O documento descreve medidas estatísticas de tendência central e dispersão. Apresenta a moda, média e mediana, explicando como calculá-las em diferentes tipos de distribuição de dados. Também explica o desvio padrão e variância como medidas de quanto os valores se dispersam em relação à média.
1. Introduction to MATLAB and programming
2. Workspace, variables and arrays
3. Using operators, expressions and statements
4. Repeating and decision-making
5. Different methods for input and output
6. Common functions
7. Logical vectors
8. Matrices and string arrays
9. Introduction to graphics
10. Loops
11. Custom functions and M-files
Mathematics and History of Complex VariablesSolo Hermelin
Mathematics of complex variables, plus history.
This presentation is at a Undergraduate in Science (Math, Physics, Engineering) level.
Please send comments and suggestions to solo.hermelin@gmail.com, thanks! For more presentations, please visit my website at http://www.solohermelin.com
1. Introduction to MATLAB and programming
2. Workspace, variables and arrays
3. Using operators, expressions and statements
4. Repeating and decision-making
5. Different methods for input and output
6. Common functions
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10. Loops
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XVII SAMET -2ª feira - Mini-curso [Dra. Simone Ferraz]Dafmet Ufpel
Mini-curso apresentado pela Prof. Dra. Simone Ferraz, no dia 29/11/2010, durante a XVII edição da Semana Acadêmica do curso de Meteorologia da Universidade Federal de Pelotas, com o tema: "Técnicas Estatísticas aplicadas em climatologia"
Statistics and Probability Lesson in Bacharelor's Degree in Computer Science in Federal Institute of Education, Science and Technology of São Paulo. Author: Mara Luiza Gonçalves Freitas
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4.medidas
1.
2. Medidas
Medidas de tendência
central
São medidas de posição que tendem a se agrupar
em torno dos valores centrais de uma distribuição,
tendo a capacidade de representá-la como um
todo.
As mais utilizadas são:
Média Aritmética
Mediana
Moda
3. Medidas
Moda (Mo)
Mo é o valor que ocorre com mais frequência na
distribuição, isto é, o valor que mais se repete.
Quando há dois valores que se repetem na mesma
quantidade, chamamos a série de BIMODAL.
Analogamente, para a TRIMODAL e MULTIMODAL.
Se todos os valores se repetirem na mesma quantidade
então a série é AMODAL, isto é, não existe moda.
4. Medidas
Moda (Mo)
2 5 5 5 6 7 9 9 9 10 10
Mo1 = 5 e Mo2 = 9 → Série Bimodal
4 4 4 5 6 7 7 7 8 9 9 9
Mo1= 4, Mo2= 7 e Mo3= 9 → Série Trimodal
1 2 5 6 9 10 12 13
Não existe moda→ Série Amodal
Mo1 = 60
Mo2 = 70
Série Bimodal
5. Medidas
Moda (Mo)
No caso da tabela em classes, sabemos
que a moda está entre o limite inferior e
superior de uma classe, mas não há como
saber o seu valor exato.
É possível encontrar sua aproximação por
meio de vários procedimentos.
Moda
BrutaSerá o ponto médio da classe de maior frequência.
𝐌𝐨 𝐁 =
𝟑𝟎 + 𝟒𝟎
𝟐
= 𝟑𝟓
A MAIORIA dos
alunos tiraram 35
pontos.
6. Medidas
Média (X ou µ)
A média de uma distribuição pode ser amostral (X) ou populacional (µ).
Em ambos os casos, pode ser:
Média aritmética
(Mais simples de calcular e mais usada)
Média Ponderada
(Quando são atribuídos pesos a cada valor)
Média Geométrica
(Uso mais comum em progressões e variações percentuais em sequência)
Média Harmônica
(Uso mais comum em velocidade, tempo, resistores de circuitos elétricos e
outras grandezas inversamente proporcionais)
7. Medidas
Média (X ou µ)
Média
aritméticaSe os dados estiverem em
ROL, basta somar todos e
dividir pelo o total da
amostra.
Se os dados estiverem agrupados,
o somatório será do produto de
cada variável pela sua respectiva
frequência. Trata-se de uma
média aritmética ponderada.
8. Medidas
Média (X ou µ)
Média
aritmética
𝐗 =
𝟐𝟎 + 𝟑𝟎 + … + 𝟕𝟎 + 𝟒𝟓
𝟒𝟐
=
𝟐𝟒𝟎𝟐
𝟒𝟐
= 𝟓𝟕
A MÉDIA da turma 2.302.V foi
de 57 pontos.
10. Medidas
Média (X ou µ)
Média
aritmética
𝐗 =
𝟕, 𝟓 ∙ 𝟑 + 𝟐𝟐, 𝟓 ∙ 𝟑 + ⋯ + 𝟖𝟐, 𝟓 ∙ 𝟑 + 𝟗𝟕, 𝟓 ∙ 𝟔
𝟒𝟐
𝐗 =
𝟐𝟑𝟕𝟑, 𝟖
𝟒𝟐
= 𝟓𝟔, 𝟓
Nos dados em classe, usa-
se o ponto médio de cada
classe como variável.
11. Profª Juliana Schivani Medidas
Média (X ou µ)
Média
geométricaÉ a raiz n-ésima do produto de todos os elementos de uma série.
No caso dos dados agrupados:
12. Profª Juliana Schivani Medidas
Média (X ou µ)
Média
harmônicaÉ o inverso da média aritmética dos inversos.
13. Profª Juliana Schivani Medidas
Média (X ou µ)
Média
harmônicaÉ o inverso da média aritmética dos inversos.
14. Profª Juliana Schivani Medidas
Média (X ou µ)
Se somarmos ou subtrairmos uma constante de todos os valores
de uma série, a média fica aumentada ou diminuída dessa
constante.
𝐲𝐢 = 𝐱𝐢 ± 𝐜 ⟹ 𝐘 = 𝐗 ± 𝐜
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma séria
por uma constante, a média fica multiplicada ou dividida por
essa constante.
𝐲𝐢 = 𝐱𝐢 ∙ 𝐜 ⟹ 𝐘 = 𝐗 ∙ 𝐜 ou 𝐲𝐢 =
𝐱 𝐢
𝐜
⟹ 𝐘 =
𝐗
𝐜
17. Profª Juliana Schivani Medidas
Mediana (Me)
Me é o valor central da distribuição que a divide em
duas partes iguais.
18. Profª Juliana Schivani Medidas
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total
da amostra (n).
Se “n” for
par:
𝑴𝒆 =
𝑿 𝒏
𝟐
+ 𝑿 𝒏
𝟐+𝟏
𝟐
Como n=50, ou seja, um
número par, a mediana
será a média aritmética dos
dois valores centrais. Estes
valores estão na 25ª e 26ª
posição.
19. Profª Juliana Schivani Medidas
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total
da amostra (n).
Se “n” for
par:
𝑴𝒆 =
𝑿 𝒏
𝟐
+ 𝑿 𝒏
𝟐+𝟏
𝟐
Para saber que variável está
na posição 25ª e 26ª,
precisamos da frequência
acumulada “abaixo de”.
20. Profª Juliana Schivani Medidas
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total
da amostra (n).
Se “n” for
par:
𝑴𝒆 =
𝑿 𝟓𝟎
𝟐
+ 𝑿 𝟓𝟎
𝟐 +𝟏
𝟐
=
𝑿 𝟐𝟓 + 𝑿 𝟐𝟔
𝟐
=
𝟏 + 𝟐
𝟐
= 1,5 sessão
21. Profª Juliana Schivani Medidas
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total
da amostra (n).
Se “n” for
ímpar:𝑴𝒆 = 𝑿 𝒏+𝟏
𝟐
Como n=59, ou seja, um
número ímpar, a mediana será
a variável que estiver na
posição 59+1/2, ou seja, 30ª
posição.
= 𝑿 𝟓𝟗+𝟏
𝟐
= 𝑿 𝟔𝟎
𝟐
= 𝑿 𝟑𝟎 = 𝟐 𝒔𝒆𝒔𝒔õ𝒆𝒔
22. Profª Juliana Schivani Medidas
Mediana (Me)
Na tabela de frequência em classes, utiliza-se uma fórmula
originada da regra de três simples, para determinar a Me
aproximada.
𝑴𝒆 − 𝒍𝒊
𝒍 𝒔 − 𝒍𝒊
=
𝑷 𝑴𝒆 − 𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝑭 ↓ −𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝑴𝒆 − 𝒍𝒊
𝒄
=
𝑷 𝑴𝒆 − 𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝒇
𝑴𝒆 = 𝒍𝒊 +
𝑷 𝑴𝒆 − 𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝒇
∙ 𝒄
23. Profª Juliana Schivani Medidas
Mediana (Me)
n=49, então a Me está na
24,5ª posição, ou seja, na
2ª classe.
𝑴𝒆 = 𝟗 +
𝟐𝟒, 𝟓 − 𝟐𝟎
𝟏𝟎
∙ 𝟕
𝑴𝒆 = 𝒍𝒊 𝑴𝒆 +
𝑷 𝑴𝒆 − 𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝒇 𝑴𝒆
∙ 𝒄
= 12,15
26. Profª Juliana Schivani Medidas
Simetria da distribuição
X = Me = Mo
50% 50%
Uma distribuição é simétrica quando 𝑿 = Me = Mo.
Isso significa que há uma maior concentração nos
valores centrais.
27. Profª Juliana Schivani Medidas
Simetria da distribuição
Uma distribuição é assimétrica negativa ou assimétrica à
esquerda quando 𝑿< Me < Mo. Isso significa que há uma
maior concentração nos valores maiores.
Me
50%50%
X Mo
28. Profª Juliana Schivani Medidas
Simetria da distribuição
Uma distribuição é assimétrica positiva ou assimétrica à
direita quando 𝑿> Me > Mo. Isso significa que há uma
maior concentração nos valores menores.
Me
50%50%
Mo X
31. Profª Juliana Schivani Medidas
Medidas de dispersão
São medidas que se distanciam (dispersam) da média,
dizendo se a distribuição é mais homogênea ou mais
heterogênea.
Ex.: “Se uma pessoa comeu dois frangos e a outra não comeu
nenhum, qual a média de frango comido, por pessoa?”
A média seria de um frango por pessoa. Mas como fica a pessoa
que não comeu nenhum frango?
As mais utilizadas são a Variância e o Desvio padrão
32. Profª Juliana Schivani Medidas
Medidas de dispersão
Em uma escola há três turmas (A, B e C) em que a média
das idades em cada turma é igual a 16 anos.
TURMA A
IDADE ALUNOS
15 3
16 15
17 3
∑ 21
TURMA B
IDADE ALUNOS
14 3
15 7
16 1
17 7
18 3
∑ 21
TURMA C
IDADE ALUNOS
14 7
15 6
16 1
17 2
18 1
19 0
20 4
∑ 21
Na turma B e C só há 1 aluno com 16 anos,
embora esta seja a média de idade na escola.
33. Profª Juliana Schivani Medidas
Medidas de dispersão
Qual das turmas é mais homogênea?
TURMA A
IDADE ALUNOS
15 3
16 15
17 3
∑ 21
TURMA B
IDADE ALUNOS
14 3
15 7
16 1
17 7
18 3
∑ 21
TURMA C
IDADE ALUNOS
14 7
15 6
16 1
17 2
18 1
19 0
20 4
∑ 21
37. Profª Juliana Schivani Medidas
Medidas de dispersão
TURMA V 𝐃𝐏
A 0,28 0,53
B 1,81 1,35
C 4,95 2,22
Isso nos diz que, a turma que mais se aproxima da média de
16 anos é a A, pois apresenta menor desvio.
Já a turma C, com maior desvio, é a que mais se distancia da
média e, portanto, tem maior variabilidade, isto é, trata-se
de uma turma mais heterogênea.
38. Profª Juliana Schivani Medidas
Variância
É o somatório de cada quadrado da diferença da
variável pela média, dividido pelo total da amostra.
𝑉 = 𝑠² = 𝞼² =
(𝑋 − 𝑋) ² ∙ 𝑓
𝑛
Quanto maior a variância, mais heterogênea é a
distribuição, isto é, os dados estão espalhados por
uma gama de valores. Mas se a variância for baixa,
então os dados estão próximos à média.
39. Profª Juliana Schivani Medidas
Desvio padrão
É a raiz quadrada da variância. Isso tira o quadrado
da unidade estudada, deixando a medida mais
direta com a realidade.
𝐷𝑃 = 𝑠 = 𝞼 = 𝑉
Da mesma forma que a variância, quanto menor o
desvio, mais homogênea é a distribuição, isto é, os
dados estão próximos à média.
40. Profª Juliana Schivani Medidas
Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do
salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram
seus quatro melhores saltos em centímetros. Veja:
Dentre os atletas, a melhor média foi a do Atleta Z, veja:
Atleta X = (144 + 171 + 150 + 138) / 4 = 150,75
Atleta Y = (146 + 170 + 152 + 137) / 4 = 151,25
Atleta Z = (145 + 169 + 154 + 140) / 4 = 152
Atleta W = (150 + 167 + 149 + 141) / 4 = 151,75
45. Profª Juliana Schivani Medidas
ATLETA 𝒔
X 12,44 cm
Y 12,07 cm
Z 11,02 cm
W 9,47 cm
O atleta que obteve o menor Desvio Padrão deve ser
considerado o de melhor regularidade em resultados.
Dessa forma, temos que o atleta W se enquadra nessa condição
de melhor regularidade.
47. Profª Juliana Schivani Medidas
Separatrizes
São medidas que dividem (separam) a distribuição
em partes iguais.
Podem ser
Quartis
(Divide a distribuição em 4 partes iguais)
Percentis
(Divide a distribuição em 100 partes iguais)
48. Profª Juliana Schivani Medidas
Quartis
Existem três quartis:
Primeiro quartil (Q1) – valor em que 25% dos dados da distribuição são menores
que ele e 75% são maiores.
Segundo quartil (Q2) – valor igual o da Mediana, já que está no meio da
distribuição.
Terceiro quartil (Q3) – valor na distribuição situado de tal modo que 75% dos
demais valores são menores que ele e 25% são maiores.
25% 25% 25% 25%
49. Profª Juliana Schivani Medidas
Quartis
Para encontrar um quartil no ROL é como encontrar três
Medianas.
Exemplo:
Calcule os quartis da série: {5,11,2, 6, 9,10,13,15}
ROL: {2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15}
n = 8, logo, Me =
𝑋4ª+ 𝑋5ª
2
=
9+10
2
= 9,5 = 𝑄2
Q1 =
𝑋2ª+ 𝑋3ª
2
=
5+6
2
= 5,5 Q3 =
𝑋2ª+ 𝑋3ª
2
=
11+13
2
= 12
50. Profª Juliana Schivani Medidas
Quartis
Para encontrar um quartil no ROL é como encontrar três
Medianas.
Exemplo:
Calcule os quartis da série: {5,11,2, 6, 9,10,13,15}
ROL: {2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15}
25% dos dados estão abaixo de 5,5 ou 75% dos
dados estão acima de 5,5
50% dos dados estão abaixo de 9,5 ou 50% dos
dados estão acima de 9,5
75% dos dados estão abaixo de 12 ou 25% dos dados
estão acima de 12
51. Profª Juliana Schivani Medidas
Percentis
Existem 99 percentis, cada um, divide a distribuição em
duas partes.
52. Profª Juliana Schivani Medidas
Separatrizes
O cálculo de qualquer separatriz em dados agrupados em
classes é o mesmo da Mediana.
Através da regra de três, resulta na fórmula:
𝑺
= 𝒍𝒊 𝑺 +
𝑷 𝑺 − 𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝒇 𝑺
∙ 𝒄
𝑃𝑄 𝑥
=
𝑥 ∙ 𝑛
4
onde x = 1, 2 ou 3
𝑃𝑃 𝑥
=
𝑥 ∙ 𝑛
100
onde x = 1, ..., 99
54. Profª Juliana Schivani Medidas
Referência
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 8.ed. ref. atual. São Paulo.
Saraiva. 1991.
IEZZI, Gelson... [et al.]. Matemática: Ciência e Aplicações, 3. São
Paulo: Saraiva, 2010.
STOCCO, Kátia; DINIZ, Maria. Matemática 3. São Paulo: Saraiva,
2010.
SILVA, Marcos. Mundo Educação – Matemática – Variância e
Desvio Padrão. Disponível em:
http://www.mundoeducacao.com/matematica/variancia-desvio-
padrao.htm Acesso em: ago. de 2013.
Notas do Editor
Observe que os três valores de moda são diferentes!
A moda absoluta baseia-se no ponto médio, que pode ou não ser um bom representante da classe.
A moda de King não leva em conta a frequência da própria classe modal, o que ocorre na de Czuber.
Mas estes três procedimentos são aproximações, a moda real seria obtida a partir dos dados brutos.
(Me – li) → (Pme - F↓ant) Assim como (ls – li) → (F↓ - F↓ant)
(Me – li) → (Pme - F↓ant) Assim como (ls – li) → (F↓ - F↓ant)
(Me – li) → (Pme - F↓ant) Assim como (ls – li) → (F↓ - F↓ant)
Inviável o calculo do percentil no ROL. Q1 = P25 e Q2 = Me = P50 e Q3 = P75
(S – li) → (Ps - F↓ant) Assim como (ls – li) → (F↓ - F↓ant)