Porcentagem e juros

Matemática
Elementar I
Autor
Leonardo Brodbeck Chaves
Matemática
Elementar I
Caderno de Atividades
2009
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C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.
Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:
IESDE Brasil S.A., 2009.
196 p.
ISBN: 978-85-7638-798-5
1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 510

Leonardo Brodbeck Chaves
MestreemInformáticanaáreadeEngenhariadeSoftwarepelaUniversidade
Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em
Eletrônica também pela UFPR.

Apresentação
O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E
desde o surgimento do homem foi dessa forma.
Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações
matemáticas:
a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;
b) o círculo da lua cheia;
c) um cristal de gelo com angulação precisa;
d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;
e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre
outros.
Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias
matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com
menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante
a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da
natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).
Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado
a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de
comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios
de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,
percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua
sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações
que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,
frente às situações da realidade.
A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de
adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas
de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com
agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma
máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências
lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com
maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.
Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias
e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio
de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a
concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma
ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,
que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e
desenvolvimento para a sociedade.

Porcentagem e juro
1. Porcentagem
É usual nos cálculos financeiros utilizarmos a porcentagem com taxa. Isso permite que seja
feito um cálculo direto, de acréscimos e descontos, sobre determinado valor.
Exemplos:
a) Um assalariado ganha um salário bruto de R$3.200,00. Descontando imposto de renda,
contribuições previdenciárias e outras deduções, temos um total de desconto de 40%.
Qual é o valor do salário líquido, que é o salário bruto com as deduções?
Salário líquido = salário bruto – deduções
SL
= SB
– D
SL
= (100% de 3 200) – (40% de 3 200)
SL
= 60% de 3 200
SL
=
60
. 3 200
100
SL
= 0,60 . 3 200 = 1 920
Note que o fator de diminuição é 0,6:
Usando taxas, bastaria calcular assim:
SL
=
(100 –40)
. 3 200 ⇒ SL
=
60
. 3 200
100 100
SL
= 0,60 . 3 200 = 1 920
Resposta: O salário líquido é de R$1.920,00.

Matemática Elementar I – Caderno de Atividades106
b) André tinha uma dívida no cartão de crédito de R$450,00. O juro mensal é de 11%.
Qual é o total da dívida ao final de um mês?
Montante = capital + juros
M = C + j
(
.
=
=
=
=
=
M 100% de 450)+(11% de 450)
M 111% de 450
111
M 450
100
M 1,11. 450
Note que o fator de aumento é1,11.
M 499,50
Resposta: O total da dívida (montante) será de R$499,50.
1. Calcule as porcentagens a seguir:
a) 27% de 1 300
27
27% de 1 300 = × 1 300 = 0,27 . 1 300 = 351
100
fator
Vamos calcular rapidamente então?
Situação Cálculo do fator Operação
Desconto de 10% 100% – 10% = 90% =
90
=0,90
100
Multiplicar por 0,90
Acréscimo de 3,5% 100% +3,5%=103,5%=
103,5
=1,035
100
Desconto de 2% 100% – 2%= 98% =
98
=0,98
100
Para uma situação geral, temos:
Se um valor V sofre um aumento percentual de uma taxa i, o novo valor é dado por:
N = V + i.V = V(1+i), em que 1 + i é o fator de aumento.
Da mesma maneira, se um valor V sofre uma diminuição percentual de uma taxa i, o novo
valor N é dado por:
N = V – iV = V(1-i) onde 1 – i é o fator de diminuição.
Agora, vamos acompanhar alguns exemplos:

Porcentagem e juro 107
b) 3,7% de 8 500
= =
3,7
3,7% de 8500 . 8500 0,037. 8500=314,50
100
fator
2. Com o auxílio de sua calculadora, resolva os seguintes problemas:
a) O senhor Antônio aplicou a quantia de R$250,00 na caderneta de poupança. Qual é
o seu saldo depois de 30 dias se naquele mês a aplicação rendeu no total 0,71%?
 
  
N= V +iV
N= V (1+i)
0,71
N= 250 1+
100
N= 250(1+0,0071)
N= 250.1,0071
fator de aumento
N = 251,78
Resposta: O seu saldo é de R$251,78.
b) O preço de um televisor é de R$1.100,00. Se for pago à vista, o desconto é de 8,5%.
Se for comprá-lo à vista, qual o valor final?
fator
=
=
=
=
=
 
  
-
-
N V +iV
N V (1–i)
8,5
N 1100 1
100
N 1100.(1 0,085)
N 1100. 0,915
N = 1 006,50
Resposta: O preço final será R$1.006,50.

3. O senhor Antônio tem o salário de R$800,00 mensais. Ele receberá um aumento de
15%. De quanto será o aumento?
= =⋅
15
15% de 800 800 120
100
Resposta: O aumento será de R$120,00.
a) 22% de 250
=⋅
22
250 55
100
Resposta: 55.

b) 90% de 22 500
=⋅
90
22500 20250
100
Resposta: 20 250.

c) 5% de R$120
⋅
5
120 = 6
100
Resposta: R$6.
5. O salário mínimo atual é de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de
15%. Se as reivindicações forem atendidas, qual será o valor do salário?
Dica: para um cálculo rápido, multiplique 360 por 1,15. Assim: 360.1,15 = 414,00.
+
+
+
+
ATUALS = S aumento
15
S =360 .360
100
S =360 0,15.360
S =(1 0,15).360
S = 414,00
Resposta: O salário será de R$414,00.

6. Dona Joana está pesquisando o preço de uma roupa que custa R$220,00. Se ela pagar
à vista, o desconto é de 8%. Qual será o preço final se ela pagar à vista?
Dica: para um cálculo rápido, multiplique 220 por 0,92. Assim: 220 . 0,92 = 202,40.
FINAL ORIGINAL
FINAL
FINAL
FINAL
FINAL
P = P –D
8
P = 220 – .220
100
P = 220 – 0,08.220
P = (1– 0,08).220
P = 202,40
Resposta: O preço com desconto será R$202,40.
Exercícios
Resolva os exercícios que seguem:
a) 2% de 530
b) 88% de 1 700
c) 6% de R$22.500,00

2. Para pagamento a prazo, um calçado que custa R$80,00 terá um acréscimo de 11%. Qual é
o valor do acréscimo?
3. O preço de um computador é de R$2.500,00. Se for pago a prazo, o preço sobe 7%. Qual é
o preço a prazo?
4. O preço da gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma redução de 3%. Qual o valor do
preço final?

2. Juro
Juro é a remuneração que se paga por um capital emprestado por um certo período de tempo.
2.1 Juro simples
O senhor José precisa de um empréstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a
ser pago dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor José pagará de volta à
financeira?
Quando fazemos um empréstimo bancário, pagamos juros. No caso do senhor José, ele
terá de pagar ao banco o valor do capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular
assim:
Juros = 500 x 20% x 1
⋅ ⋅
20
Juros 500 1
100
Juros 500 0,20 1 100
=
= . . =
taxa
capital numerador de
períodos
Assim, o senhor José pagará:
Total = 500 + 100 = 600.
Resposta: Ele pagará R$600,00 à financeira.
O cálculo do juro pode ser generalizado:
J = C . i . n
J = juro
C = capital
i = taxa
n = número de períodos

Vejamos mais alguns exemplos:
a) Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa de 25% durante
um período de 3 anos.
C = 5 000
25
i 25% 0,25
100
= = =
n = 3
j = ?
J = C. i. n
J = 5 000 . 0,25 . 3
∴ J = 3 750
Resposta: O juro é de R$3.750,00
b) Qual é o montante resgatado de um capital de R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5%
durante 1 ano?
Aqui precisamos definir o que é montante. Montante é o capital aplicado mais o ren-
dimento.
Dessa maneira:
Montante = Capital aplicado + rendimento
M = C + J
M = C + C.i.n
M = C (1+ i.n)
Voltando ao problema,
C = 8 000
5
i 5% 0,05
100
= = =
n = 1 ano = 12 meses (repare que o período e a taxa devem estar sempre na mesma
base de tempo)
M = 8 000 (1+ 0,05.12)
M = 8 000 . 1,6 = 1 280.
Resposta: O montante é de R$12.800,00.

c) Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano, durante 6 meses?
M = 88 000
∴
 
  
20
i = 20% ano= ao ano = 0,20 ano
100
6 1
n = 6meses ano = ano
12 2
C =?
M = C+C.i.n
1
88 000 = C 1+0,20.
2
88 000 = C (1+0,10)
88 000
C = C = 80 000,00
1,10
Resposta: O capital é de R$80.000,00.
2.2 Juro composto
Quando fazemos uma aplicação em caderneta de poupança, por exemplo, os rendimentos
do período de 1 mês são incorporados ao capital.
Acompanhe os montantes (saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais,
durante 3 meses.
Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês
Capital inicial Rendimento Montante
R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00
R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50
R$1.102,50 R$55,12 R$1.157,62

Anteriormente, tivemos o exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto é
aquele que no fim de cada período é aplicado ao capital anterior.
Vejamos alguns exemplos:
a) Seascadernetaspagamrendimentode0,65%aomês,calcule,usandoumacalculadora,
quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses.
:: Primeiro mês:





C 500,00
0,65
i 0,65%= 0,0065aomês
100
n 1 mês
=
= =
=
M = C (1 + n.i) = 500 (1 . 0,0065) = 500 . 1,0065 = 503,25
:: Segundo mês:





C 503,25
i 0,0065aomês
n 1 mês
=
=
=
M = C (1 + n.i) = 503,25 (1 . 0,0065) = 503,25 . 1,0065 = 506,52
:: Terceiro mês:





C 506,52
i 0,0065aomês
n 1 mês
=
=
=
M = C (1 + n.i) = 506,52 (1 . 0,0065) = 506,52. 1,0065 = 509,81
Logo o capital rende R$509,81 – R$500,00 = R$9,81
Resposta: O capital rende R$9,81.
b) Determinar o juro recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no
regime de juros simples, durante um período de 5 anos.

C = 8 750
12
i=12%ao ano = = 0,12 ao ano
100
n=5 anos






j = C.i.n
j= 8 750 . 0,12 . 5 ∴ j = 5 250
Resposta: O juro simples é de R$5.250,00.
c) Qual é o montante resgatado de um capital de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de
1,5% ao mês, no regime de juros simples, durante 2 anos?

C 2 200=




1,5
i 1,5% ao ano 0,015 ao mês
100
n 2 anos 24meses
= = =
= =
M = C (1 + i.n)
M = 2 200 (1+ 0,015 . 24)
M = 2 200 . 1,36 ∴ M = 2 992
Resposta: O montante é R$2.992,00.
d) Suponhaqueascadernetasdepoupançarendam0,63%aomês. Simuleumaaplicação
de um capital de R$1.000,00 por três meses.
R$1.000,00 1 000 . 0,0063 . 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30
R$1.006,30 1 006,30 . 0,0063 . 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64
R$1.012,64 1 012,64 . 0,0063 . 1 = 6,38 1 012,64 + 6,38 = 1 019,02

Exercícios
Resolva os exercícios que seguem:
5. Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00 com taxa de 8% ao ano, durante 4
anos, no regime de juros simples.
6. Qual é o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado a uma taxa de 1% ao
mês, no regime de juros simples, durante 6 anos?
7. Faça a simulação de uma aplicação em fundos de um capital de R$8.000,00 com taxa de
1,5% ao mês, durante 4 meses.

Gabarito
Porcentagem e juro
1. a) 10,60
b) 1 496
c) R$1.350,00
2. R$8,80
3. R$2.675,00
4. R$2,42
5. R$294,40
6. R$51.600,00
7. R$8.490,90
Gabarito

Matemática Elementar I – Caderno de Atividades
Anotações

Porcentagem e juros

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