Texto f1

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DO FUNDÃO
Física e Química
Cursos Profissionais Ano letivo 2018/2019
Física e Química
Módulo 1 – Forças e
Movimentos
Trabalho e Energia

Agrupamento de Escolas do Fundão Física e Química
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Parte I – Forças e Movimentos
1. Física e o estudo da interação entre os corpos
1.1 Interações à distância e de contacto
O conceito de força explica as interações entre corpos e os movimentos
causados por elas. Se empurrarmos ou puxarmos um carrinho sobre uma
mesa, como mostra a figura, fazemos com que ele se mova numa dada
direção e sentido. Dizemos que estamos a exercer uma força sobre o carro.
Uma força pode ser, portanto, um simples puxão ou empurrão. A força sobre
o carrinho é exercida pela mão.
Uma força está sempre associada a uma interação entre dois corpos: um corpo exerce a força e outro sofre a
ação dessa força.
Podemos também puxar ou empurrar o mesmo carrinho sem o agarrar, usando, por exemplo, dois ímanes. Para
facilitar a operação, convém fixar um íman ao carrinho e mover este, para a frente ou para trás, com a ajuda do
segundo íman.

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Um íman tem um polo norte e um polo sul. Polos com o mesmo nome repelem-se e polos com nomes diferentes
atraem-se.
Os ímanes exercem entre si forças magnéticas.
Por outro lado, se friccionarmos um balão numa camisola de lã e o aproximarmos
de bocadinhos de papel, vemos que estes são atraídos para o balão. Neste caso,
dizemos que atuam forças elétricas.
Se o agente que exerce a força entra em contacto com o objeto onde esta atua, como acontece quando se chuta
uma bola, a força é de contacto. Se isso não acontecer, como é o caso das forças magnéticas e elétricas, a força é à
distância.
Há uma outra força à distância bastante evidente para todos os dias ocorre à nossa frente: ela manifesta-se
quando um corpo, por exemplo uma maçã, cai. A queda de uma maçã de uma macieira deve-se à interação entre o
planeta Terra e a maçã. Esta interação, como veremos melhor adiante, é do mesmo tipo da que existe entre a Terra e
a Lua e entre a Terra e o Sol. À força que existe entre um corpo à superfície da Terra e a Terra, ou entre a Terra e a
Lua, ou entre a Terra e o Sol, dá-se o nome de força gravítica ou força gravitacional. À força gravítica exercida pela
Terra sobre todos os corpos que se encontram à sua superfície ou perto dela também se chama Peso. Trata-se de
uma força à distância, pois a massa da Terra pode considerar-se concentrada no seu centro e os referidos corpos
estão muito longe desse centro.
Como já se sabe de estudos anteriores, as forças são grandezas vetoriais e, por isso, são representadas por
vetores. Também já se sabe que a unidade de força no Sistema Internacional (SI) é o newton (N).
O peso deve ser representado por um vetor que aponta na direção da vertical de lugar, de cima para baixo, isto é,
para o centro do nosso planeta.

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Repare-se que o peso, ou qualquer outra força, não é uma característica de um corpo. Ao dizermos “peso de um
corpo” parece que o peso é uma propriedade do corpo, mas não é! De facto, o peso só existe em resultado da
interação entre o corpo e a Terra.
Quando um corpo está apoiado numa mesa, além do seu peso – a força à distância exercida pela Terra sobre o
corpo – há também uma força de contacto entre o corpo e a mesa: a força normal (normal significa perpendicular ao
suporte do corpo) exercida pela mesa, que está representada na figura seguinte. É essa força que impede o corpo de
penetrar no interior da mesa.
1.2 Forças fundamentais da Natureza
Ao verificar que o peso é a força gravítica que a Terra exerce sobre qualquer corpo perto dela, Newton uniu forças
que atuam nos céus – as forças entre astros – e uma força que atua na Terra. Tal como Newton, os físicos sempre
tentaram descobrir as forças da Natureza, procurando, por um lado, distinguir os vários tipos de forças e, por outro,
encontrar uma unidade entre elas.
A força gravítica é conhecida desde os tempos mais remotos pois o homem sempre viu corpos caírem para a
Terra. O filósofo grego Aristóteles, quatro séculos antes de Cristo, resumiu as observações efetuadas até então sobre
a queda dos corpos, afirmando que os corpos maiores eram mais pesados e caíam mais rapidamente para a terra. As
observações e as reflexões de Galileu, no século XVII, levaram à alteração desta maneira de pensar: no vazio todos
os corpos, grandes ou pequenos, caem com a mesma velocidade. Mas foi apenas com Newton, que viveu logo a

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seguir a Galileu, que se passou a entender melhor a força gravítica, descrita por uma expressão matemática, e que se
passou a explicar, também de uma maneira matemática, o movimento dos corpos.
No tempo dos antigos gregos conheciam-se também outras forças, como as forças magnéticas entre ímanes,
que se exercem à distância. A palavra íman significa “pedra que ama” (pedra que é atraída por outra do mesmo
género). Os primeiros ímanes foram encontrados na região da Magnésia, onde hoje é a Turquia. É por isso que as
forças entre os ímanes se chamam magnéticas.
Foi ainda no tempo dos gregos que se encontrou uma resina fóssil, o âmbar, que tinha uma propriedade
semelhante às pedras da Magnésia, pois também atraía outros corpos. Um pedaço de âmbar friccionado podia atrair
ou repelir pequenos objetos, tal como no balão da figura ou num pente. Neste caso, as forças em jogo, que se
manifestavam à distância, eram forças elétricas. A força elétrica deve-se à presença no interior da matéria de cargas
elétricas que, como hoje sabemos, podem ser positivas ou negativas. O eletrão tem carga negativa e é curioso referir
que “elektron” era o nome grego de âmbar.
As forças elétricas e as forças magnéticas estão intimamente relacionadas. Por isso falamos de forças
eletromagnéticas e de eletromagnetismo, a parte da física que estuda as forças eletromagnéticas.
Só no século XX, ao pesquisar o interior dos átomos que formam toda a
matéria, descobriram-se duas novas forças: a força nuclear forte e a força
nuclear fraca. A força nuclear forte é a responsável pela união de protões e
neutrões para formar o núcleo atómico. A força nuclear fraca é responsável pelo
processo radioativo (isto é, transformação de um núcleo atómico noutro), em que
um neutrão passa a um protão ou vice-versa.

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As forças nucleares, forte e fraca, são forças à distância, mas apenas se exercem a distâncias bastante inferiores
à da dimensão do núcleo atómico.
Não se conhecem hoje forças fundamentais para além das que foram indicadas. As forças de contacto, como a
que se exerce entre a mão e o carrinho, ou a que se exerce entre um corpo e a sua base de apoio, não são forças
fundamentais, mas sim o resultado de forças eletromagnéticas entre as partículas dos corpos em contacto. De facto,
os corpos ao nível microscópico não estão rigorosamente em contacto porque as forças eletromagnéticas, tal como
todas as forças fundamentais, atuam à distância…
São, portanto, quatro, as forças fundamentais da natureza que indicamos por ordem de “entrada em cena” na
história da Física: força gravítica, força eletromagnética, força nuclear forte e força nuclear fraca.
Por ordem decrescente de intensidade, vem a força nuclear forte, a força eletromagnética, a força nuclear fraca e
a força gravítica, que bem podia ser chamada de fraquíssima…
As forças fundamentais são caracterizadas não só pela sua intensidade mas também pelo seu alcance. As forças
gravítica e eletromagnética possuem um alcance infinito, pois exercem-se até às maiores distâncias. As duas forças
nucleares exercem-se apenas a distâncias muito curtas.
1.3 Pares Ação-Reação e Terceira Lei de Newton
Se uma força traduz uma interação entre dois corpos, podemos interrogarmo-nos: pode existir isoladamente ou as
forças existem sempre aos pares?
Quando uma pessoa dá um murro numa mesa, magoa-se. E quanto
maior for o murro, mais se magoa. Por que será? A pessoa interage com a
mesa, exercendo uma força sobre ela. Mas, se essa força está aplicada na
mesa, não deveria ser a mesa a “magoar-se” e não a pessoa? Acontece
que, quando a mão exerce uma força sobre a mesa, esta reage e exerce
uma força sobre a mão. E, quanto maior for a força exercida na mesa, maior
será a força que a mesa exerce sobre a mão. É a força exercida pela mesa
sobre a mão que causa a dor na pessoa.
Podemos verificar este facto para outras forças. Já vimos que, quando aproximamos dois ímanes, eles movem-se.
Tal acontece porque sobre cada um deles atuou uma força. O íman A é puxado pelo íman B com uma força que se
representa por ABF /

, ao passo que o íman B é puxado pelo íman A por uma força representada por BAF /

. Verifica-se

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experimentalmente que estas duas forças têm intensidades iguais. As duas forças, iguais em módulo, têm a mesma
direção mas sentidos opostos. E estão, claro, aplicadas em corpos diferentes.
Repare-se que o símbolo ABF /

se lê “força que B exerce sobre A” e o símbolo BAF /

se lê “força que A exerce
sobre B”. Com esta notação indica-se não só uma força que resulta de uma interação entre A e B, mas também qual o
corpo que exerce a força (representado pelo primeiro índice) e qual o corpo que sofre a ação da força (representado
pelo segundo índice).
Também quando um corpo cai para a Terra, esta exerce uma força cTF /

sobre o corpo (o seu peso, responsável
pela queda) e o corpo exerce uma força TcF /

sobre ela. As duas forças são
simétricas, isto é, têm módulo igual mas sentidos contrários. Mas, se atua uma
força sobre a Terra, por que não a vemos mover-se sob a ação dessa força?
Simplesmente porque a sua massa é muito grande! Do mesmo modo, se
aplicarmos uma certa força a um carrinho de brinquedo podemos pô-lo em
movimento mas, se aplicarmos a mesma força a um carro a sério, ele
provavelmente não sairá do sítio.
Em resumo, não há forças isoladas: elas aparecem sempre aos pares! A cada par chama-se par ação-reação, e
tanto faz chamar ação a uma força e reação à outra, ou vice-versa.
A Terceira Lei de Newton ou Lei de Ação-Reação exprime este facto geral da Natureza:
Quando um corpo exerce uma força sobre outro, este exerce também sobre o primeiro uma força de igual módulo
e direção mas de sentidos contrários.
Note-se que, apesar da soma das duas forças do par Ação-Reação ser nula, o seu efeito não é nulo, pois elas
estão aplicadas em corpos diferentes.
A Terceira Lei de Newton aplica-se a todas as forças, quer sejam de contacto quer sejam à distância. Podemos
analisar o exemplo da maçã da figura em baixo. Há duas interações em jogo: a interação maçã-Terra e a interação
maçã-mesa. Devido à interação maçã-Terra existem duas forças simétricas aplicadas, uma na maçã e outra na Terra,
que se representam por P

e 'P

. E o que acontece em relação à interação maçã-mesa? A força normal N

, aplicada
na maçã, é exercida pela mesa; contudo, a maçã também exerce uma força sobre a mesa 'N

, simétrica à anterior.

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A maçã não penetra na mesa nem
começa a levitar porque as forças P

e N

são
iguais em módulo e, por isso, o seu efeito
total é nulo. Mas não constituem um par
ação-reação, pois são forças aplicadas no
mesmo corpo.
2. Movimento unidimensional com velocidade constante
2.1. Características do movimento unidimensional
Para descrever o movimento de um corpo, é necessário conhecer a sua posição (coordenadas) em cada instante
(tempo), a direção, o sentido e a rapidez com que se efetua.
Num movimento retilíneo (a uma única dimensão), a posição do corpo, qualquer instante, pode ser determinada
com o auxílio de uma única régua, colocada na direção do movimento, como se ilustra na figura: o flamingo deslocou-
se em linha reta desde a posição Ox (origem do eixo de referência), até uma posição que dista 100 m de O (x=100 m).
Numa aula o professor colocou a seguinte questão a um aluno: saindo do portão da escola, onde fica a biblioteca
municipal?
A esta questão, um aluno respondeu do seguinte modo: “Anda-se primeiro 300m, depois mais uns 200m e, por
último 100m”.
Na figura seguinte indica-se algumas respostas possíveis do aluno.

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Para encontrar a biblioteca, se se pudessem efetuar todos os percursos, seria necessário indicar a direção e o
sentido em que cada um seria descrito.
O espaço a percorrer, sobre a trajetória, desde a escola até à biblioteca é de 600 m, para todos os percursos
indicados na figura, embora as trajetórias sejam diferentes.
A distância percorrida, ou espaço percorrido, é uma grandeza física escalar,
sempre positiva, no Sistema Internacional exprime-se em metros (m).
Suponhamos duas localidades, A e B, ligadas pelas estradas indicadas na figura e
dois automóveis a partirem em simultâneo da localidade A e a chegarem ao mesmo
tempo a B.
Certamente diria que o movimento descrito pelo automóvel que segue pela
estrada E1 é diferente do movimento descrito pelo automóvel que segue pela estrada
E2. Por outro lado, a distância percorrida pelo automóvel que segue pela estrada E1 é
superior à distância percorrida pelo automóvel que segue pela estrada E2; contudo,
estes movimentos têm algo de comum: os dois automóveis partem da mesma posição
(posição inicial) e, decorrido um certo tempo, chegam os dois ao mesmo local (posição
final), apesar das distâncias percorridas terem sido diferentes.
Dizemos, em Física, que os dois automóveis efetuam o mesmo deslocamento,
pois este depende, apenas, das posições inicial e final.
O vetor deslocamento, r , tem origem no ponto de partida e extremidade no ponto de chegada.
No caso de um movimento retilíneo o vetor deslocamento irá ter a direção do movimento.
A trajetória de um corpo é o conjunto das posições sucessivas ocupadas por ele, no decurso do
tempo.
O espaço percorrido é o comprimento do percurso efetuado. É medido sobre a trajetória. É uma
grandeza escalar traduzida por um valor numérico, sempre positivo.
O deslocamento de um corpo é uma grandeza física vetorial que indica a variação da posição do
corpo, num dado intervalo de tempo. O seu valor exprime-se, no Sistema Internacional, em
metros (m).

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Se fizermos coincidir o eixo dos xx com a direção do movimento retilíneo, o vetor deslocamento poderá ser
representado por x , e o deslocamento escalar, Δx, poderá ser obtido pela diferença entre a posição final, xf , e a
posição inicial xi.
Δx = xf – xi
Exemplo: um automóvel que se desloca ao longo de uma trajetória retilínea, tendo iniciado o seu movimento na
posição A (origem da trajetória), indo até C, com passagem por B, e regressando novamente a A.
De A a C, a distância percorrida foi de 700 m e o deslocamento escalar foi de +700 m.
m700
0700



x
x
xxx if
De C a A, a distância percorrida foi de 700 m e o deslocamento escalar foi, agora, de -700 m.
m700
)700(0



x
x
xxx if
Podemos então concluir que, enquanto as distâncias percorridas são sempre positivas, os deslocamentos
escalares podem ser positivos ou negativos. Efetivamente, a distância percorrida ao longo de uma trajetória retilínea
indica apenas o valor da medida do percurso efetuado, enquanto que o deslocamento escalar tem a vantagem de
indicar a distância a que se está de um dado ponto, como também de informar em que sentido o móvel se desloca.
Assim:
Se o deslocamento escalar é positivo, o móvel desloca-se no sentido positivo da trajetória, pois as posições
finais são maiores do que as posições iniciais (xf>xi).
Se o deslocamento escalar é negativo, o móvel desloca-se no sentido negativo da trajetória, pois as posições
finais são menores do que as posições iniciais (xf<xi).
Exercício:
Relativamente ao exemplo referido, qual terá sido o espaço percorrido e o deslocamento escalar do automóvel, desde
que saiu de A até que regressou novamente a A?

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No movimento unidimensional, o deslocamento entre dois pontos está associado à velocidade média. A
velocidade escalar média, vm, pode ser calculada dividindo o deslocamento de um móvel, Δx, pelo intervalo de
tempo correspondente, Δt:
t
x
vm



A velocidade média pode ser positiva ou negativa, pois o deslocamento também pode ser positivo ou negativo.
A unidade de velocidade, no Sistema Internacional, é o metro por segundo, m/s, embora no dia-a-dia se use muito
o km/h.
Em Física, no estudo dos movimentos, recorre-se com frequência a representações gráficas para relacionar entre
si duas grandezas como, por exemplo, distância percorrida e tempo.
Analisemos o movimento correspondente a dois automóveis, A e B, que deslocam-se 240 km numa estrada
rectilínea, no sentido considerado positivo. Para isso, a tabela que se segue fornece os dados referentes a esses
movimentos:
Automóvel A Automóvel B
Distância
percorrida (km)
Intervalo de
tempo (h)
Distância
percorrida (km)
Intervalo de
tempo (h)
0 0 0 0
80 1,0 120 1,0
160 2,0 240 2,0
200 3,0 - -
240 4,0 - -
A posição em função do tempo, no movimento unidimensional, pode ser representada num sistema de dois eixos,
correspondendo o das ordenadas à coordenada de posição e o das abcissas aos intervalos de tempo.
Por observação do gráfico, facilmente nos apercebemos que o
automóvel B se deslocou mais depressa pois percorreu, no mesmo
tempo, uma distância maior.
Se repararmos, ao fim de 1,0 h, o automóvel B tinha
percorrido 120 km, enquanto que o automóvel A só tinha percorrido
80 km. Ao fim de 2,0 h, o automóvel B tinha percorrido 240km e o
automóvel A só tinha percorrido 160 km. E assim sucessivamente.
Através do gráfico calcular o valor da velocidade média de
cada um dos automóveis, no percurso dos 240km.
A velocidade média de A terá sido constante durante todo o
movimento?
Calculando o valor da velocidade média de A, nas primeiras 2,0 h e depois, nas 2,0 h seguintes:
vm1 = 80 km/h e vm1 = 40 km/h

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Como podemos verificar, o movimento de A foi mais rápido nas primeiras 2 h, enquanto que o movimento de B foi
constante, isto é, em cada hora ele percorreu 120 km.
Na maior parte dos movimentos, a velocidade varia em cada instante. É, por isso, importante definir velocidade
instantânea.
Assim, quando se diz que o valor da velocidade de um corpo é, por exemplo, 20 m/s, no instante t=5,0 s, estamos
a referir-nos a uma velocidade instantânea.
A velocidade é uma grandeza vetorial (apresenta direção e sentido), que apenas no movimento unidirecional pode
ser expressa por um valor algébrico seguido da despectiva unidade.
2.2. Movimento uniforme
Quando um automóvel se desloca através de uma estrada retilínea, com uma velocidade constante, dizemos que
o movimento por ele efetuado é um movimento retilíneo uniforme. Retilíneo, porque a trajetória é uma reta, e
uniforme, porque apresenta velocidade constante.
Sempre que o móvel se desloca com movimento retilíneo uniforme, sem inversão de sentido, o quociente entre o
deslocamento escalar, x, e o intervalo de tempo, t, que lhe corresponde é constante.
constanteconstante 


 v
t
x
v
Como relacionar, através de uma expressão matemática, os deslocamentos e o tempo, num movimento com
velocidade constante?
A equação que relaciona o deslocamento x no intervalo de tempo t, num movimento retilíneo uniforme de
velocidade escalar v, é:
tvx  .
Se a partícula se encontra na posição x0, quando é iniciada a contagem do tempo (t=t0), a expressão acima
indicada toma a forma: x – x0 =v (t - t0), ou, se t0 = 0 s,
vtxx  0
x é a coordenada de posição da partícula no instante t e x0 a coordenada da posição da partícula no instante t0=0s.
A figura mostra o gráfico x = x(t), num movimento retilíneo uniforme – um segmento de reta. Num gráfico deste
tipo, posição-tempo, para além de se poder obter informação acerca da posição do objeto em cada instante, e
também do instante em que o objeto passou por determinada posição, é possível, através do seu declive, determinar
o valor da velocidade escalar com que o movimento é descrito.
A velocidade instantânea não é mais do que a velocidade média de um corpo calculada para
um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, para um instante.

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2.3 Primeira Lei de Newton
Se a força resultante que atuar sobre um corpo for nula, então a sua aceleração é nula: não há variação da
velocidade. Ou seja, a velocidade mantém-se constante: não varia nem em módulo nem em direção e sentido. Esta é
a Primeira Lei de Newton que se trata, afinal de um caso particular da Segunda Lei de Newton. Pode enunciar-se da
seguinte forma:
Se a força resultante que atua sobre um corpo for nula, ele manterá a sua velocidade.
Neste caso podem acontecer duas situações: se o corpo está parado, continua parado; se o corpo está animado
de uma certa velocidade, vai manter essa velocidade. Um movimento com velocidade constante é necessariamente
retilíneo e diz-se uniforme porque o seu módulo não varia. Por isso, outro enunciado possível para a Primeira Lei de
Newton é:
Se a força resultante que atua sobre um corpo for nula, o corpo ficará em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme.
Este último enunciado exprime que as situações de repouso e de movimento retilíneo uniforme são indistinguíveis.
Verificamos esse facto quando viajamos num comboio: não distinguimos se ele está em repouso ou se ele vai com
velocidade constante (em linha reta, portanto), pois nos dois casos não somos empurrados nem para a frente nem
para trás, nem para os lados, nem contra o banco.
Se o comboio não tivesse janelas não conseguiríamos sequer saber se estávamos em movimento ou parados em
relação ao solo, mesmo que a velocidade fosse grande. De facto, não somos sensíveis à velocidade, mas apenas às
variações de velocidade!
A Primeira Lei antecedeu historicamente as outras duas, sendo formulada por Galileu, que lhe chamou Lei da
Inércia. Só mais tarde foi designada de Primeira Lei de Newton.
O nome original que Galileu deu à Primeira Lei de Newton deve-se ao facto de ela estar ligada ao conceito de
inércia: quanto maior for a massa de um corpo maior será a força necessária para lhe alterar a sua velocidade.
Muitas situações do dia-a-dia podem explicar-se com base nesta lei: se viajarmos num carro e este travar,
tendemos a prosseguir o movimento com a velocidade que trazíamos. É por isso que, num automóvel, devemos
sempre usar os cintos de segurança, tanto nos bancos dianteiros como nos bancos traseiros.

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3. Movimento Unidimensional com aceleração constante
3.1 Efeito das forças sobre a velocidade
Como é que uma força modifica o movimento de um corpo sobre o qual atua? Para responder a esta questão
vamos realizar a atividade seguinte:
A atividade anterior permitiu verificar que a velocidade de um corpo é alterada sempre que exista uma força a
atuar sobre ele.
A ação de uma força altera a velocidade do corpo só em módulo, só em direção, ou em módulo e direção. Na
primeira experiência verificámos que o carrinho com velocidade inicial nula passou a mover-se mais depressa ou mais
devagar, isto é, variou o módulo da sua velocidade. Na última experiência vimos que a força, por não ter a direção da
velocidade, alterou a direção do movimento, isto é, a direção da velocidade. Podemos generalizar estas observações:
1.Se a velocidade é nula, a força faz mover o corpo.
2.Se a força tem a direção da velocidade, ela só faz variar o módulo da velocidade mas não a direção desta. Se tiver
o sentido da velocidade faz aumentar a velocidade do corpo. Se tiver o sentido oposto faz diminuir a velocidade. Em
qualquer destes casos o movimento é sempre retilíneo.

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3.Se a força não tiver a direção da velocidade, faz mudar a direção da velocidade e o movimento é curvilíneo. Neste
caso, pode decompor-se a força segundo duas direções perpendiculares: uma componente, na direção da velocidade
e a outra na direção perpendicular. A componente da força na direção da velocidade, xF , faz variar o módulo da
velocidade. A componente na direção perpendicular, yF , faz mudar a direção da velocidade.
Um caso particular é o da força que atua perpendicularmente à velocidade: ela só faz variar a direção da
velocidade mas não o seu módulo. Um exemplo é o movimento aproximadamente circular da Lua à volta da Terra.
3.2 Movimento uniformemente variado
Vimos que uma força faz variar a velocidade. Como podemos caracterizar essas variações?
Todos temos a noção de que, quando um carro acelera, o seu velocímetro marca valores cada vez maiores: o
módulo da sua velocidade aumenta e o movimento diz-se acelerado. Se o carro trava, o velocímetro marca valores
cada vez menores: o módulo da velocidade diminui e o movimento diz-se retardado.
Suponhamos que o carro se move em linha reta e que, num dado intervalo de tempo, t , a velocidade sofre uma
variação v

 . A grandeza física associada à variação de velocidade num dado intervalo de tempo é a aceleração
média:
t
v
am





Como t é sempre positivo, ma

é sempre um vetor com a direção e sentido de v

 . A unidade SI da aceleração é
o metro por segundo quadrado (
2
sm ).

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Vamos exemplificar para um movimento retilíneo. Suponhamos um carro cujo velocímetro marca 72km/h.
Passados 5 s, o velocímetro passa a marcar 90 km/h. A variação de velocidade é 12 vvv

 , um vetor que aponta
para a direita (sentido convencionado como positivo na figura) uma vez que 2v

é maior que 1v

. Como ma

e v

 têm,
por definição de aceleração média, a mesma direção e sentido, ma

aponta também para a direita.
Mudando o módulo das velocidades para unidades SI fica,
1
1 20 
 smv e
1
2 25 
 smv . A variação da
projeção escalar da velocidade é
1
52025 
 smv . Então, a projeção escalar da aceleração média é positiva e
igual a:
2
1
5
5 



 sm
t
v
am
Se o mesmo carro viajasse, tal como antes, a 20 m s-1 e, passados 10 segundos, reduzisse a velocidade para 5 m
s-1, obteríamos
1
15205 
 smv , donde:
2
5,1
10
15 





 sm
t
v
am
Isto é, a projeção escalar da aceleração média é negativa. Neste caso (de movimento retardado), o vetor ma

é
contrário à velocidade v

.
Se o movimento for retilíneo, a projeção da aceleração a

, que se designa por a , pode ser, tal como a projeção
escalar da aceleração média, positiva ou negativa. Os vetores a

e v

num dado instante estão relacionados:

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- se apontarem no mesmo sentido, o movimento é acelerado e as projeções escalares a e v são ambas
positivas (movimento no sentido positivo) ou ambas negativas (movimento no sentido negativo).
- se apontarem em sentidos opostos, o movimento é retardado e as projeções escalares a e v têm sinais
contrários.
Um movimento variado é o movimento de um corpo que se desloca em linha reta, com um valor de velocidade
que varia uniformemente no tempo. Nesse caso, o movimento apresenta aceleração constante.
Um movimento retilíneo uniformemente variado apresenta
aceleração constante:
)( ifif
if
if
ttavv
tt
vv
a 



se a contagem se iniciar em t=0, a expressão toma a forma:
atvv  0 Equação das velocidades
A representação num gráfico velocidade–tempo, v=v(t), é
um segmento de reta.
Tal como no movimento retilíneo uniforme, nestes tipos de movimento é possível determinar o deslocamento
efetuado, através da área subtensa do segmento de reta v=v(t) num certo percurso. A área é dada por:
2000
2
1
22
attvxt
atvv
t
vv
x o 




 0xx 2
2
1
attvo  Equação das posições
a representação gráfica da posição em função do tempo para o movimento unidimensional com aceleração constante
tem como resultado uma curva.

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3.3 Segunda Lei de Newton
Já sabemos que uma força provoca uma mudança de velocidade, ou seja, uma aceleração. Há pois, uma relação
estreita entre força e aceleração. Como quantificar esta relação?
O que acontece se aplicarmos a mesma força a corpos de diferentes massas? Verifica-se que quanto maior for a
massa do corpo, menor será a aceleração que ele adquire.
Ou seja, um corpo de maior massa adquire menor aceleração, isto é, a sua variação de velocidade é menor.
Dizemos, por isso, que a massa mede a resistência de um corpo à mudança de velocidade. A característica de
resistência à mudança de velocidade, ou tendência para manter a mesma velocidade, é chamada inércia do corpo. A
massa que aparece na Segunda Lei de Newton é designada por massa inercial.
O que acontece se aplicarmos forças diferentes ao mesmo corpo? Verifica-se que quanto maior for a força
aplicada, maior será a aceleração adquirida pelo corpo.
A Lei Fundamental da Dinâmica ou Segunda Lei de Newton explica o comportamento de um corpo quando
sobre ele atua uma força constante ou um sistema de forças cuja resultante é diferente de zero, relacionando a
resultante das forças que atuam sobre o corpo com a aceleração que ele adquire, e pode resumir-se com a expressão
seguinte:
𝐹⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗
Uma força aplicada num corpo imprime-lhe uma aceleração com a mesma direção e sentido da força (a massa,
m, do corpo é uma grandeza sempre positiva.)
Se atuarem conjuntamente várias forças, esta relação ainda se verifica.
Foi o Inglês Isaac Newton que estabeleceu a relação entre a força e a aceleração, válida para qualquer corpo de
massa constante: a força resultante, RF

(resultado da soma de todas as forças que atuam no corpo), que atua num
corpo de massa m , e a aceleração, a

, que ele adquire:
𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗
Exemplos:

19
4. Introdução ao Movimento no Plano
A situação mais comum da nossa experiência quotidiana em que atua uma força constante corresponde ao
movimento de um corpo sob a ação do seu peso.
Se lançarmos um corpo de um certo local e com uma certa velocidade, o que é que lhe irá suceder? Como é que se
irá movimentar?
A forma da trajetória de um projétil depende das condições iniciais do movimento.

20
Em que condições podemos estudar o movimento de um corpo, sob a ação da força gravítica, como se de uma
força constante se tratasse?
Podemos considerar que o movimento de um projétil é governado por uma força constante quando:
I) se possa desprezar o efeito da resistência do ar;
II) o deslocamento horizontal máximo (alcance) e o deslocamento sejam de uma ordem de grandeza muito
menor do que a do raio terrestre;
III) o intervalo de tempo em que o corpo se encontra no ar seja de uma ordem de grandeza muito menor do que a
do período de rotação terrestre.
Exercício:
Marca as forças que estão a atuar na rolha da garrafa
representada na figura ao lado:
Como vimos anteriormente todos os corpos que se deslocam nas proximidades da superfície da Terra estão
sujeitos a uma aceleração constante, que se designa por aceleração da gravidade. Em Portugal, o seu valor é
aproximadamente de 9,8 m/s2.
O movimento que os corpos têm sujeitos a uma aceleração constante, depende da orientação do lançamento,
como iremos ver já de seguida. Se o movimento é apenas vertical, então ele será uniformemente retardado na subida
e uniformemente acelerado na descida. Se o lançamento for oblíquo ou horizontal, o movimento é, em geral, variado.
No lançamento vertical, apenas interessam as equações segundo o eixo Y,
uma vez que não há velocidade inicial nem movimento com a componente X. O
movimento resultante é por isso retilíneo e uniformemente variado segundo Y.
gay  gtvv yy  0
2
00
2
1
gttvyy y 

21
 Se o lançamento inicial for para baixo, 00 yv , o movimento será sempre acelerado, a velocidade decresce sempre
em valor e aumenta constantemente em módulo.
 Se o lançamento inicial for para cima, 00 yv , então o movimento ascendente é uniformemente retardado até se
atingir a altura máxima, instante a partir do qual o movimento inverte o sentido e passa a ser descendente e
uniformemente acelerado (ver figura). No ponto mais alto da trajetória, o ponto de altura máxima, verifica-se que,
momentaneamente, a velocidade vertical se anula
0yv 00  gtv y 
g
v
t
y
h
0

No lançamento horizontal apenas a componente horizontal da velocidade inicial é diferente de zero. Por isso, as
equações que regem o movimento do projétil tomam outra forma.
Exercício:
Aplica as leis do movimento e velocidades e chega às expressões
da altura máxima, alcance e tempo de cada, baseando-te na figura
ao lado.

22
Parte II – Trabalho e Energia
1. Trabalho e Energia
1.1 Trabalho realizado por forças constantes
No dia-a-dia chamamos trabalho a qualquer atividade de natureza muscular ou intelectual que exija esforço.
Transportar sacos de batatas é trabalhar. E estudar também é trabalhar!
Em Física, a palavra trabalho utiliza-se com um significado próprio, embora relacionado com o sentido comum da
palavra. Já vimos que trabalho é uma forma de transferir energia para um sistema. Neste ponto vamos estudar o
trabalho como uma forma de transferir energia para um sistema mecânico.
Para realizar trabalho é necessário que uma força desloque o seu ponto de aplicação. De facto, o trabalho está
sempre associado a uma força e, por isso, se diz “trabalho de uma força”. Claro que, se não houver força, não há
trabalho! Mas há situações em que há força, mas esta não realiza trabalho. Comecemos por estudar estes casos.
A figura seguinte representa uma pessoa que tenta empurrar um objeto, mas não o
consegue mover. A força diretamente aplicada realiza trabalho? Não, pois não há
deslocamento do seu ponto de aplicação. Apesar de haver esforço por parte de quem
tenta mover o objeto, não há trabalho no sentido que a Física dá a este termo.
Vejamos outro exemplo. A figura seguinte mostra um livro pousado sobre uma
mesa.
Sobre o livro, que se representa pelo seu centro de massa, exercem-se duas forças: o peso ou força gravítica,
gravF

, e a reação normal N

. Esta reação é uma força de contacto que equilibra o peso. Trata-se de uma força
perpendicular ao plano da mesa e por isso se designa por “força de reação normal”.
Como a soma das duas forças aplicadas é uma força nula,
0

 gravFN

23
o livro inicialmente em repouso vai continuar em repouso, de acordo com o Princípio da Inércia. A força N

, por si só,
não realiza trabalho porque o seu ponto de aplicação não se desloca. Pela mesma razão a gravF

também não realiza
trabalho.
Acabámos de ver duas situações em que não havia trabalho porque a força não deslocava o seu ponto de
aplicação. Mas, uma força pode deslocar o seu ponto de aplicação e, mesmo assim, não realizar trabalho.
A figura seguinte mostra uma pessoa a transportar
uma mala. Para segurar a mala, a rapariga exerce sobre
esta uma força vertical, F

, dirigida de baixo para cima, e
que equilibra o peso. A força F

realiza trabalho?
Não, porque a direção do deslocamento é perpendicular à
direção da força.
Ora, dizemos no dia-a-dia que transportar malas dá
trabalho … Mas a força que a pessoa tem de exercer na mala para equilibrar o peso não realiza trabalho! Este
exemplo, tal como o exemplo anterior da pessoa que tentava mover um objeto sem conseguir, mostra bem que nem
sempre o significado das palavras é o mesmo na linguagem quotidiana e na linguagem científica.
A figura seguinte mostra a situação em que uma força, embora desloque o seu ponto de aplicação de A para B,
não realiza trabalho. A bola desloca-se de A para B ao longo de uma trajetória perpendicular à direção da força F

.
Claro que, para o corpo seguir a trajetória indicada, terá de estar sujeito a outras forças que não estão representadas
na figura.
Portanto, o trabalho é nulo sempre que a força for perpendicular ao deslocamento.
0W
(Quando a força é perpendicular ao movimento)
Recordamos que o trabalho é representado normalmente pela letra W , que é a inicial da palavra inglesa para
trabalho (work).
Uma força que realiza trabalho não pode ser perpendicular à direção do deslocamento. Vamos ver casos em que
as forças aplicadas não são perpendiculares a essa direção e, por isso, realizam trabalho. Na situação da figura
seguinte, a força F

aplicada a um corpo que se desloca de A para B realiza trabalho, pois a direção da força e a
direção do deslocamento não são perpendiculares.

24
Falta agora saber como se relaciona quantitativamente o trabalho com a força e com o deslocamento.
Vejamos a experiência seguinte. Um carrinho está assente num plano horizontal preso por um fio, que passa por
uma roldana ligada a um pequeno motor elétrico. Quando se liga o motor, o fio começa a enrolar e o carrinho desloca-
se sob a ação da força horizontal constante F

, que o puxa (supomos que não há atrito entre o carrinho e a mesa).
Claro que, além desta força, há outras duas forças: o peso e a reação normal da mesa sobre o carrinho. Mas
estas duas forças equilibram-se. Sob a ação da força constante F

, o carrinho passa a ter um movimento com
aceleração constante, ou seja, um movimento uniformemente acelerado.
À medida que o carrinho se desloca sobre a mesa, a sua velocidade vai aumentando, o que significa que a sua
energia cinética também aumenta.
A energia cinética aumenta porque ocorre uma transferência de energia para esse mesmo carrinho. Essa
transferência de energia será tanto maior quanto maior for a força aplicada. Por outro lado, tal transferência será tanto
maior quanto maior for a distância percorrida: quanto mais o carrinho andar sobre a mesa maior será a energia
cinética que adquire.

25
No caso do carrinho, que estamos a estudar, a força (constante) e o deslocamento têm a mesma direção e
sentido. Nestas condições define-se trabalho como potente e sabemos que: W>0
Não há dúvida que uma força com direção e o sentido do movimento origina uma transferência de energia para o
sistema. E se uma força atuar em sentido contrário?
Vejamos o seguinte exemplo. Um carrinho como o da figura seguinte, que agora não está a ser puxado por um fio,
move-se com uma certa velocidade para a direita quando sobre ele passa a atuar uma força constante mas agora de
sentido oposto ao da velocidade (ou seja, para a esquerda). Consegue-se isso, por exemplo, com um íman.
Depois de aplicada a força, o carrinho continua a deslocar-se para a direita mas vai diminuindo a sua velocidade.
O efeito da força é, portanto, diminuir a velocidade do carrinho, ou seja, diminuir a sua energia cinética. A força
também realiza trabalho, mas agora esse trabalho tem por consequência transferir energia para fora do sistema
(carrinho).
O trabalho realizado por uma força constante com a mesma direção do deslocamento mas sentido oposto a este é
por trabalho resistente e o seu valor será negativo: W<0:
1.2 Trabalho realizado por forças constantes que atuam em qualquer direção. Potência de
uma força.
Vejamos um bloco de madeira assente sobre uma mesa. Há duas forças a atuar sobre o bloco, tal como vimos no
exemplo do livro colocado sobre uma mesa: o peso ou força gravítica e a reação da mesa sobre o bloco.

26
Como sabemos, o valor do peso é o produto da massa pela aceleração da gravidade: gmFg . .
Pretendemos agora fazer deslocar o bloco sobre a superfície horizontal da esquerda para a direita. Para tal,
aplicamos ao bloco uma força (puxamos, por exemplo, com um fio) sempre com o mesmo valor mas direções
diferentes. A figura seguinte mostra o bloco sujeito a várias forças com a mesma grandeza mas diversas orientações:
Se empregarmos forças sempre com a mesma intensidade, qual é a maneira mais eficaz de transferir energia
para o sistema, fazendo deslocar o bloco sobre a mesa para a direita?
Claro que é quando a força for horizontal, como na situação (a) da figura anterior. Nos outros casos o movimento
é mais difícil, e se a força fosse vertical, o bloco nem sequer se iria mover no plano da mesa…
E qual é o trabalho realizado por uma força inclinada relativamente ao deslocamento, tal como acontece nos
casos (b), (c) ou (d) da figura anterior
Antes de responder a esta questão, relembremos que qualquer força pode ser representada num referencial (ou
sistema de eixos) cartesiano. Este sistema tem dois eixos perpendiculares que se designam habitualmente por eixo
dos xx e eixo dos yy. A figura seguinte mostra uma força num referencial cartesiano. Podemos sempre imaginar a
força F

como a resultante de duas forças: uma, segundo o eixo dos xx, que vamos representar por xF

, e a outra
segundo o eixo dos yy, que vamos representar por yF

.

27
Escrevemos:
yx FFF


A força representada em (b) pode ser, portanto, decomposta em duas: uma horizontal e outra vertical. Voltando à
questão do trabalho, é claro que apenas a força segundo a horizontal, xF

, realiza trabalho. Como o trabalho desta
força é nulo, o trabalho de F

é apenas o trabalho realizado por xF

, por isso dizemos que a componente de uma
força segundo a direção do deslocamento é a componente eficaz dessa força. A xF

podemos simplesmente chamar
força eficaz ou força útil.
É preciso ter cuidado com a interpretação de figuras como a figura seguinte. Não há duas forças aplicadas! Só há
uma, a força F

! A força xF

(representada por efF

), que também se representa, é uma componente da força F

e
não uma nova força.
Em conclusão:
O trabalho de uma força é unicamente o trabalho da força eficaz, efF

, a componente da força segundo a direção
do deslocamento.
Escrevemos então a seguinte expressão geral para o trabalho:
dFW ef 
onde efF é a projeção de F

segundo a direção do movimento (que não tem de ser sempre horizontal!!).
Qual é o valor de efF ? Para isso é útil a função co-seno. Se designarmos por  o ângulo que a força faz com a
direção (e sentido) do deslocamento. A projeção da força F

na direção do deslocamento é cos FFef .
Então, o trabalho de uma força constante pode escrever-se:
cos dFW
Este trabalho pode ser positivo, negativo ou nulo:

28
- se º90 , o trabalho é positivo;
- se º90 , o trabalho é negativo;
- se º90 , o trabalho é nulo (força e deslocamento são perpendiculares).
No primeiro caso, a força diz-se potente e a força eficaz tem o sentido do movimento, no segundo caso, a força
diz-se resistente e a força eficaz tem o sentido oposto ao movimento. O ângulo está compreendido entre 180ºe0º :
quando  está entre 90ºeº0 , o trabalho é potente; para º90 tem-se trabalho nulo; quando  está entre
180ºe90º , o trabalho é resistente.
1.3. Energia cinética, energia potencial e energia mecânica
1.3.1 Energia cinética
Tomemos um objeto que possa ser considerado uma partícula: uma bola de futebol, por exemplo, cuja estrutura
não interessa quando estudamos o movimento de translação.
Uma partícula, como uma bola de futebol, possui energia pelo simples facto de estar em movimento. Esse tipo de
energia é designado por energia cinética. A energia cinética já apareceu no ensino básico, mas vai agora ser
estudada de uma forma mais aprofundada. Se designarmos a massa da partícula por m e o valor da sua velocidade
por v , a energia cinética cE é metade do produto da massa pelo quadrado da velocidade:

29
2
2
1
mvEc 
Por vezes, na linguagem do dia-a-dia usam-se os termos “energia” e “velocidade” com o mesmo significado. A
expressão anterior mostra bem como isso é errado! As duas grandezas estão relacionadas, mas não se devem
confundir. Para reforçar a distinção, repare-se nas unidades em que se exprime uma e outra: no Sistema
Internacional, a energia exprime-se em joules (J)ao passo que a velocidade se exprime em metros por segundo
)(m.s -1
.
A energia cinética é, portanto, a energia associada ao movimento. A expressão
2
2
1
mvEc  mostra que a
energia cinética de um objeto cuja massa é kg1000 animado de uma velocidade de
1
km.h50 
- um automóvel, por
exemplo – é muito maior (duas mil vezes maior) do que a energia cinética com massa de kg0,5 animada da mesma
velocidade. Mostra ainda que, dadas duas partículas com a mesma massa (por exemplo, duas bolas com kg0,5
cada uma), tem mais energia a que tiver maior velocidade: uma bola com velocidade
-1
m.s2 tem quatro vezes mais
energia do que uma outra com velocidade
-1
m.s1 .
Ao contrário da velocidade, que é uma grandeza vetorial, a energia cinética é uma grandeza escalar: não depende
da direção nem do sentido do movimento.
1.3.2 Energia potencial
Além da energia, associada ao movimento, uma partícula pode possuir um outro tipo de energia que não tem a
ver com o seu movimento mas sim com a possibilidade (ou potencialidade) de se mover. Essa é chamada energia
potencial, que se designa abreviadamente por pE .
De onde vem a energia potencial? A bola tem energia potencial por estar sujeita à força da gravítica da Terra. A
energia potencial gravítica (há outras formas de energia potencial) provém da interação entre a Terra e a bola.
Recordemos que existe uma força de atracão universal entre todos os corpos. A essa força de atracão está associada
a energia potencial gravítica.
Um outro exemplo de energia potencial gravítica ocorre no
sistema Terra/Sol. Vistos de longe, a Terra e o Sol podem ser
considerados como partículas, já que os seus tamanhos são muito
menores do que o perímetro da trajetória da Terra. Devido à atração
exercida pelo Sol, a Terra tem energia potencial gravítica.
Há outras interações entre partículas às quais se associam
outras energias potenciais. A energia potencial elétrica, por exemplo,
está associada à força elétrica, ou seja, à interação elétrica entre

30
partículas que possuem carga elétrica. Um exemplo: num átomo, a força entre o electro e o protão é uma força
elétrica.
A energia potencial elástica está ligada à força elástica (força exercida por uma mola). Na figura seguinte a bola
que comprime a mola tem energia potencial elástica. Quando a bola é largada essa energia potencial elástica
transforma-se em energia cinética. A energia potencial elástica está associada à força elástica.
Em resumo, a energia potencial pode ser de vários tipos:
- energia potencial gravítica (associada a interações gravíticas)
- energia potencial elétrica (associada a interações elétricas)
- energia potencial elástica (associada à força elástica), etc.
Escrevemos uma expressão matemática para a energia cinética e vamos também escrever uma expressão para a
energia potencial gravítica. Começamos por indicar os fatores de que depende essa
energia potencial:
- uma partícula tem tanto mais energia potencial gravítica quanto mais alto estiver. A
energia potencial tem de depender da altura a que a partícula se encontra acima do solo
porque um corpo caído de maior altura causa mais estragos do que um outro idêntico
caído de menor altura: se um corpo à altura de m1 for largado, chegará ao chão com
energia maior do que se estivesse apenas a cm10 do chão.

31
- por outro lado, dadas duas partículas colocadas à mesma altura, tem mais energia potencial a que tiver maior
massa. Se um corpo de massa kg1 e um outro corpo de massa kg10 ,
inicialmente em repouso, caírem da mesma altura, sem dúvida que os estragos
causados pelo segundo quando atinge o solo são maiores do que os causados
pelo primeiro. Daqui se intui que a energia do segundo será maior do que a do
primeiro, pelo que a energia potencial gravítica deve depender da massa.
- resta acrescentar que a energia potencial gravítica está também
relacionada com a aceleração da gravidade. Um corpo na Lua terá menor
energia potencial do que na Terra à mesma altura do solo, pois a aceleração da gravidade na Lua é menor do que na
Terra. A intensidade da força gravítica é medida pela aceleração da gravidade.
A seguinte expressão para a energia potencial gravítica,
mghEp 
onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h é a altura acima do chão, satisfaz todas as condições
enunciadas.
1.3.3 Energia mecânica
Atiremos uma bola ao ar na vertical. O que acontece? Enquanto a bola estiver a subir, a sua velocidade vai
diminuindo gradualmente. A energia cinética vai diminuindo também. Como a energia da bola se deve conservar,
concluímos que tem de haver outro tipo de energia na qual a energia cinética se vai convertendo ou transformando: é
a energia potencial da bola, que está associada à força gravítica da Terra, isto é, a força com que a Terra atrai a bola.
A soma da energia cinética e da energia potencial é a energia mecânica, que se escreve mE .
Durante o seu percurso de subida e de descida (desprezando a resistência do ar), a energia mecânica da bola é
sempre a mesma:
pcm EEE 
Uma partícula só pode ter energia cinética e energia potencial. Como qualquer corpo é formado por partículas,
estes são os dois tipos fundamentais de energia. Quando falamos em energia eólica, solar, etc. queremos apenas
identificar a energia através da sua fonte ou através do modo como ela se manifesta. Mas todas as formas de energia
se reduzem àqueles dois tipos fundamentais.
O movimento da bola é, como dissemos, um exemplo de transformação ou conversão de energia cinética em
energia potencial e vice-versa. Quando se lança verticalmente uma bola com uma certa velocidade inicial (a que
corresponde uma certa energia cinética), a energia cinética vai diminuindo até chegar a zero, o que acontece no ponto
de altura máxima. Nessa posição, a energia potencial é máxima e a bola inicia o seu percurso descendente: vai então
transformando gradualmente energia potencial em energia cinética e, quando atingir o ponto de partida, terá a mesma
energia cinética que possuía inicialmente.

32
1.4 Lei do trabalho-energia (ou teorema da energia cinética)
O trabalho de uma força é, como vimos, uma forma de transferir energia para um sistema. Nos casos que vamos
estudar, o sistema reduz-se a uma só partícula: o seu centro de massa. Examinemos de novo um bloco sobre uma
mesa.
Vimos na experiência do carrinho que, por aplicação de uma força constante, a velocidade do corpo aumenta.
Toda a sua energia é cinética e esta vai aumentando à medida que a força realiza trabalho. Há uma identidade entre a
variação da energia cinética do carrinho cE , e o trabalho realizado pela força, W :
cEW 
Esta identidade é conhecida por Lei do Trabalho-Energia ou Teorema da Energia Cinética. Por variação de
energia cinética entende-se a diferença entre a energia cinética final e a energia cinética inicial. Recordamos que a
energia cinética é:
2
2
1
mvEc 
Na figura seguinte representa-se o bloco existente na figura acima em dois instantes diferentes, estando indicadas
as respetivas velocidades.

33
A expressão cEW  pode então escrever-se:
22
2
1
2
1
inicialfinalinicialcfinalc mvmvEEW 
Quando várias forças atuam no sistema, as expressões anteriores continuam válidas, mas agora o trabalho é a
soma dos trabalhos realizados por cada uma das forças aplicadas. Se houver, por exemplo, três forças aplicadas, W ,
é a soma dos trabalhos realizados por cada uma das forças: 321 WWWW  , onde 1W é o trabalho da força 1,
2W o trabalho da força 2 e 3W o trabalho da força 3. Alternativamente, o trabalho total W pode ser calculado a partir
do trabalho realizado pela resultante das forças aplicadas, F

, uma vez que o resultado é o mesmo.
Até agora pudemos aplicar o teorema para o caso de atuar uma força constante sobre o corpo. Mas o mesmo
resultado é válido em geral. Trata-se de uma lei importante!
Vejamos um exemplo que ilustra a Lei do Trabalho-Energia. Consideremos um carrinho de massa kg2m
sobre o qual atua uma força de intensidade N3 . A velocidade inicial do carrinho é
-1
m.s1inicialv (o carrinho não
está inicialmente em repouso). Qual é o acréscimo de energia cinética e a velocidade do carrinho depois de ter
percorrido a distância de m1 ?
Lei do Trabalho – Energia
A variação da energia cinética de uma partícula é igual à soma dos trabalhos
realizados por todas as forças que atuam nessa partícula:
cEW 
A soma dos trabalhos realizados é igual ao trabalho da força resultante.

34
1.5 Trabalho realizado pelo peso de um corpo
Vamos agora aplicar a lei do Trabalho-Energia à queda de graves, desprezando a resistência oferecida pelo ar ao
movimento.
Um corpo – uma bola, por exemplo – de massa m , que pode ser visto como uma partícula, está a uma altura h
do solo. A bola está em repouso, sendo nula a força resultante que se exerce sobre ela: a força gravítica (ou peso)
equilibra a força exercida pela mão.
No momento em que a bola é largada, passa a atuar sobre ela apenas a força gravítica. Esta força vertical que
aponta para baixo tem valor constante:
gmFgrav .
A força tem a direção e o sentido do deslocamento. Designando agora por z a distância percorrida na vertical
desde o ponto de partida, a uma altura h do solo, o trabalho realizado pela força gravítica é:
zgmW 

35
1.6 Trabalho e variação de energia potencial gravítica
Como a energia cinética da bola em queda está sempre a aumentar e como sabemos que a energia se conserva,
terá de existir uma outra energia associada ao corpo que esteja sempre a diminuir. A energia que vai diminuindo à
medida que a bola cai é a energia potencial gravítica, já referida anteriormente, que está associada à força gravítica
que a Terra exerce sobre esse corpo.
A definição de energia potencial, pE , faz-se a partir da sua variação, pE . Assim, por definição:
A variação da energia potencial gravítica é o simétrico do trabalho realizado pela força gravítica.
gravFp WE 
Ora, vimos que o trabalho realizado pelo peso de um corpo que cai de uma altura h é hgmW  . Logo, a
variação da sua energia potencial gravítica é:
hgmEp 
O facto de a variação ser negativa significa que no final (no chão) o corpo tem menos energia potencial gravítica
do que tinha no início (à altura h ).
1.7 O peso como força conservativa
Vamos agora estudar o movimento da bola lançada verticalmente, de baixo para cima, com velocidade inicial v

.
Durante o deslocamento para cima, a força gravítica mantém-se constante (tem sempre o valor gmFgrav . ) e
aponta para baixo. Como a força e o deslocamento têm sentidos opostos, o trabalho realizado pela força gravítica é
negativo. Este trabalho é, portanto, resistente, sendo dado por:
''' hgmhFW grav 
onde 'h é a altura máxima atingida. Por outro lado, a variação de energia cinética do corpo é:
 .
2
1 22
inicialfinalc vvmE 
Como v é o módulo da velocidade inicial  vvinicial  e a velocidade final é nula (velocidade no ponto de altura
máxima, 02
finalv ), vem:

36
 2
0
2
1
vmEc 
e, portanto:
2
2
1
mvEc 
Ora, de acordo com a lei do Trabalho-Energia, esta variação de energia cinética é igual ao trabalho realizado pela
força resultante (que, desprezando a resistência do ar, é apenas o peso). 'WEc  , o que leva a escrever:
'
2
1 2
mghmv  donde '
2
1 2
mghmv 
Comparando esta expressão com a que encontrámos anteriormente para a queda da bola de uma altura mvh 2
2
1
,
mghmvh 2
2
1
, , conclui-se que hh ' , o que tem uma interpretação imediata: se um corpo for largado de uma altura
h, atingirá o solo com velocidade v ; se for lançado verticalmente do solo com velocidade v , atingirá essa mesma
altura h. Podemos pensar numa bola. Mas atenção: uma bola só ressalta no solo subindo com a mesma velocidade
com que desceu se for elástica.
Na descida de A para B o trabalho do peso é igual e de sinal oposto ao trabalho na subida de B para A, pois a
força vale sempre o mesmo, mg, e tem sempre o mesmo sentido (aponta para baixo), mas os deslocamentos (iguais
em módulo) têm sentidos opostos na descida e na subida:
BAAB WW 
Conclui-se então que o trabalho do peso é nulo no trajeto combinado AB e BA pois:
0 ABABBAABtotal WWWWW
Chegámos a um importante resultado: o trabalho realizado pelo peso foi nulo desde que o corpo saiu de um ponto
até que regressou a esse mesmo ponto.

37
Vamos generalizar este resultado. Uma força, tal como o peso, diz-se conservativa se realizar trabalho nulo ao
longo de um percurso fechado qualquer. Mas os «troços» desse percurso não têm de ser necessariamente retilíneos
como no exemplo considerado. O trabalho de uma força conservativa ao longo de uma trajetória fechada, como a da
figura seguinte partindo de um ponto A e voltando de novo a A, é nulo. Mas já não é nulo se a força for não
conservativa.
A força gravítica é uma força conservativa. Além da força gravítica há várias outras forças conservativas.
Verifica-se, por outro lado, que o trabalho da força de resistência do ar (que até agora desprezámos), desde que a
bola sai de um ponto até que volta a esse mesmo ponto, já não é nulo. Isto significa que as forças de resistência do
ar, tal como as forças de atrito, não são conservativas.
Para saber se uma força é ou não conservativa basta então calcular o trabalho ao longo de trajetórias fechadas e
verificar se é ou não nulo. Uma outra maneira de averiguar se uma força é ou não conservativa baseia-se no trabalho
realizado por essa força entre dois pontos quaisquer. Se esse trabalho for independente da trajetória, então a força é
conservativa. Vejamos um exemplo:
Imaginemos que uma bola se move de um ponto A para um ponto B. Vamos calcular o trabalho da força gravítica,
ao longo de duas trajetórias diferentes a ligar esses dois pontos:
1. trajeto, primeiro vertical AC, e depois horizontal CB (a bola cai e depois move-se para a direita);
2. trajeto oblíquo AC, como se mostra na figura seguinte (a bola move-se ao longo de um plano inclinado).
Na situação (1) da figura anterior, o trabalho realizado pela força gravítica ao longo do trajeto ACB é igual ao
trabalho ao longo de AC mais o trabalho ao longo de CB. Ao longo de AC, o trabalho é, como já sabemos.
mghWAC  . E ao longo de CB, como também já sabemos, o trabalho é nulo porque a força é perpendicular ao
deslocamento: 0CBW . Portanto:
mghWWW CBACACB 
Para a situação (2) da mesma figura o trabalho da força gravítica ao longo da trajetória oblíqua AB é:

38
cosABmgWAB 
pois o deslocamento e a força fazem um ângulo  entre si. Recordamos que o co-seno de um ângulo, num triângulo
retângulo, é igual ao cateto oposto a dividir pela hipotenusa:
AB
h
cos
e portanto, hAB cos . Usando esta igualdade na expressão de ABW , o trabalho ao longo da trajetória oblíqua é,
então:
mghWAB 
Concluímos que:
ABACB WW 
Este resultado verifica-se para qualquer outra trajetória que ligue os pontos A e B: o trabalho realizado pelo peso
do corpo é sempre mgh , como aliás já tínhamos visto quando estudámos movimentos em rampas com várias
inclinações. O peso é, portanto, uma força conservativa.
Atendendo a que, por definição, a variação (ou diferença) de energia potencial gravítica entre os pontos A e B é o
trabalho realizado pelo peso quando desloca o seu ponto de aplicação entre os dois pontos (ao longo de qualquer
trajetória!), obtemos:
mghAEBEE ppp  )()( ,
sendo h o desnível entre esses pontos.
A diferença de energia potencial entre dois pontos só depende do peso mg e do desnível h entre esses dois
pontos.
Na situação da figura seguinte, qualquer que seja o trajeto escolhido entre os pontos A e B, o trabalho do peso é
sempre o mesmo, mghWAB  , e a variação de energia potencial só depende do desnível entre os dois pontos:

39
1.8 Forças conservativas e conservação da energia mecânica
Vamos ver que, num sistema onde só as forças conservativas realizam trabalho, a energia mecânica mantém-se
constante, isto é, conserva-se.
Já sabemos que força conservativa é aquela que realiza trabalho nulo ao longo de uma trajetória fechada ou, o
que é o mesmo, é aquela cujo trabalho unicamente depende dos pontos extremos da trajetória (ponto de partida e
ponto de chegada) e não da trajetória seguida. Todas as outras forças dizem-se forças não conservativas.
Por definição, a variação de energia potencial é igual ao simétrico do trabalho das forças conservativas (fc):
pEW 
Se não houver forças não conservativas ou se o seu trabalho for nulo ( 0fncW ) tem-se:
cEW 
Combinando esta equação com a equação anterior, pfc EW  obtém-se:
pc EE 
ou
0 pc EE .
Então, a soma da energia cinética e potencial não varia! Ou seja: teconsEE pc tan
Se a energia cinética diminuir, a energia potencial terá de aumentar e vice -versa, mantendo-se a soma das
duas igual a um valor constante.
Designa-se a soma da energia cinética e da energia potencial por energia mecânica, que se representa por mE :
pcm EEE 
Portanto, quando só há forças conservativas, ou quando as forças não conservativas não realizam trabalho, a
energia mecânica não varia:
constantemE
ou
vos)conservati(sistemas0 mE
Nos sistemas onde só interessam as forças conservativas (sistemas conservativos), esta é a forma que toma a lei
geral de conservação de energia. Percebe-se agora por que é que as forças se chamam conservativas...

40
Na figura seguinte estão representados gráficos da energia potencial (não importa de que origem), da energia
cinética e da energia mecânica para o movimento de uma partícula. As três energias estão representadas em função
do tempo.
Em qualquer instante, a soma da energia cinética e da energia potencial mantém-se constante. Quando uma
aumenta, a outra diminui. Se a energia potencial for igual à energia total, então, a energia cinética é nula.

Texto f1

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