Condensado de Bose Einstein

Condensado de Bose-Einstein

Anderson Madruga dos Santos

ITA

November 9, 2011

Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 1 / 45

Introdu¸õ
ca

Sum´rio
a

1 Personagens
2 Natureza quˆntica do CBE
a
3 B´sons livres na regiõ normal
o a
4 B´sons livres na regiõ de coexistˆncia
o a e
5 G´s de f´tons
a o
1 Decomposi¸õ espectral
ca
2 Solu¸õ cl´ssica
ca a
3 Lei de Planck
6 Bibliografia


Introdu¸˜o
ca

Personagens - Satyendra Nath Bose

1/1/1894 ` 4/2/1974
a
1924: Lei de Planck pode ser
obtida a partir das Leis da
Mecˆnica Estat´
a ıstica e
considerando:
n´
ıveis de energia dos
f´tons s˜o discretos;
o a
n´mero arbitr´rio de
u a
f´tons podem ocupar o
o
mesmo n´ de energia;
ıvel


Introdu¸˜o
ca

Personagens - Albert Einstein

14/3/1879 ´ 18/4/1955
a
Teoria da Relatividade
Nobel de F´ısica - 1921
Generaliza¸˜o da estat´
ca ıstica
de Bose para ´tomos
a


Natureza Quˆntica do CBE
a

Princ´
ıpio da incerteza de Heisenberg:
Posi¸õ do ´tomo ´ incerta;
ca a e
Posi¸õ distribu´ por uma distˆncia da ordem do comprimento
ca ıda a
de onda de de Broglie;

Tambiente
c.d.o. de de Broglie ´ 10000 vezes menor que a distˆncia entre
e a
´tomos;
a
ondas nõ relacionadas;
a
estat´ıstica de Maxwell-Boltzmann;


Natureza Quˆntica do CBE
a

Fun¸˜o de onda:
ca

Diminuindo a Temperatura..

Condensado de Bose-Einstein:


Condensa¸õ de Bose-Einstein
ca

Grande fun¸õ de parti¸õ:
ca ca
ln Ξ(T, V, µ) = − ln(1−e[−β(εj −µ)] )
j

N
No limite termodinˆmico (N → ∞ e
a V
= constante):
Pressõ
a
1
p(T, µ) = −kB T lim
ln Ξ(T, V, µ)
V →∞ V

N´mero de ocupa¸õ dos orbitais
u ca
1
nj =
eβ(εj −µ) −1


ca

N´mero de part´
u ıculas
1
N= nj = (1)
j j
eβ(εj −µ) −1

Energia interna do sistema
εj
U= εj nj = β(εj −µ)
j j
e −1


ca

No limite cl´ssico, podemos mostrar que:
a
3
µ 1 2π 2 2
N 3
= ln + ln − lnT
kb T γ mkb V 2


ca

Para calcular a temperatura de Bose-Einstein (T0 ), fazemos µ = 0
em (1) e utilizamos o espectro de energia usual de part´ıculas livres
2 2
k
εj = .
2m
Lembra que no limite termodinˆmico:
a

→ convergente

Obtemos:
∞ 1
ε 2 dε
N = γV C , (2)
0 eβ0 ε − 1
onde: 3
1 2m 2
C= 2 2
.
4π

ca

Fazendo x = β0 ε e utilizando o resultado
∞ 1
x 2 dx 3 3
=Γ ζ ,
0 ex − 1 2 2
temos a temperatura de Bose-Einstein:
2
3 2
2
4π 2 N 3
T0 = 3 3
,
2mkB γΓ 2 ζ 2
V
que ´ conhecida como temperatura de Bose-Einstein.
e


ca

Fun¸õ gama
ca
∞
γ(z) = tz−1 e−t dt
0

e verifica para n natural: γ(n + 1) = n!.

Fun¸õ zeta de Riemann
ca
∞
ζ(s) = k −s
k=1


ca

Reescrevemos (1), na forma

N 1 z 1 1
= +
V V 1−z V j=0
z −1 eβεj −1
O que acontece no limite µ → 0− , com T ≤ T0 ?
z = eβµ → 1, no limite termodinˆmico (V → ∞);
a
No limite
N
´ ﬁxa
e
µ → 0 e V → ∞, temos V
T ≤ T0
Assim:

1 z N0
→ , (3)
V 1−z V
onde N0 ´ a desidade de part´
V
e ıculas no estado com energia nula (ou
seja, no condensado de Bose-Einstein) e

ca

∞ 1
1 1 ε 2 dε Ne
→ γC = ,
V j=0
z −1 eβεj − 1 0 eβε − 1 V

onde Ne ´ a desidade de part´
V
e ıculas nos estados excitados.
Portanto

N = N0 + Ne .
Reescrevendo (2), temos
∞ 1
N ε 2 dε
= γC .
V 0 eβ0 ε − 1
Ent˜o, ´ v´lida a rela¸˜o
a e a ca
3
T 2
N0 = N 1 −
T0

ca

N0 3 T0 − T
∼
N 2 T0
N0 → N para T → 0
N0 → 0 para T → T0


ca B´sons livres na regiõ normal (µ < 0)
o a

Escrevendo o lagaritmo da fun¸õ de parti¸õ como uma s´rie de
ca ca e
βµ
potencias da fugacidade z = e , podemos reescrever a gfp:
1 1 1
ln Ξ(β, V, z) = − ln(1 − z) − ln[1 − ze−βεj ]. (4)
V V V j=0

No limite termodinˆmico, V → ∞ com z < 1, temos
a
∞
1 1
ln Ξ(β, V, z) → −γC ε 2 ln[1 − ze−βε ]dε.
V 0

Entõ, podemos escrever
a

∞
1 1 1
ln Ξ(β, V, z) = γC ε 2 ze−βε + z 2 e−2βε + . . . dε
V 0 2
∞
γ zn
= 5 .
λ3 n=1 n2


o a

Onde
h
λ= √ .
2πmkb T
Introduzindo a fun¸˜o
ca
∞
zn
gα (z) = ,
n=1
nα
temos a forma compacta
1 γ
ln Ξ(β, V, z) = 3 g 5 (z). (5)
V λ 2


o a

Com esta fun¸˜o deﬁnida, temos:
ca
N´mero de part´
u ıculas
∂ γV
N =z ln Ξ(β, V, z) = 3 g 3 (z) (6)
∂z λ 2

Energia interna
∂ 3γV
U =− ln Ξ(β, V, z) = g 5 (z) (7)
∂β 2βλ3 2

Para obtermos U = U(T,V,N) → Usamos (6) para eliminar z.
Em geral, processo num´rico complicado.
e


o a

Exemplo: C´lculo de cV , definido pela rela¸õ:
a ca

1 ∂U kB β 2 ∂U
cV = cV (T, v) = =− .
N ∂T V,N N ∂β V,N

Queremos U = U(β, V, N). Para tal, usamos a tćnica dos
e
jacobianos:

∂U ∂(U, N) ∂(U, N) ∂(β, z)
= =
∂β N ∂(β, N) ∂(β, z) ∂(β, N)
∂N
∂U ∂U ∂β
z
= − ∂N
.
∂β z ∂z β ∂z β

As derivadas que aparecem acima, podem ser calculadas usando as
equa¸˜es (6) e (7).
co

o a

Os quatro resultados que precisamos, ent˜o, s˜o:
a a

∂U 15γV
= − g 5 (z).
∂β z 4β 2 λ3 2
∂U 3γV
= g 3 (z).
∂z β 2βλ3 z 2
∂N 3γV
= − g 3 (z).
∂β z 2βλ3 z 2
∂N γV
= g 1 (z).
∂z β λ3 z 2


o a

Assim, temos:

3 5 g 2 (z) 3 g 3 (z)
5
cV = k B − 2
.
2 2 g 3 (z) 2 g 1 (z)
2 2

1 No limite cl´ssico:
a
g(z) ≈ z → cV ≈ 3 kB 2
2 Na transi¸˜o de Bose-Einstein (z = 1, T = T0 ):
ca
cV ´ ﬁnito, pois g 1 (1) → ∞, g 3 (1) = 2.612... e g 5 (1) = 1.342...
e
2 2 2
.


o a

Exemplo: Obter Z = Z(T, V, z):
No formalismo do grande potencial termodinˆmico, temos
a

∂Φ ∂p
S=− =V .
∂T V,µ ∂T µ

Utilizando (5), obtemos
γ
p = p(T, µ) = g 5 (z).
λ3 β 2
Assim:

kB γV 5
S= g 5 (z) − g 3 (z)lnz .
λ3 2 2 2


o a

Utilizando (6), tamb´m podemos escrever:
e

5 g 2 (z)
5
S = kB N − lnz .
2 g 3 (z)
2


ca B´sons livres na regi˜o de coexistˆncia (µ = 0, T < T0 )
o a e

Para esta regi˜o, temos energia nula.
a
Utilizando (6) e (7), obtemos:
3γV
U= g 5 (1)
2βλ3 2
e
γV
g 3 (1). Ne =
λ3 2
cV pode ser obtido facilmente:

1 ∂U 15γV kB V 3
cV = = g 5 (1) = c T 2,
N ∂T V,N 4λ3 N 2 N
onde c ´ um prefator constante.
e


o a e

A pressõ pode ser obtida a partir da equa¸õ (4). Para µ → 0 e
a ca
V → ∞, segundo a equa¸õ (3), temos
ca
1 z 1 1 N0
→ → .
V 1−z V 1−z V
Portanto, tamb´m devemos ter
e
1
ln(1 − z) → 0.
V
Considerando (4), a pressõ na linha de coexistˆncia deve ser dada
a e
por

1 γC ∞ 1
p= ln Ξ(β, V, z) → ε 2 ln[1 − e−βε ]dε
βV β 0
γ
= g 5 (1).
βλ3 2


o a e

A press˜o dos b´sons livres se anula no zero absoluto, ao contr´rio do
a o a
g´s de Fermi.
a
Para calcular a entropia, temos

∂Φ ∂p
S=− =V .
∂T V,µ ∂T µ

Portanto

∂p 5kB γV
S(T, V, µ = 0) = V = g 5 (1).
∂T µ=0 2λ3 2
No zero absoluto, o condensado n˜o carrega entropia.
a


G´s de f´tons
a o Decomposi¸˜o Espectral
ca

Obter a decomposi¸˜o espectral da energia associada ao campo
ca
eletromagn´tico.
e
Dentro de uma cavidade vazia de volume V, a energia
eletromagn´tica ´ dada por:
e e

1
H= (E2 + H2 )d3 r,
8π V

onde E = H = f (r, t), obedecendo as equa¸˜es de Maxwell
co
1 ∂H
∇×E= − ,
c ∂t

∇ · E = 0,


G´s de f´tons
ca

1 ∂E
∇×H= ,
c ∂t
e

∇ · H = 0.
Introduzindo os potenciais de Hertz, temos:

H=∇×A
e
1 ∂A
E=− − ∇φ.
c ∂t


G´s de f´tons
ca

Deﬁnindo os novos potenciais

A → A − ∇ψ
e
1 ∂ψ
,φ→φ+
c ∂t
temos os mesmos campos E e H deﬁnidos anteriormente.
Escolhemos ψ, tal que

∇ · A = 0,
que ´ o chamado Calibre de Coulomb.
e


G´s de f´tons
ca

Fazendo esta escolha, temos:

1 ∂2A 1∂
∇2 A − 2 ∂t2
= ∇φ
c c ∂t
e

∇2 φ = 0.
Podemos tomar φ = 0, pois nõ h´ cargas na cavidade. Assim,
a a
temos:

1 ∂2A 2
∇ A − 2 2 = 0,
c ∂t
ficando os campos definidos por

H=∇×A


G´s de f´tons
ca

e
1 ∂A
. E=−
c ∂t
Vamos considerar uma cavidade na forma de um paralelep´
ıpedo de
lados L1 , L2 e L3 .
Condi¸˜es de contorno:
co
Esta estrutura ´ periodicamente repetida para preencher todo o
e
espa¸o.
c
Os campos s˜o os mesmos, nos pontos correspondentes em
a
todos os paralelep´
ıpedos.
Com estas condi¸˜es de contornos peri´dicas podemos escrever os
co o
campos como combina¸˜es lineares de senos e cosenos.
co

A= Ak eik·r , (8)
k

G´s de f´tons
ca

onde o vetor de onda k ´ dado por
e

2πm 2πn 2πl
k = (k1 , k2 , k3 ) = , , ,
L1 L2 L3
com m, n, l = 0, ±1, ±2, . . ..
Potencial vetor real, entõ,
a

Ak = A∗ .
−k

A condi¸õ de transversalidade (∇ · A = 0), implica a rela¸õ
ca ca

k · A−k = 0.
Ou seja, os vetores complexos Ak , sõ normais aos vetores de onda
a
k.


G´s de f´tons
ca

Temos, entõ, a equa¸õ de onda
a ca

d2 Ak
+ c2 k 2 Ak = 0, (9)
dt2
que evidencia o comportamento harmˆnico das vibra¸˜es do campo
o co
eletromagn´tico.
e
As solu¸˜es da equa¸õ (9), podem ser escritas na forma
co ca

Ak = ak eiwk t + bk e−iwk t ,
onde o espectro de frequˆncias ´ dado por
e e

wk = ck.


G´s de f´tons
ca

Levando em conta que o potencial vetor ´ real, podemos escrever a
e
solu¸õ, como
ca

Ak = ak eiwk t + a−k e−iwk t .
∗

Inserindo a ultima em (8), obtemos
´

A= [ak eiwk t+ik·r + c.c],
k

onde c.c significa o termo do complexo conjugado.
Os campos E e H, entõ, serõ dados por
a a
1 ∂A
E=− = [−ikak eiwk t+ik·r + c.c]
c ∂t k
e


G´s de f´tons
ca

H =∇×A = [i(k × ak )eiwk t+ik·r + c.c].
k

Por ﬁm, vamos obter H2 e E2 e integrar no volume d3 r.
Utilizando a propriedade de normaliza¸˜o
ca
′
eik·r+ik ·r d3 k = V δk,k′ ,
V
´ poss´ mostrar que
e ıvel

E2 d3 r = −V k 2 ak · a−k e2iwk t + V k 2 ak · a∗
−k
V k
+ V k 2 a∗ · ak − V k 2 a∗ · a∗ e−2iwk t .
k k −k


G´s de f´tons
ca

De forma an´loga, usando as propriedades do produto vetorial misto
a
e o fato dos campos serem transversais, podemos mostrar que

H2 d3 r = V k 2 ak · a−k e2iwk t + V k 2 ak · a∗
−k
V k
+ V k 2 ak · ak + V k 2 ak · a−k e−2iwk t .
∗ ∗ ∗

Portanto, obtemos
1 V
H= (E2 + H2 )d3 r = k 2 ak · a∗ .
k (10)
8π V 2π k


G´s de f´tons
a o Solu¸õ Cl´ssica
ca a

Para utilizar o formalismo canˆnico, vamos definir
o
Coordenadas generalizadas da posi¸õ
ca
Qk (t) = α[ak eiwk t + a∗ e−iwk t ]
k

e
Coordenadas generalizadas de momento
d
Pk (t) = Qk (t) = α[iwk ak eiwk t − iwk a∗ e−iwk t ],
k
dt
onde α ´ uma constante real.
e
Escrevendo ak e a∗ em termos das coordenadas generalizadas e
k
substituindo em (10), temos
V
H= [P2 + k 2 c2 Q2 ].
k k
8πα2 c2 k


G´s de f´tons
ca a

As equa¸˜es de Hamilton
co
d ∂H
Qk =
dt ∂Pk
e
d ∂H
Pk = − ,
dt ∂Qk
ser˜o satisfeitas com a escolha
a
1
V 2
α= .
4πc2
Forma canˆnica → Mecˆnica Estat´
o a ıstica Cl´ssica
a


G´s de f´tons
ca a

Devido ` transversalidade dos campos, temos
a

Qk · k = Pk · k = 0.
Qk e Pk tˆm duas dimens˜es e o hamiltoniano do sistema, fica
e o
1
H= [Pk,j + wk Q2 ] =
2 2
k,,j Hk,j ,
2
k,j k,j

onde j = 1, 2 e Hk,j ´ o hamiltoniano de um oscilador harmˆnico
e o
com wk,j = kc.
A fun¸õ canˆnica de parti¸õ ´ dada por
ca o ca e
∞
β 2 2 2
Z = Πk,j dQk,j dPk,j e− 2 [Pk,j +wk Qk,j ] .
−∞


G´s de f´tons
ca a

Ent˜o,
a

2π
lnZ = ln .
k,j
βkc
A energia interna ´ ﬁnita e pode ser dada por
e
∂ 1 V 1 3
U =− lnZ = =2 d k → ∞,
∂β k,j
β (2π)3 β
onde a divergˆncia nos mostra a cat´strofe do ultravioleta.
e a
Podemos escrever
∞ ∞
V 8π
U= kB T 4πk 2 dk = V kB T ν 2 dν,
4π 3 0 c3 0
onde
1 kc
ν= wk = .
2π 2π

G´s de f´tons
ca a

Assim, temos a lei de Rayleigh-Jeans,
kB T 2
u(ν) = 8π
ν ,
c3
que produz os dados experimentais somente na regi˜o de baixa
a
frequˆncia.
e


G´s de f´tons
a o Lei de Planck

Energia de um oscilador de frequˆncia ν → m´ltiplos inteiros de hν.
e u
A fun¸õ canˆnica de parti¸õ ´ dada por
ca o ca e

Z = Πk,j Zk,j ,
onde
∞
h 1
Zk,j = e−β 2π wk n = .
n=0
1 − e−β wk

Entõ,
a
V
lnZ = lnZk,j = −2 d3 kln[1 − e−β wk
].
k,j
(2π)3


G´s de f´tons
a o Lei de Planck

A energia interna ´ ﬁnita e dada por
e
∂ V kc
U =− lnZ = 2 d3 k ,
∂β (2π)3 eβ kc−1
onde obtemos a densidade espectral de energia

8πh ν 3
u(ν) = , (11)
c3 eβhν − 1
que ´ a Lei de Planck.
e
No limite ν → 0, temos a f´rmula de Rayleigh-Jeans
o
kB T 2
u(ν) → 8π ν .
c3


G´s de f´tons
a o Lei de Planck

Utilizando a equa¸˜o (11), no entanto, a energia total n˜o apresenta
ca a
nenhuma divergˆncia. De fato
e
∞ ∞
U 8πh ν 3 dν
= u(ν)dν = .
V 0 c3 0 eβhν − 1
Com a mudan¸a de vari´veis βhν = x, temos a lei de
c a
Stefan-Boltzmann
∞
U 8π x3 dx
= (kB T )4 = σT 4 ,
V (hc)3 0 ex − 1
onde σ ´ uma constante.
e


G´s de f´tons
a o Lei de Planck

Referˆncias Bibliogr´ﬁcas
e a

Introdu¸˜o ` F´
ca a ısica Estat´ıstica - Silvio R. A. Salinas;
Statistical Mechanics - R. K. Pathria e Paul D. Beale;


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