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Trigonometria.ppt.pdf no Triângulo Retângulo

Aula sobre trigonometria

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CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Capítulo 12 Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Observe que os triângulos retângulos BGF, BED, BAC e BPT são semelhantes, pois têm ângulos correspondentes. Semelhança de triângulos retângulos 12.1
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Semelhança de triângulos retângulos 12.1 Assim, podemos escrever a seguinte proporção:
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer medida do cateto oposto a α medida da hipotenusa sen α = medida do cateto adjacente a α medida da hipotenusa cos α = medida do cateto oposto a α medida do cateto adjacente a α tg α = 12.2 Seno, cosseno e tangente do ângulo α
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo α do triângulo retângulo ABC a seguir. Considerando o ângulo α, o cateto oposto é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é . Exemplos 12.3 Seno, cosseno e tangente do ângulo α
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Aplicando as definições, obtemos: medida do cateto oposto a α medida da hipotenusa sen α = = = 0,6 3 5 medida do cateto adjacente a α medida da hipotenusa cos α = = = 0,8 4 5 medida do cateto oposto a α medida do cateto adjacente a α tg α = = = 0,75 3 4 12.3 Exemplos Seno, cosseno e tangente do ângulo α
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo β. Em relação ao ângulo β, o cateto oposto é AB, o cateto adjacente é AC e a hipotenusa é CB. 12.4 Exemplos Seno, cosseno e tangente do ângulo β
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Aplicando as definições, obtemos: medida do cateto oposto a β medida da hipotenusa sen β = = = 0,8 4 5 medida do cateto adjacente a β medida da hipotenusa cos β = = = 0,6 3 5 medida do cateto oposto a β medida do cateto adjacente a β tg β = = 1,33 4 3 12.4 Exemplos Seno, cosseno e tangente do ângulo β
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos sen α = b a cos α = c a tg β = c b sen β = c a cos β = b a tg α = b c 12.5 No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, as razões trigonométricas que envolvem os ângulos agudos α e β são:
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Os ângulos agudos α e β são complementares, pois a soma de suas medidas é 90º. Assim, podemos escrever β em função de α: β = 90º – α. Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.5
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer sen α = cos β = cos (90º − α) Note também que sen α = e cos β = , então temos: sen α = cos β. Substituindo β por 90º – α na última igualdade, temos: Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos b a b a 12.5
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Substituindo β por 90º – α nessa igualdade, temos: Também vale a relação: sen2 α + cos2 α = 1 cos α = sen β = sen (90º − α) Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.5 Observe também que cos a e sen β = , então temos: cos α = sen β. c a c a
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Demonstração No triângulo ABC, sabemos que sen α = e cos α = . Assim: Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo ABC temos: a2 = b2 + c2 (II) Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos c a 12.6 b a
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Demonstração De (I) e (II), podemos escrever: Portanto, quaisquer que sejam as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, vale a igualdade: Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos sen2 α + cos2 α = 1 sen2 α + cos2 α = = = 1 b2 + c2 a2 a2 a2 12.6
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Retomando o triângulo ABC, vamos relacionar o seno e o cosseno do ângulo agudo α com sua tangente. Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.7
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Também podemos escrever c em função de cos α: Sabemos que sen α = , cos α = e tg α = ; então podemos escrever b em função de sen α: 12.7
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Substituindo (I) e (II) na razão que fornece a tangente de α, temos: Assim, concluímos: 12.7
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Seno e cosseno de ângulos complementares Seno e cosseno de um ângulo Seno, cosseno e tangente de um ângulo sen α = cos (900 – α) cos α = sen (900 – α) sen2 α + cos2 α = 1 12.8
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras: a2 = 62 + 42 ⟹ a2 = 36 + 16 ⟹ a = Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 4 cm. 12.9 Exemplo
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.9
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R1. Na dança folclórica do trança-fitas, geralmente se usa um mastro de 3 m de altura. Para certa passagem da dança, é preciso formar um ângulo de 30º entre a fita esticada (com uma ponta na extremidade superior do mastro e a outra ponta no chão) e o piso horizontal. Sabendo que sen 30º = 0,5, determinar o comprimento da fita e a distância da ponta ao mastro. 12.10 JUCA MARTINS/OLHAR IMAGEM
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R1. Resolução No esquema a seguir, c representa o comprimento da fita e d, a distância pedida. 12.10 Então:
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R1. Resolução Pelo teorema de Pitágoras: d2 + 32 = 62 ⇒ d2 = 27 ⇒ d = ⇒ d ≃ 5,2 Portanto, a fita tem 6 metros de comprimento e a sua ponta fica a 5,2 metros do mastro, aproximadamente. 12.10
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Resolução Aplicando a relação sen2 α + cos2 α = 1, temos: Como α é agudo, α pode ser um dos ângulos de um triângulo retângulo, logo, cos α e sen α são razões entre os lados do triângulo e, portanto, são positivos. Então, cos α = R2. Dado sen α = , com o α agudo, determinar cos α. Exercício resolvido 12.11
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Ângulos notáveis Exemplo Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 45º. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 = x2 + x2 , ou seja, y = x . Usando as definições de seno, cosseno e tangente, temos: 12.12 ▪ ▪
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Ângulos notáveis sen 60º = ; cos 60º = ; 12.12 Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de 60º e 30º. Pela figura, temos: ▪ ▪ ▪ Como os ângulos de 30º e 60º são complementares, resulta:
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Ângulos notáveis 30o 45o 60o Seno Cosseno Tangente 1 12.13
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Vamos imaginar que um foguete foi lançado formando com o solo um ângulo de 45º. Depois de percorrer 1.000 m em linha reta, a que altura o foguete estava do chão? Para melhor visualizar a situação, é interessante fazer um esboço: 12.14 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Neste caso, para calcular a altura (h) do foguete, usamos o seno de 45º: Considerando = 1,41, obtemos: h = 705 O foguete estava a 705 m do chão. 12.14 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Uma das extremidades de um cabo de aço está presa ao topo de um poste, formando um ângulo de 30º, enquanto a outra extremidade está fixada no chão a 5 m do pé do poste. Qual é o comprimento (c) do cabo de aço? Qual é a altura (h) do poste? 12.15 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Neste caso, para calcular o comprimento (c) do cabo, usamos o seno de 30º. O cabo de aço mede 10 m. 12.15 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Considerando , obtemos: h = 8,65 A altura do poste é 8,65 m. 12.15 b) Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º. Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer c) Um barqueiro pretendia ir de uma margem à outra de um rio pela travessia mais curta possível. No entanto, a correnteza o arrastou 24 m além do atracadouro. Do local aonde o barco chegou, avista-se o ponto de partida de um ângulo de 60º em relação à margem onde o barqueiro está. Qual é a largura (r) do rio? 12.16 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer c) Para melhor visualizar a situação, fazemos um esboço: Neste caso, para calcular a largura, usamos a tangente de 60º: Considerando = 1,73, obtemos: r = 41,52. Logo, a largura do rio é 41,52 m. 12.16 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Resolução O lado oposto ao ângulo de 60º mede aproximadamente 26 cm e o menor lado adjacente mede 15 cm. Exercício resolvido R3. Determinar a medida dos outros dois lados do esquadro de 60º. 12.17
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R4. Determinar a medida de CB, no triângulo abaixo, sabendo que DE = DC e AB = 1. 12.18
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R4. Resolução Como DE = DC, então: No triângulo DCE temos: No triângulo ABC, os ângulos α e β são complementares, então β = 45º. Logo, o triângulo ABC é retângulo isósceles e CB = 1. 12.18
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R5. Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. Determinar as medidas de x e de y. 12.19
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R5. Resolução Δ ABC: tg 30º = (I) Δ ABD: tg 60o = (II) ▪ Substituindo (II) em (I), obtemos: Daí: y = 1 m Como x = , resulta: m 12.19
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Aplicações das razões trigonométricas e/ou calculadora científica Esporte. Sabendo que as distâncias oficiais entre as balizas de um campo de futebol são 2,44 m, entre a baliza horizontal e o solo, e 7,32 m, entre as balizas verticais, e que a marca do pênalti (B) está a 11 m do meio (P) da linha de gol, vamos determinar o maior ângulo, em relação à reta , Com que um jogador pode cobrar um pênalti, chutando rasteiro, e ter a possibilidade de marcar um gol. 12.20
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Aplicações das razões trigonométricas e/ou calculadora científica Então, para ter a possibilidade de, chutando rasteiro, marcar o gol, o jogador deve chutar a bola com um ângulo de menos de 18º com a reta que passa pela marca do pênalti e pelo meio da linha do gol. 12.20 Distância entre as balizas verticais: 7,32 m Distância da marca do pênalti até o meio da linha de gol: 11 m Metade da distância entre as balizas verticais: m = 3,66 m 7,32 2 tg α = = 0,3327 7,32 2
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R6. Um fio de 15 m de comprimento, esticado, eleva uma pipa até a altura de 6,8 m. Qual é o ângulo formado entre o fio e o solo? 12.21
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R6. Resolução Vamos determinar o seno de α: Consultando a tabela, temos Então, o fio forma um ângulo de aproximadamente 27º com o solo. 12.21
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R7. Numa determinada hora do dia, a luz do sol incide sobre uma estaca fincada verticalmente no solo. Os raios solares formam com a estaca um ângulo de 75º, e o comprimento da sombra projetada no solo é 3,5 m. Qual é a altura dessa estaca? 12.22
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R7. Resolução De acordo com o esboço abaixo, devemos usar a tangente de 75º. Consultando a tabela, tg 75º = 3,7321. Logo: 12.22 m
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R8. No triângulo ABC abaixo, determinar as medidas x e y. 12.23
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R8. Resolução De acordo com a figura e com a tabela de razões trigonométricas, temos: 12.23
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R9. Qual é a medida aproximada do ângulo de uma rampa para pedestres com inclinação de 10% que liga o pavimento térreo ao primeiro andar de um prédio? 12.24
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R9. Resolução Uma rampa ter inclinação de 10%, ou 0,1, significa que a tangente do ângulo agudo que a rampa forma com o piso inferior é igual a 0,1. Assim, de acordo com o problema, tg α = 0,1. Pela tabela de razões trigonométricas, a tangente mais próxima desse valor é 0,1051, que corresponde ao ângulo de 6º. 12.24
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R10. A construção de um tipo de rampa para skatistas obedece ao seguinte padrão: a inclinação é de 23º com o solo, o comprimento horizontal é 1,70 m e a plataforma superior tem 0,30 m. Qual é a altura dessa rampa? 12.25
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R10. Resolução Vamos iniciar fazendo um esboço. Daí segue que: Logo, a rampa tem aproximadamente 0,59 m de altura. 12.25
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R11. Em certo ponto de uma das margens de um rio de margens paralelas, avista-se na outra margem, bem em frente, em linha reta, uma determinada árvore. Caminhando 200 m pela margem, avista-se essa mesma árvore sob um ângulo de 60º. Qual é a largura aproximada do rio? 12.26
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R11. Resolução 12.26
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R12. Um jogador de futebol, ao cobrar um escanteio, coloca, em um chute rasteiro e em linha reta, a bola nos pés de um companheiro de time que está sobre a marca de pênalti na área adversária. Sabendo que a linha de fundo mede 75 m e a distância entre o meio dessa linha e a marca de pênalti é 11 m, determine qual foi o ângulo do chute em relação à linha de fundo. 12.27
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R12. Resolução A marca de pênalti está centralizada em frente ao gol, à distância de 11 m. Do canto de onde é cobrado o escanteio até o meio da linha do gol, que está situado em frente à marca de pênalti, temos 37,5 m de distância. Portanto, para determinar o ângulo, devemos calcular sua tangente. 12.27
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Seno e cosseno de ângulos obtusos 12.28
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Seno e cosseno de ângulos obtusos Exemplos a) Vamos determinar o valor do seno de 150º. sen 150º = sen (180º – 150º) = sen 30º Logo: sen 150º = b) Vamos determinar o valor do cosseno de 150º. cos 150º = –cos (180º – 150º) = –cos 30º Portanto: –cos 150º = – 12.28
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos senos 12.29 Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles, isto é:
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos senos a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a situação e determinar a medida do ângulo e as distâncias OC e PC (comprimento do fio). 12.30 Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos senos a) Para calcular a medida do ângulo , fazemos: med( ) = 180º – (49º + 30º) = 101º Aplicando o conceito do seno de um ângulo obtuso, temos: sen 101º = sen (180º – 101º) = sen 79º 12.30 Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos: sen 79º ≃ 0,98 e sen 49º ≃ 0,75 Aplicando a lei dos senos, temos: 12.30 Lei dos senos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Assim, a medida do ângulo é 101º, a distância OC é aproximadamente 43,12 m e o comprimento PC do fio é, aproximadamente, 33 m. 12.30 Lei dos senos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Dois lados de um terreno triangular medem 50 m e formam entre si um ângulo de 80º. Sabendo que o proprietário pretende construir uma cerca ao redor do terreno, vamos calcular a metragem total da cerca. Observe a representação dessa situação na figura. Como o triângulo é isósceles, os ângulos da base medem 50º. 12.31 Lei dos senos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos: sen 50º = 0,7660 e sen 80º = 0,9848 Agora vamos aplicar a lei dos senos: Logo, para cercar todo o terreno, serão necessários, aproximadamente, 50 m + 50 m + 64,3 m = 164,3 m de cerca. 12.31 Lei dos senos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R13. Calcular as medidas do lado e da diagonal maior de um losango cuja diagonal menor mede 5 cm e cujos ângulos obtusos medem 130º. 12.32
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R13. Resolução Em um losango, cada diagonal está contida nas bissetrizes dos ângulos internos, cujos vértices são extremidades dessa diagonal. Na figura ao lado, a diagonal divide o losango em dois triângulos isósceles congruentes; assim, no triângulo ABD: med(Â) = 180º – (65º + 65º) = 50º 12.32
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R13. Resolução Consultando a tabela de razões trigonométricas e aplicando a lei dos senos no triângulo ABD, temos: 12.32
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer R13. Resolução Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo AED, temos: Logo, o lado e a diagonal maior do losango medem cerca de 5,9 cm e 10,7 cm, respectivamente. Exercício resolvido 12.32
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos duas vezes o produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo formado por esses lados, isto é: Lei dos cossenos 12.33
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos cossenos a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a situação e calcular a distância entre os pontos de decolagem e de aterrissagem. Sabemos que um avião percorreu 90 km em direção ao norte, mudou de direção por um ângulo de 35º, no sentido horário, e depois percorreu 115 km até aterrissar. 12.34 Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo obtuso, temos: cos 145º = –cos (180º – 145º) = –cos 35º Consultando a tabela trigonométrica, segue: –cos 35º = –0,8192 12.34 Lei dos cossenos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos: x2 = 1152 + 902 – 2 ∙ 115 ∙ 90 ∙ cos 145º x2 = 13.225 + 8.100 – 2 ∙ 115 ∙ ∙ 90 ∙ (–0,8192) x2 = 38.282,44 x = x ≃ 195,66 km Assim, a distância entre os pontos de decolagem e de aterrissagem é, aproximadamente, 195,66 km. 12.34 Lei dos cossenos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Vamos determinar as medidas a, x e y no triângulo abaixo. Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo obtuso, temos: cos 120º = –cos (180º – 120º) = –cos 60º Então: cos 120º = –0,5 12.35 Lei dos cossenos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos: 12.35 Assim, podemos determinar a medida y: Lei dos cossenos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o , temos: Logo: a = 12.35 Lei dos cossenos Exemplos
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Área de superfície triangular No triângulo retângulo AHB da figura, Substituindo h na fórmula da área: área = Do mesmo modo, podemos obter: área = e área = 12.36
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Área de superfície triangular Em uma superfície (ou região) triangular, a área é igual ao semiproduto das medidas de dois de seus lados pelo seno do ângulo determinado por eles, isto é: 12.36 área = , área = e área =
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Área de superfície triangular Vamos calcular a área de uma superfície triangular (ou de um triângulo), sabendo que dois de seus lados medem 4 cm e 6 cm e o ângulo formado por eles mede 30º. Temos: sen 30º = 0,5 Aplicando a fórmula da área: Então, a área do triângulo é 6 cm2 . Exemplo 12.36 área = = 6
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R14. Determinar a área do triângulo ABC da figura. Resolução 12.37 sen 48º = (5,4)2 ≃ 42 + c2 ⇒ c ≃ 3,6 área ≃ ≃ 13,18 A área do triângulo, portanto, é aproximadamente 13,18 cm2 .
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510 Fax (0__11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012

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Trigonometria.ppt.pdf no Triângulo Retângulo

  • 1.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Capítulo 12 Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer
  • 2.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Observe que os triângulos retângulos BGF, BED, BAC e BPT são semelhantes, pois têm ângulos correspondentes. Semelhança de triângulos retângulos 12.1
  • 3.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Semelhança de triângulos retângulos 12.1 Assim, podemos escrever a seguinte proporção:
  • 4.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer medida do cateto oposto a α medida da hipotenusa sen α = medida do cateto adjacente a α medida da hipotenusa cos α = medida do cateto oposto a α medida do cateto adjacente a α tg α = 12.2 Seno, cosseno e tangente do ângulo α
  • 5.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo α do triângulo retângulo ABC a seguir. Considerando o ângulo α, o cateto oposto é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é . Exemplos 12.3 Seno, cosseno e tangente do ângulo α
  • 6.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Aplicando as definições, obtemos: medida do cateto oposto a α medida da hipotenusa sen α = = = 0,6 3 5 medida do cateto adjacente a α medida da hipotenusa cos α = = = 0,8 4 5 medida do cateto oposto a α medida do cateto adjacente a α tg α = = = 0,75 3 4 12.3 Exemplos Seno, cosseno e tangente do ângulo α
  • 7.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo β. Em relação ao ângulo β, o cateto oposto é AB, o cateto adjacente é AC e a hipotenusa é CB. 12.4 Exemplos Seno, cosseno e tangente do ângulo β
  • 8.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Aplicando as definições, obtemos: medida do cateto oposto a β medida da hipotenusa sen β = = = 0,8 4 5 medida do cateto adjacente a β medida da hipotenusa cos β = = = 0,6 3 5 medida do cateto oposto a β medida do cateto adjacente a β tg β = = 1,33 4 3 12.4 Exemplos Seno, cosseno e tangente do ângulo β
  • 9.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos sen α = b a cos α = c a tg β = c b sen β = c a cos β = b a tg α = b c 12.5 No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, as razões trigonométricas que envolvem os ângulos agudos α e β são:
  • 10.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Os ângulos agudos α e β são complementares, pois a soma de suas medidas é 90º. Assim, podemos escrever β em função de α: β = 90º – α. Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.5
  • 11.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer sen α = cos β = cos (90º − α) Note também que sen α = e cos β = , então temos: sen α = cos β. Substituindo β por 90º – α na última igualdade, temos: Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos b a b a 12.5
  • 12.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Substituindo β por 90º – α nessa igualdade, temos: Também vale a relação: sen2 α + cos2 α = 1 cos α = sen β = sen (90º − α) Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.5 Observe também que cos a e sen β = , então temos: cos α = sen β. c a c a
  • 13.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Demonstração No triângulo ABC, sabemos que sen α = e cos α = . Assim: Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo ABC temos: a2 = b2 + c2 (II) Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos c a 12.6 b a
  • 14.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Demonstração De (I) e (II), podemos escrever: Portanto, quaisquer que sejam as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, vale a igualdade: Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos sen2 α + cos2 α = 1 sen2 α + cos2 α = = = 1 b2 + c2 a2 a2 a2 12.6
  • 15.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Retomando o triângulo ABC, vamos relacionar o seno e o cosseno do ângulo agudo α com sua tangente. Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.7
  • 16.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Também podemos escrever c em função de cos α: Sabemos que sen α = , cos α = e tg α = ; então podemos escrever b em função de sen α: 12.7
  • 17.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Substituindo (I) e (II) na razão que fornece a tangente de α, temos: Assim, concluímos: 12.7
  • 18.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Seno e cosseno de ângulos complementares Seno e cosseno de um ângulo Seno, cosseno e tangente de um ângulo sen α = cos (900 – α) cos α = sen (900 – α) sen2 α + cos2 α = 1 12.8
  • 19.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras: a2 = 62 + 42 ⟹ a2 = 36 + 16 ⟹ a = Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 4 cm. 12.9 Exemplo
  • 20.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos 12.9
  • 21.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R1. Na dança folclórica do trança-fitas, geralmente se usa um mastro de 3 m de altura. Para certa passagem da dança, é preciso formar um ângulo de 30º entre a fita esticada (com uma ponta na extremidade superior do mastro e a outra ponta no chão) e o piso horizontal. Sabendo que sen 30º = 0,5, determinar o comprimento da fita e a distância da ponta ao mastro. 12.10 JUCA MARTINS/OLHAR IMAGEM
  • 22.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R1. Resolução No esquema a seguir, c representa o comprimento da fita e d, a distância pedida. 12.10 Então:
  • 23.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R1. Resolução Pelo teorema de Pitágoras: d2 + 32 = 62 ⇒ d2 = 27 ⇒ d = ⇒ d ≃ 5,2 Portanto, a fita tem 6 metros de comprimento e a sua ponta fica a 5,2 metros do mastro, aproximadamente. 12.10
  • 24.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Resolução Aplicando a relação sen2 α + cos2 α = 1, temos: Como α é agudo, α pode ser um dos ângulos de um triângulo retângulo, logo, cos α e sen α são razões entre os lados do triângulo e, portanto, são positivos. Então, cos α = R2. Dado sen α = , com o α agudo, determinar cos α. Exercício resolvido 12.11
  • 25.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Ângulos notáveis Exemplo Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 45º. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 = x2 + x2 , ou seja, y = x . Usando as definições de seno, cosseno e tangente, temos: 12.12 ▪ ▪
  • 26.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Ângulos notáveis sen 60º = ; cos 60º = ; 12.12 Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de 60º e 30º. Pela figura, temos: ▪ ▪ ▪ Como os ângulos de 30º e 60º são complementares, resulta:
  • 27.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Ângulos notáveis 30o 45o 60o Seno Cosseno Tangente 1 12.13
  • 28.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Vamos imaginar que um foguete foi lançado formando com o solo um ângulo de 45º. Depois de percorrer 1.000 m em linha reta, a que altura o foguete estava do chão? Para melhor visualizar a situação, é interessante fazer um esboço: 12.14 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
  • 29.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Neste caso, para calcular a altura (h) do foguete, usamos o seno de 45º: Considerando = 1,41, obtemos: h = 705 O foguete estava a 705 m do chão. 12.14 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
  • 30.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Uma das extremidades de um cabo de aço está presa ao topo de um poste, formando um ângulo de 30º, enquanto a outra extremidade está fixada no chão a 5 m do pé do poste. Qual é o comprimento (c) do cabo de aço? Qual é a altura (h) do poste? 12.15 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
  • 31.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Neste caso, para calcular o comprimento (c) do cabo, usamos o seno de 30º. O cabo de aço mede 10 m. 12.15 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
  • 32.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Considerando , obtemos: h = 8,65 A altura do poste é 8,65 m. 12.15 b) Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º. Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
  • 33.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer c) Um barqueiro pretendia ir de uma margem à outra de um rio pela travessia mais curta possível. No entanto, a correnteza o arrastou 24 m além do atracadouro. Do local aonde o barco chegou, avista-se o ponto de partida de um ângulo de 60º em relação à margem onde o barqueiro está. Qual é a largura (r) do rio? 12.16 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
  • 34.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer c) Para melhor visualizar a situação, fazemos um esboço: Neste caso, para calcular a largura, usamos a tangente de 60º: Considerando = 1,73, obtemos: r = 41,52. Logo, a largura do rio é 41,52 m. 12.16 Aplicações das razões trigonométricas Exemplos
  • 35.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Resolução O lado oposto ao ângulo de 60º mede aproximadamente 26 cm e o menor lado adjacente mede 15 cm. Exercício resolvido R3. Determinar a medida dos outros dois lados do esquadro de 60º. 12.17
  • 36.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R4. Determinar a medida de CB, no triângulo abaixo, sabendo que DE = DC e AB = 1. 12.18
  • 37.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R4. Resolução Como DE = DC, então: No triângulo DCE temos: No triângulo ABC, os ângulos α e β são complementares, então β = 45º. Logo, o triângulo ABC é retângulo isósceles e CB = 1. 12.18
  • 38.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R5. Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. Determinar as medidas de x e de y. 12.19
  • 39.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R5. Resolução Δ ABC: tg 30º = (I) Δ ABD: tg 60o = (II) ▪ Substituindo (II) em (I), obtemos: Daí: y = 1 m Como x = , resulta: m 12.19
  • 40.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Aplicações das razões trigonométricas e/ou calculadora científica Esporte. Sabendo que as distâncias oficiais entre as balizas de um campo de futebol são 2,44 m, entre a baliza horizontal e o solo, e 7,32 m, entre as balizas verticais, e que a marca do pênalti (B) está a 11 m do meio (P) da linha de gol, vamos determinar o maior ângulo, em relação à reta , Com que um jogador pode cobrar um pênalti, chutando rasteiro, e ter a possibilidade de marcar um gol. 12.20
  • 41.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Aplicações das razões trigonométricas e/ou calculadora científica Então, para ter a possibilidade de, chutando rasteiro, marcar o gol, o jogador deve chutar a bola com um ângulo de menos de 18º com a reta que passa pela marca do pênalti e pelo meio da linha do gol. 12.20 Distância entre as balizas verticais: 7,32 m Distância da marca do pênalti até o meio da linha de gol: 11 m Metade da distância entre as balizas verticais: m = 3,66 m 7,32 2 tg α = = 0,3327 7,32 2
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R6. Um fio de 15 m de comprimento, esticado, eleva uma pipa até a altura de 6,8 m. Qual é o ângulo formado entre o fio e o solo? 12.21
  • 43.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R6. Resolução Vamos determinar o seno de α: Consultando a tabela, temos Então, o fio forma um ângulo de aproximadamente 27º com o solo. 12.21
  • 44.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R7. Numa determinada hora do dia, a luz do sol incide sobre uma estaca fincada verticalmente no solo. Os raios solares formam com a estaca um ângulo de 75º, e o comprimento da sombra projetada no solo é 3,5 m. Qual é a altura dessa estaca? 12.22
  • 45.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R7. Resolução De acordo com o esboço abaixo, devemos usar a tangente de 75º. Consultando a tabela, tg 75º = 3,7321. Logo: 12.22 m
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R8. No triângulo ABC abaixo, determinar as medidas x e y. 12.23
  • 47.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R8. Resolução De acordo com a figura e com a tabela de razões trigonométricas, temos: 12.23
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R9. Qual é a medida aproximada do ângulo de uma rampa para pedestres com inclinação de 10% que liga o pavimento térreo ao primeiro andar de um prédio? 12.24
  • 49.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R9. Resolução Uma rampa ter inclinação de 10%, ou 0,1, significa que a tangente do ângulo agudo que a rampa forma com o piso inferior é igual a 0,1. Assim, de acordo com o problema, tg α = 0,1. Pela tabela de razões trigonométricas, a tangente mais próxima desse valor é 0,1051, que corresponde ao ângulo de 6º. 12.24
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R10. A construção de um tipo de rampa para skatistas obedece ao seguinte padrão: a inclinação é de 23º com o solo, o comprimento horizontal é 1,70 m e a plataforma superior tem 0,30 m. Qual é a altura dessa rampa? 12.25
  • 51.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R10. Resolução Vamos iniciar fazendo um esboço. Daí segue que: Logo, a rampa tem aproximadamente 0,59 m de altura. 12.25
  • 52.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R11. Em certo ponto de uma das margens de um rio de margens paralelas, avista-se na outra margem, bem em frente, em linha reta, uma determinada árvore. Caminhando 200 m pela margem, avista-se essa mesma árvore sob um ângulo de 60º. Qual é a largura aproximada do rio? 12.26
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R11. Resolução 12.26
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R12. Um jogador de futebol, ao cobrar um escanteio, coloca, em um chute rasteiro e em linha reta, a bola nos pés de um companheiro de time que está sobre a marca de pênalti na área adversária. Sabendo que a linha de fundo mede 75 m e a distância entre o meio dessa linha e a marca de pênalti é 11 m, determine qual foi o ângulo do chute em relação à linha de fundo. 12.27
  • 55.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R12. Resolução A marca de pênalti está centralizada em frente ao gol, à distância de 11 m. Do canto de onde é cobrado o escanteio até o meio da linha do gol, que está situado em frente à marca de pênalti, temos 37,5 m de distância. Portanto, para determinar o ângulo, devemos calcular sua tangente. 12.27
  • 56.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Seno e cosseno de ângulos obtusos 12.28
  • 57.
    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Seno e cosseno de ângulos obtusos Exemplos a) Vamos determinar o valor do seno de 150º. sen 150º = sen (180º – 150º) = sen 30º Logo: sen 150º = b) Vamos determinar o valor do cosseno de 150º. cos 150º = –cos (180º – 150º) = –cos 30º Portanto: –cos 150º = – 12.28
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos senos 12.29 Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles, isto é:
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos senos a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a situação e determinar a medida do ângulo e as distâncias OC e PC (comprimento do fio). 12.30 Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos senos a) Para calcular a medida do ângulo , fazemos: med( ) = 180º – (49º + 30º) = 101º Aplicando o conceito do seno de um ângulo obtuso, temos: sen 101º = sen (180º – 101º) = sen 79º 12.30 Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos: sen 79º ≃ 0,98 e sen 49º ≃ 0,75 Aplicando a lei dos senos, temos: 12.30 Lei dos senos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Assim, a medida do ângulo é 101º, a distância OC é aproximadamente 43,12 m e o comprimento PC do fio é, aproximadamente, 33 m. 12.30 Lei dos senos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Dois lados de um terreno triangular medem 50 m e formam entre si um ângulo de 80º. Sabendo que o proprietário pretende construir uma cerca ao redor do terreno, vamos calcular a metragem total da cerca. Observe a representação dessa situação na figura. Como o triângulo é isósceles, os ângulos da base medem 50º. 12.31 Lei dos senos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos: sen 50º = 0,7660 e sen 80º = 0,9848 Agora vamos aplicar a lei dos senos: Logo, para cercar todo o terreno, serão necessários, aproximadamente, 50 m + 50 m + 64,3 m = 164,3 m de cerca. 12.31 Lei dos senos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R13. Calcular as medidas do lado e da diagonal maior de um losango cuja diagonal menor mede 5 cm e cujos ângulos obtusos medem 130º. 12.32
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R13. Resolução Em um losango, cada diagonal está contida nas bissetrizes dos ângulos internos, cujos vértices são extremidades dessa diagonal. Na figura ao lado, a diagonal divide o losango em dois triângulos isósceles congruentes; assim, no triângulo ABD: med(Â) = 180º – (65º + 65º) = 50º 12.32
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R13. Resolução Consultando a tabela de razões trigonométricas e aplicando a lei dos senos no triângulo ABD, temos: 12.32
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer R13. Resolução Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo AED, temos: Logo, o lado e a diagonal maior do losango medem cerca de 5,9 cm e 10,7 cm, respectivamente. Exercício resolvido 12.32
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos duas vezes o produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo formado por esses lados, isto é: Lei dos cossenos 12.33
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Lei dos cossenos a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a situação e calcular a distância entre os pontos de decolagem e de aterrissagem. Sabemos que um avião percorreu 90 km em direção ao norte, mudou de direção por um ângulo de 35º, no sentido horário, e depois percorreu 115 km até aterrissar. 12.34 Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo obtuso, temos: cos 145º = –cos (180º – 145º) = –cos 35º Consultando a tabela trigonométrica, segue: –cos 35º = –0,8192 12.34 Lei dos cossenos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer a) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos: x2 = 1152 + 902 – 2 ∙ 115 ∙ 90 ∙ cos 145º x2 = 13.225 + 8.100 – 2 ∙ 115 ∙ ∙ 90 ∙ (–0,8192) x2 = 38.282,44 x = x ≃ 195,66 km Assim, a distância entre os pontos de decolagem e de aterrissagem é, aproximadamente, 195,66 km. 12.34 Lei dos cossenos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Vamos determinar as medidas a, x e y no triângulo abaixo. Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo obtuso, temos: cos 120º = –cos (180º – 120º) = –cos 60º Então: cos 120º = –0,5 12.35 Lei dos cossenos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos: 12.35 Assim, podemos determinar a medida y: Lei dos cossenos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer b) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o , temos: Logo: a = 12.35 Lei dos cossenos Exemplos
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Área de superfície triangular No triângulo retângulo AHB da figura, Substituindo h na fórmula da área: área = Do mesmo modo, podemos obter: área = e área = 12.36
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Área de superfície triangular Em uma superfície (ou região) triangular, a área é igual ao semiproduto das medidas de dois de seus lados pelo seno do ângulo determinado por eles, isto é: 12.36 área = , área = e área =
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Área de superfície triangular Vamos calcular a área de uma superfície triangular (ou de um triângulo), sabendo que dois de seus lados medem 4 cm e 6 cm e o ângulo formado por eles mede 30º. Temos: sen 30º = 0,5 Aplicando a fórmula da área: Então, a área do triângulo é 6 cm2 . Exemplo 12.36 área = = 6
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer 12.1 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo retângulo e em um triângulo qualquer Exercício resolvido R14. Determinar a área do triângulo ABC da figura. Resolução 12.37 sen 48º = (5,4)2 ≃ 42 + c2 ⇒ c ≃ 3,6 área ≃ ≃ 13,18 A área do triângulo, portanto, é aproximadamente 13,18 cm2 .
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    CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕESEM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510 Fax (0__11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012