Este documento fornece informações sobre circuitos elétricos e associações de resistores. Ele discute os conceitos básicos de átomos, condutores e isolantes. Em seguida, explica os tipos de associação de resistores (série, paralelo e mista), e como calcular a resistência equivalente para cada tipo. Finalmente, fornece exemplos numéricos para ilustrar os cálculos.

1. TÉCNICO EM ELETRÔNICA
MTAC-1
Métodos e Técnicas de Análise de Circuitos
Prof. Renato P. Bolsoni
Ver 1 - 11/08/2009

2. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 1
ÍNDICE
Conteúdo Pág.
O básico da teoria atômica da matéria................................................................................................ 2
Resistência...................................................................................................................................... 3
Associação de resistência................................................................................................................. 4
Resistência equivalente de uma associaão de resistência.................................................................... 5
Exercícios........................................................................................................................................ 9
Geradores e Receptores.................................................................................................................... 15
Exercícios........................................................................................................................................ 16
Associação de Geradores................................................................................................................. 19
Exercícios........................................................................................................................................ 21
Divisor de Tensão e de Corrente......................................................................................................... 23
Exercícios........................................................................................................................................ 24
Leis de Kirchhoff............................................................................................................................... 27
Exercícios........................................................................................................................................ 29
Conversão de ligação de resistores Estrela-Triângulo.......................................................................... 31
Exercícios........................................................................................................................................ 34
Equações de Maxwell....................................................................................................................... 36
Exercícios........................................................................................................................................ 38

3. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 2
O BÁSICO DA TEORIA ATÔMICA DA MATÉRIA
Matéria: tudo o que tem massa e ocupa lugar no espaço, podendo se apresentar em 4 estados
físicos distintos: sólido, líquido, gasoso ou plasma.
Corpo: é uma quantidade limitada de matéria que possui uma certa forma.
Ex: mesa, gota d´água, etc.
- Corpo Simples: formado por um só tipo de elemento: ouro, cobre, alumínio.
- Corpo Composto: formado por dois ou mais elementos: água, sal de cozinha.
Molécula: menor partícula física em que pode ser dividido um corpo composto, sem que o
corpo resultante (molécula) perca suas características.
Átomo: menor partícula física em que se pode dividir um elemento (substancia fundamental)
sem alterar suas características. Pode ser dividido em várias partículas subatômicas, como o
próton, o nêutron e o elétron.
Modelo Atômico de Bohr
O cientista neozelandês Niels Bohr imaginou, em 1915, um modelo para o átomo. Ele o
visualizou como um núcleo rodeado por elétrons em órbitas estáveis, com velocidade suficiente
para que a força centrífuga equilibrasse a atração nuclear. Hoje sabemos que as forças que
governam os átomos não são possíveis de serem explicadas segundo a física tradicional e sim
pela física quântica, que compreende o estudo das interações fortes e fracas no interior do
átomo.
O átomo é formado pelo núcleo e pela elétrosfera.
Núcleo : formado pelos prótons e nêutrons.
Prótons = carga elétrica positiva.
Nêutrons = carga elétrica nula.
Elétrosfera: formada pelos elétrons em órbita
Elétrons = carga elétrica negativa.
Os elétrons se distribuem nos átomos em 7 camadas ou níveis da elétrosfera.
Camada Número de elétrons
K 2
L 8
M 18
N 32
O 32
P 18
Q 8
Cada camada corresponde a um nível energético. As mais afastadas do núcleo têm
energia menor. Os átomos tendem sempre a ficar com um número de 8 elétrons na sua camada
mais externa, chamada de camada de valência. Assim, os elementos condutores, que possuem
poucos átomos na última camada, têm grande tendência a ceder elétrons para outros átomos,
formando ligações iônicas. Já os elementos isolantes possuem mais elétrons na última camada,

4. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 3
e têm tendência a receber elétrons. De modo geral, os elementos condutores têm 1, 2 ou 3
elétrons na última camada, enquanto os isolantes têm 5, 6 ou 7 elétrons na última camada.
Todas as formas de energia, incluindo a térmica e a elétrica, estimulam os elétrons. A
absorção de energia, tal como calor ou luz, pode fazer com que os elétrons que estão na órbita
mais externa escapem. Esses elétrons tornam-se elétrons livres e podem vaguear até serem
atraídos por um átomo carregado positivamente.
Condutores
Os condutores são aqueles materiais que possuem menos elétrons na última camada e,
portanto, estão mais fracamente presos ao núcleo.
Assim, nesses materiais, há uma grande quantidade de elétrons livres quando os estimulamos
com alguma forma de energia (o cobre, por exemplo, possui apenas 1 elétron na última
camada). Exemplos: cobre e alumínio.
Isolantes
Já os isolantes são materiais que possuem elétrons livres em quantidade bem menor.
Exemplos: ar, borracha e vidro.
A eletricidade (CORRENTE ELÉTRICA) é o movimento ordenado dos elétrons livres de
um átomo para outro da estrutura de uma material.
RESISTÊNCIAS
Resistência ou Resistor é qualquer oposição (dificuldade) à passagem da corrente
elétrica.
Ex.: Lâmpada, motor, equipamento eletrônico, resistência do chuveiro, componentes
eletrônicos e até mesmo um condutor fino e comprido, etc.
Qualquer resistência pode ser representada pelos símbolos abaixo e seu valor ôhmico é
dado em Ohm representado pelo símbolo (letra grega Ohmega):

5. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 4
ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS
As resistências entram na constituição da maioria dos circuitos eletrônicos formando
associações de resistências.
É importante, pois, conhecer os tipos e características elétricas destas associações, que
são a base de qualquer atividade ligada à eletrônica.
Esse capítulo vai ajuda-lo a identificar os tipos de associações e determinar suas
resistências equivalentes. Para entender uma associação de resistência, é preciso que você já
conheça o que são resistências.
Associação de resistências é uma reunião de duas ou mais resistências em um circuito
elétrico.
Na associação de resistência é preciso considerar duas coisas: os terminais e os nós.
Terminais são os pontos da associação conectados á fonte geradora. Nós são os pontos em
que ocorre a interligação de três ou mais resistências.
Tipos de associação de resistência
As resistências podem ser associadas de modo a formar diferentes circuitos elétricos:
R1 R1
V R2 V R1 R2 R3 V R2 R3
R3
Associação em Série Associação em Paralelo Associação Mista
Associação em Série
Nesse tipo de associação, as resistências são ligadas de forma que exista apenas um
caminho para a circulação da corrente elétrica entre os terminais.
Caminho único Caminho único
Associação em Paralelo
Trata-se de uma associação em que os terminais das resistências estão ligadas de forma
que exista mais de um caminho para a circulação da corrente elétrica.
Dois caminhos Três caminhos
R1 R2 R1 R2 R3
V I1 I2 V I1 I2 I3

6. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 5
Associação Mista
É a associação que se compõe por grupos de resistências em série e em paralelo.
R5
RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DE UMA ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS
Quando se associam resistências, a resistência elétrica entre os terminais é diferente das
resistências individuais. Por essa razão, a resistência de uma associação de resistência recebe
uma denominação específica: resistência total (Rt) ou resistência equivalente (Req).
Associação em Série
Ao longo de todo o circuito, a resistência total é a soma das resistências parciais, logo a
Rt é sempre maior que a resistência de maior valor da associação.
Matematicamente, obtém-se a Rt da associação em série pela seguinte fórmula:
Rt = R1 + R2 + R3 + ... + Rn
Ex.: Vamos tomar como exemplo uma associação em série formada pelo resistor R1 de
120 e pelo R2 de 270 . Qual será a resistência total ?
R1 120 Rt = R1 + R2
Rt Rt = 120 + 270
Rt = 390
R2 270
Associação em Paralelo
A resistência total de uma associação em paralelo é dada pela equação:
Rt = _________1__________ DICA: 3 ou mais resistências diferentes
_1_ + _1_ +...+ _1_
R1 R2 Rn

7. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 6
Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde o R1=10 , R2=25 e R3=20 :
Rt = ______1________
_1_ + _1_ + _1_
R1 R2 R3
R1 R2 R3
Rt 10 25 20 Rt = ______1______ = ______1_______ = __1__
Ω Ω Ω _1_ + _1_ + _1_ 0,1 + 0,04 + 0,05 0,19
10 25 20
Rt = 5,26
Esta equação é indicada para associação em paralelo constituída por 3 ou mais
resistências com valores ôhmicos diferentes.
Para associações em paralelo com apenas 2 (duas) resistências com valores diferentes,
podemos usar uma equação mais simples:
Rt = R1 x R2
R1 + R2
DICA: Apenas 2 resistências diferentes
Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde o R1=1,2K (1200 ) e R2=680 :
Rt = R1 x R2
R1 + R2
R1 R2 Rt = 1200 x 680 = 816000
Rt 1,2KΩ 680Ω 1200 + 680 1880
Rt = 434
Para associações em paralelo com resistências de mesmo valor podemos usar uma
equação ainda mais simples:
Rt = R DICA: Todas as Resistências de mesmo valor
n
Onde: R é o valor das resistências (todas têm o mesmo valor)
n é a quantidade de resistências associadas em paralelo

8. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 7
Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde todos os resistores são iguais:
Rt = R
N
R1 R2 R3 Rt = 120
Rt 120 120 120 3
Rt = 40
De qualquer forma, valor da Rt de uma associação em paralelo sempre será menor que a
resistência de menor valor da associação.
Associação Mista
Para determinar a resistência equivalente de uma associação mista, procede-se da
seguinte maneira:
A partir dos nós, divide-se o circuito em pequenas partes de forma que possam ser
calculadas como associações em série ou em paralelo. Vamos tomar como exemplo o circuito
abaixo:
R1 560Ω
R2 180Ω
R3 270Ω
Os resistores R2 e R3 estão R4
associados em paralelo 1,2KΩ
Neste circuito o R2 está em paralelo como o R3, e são de valores diferentes. Como ainda
não é a Rt do circuito, vamos chamar de RA :
RA = R2 x R3
R2 + R3
RA = 180 x 270 = 48600
180 + 270 450
RA = 108
Portanto, R2 em paralelo com R3 proporciona uma resistência equivalente de 108 para
a passagem da corrente elétrica por este circuito.
Se o R2 e R3 forem substituídos por um resistor de 108 (RA) o circuito não se altera.

9. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 8
R1 560Ω RA 108Ω
Rt R4
1,2KΩ
Desta forma, este circuito passa a ser uma associação final em série:
Rt = R1 + RA + R4
Rt = 560 + 108 + 1200
Rt = 1868 Rt = 1868
O resultado significa que toda a associação mista original tem o mesmo efeito para a
corrente elétrica que uma única resistência de 1868 .
A seguir, apresentamos um exemplo de circuito misto, com a seqüência de
procedimentos para determinar a resistência equivalente.
R1 10K R2 3,3KΩ
R2 3,3K
R3 68K
Rt
Da análise do circuito, deduz-se que as resistências R1 e R2 estão em série e ser
substituída por uma única resistência RA :
Rt = R1 + R2
Rt = 10K + 3,3K
Rt = 13,3K (13300 )
Foram substituídos por
R1 10K R2 3,3K RA 13,3K
R3 68K
R3 68KΩ R3 68K

10. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 9
Aplicando-se análise de circuito, deduz-se que RA e R3 estão em paralelo:
Rt = RA x R3
RA + R3
Rt = 13,3K x 68K
Rt = 11124Ω
13,3K + 68K
Rt = 11124
EXERCÍCIOS
1) Qual é a característica fundamental de uma associação em série com relação aos caminhos
para a circulação da corrente elétrica?
2) Qual é a característica fundamental de uma associação em paralelo com relação aos
caminhos para a circulação da corrente elétrica?
3) Identifique os tipos de associação (série, em paralelo ou mista) nos circuitos a seguir.
a) _______________ b)________________
c)________________ d)________________
e)_______________ f)_______________

11. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 10
4) Determine a resistência equivalente (Rt) dos circuitos em série abaixo:
a)
R1
680
Rt
R3
330
b)
12
89
27
c) Fazer Prática
470
1,5K
d) Fazer Prática
0,1M
270
1,2M
e)
330Ω 68000Ω
0,47MΩ 27KΩ

12. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 11
5) Determine a resistência equivalente (Rt) dos circuitos em paralelo abaixo:
a)
100 120 58
b)
6,8KΩ
1,2KΩ
c)
10K 10K 10K 10K
d)
120K 120K
e) Fazer Prática
330 390

13. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 12
6) Registre ao lado de cada circuito a equação mais apropriada para o cálculo da Rt.:
a)
R1 R2 R3 R1 = R2 = R3
b)
R1 R2 R3
c)
R1 R2
d) R1
R2
R3
7) Determine a resistência equivalente (Rt) de cada circuito abaixo:
a)
R1 6,8K
R3 2,7K
R2 120K
b) R2 220
R1 390KΩ
R3 39KΩ
R4
2,2K
R5 2,7K

14. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 13
c) Fazer Prática
R1 1,2K R2 3,3K
R3 10
R4 390
d) Fazer Prática
R2 150K
R1 R3
0,39M 10
R4 1,2M
e)
R1 180
R2 270
R3 150 R4 R5
15K 10K
f)
R1 470K R3 5K6
R2 470K R4 2K4

15. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 14
g)
R1 5,6K
R2 R3 R4
10K 15K 12K
Resultado dos cálculos Resistores para Práticas
Pág. Exercício Item Resultado 10
10 4 a 1010 120
10 4 b 128 220
10 4 c 1970 270
10 4 d 1300270 330
10 4 e 565330 390
11 5 a 28 470
11 5 b 1.02K 680
11 5 c 2500 1.2K
11 5 d 60K 1.5K
11 5 e 178.75 2.2K
12 7 a 2802 2.7K
12 7 b 395118 3.3K
13 7 c 4509 39K
13 7 d 302586 100K
13 7 e 6062 150K
13 7 f 236,68K 390K
14 7 g 9,61K 1.2M

16. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 15
GERADORES E RECEPTORES
Aparelho Elétrico:
Denominamos de aparelho elétrico ao dispositivo que transforma uma modalidade
qualquer de energia em energia elétrica ou vice-versa.
O aparelho elétrico podem ser classificados em geradores e receptores, ativos ou
passivos.
É denominado gerador quando transforma uma modalidade qualquer de energia em
energia elétrica. Se ao fazer esta transformação ele impor uma ddp entre seus terminais é
gerador de tensão e se impor uma corrente é gerador de corrente.
Ao contrário, um aparelho elétrico é denominador receptor quando transforma energia
elétrica em outra modalidade de energia. Se esta modalidade for exclusivamente térmica
será denominado receptor passivo e se envolver outra modalidade, além da térmica, será
denominado receptor ativo.
Resumindo:
Tensão
Gerador
Corrente
Aparelho
Elétrico Passivo gera energia térmica
(resistência)
Receptor
gera energia térmica
+
Ativo outra forma de energia
(luz, movimento, som,
vídeo, etc.)
Fonte de Tensão:
Um gerador de tensão é um bipolo, isto é, um aparelho com 2 terminais acessíveis, que
deve impor uma ddp entre seus terminais independente da carga que está alimentando. Com
seus terminais em aberto, isto é, sem estar ligados a qualquer outro componente, a ddp por
ele imposta é denominada força eletromotriz.
I
+
V
OBS: Observe que a corrente e a tensão tem o mesmo sentido na fonte de tensão

17. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 16
Fonte de Corrente:
É um bipolo que deve impor uma corrente de intensidade conhecida entre seus
terminais quando ligado a outro componente (carga). Como é fonte de corrente, mesmo
variando a carga, a corrente se mantém e para isso ela muda o valor da tensão (ddp).
I
+
V
OBS: Observe que a corrente e a tensão também tem o mesmo sentido na fonte de
Corrente.
Receptor (carga):
Equipamento ou componente que entrará em funcionamento quando for alimentado por
uma fonte de tensão ou de corrente. Em todo e qualquer receptor a corrente e a tensão terão
sentido contrário.
IR
+ -
VR
EXERCÍCIOS
Calcule a tensão e a corrente em cada resistor e indicar seus sentidos.
1)
10V
10
2)
10V
R2
20
R1=20

18. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 17
3)
10V
R1=20
R2=20
4) Calcular a tensão da bateria e a RT :
1,5
2A
3V
VT
1,5
3V
5) Calcular a tensão em R3 (VR3):
R1
3V
12V R2 7V
R3
V=____
___

19. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 18
6) Calcule a VT e a RT :
4A
10
VT 10 V
Motor
24V
7) Calcule o que se pede:
2A R1
VT R2
R3
R1 = 10 VR1 = ______
R2 = _____ VR2 = 50V
R3 = _____ VR3 = 40V
RT = _____ VT = ______

20. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 19
ASSOCIAÇÃO DE GERADORES
Associação de geradores de tensão em série:
As fontes de tensão podem ser conectadas em série para aumentar ou diminuir a
tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as
tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A
polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior.
OBS: Como o circuito é em série, a corrente é a mesma em todas as fontes, a
capacidade de fornecer corrente das fontes tem que ser de mesmo valor.
Exemplo de aplicação: Alimentação de um rádio de 6V (3 pilhas de 1,5V em série).
Exs.:
V1=10V V2=6V V3=2V
1)
VAB = V1 + V2 + V3
VAB = 10 + 6 + 2
VAB = 18V
I Observe que a maior força está empurrando a
VAB
corrente para a direita.
2) V1=10V V2=6V V3=2V
VAB = (V1 + V3) – V2
VAB = (10 + 2) - 6
VAB = 6V
I Observe que a força maior está empurrando
VAB
a corrente para a direita.
3) V1=10V V2=6V V3=2V
VAB = V1 – (V2 + V3)
VAB = 10 – (6 + 2)
VAB = 2V
I Observe que a força maior está empurrando
VAB
a corrente para a esquerda.
Associação de geradores de tensão em paralelo:
As fontes de tensão podem ser colocadas em paralelo, como mostra a figura abaixo,
em mesma polaridade e somente se as tensões nos seus terminais forem idênticas. A razão
principal para colocarmos duas ou mais baterias de mesma tensão em paralelo é a obtenção
de uma intensidade de corrente maior (e, portanto, de uma potência mais alta) a partir da
fonte composta.
A capacidade total de fornecer corrente (IT) é determinada pela soma da capacidade de
cada fonte (IT = I1 + I2 + I3 + ...).
Exemplo de aplicação: - Banco de baterias para alimentação de computadores;
- Associação de baterias para som automotivo.
+
I1 I2 I3 IT=150A
50A 50A 50A
VT=12V
12V 12V 12V
-
Se duas baterias de tensões diferentes forem conectadas em paralelo, acabarão
ambas descarregadas, pois a tendência da bateria de tensão maior é cair rapidamente até
igualar-se à da fonte de menor tensão. Considere, por exemplo, duas baterias automotivas de

21. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 20
chumbo-ácido, com diferentes valores de tensão, conectadas em paralelo, como mostra a
figura abaixo:
I
I= ∑V
Rint 1 Rint 2 ∑R
0,03 0,02
E1 E2 I= E1 – E2 = 12V – 6V = 6V
V1 V2 Rint 1 + Rint 2 0,03 + 0,02 0,05
12V 6V
I = 120A
As resistências internas relativamente pequenas das baterias são os únicos elementos
de limitação da corrente no circuito série resultante. Essa corrente excede em muito as
correntes usuais de operação da bateria de maior capacidade , resultando em uma rápida
descarga de E1 e um impacto destrutivo na bateria de menor valor E2
Associação de geradores de corrente em série:
Todas as fontes devem ter o mesmo sentido.
Todas as fontes devem ter o mesmo valor
I1 I2 I3
IT
IT = I1 = I2 = I3
Associação de geradores de corrente em paralelo:
Exemplos:
1) IT
I1 I2 I3
IT = I1 + I2 + I3
2)
IT
I1 I2 I3
IT = I1 + I2 - I3
3)
IT
I1 I2 I3
IT = I1 + I3 – I2

22. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 21
EXERCÍCIOS
Calcule o que se pede em cada diagrama:
1) I 2) I3
I1 I2
R1 V1
2 V1 R1 R2
6V 6V 6V V2
6 3
R2
6V V2
4
3) I2
V1 4) V1 6V I1
4 I1 3 3
4
6V 1
6V
6 6 3
6V 6V 3
I2 2
5) 6)
R2=10 R5=30
IT
R1 R1
10 1
R3 R4 R7 R8 10V R3=3
40 40 20 20
300V R2 I1
V1
5
IT R6=30
7) 8)
R2=10 R4=30 R1=20 R2=35
R1 R6 IT R3 R4 R5
R3 R5
20 60 60 60 100V 100 80 80
80V
R7=30 IT R7=30 R6=25
V4 V3
9) I4
R5=2 R6=2
R4=10
V1 I5 R8
R1 R2 R3 8
I1 I2 I3 R7=8 V2
3 3 12 16V I6

23. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 22
RESULTADOS:
1) I 2A 2) I1 1A 3) I1 1.3A 4) I1 0.288A 5) I 8.3A 7) IT 0.89A 9) V1 16V
V1 4V I2 2A I2 2A I2 0.795A V2 8V
V2 8V I3 3A V1 8V V1 2.38V 6) I1 0A 8) IT 1A V3 4V
VT 12V V1 6V V1 8.33V V4 4V
V2 6V IT 1.66A I1 5.33A
I2 5.33A
I3 1.33A
I4 2A
I5 1A
I6 1A

24. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 23
DIVISOR DE TENSÃO E DE CORRENTE
Divisor de corrente:
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente nos diz como uma corrente
que entra em um conjunto de elementos em paralelos se divide entre esses elementos, porém
a tensão é a mesma para todos.
No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se divide
igualmente.
Ex.: 2A
10V 1A 10 1A 10
No caso de 3 ou mais elementos em paralelo de mesmo valor, a corrente se dividirá
igualmente entre todos os elementos, porém a tensão é a mesma para todos.
No caso particular de apenas duas resistências em paralelo, mesmo com valores
diferentes, podemos aplicar as seguintes formulas:
IR1 = R2 x IT IR2 = R1 x IT
R1 + R2 R1 + R2
Ex.: 5A
20V
1A R1 4A R2
20Ω 5Ω
Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor
resistência será percorrido pela maior fração da corrente.
No caso de 3 ou mais elementos em paralelo de valores diferentes, a corrente se
dividirá entre todos os elementos inversamente proporcional à sua resistência, e a tensão é a
mesma para todos.
5A
15V
1,5A R1 2,5A R2 1A R3
10Ω 6Ω 15Ω

25. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 24
Divisor de Tensão:
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de tensão nos diz como uma tensão que é
aplicada em um conjunto de elementos em série se divide entre esses elementos, porém a
corrente é a mesma em todos os elementos.
A tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma proporção
que os valores de resistência.
Para resolução das quedas de tensão em cada resistor, pode ser usado a lei de Ohm
ou pela seguinte equação:
Vx = Rx x VT
RT
VR1 = R1 x VT
EX.: RT
VR1 = 6 x 20
10
VR1 = 12V
R1
6Ω 12V
VR2 = R2 x VT
RT
R2 VR2 = 3 x 20
6V
20V
3Ω 10
VR2 = 6V
12V
R3
1Ω 2V
VR3 = R3 x VT
RT
VR3 = 1 x 20
10
VR3 = 2V
EXERCÍCIOS
1) Determinar a tensão de V1 para o circuito abaixo usando a regra do divisor de tensão:
R1
20Ω V1
20V
R2
60Ω

26. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 25
2) Usando a regra dos divisores de tensão, para um circuito série com 3 resistores (R1=2K ,
R2=5K e R3=8K ) alimentado com 45V, determinar o valor de VR1 e VR3 :
3) Para o circuito abaixo, calcular o valor de V1 usando o método divisor de tensão :
R1
2Ω
R2
5Ω
45V
V1=_______
R3
8Ω
4) Para o circuito abaixo, calcular o valor de VR2 usando o método divisor de tensão:
VR2 =____
R1 R2 R3 R4
4Ω 2Ω 3Ω 5Ω
V = 27V
5) Calcular o valor de IR2 usando o método divisor de corrente:
6A
IR2=____
R1 R2
4KΩ 8KΩ

27. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 26
6) Determinar o valor das correntes I1 , I2 e I3 usando o método divisor de corrente:
R1=2Ω
I1
I=12A I3
R2=4Ω
I2
7) Usando a regra do divisor de corrente, calcular o valor de R1:
R1
I1=21mA
I=27mA R2
7Ω
8) Determinar o valor de I1 no circuito abaixo:
42mA
IR1=_______
__ R1 R2 R3
6Ω 24Ω 48Ω

28. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 27
LEIS DE KIRCHHOFF
1ª Lei de Kirchhoff - Lei dos NÓS
“A somatória das correntes que chegam a um nó é igual a somatória das correntes que
dele saem”.
ΣI chegam = ΣI saem
Σ = somatória (soma ou subtração)
Ex.:
I2
I3
I1
I4 I1 + I2 + I5 = I3 + I4
I5
2ª Lei de Kirchhoff - Lei das MALHAS
“A somatória das forças eletromotrizes e contra-eletromotrizes ao longo de uma malha de
um circuito é igual a soma algébrica dos produtos R x I em todos os resistores da malha”.
ΣV = ΣR*I
Ex.:
VAB
V1 R1 R2 V2 R3
A B
I1
Fazendo o percurso indicado pela corrente I1, de A para B, temos:
VAB = +V1 - R1 * I1 - R2 * I1 - V2 - R3 * I1
ΣV = ΣR * I
V1 – V2 = (R1+R2+R3) * I1
Exemplos:
1) Calcule a tensão em todos os resistores e a corrente total.
R1=10 5V R2=20
ΣV = ΣR * I
R3 IT = ΣV = 12 – 5 – 8 + 10 = 9
30
12V ΣR 10 + 20 + 30 + 10 70
R4=10 10V
8V IT = 128,57mA
VR1 = R1 * IR1 VR2 = R2 * IR2 VR3 = R3 * IR3 VR4 = R4 * IR4
VR1 = 10 * 128,57m VR2 = 20 * 128,57m VR3 = 30 * 128,57m VR4 = 10 * 128,57m
VR1 = 1,2857V VR2 = 2,5714V VR3 = 3,8571V VR4 = 1,2857V

29. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 28
2) Calcule a tensão e a corrente em todos os resistores.
5V R1=10 11V 12V
1° Passo: Resolver a série R2 + R3.
R2 RA = 20 + 10
20
RA = 30
R7 R4
5 30
R3
10
6V R5=20
R6=10
5V R1=10 11V 12V
2° Passo: Resolver o paralelo de RA
com R4.
R7 RA R4 RB = R = 30
5 30 30
n 2
RB = 15
6V R5=20
R6=10
5V R1=10 11V 12V
3° Passo: Calcular a IT pela 2ª Lei de Kirchhoff
ΣV = ΣR * I
IT = Σ V = 5 + 11 – 12 + 6 __ = 10
R7 RB ΣR 10 + 15 + 20 + 10 + 5 60
5 15
IT = 166,66mA
6V R5=20
R6=10
3° Passo: Calcular a queda de tensão de cada resistor do último circuito usando a Lei de
Ohm.
VR1 = R1 * IR1 VRB = RB * IRB VR5 = R5 * IR5 VR6 = R6 * IR6 VR7 = R7 * IR7
VR1 = 10 * 166,66m VRB = 15 * 166,66m VR5 = 20 * 166,66m VR6 = 10 * 166,66m VR7 = 5 * 166,66m
VR1 = 1,666V VRB = 2,499V VR5 = 3,333V VR6 = 1,666V VR7 = 0,833V
4° Passo: Como o RB foi formado pelo paralelo de RA com R4, a VRA e VR4 é a mesma de
RB. Portanto a VR4 = 2,499V. Calcular a corrente de R4 e de RA usando a Lei de
Ohm.
IRA = VRA IR4 = VR4
RA R4
IRA = 2,499 IR4 = 2,499
30 30
IRA = 83,3mA IR4 = 83,3mA
5° Passo: Como RA foi formado pela série de R2 + R3, a IR2 e a IR3 = 83,3mA. Calcular a
VR2 e a VR3.
VR2 = R2 * IR2 VR3 = R3 * IR3
VR2 = 20 * 83,3m VR3 = 10 * 83,3m
VR2 = 1,666V VR3 = 0,833V

30. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 29
6° Passo: É aconselhável montar uma tabela para termos certeza de todos valores
calculados:
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
V 1.666V 1.666V 0.833V 2.499V 3.333V 1.666V 0.833V
I 166.66mA 83.3mA 83.3mA 83.3mA 166.66mA 166.66mA 166.66mA
Exercícios
A) Calcular a corrente I1 e indicar seu sentido nos circuitos abaixo:
10V 5V
1) I1 2) R1=10 I1
10V R2
R1 R2 10
10 20
5V R4
6
10V
R3=6
R5=12
__________________________________________________________________________________________________
B) Calcular a V (tensão) e I (corrente) em todos os resistores:
3) 4)
R4=10
R1=40
R5
10
R1 R2 R3 R5 R6 R2=20 R4=20
12 20 10 40 20
R3
10
20V 20V
R7=10 R6=10
5)
10V
R1=20 5V R2=5
R5 5V
10 20V
R4=20 20V R3=30
___________________________________________________________________________
6) Calcule um resistor que colocado entre os pontos X e Y, faça percorrer por R2 uma
corrente de 160mA:
R1=30
160mA X
R2
20V 75 Y

31. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 30
7) Calcule a V e a I em todos os Resistores:
R1=10 R2=20
10V 10V
R4
10
R5=20 R3=20
R6=20
RESPOSTAS :
1) 166.66mA 3) V (V) I (A) 4) V (V) I (A) 5) V (V) I (A) 6) 113,2 7) V (V) I (A)
R1 10,85 0,904 R1 8,4 0,21 R1 1,17 R1 3,75 0,375
2) 576.923mA R2 9,12 0,456 R2 11,92 0,596 R2 0,294 0,0588 R2 2,49 0,124
R3 9,12 0,912 R3 8,07 0,803 R3 1,76 R3 0 0
R4 ---- ---- R4 1,398 69,9m R4 1,17 R4 2,49 0,249
R5 6,19 0,154 R5 2,1 0,21 R5 0,588 R5 3,75 0,187
R6 6,19 0,309 R6 1,398 139m It 58,8mA R6 3,75 0,187
R7 4,65 0,465 It 0,807A Vt 5V It 0,375A
It 1,37A Rt 24,78 Rt 85 Rt 26,66
Rt 14,58

32. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 31
CONVERSÃO DE LIGAÇÃO DE RESISTORES
ESTRELA – TRIÂNGULO
Há combinações especiais de três resistores que não podem ser simplificadas como os circuitos série,
paralelo e misto. Podemos resolve-las aplicando regras especiais. Uma destas ligações é a estrela e podemos
encontra-la das formas abaixo. Este tipo de ligação é também conhecido com Y ou T.
Outro tipo é chamado ligação triângulo e também recebe as denominações ∆ (delta) ou π (pi).
CONVERSÃO ESTRELA-TRIÂNGULO
É possível converter um tipo de ligação em outro. Para fazer a conversão de uma ligação em ESTRELA para
TRIÂNGULO basta:

33. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 32
CONVERSÃO TRIÂNGULO-ESTRELA
Ex.:
Req entre A e B? O circuito ao lado possui as estrelas formadas pelos resistores:
E os triângulos formados pelos resistores:

34. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 33
Para encontrar a Req entre A e B temos que converter uma das estrelas para triângulo ou um dos
triângulos para estrela. Teoricamente, qualquer uma das conversões pode ser feita, mas temos que optar por
aquela que irá nos trazer uma maior simplificação. Vamos escolher o triângulo formado pelos resistores:
Substituindo o triângulo pela estrela no circuito teremos:
Após a conversão, o circuito se transformou num circuito misto, que nós conhecemos bem.
Agora podemos calcular Req entre A e B com facilidade.

35. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 34
Exemplo de aplicação do circuito “Ponte de Wheatstone”:
- Balança eletrônica
+ Fonte de
Ajuste de Sensor
balanceamento alimentação
de peso
- cc
Para o circuito conversor analógico / digital
- Detector de fumaça
+ Fonte de
Ajuste de
balanceamento Detector alimentação
de fumaça - cc
NF
Para o circuito de alarme
C
NA
EXERCÍCIOS :
Calcular a Req entre A e B :
1) 2)
A A
R2 R1 R1 R2
10 4 1K 2K
R3 6 R3 4K7
R4 R5 R5 R4
37 8,8 3K9 3K3
B B

36. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 35
Calcular o Req , It , a V e a I em todos os resistores:
3) 4)
R1 3
R1 R2 R2 R3
3 45 6 4
50V R3 10 10V R4 5
R4
2 R5 R6 R5
30 3 2
5)
R1 R2
3 30
50V R3 10
R4
10 R5
30
Calcular a Req entre os pontos A e B dos circuitos abaixo:
6)
R4 4
R1 1 R2 2 R5 5
A B
R3 3
7)
R1 6 R2 5 R4 8
A B
R3 10 R5 8
R6
R7 5 5
RESPOSTAS :
1) 3) V (V) I (A) 4) V (V) I (A) 5) V (V) I (A)
Req 10 R1 30 10 R1 4,5 1,5 R1 12,7 4,23
2) R2 30 0,7 R2 3,7 0,6 R2 17,6 0,6
Req 2,5K R3 0 0 R3 3,7 0,9 R3 4,9 0,5
6) R4 20 10 R4 0 0 R4 37,3 3,7
Req 3 R5 20 0,7 R5 1,8 0,9 R5 32,4 1,08
7) It 10,7A R6 1,8 0,6 It 4,81A
Req 5 Rt 4,67 It 1,51A Rt 10,38
Rt 6,6

37. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 36
EQUAÇÕES DE MAXWELL
As equações de malha de Maxwell podem ser consideradas como simplificação para soluções de problemas
de redes pelas Leis de Kirchhoff. Esse método reduz o número de equações necessárias para a resolução do
problema.
Dado o circuito abaixo vamos exemplificar o método de resolução por Maxwell:
12V R3 6
R2 R1
2 5
6V
10V
R4 4
1) Identificar as malhas com M1 (Malha 1) e M2 (Malha 2) como mostrado no circuito abaixo.
2) Desenhar em cada malha um laço com seta indicando a corrente I1 e I2 no sentido horário. Se estivermos
errados em nossa estimativa, o resultado da corrente terá um sinal negativo associado.
12V R3 6
R2 I1 R1 I2
2 5
6V
10V
M1 R4 4 M2
Em nosso circuito há um resistor (R1) que é comum para as duas malhas.
Existem duas correntes fluindo pelo resistor comum R1, e sua corrente real é a soma algébrica das duas.
. Devemos notar que, para o nosso sentido horário estipulado para as correntes, I1 e I2 estão em sentidos
opostos no R1, onde deveremos subtrair a menor da maior, com isso determinamos o seu sentido real da
corrente.
3) Agora escrevemos a equação das tensões de Kichhoff para cada malha, percorrendo no mesmo sentido
que estipulado para as correntes e fazendo a somatória das tensões e resistências.
M1
ΣV = ΣR x I1 – Rcomum x I2
+12 – 10 = (R2 + R1) x I1 – R1 x I2
2 = (2 + 5) x I1 – 5 x I2
2 = 7 x I1 – 5 x I2
M2
ΣV = ΣR x I2 – Rcomum x I1
+10 - 6 = (R1 + R3 + R4) x I2 – R1 x I1
4 = (5 + 6 + 4) x I2 – 5 x I1
4 = 15 x I2 – 5 x I1
4) Como temos 2 incógnita em cada expressão (I1 e I2) devemos igualar uma delas para que possamos calcular
a outra.
M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2
M2 4 = 15 x I2 – 5 x I1
Devemos inverter os termos de uma das expressões (M2).
M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2
M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2

38. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 37
Igualar uma das incógnitas (I2).
M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2 (x3)
M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2
M1 6 = 21 x I1 – 15 x I2
M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2
Executar a soma algébrica
M1 6 = 21 x I1 – 15 x I2
M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2
10 = 16 x I1
Calcular I1
I1 = 10 I1 = 0,625A
16
5) Tendo agora o valor de uma das incógnitas (I1) substituí-la em uma expressão e calcular a outra (I2).
M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2
2 = 7 x 0,625 – 5 x I2
2 = 4,375 – 5 x I2
5 x I2 = 4,375 – 2
I2 = 2,375
5
I2 = 0,475 A
6) Como já comentado que no Rcomum (R1) teremos 2 correntes (I1 e I2), temos que calcular sua corrente
real e indicar seu sentido no circuito. No circuito exemplo, as correntes I1 e I2 calculadas são positivas portanto o
sentido horário adotado está correto e para calcular a IR1 devemos subtraí-las (Maior menos Menor) e o sentido
fica obedecendo a maior.
IR1 = I1 – I2
IR1 = 0,625 – 0,475
IR1 = 0,15 A
12V R3 6
IR1
R2 R1
I1 I2
2 5
6V
10V
M1 R4 4 M2
7) É possível agora identificar a corrente e a queda de tensão em cada resistor.
IR1 = 0,15 A
IR2 = 0,625 A
IR3 = 0,475 A
IR4 = 0,475 A
VR1 = R1 x IR1 VR2 = R2 x IR2 VR3 = R3 x IR3 VR4 = R4 x IR2
VR1 = 5 x 0,15 VR2 = 2 x 0,625 VR3 = 6 x 0,475 VR4 = 4 x 0,475
VR1 = 0,75 V VR2 = 1,25 V VR3 = 2,85 V VR4 = 1,9 V

39. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 38
EXERCÍCIOS:
1) Determinar a corrente em todos os resistores:
R1 12
R2
10
100V 40V
R3 10
R4 24
2) Determinar a corrente em todos os resistores:
6V
R5
R6 10V 1
6 R1 2
R2 R4
12 3
R3 4
3) No circuito abaixo calcular VR4 e IR2:
R1 2
IR2
R3 R4 VR4
R2 R6
8 2
10V 6 6
6V R5
4
4) No circuito abaixo calcular VR4 e IR2:
R1 16 R5 6
IR2 R3
R2 8
10V 6 20V
R4
4 VR4

40. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 39
5) Determinar a Tensão e a Corrente em cada resistor do circuito abaixo:
R5 2
12V 12V
R1 R2 R3 R4
6 4 10 8
R7 1 R6 5
6) Estando a chave CH1 aberta, o resistor R2 está submetido a uma tensão VR2 = 10V e dissipa uma
potência de 5W. Pede-se:
a) Calcular o valor de R2.
b) Calcular o valor de V1.
c) Agora, fechando a chave CH1 e utilizando o valor de V1 calculado anteriormente, calcular a nova
potência dissipada por R2.
R1 10 CH1 R4 10
V1 40V
R3
VR2 R2
20
1) I (A ) 2) I (A) 3) 4) 5) V (V) I (A)
R1 4,74 R1 5,426 VR4 2V VR4 2,74V R1 5,058 0,84 3
R2 5 ,047 R2 0,019 IR2 1A IR2 1,37A R2 6,04 1,51
R3 0 ,307 R3 56,5m R3 5,902 0,59 0
R4 0 ,128 R4 56,5m R4 6,08 0,76
R5 5,371 R5 1,686 0,84 3
6) R6 0,037 R6 4,215 0,84 3
a) 20 R7 0,843 0,84 3
b) 20V
c) 2,17W