Apont ac

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
DEPARTAMENTO DE ENGª ELECTROMECÂNICA
ANÁLISE DE CIRCUITOS
APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS
JOÃO PAULO DA SILVA CATALÃO
FEVEREIRO 2009

Índice
Capítulo 1 Definições e Unidades.................................................1
1.1 Sistema Internacional de Unidades.................................1
1.2 Carga Eléctrica......................................................3
1.3 Corrente Eléctrica...................................................4
1.4 Tensão Eléctrica ....................................................5
1.5 Potência e Energia..................................................6
Capítulo 2 Leis Experimentais e Circuitos Simples............................7
2.1 Elementos Eléctricos................................................7
2.2 Leis de Kirchhoff..................................................12
2.3 Circuitos com uma só malha......................................13
2.4 Circuitos com apenas um par de nós..............................14
2.5 Dualidade..........................................................15
2.6 Associações de Elementos ........................................15
2.7 Transformação Triângulo-Estrela.................................18
2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente .........................19
Capítulo 3 Técnicas Simples de Análise de Circuitos........................21
3.1 Número de Equações Independentes..............................21
3.2 Método dos Nós ...................................................22
3.3 Método das Malhas................................................24
3.4 Linearidade e Sobreposição.......................................25

Capítulo 4 Técnicas de Simplificação de Circuitos...........................28
4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais ......................28
4.2 Fontes Equivalentes ...............................................30
4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton ..............................32
4.4 Transferência Máxima de Potência ...............................36
Capítulo 5 Amplificador Operacional..........................................38
5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional .............38
5.2 Características Reais do Amplificador Operacional .............39
5.3 Circuito Inversor...................................................43
5.4 Circuito Não Inversor .............................................44
Capítulo 6 Sinais ...................................................................45
6.1 Função Escalão Unitário ..........................................45
6.2 Função Impulso Unitário .........................................45
6.3 Função Rampa Unitária ...........................................46
6.4 Função Exponencial ..............................................47
6.5 Função Sinusoidal ................................................47
Capítulo 7 Capacidade e Auto-Indução........................................48
7.1 Condensador ......................................................48
7.2 Bobina .............................................................51

Capítulo 8 Circuitos de Primeira Ordem......................................54
8.1 Circuitos RL e RC Simples .......................................54
8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador .............................56
8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC .......................58
Capítulo 9 Circuitos de Segunda Ordem.......................................61
9.1 Circuito RLC ......................................................61

Definições e Unidades
1
Capítulo 1 – Definições e Unidades
1.1 Sistema Internacional de Unidades
Unidades Básicas (7)
• m (metro) distância
• kg (quilograma) massa
• s (segundo) tempo
• A (Ampere) corrente eléctrica
• K (Kelvin) temperatura
• mol (mole) quantidade de matéria
• cd (candela) intensidade luminosa
Unidades Suplementares (2)
• rad (radiano) ângulo plano
• sr (esterradiano) ângulo sólido
Algumas Regras
• Não se deve usar plural dos nomes (ou dos símbolos).
• Os símbolos de unidades com nomes de pessoas devem ser escritos com letras
maiúsculas, mas o nome da unidade não necessariamente.

2
Nota
• O caso do kg (quilograma) é singular pois é a unidade básica do SI para massa e
é múltiplo de uma outra unidade, o g (grama), que foi a unidade básica de
massa do sistema CGS, que o SI veio a substituir.
Múltiplos e Submúltiplos
• deca (da) = 10× deci (d) = 1
10−
×
• hecto (h) = 2
10× centi (c) = 2
10−
×
• quilo (k) = 3
10× mili (m) = 3
10−
×
• mega (M) = 6
10× micro (μ ) = 6
10−
×
• giga (G) = 9
10× nano (n) = 9
10−
×
• tera (T) = 12
10× pico (p) = 12
10−
×
• peta (P) = 15
10× fento (f) = 15
10−
×
• exa (E) = 18
10× ato (a) = 18
10−
×
• zeta (Z) = 21
10× zepto (z) = 21
10−
×
• yota (Y) = 24
10× yocto (y) = 24
10−
×
Alguns Exemplos e Contra-Exemplos
• h h. hs
• mm
• Aμ
• TJ
• 1 km2
= 106
m2
• 0,2 nm, e não 0,2 mμ m (não se deve usar mais de um prefixo)
• 1 GHz, e não 1 kMHz (não se deve usar mais de um prefixo)
• 20 μ m, e não 20 μ (um prefixo associa-se sempre a uma unidade)
• 20 kg, e não 20 k (um prefixo associa-se sempre a uma unidade)
• 10 m/s2
ou 10 m.s-2
, mas não 10 m/s/s
• N.m ou Nm

3
Unidades usadas no SI sem lhe pertencerem
• min (minuto) = 60 s
• h (hora) = 60 min = 3600 s
• d (dia) 24 h = 86400 s
• º (grau) = (π /180) rad
• ´ (minuto) = (1/60)º = (π /10800) rad
• ´´ (segundo) = (1/60)´= (π/648000) rad
• l, L (litro) = 1 dm3
= 10-3
m3
• t (tonelada) = 103
kg
Unidades derivadas do SI (usadas em Análise de Circuitos)
• Hz (Hertz) = s-1
p/ frequência
• N (Newton) = kg.m/s2
p/ força
• J (Joule) = N.m p/ trabalho, energia
• W (Watt) = J s-1
p/ potência
• V (Volt) = J/C p/ tensão ou diferença de potencial
• Ω (Ohm) = V/A p/ resistência eléctrica
• (Mho) = Ω -1
p/ condutância eléctrica
• C (Coulomb) = A.s p/ quantidade de energia eléctrica
• H (Henry) = V.s / A = J/A2
p/ indutância eléctrica
• F (Farad) = C/V = A3
s2
/ J p/ capacitância eléctrica
1.2 Carga Eléctrica
• É uma propriedade intrínseca da matéria.
• Representa a quantidade de electricidade responsável por fenómenos eléctricos.
• Unidade: C (Coulomb) em homenagem a Charles Coulomb, cientista francês
(1736-1806); carga de um electrão = – 1,602 19
10−
× C; pelo que, 1 C representa
a carga combinada de cerca de 6,24 18
10× electrões.
• Símbolo: Q (quando não varia no tempo); q ou q(t) (quando varia no tempo).

4
• Tem magnitude e polaridade (“+” ou “-”); cargas iguais repelem-se, cargas
diferentes atraem-se.
• Carga eléctrica em movimento representa uma corrente eléctrica.
1.3 Corrente Eléctrica
• Taxa de variação, no tempo, da carga eléctrica que passa por um determinado
ponto de referência.
• Unidade: A (Ampere) em homenagem a André-Marie Ampere, cientista francês
(1755-1836).
• Símbolo: i(t)
•
td
qd
)t(i = 1 A = 1 C/s
• Tem magnitude e sentido.
3 A ⇔ - 3 A (a seta indica o sentido do fluxo de corrente)
• Relação carga - corrente eléctrica:
A carga eléctrica transferida entre os instantes t0 e t pode ser expressa como
dtiq)t(q)t(q
t
t
t
t0
00
∫==−
A carga eléctrica total transferida ao longo de todo o tempo é obtida
)t(qdti)t(q 0
t
t0
+= ∫
• Alguns tipos de corrente eléctrica:
i (t)
0 t
Corrente contínua (corrente que circula sempre no mesmo sentido com uma
intensidade constante)

5
i (t)
0 t
Corrente alternada (corrente de sentido variável)
1.4 Tensão Eléctrica
Considere o seguinte elemento:
Terminal A
A corrente pode entrar ou sair de um elemento por
dois caminhos diferentes: de A para B; de B para A.
Terminal B
• A tensão eléctrica é o trabalho (ou energia) necessário para mover uma carga
positiva de 1 C através do elemento, de um terminal para o outro.
• Unidade: V (Volt)
• Símbolo: V ou v(t)
•
qd
wd
)t(v = 1 V = 1 J/C
• Tem magnitude e direcção. Pode ser positiva ou negativa.
- vBA +
A B vAB = - vBA
+ vAB -
os sinais “+” e “-”, ou a seta, indicam o sentido positivo da diferença de
potencial

6
A energia dispendida para fazer a corrente passar pelo elemento pode manifestar-se de
várias formas: armazenada para ser usada (baterias); calor (resistências); energia
acústica; luz (lâmpadas).
1.5 Potência e Energia
i(t)
A
+
v(t)
-
B
• Potência: )t(i)t(v)t(p = ou ivp =
• Unidade: W (Watt) em homenagem a James Watt, inventor escocês (1736-
1819).
• A potência mede a taxa de variação, no tempo, da energia transformada.
• iv
td
qd
.
qd
wd
td
wd
)t(p === 1 W = 1 J/s
Convenção passiva: Se a corrente atravessa o elemento de A para B, a tensão
criada vai ter o pólo positivo em A, e o pólo negativo em B; neste caso, a potência
ivp = diz-se como sendo “absorvida” pelo elemento, se for positiva; de outro
modo, diz-se que a potência é “fornecida” pelo elemento.
i1 i2
+ +
v1 v2
- -
111 ivp ×= potência absorvida )i(vp 222 −×= potência absorvida
222 ivp ×= potência fornecida

Leis Experimentais e Circuitos Simples
7
+
vs
–
+
6 V
–
+
6 V
–
Capítulo 2 – Leis Experimentais e Circuitos Simples
2.1 Elementos Eléctricos
• Elementos Activos – São elementos que, normalmente, fornecem potência para
outros elementos do circuito. Exemplos: Fontes de Tensão; Fontes de Corrente.
• Elementos Passivos – São elementos que absorvem potência. Exemplos:
Resistências.
Fonte de Tensão (ideal)
i
A tensão nos terminais do elemento (i.e., da fonte de tensão)
é totalmente independente da corrente que passa por ele.
Portanto, se vs (t) = 10 t2
V, então, em t = 1 s, vs (t) = 10 V;
em t = 2 s, vs (t) = 40 V, seja qual for o fluxo de corrente que
passa pelo elemento. Potência fornecida pela fonte de tensão:
ivp s ×=
Fonte de tensão constante ou bateria
ou

8
+
12 V
–
+
1 2 V
–
is
+ –
v
2 A 2 A
A bateria está a fornecer A bateria está a absorver
24 W de potência 24 W de potência
(descarregar) (recarregar)
Fonte de Corrente (ideal)
A corrente que atravessa o elemento (i.e., a fonte de corrente)
é totalmente independente da diferença de potencial nos seus
terminais.
Se is é constante fonte de corrente contínua.
Resistência
i R
Lei de Ohm: iRv =
R = Resistência constante de proporcionalidade
Unidade: Ω (Ohm) em homenagem a George Simon Ohm,
físico alemão (1787-1854); 1 Ω = 1 V/A.
Potência absorvida pela resistência: R/viRivp 22
===
Um curto-circuito corresponde a uma resistência nula – fio
ideal; um circuito aberto corresponde a uma resistência
infinita.

9
+ –
v
Código de cores para as resistências: os valores das
resistências disponíveis no mercado são identificados por um
conjunto de riscas coloridas obedecendo a uma codificação
pré-definida.
Cor 1ª e 2ª
Cor
3ª Cor
(nº de zeros)
Preto
Castanho
Vermelho
Laranja
Amarelo
Verde
Azul
Violeta
Cinzento
Branco
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
00
000
0 000
00 000
000 000
0 000 000
00 000 000
000 000 000
Cor Tolerância
Prateado
Dourado
10 %
5%
Condutância
i R=1/G
A condutância é o inverso da resistência: G = 1/R
Unidade: (Mho) ou S (Siemens) = Ω -1
A Lei de Ohm fica: vGi = ; potência absorvida pela
resistência: G/ivGivp 22
===
A ligação de dois ou mais elementos denomina-se rede. Se a rede possui pelo menos
um caminho fechado, de modo a que a corrente eléctrica possa fluir continuamente,
denomina-se circuito eléctrico. Portanto, todo o circuito é uma rede, mas nem toda a
rede é um circuito. A rede que possui pelo menos um elemento activo denomina-se
rede activa. Se a rede não contém qualquer elemento activo denomina-se rede passiva.
Tolerância
3ª cor
2ª cor
1ª cor

10
+
v R2 R3
–
1
2
1
2
+
vs
1vα –
is
2iγ
=
+
vs
1iβ –
=
=
is
2vδ
=
+
vs
1vα –
is
2iγ
=
+
vs
1iβ –
=
=
is
2vδ
=
Um nó é um ponto onde dois ou mais elementos se conectam. Uma malha ou
circulação é um percurso fechado quando nós vamos de nó em nó, começando e
acabando no mesmo nó. Um ramo é um caminho com apenas um elemento. Ou seja,
um ramo consiste em um elemento e os dois nós (um em cada terminal). Um caminho
é um percurso sem repetir o mesmo nó. Uma malha independente é uma malha que
não inclui no seu interior nenhuma outra circulação.
Um grafo orientado do circuito consiste num redesenho do circuito com cada ramo
substituído por uma linha que contém apenas o sentido da corrente segundo a
convenção passiva.
R1
Fontes Dependentes
Uma fonte dependente fornece uma tensão/corrente de saída que depende de alguma
outra variável do circuito. Assim, podemos ter:
onde v1, v2, i1 e i2 são tensões e correntes em outra parte do circuito. A seguinte
notação também pode ser usada:

11
+ –
v
+ –
v
+
U
–
+
I0 v
–
I0
Características Tensão-Corrente
Resistência Díodo
i R i
i i
R/1tg =θ
θ
0 v 0 v
O díodo permite efectuar a rectificação da
corrente eléctrica. O díodo deixa passar a
corrente num dos sentidos e impede a sua
passagem em sentido inverso. A partir de um
dado valor positivo da tensão o díodo começa
a conduzir, mas não de uma forma linear.
Fonte de Tensão (ideal) Fonte de Corrente (ideal)
i
i i
0 U v 0 v

12
+ –
v1 1 2 v2
– +
+ –
v3
3
2.2 Leis de Kirchhoff
As duas Leis de Kirchhoff são as ferramentas básicas para a análise de circuitos, e as
suas aplicações simplificam esta análise. Geralmente faz-se uso dessas leis para
encontrar correntes e tensões desconhecidas.
Lei dos Nós (KCL) – Baseada na conservação de cargas, i.e., não há acréscimo ou
desaparecimento de cargas num nó; no nó a carga é constante:
DCBA iiii +=+ iA iB
A soma das correntes que entram em iC iD
um nó é igual à soma das correntes
que saem desse mesmo nó
Equivalentemente: 0iiii DCBA =−−+ (considerando positivas as correntes
que entram e negativas as que saem)
ou 0iiii DCBA =++−− (vice-versa)
Ou seja, a Lei dos Nós fica: 0i
N
1n
n =∑=
Lei das Malhas (KVL) – A conservação da energia requer que por qualquer percurso
fechado, ou malha, a soma algébrica das tensões seja igual a zero:
0vvv 321 =−+
Ou seja, a Lei das Malhas fica: 0v
N
1n
n =∑=

13
+ +
v1 R2 2Rv
– (1) –
+ –
R1
i
+ –
2.3 Circuitos com uma só malha
Considere o seguinte circuito simples, com uma só malha (1):
1Rv v2
As resistências nos fios são desprezáveis ou estão incluídas nas resistências R1 e R2.
Os valores de v1, v2, R1 e R2 são conhecidos. Pretende-se determinar: tensões 1Rv e
2Rv ; corrente que passa por cada elemento; potência absorvida por cada elemento.
Pelas Lei dos Nós, a corrente i é a mesma para todos os elementos deste circuito.
Pelo que, Elementos em Série têm a "mesma" corrente.
Aplicando a Lei das Malhas (considerando o sentido dos ponteiros do relógio como
sendo positivo), e a Lei de Ohm, obtém-se:
21
21
2211R2R1
RR
vv
i0iRviRv0vvvv 21
+
−
=⇔=+++−⇔=+++−
Se Ω= 30R1 , Ω= 15R2 , V120v1 = , V30v2 = , então:
A2i = , V60v 1R = , V30v 2R = .
Potência absorvida pela fonte de 120 V: W240)2(120p −=−×= (fornece 240 W)
Potência absorvida pela fonte de 30 V: W60230p =×=
Potência absorvida pela resistência de Ω30 : W120260ivp 1R =×==
ou W120230iRp 22
1 =×==
Potência absorvida pela resistência de Ω15 : W60230ivp 2R =×==
ou W60215iRp 22
2 =×==
Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: W06012060240 =+++−
É importante observar que se a corrente i tivesse sido escolhida com o sentido
contrário, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo.

14
i1 G1 G2i2
1Gi 2Gi
+
v
–
A
B
2.4 Circuitos com apenas um par de nós
Considere o seguinte circuito simples, com apenas um par de nós (A-B):
Os valores de i1, i2, G1 e G2 são conhecidos. Pretende-se determinar: correntes 1Gi e
2Gi ; tensão nos terminais de cada elemento; potência absorvida por cada elemento.
Pelas Lei das Malhas, a tensão v é a mesma para todos os elementos deste circuito.
Pelo que, Elementos em Paralelo têm a "mesma" tensão.
Aplicando a Lei dos Nós (considerando, para o nó A, positivas as correntes que entram
e negativas as que saem), e a Lei de Ohm, obtém-se:
21
21
2211G2G1
GG
ii
v0vGivGi0iiii 21
+
−
=⇔=−−−⇔=−−−
Se Ω= 30G1 , Ω= 15G2 , A120i1 = , A30i2 = , então:
V2v = , A60i 1G = , A30i 2G = .
Potência absorvida pela fonte de 120 A: W240)120(2p −=−×= (fornece 240 W)
Potência absorvida pela fonte de 30 A: W60302p =×=
Potência absorvida pela condutância de Ω30 : W120602ivp 1G =×==
ou W120230vGp 22
1 =×==
Potência absorvida pela resistência de Ω15 : W60302ivp 2G =×==
ou W60215vGp 22
2 =×==
Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: W06012060240 =+++−
É importante observar que se a tensão v tivesse sido escolhida com a polaridade
contrária, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo.

15
+ +
v R2 2v
– –
+ –
R1
i
3v
– +
R3
2.5 Dualidade
O estudo de um circuito simples está sempre ligado a uma dualidade. De facto, se
substituirmos correntes por tensões (e vice-versa), resistências por condutâncias
(e vice-versa), par de nós por malha única (e vice-versa), Lei dos Nós por Lei das
Malhas (e vice-versa), paralelo por série (e vice-versa), obtemos num e noutro caso as
mesmas equações, as mesmas conclusões e até os mesmos resultados numéricos.
Esta propriedade que acompanha permanentemente a análise de circuitos designa-se
por dualidade. A dualidade ajuda-nos a melhor compreender e assimilar as técnicas de
análise de circuitos.
2.6 Associações de Elementos
Resistências em Série
1v
Aplicando a Lei das Malhas e a Lei de Ohm, obtém-se:
iRvi)RRR(viRiRiRv0vvvv eq321321321 =⇔++=⇔++=⇔=+++−
Portanto, as resistências em série (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito por:
321eq RRRR ++=
De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em série é
dada por: ∑=
=
I
1i
ieq RR

16
+
v1 R
–
+ –
i
– +
+
veq R
–
i
i R1 R2 R3
i1 i3+
v
–
i2
Fontes de Tensão (ideais) em Série
As fontes de tensão em série também podem ser combinadas, devendo-se ter em conta
a polaridade da tensão. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:
v2 3v
Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por:
sendo: 321eq vvvv +−=
Resistências em Paralelo
Aplicando a Lei dos Nós e a Lei de Ohm, obtém-se:
v
R
1
iv
R
1
R
1
R
1
i
R
v
R
v
R
v
i0iiii
eq321321
321 =⇔⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=⇔++=⇔=−−−

17
i1 i2 Ri3
+
v
–
ieq R
+
v
–
Portanto, as resistências em paralelo (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito
por:
321
eq
R
1
R
1
R
1
1
R
++
=
Em termos de condutância, têm-se: 321eq GGGG ++=
De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em paralelo é
dada por:
∑=
= I
1i i
eq
R
1
1
R
No caso particular de apenas duas resistências em paralelo, tem-se:
21
21
eq
RR
RR
R
+
×
=
Fontes de Corrente (ideais) em Paralelo
As fontes de corrente em paralelo também podem ser combinadas, devendo-se ter em
conta o sentido da corrente. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:
Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por:
sendo: 321eq iiii −+=

18
RB
RA RC
α α
β
γ
β
γ
R1 R3
R2
⇔
2.7 Transformação Triângulo-Estrela
Triângulo Estrela
( )CBA RR//RR +=β−α 21 RRR +=β−α
( )BAC RR//RR +=γ−β 32 RRR +=γ−β
( )CAB RR//RR +=γ−α 31 RRR +=γ−α
Para que os dois circuitos sejam equivalentes, tem-se que:
( )
21
CBA
CBA
RR
RRR
RRR
+=
++
+×
( )
32
CBA
BAC
RR
RRR
RRR
+=
++
+×
( )
31
CBA
CAB
RR
RRR
RRR
+=
++
+×
Assim, uma ligação em triângulo pode ser substituída por uma ligação em estrela, e
vice-versa, atendendo a que:
3
323121
A
R
RRRRRR
R
++
=
CBA
BA
1
RRR
RR
R
++
=
2
323121
B
R
RRRRRR
R
++
=
CBA
CA
2
RRR
RR
R
++
=
1
323121
C
R
RRRRRR
R
++
=
CBA
CB
3
RRR
RR
R
++
=

19
+ +
v R2 2v
– –
+ –
R1
i
i i R1 R2
i1 i2+
v
–
As relações anteriores podem ser obtidas pelas duas regras seguintes:
• Transformação Δ−Υ : Qualquer resistência do triângulo é igual à soma dos
produtos, dois a dois, das resistências da estrela, dividida pela resistência da
estrela que lhe é oposta.
• Transformação Υ−Δ : Qualquer resistência da estrela é igual ao produto das
duas resistências adjacentes do triângulo, dividido pela soma das três
resistências do triângulo.
2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente
Divisor de Tensão
1v
Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se: iRv 22 =
A resistência equivalente é dada por: 21eq RRR +=
Logo: v
RR
R
v
R
v
i
21
2
2
eq +
=⇒=
De forma semelhante: v
RR
R
v
21
1
1
+
=
Divisor de Corrente

20
Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se:
2
2
R
v
i =
A resistência equivalente é dada por:
21
21
eq
RR
RR
R
+
×
=
Logo: i
RR
R
ii
R
RR
RR
iiRv
21
1
2
2
21
21
2eq
+
=⇔
+
×
=⇒= ou i
GG
G
i
21
2
2
+
=
De forma semelhante: i
RR
R
i
21
2
1
+
= ou i
GG
G
i
21
1
1
+
=

Técnicas Simples de Análise de Circuitos
21
Capítulo 3 – Técnicas Simples de Análise de Circuitos
3.1 Número de Equações Independentes
Considere um determinado circuito em que:
• N = nº de nós
• B = nº de ramos = nº de elementos
Circuito Planar – Se é possível desenhar o diagrama do circuito numa superfície plana
de tal forma que nenhum ramo cruze outro ramo.
Teorema 1
Existem exactamente ( )1N − equações independentes extraídas da Lei dos Nós
aplicada em ( )1N − nós do circuito.
Teorema 2
Todas as tensões nos ramos podem ser expressas em termos de apenas ( )1N − tensões
nodais independentes.
Teorema 3
Existem exactamente ( )1NBL +−= equações independentes extraídas da Lei das
Malhas aplicada em ( )1NBL +−= malhas do circuito. Se o circuito é planar, então
L corresponde ao número de malhas independentes.

22
3 A 2 Ω 1 Ω – 2 A
5 Ω
3 A 2 Ω 1 Ω – 2 A
1v 2v
5 Ω
Teorema 4
Todas as correntes nos ramos podem ser expressas em termos de apenas
( )1NBL +−= correntes de malha independentes.
Um circuito pode ser resolvido por um sistema de ( )1N − equações, se usarmos o
Método dos Nós, ou por um sistema de ( )1NBL +−= equações, se usarmos o
Método das Malhas. Ou seja, dependendo da topologia do circuito, pode ser mais fácil
resolvê-lo pelo Método dos Nós ou pelo Método das Malhas. Estes métodos são
seguidamente descritos em mais pormenor.
3.2 Método dos Nós
Um circuito com N nós terá ( )1N − tensões nodais como incógnitas e ( )1N −
equações. Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós:
Vamos enumerar os nós e definir 2 tensões nodais como incógnitas: 1v é a tensão
entre os nós 1 e 3; 2v é a tensão entre os nós 2 e 3. Assim, o nó 3 é designado por nó
de referência, o que nos permitirá simplificar a representação das tensões no circuito.

23
A tensão entre os nós 1 e 2 é dada por: ( )21 vv − ; a tensão entre os nós 2 e 1 é dada
por: ( )12 vv − ; a tensão entre os nós 3 e 1 é dada por: 1v− ; a tensão entre os nós 3 e 2
é dada por: 2v− .
Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos:
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
=
−
+
2
5
vv
1
v
3
5
vv
2
v
122
211
ou seja:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−
2v2,1v2,0
3v2,0v7,0
21
21
o que dá o seguinte resultado:
V5v1 = ; V5,2v2 =
e a tensão entre os nós 1 e 2 é:
( ) V5,2vv 21 =−
Agora qualquer corrente ou potência associadas com elementos deste circuito podem
ser determinadas.
Por exemplo, a corrente na resistência de Ω2 é dada por:
A5,2
2
v
i 1
==
sendo a potência absorvida pela resistência de Ω2 dada por:
W5,12i2
2
v
p
2
1
2
1
===

24
+ –
42 V 3 Ω 10 V
– +
+ –
42 V i1 3 Ω i2 10 V
– +
3.3 Método das Malhas
Um circuito com N nós e B ramos/elementos terá ( )1NBL +−= correntes de malha
como incógnitas e ( )1NBL +−= equações. Considere, por exemplo, o seguinte
circuito com 2 malhas independentes:
6 Ω 4 Ω
Neste circuito tem-se 5B = e 4N = , pelo que, 2L = . Vamos definir 2 correntes de
malha como incógnitas: 1i é a corrente na malha da esquerda; 2i é a corrente na malha
da direita.
6 Ω 4 Ω
A corrente na resistência de Ω3 , no sentido descendente, é dada por: ( )21 ii − ;
a corrente na resistência de Ω3 , no sentido ascendente, é dada por: ( )12 ii − . Pelo que,
a corrente de ramo é a combinação algébrica das correntes de malha que passam nesse
ramo.
Aplicando a Lei das Malhas para as duas malhas independentes deste circuito temos:
( )
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=−++−
010i4ii3
0ii3i642
212
211

25
ou seja:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−
10i7i3
42i3i9
21
21
o que dá o seguinte resultado:
A6i1 = ; A4i2 =
e a corrente na resistência de Ω3 , no sentido descendente, é dada por:
( ) A2iii 213 =−=
Agora qualquer tensão ou potência associadas com elementos deste circuito podem ser
determinadas.
Por exemplo, a tensão na resistência de Ω3 é dada por:
V6i3v 3 ==
sendo a potência absorvida pela resistência de Ω3 dada por:
W12
3
v
i3p
2
2
3 ===
3.4 Linearidade e Sobreposição
Um circuito linear que contenha duas ou mais fontes independentes pode ser analisado
para obter as várias tensões e correntes nos ramos fazendo com que as fontes actuem
uma de cada vez e daí sobrepondo os resultados.
O Princípio da Sobreposição afirma então que a resposta (uma determinada corrente
ou tensão) em qualquer elemento de uma rede linear, contendo mais de uma fonte,
pode ser obtida pela soma das respostas produzidas por cada fonte actuando
isoladamente.
Este princípio aplica-se devido à relação linear entre corrente e tensão.

26
ia 2 Ω 1 Ω ib
1v 2v
5 Ω
• Fontes de tensão que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são
substituídas por curto-circuitos.
• Fontes de corrente que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são
substituídas por circuitos abertos.
A sobreposição não pode ser directamente aplicada ao cálculo da potência, visto que, a
potência é proporcional ao quadrado da corrente ou ao quadrado da tensão, não sendo
assim linear.
Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós:
Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos:
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
=
−
+
b
122
a
211
i
5
vv
1
v
i
5
vv
2
v
ou seja:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−
b21
a21
iv2,1v2,0
iv2,0v7,0
e a solução destas equações dá-nos as tensões 1v e 2v .
Estas mesmas equações, e portanto, o mesmo resultado seria obtido se resolvêssemos o
problema separadamente com 0ia = (circuito aberto), e depois com 0ib = (circuito
aberto), e finalmente somássemos.

27
Para 0ia = : Para 0ib = :
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
=
−
+
b
'
1
'
2
'
2
'
2
'
1
'
1
i
5
vv
1
v
0
5
vv
2
v ( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
=
−
+
0
5
vv
1
v
i
5
vv
2
v
''
1
''
2
''
2
a
''
2
''
1
''
1
ou seja: ou seja:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−
b
'
2
'
1
'
2
'
1
iv2,1v2,0
0v2,0v7,0
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−
0v2,1v2,0
iv2,0v7,0
''
2
''
1
a
''
2
''
1
o que nós dará
'
1v e
'
2v o que nós dará
''
1v e
''
2v
As tensões 1v e 2v do circuito completo podem ser obtidas somando-se:
''
1
'
11 vvv += e
''
2
'
22 vvv +=
e isto pode ser verificado somando-se as equações anteriores:
1v 2v
( ) ( )
( ) ( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++−
=+−+
b
''
2
'
2
''
1
'
1
a
''
2
'
2
''
1
'
1
ivv2,1vv2,0
ivv2,0vv7,0
1v 2v
que é o sistema de equações do circuito completo.

Técnicas de Simplificação de Circuitos
28
+
1 V R
–
i
+ +
12 V RL vL
– –
0,01 Ω iL
Capítulo 4 – Técnicas de Simplificação de Circuitos
4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais
Considere a fonte de tensão ideal de 1 V abaixo indicada:
Se R = 1 kΩ ⇒ i = 0,001 A
Se R = 1 Ω ⇒ i = 1 A
Se R = 1 mΩ ⇒ i = 1000 A
Se R = 1 µΩ ⇒ i = 1000000 A
Na prática, no mundo físico real, não existe uma fonte que se comporte desta forma.
Na prática, somente para correntes ou potências relativamente pequenas é que a fonte
se comporta como ideal.
Fonte de Tensão (real)
considera-se uma resistência em série, embutida, que absorve parte da tensão que vai
para a carga RL.

29
12 V
6 V
fonte ideal
fonte real
+ +
vs RL vL
– –
Ri iL
vL
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 RL
Neste exemplo, quando a carga RL é igual à resistência interna de 0,01 Ω, a tensão de
12 V divide-se em 6 V para a resistência interna e 6 V para a carga.
Portanto, na prática, representa-se uma fonte de tensão real como uma fonte de tensão
ideal com uma resistência interna Ri:
Fonte de Tensão Carga
s
Li
L
L v
RR
R
v
+
=
pelo que,
2
v
v s
L = quando iL RR =
ainda, s
Li
L v
RR
1
i
+
=
Uma fonte de corrente ideal também não existe. Na prática, a corrente que vai para a
carga RL vai decrescendo à medida que a carga aumenta.

30
+
is RL vL
–
Ri
'
iL
is
2
is
fonte ideal
fonte real
Fonte de Corrente (real)
considera-se uma resistência em paralelo, embutida, que absorve parte da corrente que
vai para a carga RL.
iL
0 Ri
'
2Ri
'
3Ri
'
4Ri
'
5Ri
'
RL
s
L
'
i
'
i
L i
RR
R
i
+
=
pelo que,
2
i
i s
L = quando
'
iL RR =
ainda, s
L
'
i
L
'
i
L i
RR
RR
v
+
=
4.2 Fontes Equivalentes
Duas fontes são equivalentes se elas produzem correntes e tensões idênticas, e portanto
potências idênticas, para qualquer carga ligada aos seus terminais.

31
3 A 2 Ω
iccicc
+
6 V
–
2 Ω
é equivalente a:
is Ri
+
vs
–
Ri
is Ri
+
vs
–
Ri
+
vca
–
+
vca
–
Assim, para cargas RL iguais, a fonte de tensão e a fonte de corrente reais são
equivalentes se:
s
L
'
i
'
i
s
Li
i
RR
R
v
RR
1
+
=
+
ou s
L
'
i
L
'
i
s
Li
L
i
RR
RR
v
RR
R
+
=
+
então:
'
ii RR = e sis iRv =
Por exemplo:
Corrente de Curto-Circuito (RL = 0):
Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se:
i
s
scc
R
v
ii == , ou seja, sis iRv =
Tensão de Circuito Aberto (RL = ∞):
Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se:
sisca iRvv ==

32
+ +
12 V 6 Ω vL RL
– –
3 Ω 7 Ω
A B
+
4 A 3 Ω 6 Ω vL RL
–
7 Ω
A B
+ +
8 V vL RL
– –
7 Ω
A B
2 Ω
4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton
Os Teoremas de Thévenin e de Norton permitem realizar uma análise parcial do
circuito, nomeadamente, determinar a corrente, a tensão e a potência absorvida por
uma simples resistência RL. O Teorema de Thévenin diz que é possível substituir tudo
menos a resistência RL por um circuito equivalente que contém apenas uma fonte de
tensão em série com uma resistência. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:
Se transformarmos primeiro a fonte de 12 V com a resistência de 3 Ω em série temos o
circuito:
Agora transformando a fonte de 4 A com a resistência de 2 Ω (3 Ω // 6 Ω) em paralelo
temos o circuito:

33
+ +
8 V vL RL
– –
A B
9 Ω
9 Ω RL
A B
A
9
8
iL
O circuito anterior equivale a:
ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de tensão (8 V) em
série com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Thévenin.
Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Thévenin é equivalente à parte A
do circuito original. A tensão em RL e a potência absorvida são dadas por:
8
R9
R
v
L
L
L ×
+
=
L
2
LL
2
L
L
L
2
L
L R
R9
8
R
8
R9
R
R
v
p ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×
+
==
Se RL = ∞ (circuito aberto), vL = 8 V.
O Teorema de Norton é semelhante ao Teorema de Thévenin, na verdade é um
corolário deste. Diz que é possível substituir tudo menos a resistência RL por um
circuito equivalente que contém apenas uma fonte de corrente em paralelo com uma
resistência. Considerando o exemplo anterior, tem-se:

34
+
vca
–
RTh
icc RTh
ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de corrente (8/9 A)
em paralelo com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Norton.
Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Norton é equivalente à parte A
do circuito original. A corrente em RL é dada por:
9
8
R9
9
i
L
L ×
+
=
Se RL = 0 (curto-circuito), iL = 8/9 A.
Assim, tem-se que:
• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por
um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de tensão
(vca) em série com uma resistência ( ThR ) – Equivalente de Thévenin.
• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por
um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de corrente
(icc) em paralelo com uma resistência ( ThR ) – Equivalente de Norton.
O Equivalente de Thévenin é dado por:
em que vca é a tensão de circuito aberto, e ThR é a resistência de Thévenin.
O Equivalente de Norton é dado por:
em que icc é a corrente de curto-circuito, e ThR é a resistência de Thévenin.

35
+
Rede v 1 A
–
+
Rede 1 V
–
i
Assim, o Equivalente de Thévenin e o Equivalente de Norton podem ser obtidos um a
partir do outro por transformação da fonte: ccThca iRv =
A resistência de Thévenin, ThR , é a resistência equivalente obtida quando todas as
fontes são suprimidas (as fontes de tensão são substituídas por curto-circuitos,
enquanto que as fontes de corrente são substituídas por circuitos abertos).
No caso de redes onde existem fontes independentes e dependentes, ThR apenas pode
ser calculada através de:
cc
ca
Th
i
v
R = . Pelo que, neste caso é necessário determinar cav e
cci , sendo ThR obtida pela equação anterior.
No caso de redes onde existem apenas fontes dependentes, ThR pode ser calculada
considerando:
• Uma fonte externa de corrente de 1 A nos terminais da rede:
sendo
1
v
RTh =
• Uma fonte externa de tensão de 1 V nos terminais da rede:
sendo
i
1
RTh =

36
+ +
vca vL RL
– –
RTh iL
No caso anterior (apenas fontes dependentes), o Equivalente de Thévenin não tem
fonte de tensão ( 0vac = ), e o Equivalente de Norton não tem fonte de corrente
( 0icc = ). Ou seja, ambos os Equivalentes de Thévenin e de Norton são constituídos
apenas por ThR .
4.4 Transferência Máxima de Potência
Considere o seguinte circuito:
A potência absorvida pela resistência RL é dada por:
2
LLL iRp =
O valor da resistência RL para o qual a potência absorvida é máxima é determinado
através de:
( ) 0
R
iR
0
R
p
L
2
LL
L
L
=
∂
∂
⇔=
∂
∂
Sendo
ThL
ca
L
RR
v
i
+
= tem-se que:
( )
⇔=
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
⇔=
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∂
0
R
RR
R
v0
R
RR
v
R
L
2
ThL
L
2
ca
L
2
ThL
ca
L
( ) ( )
( ) ( ) ( )
⇔=
+
−
+
⇔=
+
+−+
⇔ 0
RR
R
2
RR
1
0
RR
RRR2RR
3
ThL
L
2
ThL
4
ThL
LThL
2
LThL

37
Th
2
ca
R4
v
( ) ( )
⇔+=⇔=
+
⇔
+
=
+
⇔ ThLL
ThL
L
2
ThL
3
ThL
L
RRR21
RR
R
2
RR
1
RR
R
2
ThL RR =⇔
Pelo que, a transferência máxima de potência ocorre quando ThL RR =
A potência máxima é então dada por:
2
ca2
Th
Th
L
2
Th
ca
ThL
2
ThTh
ca
ThL
2
LThL v
R4
R
p
R2
v
Rp
RR
v
RpiRp =⇔⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⇔⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=⇔=
Th
2
ca
L
R4
v
p =⇔
pL
0 RTh RL

Amplificador Operacional
38
–
+
i –
i +
Entrada inversora v –
Alimentação (+15V)
+ v CC
Entrada não inversora v +
– v CC
Alimentação (–15V)
i –
i +
v o
i o
Capítulo 5 – Amplificador Operacional
5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional
O Amplificador Operacional (AMPOP) é um circuito integrado activo com ganho
elevado. O AMPOP pode ser visto como uma fonte dependente de tensão, em que a
tensão de saída é a amplificação da "tensão-diferença" de entrada.
( )−+ −=⇔= vvAvvAv 0i0 , sendo
i
0
v
v
A = o ganho do AMPOP
O AMPOP ideal tem as seguintes características:
• Resistência de entrada infinita (Ri = ∞);
• Resistência de saída nula (Ro = 0);
• Ganho de tensão infinito (A = ∞);
• Largura de banda infinita (BW = ∞); i.e., o AMPOP responde igualmente para
todas as frequências, sendo o ganho independente da frequência;
• Tensão de offset nula; i.e., quando −+ = vv ( 0vi = ) tem-se que 0vo = ;
• Drift nulo; i.e., quando te
i cv = tem-se que te
o cv = ;
• Tempo de resposta nulo.

39
Destas características ideais podemos deduzir duas propriedades muito importantes:
• Tensão diferencial de entrada nula (v – = v +);
• Corrente nos terminais de entrada nula (i – = 0 e i + = 0).
A primeira propriedade determina que os terminais de entrada estão ao mesmo
potencial, i.e., em curto-circuito. Contudo, a segunda propriedade faz o curto-circuito
como não condutor de corrente, ou como sendo um circuito aberto. Pelo que, diz-se
um curto-circuito virtual, sendo um conceito muito importante na análise de circuitos
com AMPOP’s.
5.2 Características Reais do Amplificador Operacional
No AMPOP real nem a resistência de entrada é infinita nem a resistência de saída é
nula. Tipicamente, a resistência de entrada apresenta valores que vão desde alguns
MΩ até aos TΩ, enquanto a resistência de saída apresenta valores que vão desde
algumas centenas de Ω até apenas alguns Ω.
O ganho a que se referiu anteriormente é o chamado ganho em malha aberta, i.e., o
ganho do amplificador em si. O valor do ganho pode ser modificado por convenientes
ligações exteriores, obtendo-se nesse caso o chamado ganho em malha fechada.
Obviamente um ganho infinito não é possível, mas esse ganho é efectivamente muito
elevado: tipicamente, entre 10000 e 10000000.
Ainda, deve notar-se que a tensão de saída é limitada pela tensão de alimentação: não
podemos ter uma tensão de saída com uma amplitude maior do que – v CC a + v CC.
Os valores de v CC são, em geral, inferiores a 20 V: tipicamente 15 V. Quando a tensão
de saída atinge + v CC ou – v CC ela satura e aí permanece, e quanto maior for o
ganho mais depressa satura.

40
+ v CC
A = declive da recta (Ganho)
Saturação
negativa
Saturação
positiva
– v CC
Zona de
funcionamento
linear
A
vCC+
A
vCC−
Por exemplo, seja 5
10A = e a tensão de alimentação V15± . A máxima variação
permitida à tensão de entrada, antes de se entrar em saturação, é portanto neste caso
dada por:
mV15,0
10
15
v 5i ==
Se o ganho fosse 4
10 , a tensão de entrada já poderia ser 10 vezes superior, i.e.,
1,5 mV. Portanto, para se ter um funcionamento linear de um AMPOP, a tensão de
entrada tem que ser da ordem dos mV.
Seguidamente, é apresentada a característica de transferência de um AMPOP, i.e., o
traçado da tensão de saída em função da tensão de entrada:
vo
vi
•
A
v
v CC
i < ⇒ ( )−+ −=⇔= vvAvvAv 0i0 ; zona de funcionamento linear;
•
A
v
v CC
i
+
> ⇒ CC0 vv += ; AMPOP saturado positivamente;
•
A
v
v CC
i
−
< ⇒ CC0 vv −= ; AMPOP saturado negativamente.

41
O ganho do AMPOP pode traduzir-se numa distorção do sinal à entrada, sendo tanto
maior essa distorção quanto maior for o ganho. Contudo, o valor do ganho poderá ser
controlado mediante ligações externas, dando assim ao AMPOP maior flexibilidade.
No AMPOP real a largura de banda (espectro de frequências ao longo do qual o
AMPOP funciona com as suas características nominais) é finita. Além disso, não se
pode ter num AMPOP real um ganho elevado com uma largura de banda também
elevada. Aliás, estas duas características são naturalmente incompatíveis. Verifica-se
no entanto que em geral, para cada AMPOP, o produto do ganho pela largura de banda
é sensivelmente constante, constituindo um parâmetro característico: factor de mérito
(gain bandwidth).
Anteriormente foi referido que o AMPOP amplifica a "tensão-diferença" entre as
entradas não inversora e inversora. Contudo, se existir uma componente comum às
duas entradas, de acordo com a equação ( )−+ −= vvAv0 essa componente não
aparecia na saída.
Na realidade a tensão de saída depende não só da diferença das tensões de entrada,
mas também da semi-soma das tensões de entrada. Assim, num AMPOP real tem-se
que:
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+−= −+
−+
2
vv
AvvAv cd0
sendo dA o ganho de modo diferencial e cA o ganho de modo comum.
O facto da tensão de saída depender de cA é tipicamente indesejável, pelo que se
procura ter cd AA >> de modo a minimizar a influência de cA na tensão de saída.
A razão entre os dois ganhos é denominada de factor de rejeição do modo comum
(CMRR – Common Mode Rejection Ratio):
c
d
A
A
CMRR =

42
Um elevado CMRR é particularmente importante quando se pretende amplificar
pequenas diferenças de sinal na presença de um elevado sinal comum, i.e., na presença
de elevados valores de ruído.
A suposição de que nos terminais de entrada do AMPOP não há corrente também não
é real. Os valores típicos para esta corrente variam entre 300 e 1500 nA.
Um caso particular do funcionamento em modo comum é aquele em que os terminais
de entrada são curto-circuitados. Nessas condições seria de esperar que a tensão de
saída fosse nula. Na prática tal não acontece, pelo que deve ser aplicada uma tensão
diferencial à entrada de modo a fazer com que a tensão de saída seja nula. A esta
tensão que aparece sobreposta a qualquer sinal de saída do amplificador dá-se o nome
de tensão de desequilíbrio à entrada (input offset voltage). Esta tensão é variável com
a temperatura, sendo denominada input offset voltage drift.
Num AMPOP ideal a tensão de saída segue, sem atraso, a tensão de entrada. Num
AMPOP real há sempre atrasos, i.e., taxas de crescimento temporal limitadas.
É costume definir uma grandeza (slew rate) que traduz a velocidade máxima de
resposta da saída a sinais de grande variação. Por exemplo, um slew rate de s/V5,0 μ
significa que o AMPOP demora s20 μ a variar V10 a sua tensão de saída. O efeito
do slew rate é distorcer o sinal quando este ultrapassa a capacidade de resposta do
AMPOP.
Dada a importância das montagens de AMPOP’s com realimentação (feedback),
apresentam-se a seguir algumas montagens, que servem para exemplificar como se
pode obter a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada.
Deste modo, consegue-se que as características de um AMPOP dependam de
componentes passivos e não de componentes activos (cujas características são sempre
mais difíceis de controlar). Contudo, o ganho com realimentação é menor do que sem
realimentação.

43
–
+
v o
+
vi
–
i1 R1
i2 R2
5.3 Circuito Inversor
Considerando o AMPOP ideal, tem-se:
• v – = v + ⇒ v – = 0V
• i – = 0 ⇒ i1 = i2
Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se:
2
i
222i
R
v
i0iRv =⇔=+−
1
o
1o11
R
v
i0viR −=⇔=+
Pelo que, obtém-se:
i
2
1
o
2
i
1
o
21 v
R
R
v
R
v
R
v
ii −=⇔=−⇔=
Assim, o ganho é exclusivamente definido por componentes externos (R1 e R2) e não
depende do próprio AMPOP, i.e., das suas características e componentes internos.
O AMPOP funciona na zona linear (i.e., não está saturado) quando:
21
CC
iCCi
2
1
CCo
R/R
v
vvv
R
R
vv <⇔<−⇔<
A realimentação permite então projectar o ganho para o valor desejado, muito embora
com redução do ganho global, além de permitir uma tensão de entrada vi
correspondentemente maior, sem saturação.

44
+
–
v o
+
vi
–
i1 R1
i3 R3
R2
i2
5.4 Circuito Não Inversor
• v – = v +
• i – = 0 ⇒ i1 = i2
• i + = 0 ⇒ v + = vi
Atendendo ao divisor de tensão, tem-se:
o
21
2
v
RR
R
v
+
=−
i
2
1
oi
2
21
oio
21
2
v
R
R
1vv
R
RR
vvv
RR
R
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=⇔
+
=⇔=
+
O AMPOP funciona na zona linear quando:
CC
21
2
iCCi
2
1
CCo v
RR
R
vvv
R
R
1vv
+
<⇔<⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⇔<

Sinais
45
Capítulo 6 – Sinais
6.1 Função Escalão Unitário
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
=
0t,V
0t,0
)t(v
0
v (t)
V0
0 t
Escalão unitário: )t(u1 ⇒ Amplitude = 1
6.2 Função Impulso Unitário
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
><
≤≤
=
1
10
tte0t,0
tt0,V
)t(v

Sinais
46
v (t)
V0
0 t1 t
Impulso ⇒ 0t1 → e ∞→0V
Impulso unitário: )t(u0 ⇒ Área = 1
6.3 Função Rampa Unitária
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
=
0t,tk
0t,0
)t(v
v (t)
0 t
Rampa unitária: )t(u2 ⇒ Declive = 1
As funções singulares podem ser expressas em função de )t(u0 , )t(u1 e )t(u2 .
Ainda, de notar que:
td
)t(ud
)t(u 1
0 =
td
)t(ud
)t(u 2
1 =

Sinais
47
6.4 Função Exponencial
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
=
−
0t,eV
0t,0
)t(v
at
0
v (t)
V0
0 t
6.5 Função Sinusoidal
)wtsin(V)t(v 0 θ+=
v (t)
V0
0 t
-V0

Capacidade e Auto-Indução
48
i
+
.
ε v
–
i
+
v C
–
A
Capítulo 7 – Capacidade e Auto-Indução
7.1 Condensador
d
d
A
C
ε
=
sendo:
• C ⇒ Capacitância
Unidade: F (Farad) em homenagem a Michael Faraday, cientista britânico
(1791-1867)
1 F = 1 C/V
v
q
C =
• A ⇒ Área das placas
• d ⇒ Distância entre placas
• ε ⇒ Permitividade ou constante dieléctrica
para o vazio: m/F10
36
1 9
0
−
×
π
=ε
Atendendo a que: vCq = e
td
qd
)t(i = ⇒ a corrente é dada por:
td
vd
C)t(i =

49
+ +
v C2 2v
– –
+ –
C1
i
3v
– +
C3
Assim, se a tensão é constante, a corrente é nula. Neste caso, o condensador é um
circuito aberto. Por outro lado, a tensão não pode variar instantaneamente, pois isto
exigiria uma corrente infinita.
A tensão é dada por:
)t(vdti
C
1
)t(v 0
t
t0
+= ∫
A potência é dada por:
td
vd
vCpivp =⇔=
A energia armazenada no condensador é dada por:
[ ])t(v)t(vC
2
1
WdvvCWdt
td
vd
vCWdtpW 0
22)t(v
)t(v
t
t
t
t 000
−=⇔=⇔=⇔= ∫∫∫
assumindo que 0)t(v 0 = , então tem-se que:
2
vC
2
1
W =
Condensadores em Série
1v
Aplicando a Lei das Malhas, obtém-se:
)t(vdti
C
1
)t(vdti
C
1
)t(vdti
C
1
v0vvvv 03
t
t
3
02
t
t
2
01
t
t
1
321
000
+++++=⇔=+++− ∫∫∫
considerando: )t(v)t(v)t(v)t(v 0030201 =++ , tem-se que:

50
i C1 C2 C3
i1 i3+
v
–
i2
)t(vdti
C
1
v)t(vdti
C
1
C
1
C
1
v 0
t
t
eq
0
t
t
321
00
+=⇔+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= ∫∫
Portanto, os condensadores em série (C1, C2 e C3) podem ser substituídos no circuito
por:
321
eq
C
1
C
1
C
1
1
C
++
=
De forma geral, o condensador equivalente a um conjunto de condensadores em série
é dado por:
∑=
= I
1i i
eq
C
1
1
C
No caso particular de apenas dois condensadores em série, tem-se:
21
21
eq
CC
CC
C
+
×
=
Condensadores em Paralelo
Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se:
( )
td
vd
Ci
td
vd
CCCi
td
vd
C
td
vd
C
td
vd
Ci0iiii eq321321321 =⇔++=⇔++=⇔=−−−
Portanto, os condensadores em paralelo (C1, C2 e C3) podem ser substituídos no
circuito por: 321eq CCCC ++=
De forma geral, o condensador equivalente a um conjunto de condensadores em
paralelo é dado por: ∑=
=
I
1i
ieq CC

51
i
+
N v
–
i
+
v L
–
A
7.2 Bobina
l
l
AN
L
2
μ
=
sendo:
• L ⇒ Indutância
Unidade: H (Henry) em homenagem a Joseph Henry, cientista norte-americano
(1797-1878)
1 H = 1 V.s/A
• μ ⇒ Permeabilidade
para o vazio: m/H104 7
0
−
×π=μ
• N ⇒ Número de espiras
• A ⇒ Área seccional
• l ⇒ Comprimento
A tensão é dada por:
td
id
L)t(v =
Assim, se a corrente é constante, a tensão é nula. Neste caso, a bobina é um
curto-circuito. Por outro lado, a corrente não pode variar instantaneamente, pois isto
exigiria uma tensão infinita.
A corrente é dada por:
)t(idtv
L
1
)t(i 0
t
t0
+= ∫

52
+ +
v L2 2v
– –
+ –
L1
v3
i
– +
L3
A potência é dada por:
td
id
iLpivp =⇔=
A energia armazenada na bobina é dada por:
[ ])t(i)t(iL
2
1
WdiiLWdt
td
id
iLWdtpW 0
22)t(i
)t(i
t
t
t
t 000
−=⇔=⇔=⇔= ∫∫∫
assumindo que 0)t(i 0 = , então tem-se que:
2
iL
2
1
W =
Bobinas em Série
1v
td
id
)LLL(v
td
id
L
td
id
L
td
id
Lv0vvvv 321321321 ++=⇔++=⇔=+++−
td
id
Lv eq=⇔
Portanto, as bobinas em série (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por:
321eq LLLL ++=
De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em série é dada por:
∑=
=
I
1i
ieq LL

53
i L1 L2 L3
i1 i3+
v
–
i2
Bobinas em Paralelo
Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se:
)t(idtv
L
1
)t(idtv
L
1
)t(idtv
L
1
i0iiii 03
t
t
3
02
t
t
2
01
t
t
1
321
000
+++++=⇔=+++− ∫∫∫
considerando: )t(i)t(i)t(i)t(i 0030201 =++ , tem-se que:
)t(idtv
L
1
v)t(idtv
L
1
L
1
L
1
i 0
t
t
eq
0
t
t
321
00
+=⇔+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= ∫∫
Portanto, as bobinas em paralelo (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por:
321
eq
L
1
L
1
L
1
1
L
++
=
De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em paralelo é dada
por:
∑=
= I
1i i
eq
L
1
1
L
No caso particular de apenas duas bobinas em paralelo, tem-se:
21
21
eq
LL
LL
L
+
×
=

Circuitos de Primeira Ordem
54
– +
vR R L vL
+ –
i
Capítulo 8 – Circuitos de Primeira Ordem
8.1 Circuitos RL e RC Simples
Quando um circuito é comutado de uma condição para outra ocorre um período de
transição. Depois desse período transitório, diz-se que o circuito atinge o estado
estacionário.
A aplicação das Leis de Kirchhoff a um circuito que contenha elementos capazes de
armazenar energia resulta em uma equação diferencial.
Seguidamente, é analisada a resposta transitória ou resposta natural de circuitos
simples RL e RC (com energia armazenada na bobina, para o circuito RL, e no
condensador, para o circuito RC) e sem fontes.
Circuito RL Simples
0i
L
R
td
id
0
td
id
LiR0vv LR =+⇔=+⇔=+

55
+
R v C
–
iCiR
resolvendo a equação diferencial, obtém-se:
τ
−−
=⇔=
t
0
t
L
R
0 eI)t(ieI)t(i
i(t)
I0
0 τ t
)0(iI0 = representa a energia armazenada
R
L
=τ é a constante de tempo
A energia total transformada em calor na resistência é dada por:
2
0IL
2
1
W =
que corresponde à energia total armazenada na bobina no instante inicial 0t = .
Circuito RC Simples
Aplicando a Lei dos Nós (para o nó superior), obtém-se:
0
CR
v
td
vd
0
td
vd
C
R
v
0ii CR =+⇔=+⇔=+

56
–
+
v o
+
vi
–
i2 R
C
i1
+ –
vC
resolvendo a equação diferencial, obtém-se:
τ
−−
=⇔=
t
0
CR
t
0 eV)t(veV)t(v
v (t)
V0
0 τ t
)0(vV0 = representa a energia armazenada
CR=τ é a constante de tempo
A energia total transformada em calor na resistência é dada por:
2
0VC
2
1
W =
que corresponde à energia total armazenada no condensador no instante inicial 0t = .
8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador
Circuito Diferenciador

57
–
+
v o
+
vi
–
i1 R
C
i2
+ –
vC
• v – = v + ⇒ v – = 0V
• i – = 0 ⇒ i1 = i2
iCCi vv0vv =⇔=+−
R
v
i0viR o
2o2 −=⇔=+
Ainda:
td
vd
Ci
td
vd
Ci i
1
C
1 =⇔=
td
vd
CRv
R
v
td
vd
Cii i
o
oi
21 −=⇔−=⇔=
Se 1CR = tem-se:
td
vd
v i
o −=
Deste modo, a tensão de saída é proporcional à derivada da tensão de entrada.
Circuito Integrador

58
• v – = v + ⇒ v – = 0V
• i – = 0 ⇒ i1 = i2
R
v
i0iRv i
11i =⇔=+−
CooC vv0vv −=⇔=+
Ainda:
td
vd
Ci
td
vd
Ci o
2
C
2 −=⇔=
)t(vdtv
CR
1
v
CR
v
td
vd
td
vd
C
R
v
ii 0C
t
t io
iooi
21
0
+−=⇔−=⇔−=⇔= ∫
Se 1CR = e 0)t(v 0C = tem-se:
dtvv
t
t io
0
∫−=
Deste modo, a tensão de saída é proporcional ao integral da tensão de entrada.
8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC
A resposta completa de um circuito é composta de duas partes:
• resposta natural ou resposta transitória;
• resposta forçada ou resposta estacionária.
A resposta natural é a solução geral da equação diferencial que representa o circuito,
quando a entrada é nula. A resposta forçada é a solução particular da equação
diferencial que representa o circuito.
Seguidamente, são consideradas dois tipos de entradas, constante e variável.

59
+
C v (t)
–
+
vca
–
RTh
icc RTh L
i
Entrada Constante
Devem usar-se os Equivalentes de Thévenin e de Norton para simplificar a análise do
circuito. Posteriormente, um de dois tipos de circuitos pode ser considerado:
• Circuito de primeira ordem com condensador
Neste caso, a tensão no condensador é dada por:
( ) τ
−
−+=
t
caca ev)0(vv)t(v
sendo: )t(vcompletaresposta = ;
cavforçadaresposta = ;
( ) τ
−
−=
t
ca ev)0(vnaturalresposta ;
CR=τ
• Circuito de primeira ordem com bobina
Neste caso, a corrente na bobina é dada por:
( ) τ
−
−+=
t
cccc ei)0(ii)t(i
sendo: )t(icompletaresposta = ;
cciforçadaresposta = ;
( ) τ
−
−=
t
cc ei)0(inaturalresposta ;
R
L
=τ

60
Entrada Variável
A equação diferencial que descreve um circuito RL ou RC é representada de forma
genérica por:
)t(y)t(xa
td
)t(xd
=+
A solução genérica é dada por:
fn
tatata
xxxdteyeeKx +=⇔+= ∫
−−
A resposta natural é sempre dada por: ta
n eKx −
= ; K obtém-se das condições iniciais.
A resposta forçada é dada por:
•
a
M
xf = , se M)t(y =
•
ba
e
x
tb
f
+
= , se tb
e)t(y =
• wtcosBwtsinAxf += , se )wtsin(M)t(y θ+=

Circuitos de Segunda Ordem
61
Capítulo 9 – Circuitos de Segunda Ordem
9.1 Circuito RLC
Neste capítulo é determinada a resposta completa de um circuito com dois elementos
capazes de armazenar de energia (L e C). Este circuito é descrito por uma equação
diferencial de segunda ordem, que pode ser dada genericamente por:
)t(f)t(x)t(x
td
d
2)t(x
td
d 2
02
2
=ω+α+
em que:
• α é o coeficiente de amortecimento
• 0ω é a frequência de ressonância
Usando o operador diferencial: n
n
n
td
d
s = , obtém-se a equação característica de um
circuito de segunda ordem, dada por: 0s2s 2
0
2
=ω+α+
Esta equação característica tem duas soluções: 1s e 2s . Estas soluções são denominadas
de frequências naturais do circuito de segunda ordem.
Um circuito de segunda ordem pode ser caracterizado como:
• Sobreamortecido, se 1s e 2s são reais e diferentes, ou, 0ω>α ;
• Criticamente amortecido, se 1s e 2s são reais e iguais (pólo duplo), ou, 0ω=α ;
• Subamortecido, se 1s e 2s são complexos conjugados, ou, 0ω<α .

Circuitos de Segunda Ordem
62
A resposta completa de um circuito de segunda ordem é a soma da resposta natural
com a resposta forçada: fn xxx +=
A resposta natural depende das frequências naturais do circuito. No caso de um
circuito:
• Sobreamortecido, 2
0
2
21 s,s ω−α±α−= ⇒ ts
2
ts
1n
21
eAeAx −−
+= ;
• Criticamente amortecido, α−=21 s,s ⇒ ( ) t
21n etAAx α−
+= ;
• Subamortecido, d
22
021 jjs,s ω±α−=α−ω±α−=
⇒ ( ) t
d2d1n etsenAtcosAx α−
ω+ω= .
A resposta forçada depende da entrada do circuito, sendo dada por:
• Axf = , se K)t(f = (constante)
• tBAxf += , se tK)t(f = (rampa)
• tsenBtcosAxf ω+ω= , se tcosK)t(f ω= ou tsenK)t(f ω= (sinusoidal)
• bt
f eAx −
= , se bt
eK)t(f −
= (exponencial)

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