Matematica Financeira

APRESENTAÇÃO
Núcleo de Educação a Distância - NEAD
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) Aluno(a).
Entender a lógica do mercado financeiro requer um domínio de conceitos e
fórmulas que muitos acham confusos e difíceis de entender. Esses conceitos e fórmulas,
entretanto, são facilmente definidos, em grande parte, na Matemática Comercial e Financeira,
que é o ramo da Matemática que trata dos mecanismos do mercado, constituindo-se assim,
uma ferramenta de trabalho não apenas para executivos, mas também para todos os
profissionais que atuam ou pretendem atuar no mercado financeiro.
A Matemática Comercial e Financeira é também ferramenta básica para
várias disciplinas de cursos superiores, nas áreas de Administração, Economia, Ciências
Contábeis, Engenharia de Produção, entre outras. Daí sua importância.
Como o gestor empresarial, para um bom desempenho profissional, deve ter
espírito empreendedor, visão social de empresa, preocupação com a qualidade, visão clara
da concorrência e facilidade de comunicação e relacionamento. Procuramos desenvolver
este curso do seguinte modo:
- As três primeiras unidades tratam da Matemática Comercial. Nessas unidades
procuramos desenvolver com você, conceitos básicos introdutórios e uma sólida base do
conceito de percentagem, com suas aplicações tanto em regras de sociedade, como em
operações de compra e venda sobre mercadorias, além de questões relacionadas a juro
simples e desconto simples;
- Nas unidades 4, 5, 6 e 7 tratamos da Matemática Financeira dando ênfase
para situações reais que envolvam juro composto, desconto composto, capitalização e
amortização composta, além de empréstimos e planos de amortização; e
- Na última unidade você conhecerá diferentes métodos utilizados para
determinar a depreciação de bens móveis e imóveis, além de discutir suas vantagens e
desvantagens.
Privilegiamos os aspectos práticos, utilizando amplamente ao longo do curso,
calculadoras eletrônicas, planilha eletrônica Excel e tabelas financeiras, sem deixarmos de
enfatizar os aspectos matemáticos, com oda a sua simbologia e com o desenvolvimento de
fórmulas para cada situação específica.

Trabalharemos o conteúdo programático com a finalidade de oferecer a você,
conhecimentos básicos elementares sobre as mais variadas operações financeiras. Em
particular, a Matemática Financeira desenvolveu-se, simultaneamente, com o sistema
econômico conhecido por Economia de Mercado. Dominá-la, por conseguinte, tornou-se
impositivo, quer pelas implicações do trabalho assalariado, quer pelas operações de compra
e venda, quer pelos investimentos de capital.
Antônio Estáquio Paes

Objetivos da aprendizagem
3
UNIDADE
ARITMÉTICA RACIONAL
1
v Desenvolver a habilidade de resolver problemas que
envolvam proporção;
v Estabelecer a proporcionalidade direta e inversa
entre números e grandezas;
v Resolver problemas de regra de sociedade;
v Conhecer e usar nas formas centesimal, percentual,
unitária e vice-versa;
v Resolver problemas que envolvam percentagem;
v Utilizar cálculo percentual na obtenção de lucro ou
prejuízo sobre as operações de compra e venda de
mercadorias; e
v Calcular abatimentos e aumentos sucessivos.

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
4
Universidade da Amazônia –UNAMA
Se o seu salário sofresse hoje um reajuste de R$100,00. Acharia muito ou pouco?
Por que na compra por atacado, o preço por unidade é menor do que nas compras
a varejo?
Como dividir de forma justa os lucros ou os prejuízos entre pessoas que formam
uma sociedade?
Como determinar o valor da contribuição paga mensalmente à previdência social?
Como calcular os encargos sociais de uma empresa?
Questões como essas, que fazem parte da nossa vida diária, são objetos de
estudo dessa unidade. Nessas questões, estão envolvidos conceitos de razão, proporção,
grandezas proporcionais, regras de sociedade e percentagem.
1.1 RAZÃO E PROPORÇÃO
Vamos então, iniciar o estudo dessa unidade. Você terá como guia para realizar
seus estudos, o livro texto Matemática Comercial e Financeira Fácil de Antônio Arnot
Crespo da Editora Saraiva.
Dirija-se agora ao livro texto e estude o Capítulo 1.
Agora que você já estudou razão e proporção e suas propriedades, vamos
recapitular algumas de suas aplicações:
- Quando você calcula a razão entre dois números ou duas grandezas, você na
verdade, irá fazer a divisão entre eles, na ordem que aparecem, tendo o cuidado de simplificar
o resultado o máximo possível. Por exemplo:
Exemplo 1:
Qual a razão de
3
2
para
6
5
?
S o l u ç ã o : procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: montamos a divisão entre
3
2
e
6
5
, nessa ordem:
3
2
6
5

UNIDADE 1 – Aritmática Racional
5
Núcleo de Educação a Distância–NEAD
Lembre: Na multiplicação de fração, numerador multiplica numerador
e denominador multiplica denominador.
3º Passo: Simplificamos o resultado:
15
12
3
3
÷
÷
5
4 Na simplificação de fração, dividi-se o numerador
e o denominador da fração pelo mesmo número.
Logo, a razão de
3
2
para
6
5
é
5
4
.
Exemplo 2:
Qual a razão de 8 para 40?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Montamos a divisão entre 8 e 40 nessa ordem:
40
8
2º Passo: Como não há outras operações a realizar...
3º Passo: Simplificamos o resultado:
40
8
8
8
÷
÷
=
5
1

6
Logo, a razão de 8 para 40 é
5
1
.
Exemplo 3:
Qual a razão de 70dm para 14m?
1º Passo: Montamos a divisão entre 70dm e 14m:
m
dm
14
70
2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em caso
afirmativo, as medidas devem ser expressas na mesma unidade. Em seguida eliminamos
as unidades iguais:
14m = 140dm, então
m
dm
14
70
=
dm
dm
140
70
=
140
70
3º Passo: Simplificamos (quando possível)
140
70
70
70
÷
÷
=
2
1
Logo, a razão de 70dm para 14m é
2
1
.
Exemplo 4:
Qual a razão de 380km para 4h?
1º Passo: Montamos a divisão entre 380km e 4h:
h
km
4
380

7
2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em caso
negativo, mantemos as unidades e procedemos como nos exercícios anteriores.
3º Passo: Simplificamos:
h
km
4
380
= 95km/h
Logo, a razão de 380km para 4h é 95km/h.
- Para verificarmos se uma proporção é verdadeira, ou para calcularmos um ou mais
termos desconhecidos em uma proporção, fazemos uso das propriedades fundamentais
que são apresentados no Capítulo 1 do livro texto.
Exemplo 1:
A proporção
7
3
=
14
6
é verdadeira?
1º Passo: Multiplicamos separadamente os extremos e os meios da proporção:
Produto dos extremos: 3 x 14= 42
Produto dos meios: 7 x 6 = 42
2º Passo: Verificamos se esses produtos são iguais:
3 x 14 = 7 x 6 = 42
3º Passo: Em caso afirmativo, essa proporção é verdadeira:
Logo,
7
3
=
14
6
é uma proporção.
Observação: Caso os produtos não sejam iguais, a proporção é falsa.
Exemplo 2:
Qual o valor de x na proporção?

8
1º Passo: Multiplicamos os extremos e em seguida os meios da proporção, igualando
esses produtos.
Na multiplicação de frações:
numerador multiplica
numerador e denominador
multiplica denominador.
9
5
está multiplicando
a variável X, então passa para o outro lado
da igualdade dividindo a fração
9
4
2º Passo: Isolamos o termo desconhecido.
3º Passo: Efetuamos as operações indicadas e simplificamos quando possível.
Na divisão de frações, devemos
multiplicar a primeira fração pelo inverso
da segunda fração.
Logo, o valor de x é
5
4
.

9
Exemplo 3:
Qual o valor de x, y e z na proporção múltipla
12
x
=
15
y
=
18
z
, sabendo que zyx ++ =
630?
1º Passo: A partir da proporção múltipla
12
x
=
15
y
=
18
z
construímos uma nova razão (2ª
propriedade fundamental). Essa nova razão se constrói da seguinte maneira:
Antecedentes: x , y , z
Conseqüentes: 12,15,18
esconsequentdossoma
esantecedentdossoma
=
181512 ++
++ zyx
=
45
630
= 14
do problema
sabemos que
x + y + z =630
2º Passo: A nova razão que encontramos (14), será igual (2ª propriedade fundamental)
a cada razão que compõe a proporção múltipla
12
x
=
15
y
=
18
z
, logo
12
x
= 14 ⇒ x = 12x14 ⇒ x = 168
15
y
= 14 ⇒ y = 15x14 ⇒ y = 210
18
z
= 14 ⇒ z = 18x14 ⇒ z = 252
Dessa forma, determinamos os valores de x , y e z .
Observação: Para verificar se os valores que você encontrou estão corretos faça
o seguinte:
- Some os valores encontrados para x , y e z : 168 + 210 + 252 = 630;
- O resultado desta adição tem que ser igual ao que foi dado no texto do
problema zyx ++ = 630; e
- Caso não confira, verifique novamente, todas as operações que você realizou
no desenvolvimento do problema.

10
Após ter recapitulado o estudo referente ao capítulo 1 do livro texto,
acesse a ferramenta ATIVIDADES e realize a Atividade 1 – Meus
Conhecimentos Sobre Razão e Proporção.
1.2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Agora que estudamos razão e proporção, retorne ao livro texto e estude grandezas
proporcionais, no Capítulo 2. Nesse capítulo, você encontrará as definições; suas
propriedades características; a relação entre elas, se direta ou inversa.
– Grandezas diretamente proporcionais:
A tabela seguinte, relaciona o comprimento do metro de um fio de titânio especial
com os seus respectivos preços:
Para sua melhor compreensão, acesse a Animação 1 - Grandezas
Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente
Proporcionais, na ferramenta MATERIAL DIDÁTICO, e observe o
comportamento dos gráficos dos exemplos a seguir.
comprimento (m) valor (R$)
2 24,00
3 36,00
4 48,00
5 60,00
12 144,00

11
Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que o comprimento
do fio aumenta e o preço correspondente também. Observamos ainda que:
– Se o comprimento do fio duplica, o preço também duplica;
– Se o comprimento do fio triplica, o preço também triplica; e
– Se o comprimento do fio quadruplica, o preço também quadruplica, e assim
sucessivamente.
Dessa forma, podemos afirmar que as grandezas, comprimento do fio e preço,
aumentam na mesma proporção, logo essas grandezas são diretamente proporcionais, ou
simplesmente proporcionais.
Outra forma de determinar se duas grandezas são diretamente proporcionais, é
verificar se a razão entre elas permanece constante, veja:
fiodooCompriment
fiodoPreço
= 12
12
144
5
60
4
48
3
36
2
24
=====
Nesse caso, 12 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade. E as sequências de
números (24, 36, 48, 60, 144) e (2, 3, 4, 5, 12) são diretamente proporcionais.
Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas proporcionais:
144
132
120
108
96
84
72
60
48
36
24
12
Comprimento do fio de
titânio = x
Y= preço (R$)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xky
k
x
y
.=
⇓
=
, onde
K é a constante de
proporcionalidade

12
Não esqueça, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete o aumento
da outra para que elas sejam caracterizadas como grandezas diretamente porporcionais.
É preciso que esse aumento ocorra proporcionalmente, isto é, se uma grandeza é multiplicada
porum núm eron, a outra grandeza também ficará multiplicada por esse mesmo número n.
Em outras palavras, se dividirmos uma grandeza por n, a outra também ficará dividida por
n.
– Grandezas inversamente proporcionais:
A tabela seguinte relaciona os tempos e as respectivas velocidades médias de
um veículo para percorrer uma distância de 720km:
Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que a velocidade
do veículo aumenta e o tempo necessário para percorrer aquela distância diminui.
Observamos ainda:
– Se a velocidade do veículo duplica, o tempo de percurso se reduz a metade
do tempo anterior;
– Se a velocidade do veículo triplica, o tempo de percurso é a terça parte do
tempo anterior; e
– Se a velocidade do veículo quadruplica, o tempo de percurso é a quarta parte
do tempo anterior.
Desse modo, podemos afirmar que ao aumentar a velocidade, o tempo de
percurso diminui na mesma proporção, logo essas grandezas são inversamente
proporcionais.
Outra forma de determinar se duas grandezas são inversamente proporcionais,
é verificar se o produto entre elas permanece constante, veja:
Velocidade média X tempo de percurso = 30 x 24 = 60 x 12 = 80 x 9 = 90 x 8 =
120 x 6 = 720.
Velocidade
(km/h)
Tempo
(h)
30 24
60 12
80 9
90 8
120 6
180 4

13
Nesse caso, 720 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. E as
seqüências de números (30, 60, 80, 90, 120) e (24, 12, 9, 8, 6) são inversamente
proporcionais.
Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas inversamente
proporcionais:
Lembre-se, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete a diminuição
da outra, para que essas grandezas sejam caracterizadas como inversamente proporcionais.
É preciso que o aumento de uma, que leva a diminuição da outra, ocorra proporcionalmente,
isto é, se uma grandeza é multiplicada por um número n, a outra grandeza ficará dividida
por esse mesmo número n ( )0≠n e vice-versa.

14
1.3 DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE
Dirija-se ao livro texto e estude o Capítulo 3. Nesse capítulo você
aprenderá como fazer a divisão proporcional direta, inversa e composta,
e, como aplicar estes conceitos na divisão de lucros ou prejuízos entre
as pessoas que formam uma sociedade.
Vamos recapitular e reforçar esses conceitos.
Como você pode ter observado durante os seus estudos do Capítulo 3, a divisão
proporcional é uma aplicação da propriedade fundamental das proporções múltiplas,
apresentada no Capítulo 1 do livro texto, que você já estudou.
Portanto, qualquer dúvida, vá até o Capítulo 1 do livro texto, nas páginas 19 e 20.
Relembrando:
Exemplo 1:
Dividir o número 320 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3, 5.
Solução:Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que nós queremos encontrar..
2º Passo: O número 320 será então dividido nas partes:
x que é proporcional ao número 2;
y que é proporcional ao número 3; e
z que é proporcional ao número 5.
3º Passo: Como x , y , z são partes de 320 e diretamente proporcionais a 2, 3 e 5,
então, a razão entre eles permanece constante:
532
zyx
==
E a soma deles é 320: zyx ++ = 320

15
4º Passo: Aplicamos então, a propriedade fundamental das proporções múltiplas na
série de razões
532
zyx
==
Seus antecedentes são: x , y , z
Seus conseqüentes são: 2, 3, 5
32
10
320
532esconsequentdossoma
esantecedentdossoma
==
++
++
=
zyx
Essa propriedade nos garante que, a nova razão encontrada, no caso, 32, será igual a
cada uma das razões que compõe a série de razões
532
zyx
== .
5º Passo: Igualamos cada razão da série
532
zyx
== ao valor encontrado, 32 e
determinamos x , y e z :
16032532
5
9632332
3
6432232
2
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
zx
x
yx
x
xx
x
Exemplo 2:
Dividir o número 78 em três partes que sejam inversamente proporcionais aos números
2, 3 e 4.
1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que desejamos encontrar..
2º Passo: O número 78 será dividido nas partes:
x que é inversamente proporcional ao número 2;
y que é inversamente proporcional ao número 3; e
z que é inversamente proporcional ao número 4.
Lembramos aqui, que isso siginifica dividir o número 78
proporcionalmente aos inversos dos números 2, 3 e 4, ou seja:

16
– x será proporcional ao inverso de 2
2
1
→
– y será proporcional ao inverso de 3
3
1
→
– z será proporcional ao inverso de 4
4
1
→
3º Passo: Como x, y e z são partes de 78, sua soma será zyx ++ = 78; e como x , y e
z são diretamente proporcionais a
4
1
3
1
,
2
1
e a razão entre eles permanece constante:
4
1
3
1
2
1
zyx
==
4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas na
série de razões:
4
1
3
1
2
1
zyx
==
,
seus antecedentes são: x , y e z
seus conseqüentes são:
4
1
3
1
,
2
1
e
72
13
12
78
12
13
78
12
346
78
4
1
3
1
2
esantecedentdossoma
=×==
++
=
++
++
=
zyx
5º Passo: Igualamos cada razão da série
4
1
3
1
2
1
zyx
==
ao número encontrado, neste caso, 72, assim:
Lembre-se que:
– zyx ++ = 78
– na divisão de frações, conserva-se a primeira fração e multiplica-
se pela segunda fração invertendo seus termos.

17
Desse modo, determinamos os valores de x , de y e de z .
Exemplo 3:
Dividir o número 495 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3
e 6 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 30, 36 e 48, respectivamente:
Solução: procedemos da seguinte maneira.
1º Passo: chamamos de x , y e z as três partes que queremos determinar..
2º Passo: o número 495 será dividido nas partes:
- x que é diretamente proporcional a 2 e ao mesmo tempo, inversamente proporcional
a 30. Logo x também é proporcional ao inverso de 30, isto é,
30
1
;
- y que é diretamente proporcional ao número 3 e ao mesmo tempo é inversamente
proporcional ao número 36. Logo, y também é proporcional ao inverso de 36,
1872
4
1
72
4
1
2472
3
1
72
3
1
3672
2
1
72
2
1
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
zz
z
yy
y
xx
x
isto é,
36
1
;
- z que é diretamente proporcional ao número 6 e ao mesmo tempo, inversamente
proporcional ao número 48. Logo z também é proporcional ao inverso do número 48, isto
é,
48
1
.
Lembre-se, quando um número x é proporcional aos números a , b e c ao mesmo
tempo, esse número x será proporcional ao produto de a , b e c, isto é, x será proporcional
a a x b x c.

18
Logo, como:
– x é diretamente proporcional a 2 e
30
1
ao mesmo tempo, ele será também
proporcional ao produto:
2 ×
15
1
30
2
30
1
== (simplificando);
- y é diretamente proporcional a 3 e
36
1
3
12
1
36
3
36
1
==× (simplificando);
- z é diretamente proporcional a 6 e
48
1
6
8
1
48
6
48
1
==× (simplificando).
3º Passo: Como x , y e z são partes de 495, sua soma será: zyx ++ = 495.
E como x , y e z são diretamente proporcionais a
8
1
12
1
,
15
1
e , respectivamente, a razão
entre eles permanece constante:
8
1
12
1
15
1
zyx
==
4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas, na
série de razões.
8
1
12
1
15
1
zyx
==
Seus antecedentes são: x , y e z
Seus conseqüentes são:
8
1
12
1
,
15
1
e
1800
33
120
495
120
33
495
120
15108
495
8
1
12
1
15
esantecedentdossoma
=×==
++
=
++
++
=
zyx
Observe o que foi feito:
- achamos o m.m.c de 15, 12 e 8.
O m.m.c (15 ,12, 8) = 120

19
- reduzimos as frações
8
1
12
1
,
15
1
e ao menor denominador comum, adicionando seus
numeradores.
- fizemos então a divisão de frações
120
33
495
Conservando a primeira (495) e multiplicando pelo inverso da segunda
5º Passo:Igualamos agora cada razão da série
8
1
12
1
15
1
zyx
==
ao número encontrado,
neste caso, 1800, assim:
2251800
8
1
1800
8
1
1501800
12
1
1800
12
1
1201800
15
1
1800
15
1
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
zz
z
yy
y
xx
x
Desse modo, fica determinado os valores de x , de y e de z .
Agora que você revisou o Capítulo 3 do livro texto, coloque em prática o que
estudou!
Lembre-se que você estudou quatro casos de regra de sociedade. Porém, dois
desses casos, não ocorrem na prática, sendo somente estudados do ponto de vista teórico.
Não esqueça, que em uma sociedade, os sócios integrantes, não podem permanecer por
tempos diferentes.
Quando um sócio sai ou um novo sócio é admitido em uma sociedade, procede-
se o balanço geral, determinando ativo e passivo, e em seguida realiza-se a reforma do
contrato social.
Reúnam-se em duplas e, exercitem os seus conhecimentos sobre
divisão proporcional resolvendo as questões referentes a
Atividade 2 - Aplicando Meus Conhecimentos de Divisão
Proporcional, disponível na ferramenta ATIVIDADES.

20
1.4 REGRA DE TRÊS
Sua próxima tarefa será estudar o Capítulo 4 do livro texto. Nesse capítulo você
conhecerá uma nova ferramenta para a resolução de problemas que, envolvem grandezas
proporcionais: a regra de três.
Após você ter estudado o Capítulo 4 do livro texto, vamos juntos, relembrar um
pouco de regra de três.
Existem dois casos de regra de três:
– A regra de três simples; e
– A regra de três composta.
A regra de três simples por sua vez, pode ser: direta ou inversa.
Antes de iniciarmos a resolução de qualquer problema por meio da regra de
três, deveremos estar atentos para:
1º - A disposição correta dos valores numéricos envolvidos no problema:
- Na horizontal, coloca-se os valores numéricos que correspondem a grandezas
diferentes; e
- Na vertical, coloca-se os valores numéricos correspondentes a grandezas iguais.
2º - Reconhecer a natureza da dependência entre as grandezas envolvidas: se
direta ou inversa; e
3º - A montagem da proporção e sua resolução.
Exemplo 1:
Um operário faz 240m2
de pavimentação asfáltica em 16 dias. Quantos metros quadrados
de pavimentação asfáltica, o mesmo operário faria em 12 dias?
1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema.
Grandeza 1 ____________ Grandeza 2
Área em m2
Tempo em dias
240 ______________ 16
X ______________ 12

21
2º Passo: Fazer o reconhecimento da natureza da dependência que existe entre
as grandezas: se direta ou inversa.
Para isso fazemos a seguinte análise:
Se esse operário faz 240m2
de pavimentação asfáltica em 16 dias, quantos
metros quadrados dessa mesma pavimentação, esse operário fará em 12 dias? Mais m2
ou menos m2
? É claro que em 12 dias esse operário fará uma quantidade menor de metros
quadrados de pavimentação asfáltica.
Quando as grandezas envolvidas só aumentam ou quando as grandezas
envolvidas só diminuem, as grandezas são diretamente proporcionais.
3º Passo: Montagem da proporção e resolução:
240 16
X 12
16x = 240 x 12
x =
16
12240 ×
x = 180m2
As setas apontando no mesmo
sentido, indicamque a
proporção é direta. Ou seja, as
grandezas indicadas são
diretamente proporcionais.
Logo, em 12 dias esse operário fará 180m2
de pavimentação asfáltica.
Exemplo 2:
Uma pequena indústria dispõe de 12 máquinas para executar sua produção.
Quando as 12 máquinas estão funcionando, uma certa produção leva 40 dias para ser
obtida. Em quanto tempo essa indústria terá a mesma produção se quatro máquinas estão
em manutenção?

22
1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema.
Grandeza 1 _____________ Grandeza 2
Máquinas Tempo em dias
12 ___________________ 40
8 ___________________ x
Observação: Como 4 máquinas estão em manutenção, apenas 8 máquinas estão
funcionando.
2º Passo: Identificar anatureza da dependência que existe entre as grandezas:
se direta ou inversa. Para isso, analisaremos o seguinte:
Se 12 máquinas levam 40 dias para obter uma produção, 8 máquinas levariam
quantos dias para se obter essa mesma produção? Mais dias ou menos dias?
Certamente que 8 máquinas, levariam mais dias para se atingir a mesma
produção.
Observe ainda, que duplicando o número de máquinas o tempo fica reduzido
pela metade.
Quando se aumenta o valor de uma grandeza, o valor correspondente da outra
grandeza diminui, na mesma proporção, essas grandezas são inversamente
proporcionais.
3º Passo: Montagem e resolução da proporção:
12 ___________ 40
8 ___________ x
408
12 x
=
As setas apontando em sentidos opostos,
indicam que a proporção entre essas
grandezas é inversa, ou seja, que essas
grandezas são inversamente
proporcionais.
Como a proporção é inversa, na sua
modelagem, conservamos uma coluna e
invertemos a outra.

23
8 x = 12 x 40 ⇒ =x
8
4012 ×
⇒ x = 60 dias.
Logo, serão necessários 60 dias para que essa indústria tenha a mesma produção.
Exemplo 3:
Uma pequena empresa com 32 máquinas de costura, produz 1440 uniformes
militares em 12 dias de trabalho. Quantos dias de trabalho serão necessários para produzir
4320 uniformes militares do mesmo tipo, com apenas 24 máquinas trabalhando?
1º Passo: Dispor os valores numéricos que se correspondem de forma correta:
Grandeza 1____________Grandeza 2 __________ Grandeza 3
Máquinas Uniformes militares Tempo em dias
32 _______________ 1440 _______________ 12
24 _______________ 4320 _______________ X
2º Passo: Identificar a natureza da dependência que existe entre as grandezas:
se direta ou inversa.
Neste caso, que a regra de três é composta, analisamos em separado, a grandeza
que desejamos encontrar, com cada uma das outras grandezas que são conhecidas no
problema. É como se dividíssemos a regra de três composta, em várias regras de três
simples, como segue:

24
Grandeza 1 Grandeza 3 Grandeza 2 Grandeza 3
Máquina Tempo em dias Uniformes Tempo em dias
32 _______________ 12 1440 _______________ 12
24 _______________ X 4320 _______________ X
Se 32 máquinas gastam 12 dias
para produzir os uniformes, 24
máquinas gastarão mais dias ou
menos dias para realizar a
mesma produção? A resposta a
essa pergunta é: 24 máquinas
gastarão mais dias para fazer a
mesma produção. Em outras
palavras, se diminuirmos o
número de máquinas pela
metade, o tempo necessário para
se atingir a mesma produção é
duplicado. Logo, número de
máquinas e tempo são
inver samente proporcionais. As
setas apontarão em sentidos
opostos, para indicar que a
proporção é inversa.
Se para produzir 1440 uniformes,
são necessários 12 dias, para
produzir 4320 uniformes serão
necessários mais dias ou menos
dias? A resposta a essa pergunta
é: serão necessários mais do que
12 dias de trabalho para se atingir
essa produção. Em outras
palavras, quando duplicamos o
número de uniformes a ser
produzido, o tempo necessário
para que essa produção se
conclua, também se duplicará.
Logo, quantidade e tempo são
grandezas diretamente
proporcionais. Nesse caso, as
setas apontarão no mesmo
sentido, para indicar que a
proporção é direta.
3º Passo: Montagem e resolução da proporção:
32 _________ 1440 _________ 12
24 _________ 4320 _________ X
Observação: Para escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que
todas as setas, estejam apontando para o mesmo sentido. Neste caso, é mais rápido inverter
a seta da primeira coluna.
24 _________ 1440 _________ 12
32 _________ 4320 _________ X
Agora que todas as setas apontam no mesmo sentido, podemos escrever a
proporção e resolvê-la.
Esse é o resultado da
análise realizada, quanto
a natureza das grandezas
envolvidas no problema.

25
Na modelagem da proporção, a coluna que
contém a variável x, fica do lado esquerdo da
igualdade e os valores numéricos das outras
colunas ficam do lado direito da igualdade
separados pelo sinal da operação
multiplicação.
Logo, serão necessários 48 dias de trabalho.
Agora, que já revisamos a técnica de resolver problemas entre
grandezas proporcionais, chamada de regra de três, iremos
realizar a Atividade 3 - Utilizando a Regra de Três na Solução
de Problemas, disponível na ferramenta ATIVIDADES.
1.5 PERCENTAGEM
Após você ter realizado mais esta atividade, vá até o livro texto e estude o Capítulo
5. Nesse capítulo, você iniciará seus estudos sobre percentagem. Identificará os elementos
do cálculo percentual, verá como se transforma taxa percentual em taxa unitária e vice-
versa, além de resolver problemas de percentagem por meio de uma pequena fórmula que
relaciona os elementos do cálculo percentual.
A aplicação de percentagem é muito freqüente no universo econômico-financeiro.
Ela aparece sob diversas denominações, tais como: percentagem, corretagem, comissão,
abatimento, desconto, multa, parte, quota, prejuízo e lucro.

26
Os problemas que envolvem percentagem podem ser, em geral, resolvidos
fazendo uso de conhecimentos sobre frações, razões, proporções e regra de três. Mas,
esses caminhos para a resolução de problemas de percentagem não são os únicos possíveis
e nem tampouco os mais práticos.
Vamos agora, apresentar e discutir uma pequena expressão que facilita a solução
de problemas de percentagem. Antes de iniciarmos propriamente a discussão sobre essa
expressão, vamos relembrar:
O que é taxa percentual e taxa unitária?
Toda razão que apresenta o conseqüente igual a 100 é chamada de razão
centesimal. Portanto, as razões
100
89
100
75
,
100
40
,
100
15
e são razões centesimais. Quando
substituímos o conseqüente 100 pelo símbolo % (que se lê:por cento) esse numeral passa
a ser chamado de taxa percentual ou taxa centesimal, ou ainda, como alguns preferem,
taxa de percentagem. Portanto, 15%, 40%, 75% e 89% são taxas percentuais, ou seja:
= 15%; que se lê: quinze por cento.
= 40%; que se lê: quarenta por cento.
= 75%; que se lê: setenta e cinco por cento.
= 89%; que se lê: oitenta e nove por cento.100
89
100
75
100
40
100
15
Do mesmo modo que a taxa percentual se refere a 100, podemos determinar
uma taxa que se refere a unidade. Essa taxa é chamada de taxa unitária, muito prática e
por vezes necessária, na resolução de muitas questões. Chamando a taxa unitária de i:
a)
b)

27
Em outras palavras, para encontrarmos a taxa unitária, basta fazer a divisão da taxa
percentual.
Exemplo 1:
Qual taxa unitária correspondente a 3%?
1° Passo: Fazemos a divisão de 3 por 100 e obtemos a taxa unitária.
, logo i = 0,03.
Exemplo 2:
Qual a taxa unitária correspondente a 2,5%?
Solução: procedemos da seguinte maneira:
1° Passo: Dividimos 2,5 por 100, o resultado encontrado representa a taxa unitária.
, logo i = 0,025.
Exemplo 3:
Qual a taxa percentual correspondente a 0,7?
1° Passo: Multiplicamos a taxa unitária por cem e compensamos acrescentando o símbolo
%. O resultado encontrado representa a taxa percentual.
0,7 x 100 = 70%, logo i = 70%
Quais os elementos do cálculo percentual?
Os elementos do cálculo percentual são: a taxa, a percentagem e o principal.
Vamos identificar esses elementos, no seguinte exemplo: em um concurso público que
teve 1200 candidatos inscritos, deixaram de comparecer no dia do exame 300 candidatos.
Qual a razão do número de candidatos que perderam o exame para o número total de
inscritos? Escreva essa razão com consequente 100.
1) Número de candidatos inscritos = 1200
2) Número de candidatos que não compareceram = 300
Razão de 2 para 1 :
1200
300
Escrevendo essa razão com conseqüente 100:

28
Verifique que 300 representa em 1200, o mesmo que 25 representa em 100.
• 1200 representa o principal;
• 300 representa a percentagem; e
•
100
25
= 25% = 0,25 representa a taxa unitária i.
1200
300
100
25
Simplificamos a
razão
1200
300
por 12
Retomando a proporção:
Chamando a percentagem de p
Chamando o principal de P
Chamando a taxa de i, teremos:
Principal
mPercentage
= taxa unitária ou
i
P
p
= que é a formula para o cálculo percentual
— Se desejamos calcular a percentagem:

29
p = i . P (i)
— Se desejamos calcular o Principal:
i
p
P = (ii)
— Se desejamos calcular a taxa unitária:
P
p
i = (iii)
Vamos agora aplicar essa expressão!
Exemplo 1:
Um corretor vende um apartamento por R$ 150.000,00. Sabendo que sua
comissão sobre a venda é de 3%, quanto o corretor ganhou?
1° Passo: Primeiro identificamos e destacamos os dados que são apresentados
no problema.
· R$ 150.000,00 representa o principal ⇒ P = 150000.
· 3% representa a taxa ⇒ i = 3% ⇒ i = 0,03.
· Quanto o corretor ganhou representa uma parcela do principal, logo representa
a percentagem ⇒ p = ?
2° Passo: Como queremos determinar a percentagem, tomamos a expressão (I)
e fazemos as devidas substituições:
p = i . P
p = 0,03 . 150000 ⇒ p = 4500

30
O corretor ganhou nessa transação R$ 4.500,00.
Exemplo 2:
Uma taxa de 20% é aplicada num determinado capital, produzindo um valor de
R$ 3.250,00. De quanto era esse capital?
1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações que são apresentadas
no problema:
• 20% representa a taxa ⇒ i = 20% ⇒ i = 0,2;
• R$ 3.250,00 é parte do capital que corresponde a 20%. Logo representa a percentagem
⇒ p = 3250; e
• deseja-se saber o valor do capital, que nesse caso representa o principal⇒P = ?
2° Passo: Como queremos determinar o principal, tomamos a expressão (II) e
fazemos as devidas substituições:
16250
2,0
3250
=⇒=
=
PP
i
p
P
Logo, o valor desse capital é R$ 16.250,00.
Exemplo 3:
Uma televisão foi adquirida por R$ 2.360,00 e em seguida vendida por R$
2.950,00. Qual a taxa de lucro?
1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações apresentadas no
problema:
· R$ 2.360,00 representa o principal ⇒ P = 2360;
· o lucro do vendedor, que é dado pela diferença: valor da venda – valor de
custo = 2950 – 2360 = 590, representa a percentagem ⇒P=590; e
· queremos saber o valor da taxa ⇒ i = ?

31
2° Passo: Como queremos determinar a taxa, tomamos a expressão (III) e
fazemos as devidas substituições:
%2525,0
2360
590
=⇒=⇒=
=
iii
P
p
i
Logo, a taxa de lucro foi de 25%.
Vamos realizar mais uma atividade? Na ferramenta ATIVIDADES
faça a Atividade 4 - Resolvendo Problemas de Percentagem.
1.6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
Estude agora o Capítulo 6 do livro texto; no qual, você terá oportunidade de fazer
cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo ou de venda de mercadorias. Verá
também que esses problemas, são problemas de percentagem ligados a operações sobre
mercadoria. E, ainda, terá oportunidade de conhecer algumas fórmulas básicas que facilitam
sobremaneira os cálculos nesses tipos de problemas.
Agora que você já estudou o Capítulo 6 do livro texto, vamos recordar alguns
conceitos.
Quando há lucro:
– Preço de venda = preço de custo + lucro;
– Preço de custo = preço de venda – lucro; e
– Lucro = preço de venda – preço de custo.
Quando há prejuízo:
– Preço de venda = preço de custo – prejuízo;
– Preço de custo = preço de venda + prejuízo;
– Prejuízo = preço de custo – preço de venda.
O preço de custo de uma mercadoria é assim formado:

32
Preço de custo = preço de aquisição da mercadoria + despesas diretas sobre a
compra + despesas diretas sobre a venda + despesas de administração + despesas de
funcionamento da empresa.
Para simplificar vamos representar as informações acima, por meio das letras:
– preço de custo = C
– preço de venda = V
– valor do lucro = L
– valor do prejuízo = P
– taxa de lucro ou de prejuízo = i
Quando há lucro, esse lucro pode ser:
– sobre o preço de custo ( )iV +=⇒ 1 . C
– sobre o preço de venda⇒
i
C
V
−
=
1
Quando há prejuízo, esse prejuízo pode ser:
– sobre o preço de custo ⇒V = (1 – i) . C
– sobre o preço de venda ⇒V =
i
C
+1
Vamos agora descobrir em que situações essas expressões matemáticas
facilitam a resolução de problemas que envolvem percentagem.
Exemplo 1:
Um empresário vendeu mercadorias com um lucro de 15% sobre o preço de
custo. Sabendo que as mesmas custaram R$ 1.700,00, determine o preço de venda dessas
mescadorias.

33
1º Passo: Devemos, inicialmente, escolher a expressão matemática correta. Isso
está claro no texto do problema.
O problema fala em lucro sobre o preço de custo, logo a expressão usada será:
V = (1+ i) C.
2º Passo: Agora identificamos e destacamos as informações fornecidos no
problema:
R$ 1.700,00 representa o preço de custo : C = 1700
15% representa a taxa de lucro: i = 15% = 0,15
3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula e calculamos:
V = (1+i) . C
V = (1+0,15) . 1700
V = 1,15 . 1700 ⇒V = 1955.
Logo, o preço de venda dessas mercadorias será de R$ 1.955,00.
Exemplo 2:
Antônio comprou um relógio por R$ 230,00, e deseja vender esse relógio
ganhando 30% sobre o preço de venda. Por quanto Antônio deve vender esse relógio?
1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática certa para resolver
esse problema. Isso está claro no texto. Antônio deseja ter lucro sobre o preço de venda,
logo a expressão será: V =
i
C
−1
.

34
2º Passo: Agora vamos identificar e destacar as informações fornecidas no
problema:
R$ 230,00 é o preço de custo ⇒C = 230
30% é a taxa de lucro ⇒ i = 30% = 0,3
3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e realizamos os
cálculos:
- observe que o lucro foi:
L = V - C = 328,57 - 230,00 = 98,57.
- Verifique que R$ 98,57 corresponde a 30% de R$328,57
que é o preço pelo qual o relógio foi vendido.
Logo, Antônio deverá vender o relógio por R$ 328,57.
Exemplo 3:
Comprei um terreno por R$ 32.500,00. Ao vendê-lo tive um prejuízo de 12% sobre
o preço de custo. Por quanto vendi o terreno?
1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática correta para resolver
essa questão, baseado no texto. O problema fala em prejuízo sobre o preço de custo. Logo,
a expressão correta será: V = (1 – i) . C
2º Passo: Agora destacamos as seguintes informações:
· R$ 32.500,00 é o preço de custo ⇒C = 32500
· 2% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 12% = 0,12
57,328
7,0
230
3,01
230
1
=⇒=
−
=
−
=
VV
V
i
C
V

35
3º Passo: Fazemos agora as devidas substituições na fórmula escolhida e
efetuamos o cálculo:
V = (1 – i) . C
V = (1 – 0,12) . 32500
V = 0,88 . 32500 ⇒ V = 28600
Logo, vendi o terreno por R$ 28.600,00.
Exemplo 4:
Calcule o preço de venda de um apartamento que custa R$ 275.000,00 e que foi
vendido com um prejuízo de 15% sobre o preço de venda.
Solução: Proceda da seguinte maneira:
1º Passo: Fazer a escolha da expressão matemática correta. Isso é feito baseado
no texto do problema. Onde fala em prejuízo sobre a venda, logo, a expressão correta será:
V =
i
C
+1
2º Passo: Vamos agora retirar as informações do problema:
· R$ 275.000,00 é o preço de custo ⇒ C = 275000
· 15% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 15% = 0,15
3º Passo: Vamos substituir esses valores na fórmula escolhida e fazer os cálculos:
Logo, o preço de venda do apartamento foi R$ 239.130,44
.44,239130
15,1
275000
15,01
275000
1
=⇒=
+
=
+
=
VV
V
i
C
V

36
Até aqui, estudamos alguns problemas que tratam apenas da compra e venda
de mercadorias e bens imóveis.
Vamos agora relembrar mais duas expressões matemáticas que também
facilitam a resolução de problemas que tratam de abatimentos ou de aumentos sucessivos.
- Quando o problema fala em abatimentos sucessivos, lançamos mão da
seguinte fórmula:
, em que
)1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPL −−−−=
L = valor líquido após os abatimentos.
P = valor principal sobre o qual incide os descontos.
niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas.
- Quando o problema sugere aumentos sucessivos, usamos a seguinte
expressão:
)1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPM ++++= , em que
M = valor final após os aumentos sucessivos
P = valor principal sobre o qual incidem os aumentos
niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas.
Exemplo 1:
Um atacadista oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de
10%, 6% e 3%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 35.000,00, qual o valor líquido da
mesma?
1º Passo: Trata-se de um problema de abatimentos sucessivos. Logo,

37
2º Passo: Os dados do problema são:
• R$ 35.000,00 é o valor da fatura ⇒P = 35000
• 10%, 6% e 3% são as taxas sucessivas:
03,0%3
06,0%6
1,0%10
3
2
1
==
==
==
i
i
i
3º Passo: Substituímos esses dados na fórmula e encontramos o resultado:
70,28721
97,0.94,0.9,0.35000
)03,01).(06,01).(1,01.(35000
)1).(1).(1.( 321
=
=
−−−=
−−−=
L
L
L
iiiPL
Logo, o valor líquido da fatura será R$ 28.721,70.
Exemplo 2:
Uma empresa automobilística produziu certo ano 22.000 unidades de veículos.
Nos quatro anos seguintes, sua produção aumentou de 3%, 5%, 7% e 9%, respectivamente.
Qual a produção anual após esses aumentos?
Solução: procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Trata-se de um problema de aumentos sucessivos. Logo, a expressão usada
será:
)1).(1).(1).(1.( 4321 iiiiPM ++++=
2º Passo: Destacando os dados do problema:
• 22.000 é a quantidade que sofrerá aumentos sucessivos ⇒P = 22000
• 3%, 5%, 7% e 9% são as taxas sucessivas.
09,0%9
07,0%7
05,0%5
03,0%3
4
3
2
1
==
==
==
==
i
i
i
i
)1).(1).(1.( 321 iiiPL −−−=

38
3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e encontramos o resultado:
77,27749
09,1.07,1.05,1.03,1.22000
)09,01).(07,01).(05,01).(03,01.(22000
)1).(1).(1).(1.( 4321
=
=
++++=
++++=
M
M
M
iiiiPM
A produção anual após esses aumentos será de 27.749 veículos.
Agora, que já revisamos e aplicamos as fórmulas matemáticas que facilitam e
agilizam a resolução de problemas sobre operações de mercadorias, retorne ao livro texto,
mais precisamente nas páginas 65, 66 e 67 e estude a resolução dos exercícios 1, 2, 3, 4 e
5 feitas pelo autor, e logo após, realize a Atividade 5.
Concluindo os estudos dessa unidade, aprofunde os seus
conhecim entosrealizando aAtividade 5 - Aprofundando Meus
Conhecimentos Sobre Operações com Mercadorias,
disponível na ferramenta ATIVIDADES.

39
SÍNTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você revê a oportunidade de construir os seguintes conhecimentos.
Razão: Representação, termos.
econsequentb
eantecedenta
→
→
ou
eantecedent
econsequentba
α
→:
Lê-se: a para b ou a está para b.
Proporção
Representação
d
c
b
a
=→ ou dcba ::::
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
Termos → a , b , c e d (1º, 2º. 3º e 4º termos, respectivamente).
Antecedentes → a e c
Consequentes → b e d
Extremos → a e d
Meios → b e c
Propriedade Fundamental → a . d = b . c
Série de Razões iguais →
n
m
d
c
b
a
=== ...
Propriedade Fundamental →
n
m
d
c
b
a
ndb
mca
====
+++
=++
...
...
...
Grandezas Diretamente Proporcionais
São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função do
tipo y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.
Propriedade característica: se duas grandezas, x e y são diretamente proporcionais, a
razão entre dois valores de uma delas é igual a razão entre os dois valores correspondentes
da outra, isto é,
2
1
2
1
y
y
x
x
= .

40
Números diretamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1
,
a2
, ..., an
) e (b1
, b2
, ..., bn
) são diretamente proporcionais se, e somente se
)tan(...
2
2
1
1
teconsk
bn
an
b
a
b
a
==== .
Grandezas Inversamente Proporcionais
São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função do
tipo
x
k
y = , onde k é um número bem constante, diferente de zero.
Propriedade característica: se duas grandezas x e y são inversamente proporcionais, a
razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores
correspondentes da outra, isto é,
1
2
2
1
y
y
x
x
= .
Números inversamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1
,
a2
, ..., an
) e (b1
,b2
, ..., bn
) são inversamente proporcionais se, e somente se
a1
. b2
= a2
. b2
= ... an
. bn
= k (constante) ou então:
k
bn
an
b
a
b
a
====
1
...
2
1
2
1
1
1
.
Grandezas Proporcionais a Várias Outras
Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamente
proporcional a cada uma delas quando as demais não variam.
Propriedade: se uma grandeza variável x é ao mesmo tempo diretamente proporcional
as grandezas a e b e inversamente proporcional as grandezas c e d, então, cada valor
dessa grandeza é proporcional ao produto dos valores correspondentes das grandezas
diretamente proporcionais, multiplicado pelo produto dos inversos dos valores
correspondentes das grandezas inversamente proporcionais, isto é,
dc
bakx
1
.
1
...= ou
cd
ab
kx .=

41
Divisão Proporcional
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados, é decompô-
lo em parcelas proporcionais a esses números.
A divisão proporcional pode ser:
– em partes diretamente proporcionais;
– em partes inversamente proporcionais; e
– divisão proporcional composta.
Regra de Sociedade
É uma aplicação da divisão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros ou dos
prejuízos entre as pessoas que formam uma sociedade.
Classicamente, há quatro casos a considerar:
1º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante o mesmo tempo: O lucro
ou o prejuízo é dividido em partes iguais entre os sócios;
2º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: O
lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais de cada sócio;
3º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante tempos diferentes: O
lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais ao tempo; e
4º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante tempos também
diferentes: O lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos produtos
do capital pelo respectivo tempo de cada sócio.
Regra de Três
Chamamos de regra de três os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta
ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
A regra de três pode ser:
– Simples: Quando envolve apenas duas grandezas; e
– Composta: Quando envolve mais de duas grandezas.

42
Percentagem
Elementos do cálculo percentual: taxa, percentagem e principal.
Taxa (i): É o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada
100.
Percentagem (p): É o valor que representa a quantidade tomada de outra,
proporcionalmente a uma taxa.
Principal (P): É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
Fórmula para o cálculo da taxa:
P
p
i =
Fórmula para o cálculo da percentagem: Pip .=
Fórmula para o cálculo do principal:
i
p
P =
Operações sobre Mercadorias
Vendas com lucro sobre o preço de custo: CiV ).1( +=
Vendas com lucro sobre o preço de venda:
i
C
V
−
=
1
Vendas com prejuízo sobre o preço de custo: CiV ).1( −=
Vendas com prejuízo sobre o preço de venda:
i
C
V
+
=
1
Fórmula do valor líquido para abatimentos sucessivos:
L = P . (1 – i1
) . (1 – i2
) . (1 – i3
) ... (1 – in
)
Fórmula do valor líquido para aumentos sucessivos:
M = P . (1 + i1
) . (1 + i2
) . (1 + i3
) ... (1 + in
)

Matematica Financeira

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