𝜃 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro.
−3𝜋 ≤
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ −3𝜋 −
𝜋
2
≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 −
𝜋
2
⟺ −
7𝜋
2
≤ 𝑘𝜋 ≤
9𝜋
2
⟺ −
7
2
≤ 𝑘 ≤
9
2
.
Como 𝑘 é número inteiro, concluímos que os valores possíveis de 𝑘 são: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.
Logo os correspondentes valores de 𝜃 são:
𝜋
2
− 3𝜋 = −
5𝜋
2
;
𝜋
2
− 2𝜋 = −
3𝜋
2
;
𝜋
2
− 𝜋 = −
𝜋
2
;
𝜋
2
;
𝜋
2
+ 𝜋 =
3𝜋
2
;
𝜋
2
+ 2𝜋 =
5𝜋
2
;
𝜋
2
+ 3𝜋 =
7𝜋
2
;
𝜋
2
+ 4𝜋 =
9𝜋
2
.
Portanto, a tangente não está definida em −
5𝜋
2
, −
3𝜋
2
, −
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
.
Agora, para a cotangente.
Sabemos que cot 𝜃 não está definida quando 𝜃 = 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro.
−3𝜋 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ −3 ≤ 𝑘 ≤ 5.
Como 𝑘 é número inteiro, concluímos que os valores possíveis de 𝑘 são: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Portanto, a cotangente não está definida em −3𝜋, −2𝜋, −𝜋, 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, 4𝜋, 5𝜋.
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Exercício 3 Calcule tan 𝑥, sabendo que cos 𝑥 = −
5
6
e que 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
.
Resolução:
Pela identidade trigonométrica fundamental, sen2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1, temos que sen 𝑥 = ± √1 −
25
36
=
±
√11
6
, como 𝑥 é um ângulo do 3º quadrante, sen 𝑥 = −
√11
6
, . Logo, tan 𝑥 =
√11
5
.
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Exercício 4 Simplifique as expressões:
a)
sec2 𝑥
1+tan2 𝑥
b)
sen4𝑥−cos4𝑥
1−√2 cos𝑥
c)
tan 𝑥+cot𝑥
csc2 𝑥
Resolução:
a)
sec2 𝑥
1+tan2 𝑥
=
1
cos2𝑥
cos2𝑥+sen2𝑥
cos2𝑥
=
1
cos2𝑥
1
cos2𝑥
= 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b)
sen4𝑥−cos4𝑥
1−√2 cos𝑥
=
(sen2𝑥−cos2𝑥)(sen2𝑥+cos2𝑥)
1−√2cos 𝑥
=
(sen2𝑥−cos2𝑥).1
1−√2 cos 𝑥
=
1−cos2𝑥−cos2𝑥
1−√2 cos𝑥
=
1−2cos2𝑥
1−√2 cos x
=

3. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 3 de 16
(1−√2 cos 𝑥)(1+√2 cos 𝑥)
(1−√2 cos𝑥)
= 1 + √2 cos 𝑥.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c)
tan 𝑥+cot 𝑥
csc2 𝑥
=
sen 𝑥
cos 𝑥
+
cos 𝑥
𝑠en 𝑥
1
sen2𝑥
=
sen2𝑥+cos2𝑥
cos 𝑥 sen 𝑥
1
sen2𝑥
=
1
cos𝑥 sen 𝑥
. sen2
𝑥 = tan 𝑥.
_____________________________________________________________________________________
Exercício 5 Dado cos 𝑥 =
√5
3
e tan 𝑥 > 0, calcule 𝑦 = tan2
𝑥 + 2sen 𝑥.
Resolução:
Observe que 𝑥 é um ângulo do 1º quadrante, pois cos 𝑥 > 0 e tan 𝑥 > 0. Assim, pela identidade
trigonométrica fundamental, sen2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1, temos que sen 𝑥 = √1 −
5
9
=
2
3
e
consequentemente, tan 𝑥 =
sen 𝑥
cos 𝑥
=
2
3
√5
3
=
2
3
×
3
√5
=
2
√5
.
Portanto, 𝑦 = tan2
𝑥 + 2sen 𝑥 =
4
5
+ 2.
2
3
=
32
15
.
_____________________________________________________________________________________
Exercício 6 Simplifique as expressões abaixo:
a)
cot 𝑥+csc 𝑥
sen 𝑥
b)
cos2𝑥− sen2𝑥
cos2𝑥− sen𝑥 cos𝑥
c)
cos(
𝜋
2
− 𝑥)sen(
𝜋
2
− 𝑥)cos (𝜋+𝑥)
sen(𝜋 − 𝑥)cos(𝑥 − 2𝜋)cos (
𝜋
2
+ 𝑥)
Resolução:
a)
cot 𝑥+csc 𝑥
sen 𝑥
=
cos 𝑥
sen 𝑥
+
1
sen𝑥
sen 𝑥
=
cos𝑥 +1
sen2𝑥
=
cos𝑥+1
1−cos2𝑥
=
1+cos 𝑥
(1+cos𝑥)(1−cos𝑥)
=
1
1−cos 𝑥
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b)
cos2𝑥− sen2𝑥
cos2𝑥−sen𝑥 cos𝑥
=
(cos𝑥−sen𝑥)(cos𝑥+sen 𝑥)
cos 𝑥(cos𝑥−sen 𝑥)
=
cos𝑥+sen 𝑥
cos𝑥
= 1 + tan 𝑥.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c)
cos(
𝜋
2
− 𝑥) sen(
𝜋
2
− 𝑥)cos (𝜋+𝑥)
sen(𝜋 − 𝑥)cos(𝑥 − 2𝜋)cos (
𝜋
2
+ 𝑥)
=
sen 𝑥 cos𝑥(− cos𝑥)
sen 𝑥 cos𝑥(−𝑠𝑒𝑛𝑥)
= cot 𝑥.
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Exercício 7 Demonstre as identidades:
a) tan(𝛼 + 𝛽) =
tan 𝛼+tan 𝛽
1−tan 𝛼 tan 𝛽
para todo 𝛼 ∈ ℝ e todo 𝛽 ∈ ℝ tais que 1 − tan 𝛼 tan 𝛽 ≠ 0.
b) tan(𝛼 − 𝛽) =
tan 𝛼−tan𝛽
1+tan 𝛼 tan 𝛽
. para todo 𝛼 ∈ ℝ e todo 𝛽 ∈ ℝ tais que 1 + tan 𝛼 tan 𝛽 ≠ 0.
Resolução:

4. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 4 de 16
a) tan(𝛼 + 𝛽) =
sen(𝛼+𝛽)
cos(𝛼+𝛽)
=
sen 𝛼 cos𝛽+sen 𝛽 cos𝛼
cos𝛼 cos 𝛽−sen 𝛼 sen 𝛽
=
tan 𝛼+tan𝛽
1−tan 𝛼 tan 𝛽
, onde a última igualdade foi obtida
dividindo-se o numerador e o denominador da fração anterior por cos 𝛼 cos 𝛽.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Idem à anterior ou substitua em a) 𝛽 𝑝𝑜𝑟 − 𝛽.
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Exercício 8 Se tan 𝑥 =
6
5
, qual o valor de tan 2𝑥 ?
(Sugestão: use o exercício 7) anterior ou a identidade (5) já provada.
Resolução:
Pelo item a) do ex. 7 com 𝑥 = 𝛼 = 𝛽, temos tan 2𝑥 =
2 tan 𝑥
1−tan2 𝑥
=
2×6
5
1−(
6
5
)
2 = −
60
11
.
Muito cuidado, não é correto simplificar assim: 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙. Se fosse correto, teríamos tan 2𝑥 =
2 tan 𝑥 = 2 ×
6
5
=
12
5
, mas
12
5
≠ −
60
11
(obtido acima). Sabe por que fizemos esse comentário? Porque
muitos alunos cometem esse tipo de erro na prova, e não gostaríamos que você fosse mais um!
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Exercício 9 Mostre que tan(22°30′) = √2 − 1.
Resolução:
Pelo item a) do ex. 7, ou pela identidade 5, com 𝑥 = 22°30′, temos 1 = tan(45°) =
2 tan(22°30′)
1−tan2(22°30′)
.
Chamemos 𝑡 = tan(22°30′), então devemos resolver a equação 1=
2𝑡
1−𝑡2
, logo 1 − 𝑡2
= 2𝑡, donde 𝑡 é
solução da equação do 2° grau 𝑡2
+ 2𝑡 − 1 = 0.
As raízes dessa equação são −1 ± √2 e como 𝑡 > 0 (1° quadrante), temos 𝑡 = −1 + √2.
_____________________________________________________________________________________
Exercício 10 Se 𝑥 ∈ [
𝜋
12
,
𝜋
6
], encontrar o intervalo de variação de 𝑓(𝑥) = 2 + √3 tan(2𝑥).
Resolução:
𝑥 ∈ [
𝜋
12
,
𝜋
6
] ⟹
𝜋
12
≤ 𝑥 ≤
𝜋
6
⟹
𝜋
6
≤ 2𝑥 ≤
𝜋
3
.
Mudando a variável, fazendo 𝜃 = 2𝑥, temos que
𝜋
6
≤ 𝜃 ≤
𝜋
3
.
Podemos analisar a variação de 𝜃 e do correspondente valor de tan 𝜃
no círculo trigonométrico.
tan (
𝜋
6
) =
sen(
𝜋
6
)
cos(
𝜋
6
)
=
1
2
√3
2
=
1
√3
e tan (
𝜋
3
) =
sen(
𝜋
3
)
cos(
𝜋
3
)
=
√3
2
1
2
= √3,
podemos marcar esses valores da tangente na reta orientada 𝑡,
tangente ao círculo trigonométrico.
Observando a variação da tan 𝜃 na reta orientada 𝑡, temos que
1
√3
≤ tan 𝜃 ≤ √3.

5. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 5 de 16
Voltando à variável original 𝑥, temos que
1
√3
≤ tan 2𝑥 ≤ √3.
1
√3
≤ tan 2𝑥 ≤ √3
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 √3
⇒ 1 ≤ √3 tan 2𝑥
≤ 3
𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 2
⇒
3 ≤ 2 + √3 tan 2𝑥 ≤ 5.
Portanto 𝑓(𝑥) = 2 + √3 tan(2𝑥) ∈ [3, 5].
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Exercício 11 Em cada item, encontre a solução e marque-a no círculo trigonométrico.
a) tan 𝑥 = −1 em [𝜋, 5𝜋].
b) sec 𝑥 =
2
√3
em [
3𝜋
2
, 2𝜋]
c) √3 |cot 2𝑥| = 1 em ℝ.
d) 2csc2
𝑥 = 9 − 4 sen2
𝑥, em [0,2π].
Solução:
a) Observando no círculo trigonométrico, na figura ao lado, temos que
𝑥 = −
𝜋
4
é um ângulo do 4º. quadrante tal que tan(𝑥) = −1.
Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação devem
ser da forma 𝑥 = −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 , onde 𝑘 é um inteiro.
Para determinar os valores de 𝑘 para os quais −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ∈ [𝜋, 5𝜋],
precisamos resolver a inequação:
𝜋 ≤ −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ 𝜋 +
𝜋
4
≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 +
𝜋
4
⟺
5𝜋
4
≤ 𝑘𝜋 ≤
21𝜋
4
⟺
5
4
≤ 𝑘 ≤
21
4
𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
⇒ 2 ≤ 𝑘 ≤ 5.
Logo a solução é: 𝑆 = {−
𝜋
4
+ 2𝜋, −
𝜋
4
+ 3𝜋, −
𝜋
4
+ 4𝜋, −
𝜋
4
+ 5𝜋} = {
7𝜋
4
,
11𝜋
4
,
15𝜋
4
,
19𝜋
4
}.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
OBSERVAÇÃO: outra forma de resolver é:
Observando no círculo trigonométrico, na figura acima, temos que 𝑥 =
3𝜋
4
é um ângulo do 2º. quadrante
tal que tan(𝑥) = −1.
Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação devem ser da forma 𝑥 =
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ,
onde 𝑘 é um inteiro.

6. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 6 de 16
Para determinar os valores de 𝑘 para os quais
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ∈ [𝜋, 5𝜋], precisamos resolver a inequação:
𝜋 ≤
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ 𝜋 −
3𝜋
4
≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 −
3𝜋
4
⟺
𝜋
4
≤ 𝑘𝜋 ≤
17𝜋
4
⟺
1
4
≤ 𝑘 ≤
17
4
𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
⇒ 1 ≤ 𝑘 ≤ 4.
Logo a solução é: 𝑆 = {
3𝜋
4
+ 𝜋,
3𝜋
4
+ 2𝜋,
3𝜋
4
+ 3𝜋,
3𝜋
4
+ 4𝜋} = {
7𝜋
4
,
11𝜋
4
,
15𝜋
4
,
19𝜋
4
}.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) sec 𝑥 =
2
√3
em [
3𝜋
2
, 2𝜋]
sec 𝑥 =
2
√3
sec𝑥=
1
cos 𝑥
, 𝑥≠
𝜋
2
+𝑘𝜋
⇔
1
cos𝑥
=
2
√3
⟺ cos 𝑥 =
√3
2
Observando no círculo trigonométrico, na figura ao lado, temos que 𝑥 =
𝜋
6
ou 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
6
=
11𝜋
6
são os
ângulos do 1º e 4º. quadrantes para os quais cos 𝑥 =
√3
2
.
Como foi pedido 𝑥 ∈ [
3𝜋
2
, 2𝜋], a única solução é 𝑥 =
11𝜋
6
.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) √3 |cot 2𝑥| = 1 ⟺ |cot 2𝑥| =
1
√3
cot2𝑥=
1
tan 2𝑥
, 2𝑥≠𝑘𝜋, 2𝑥≠
𝜋
2
+𝑘𝜋
⇔ |
1
tan 2𝑥
| =
1
√3
⟺ |tan 2𝑥| = √3 .
Mudando a variável, fazendo 2𝑥 = 𝑦, temos que resolver a equação |tan 𝑦| = √3.
Para resolver, vamos usar o círculo trigonométrico para o ângulo 𝑦.
|tan 𝑦| = √3 ⟺ tan 𝑦 = √3 𝑜𝑢 tan 𝑦 = −√3.
Como sen
𝜋
3
=
√3
2
e cos
𝜋
3
=
1
2
, concluímos que o ângulo 𝑦 =
𝜋
3
é um
ângulo do 1º. quadrante tal que tan(𝑦) = √3.
Pelas simetrias no círculo trigonométrico, na figura ao lado, 𝑦 = −
𝜋
3
é
um ângulo do 4º. quadrante tal que tan(𝑦) = −√3.
Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação são:
y = −
π
3
+ k1π ou y =
π
3
+ k2π, onde k1, k2 são inteiros.
Voltando à variável original 𝑥, as soluções são:
2x = −
π
3
+ k1π ou 2x =
π
3
+ k2π, onde k1, k2 são inteiros.
Solução final: x = −
π
6
+ k1
π
2
ou x =
π
6
+ k2
π
2
, onde k1, k2 são inteiros.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) 2csc2
𝑥 = 9 − 4 sen2
𝑥, em [0,2π]
2csc2
𝑥 = 9 − 4 sen2
𝑥
csc 𝑥=
1
sen 𝑥
, 𝑥≠𝑘𝜋
⇔ 2 ∙
1
sen2 𝑥
= 9 − 4 sen2
𝑥 ⟹ 2 = 9 sen2
𝑥 − 4 sen4
𝑥.
Mudando a variável, fazendo 𝑦 = sen2
𝑥 , temos que 2 = 9y − 4y2
.

7. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 7 de 16
Resolvendo a equação em 𝑦,:
2 = 9y − 4y2
⟺ 4y2
− 9y + 2 = 0 ⟺ 𝑦 =
−(−9)±√(−9)2−4(4)(2)
2∙4
𝑦 =
9±√81−32
8
=
9±√49
8
⟺ y =
9+7
8
= 2 ou y =
9−7
8
=
1
4
.
Voltando à variável original 𝑥, temos que sen2
𝑥 =
1
4
ou sen2
𝑥 = 2. Resolvendo cada equação:
• sen2
𝑥 = 2 não tem solução pois sabemos que – 1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1, logo 0 ≤ sen2
𝑥 ≤ 1.
• sen2
𝑥 =
1
4
⟺ sen 𝑥 =
1
2
ou sen 𝑥 = −
1
2
.
Logo, observando no círculo trigonométrico, temos que, para
𝑥 ∈ [0,2π], as soluções são:
sen 𝑥 =
1
2
⟺ 𝑥 =
𝜋
6
𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
sen 𝑥 = −
1
2
⟺ 𝑥 =
7𝜋
6
𝑜𝑢 𝑥 =
11𝜋
6
Portanto, obtemos 𝑆 = {
𝜋
6
,
5𝜋
6
,
7𝜋
6
,
11𝜋
6
}.
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Exercício 12 Dê o domínio de cada função.
a) 𝑓(𝑥) =
1
1−tan
𝑥
2
b) 𝑔(𝑥) = √2 − sec2 𝑥
Solução:
a) Temos duas restrições para o domínio de 𝑓(𝑥) =
1
1−tan
𝑥
2
:
I) A tangente está definida em ℝ − {
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, logo, devemos ter;
𝑥
2
≠
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Para explicitar a variável 𝑥 podemos multiplicar tudo por 2 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ }
II) O denominador deve ser não nulo, logo devemos ter: 1 − tan (
𝑥
2
) ≠ 0.
Resolvendo a equação associada, tan (
𝑥
2
) = 1 ⟺
𝑥
2
=
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Para explicitar a variável 𝑥 podemos multiplicar tudo por 2 𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ }.
Portanto:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋 𝑒 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ }
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 8 de 16
b) Temos duas restrições para o domínio de 𝑔(𝑥) = √2 − sec2 𝑥.
I) A secante está definida em ℝ − {
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ }
II) O radicando deve ser positivo ou nulo, ou seja, 2 − sec2
𝑥 ≥ 0.
Simplificando a inequação,
2 − sec2
𝑥 ≥ 0 ⟺ sec2
𝑥 ≤ 2
sec𝑥=
1
cos 𝑥
⇔
1
cos2 𝑥
≤ 2 ⟺
1
2
≤ cos2
𝑥 ⟺ cos2
𝑥 ≥
1
2
⟺ √cos2 𝑥 ≥ √
1
2
⟺ |cos 𝑥| ≥
1
√2
=
√2
2
⟺ cos 𝑥 ≥
√2
2
𝑜𝑢 cos 𝑥 ≤ −
√2
2
As equações associadas são: cos 𝑥 =
√2
2
ou cos 𝑥 = −
√2
2
, resolvendo-as no intervalo [0, 2𝜋],
cos 𝑥 =
√2
2
⟺ 𝑥 =
𝜋
4
𝑜𝑢 𝑥 =
7𝜋
4
.
cos 𝑥 = −
√2
2
⟺ 𝑥 =
3𝜋
4
𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
4
.
Podemos marcar as soluções dessas equações no círculo
trigonométrico e marcar os segmentos no eixo horizontal, que
correspondem às inequações cos 𝑥 >
√2
2
ou cos 𝑥 < −
√2
2
.
Para escrever as soluções na forma de intervalos precisamos prestar muita atenção se estamos
escrevendo intervalos de forma que o extremo esquerdo seja menor que o extremo direito, por exemplo,
para 𝐜𝐨𝐬 𝒙 >
√𝟐
𝟐
NÃO É CORRETO escrever
𝟕𝝅
𝟒
< 𝑥 <
𝝅
𝟒
𝒐𝒖 𝒙 ∈ [
𝟕𝝅
𝟒
,
𝝅
𝟒
] , o correto é considerar o
ângulo do extremo esquerdo como o maior ângulo congruente com
𝟕𝝅
𝟒
, que é menor do que
𝝅
𝟒
, isto é, o
ângulo
𝟕𝝅
𝟒
− 𝟐𝝅 = −
𝝅
𝟒
≡
𝟕𝝅
𝟒
.
Assim, podemos concluir que as soluções da inequação cos2
𝑥 ≥
1
2
estão em um dos intervalos [−
𝜋
4
,
𝜋
4
]
ou [
3𝜋
4
,
5𝜋
4
] ou qualquer outro intervalo congruente com um desses intervalos.
Portanto a solução da restrição (II) é 𝑆𝐼𝐼 = [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] ∪ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋], 𝑘 é um inteiro.
Como 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼, concluímos:
𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑥 ∈ [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] ∪ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] , 𝑘 ∈ ℤ}
Como
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ∉ [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] e
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋 ∉ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋]
𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] ∪ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] 𝑘 ∈ ℤ
__________________________________________________________________________________

9. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 9 de 16
Exercício 13 Para cada função, faça o que se pede.
(i) Se preciso, use identidades trigonométricas para simplificar a função.
(ii) Encontre o domínio da função contido no intervalo 𝐼 dado.
(iii) Descreva uma possível sequência de transformações para obter o gráfico da função.
(iv) Esboce o gráfico marcando pelo menos 6 (seis) pontos, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,𝑥4, 𝑥5, 𝑥6 no eixo 𝑥 em que é
possível identificar pontos no gráfico da função.
(v) Dê a imagem da função.
a) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋].
b) 𝑔(𝑥) = 3sec (𝑥 +
𝜋
5
) 𝐼 = [0,4𝜋].
c) 𝑝(𝑥) =
4 sen 𝑥
1−cos𝑥
− 4 cot 𝑥 𝐼 = [0,3𝜋]
Sugestão: para simplificar, multiplique por (1 + cos𝑥) tanto o numerador quanto o denominador da fração
contida na expressão de 𝑝(𝑥).
d) 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | 𝐼 = [0,2𝜋]
e) 𝑟(𝑥) = {
−1 + tan 𝑥 se 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
1 − tan 𝑥 se
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 𝜋
𝐼 = [0, 𝜋]
Solução:
a) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋].
(i) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
cot(x)tem período π, cot(𝜋−𝑥)=cot(−𝑥)
⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(−𝑥)
cot(𝑥)é ímpar, cot(−𝑥)=−cot 𝑥
⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) +
1
cot(𝑥)
tan(𝑥)=
1
cot 𝑥
⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) + tan(𝑥).
Logo, 𝑓(𝑥) = 2 + 2 tan(𝑥).
(ii) O domínio de 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
tem três restrições:
I) A função tan(𝑥) está definida para 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro.
Logo a solução da restrição (I) é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
II) A função cot(𝜋 − 𝑥) está definida para 𝜋 − 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro.
𝜋 − 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 ≠ −𝜋 + 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ 𝜋 − 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ (1 − 𝑘)𝜋
Observe que:
{𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = (1 − 𝑘)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {(1 − 0)𝜋} ∪ {(1 − 1)𝜋, (1 − 2)𝜋, (1 − 3)𝜋, (1 − 4)𝜋, ⋯ } ∪

10. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 10 de 16
{(1 − (−1))𝜋, (1 − (−2))𝜋, (1 − (−3))𝜋, (1 − (−4))𝜋, ⋯ } =
{𝜋} ∪ {0, −𝜋, −2𝜋, −3𝜋, ⋯ } ∪ {2𝜋, 3𝜋, 4𝜋, 5𝜋, ⋯ } = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
Logo, {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ (1 − 𝑘)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
Logo a solução da restrição (II) é 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
III) O denominador deve ser não nulo, isto é, cot(𝜋 − 𝑥) ≠ 0.
cot(𝜋 − 𝑥) = 0 ⟺ 𝜋 − 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
𝜋 − 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 = −𝜋 +
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 = −
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
2
− 𝑘𝜋.
Mas, {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 =
𝜋
2
− 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
Logo a solução da restrição (III) é 𝑆𝐼𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
Como foi pedido o domínio contido em 𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋], temos que
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ [−3𝜋, 3𝜋]; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} =
[−3𝜋, 3𝜋] − {−3𝜋, −
5𝜋
2
, −2𝜋, −
3𝜋
2
, −𝜋, −
𝜋
2
, 0,
𝜋
2
, 𝜋,
3𝜋
2
, 2𝜋,
5𝜋
2
, 3𝜋},
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−3𝜋, −
5𝜋
2
) ∪ (−
5𝜋
2
, −2𝜋) ∪ (−2𝜋, −
3𝜋
2
) ∪ (−
3𝜋
2
, −𝜋) ∪ (−𝜋, −
𝜋
2
) ∪
(−
𝜋
2
, 0) ∪ (0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋) ∪ (𝜋,
3𝜋
2
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) ∪ (2𝜋,
5𝜋
2
) ∪ (
5𝜋
2
, 3𝜋)
(iii) y = tan 𝑥
(1)
→ y = 2 tan 𝑥
(2)
→ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2 + 2 tan(𝑥)
(1) Como 2 > 0, alongamento vertical do gráfico de y = tan 𝑥, por um fator multiplicativo 2.
(2) Translação vertical do gráfico de y = 2 tan 𝑥, de 2 unidades para cima.
(iv)

11. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 11 de 16
(v) Imagem de 𝑓 é ℝ − {2}.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑔(𝑥) = 3sec (𝑥 +
𝜋
5
) 𝐼 = [0,4𝜋].
(i) Não é preciso simplificar.
(ii) A função secante está definida em ℝ − {
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ},
Logo, 𝑥 +
𝜋
5
≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
𝜋
2
−
𝜋
5
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
3𝜋
10
+ 𝑘𝜋.
Como foi pedido o domínio contido em 𝐼 = [0,4𝜋], temos que
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ [0,4𝜋]; 𝑥 ≠
3𝜋
10
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0,4𝜋] − {
3𝜋
10
,
13𝜋
10
,
23𝜋
10
,
33𝜋
10
}
(iii) 𝑦 = sec 𝑥
(1)
→ 𝑦 = 3 sec 𝑥
(2)
→ y = 3 sec (𝑥 +
𝜋
5
)
(1) Como 3 > 0, alongamento vertical do gráfico de 𝑦 = sec 𝑥, por um fator multiplicativo 3.
(2) Translação horizontal do gráfico de 𝑦 = 3 sec 𝑥, de
𝜋
5
unidades para esquerda.
(iv)

12. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 12 de 16
(v) 𝐼𝑚(ℎ) = (−∞, −3] ∪ [3, ∞)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 𝑝(𝑥) =
4 sen 𝑥
1−cos𝑥
− 4 cot 𝑥 𝐼 = [0,3𝜋]
(i)
4 sen 𝑥
1−cos 𝑥
− 4 cot 𝑥 =
(4 sen 𝑥)(1+cos 𝑥)
(1−cos𝑥)(1+cos 𝑥)
−
4 cos𝑥
sen 𝑥
=
(4 sen 𝑥)(1+cos 𝑥)
(1−cos2 𝑥)
−
4 cos𝑥
sen 𝑥
=
(4 sen 𝑥)(1+cos 𝑥)
sen2 𝑥
−
4 cos𝑥
sen 𝑥
=
4(1+cos𝑥)
sen 𝑥
−
4 cos 𝑥
sen𝑥
=
4+4cos 𝑥
sen 𝑥
−
4 cos 𝑥
sen 𝑥
=
4
sen 𝑥
= 4 csc 𝑥
Logo 𝑝(𝑥) = 4 csc 𝑥.
(ii) O domínio de 𝑝(𝑥) tem 2 restrições:
I) cot 𝑥 está definida para 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
II) O denominador deve ser não nulo, 1 − cos 𝑥 ≠ 0
1 − cos 𝑥 = 0 ⟺ cos x = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ .
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑝) = {𝑥 ∈ [0,3𝜋]; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}
𝐷𝑜𝑚(𝑝) = [0,3𝜋] − {0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋}.
(iii)𝑦 = csc 𝑥
(1)
→ 𝑦 = 4 csc 𝑥
(1) Como 4 > 0, alongamento vertical do gráfico de 𝑦 = csc 𝑥, por um fator multiplicativo 4.

13. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 13 de 16
(iv) figuras ao lado
(v) 𝐼𝑚(𝑝) = (−∞, −4] ∪ [4, ∞)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | 𝐼 = [0,2𝜋]
(i) Não é preciso simplificar a função.
(ii) A cotangente está definida em ℝ − {𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
Logo, para 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 |, devemos ter que para 𝑘 ∈ ℤ, 2𝑥 ≠ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
.
Como queremos o domínio de 𝑞(𝑥) contido em 𝐼 = [0,2𝜋], temos que
𝐷𝑜𝑚(𝑞) = {𝑥 ∈ [0,2𝜋]; 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ } = {𝑥 ∈ [0,2𝜋]; 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠
𝜋
2
, 𝑥 ≠ 𝜋, 𝑥 ≠
3𝜋
2
, 𝑥 ≠ 2𝜋 }
𝐷𝑜𝑚(𝑞) = (0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋) ∪ (𝜋,
3𝜋
2
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋)
(iii) 𝑦 = cot 𝑥
(1)
→ 𝑦 = cot(2𝑥)
(2)
→ 𝑦 = |cot(2𝑥)|
(3)
→ 𝑦 = −|cot(2𝑥)|
(4)
→ 𝑦 = 4 − |cot(2𝑥)|
(1) Como 2 > 0, redução horizontal do gráfico de 𝑦 = cot 𝑥 com fator multiplicativo
1
2
.
Note que o período da cotangente, que é igual a 𝜋 também será multiplicado pelo fator
1
2
, logo o período
da função 𝑦 = cot 2𝑥 será
𝜋
2
.
(2) Reflexão no eixo 𝑥, da parte negativa do gráfico de 𝑦 = cot(2𝑥). Note que nesse caso o período não
se altera.
(3) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = |cot(2𝑥)|. Note que nesse caso o período não se altera.
(4) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −|cot(2𝑥)| de 4 unidades para cima. Note que
nesse caso o período não se altera.
Pela observações sobre o período em cada transformação, concluímos que o período da função 𝑞(𝑥) =
4 − | cot 2𝑥 | será igual ao período de 𝑦 = cot 2𝑥, que é igual a
𝜋
2
.

14. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 14 de 16
Além disso, foi pedido que o domínio da função 𝑞(𝑥) deverá estar contido em 𝐼 = [0,2𝜋], ou seja, 0 ≤
𝑥 ≤ 2𝜋, onde 𝑥 é a variável do domínio de 𝑞. Qual será o intervalo da função inicial 𝑦 = cot 𝑥, para
atender essa exigência do domínio de q?
Como a variável do domínio só será alterada na 1ª. transformação, basta analisar essa transformação.
Vamos denominar a função inicial, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = cot 𝑥 e a função transformada 𝑦 = 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 , nesse
caso, 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 = 𝑓(2𝑥) .
O domínio de 𝑔 é igual ao domínio de 𝑞 e deverá estar contido em 𝐼 = [0,2𝜋], ou seja, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋,
onde 𝑥 é a variável do domínio de 𝑔 e do domínio de 𝑞.
Então, fazendo uma mudança de variável, 𝑧 = 2𝑥, temos que 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 = 𝑓(𝑧) e o domínio da
função inicial 𝑦 = 𝑓(𝑧) = cot 𝑧, deverá estará contido em 𝐼 = [0,4𝜋], já que 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⟹ 0 ≤
2𝑥 ≤ 4𝜋 ⟹ 0 ≤ 𝑧 ≤ 4𝜋.
Agora, se substituirmos o nome da variável da função inicial, trocando 𝑧 por 𝑥, podemos responder:
o intervalo da função inicial 𝑦 = 𝑓(𝑥) = cot 𝑥, será 𝐼 = [0,4𝜋],
(iv)
(v) 𝐼𝑚(𝑞) = (−∞, 4]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 15 de 16
e) 𝑟(𝑥) = {
−1 + tan 𝑥 se 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
1 − tan 𝑥 se
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 𝜋
𝐼 = [0, 𝜋]
(i) Não precisa simplificar.
(ii) A tangente não é definida em 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Como 𝑥 ∈ [0, 𝜋], temos que 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋]
(iii) Para 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
: temos 𝑦 = tan 𝑥
(1)
→ 𝑦 = −1 + tan 𝑥
(1) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = tan 𝑥, de 1 unidade para baixo.
Para
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 𝜋, temos 𝑦 = tan 𝑥
(1)
→ 𝑦 = − tan 𝑥
(2)
→ 𝑦 = 1 − tan 𝑥
(1) Reflexão do gráfico de 𝑦 = tan 𝑥, em torno do eixo 𝑥.
(2) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −tan 𝑥, de 1 unidade para cima.
(iv)

16. Pré-Cálculo 2020-2 EP10 – GABARITO 16 de 16
Gráfico de 𝑦 = 𝑟(𝑥):
(v) 𝐼𝑚(𝑟) = [−1, ∞)