Este documento discute sistemas homogêneos, que são sistemas lineares cujos termos independentes são nulos. Explica que todo sistema homogêneo sempre tem solução e pode ser SPD (sistema de ponto determinado) ou SPI (sistema de ponto indeterminado), dependendo se o determinante dos coeficientes for, respectivamente, diferente ou igual a zero. Apresenta um exemplo para ilustrar a classificação de um sistema homogêneo.

1. Sistemas Homogêneos
Soraya Mara Menezes de Souza

2. Sistemas Homogêneos
ax + by + cz = 0

a´x + bý + c´z = 0
a´´x + b´´y + c´´z = 0

 Um sistema é dito Homogêneo
quando os termos independentes forem
todos nulos.

3. Sistemas Homogêneos
ax + by + cz = 0 0)
 0,
a´x + bý + c´z = 0 ( 0, ç ã o
a´´x + b´´y + c´´z = 0 u
Sol vial
 Tr
i
 Todo sistema homogêneo é sempre
SPD ou SPI, isto é, todo sistema
homogêneo possui solução.

4. Sistemas Homogêneos
ax + by + cz = 0 0)
 0,
a´x + bý + c´z = 0 ( 0, ç ã o
a´´x + b´´y + c´´z = 0 u
Sol vial
 Tr
i
Quando o sistema Quando o sistema
homogêneo admite homogêneo admite
apenas a outras soluções
solução trivial além da trivial
(0, 0, 0) (0, 0, 0)  SPI.

5. Sistemas Homogêneos
ax + by + cz = 0

a´x + bý + c´z = 0
a´´x + b´´y + c´´z = 0

Discussão de Sistemas
• Homogêneos o determinante dos
Calculamos
coeficientes DA.  ≠ 0 ⇒ SPD
 
se :  = 0 ⇒ SPI

∃ ⇒ SI

/

6. Sistemas Homogêneos
EX.: Discuta o sistema linear a seguir:
2 a 1 2 a
2 x + ay + z = 0
 DA = 1 − 1 1 1 −1
x − y + z = 0 1 1
x + y + 2z = 0 1 1 2

( − 4 + a + 1) − (−1 + 2 + 2a )
a ≠ −4 ⇒ SPD a − 3 − 2a − 1
 −a−4
se : a = −4 ⇒ SPI
∃ ⇒ SI
/ − a − 4 ≠ 0  a ≠ −4

7. Sistemas Homogêneos
Soraya Mara Menezes de Souza