Vigas de concreto armado e protendido

27 a 31 de Maio de 2002 – Universidade de Brasília – UnB
Brasília, DF – Brasil
Jornadas Sul-Americanas de Engenharia Estrutural
Análise e Retro-análise de Vigas de Concreto Armado e Protendido
sujeitas aos Fenômenos Viscoelásticos
Hudson Chagas dos Santos
Doutorando do Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações da
Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo/SP - Brasil.
e-mail: hudson.santos@poli.usp.br ou hud_santos@yahoo.com.br
Homepage: http://www.lmc.ep.usp.br/people/hudson/
Paulo de Mattos Pimenta
Professor Titular, Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações da
Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo/SP - Brasil.
e-mail: ppimenta@usp.br
R e s u m o
Apresenta-se neste trabalho uma metodologia consistente e eficiente para a análise de vigas de concreto armado e protendido
sujeitas à fluência, retração e fissuração do concreto, relaxação e eventuais plastificações das armaduras.
Após uma breve descrição da fluência é proposto um algoritmo de integração de tensões na viscoelasticidade, que permite a
integração numericamente estável das tensões normais nas seções transversais da viga. É então proposta uma função geral de fluência
que aproxima por séries exponenciais qualquer função de fluência empírica ou de norma, e que na integraçãodetensõesnãoexigeo
armazenamento de todo histórico de tensões num ponto. Assim, a integração de tensões em um incremento de tempo depende apenas
do conhecimento de parâmetros do início do incremento. Isto é crucial para uma análise eficiente, caso contrário, as necessidades de
armazenamento de variáveis ficariam incontroláveis.
O algoritmo tem profundas conseqüências na metodologia exposta. No caso da viscoelasticidade linear do concreto, não se
considerando a plastificação da armadura e a fissuração do concreto, este algoritmo, associado ao MEF, leva a um sistema de
equações lineares em cada incremento de tempo. Por outro lado, se estes efeitos forem considerados, obtém-se um sistema de
equações não-lineares.
Finalmente, analisa-se uma viga de concreto protendido com duas etapas de concretagem, onde se mostra a eficácia do
procedimento proposto, visando analisar os efeitos viscoelásticos quando se têm concretos diferentes. A calibração da função geral
de fluência é feita baseada na NBR-7197 e a análise numérica com a ajuda de um programa computacional através do MEF, seguindo
a metodologia exposta. É abordado que quando se têm concretos diferentes, mudanças de sistema estruturais, adaptação por fluência,
retração do concreto e relaxação da protensão, a questão de se analisar tais efeitos resulta em um problema de fácil solução e
implementação computacional.
A b s t r a c t
A reliable and efficient methodology for analyzing reinforced and prestressed concrete beams, taking into account the creep,
shrinkage and cracking f the concrete, and possible reinforcement plastification is presented.
After a brief discussion about creep, a proposal for an algorithm of stresses integration on concrete viscoelasticity is
suggested. This algorithm is able to integrate numerically the normal stresses in the cross section of the concrete beam. Thus, it is
suggested a general creep function that can approximate by exponential series any ah-hoc creep function, or any creep function
presented in codes. Such suggested creep function does not require the computational storage of the entire history of stresses in a
specified time. Thus, the integration of the stresses in an increment of time just depends on knowing the data in the beginning of this
increment. This fact is very important for an efficient analysis. In other hand, the necessity to store the computational internal
variables might become out of control during the computing process analysis.
The algorithm has reliable consequences on the methodology presented. According tothelinearconcreteviscoelasticity
analysis, not taking into account the effects of the reinforced plastification and the cracking of the concrete, the algorithm, working
together with the Finite Element Method (FEM) results in a linear system in eachincrementoftime.Inotherway,iftheseeffectsare
considered, a non-linear system is obtained.
Finally, a two-concrete-stage-prestressed beam is analyzed in order to show the efficiency of the procedures proposed and
developed for analyzing the viscoelasticity effects on beams made of different concretes. The adjust of the general creep function is
based on NBR-7197 code and the numerical analysis is performed using a computational software framework developed according
with the methodology presented in this work and based on FEM. The question for analyzing different concrete on a beam cross-
section, when it changes the structural system, has creep adaptation, shrinkage and retardation results on an easy-solutionproblem
with a simple computational code.

X X X J O R N A D A S S U L - A M E R I C A N A S D E E N G E N H A R I A E S T R U T U R A L
1
1 - I n t r o d u ç ã o
Este trabalho trata de uma metodologia consistente e eficiente baseada no Método dos Elementos Finitos (MEF)
formulada através da Teoria de Barra de Timoshenko para se analisar vigas de concreto armado e protendido
considerando os efeitos da deformação lenta, retração e fissuração do concreto, relaxação do aço de protensão e
eventuais plastificações das armaduras.
Apesar dos estudos e das grandes produções teóricas acerca da viscoelasticidade e plasticidade em estruturas de
concreto, juntamente com o crescimento das pesquisas sobre Mecânica do Dano e do Fraturamento, somente algumas
delas procuram analisar tais problemas isoladamente a partir de processos computacionais mais modernos. Dentro desta
idéia, este trabalho tem o intuito de apresentar uma abordagem mais consistente para solução do problema do
comportamento conjunto dos fenômenos da viscoelasticidade, plasticidade, fissuração, para análise e retro-análise de
estruturas de concreto, obtendo desta forma, métodos computacionalmente eficazes que possam analisar tais estruturas
através do MEF. Vale ressaltar que as idéias aqui discutidas dão continuidade natural aos trabalhos de SANTOS[9]e
SANTOS&PIMENTA[10], e este está organizado da seguinte forma:
Na seção 2 é apresentada uma rápida introdução ao fenômeno da fluência e retração no concreto conforme foi
desenvolvida por SANTOS[9] e que também está sendo desenvolvida de forma mais rigorosa em
SANTOS&PIMENTA[10]. A finalidade desta seção é mostrar alguns conceitos fundamentais sobre o comportamento
viscoelástico do concreto, assim como a nomenclatura e notação empregada. São, então, analisados, na seção 3, alguns
algoritmos de integração de tensões que possibilita a integração numericamente estável das tensões normais nas seções
transversais da estrutura e que dão subsidio para a formulação de um algoritmo de Integração de Tensões baseados em
uma Função Geral de Fluência, que foi proposta por SANTOS[9].
Na seção 4 é apresentada uma Função Geral de Fluência que permite aproximar por séries exponenciais
qualquer função de fluência, e que na integração de tensões não exige o armazenamento de todo histórico de tensões em
um ponto, tendo assim um baixo custo computacional. Com isso, a integração de tensões em um incremento de tempo
depende apenas do conhecimento de parâmetros do início do incremento. Isto é crucial para uma análise e retro-análise
eficiente de estruturas de concreto, pois é desejável que a função de fluência facilite a integração de tensões com o
mínimo de variáveis armazenadas e que permita uma fácil calibração com dados experimentais . Caso contrário, as
necessidades de armazenamento computacional de variáveis internas ficariam incontroláveis durante a análise.
Ao longo deste trabalho é mostrado que a Função Geral de Fluência possibilita a modelagem da fluência para
concretos jovens, fato importante nos projetos atuais, pois a protensão tem sido efetuada em pequenas idades do
concreto, e que o algoritmo de integração de tensões tem profundas conseqüências em um procedimento de análise e
retro-análise como discutido por SANTOS&PIMENTA[10].
É mostrado, na seção 5, que o algoritmo de integração de tensões tem profundas conseqüências no procedimento
de análise. No caso da viscoelasticidade linear do concreto, não se considerando a plastificação da armadura e a
fissuração do concreto, o algoritmo proposto, associado ao MEF, leva a um sistema de equações lineares em cada
incremento de tempo. Por outro lado, se estes efeitos forem considerados, este algoritmo leva a um sistema de equações
não-lineares.
Finalmente, na seção 7, é processado e exposto um exemplo prático de uma viga de concreto protendido com
duas etapas de concretagem, onde se mostra a eficácia do procedimento aqui proposto, visando analisar o
comportamento viscoelástico quando se têm concretos diferentes. A calibração da função geral de fluência é feita
conforme os critérios da NBR-7197 e a análise numérica é realizada com a ajuda de um programa computacional
baseado no MEF, e que segue a metodologia aqui exposta. Logo em seguida, na seção 8, são feitas as considerações
finais deste trabalho, onde comenta-se que quando se têm concretos diferentes, mudanças de sistemas estruturais,
adaptação por fluência, retração do concreto e relaxação do aço de protensão, a questão de se analisar o comportamento
viscoelástico se torna um problema de fácil solução e simples implementação computacional.
2 - F l u ê n c i a d o C o n c r e t o
A finalidade desta seção é mostrar os mecanismos básicos para o entendimento do comportamento de um
elemento estrutural de concreto sob efeito da fluência. Dentro deste contexto apresenta-se, de forma sucinta, uma Teoria
da Viscoelasticidade com Envelhecimento discutida minuciosamente em SANTOS[9] e que também esta sendo
apresentada de forma mais rigorosa em SANTOS&PIMENTA[10] onde modelos matemáticos mais rigorosos foram
abordados com o intuito de se analisar e comparar algoritmos de integrações de tensões eficientes e justificar o emprego
da Função Geral de Fluência proposta por SANTOS[9].
O Ensaio de Fluência do concreto consiste em submeter um corpo de prova de concreto fabricado no instante ct ,
a uma tensão constante 0σ a partir do instante 0t , como mostra a Figura 1. Imediatamente após a aplicação da tensão é
observada a deformação imediata, aqui denotada por e
0ε , e ao longo do tempo são observadas deformações indicadas
por )(tε . Estas tendem assintoticamente para ∞ε quando ∞→t .
Cabe aqui comentar que se está utilizando subscritos para se identificar instantes e sobrescritos para se
caracterizar as grandezas físicas. Embora em desacordo com algumas normas de estruturas de concreto, isto facilita o
entendimento deste trabalho. Desta forma são muito úteis as seguintes definições relativas ao tempo. Seja t um instante
qualquer e seja ct o instante de concretagem. Define-se a idade do concreto como ctt −=ζ . Seja 0t o instante de

2
carregamento. A idade do concreto por ocasião do carregamento é definida, por sua vez, como ctt −= 00ζ . Note-se
que o tempo ou idade do carregamento é dado por 00 ζζ −=− tt .
tc
ε ( )t
t0
ε
e
0 - Deformação imediata
tc
σ
t0
t - Instante de concretagemc
t - Instante de carregamento0
σ0
t
ε
e
0
ε
ε00 - Deformação final
t
t
too
ε00
Figura 1 - Ensaio de fluência do concreto.
A deformação do concreto )(tε observada no Ensaio de Fluência depende de diversos fatores físicos, e são
agrupados resumidamente na Tabela 1, que não pretende ser exaustiva (veja mais detalhes em SANTOS[9]). Os fatores
ambientais e geométricos têm, na verdade, a ver com os problemas de difusão de umidade e calor no concreto. Note-se
também que os fatores ambientais são funções do tempo, isto é, )(tAA = . Pode-se, então, escrever que, em geral, a
deformação no concreto ao longo do tempo é dada por
( ) ( )000 ,,,,,, σζζεε ttGMAt −= . (1)
Tabela 1 - Fatores que influenciam a fluência do concreto.
Grupos Fatores Símbolos
Fatores ambientais Umidade relativa do ar, Temperatura do ar, Ventilação e Radiação solar )(tA
Fatores materiais Tipo de cimento, relação A/C, % de pasta, aditivos, agregados e fck M
Fatores geométricos Forma e espessura média G
Fatores mecânicos Intensidade do carregamento 0σ
Fatores temporais
Idade do concreto
Idade do concreto no carregamento
Tempo de carregamento
ctt −=ζ
ctt −= 00ζ
0tt −
Considerando-se essas idéias, seja um Ensaio de Carregamento de vários corpos de provas, todos com a mesma
composição, mesma idade de concretagem ct , mesma geometria e sujeitos aos mesmos fatores ambientais. Como pode
ser visto na Figura 2, a resposta da fluência é função da duração do carregamento e da idade do concreto no instante de
aplicação da carga, já mostrados na Tabela 1. Isto é, quanto maior a duração de carregamento, maior a deformação do
concreto )(tε , e quanto maior a idade do concreto no instante de carregamento, ctt −= 00ζ , menor será sua
deformação )(tε . Note-se, também, outro fato relevante neste Ensaio de Carregamento. Quanto menor o instante de
carregamento, maior será a deformação elástica imediata, ou seja, pode-se escrever que eee
321 εεε >> com 321 ttt << .
Dentro deste contexto, é esperado que a deformação imediata seja função da idade do concreto, ou seja, de ζ .
t1 t2 t3
t
ε
ε
e
1
ε
e
2
εe
3
Figura 2 - Ensaio de carregamento de vários corpos de provas.
Suponha-se agora um outro ensaio chamado de Ensaio de Descarregamento de vários corpos de provas com as
mesmas condições do Ensaio de Carregamento descrito anteriormente, porém, neste todos os corpos de provas são
carregados no mesmo instante 0t e descarregados em instantes diferentes, como mostra a Figura 3. Como pode ser
visto a resposta da fluência, também, é função da duração do carregamento e agora da idade do concreto no instante de
descarregamento. Note-se que as deformações imediatas de descarregamento, em qualquer instante, são menores que as
deformações imediatas de carregamento. Observe-se, também, que quanto maior a idade do concreto no instante de

3
descarregamento, menores serão as deformações imediatas no concreto causadas pelo descarregamento, isto é,
ddde
3210 εεεε >>> com ddd
tttt 3210 <<< .
t
t0
εd
1
ε
d
2
ε
d
3
ε
e
0
Figura 3 - Ensaio de descarregamento de vários corpos de provas.
Este comportamento, mostrado tanto no Ensaio de Carregamento quanto no Ensaio de Descarregamento,
permite classificar o concreto como um material viscoelástico que se altera com a idade, o que é esperado porque as
reações de hidratação se processam com o tempo. De fato, SANTOS[9] mostra que a maioria das propriedades
mecânicas do concreto são dependentes da idade. A formulação matemática para se analisar materiais que se modificam
com a idade é mais complexa que para aqueles que não se modificam.
Uma hipótese básica comumente utilizada é admitir que a expressão (1) seja linear na intensidade do
carregamento. Dela resulta a seguinte decomposição aditiva
( ) ( ) ( )ζεσζζεε ,,,,,,,,, 000 GMAttGMAt sc
+−= . (2)
onde
( ) ( ) 000 ,,,,, σζζζζε −= GMAJtc
(3)
é a deformação por fluência no concreto devida ao carregamento e
( ) ( )ζεε ,,, GMAt ss
= (4)
é a deformação por retração. Note-se a linearidade de (3), na qual foi introduzida a seguinte função de fluência
( ) ( )0000 ,,,,),(,,,,, ttttttGMtAJGMAJ cc −−−=−ζζζζ . (5)
A hipótese de linearidade acima é considerada razoável para carregamentos da ordem de 40% da resistência média do
concreto.
Outra hipótese útil na análise de estruturas de concreto é o Princípio da Superposição de McHenry[5], o qual
afirma que as deformações devidas a diversos carregamentos podem ser superpostas. Matematicamente isto significa
que o acréscimo de deformação ),( ξε td c
em um instante t devido a um carregamento σd no instante t<ξ é dado
por
( ) )(,,,,,),( ξσξξξε dttttGMAJtd cc
c
−−−= . (6)
Supondo-se uma variação das tensões contínua no tempo e integrando-se (6), chega-se à seguinte integral
( )∫ −−−=
t
t
cc
c
c
d
d
d
ttttGMAJt ξ
ξ
σ
ξξε ,,,,,)( (7)
que permite determinar a deformação do concreto ao longo do tempo devido a um carregamento geral contínuo no
tempo. A expressão (7) pode ser generalizada para carregamentos descontínuos. Para isso suponha-se que nos instantes
mjj ,,1, K=ξ , com tj <ξ , sejam aplicados os carregamentos súbitos mjj ,,1, K=∆σ respectivamente. No lugar de (7)
tem-se então
( ) ( )∑∫
=
∆−−−+−−−=
m
j
jcc
t
t
cc
c
ttttGMAJd
d
d
ttttGMAJt
c
1
,,,,,,,,,,)( σξξξ
ξ
σ
ξξε . (8)
Uma forma usual para a função de fluência é
( )
( )
( )0000 ,,,,
,,,
1
,,,,, ttGMAC
GMAE
tttGMAJ ec −+=−− ζ
ζ
ζζ . (9)
Esta expressão permite escrever
( ) ( ) ( )ttt vec
εεε += , (10)
onde
( )
( )
( )t
E
t e
e
σ
ζ
ε
1
= (11)
é a deformação imediata e
( ) ( ) ( )∑∫
=
∆−−+−−=
m
j
jjcj
t
t
c
v
ttCd
d
d
ttCt
c
1
,, σξξξ
ξ
σ
ξξε (12)

4
é a deformação lenta ou deformação viscosa. Em (11) e (12), para não se sobrecarregar a notação, não se expressou a
dependência dos fatores ambientais, materiais e geométricos. Esta simplificação da notação será adotada doravante. A
expressão (9) separa aditivamente a deformação imediata dada por (11), na qual ( )ζe
E é o módulo de deformação
imediata do concreto na idade ζ , da deformação viscosa definida por (12). Observe-se que a deformação imediata no
instante t é aqui definida como a tensão no instante t dividida pelo módulo de deformação imediata do concreto na
idade ctt −=ζ . Logo, e
ε varia mesmo para carregamentos constantes. É comum encontrar-se outras definições para a
deformação imediata. SANTOS[9] mostra algumas delas.
tc
ε ( )t
t0
tc
σ
tt0
t - Instante de concretagemc
t - Instante de carregamento0σ0
t
ε
e
0
ε
td
t - Instante de descarregamentod
ε
i
- Deformação viscosa irreversível
εr
- Deformação viscosa reversível
ε
e
- Deformação imediata
εr
εv
d
εe
d
t
ε
i
too
too
Figura 4 - Ensaio de carga e descarga.
Dentro de todo contexto até agora abordado, é de fundamental importância discutir um outro ensaio chamado de
Ensaio Carga e Descarga, descrito na Figura 4. Nele um corpo de prova é carregado em 0t com uma tensão 0σ e
mantido sob carregamento até o instante dt , quando a carga é totalmente retirada. As deformações imediatas nos
instantes de carga e descarga são dadas por
( ) 0
0
0
1
σ
ζ
ε e
e
E
= (13)
e
( ) 0
1
σ
ζ
ε
d
e
e
d
E
= (14)
respectivamente. Para ∞→t é observada uma deformação viscosa permanente. Ela é chamada de deformação viscosa
irreversível e é dada por
( ) ( )[ ] 00 ,, σζζε ∞−∞= d
i
CC (15)
Observe-se que, com a definição de deformação imediata aqui adotada, a deformação viscosa irreversível não
depende de ( )ζe
E . Observe-se também que a deformação viscosa irreversível depende de dois instantes. Em
SANTOS[9] conclui-se que, a deformação viscosa irreversível decresce com a idade do concreto por ocasião do
carregamento dζ e cresce com o tempo de carregamento 00 ζζ −=− dd tt .
Finalmente, a deformação viscosa reversível ao longo do tempo pode ser definida por
( ) ( ) ( )[ ] i
d
r
CCt εσζζε −∞−∞= 00 ,, , (16)
onde i
ε é dado por (15). Em PIMENTA&SANTOS[8] comenta-se sobre a NBR-7197[1], e sua expressão para
deformação total considerando a fluência é dada por
( )
( )
( )00
280
, tt
EE
t e
−+= ζϕ
σ
ζ
σ
ε (17)
onde e
E28 é o módulo de deformação imediata do concreto na idade de 28 dias, que pode ser escrita na forma de (9).
Então, não sendo exaustivo, com aajuda de (17) e de seus termos na NBR-7197[1], a segunda parcela de (9) pode ser
escrita como
( ) ( )00
28
00 ,
1
, tt
E
ttC e
−=− ζϕζ (18)
onde
( )
( )
( ) 







+−
+−
+








++
++
−
++
++
+





∞
−=− ∞∞∞
70
20
1,
0
0
0
2
0
0
2
0
2
2
0
00
tt
tt
DCtt
BAtt
DCtt
BAtt
tt dfa
ϕϕ
β
ζβ
ϕζϕ . (19)
Observe que a primeira parcela de (19) representa uma “deformação viscosa imediata” (na norma denominada
rápida irreversível) e procura compensar deformações imediatas não incluídas na definição de deformação imediata,
assim como introduzir deformações viscosas irreversíveis para idades jovens. Esta denominação é, no entanto, confusa.
Uma deformação lenta ou viscosa não pode ser imediata. Se ela é imediata deve ser incorporada à parcela de

5
deformação imediata dada por (11). E além disso, se ela é imediata e irreversível ela é plástica e, por conseguinte, não
satisfaz ao Princípio da Superposição de McHenry[5], não podendo ser incorporada às deformações viscosas de (12),
cuja integral depende da validade deste Princípio. Observe também que a segunda parcela de (19) não obedece o
formato de uma função ( )0ttff −= e sim ( )0,ttff = . Uma explicação para este fato foi dado em
PIMENTA&SANTOS[8]. Já a terceira parcela de (19) apresenta também uma parcela imediata para 0tt − . Isto advém
da utilização de uma função racional. Resta agora discutir qual seria a melhor forma da função de fluência. Aqui,
defende-se que a melhor forma geral da função de fluência é a dada por (9) com as suas parcelas definidas por funções
gerais que facilitem as seguintes tarefas:
• Calibração com dados experimentais;
• Calibração com funções especificadas em normas;
• Análise de estruturas por meio do MEF ou mesmo de forma manual;
• Retro-análise com estruturas instrumentadas;
• Possibilidade de modelagem para concretos jovens;
• Facilidade de integração das tensões com baixo custo de armazenamento de variáveis computacionais.
Uma resposta a esta questão é delineada ao longo das seções seguintes.
3 - A l g o r i t m o G e r a l d e I n t e g r a ç ã o d e T e n s õ e s
Apresenta-se nesta seção um procedimento para a formulação de um Algoritmo Geral de Integração de Tensões
na viscoelasticidade do concreto, que não pretende ser exaustivo (veja SANTOS&PIMENTA[10]). As idéias, aqui,
expostas, são de fundamental importância para se formular um algoritmo consistente, analisado na seção 4, de simples
implementação computacional, e que facilita a análise e retro-análise de estruturas de concreto apresentado na seção 6.
A determinação das tensões, deslocamentos e deformações ao longo do tempo em uma estrutura reticulada de
concreto sujeita à deformação lenta pode ser resolvida de forma “aproximada” através de uma análise incremental1
. Esta
é uma análise discreta no tempo, na qual as tensões, deslocamentos e deformações são determinadas em instantes pré-
selecionados dados por { }KK ,,,,,,, 13210 +ii tttttt . Nos instantes { }ittttt ,,,,, 3210 K o estado de tensões, deslocamentos
e deformações é suposto conhecido. De forma recursiva busca-se então determinar o estado no instante 1+it .
σi
σi+1
σ
ti ti+1
t
Figura 5 - Hipótese básica de integração numérica no tempo.
Admite-se, portanto, que as tensões variem linearmente dentro de um intervalo de tempo. Esta hipótese implica
em continuidade das tensões ao logo do tempo. Variações súbitas de tensão devidas a variações súbitas de carregamento
podem ser simuladas por pequenos intervalos de tempo e, assim, não oferecem problemas. Analiticamente a hipótese
numérica da Figura 5 implica em
( ) 1
1
1
1
1
1
,e1 +
+
+
+
+
+
≤≤
∆
−
=







∆
−
+







∆
−
−= ii
i
ii
i
i
i
i
i
i ttt
td
d
t
tt
t
tt
t
σσ
ε
σ
σσσ (20)
onde introduziu-se o incremento de tempo iii ttt −=∆ ++ 11 . Logo, com a ajuda de (8), que é uma generalização de (7)
para carregamentos descontínuos, e considerando-se a decomposição aditiva de (2), tem-se no instante 1+i
( ) ( ) s
i
i
j
t
t
icci
j
jj
t
t
icci
i
ii
i
j
j
i
i
dttttJ
t
dttttJ
t
1
1
11
1
11
1
1
1
1
1
,,,, +
=
++
−
++
+
+
+ +−−−
∆
−
+−−−
∆
−
= ∑ ∫∫
−
+
εξξξ
σσ
ξξξ
σσ
ε . (21)
Resolvendo-se (21) para 1+iσ , obtém-se o seguinte Algoritmo Geral de Integração de Tensões.
( )
( )
( ) ( )∑ ∫∫
∫
=
++
−
++
+
+
++
+
+
+++++
−
+
+
−−−
∆
−
+−−−
∆
−=
−−−
∆
=
−−=
i
j
t
t
icci
j
jj
t
t
icci
i
i
i
t
t
icci
ia
i
i
s
ii
a
ii
j
j
i
i
i
i
dttttJ
t
dttttJ
t
dttttJ
t
D
D
1
11
1
11
1
1
11
1lg
1
111
lg
11
1
1
1
,,,,.3
,,
.2
.1
ξξξ
σσ
ξξξ
σ
α
ξξξ
αεεσ
Figura 6 - Algoritmo Geral de Integração de Tensões.
Note-se que com a hipótese numérica, a análise incremental implica em resultados “exatos” quando se têm
somente carregamentos lineares no tempo. Observe-se que o Algoritmo Geral de Integração de Tensões resulta em uma
1
Vale ressaltar que para a hipótese numérica proposta, a análise incremental ao longo do tempo fornece resultados “exatos” desde que se tenha
somente variação linear de carregamentos, o que é bastante comum nesse tipo de análise.

6
relação linear entre 1+iσ e 1+iε , e lg
1
a
iD + depende da função de fluência J e, portanto, dos fatores ambientais, materiais
e geométricos apresentados na Tabela 1. lg
1
a
iD + , é óbvio, varia ao longo dos incrementos de tempo. No entanto, para um
concreto submetido a um conjunto de fatores ambientais, ele não depende da posição na seção transversal, o que facilita
algumas das integrações mostradas na seção 5. 1+iα é, por sua vez, uma espécie de deformação inicial e depende da
função de fluência J e de { }iσσσσ ,...,,, 210 , ou seja, de todos os estados de tensão nos instantes anteriores a 1+it .
Este fato pode prejudicar imensamente a análise incremental pois as necessidades de armazenamento computacional de
dados podem crescer de forma incontrolável, impossibilitando-a. Por isso é desejável que J seja de tal forma que o
armazenamento de { }iσσσσ ,...,,, 210 não seja necessário na integração de tensões. É também desejável que a função
de fluência seja analiticamente integrável, de forma a facilitar o cálculo das expressões na qual ela aparece dentro de
uma integral. Todavia, no trabalho de SANTOS&PIMENTA[10], que discutiu essa questão minuciosamente, nem todas
as funções de fluência analisadas naquele trabalho permitem isso. Vale comentar que todas as funções de fluência
analisadas em SANTOS&PIMENTA[10], foram retiradas de SANTOS[9], onde aborda-se a grande variedade de
funções de fluência obtidas de modelos reológicos ou de normas ou código, e analisa-se a questão da integração de
tensões sob a luz de duas formulações: uma formulação diferencial, e outra formulação integral.
4 - F u n ç ã o G e r a l d e F l u ê n c i a
Com o auxílio do Algoritmo Geral de Integração de Tensões exposto na seção 3, apresenta-se agora uma Função
Geral de Fluência que permite aproximar por séries exponenciais qualquer função de fluência, e que na integração de
tensões não exige o armazenamento de todo histórico de tensões num ponto, tendo assim um baixo custo
computacional. Com isso, a integração de tensões em um incremento de tempo depende apenas do conhecimento de
parâmetros do início do incremento. Isto é crucial para uma análise e retro-análise eficiente de estruturas de concreto,
como será visto na seção 6, pois é desejável que a função de fluência facilite esta integração com o mínimo de variáveis
armazenadas e que permita fácil calibração com dados experimentais. Vale lembra que caso contrário, as necessidades
de armazenamento de variáveis computacionais ficariam incontroláveis. A Função Geral de Fluência proposta por
SANTOS[9], além de realizar todas essas tarefas de forma muito eficiente, permite, também, analisar a protensão em
concretos jovens, relevante nos projetos atuais, tendo profundas conseqüências numa metodologia através do MEF.
E
1
E
2
E
3
Ek
En
η1
η
2
η
3
η
k
η
n
E ( )e
ζ
Figura 7 - Cadeia Generalizada em Série de Kelvin-Voigt.
Seja o modelo, conforme mostra a Figura 7, representado por uma cadeia em série de n elementos de Kelvin-
Voigt ( )nk ,...,1= com coeficientes constantes, representado por k
)(• , associada a um elemento elástico com
envelhecimento que muda com o tempo segundo a primeira parcela da função de fluência ( )ξζ −++ 11 , ii tJ em (23), e
sujeito a um carregamento linear no intervalo de tempo dado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }11221100 ,,,,,,,,,,0 ++= iiii ttttt σσσσσ K , (22)
com a condição inicial ( ) iit εε = . A função de fluência para este modelo se escreve como
( )
( )
∑
=
−
−
+
++ 







−+=−
+n
k
t
k
i
eii
k
i
e
EE
tJ
11
11
1
1
11
, θ
ξ
ζ
ξζ com n
n
k
k
k
EEEE
ηηηη
θ ====== LL2
2
1
1
. (23)
com os índices de fluência nkk
,,2,1, K=θ constantes com dimensão de tempo.
( )
( )
( )111
lg
11
1
1
1
lg
1
1
111111
1
1
1
1
.5
1
1
.4
,,2,1,.3
,,2,1,11
1
e111
1
.2
.1
1
11
+++++
=
+
+
+
=
+++++
∆
−
+
∆
−
+
+
∆
−
+
=
−−=
Ψ+
=
=Ψ+=→








Ψ+=
=


















−
∆
−=Ψ










−








−








∆
+=Ψ








−−=
∑
∑
∑
+
++
i
s
ii
a
ii
n
k
k
i
i
e
a
i
n
k
k
iii
k
i
k
ii
t
k
ii
t
i
k
k
k
i
t
i
k
k
k
i
n
k
k
i
s
iii
e
i
D
E
D
nke
nke
tE
e
tE
E
k
i
k
i
k
i
αεεσ
ζ
σαεσεα
θθ
εεεζσ
θ
θθ
K
K
Figura 8 - Algoritmo de Integração de Tensões - Cadeia Generalizada em Série de Kelvin-Voigt.

7
O Algoritmo de Integração de Tensões para esse modelo é mostrado na Figura 8. Note-se que este algoritmo
permite a integração de tensões sem a necessidade de se armazenar o histórico completo de tensões num ponto, mas é
necessário armazenar σ e nkk
,,2,1, K=ε em cada incremento i . Verifica-se, no entanto, que este algoritmo não
apresenta a parcela de deformação viscosa irreversível.
Considere-se agora a Função de Dischinger Generalizada, que sugeriu para (9) a seguinte expressão
( ) ( )00000 ,
1
, ttC
E
ttJ −+=− ζζ (24)
onde 0
E é uma constante, que representa o módulo de deformação imediata no instante 0t , e a parcela lenta
( )00 , ttC −ζ pode ser escrita como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ngettfeBF
FFttfFttC
gg
tt
ggg
n
g
gg
n
g
gg
,,2,1com,1e
onde,
00
00
1
0
1
0000
K=−=−=
−=−=−
−
−−
==
∑∑
ϑϑ
ζ
ζ
ζζζζ
. (25)
Esta função apresenta a parcela de deformação viscosa irreversível e deixa -se integrar conforme mostra a Figura 9.
Note-se que este algoritmo novamente não necessita armazenar computacionalmente o histórico completo de tensões,
mas é necessário armazenar σ e b
ε , em cada incremento de tempo.
( )
( )111
lg
11
1
10
lg
1
0
1
110
1
1
1
1
1
0
.5
1
1
.4
1
.3
,...,2,1,111e11.2
.1
11
+++++
=
+
+
+
++
=
+
∆
−
+
−
−
+
∆
−
+
−
−
−−=
Φ+
=
−=→








−Φ+=
=








−








−








∆
+=Φ
















−
∆
−=Φ
−−=
∑
∑
++
i
s
ii
a
ii
n
g
g
i
a
i
i
i
b
i
n
g
g
ii
b
ii
t
i
gtt
gg
i
t
i
gtt
gg
i
b
i
s
iii
D
E
D
EE
mge
t
eBe
t
eB
E
g
i
g
ci
g
i
g
ci
αεεσ
σ
εεσεα
ϑϑ
εεεσ
ϑϑϑϑ
Figura 9 - Algoritmo de Integração de Tensões - Função de Dischinger Generalizada.
Apresenta-se, agora, a seguinte classe geral de função de fluência proposta por SANTOS[9], na qual a parcela
elástica com envelhecimento de deformação tem a mesma interpretação das funções derivadas de modelos
viscoelásticos e a parcela viscosa ( )00 , ttC −ζ combina somente a parte viscosa da Cadeia de Generalizada em Série
de Kelvin-Voigt com a parte viscosa da Função de Dischinger Generalizada
( )
( )
∑∑
=
−
−−
=
−
−








−+








−+=−
m
g
tt
g
n
k
tt
k
e
ggk
eeBeA
E
ttJ
11
00
000
11
1
,, ϑϑ
ζ
θ
ζ
ζζ . (26)
Esta Função Geral de Fluência apresenta a parcela de deformação viscosa irreversível e caracteriza, em sua
globalidade, o comportamento da fluência no concreto descrito na seção 2, além de deixar-se integrar por meio ao
algoritmo apresentado na Figura 10. Vale ressaltar que em SANTOS[9] são discutidas as grandes vantagens da
utilização da Função Geral de Fluência proposta com uma metodologia consistente e eficiente baseada no MEF. O
emprego desta também é defendido neste trabalho.
Note-se que este algoritmo exige que ve
ε e k
ε , nk ,...,2,1= , sejam armazenados em cada incremento i , isto é,
1+n variáveis. Note-se que a Função Geral de Fluência proposta não exige na integração de tensões o armazenamento
de todo histórico de tensões, assim como permite a integração analítica das expressões. O algoritmo mostrado acima é
incondicionalmente estável, isto é, não colapsa quando ∞→∆t , e sim fornece resultados exatos quando isto acontece,
facilitando a integração de longo prazo. Além disso, não oferece problemas quando 0→∆t , pois as singularidades são
facilmente removeis por Séries de Taylor (veja SANTOS[9] ou SANTOS&PIMENTA[10]).
Observe-se, também, para a obtenção de k
iΨ , k
i 1+Ψ , g
iΦ e g
i 1+Φ uma somatória de funções exponenciais deve
ser computada, que dependendo da expressão da função de fluência a ser ajustada obtém-se poucos termos dessa
somatória, isto é, com 6<n e 6<m . Atualmente está se testando Algoritmos Genéticos para calibração da função de
fluência proposta com 63 ≤≤ n e 63 ≤≤ m que por falta de espaço serão apresentados em outro trabalho. Vale
ressaltar, também, que o Algoritmo de Integração de Tensões da Figura 10 resulta em uma relação linear entre 1+iσ e
1+iε . Note-se que lg
1
a
iD + depende da função de fluência e, portanto, dos fatores ambientais, materiais e geométricos.
lg
1
a
iD + , é óbvio, varia ao longo dos incrementos de tempo. No entanto, para um concreto submetido a um conjunto de

8
fatores ambientais, ele não depende da posição na seção transversal, o que facilita algumas das integrações mostradas
no seção 5 abaixo.
( )( )
( )
( )
( )
( )1
1
11
111
111
lg
11
1
1
1
1
1
lg
1
1 11
1
1
1
1
1
1
1
.8
,...,2,1,.7
.6
1
1
.5
1
1.4
,...,2,1,111e11.3
,,2,1,11e111.2
.1
1
11
11
+
+
++
++
∆
−
+
+++++
=
+
=
+
+
+
= ==
∆
−
+
∆
−
+
−
−
+
∆
−
+
−
−
∆
−
+
+
∆
−
+
−=
=Ψ+Ψ+=
−−=
Φ+Ψ+
=








−Φ+Ψ+








−−=
=








−








−








∆
−=Φ
















−








∆
−=Φ
=
















−
∆
−=Ψ








−








−







∆
+=Ψ
−−=
+
++
++
∑∑
∑ ∑∑
i
e
i
i
ve
i
k
ii
k
ii
t
k
i
k
i
i
s
ii
a
ii
m
g
g
i
n
k
k
i
i
e
a
i
n
k i
e
m
g
g
i
k
ii
n
k
t
k
iii
t
i
gtt
gg
i
t
i
gtt
gg
i
t
i
k
kk
i
t
i
k
kk
i
s
i
ve
iii
e
i
E
nke
D
E
D
E
e
mge
t
eBe
t
eB
nke
t
Ae
t
A
E
k
i
k
g
i
g
ci
g
i
g
ci
k
i
k
i
ζ
σ
εε
σσεε
αεεσ
ζ
ζ
σεεα
ϑϑ
θθ
εεεζσ
θ
θ
ϑϑϑϑ
θθ K
Figura 10 - Algoritmo de Integração de Tensões - Função Geral de Fluência.
5 - A n á l i s e d e V i g a s P l a n a s d e C o n c r e t o
Na análise de vigas planas por meio do MEF utiliza-se ou a teoria estrutural de Bernoulli-Euler ou a de
Timoshenko. Em ambas as teorias as deformações específicas nas seções transversais são dadas por
( ) ( ) ( )xyxyx κεε −=, (27)
onde x é a coordenada ao longo do eixo da barra, y é a coordenada ao longo da altura da seção transversal, ( )xε é
deformação específica no eixo da barra e ( )xκ é a rotação específica das seções transversais. Na opinião dos autores a
teoria de Timoshenko é preferível na análise por meio do MEF, pois leva a elementos finitos mais simples e no caso
tridimensional não depende da posição do eixo das barras. Em SANTOS[9] se faz uma abordagem mais detalhada sobre
a análise da viscoelasticidade do concreto sob o ponto de vista da aplicação do MEF através da teoria de Timoshenko
para solução de problemas em estruturas aporticadas planas de concreto armado e protendido.
Pode-se então construir o vetor das deformações generalizadas da seção transversal e o vetor dos esforços
internos energeticamente conjugado com o vetor das deformações generalizadas, respectivamente, por meio de










−
=





=





=
∫
∫
A
A
dAy
dA
M
N
e
σ
σ
κ
ε
σσεε (28)
onde A é a seção transversal. N e M são os esforços solicitantes, normais e fletores, de uma seção transversal, ou
seja, o esforço normal e o momento fletor respectivamente. Observe-se que )(yσσ = e dyybdA )(= , onde )(yb é a
largura da seção transversal na coordenada y . Note-se que, em geral, a seção transversal é heterogênea, como ilustrado
na Figura 11, composta por concreto, aço passivo e aço de protensão. A seção de concreto pode ser, por sua vez,
também heterogênea, composta por concretos de diversos tipos e idades submetidos a ambientes diferentes.
Ap
As
Ac
Figura 11 - Seção Transversal Genérica.
Supondo-se comportamento elástico linear para os aços de (28) e do Algoritmo de Integração de Tensões
mostrado na Figura 10 resulta
1111 ++++ += iiii σσεεσσ D (29)
onde

9
( )
( )












−+
++−
=












++•
−−−++
=
∫ ∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
+++
+++
+
+
++
+
c p
pc
psc
pscpsc
A A
pp
i
s
ii
A
pp
A
i
s
ii
i
A
p
A
s
A
i
A
p
A
s
A
i
A
p
A
s
A
i
i
ydAEydAD
dAEdAD
dAyEdAyEdAyD
ydAEydAEydADdAEdAEdAD
0111
0111
1
222
1
11
1
εαε
εαε
σσ
D
. (30)
Em (30) s
E é o módulo de elasticidade da armadura passiva, p
E é o módulo de elasticidade do aço de protensão e p
0ε
é a deformação inicial na armadura ativa devida somente à protensão, isto é, imaginando-se a estrutura de concreto
infinitamente rígida e já incluído o efeito do atrito e de outras perdas imediatas.
Note-se que a heterogeneidade da seção acopla os esforços normais com os momentos fletores. Observe-se que
(29) é linear em 1+iεε . Em cada incremento o problema a ser resolvido pelo MEF ou manualmente é linear e muito
semelhante à análise elástica convencional. Esta linearidade é, todavia, perdida se for admitida fissuração no concreto
na tração, plastificação do concreto na compressão ou plastificação nos aços. As não-linearidades, tanto geométricas,
como as devidas à plasticidade ou à fissuração podem ser tratadas como indicado em PIMENTA[7] ou SANTOS[9].
Observe-se que em (30) 1+iD e s
i 1+ε são homogêneos dentro da seção transversal para concretos de mesma idade
e submetidos aos mesmos fatores ambientais. Já 1+iα tem distribuição linear para concretos de mesma idade e
submetidos aos mesmos fatores ambientais. Observe-se também que as integrais sobre as armaduras podem ser
substituídas por somatórias. Estes fatos devem ser levados em conta nas integrações que constam de (30).
Em uma análise elástica convencional, mas incluindo os efeitos da retração, tem-se no lugar de (30) para uma
análise incremental
∫∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
==












+
+−
=












++•
−−−++
=
+
+
+
+
+
pp
c
c
psc
pscpsc
A
ppp
A
ppp
A
ps
i
c
p
A
s
i
c
i
A
p
A
s
A
c
A
p
A
s
A
c
A
p
A
s
A
i
i
ydAEMdAEN
MydAE
NdAE
dAyEdAyEdAyE
ydAEydAEydAEdAEdAEdAD
0000
01
01
1
222
1
1
esendo, εε
ε
ε
σσ
D
, (31)
onde c
E é o módulo de elasticidade do concreto, assim como p
N0 e p
M0 são esforços iniciais devidos a protensão.
Caso se despreze a contribuição das armaduras à rigidez, se suponha que a seção de concreto seja homogênea,
isto é, composta por um só concreto submetido aos mesmos fatores ambientais e se coloque o eixo no centro de
gravidade da seção transversal, tem-se no lugar de (31) para uma análise incremental as seguintes expressões
( )
( )












++
++−
=





•
=
∫
∫
+++
+++
+
+
+
+
c
c
A
p
i
s
ii
p
A
i
s
ii
i
i
i
i
MydAD
NdAD
ID
AD
0111
0111
1
1
1
1 e
0
αε
αε
σσD , (32)
onde A e I são a área e o momento de inércia da seção transversal. Em uma análise manual, pode-se utilizar as
expressões acima. Este tipo de análise pode ser considerada uma generalização da análise descrita em FERRAZ[2]. No
entanto, acredita-se que as hipóteses simplificadoras tenham ficado muito mais claras.
6 - C a l i b r a ç ã o e R e t r o- a n á l i s e c o m a F u n ç ã o G e r a l d e F l u ê n c i a P r o p o s t a
Seja a parcela viscosa da função de fluência adotada como referência dada por
( )00 , ttCref
−ζ , (33)
e com a qual se deseja calibrar a parcela viscosa de (26) expressa por
( ) ∑∑
=
−
−−
=
−
−








−+








−=−
m
g
tt
g
n
k
tt
k ggk
eeBeAttC
11
00
000
11, ϑϑ
ζ
θζ . (34)
A função expressa por (33) pode ser uma função obtida experimentalmente ou prescrita por alguma norma técnica. Para
parcela de deformação imediata de (26), qualquer função pode ser utilizada, sem conseqüências para a análise
incremental, e, por isso, não se descreve aqui a sua calibração.
Para a Função Geral de Fluência proposta a calibração com funções ad-hoc ou empiricamente determinadas em
um intervalo de tempo pode ser elaborada por diversos métodos. Um método bastante geral comumente usado é o
Método dos Mínimos Quadrados. Aqui, entretanto, propõe-se um método bem simples de calibração baseado no

10
Método da Colocação que evita integrações complexas, problemas de minimização trabalhosos e que tem dado bons
resultados. Vale comentar que tanto em SANTOS[9], quanto em SANTOS&PIMENTA[10] utilizou-se esse método.
Uma das formas de calibração consiste em adotar-se, a priori, valores para n , m , nk
k
,,2,1, K=θ e
mg
g
,,2,1, K=ϑ ; e utilizar mn + pares ( ) mnrrr += ,,2,1,, Kξζ , como pontos de colocação. Fazendo-se
( ) ( )rr
m
g
g
n
k
k
fFeeBeA
g
r
g
r
k
r
ξζϑ
ξ
ϑ
ξ
θ
ξ
=








−+








− ∑∑
=
−−
=
−
11
11 , (35)
obtém-se um sistema de mn + equações lineares nas mn + incógnitas nk
k
A ,,2,1, K= , e mg
g
B ,,2,1, K= . Este sistema
pode ser expresso por




















=








































+
+
++++
++++
mn
n
n
m
n
m
mnmn
n
mnmn
m
nn
n
nn
m
nn
n
nn
mn
c
c
c
c
B
B
A
A
bbaa
bbaa
bbaa
bbaa
M
M
M
M
LL
MOMMOM
LL
LL
MOMMOM
LL
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
, (36)
onde
mnr
k
r
k
r
ea +=
−
−= ,,2,1,1 Kθ
ξ
, (37)
mnr
g
r
g
r
g
r
eeb +=
−−








−= ,,2,1,1 Kϑ
ξ
ϑ
ξ
(38)
e
( ) ( ) mnrrrr fFc +== ,,2,1, Kξζ . (39)
Este problema pode ser escrito de outra forma, ainda mais interessante, como, também, descrito em SANTOS[9].
Inicialmente adota-se um conjunto de valores para nk
k
,,2,1, K=θ e mg
g
,,2,1, K=ϑ . A seguir p pontos de colocação,
dados por
( ) pr
r
ttC ,,2,100 ,, K=−ζ (40)
são escolhidos, e o seguinte problema de minimização é resolvido
supasujeito
)(min
xxx
x
≤≤nfi
h
(41)
onde { }mgnk
gk
BA ,,2,1,,2,1 ,,, KK ===x é um vetor que coleciona os parâmetros de (34) a serem calibrados, assim como
infx e supx estabelecem limites inferiores e superiores para os parâmetros. Note-se que 0inf ≥x e que supx limita a
deformação lenta para ∞→t . Para )(xh propõe-se a seguinte função objetivo
( ) ( ) ( ) 1,,,,
1
1
0000 ≥−−−= ∑
=
mtCtC
m
Wh
mp
r
r
ref
rr ζζζζxx (42)
Em PIMENTA&SANTOS[8] utilizou-se tanto 1=m como 2=m . Em (42) rW são pesos que ajudam a
calibração. Pode-se utilizar, por exemplo, pesos maiores para idades jovens do concreto de modo a ter uma melhor
calibração nesta fase. Exemplos de experimentações numéricas são mostrados em SANTOS[9], onde foi implementado
um programa computacional para realizar a calibração de forma automática, considerando mn = parâmetros com
nk
kk
,...,2,1, ==ϑθ . Diversas combinações de pontos de colocação têm sido testadas com êxito, pelos autores, como por
exemplo, 100 pontos eqüidistantes do instante inicial até o instante final de calibração. Para a solução de (42) têm sido
testados algoritmos genéticos de GOLDBERG[3] e MICHALEWICZ[6]. Por falta de espaço, detalhes destes algoritmos
serão abordados em outro trabalho.
Tabela 2 - Parâmetros para obtenção da função de fluência da NBR-7197.
Parâmetros
1=α CT 0
20= %70=U
MPafck 30= muar 98,9= 3829,0=ficth
4493,1=γ 2
3183,1 mAc = diast 280 =
Para exemplificar a força da metodologia aqui exposta considere-se a seção da Figura 12 e os parâmetros para
obtenção da função de fluência segundo a NBR-7197[1] da Tabela 2.

11
Os cálculos para função de fluência2
da NBR-7197[1] são baseados conforme o procedimento descrito em
SANTOS[9] e a calibração conforme o método da colocação, aqui apresentado.
Figura 12 - Seção transversal usada para obtenção dos índices da função de fluência da NBR-7197.
Para a calibração da função geral de fluência proposta, utilizou-se 7== mn parâmetros com
7,...,1
3
,10.5 =
−
== k
kkk
ϑθ . Os resultados são mostrados na Figura 13 com os seguintes parâmetros da função de
fluência proposta calibrada expressa por (35):
{ }
{ }.01,1,69,0,74,0,02,0,08,0,10,0,10,0
;08,0,36,0,33,1,59,0,02,0,01,0,01,0
7654321
7654321
=======
=======
BBBBBBB
AAAAAAA
(43)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Função de fluência proposta
Função de fluência da NBR
Figura 13 - Calibração da função geral de fluência segundo a função de fluência da NBR-7197.
A partir desta calibração, uma ainda melhor pode ser obtida com a inclusão dos parâmetros nk
k
,...,2,1, =θ e
mg
g
,...,2,1, =ϑ no vetor x . Chama-se atenção para o fato de que em SANTOS[9], quando se introduziu os parâmetros
nk
k
,...,2,1, =θ e mg
g
,...,2,1, =ϑ no vetor x a função calibrada tornou-se quase perfeita, com erros menores que %1 em
todos os pontos de colocação e a sua transposição para o mesmo gráfico ficou desnecessária, pois não seria possível
distinguí-la da função de referência.
Pode-se agora discutir a questão da retro-análise de estruturas de concreto instrumentadas. Considere-se que se
tenham leituras instrumentadas da deformação de uma estrutura com pnp ,...,2,1= locais diferentes, nos quais as
deformações específicas foram medidas em qnq ,...,2,1= instantes diferentes. Logo, tem-se um conjunto de qp nn +
medidas experimentais dado por
( ){ }qnqpnpqp tx ,,2,1,,,2,1
exp
,, KK ==ε . (44)
Por outro lado, por meio de análise incremental com o Algoritmo de Integração de Tensões proposto pela Figura 10,
obtém-se um conjunto de qp nn + deformações dado por
( ){ }qnqpnpqp
an
tx ,,2,1,,,2,1,,, KK ==yε , (45)
onde
{ }cnrmgnk
g
r
k
r BA ,,2,1,,,2,1,,,2,1,, KKK ====y (46)
é o conjunto de parâmetros da Função Geral de Fluência proposta para cn concretos diferentes utilizados na análise.
A retro-análise consiste no seguinte problema de minimização
2
O exemplo da função de fluência da NBR-7197 foi retirado de ISHITANI[4].

12
supasujeito
)(min
yyy
y
≤≤nfi
h
(47)
onde infy e supy estabelecem limites inferiores e superiores respectivamente para os parâmetros. Note-se que 0inf ≥y
e que supy limita a deformação lenta para ∞→t . Para ( )yh propõe-se a seguinte função objetivo
( ) ( ) ( ) 1
1 1
exp
,,,,
1
≥
= =
∑∑ −= m
mn
p
n
q
qpqp
an
pq
p q
txtx
m
Wh εε yy . (48)
Os valores de ( )qp tx ,exp
ε devem receber um tratamento de modo a suavizar as oscilações comumente observadas em
leituras reais e em (48), pqW são pesos que ajudam a minorar o efeito de más medidas experimentais ou a majorar
medidas experimentais consideradas mais relevantes. Sugere-se, que nas aplicações, as medidas experimentais sejam
também filtradas de modo a se extrair o comportamento oscilatório muitas vezes registrado. Vale ressaltar que a função
objetivo (48) incorpora a hipótese do concreto ser heterogêneo, no que diz respeito a equação constitutiva da fluência,
pois ( )qp
an
tx ,,yε é a deformação calculada computacionalmente nos pnp ,...,2,1= locais em que qnq ,...,2,1=
instantes diferentes para os parâmetros nk
k
rA ,,2,1, K= e mg
g
rB ,,2,1, K= , com cnr ,,2,1 K= , onde cn é o número de
diferentes materiais considerados. Neste caso o vetor y terá ( )mnnc + graus de liberdade. Em SANTOS[9], este
aspecto foi bastante útil, pois a fluência do concreto pode ser afetada por parâmetros geométricos tais como espessura
média e taxa de armação, ou parâmetros físicos ambientais como temperatura média, radiação solar e umidade relativa
do ar. Para solução de (47) também têm sido testados algoritmos genéticos de GOLDBERG[3] e MICHALEWICZ[6].
Novamente, por falta de espaço, esta questão será abordada em outro trabalho.
7 - E x e m p l o N u m é r i c o
Seja uma viga isostática de ponte rodoviária em concreto protendido, com aderência posterior, realizada
conforme as quatro etapas construtivas descritas abaixo e mostrada na Figura 14.
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
g=1.5 tf/m
g1=1.5 tf/m + g2=0.965 tf/m
g1=1.5 tf/m + g2=2.11 tf/m
Figura 14 - Esquema do histórico de carregamento para ponte sobre viga isostática.
Etapa 1 - Execução da viga pré-moldada de concreto protendido:
• 0=t indica o início da concretagem;
• 30=t indica fim de cura do concreto da viga pré-moldada.
Etapa 2- Protensão e carregamento (somente peso próprio) da viga pré-moldada após 31 dias:
• 31=t indica o início da solicitação de esforços devido a protensão e ao peso próprio da viga pré-moldada;
• 60=t marca o final do carregamento somente devido ao peso próprio da viga pré-moldada.
Etapa 3 - Concretagem da laje de colaboração in-loco:
• 61=t indica o início da solicitação de esforços devido ao peso próprio da viga pré-moldada + peso da laje de
colaboração. Neste instante a laje de colaboração não contribui para a resistência da estrutura;
• 90=t marca o final do carregamento somente devido ao peso próprio da viga pré-moldada + laje de
colaboração. Neste instante a laje de colaboração já está contribuindo para a resistência da estrutura como um
todo, mas a seção transversal apresenta dois tipos diferentes de concreto (idades diferentes), isto é, duas
funções de fluência distintas numa mesma seção transversal.

13
Etapa 4- Pavimentação e execução do guarda rodas:
• 91=t indica o início da solicitação de esforços devido ao peso próprio da viga pré-moldada + peso da laje de
colaboração + a influência do peso próprio da pavimentação e do guarda rodas sobre a viga;
• 10950=t (30 anos) indica o final de todo processo (histórico de carregamento).
O histórico de carregamento é mostrado na Figura 15.
t
σ
t=30 t=90t=60
t=31
t=61
t=91
Concretagem
Protensão e
Carregamento
Concretagem da laje
de colaboração
Pavimentação e execução
do guarda rodas
σ σ31 60a
t=10950
t=31
t=91
σ σ61 90a
σ σ91 10950a
Figura 15 - Histórico de carregamento para ponte sobre viga isostática.
Na modelagem computacional, por elementos finitos, deste problema, considerou-se uma viga isostática dividida
em vinte trechos iguais, cujas características geométricas de cada seção transversal de concreto e o posicionamento do
aço da armadura ativa e passiva encontram-se na Figura 16, Figura 17 e Figura 18.
A calibração foi realizada com base na função de fluência da NBR-7197 com a ajuda do método da colocação
apresentado na seção anterior, com 4 pontos eqüidistantes, com 4== nm , no intervalo [ ]10950,30 dias. Note-se que
os dados para a realização desta calibração estão apresentados na Tabela 3. O crescimento do módulo de elasticidade
( )ζE e o efeito da relaxação no aço de protensão, também, seguem os critérios recomendados pela NBR-7197. Uma
proposta para caracterizar esses fenômenos de uma forma mais eficiente, baseado na metodologia aqui abordada esta
sendo realizada pelos autores, que pretendem expô-las em outro trabalho.
Neste problema dar-se importância ao fato de que em um determinado momento, as seções transversais
apresentarem concretos diferentes, ou seja, com diferentes idades. Com isso, a deformação por fluência tem funções
distintas para cada concreto. Vale lembrar que concretos mais velhos apresentam menos deformação por fluência que
concretos mais novos, como foi discutido na seção 2. Tendo em vista as disposições na NBR-7197 que somente
considera o fenômeno da fluência do concreto após três dias, e como a calibração da função de fluência foi feita
segundo referida norma, o processamento computacional da laje de colaboração não sofre deformação por fluência, e
não contribui para resistência da estrutura antes de três dias de idade, sendo esta considerada apenas como “peso morto”
neste período de tempo. Outro fato importante é que o programa computacional de elementos finitos leva em
consideração a não-contribuição do concreto tracionado no cálculo da rigidez da estrutura como apresentado na seção 5.
Apesar de não ter sido exposta minuciosamente, neste trabalho, a questão da inibição da fluência quando se eleva
a taxa de aço de armadura passiva, mas sendo esta importante para análise do comportamento conjunto dos fenômenos
aqui analisados, remete-se, todavia, a consulta deste tratamento a SANTOS[9], onde referida abordagem encontra-se
detalhada. Vale destacar que o programa computacional leva em consideração estas idéias em sua implementação.
No caso de haver plastificação das armaduras ou do concreto por compressão, e fissuração do concreto sob
tração, o algoritmo proposto, associado ao MEF leva a um sistema de equações não-lineares em cada incremento de
tempo. Isto é, quando há uma região de concreto sob tração, ou tanto o aço quanto o concreto sob compressão estão no
regime plástico, a análise se torna não-linear, pois não se tem a posição da linha neutra, e assim não se consegue montar
o vetor das tensões generalizadas 1+iσσ dado em (29). No entanto, utilizando-se do Processo Iterativo de Newton, este
problema pode ser solucionado facilmente, como foi mostrado em SANTOS[9].
7.1 -Dados do Problema
Considere-se as características do concreto, aço passivo e aço de protensão como mostra a Tabela 3 e as
características geométricas e esquema estrutural como mostrado nos desenhos da Figura 16, Figura 17 e Figura 18.
Tabela 3 - Características do concreto e aços usados no exemplo de ponte sobre viga.
Concreto Aços Dados para fluência
MPafck 35= ACA50 (armadura passiva) mu inicialar 02,6)( =
MPaEc 3514228, = RBCP190 (armadura de protensão) mu finalar 15,7)( =
2
max /75,202 mtf=σ mmdeascordoalhcomCabos 7.1210 =φ %75=U
2
min /2100 mtf−=σ MPaEp 500.19= 2
)( 60,0 mA inicialc =
MPaf ptk 900.1= 2
)( 986,0 mA finalc =
Força de Protensão nominal = cabotf /126 CT o
20=
sup,sA e inf,sA vide Figura 16 2=α

14
Figura 16 - Detalhe das armações (armadura frouxa).

15
Figura 17 - Detalhe em elevação da armadura de protensão.

16
Figura 18 - Detalhe das seções transversais da armadura de protensão.

17
7.2 -Resultados Obtidos
Após 31 dias, isto é, no instante 31=t a viga é protendida. As perdas imediatas de protensão são mostradas na
Tabela 4 e os momentos, tensões e deslocamentos mostrados na Tabela 5. O vão foi dividido em vinte partes iguais,
para modelagem e análise utilizando-se do programa computacional desenvolvido através do MEF com a metodologia
abordada. Os resultados são apresentados a seguir:
1. para 31=t
Tabela 4 - Perdas Imediatas de protensão (início da etapa 2.
Distância Mp Hp Vp
[m] [tf/m] [tf] [tf]
1 0 -26,58 -434,46 -47,99
2 1,5 -91,09 -436,64 -45,96
3 3,0 -155,87 -440,50 -39,48
4 4,5 -211,41 -444,25 -32,85
5 6,0 -260,40 -452,10 -26,19
6 7,5 -299,35 -459,37 -19,30
7 9,0 -325,21 -462,78 -12,18
8 10,5 -340,36 -465,84 -5,25
9 12,0 -346,26 -468,22 -0,90
10 13,5 -346,93 -468,91 0,00
11 15,0 -346,15 -467,83 0,00
12 16,5 -346,93 -468,91 0,00
13 18,0 -346,26 -468,22 0,90
14 19,5 -340,36 -465,84 5,25
15 21,0 -325,21 -462,78 12,18
16 22,5 -299,35 -459,37 19,30
17 24,0 -260,40 -452,10 26,19
18 25,5 -211,41 -444,25 32,85
19 27,0 -155,87 -440,50 39,48
20 28,5 -91,09 -436,64 45,96
21 30,0 -26,58 -434,46 47,99
Seção
Logo após a protensão, a viga é carregada, ou seja, com solicitação somente devido ao peso próprio da viga pré-
moldada. Os dados no instante 31=t , esforços solicitantes, tensões e flecha, são mostradas na Tabela 5 a seguir:
Tabela 5 - Momentos, tensões e deslocamento (início da etapa 2) - ponte sobre viga isostática.
Distância M Mp σσs σσi Flecha
[m] [tf.m] [tf.m] [tf/m
2
] [tf/m
2
] [cm]
1 0,0 0,000 -26,580 -626,019 -838,669 0,0000000
2 1,5 32,063 -91,090 -509,922 -982,160 0,3993148
3 3,0 60,750 -155,870 -383,170 -1144,167 0,7825959
4 4,5 86,062 -211,410 -277,878 -1280,710 1,1372794
5 6,0 108,000 -260,400 -191,138 -1410,397 1,4534680
6 7,5 126,562 -299,350 -128,023 -1510,393 1,7238845
7 9,0 141,750 -325,210 -94,326 -1562,076 1,9439382
8 10,5 153,563 -340,360 -87,112 -1581,559 2,1116850
9 12,0 162,000 -346,260 -100,440 -1574,591 2,2279960
10 13,5 167,063 -346,930 -117,801 -1556,805 2,2959089
11 15,0 168,750 -346,150 -125,104 -1544,372 2,3182716
12 16,5 167,063 -346,130 -117,801 -1556,805 2,2959089
13 18,0 162,000 -345,120 -100,440 -1574,591 2,2279960
14 19,5 153,563 -339,240 -87,112 -1581,559 2,1116850
15 21,0 141,750 -324,150 -94,326 -1562,076 1,9439382
16 22,5 126,562 -298,490 -128,023 -1510,393 1,7238845
17 24,0 108,000 -259,590 -191,138 -1410,397 1,4534680
18 25,5 86,062 -211,100 -277,878 -1280,710 1,1372794
19 27,0 60,750 -155,710 -383,170 -1144,167 0,7825959
20 28,5 32,062 -91,170 -509,918 -982,164 0,3993148
21 30,0 0,000 -26,450 -626,019 -838,669 0,0000000
Seção
Note-se que neste instante, 31=t , as tensões de compressão são mais críticas pois estas se apresentam com seus
valores máximos em comparação com as demais etapas construtivas.

18
Observe-se, também, que neste instante, 31=t , o deslocamento, ou seja, a flecha da viga é positiva, indicando
um deslocamento para cima. Isto se dá devido às resultantes dos esforços de protensão serem maiores que as resultantes
dos esforços solicitantes de peso-próprio. Vale ressaltar que esta etapa é uma das mais críticas, pois se deve ter sempre
uma grande preocupação com tensões elevadas de compressão no concreto, para que a estrutura não venha a apresentar
um colapso por esmagamento do concreto na seção transversal.
2. para 60=t
Tabela 6 - Momento, tensões e deslocamento (fim da etapa 2) - ponte sobre viga isostática.
2
] [tf/m
2
] [cm]
1 0,0 0,000 -25,544 -613,427 -817,790 0,0000000
2 1,5 32,063 -88,731 -502,616 -955,980 0,3603309
3 3,0 60,750 -152,253 -380,902 -1112,963 0,7058612
4 4,5 86,062 -206,823 -279,525 -1245,656 1,0250673
5 6,0 108,000 -255,088 -195,732 -1372,494 1,3089432
6 7,5 126,562 -293,507 -134,782 -1470,408 1,5509574
7 9,0 141,750 -318,997 -102,592 -1520,635 1,7471165
8 10,5 153,563 -333,935 -96,237 -1539,280 1,8959269
9 12,0 162,000 -339,777 -109,803 -1532,087 1,9985597
10 13,5 167,063 -340,450 -127,154 -1514,315 2,0582146
11 15,0 168,750 -339,668 -134,462 -1501,875 2,0778149
12 16,5 167,063 -339,655 -128,255 -1509,054 2,0582146
13 18,0 162,000 -338,648 -111,436 -1524,687 1,9985597
14 19,5 153,563 -332,827 -97,791 -1531,973 1,8959269
15 21,0 141,750 -317,926 -103,994 -1513,468 1,7471165
16 22,5 126,562 -292,650 -135,614 -1464,379 1,5509574
17 24,0 108,000 -254,291 -196,142 -1366,524 1,3089432
18 25,5 86,062 -206,515 -278,845 -1242,513 1,0250673
19 27,0 60,750 -152,101 -379,517 -1110,357 0,7058612
20 28,5 32,062 -88,830 -500,298 -954,464 0,3603309
21 30,0 0,000 -25,419 -608,656 -812,017 0,0000000
Seção
3. para 61=t
2
] [tf/m
2
] [cm]
1 0,0 0,000 -25,544 -603,359 -804,369 0,0000000
2 1,5 53,040 -88,731 -573,909 -848,140 -0,0034318
3 3,0 100,500 -152,253 -525,168 -920,491 -0,0110198
4 4,5 142,370 -206,823 -487,885 -978,827 -0,0250684
5 6,0 178,670 -255,088 -459,405 -1041,475 -0,0464577
6 7,5 209,370 -293,507 -444,993 -1085,346 -0,0746718
7 9,0 234,500 -318,997 -450,600 -1091,635 -0,1077427
8 10,5 254,040 -333,935 -473,372 -1076,375 -0,1422808
9 12,0 268,000 -339,777 -507,503 -1045,196 -0,1733180
10 13,5 276,370 -340,450 -537,083 -1013,141 -0,1949512
11 15,0 279,160 -339,668 -548,468 -995,939 -0,2026317
12 16,5 276,370 -339,655 -538,185 -1007,879 -0,1949512
13 18,0 268,000 -338,648 -509,136 -1037,796 -0,1733180
14 19,5 254,040 -332,827 -474,925 -1069,068 -0,1422808
15 21,0 234,500 -317,926 -452,002 -1084,468 -0,1077427
16 22,5 209,370 -292,650 -445,827 -1079,314 -0,0746718
17 24,0 178,670 -254,291 -459,819 -1035,501 -0,0464577
18 25,5 142,370 -206,515 -487,217 -975,674 -0,0250684
19 27,0 100,500 -152,101 -523,798 -917,870 -0,0110198
20 28,5 53,040 -88,830 -571,616 -846,598 -0,0034318
21 30,0 0,000 -25,419 -598,593 -798,592 0,0000000
Seção
Note-se, agora, para o instante 61=t , um alívio de tensão provocado pelo acréscimo de peso-próprio da laje de
colaboração, isto é, 2
2 /965,0 mtfg = com já foi mostrado na Figura 14. É importante frisar que de acordo com as

19
disposições na NBR-7197, tanto a fluência, quanto à contribuição, da laje de colaboração para resistência da estrutura
só será processada após 3 dias, em 64>t , sendo esta considerada apenas como “peso morto” em 6461 ≤≤ t dias.
4. para 90=t
2
] [tf/m
2
] [cm]
1 0,0 0,000 -25,125 -381,698 -505,414 0,0000000
2 1,5 53,040 -87,318 -369,074 -537,855 -0,0467028
3 3,0 100,500 -149,912 -348,175 -591,484 -0,0962198
4 4,5 142,370 -203,739 -332,405 -634,565 -0,1497160
5 6,0 178,670 -251,420 -321,667 -679,914 -0,2070879
6 7,5 209,370 -289,414 -317,113 -711,232 -0,2669893
7 9,0 234,500 -314,624 -320,575 -715,113 -0,3267770
8 10,5 254,040 -329,411 -331,680 -702,811 -0,3825404
9 12,0 268,000 -335,206 -347,725 -678,659 -0,4289474
10 13,5 276,370 -335,877 -361,266 -654,265 -0,4598781
11 15,0 279,160 -335,095 -366,126 -641,531 -0,4706715
12 16,5 276,370 -335,082 -361,476 -650,559 -0,4598781
13 18,0 268,000 -334,077 -348,065 -673,440 -0,4289474
14 19,5 254,040 -328,304 -331,985 -697,662 -0,3825404
15 21,0 234,500 -313,552 -320,808 -710,072 -0,3267770
16 22,5 209,370 -288,555 -317,124 -707,017 -0,2669893
17 24,0 178,670 -250,622 -321,457 -675,772 -0,2070879
18 25,5 142,370 -203,428 -331,819 -632,449 -0,1497160
19 27,0 100,500 -149,756 -347,250 -589,790 -0,0962198
20 28,5 53,040 -87,412 -367,733 -536,977 -0,0467028
21 30,0 0,000 -24,999 -378,724 -501,818 0,0000000
Seção
5. para 91=t
2
] [tf/m
2
] [cm]
1 0,0 0,000 -25,125 -381,698 -505,414 0,0000000
2 1,5 77,163 -87,318 -409,277 -459,282 -0,2050150
3 3,0 146,205 -149,912 -424,351 -442,605 -0,4082116
4 4,5 207,123 -203,739 -440,320 -423,656 -0,6067426
5 6,0 259,920 -251,420 -457,092 -415,240 -0,7969681
6 7,5 304,593 -289,414 -475,813 -401,070 -0,9744748
7 9,0 341,145 -314,624 -498,320 -367,728 -1,1340251
8 10,5 369,574 -329,411 -524,238 -326,477 -1,2695831
9 12,0 389,880 -335,206 -550,862 -281,648 -1,3741642
10 13,5 402,064 -335,877 -570,751 -244,847 -1,4404721
11 15,0 406,124 -335,095 -577,726 -227,981 -1,4631383
12 16,5 402,063 -335,082 -570,960 -241,144 -1,4404721
13 18,0 389,879 -334,077 -551,201 -276,432 -1,3741642
14 19,5 369,574 -328,304 -524,542 -321,328 -1,2695831
15 21,0 341,144 -313,552 -498,552 -362,691 -1,1340251
16 22,5 304,594 -288,555 -475,825 -396,851 -0,9744748
17 24,0 259,920 -250,622 -456,881 -411,098 -0,7969681
18 25,5 207,123 -203,428 -439,734 -421,540 -0,6067426
19 27,0 146,205 -149,756 -423,427 -440,911 -0,4082116
20 28,5 77,163 -87,412 -407,936 -458,404 -0,2050150
21 30,0 0,000 -24,999 -378,724 -501,818 0,0000000
Seção
Observe-se, também, que para o instante 91=t , há um alívio de tensão provocado pelo acréscimo da carga
permanente devido a pavimentação e a execução do guarda-rodas, isto é, 2
2 /11,2 mtfg = como também já foi
mostrado na Figura 14. Esta etapa é marcada pelo fim da execução da obra, todavia, os efeitos viscoelásticos continuam
se processando ao longo do tempo. Basicamente, só os efeitos devido a fluência ou deformação lenta, pois grande parte
dos efeitos provocados pela relaxação do aço de protensão já foram computados na análise para 91≤t dias. Em
SANTOS[9] discute-se o fato da relaxação se processar mais rapidamente em comparação com a fluência.

20
6. para 10950=t
2
] [tf/m
2
] [cm]
1 0,0 0,000 -22,699 -344,845 -456,616 0,0000000
2 1,5 77,163 -78,977 -382,465 -391,398 -0,6059127
3 3,0 146,205 -135,735 -407,265 -355,711 -1,1974772
4 4,5 207,123 -184,615 -431,392 -320,563 -1,7612366
5 6,0 259,920 -228,096 -454,875 -298,174 -2,2844161
6 7,5 304,593 -262,855 -478,735 -273,217 -2,7549200
7 9,0 341,145 -285,975 -504,717 -233,059 -3,1612996
8 10,5 369,574 -299,697 -532,511 -188,435 -3,4927649
9 12,0 389,880 -305,254 -559,703 -143,005 -3,7390725
10 13,5 402,064 -306,049 -579,575 -106,796 -3,8910499
11 15,0 406,124 -305,363 -586,523 -90,375 -3,9423885
12 16,5 402,063 -305,291 -579,774 -103,272 -3,8910499
13 18,0 389,879 -304,179 -560,025 -138,036 -3,7390725
14 19,5 369,574 -298,641 -532,801 -183,529 -3,4927649
15 21,0 341,144 -284,958 -504,937 -228,277 -3,1612996
16 22,5 304,594 -262,035 -478,751 -269,191 -2,7549200
17 24,0 259,920 -227,329 -454,680 -294,201 -2,2844161
18 25,5 207,123 -184,305 -430,848 -318,494 -1,7612366
19 27,0 146,205 -135,568 -406,397 -354,020 -1,1974772
20 28,5 77,163 -79,048 -381,207 -390,489 -0,6059127
21 30,0 0,000 -22,573 -341,969 -453,116 0,0000000
Seção
No final de 30 anos, ou seja, após 10950 dias as alterações nos momentos de protensão e as tensões devido ao
fenômeno da fluência do concreto e relaxação do aço de armadura ativa são mostrados na Tabela 10. Note-se que a
seção 11 é a mais solicitada, o que era de se esperar, pois ela é a seção do meio do vão da viga isostática aqui analisada.
Pode-se perceber, com o auxílio da Tabela 11, como a tensão no bordo superior, sσ e a tensão no bordo inferior, iσ
variam ao longo do tempo.
Tabela 11 - Evolução das tensões e deslocamento ao longo do tempo na seção 11.
SEÇÃO 11 t=31 t=60 t=61 t=90 t=91 t=10950
σσs [tf/m
2
] -125,104 -134,462 -548,468 -366,126 -577,726 -586,523
σσi [tf/m
2
] -1544,372 -1501,875 -995,939 -614,531 -227,981 -90,375
flecha [cm] 2,3182716 2,0778149 -0,2026317 -0,4706715 -1,4631383 -3,9423885
Observe-se que em todos os instantes analisados, as tensões são sempre de compressão, ou seja, em nenhum
momento da análise, 109500 ≤≤ t , nem sσ quanto iσ são de tração. Note-se também que no final da execução da
obra, isto é, depois da pavimentação e execução do guarda-rodas (etapa 4) não há grande variação de sσ , porém iσ
tem uma variação considerável devido à fluência do concreto. Vale lembrar que nesta análise estão sendo considerados
todos os fenômenos viscoelásticos do concreto protendido: fluência e retração do concreto e relaxação do aço. No
entanto, a variação de iσ no intervalo de [ ]10950,91 , ou seja, 1095091 ≤≤ t é causada basicamente pela fluência,
pois grande parte da relaxação do aço de protensão já foi computada na análise para 91≤t dias (veja mais detalhes em
SANTOS[9]). A Figura 19 abaixo mostra de forma gráfica a variação da tensão ao longo do tempo na seção 11 em
todos os instantes de processamento. Note-se a redução das tensões no intervalo 9061 ≤≤ t devido a contribuição da
laje de colaboração para resistência da estrutura após três dias dela concretada, segundo disposições da NBR-7197,
como já foi comentado no início desta seção.
σs =-125,104 σs=-134,462 σs=-548,468 σs=-366,126 σs=-577,726 σs=-586,523
σi=-1544,372 σi=-1501,875 σi=-995,939 σi=-614,531 σi=-227,981 σi=-90,375
t=31 t=60 t=90t=61 t=91 t=10950
Figura 19 - Variação das tensões ao longo no tempo na seção 11.
Outro fato de grande relevância, também mostrado na Tabela 11, é a variação do deslocamento da seção 11 ao
longo do tempo, ou seja, a alteração da flecha durante todas as etapas construtivas e seu valor no final de 30 anos, isto é,
10950=t dias. Esta variação pode ser melhor visualizada através da Figura 20 abaixo. Note-se que no intervalo

21
6031 ≤≤ t , correspondente a protensão + solicitação de peso-próprio da viga pré-moldada, o deslocamento é para
cima, pois os esforços devido a protensão são maiores que as solicitações devido ao peso-próprio. Note-se, também, que
mesmo depois do final da execução da obra, isto é, 91=t dias (etapa 4), há uma grande variação do deslocamento
devido aos fenômenos viscoelásticos relacionados ao concreto protendido, em especial, devido à fluência do concreto.
Variação da flecha ao longo do tempo
2 , 3 1 8
2 , 0 7 8
- 0 , 2 0 3
- 0 , 4 7 1
- 1 , 4 6 3
- 3 , 9 4 2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
T e m p o [ d i a s ]
F l e c h a [ c m ]
t=31
t=60
t=61
t=90
t=91
t=10950
Figura 20 - Variação da flecha ao longo do tempo na seção 11.
8 - C o n s i d e r a ç õ e s F i n a i s
Procurou-se nesse trabalho, fixar os conceitos relacionados aos fenômenos viscoelásticos do concreto, abordando
sucintamente os fenômenos da fluência, retração e relaxação do aço, através de uma metodologia consistente e eficiente
para análise e retro-análise de vigas de concreto armado e protendido.
Vale ressaltar que quando se deseja analisar as deformações causadas em um concreto estrutural, utilizando-se
de um modelo prático proposto em normas técnicas ou códigos, tem-se sempre uma grande complexidade na análise,
pois é sempre difícil “fugir” do histórico de tensão, e quase sempre se deve guardar este histórico para se prever o
fenômeno da fluência ao longo do tempo. Hipóteses simplificadoras para o histórico de tensão, muitas vezes, não
representam o que acontece com a estrutura de concreto. Porém, uma das propostas de continuação deste trabalho é
realizar a retro-análise em estruturas instrumentadas. Além de facilitar tarefas como: integração de tensões na seção
transversal da estrutura com o mínimo de variáveis armazenadas tendo um baixo custo computacional sem a
necessidade de se armazenar todo histórico de tensões em um ponto; modelagem da fluência para concretos jovens, o
que é importante, pois a protensão tem sido efetuada em pequenas idades do concreto, a Função Geral de Fluência
apresentada aqui, e analisada minuciosamente em SANTOS[9] e em SANTOS&PIMENTA[10] permite a fácil
calibração com dados experimentais, facilitando assim a retro-análise com leituras obtidas em estruturas reais.
Um problema estrutural, muito comum hoje em dia, e de grande importância, é a possibilidade de num dado
instante da análise as seções transversais apresentarem concretos diferentes, ou seja, deformações por fluência com
funções distintas para cada concreto. Outros fatos importantes ainda a serem abordados, futuramente, são as questões de
mudança de sistema estrutural em um certo instante do processamento, possibilitando assim o estudo e análise da
adaptação por fluência; e a consideração da contribuição do concreto tracionado no cálculo da rigidez da estrutura assim
como a não-contribuição deste para a deformação lenta. Note-se que a metodologia abordada neste trabalho permite a
inserção destas novas idéias, possibilitando o uso desta nova metodologia ao emprego de estruturas pré-moldadas.
R e f e r ê n c i a s B i b l i o g r á f i c a s
[1] ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR - 7197: Projeto e execução de pontes de concreto -procedimentos,
1989.
[2] FERRAZ, J.C.F.: Vigas protendidas: alterações das tensões, deformações e deslocamentosaolongodotempo,BT/PEF-8616,
1986.
[3] GOLDBERG, D. E.: Genetic Algorithms in Search, Optimization & Machine Learning, Addison-Wesley, 1989.
[4] ISHITANI, H.: PEF 313 - Concreto Protendido - Notas de aula - Escola Politécnica da USP, 1997.
[5] McHENRY, D. A.: A new aspect of creep in concrete and its application to design, ASTM Proceedings, 43, 1943.
[6] MICHALEWICZ, Z.; Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs, Berlin, Springer, 1996.
[7] PIMENTA, P. M.: On the analysis of viscoelasticity plane frames, Structural Design, Analysis and Testing, American Society
of Civil Engineers, New York, 1989.
[8] PIMENTA, P. M. e SANTOS, H. C.: Análise e Retro-análise de Estruturas de Concreto sujeitas à Deformação Lenta -IV
SIMPÓSIO EPUSP sobre ESTRUTURAS de CONCRETO, Escola Politécnica da USP, 2000.
[9] SANTOS, H. C.: Análise de Estruturas Aporticadas de Concreto Armado e Protendido com a Consideração da Deformação
Lenta, Dissertação de Mestrado, São Paulo, EPUSP, 2001.
[10] SANTOS, H. C. e PIMENTA, P. M.: Algoritmos de Integração de Tensões na Viscoelasticidade do Concreto, XXX Jornadas
Sul-Americanas de Engenharia Estrutural, UnB - Universidade de Brasília, 27-31 de Maio, Brasília-DF, 2002.

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