1. LUÍS CARLOS MARTINS CARDOSO
O PAPEL DO ESTADO NO CRESCIMENTO
ECONÓMICO ENDÓGENO DE LONGO
PRAZO NUMA ECONOMIA EM AUTARCIA:
VERSÃO SIMPLIFICADA DO MODELO
GERAL COM CAPITAL PÚBLICO
APLICADO NO SECTOR PRODUTIVO
JULHO/2006

2. 1
ÍNDICE
1. Introdução........................................................................................................................ 2
2. A estrutura do modelo com investimento de capital público apenas no sector
produtivo.............................................................................................................................. 3
2.1. A modelização......................................................................................................... 3
2.2. O equilíbrio geral..................................................................................................... 4
2.3. A trajectória de equilíbrio........................................................................................ 8
2.4. A dinâmica local...................................................................................................... 10
3. Conclusão........................................................................................................................ 17
4. Apêndice.......................................................................................................................... 18
5. Bibliografia...................................................................................................................... 20

3. 2
1. Introdução
Iniciamos o estudo da dinâmica do modelo, na versão com investimento de capital
público apenas no sector produtor de bens físicos, utilizando e transformando quatro das
equações apresentadas no artigo anterior1
, ou seja, da (28) à (31).
Para o efeito, vamos seguir de perto Brito (1997), Gomes (1996), Brito e Pereira
(1998) e Belbute (1998), e estudar o Jacobiano J resultante da linearização em torno do
estado estacionário do sistema dinâmico de dimensão 4 e constituído pelas equações
diferenciais referidas acima.
A resolução desta versão simplificada do modelo geral, conduz a um sistema de
equações canónicas, que vão permitir construir um sistema linearizado, a partir do qual,
é analisada a dinâmica comparativa local e a estabilidade do modelo, o qual, deverá
apresentar características semelhantes a qualquer modelo de crescimento endógeno. A
dinâmica comparativa local do sistema, na proximidade do estado estacionário, é
determinada pelos sinais dos valores próprios da matriz Jacobiana do sistema. Na
resolução do modelo recorremos ao método da simulação numérica, e como
consequência, o que perdemos no grau de generalidade das conclusões retiradas
ganhamos na clareza dos resultados obtidos.
Nesta versão simplificada usamos, no sector produtivo, a mesma percentagem de
capital humano procurando saber qual é o efeito na taxa de crescimento de longo prazo
da economia, pelo facto de se aplicar os gastos públicos no sector produtivo da
economia.
1
Em Cardoso (2006: 27).

4. 3
2. A estrutura do modelo com investimento de capital público apenas
no sector produtivo
2.1. A modelização
Para a situação em que v = 1, o capital público é investido apenas no sector
produtivo, não contribuindo para a formação de capital humano. Assumimos que os
gastos públicos são factores produtivos do sector produtor de bens transaccionáveis.
Nesta versão do modelo, os gastos públicos, contribuem para o aumento da
produtividade dos factores privados. O sector educativo tem como único factor
produtivo o capital humano e ao Estado cabe a função de providenciar bens de capital
público produtivos, isto é, infra-estruturas, como estradas, pontes, auto-estradas,
saneamento básico, hospitais e manutenção da lei e ordem.
Nestes pressupostos, formar-se-ão novas funções de produção que assumem a
forma funcional seguinte:
11
11
guhkAy
k
(1)
e
huAy hh 1
A função de produção de capital humano apresenta um único factor produtivo que é
o próprio capital humano e é, tipicamente, uma função de produção de capital humano
do modelo Uzawa (1965) e Lucas (1988)2
.
Por simplificação vamos admitir que o capital físico não se deprecia, isto é, k = 0.
O Hamiltoniano corrente do problema das empresas, após o processo de
normalização e modelizado sem tendência de longo prazo será:
hhuApkipiguhkA hhkk
f
1111
11
2
Vide Barro e Sala-i-Martin (1995) para uma caracterização mais completa do modelo.

5. 17
3. Conclusão
Neste trabalho, apresentámos uma versão simplificada do modelo geral, aplicando
capital público, exclusivamente no sector produtivo. A sua resolução levou-nos a um
sistema de equações canónicas, que permitiu construir um sistema linearizado, a partir
do qual analisámos a taxa de crescimento de longo prazo e caracterizámos o estado de
equilíbrio — tarefa realizada com recurso a uma simulação numérica, atribuindo valores
aos parâmetros exógenos.
A utilização de simulação numérica na resolução do modelo, peca pelo reduzido
grau de generalidade obtido, ao nível da convergência para o estado de equilíbrio. Os
resultados devem ser interpretados apenas para a economia concreta que estivemos a
analisar e por isso deve ter-se algum cuidado na sua extrapolação, para conclusões mais
genéricas. Todavia, o estudo da dinâmica comparativa local, por simulação numérica,
possibilitou uma maior clareza nos resultados obtidos.
Na situação de steady-state, as variáveis do modelo (depois de normalizadas),
revelaram uma taxa de crescimento de longo prazo nula. Após o cálculo do Jacobiano J,
verificou-se que o ponto de equilíbrio de longo prazo desta economia é localmente
estável, é um ponto-sela, para o qual o sistema tende desde que o ponto de partida esteja
sobre o “braço estável”. Neste tipo de modelos de crescimento endógeno (tipo Uzawa-
Lucas), o determinante da matriz é nulo e a dinâmica do sistema é dada pelos valores
próprios da matriz J. Estes apresentaram um valor próprio nulo, um negativo e dois
positivos: resultados que correspondem a uma situação de bifurcação local, com um
braço estável unidimensional e com uma trajectória de equilíbrio formada por uma
recta. O sistema evidenciou um ponto-sela, com a trajectória estável de dimensão
unitária com a forma de uma recta como prova a representação gráfica em apêndice
tal como a generalidade dos modelos de crescimento endógeno definidos na
literatura económica.

6. 18
4. Apêndice
Gráfico 1 — Trajectória estável entre as variáveis h e pk
h
= 1,8106
h = 1
p
k
p
k
E
II
I
Gráfico 2 — Trajectória estável entre as variáveis h e ph
h
= 5,5122
h = 1
p
h
p
h
E
II
I

7. 20
5. Bibliografia
Azariadis, C. (1994), Intertemporal Macroeconomics, Blackwell, Oxford.
Barro, R. J. e Sala-i-Martin, X. (1995), “Technological Difusion, Convergence and
Growth, Public Finance in Models of Economic Growth”, NBER Working Paper
Series, 5151.
Barro, R. J. e Sala-i-Martin, X. (1995), Economic Growth, McGraw-Hill, New
York.
Belbute, J. (1998), “Acumulação de Capital num Contexto de Interacções entre
Economia e Ambiente”, Estudos de Economia, XVIII (4), Outubro.
Brito, P. (1997), “Local Dynamics for Planar Optimal Control Problems: a
Complete Characterization”, Documento de Trabalho do Departamento de
Economia do Instituto Superior de Economia e Gestão, Outubro.
Brito, P. e Pereira, A. (1998), “Endogenous Growth and Flutuations in an Economy
with a Housing Sector”, Paper presented at the 53rd
Econometric Society Meeting,
Berlin, 29 August-2 September.
Caballé, J. e Santos, M. (1993), “On Endogenous Growth with Physical and Human
Capital”, Journal of Political Economy, 101 (6), 1042-67.
Cardoso, Luís Carlos (2006), “O Papel do Estado no Crescimento Económico
Endógeno de Longo Prazo numa Economia em Autarcia: Modelo Geral com
Capital Público Aplicado, em Simultâneo, nos Sectores Produtivo e Educativo”,
Documento de Trabalho do Gabinete de Publicações, Departamento de Gestão de
Comércio e Serviços, Escola Superior de Gestão, Instituto Politécnico de Tomar,
Tomar, 30, Junho, 32p.
Gandolfo, G. (1997), Economic Dynamics, 3rd
ed, Springer-Verlag, Berlin.