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QUESTÕES PUC-RIO - CONJUNTOS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
Seguindo a ideia de publicar as dúvidas recebidas de estudantes do forum
PUC-RIO com as soluções e dicas relevantes, vamos ao exercício de hoje.
DÚVIDA RECEBIDA NO Forum PUC-RIO:
Considere um conjunto A de nú meros naturais definido recursivamente da
seguinte maneira:
1) 3 ∈ A;
2) Se x ∈ A e y ∈ A entã o x + y ∈ A.
Prove que A é o conjunto dos mú ltiplos de 3.
DÚVIDAS:
1) Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
2) Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
3) Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
4) Posso fazer a demonstração por indução?
SOLUÇÃO:
O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3,
pois:
3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ⇒ etc.
Mais formalmente, por indução, fica:
Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A.
3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K
Hipótese de indução:
Suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a A. Pelo enunciado:
3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K
Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).
Mas se, por exemplo:
1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio, pelo enunciado) então:
A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo que 0 é natural) N{0}
está contido em A.
Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
este é <= 3.
Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
que
4 ou 5 pertençam a A.
Confira a discussão completa em:
https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55351.html

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QUESTÕES PUC-RIO - CONJUNTOS

  • 1. QUESTÕES PUC-RIO - CONJUNTOS Claudio Buffara – Rio de Janeiro
  • 2. Seguindo a ideia de publicar as dúvidas recebidas de estudantes do forum PUC-RIO com as soluções e dicas relevantes, vamos ao exercício de hoje.
  • 3. DÚVIDA RECEBIDA NO Forum PUC-RIO: Considere um conjunto A de nú meros naturais definido recursivamente da seguinte maneira: 1) 3 ∈ A; 2) Se x ∈ A e y ∈ A entã o x + y ∈ A. Prove que A é o conjunto dos mú ltiplos de 3. DÚVIDAS: 1) Posso dizer que 3 é o menor elemento de A? 2) Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento? 3) Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero? 4) Posso fazer a demonstração por indução?
  • 4. SOLUÇÃO: O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3, pois: 3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ⇒ etc. Mais formalmente, por indução, fica: Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A. 3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K
  • 5. Hipótese de indução: Suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a A. Pelo enunciado: 3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).
  • 6. Mas se, por exemplo: 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio, pelo enunciado) então: A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo que 0 é natural) N{0} está contido em A. Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que este é <= 3. Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que 4 ou 5 pertençam a A. Confira a discussão completa em: https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55351.html