Matemática algébrica

1. 1Fundamentos de Matemática – 2010/2 | Prof. Jeferson Gomes Moriel Jr
Mínimo Múltiplo Comum e
Máximo Divisor Comum
Definição 1. [Múltiplos e divisores]
n = k.m, k ∈ Z →
𝑛 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑚
𝑚 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 (𝑜𝑢 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛)
.
Exemplo 1. O número n = 7,5 pode ser escrito como
o produto 3.2,5. Então, 7,5 = 3.2,5. Da Definição 1,
temos que 7,5 é múltiplo de 2,5 e que, também, 2,5
é divisor de 7,5.
Exemplo 2. O número n = 120 pode ser escrito, por
exemplo, como o produto 100.1,2. Então,
120 = 100.1,2. Da Definição 1, temos que 120 é
múltiplo de 1,2 e que, também, 1,2 é divisor de 120.
Auto-avaliação 1. Escolha dois números a e b e
mostre que a é múltiplo de b e que b é divisor de a.
Observação. Um número p é primo se for divisível
apenas por 1 e por ele mesmo.
 Compreendendo “Mínimo Múltiplo Comum”
A pergunta “Qual é o mínimo múltiplo comum entre
10 e 6?” pode ser transformada em outra mais
familiar (talvez): “Qual é o menor múltiplo que os
números 10 e 6 tem em comum?” Vejamos como
respondê-la.
Múltiplos de 10*
:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
Múltiplos de 6*
:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...
Percebe-se que os números 30 e 60 (além de
outros) são múltiplos de 10 e 6 simultaneamente.
Logo 30 e 60 são múltiplos em comum de 10 e 6.
No entanto precisamos apenas do menor: 30.
Assim, o número 30 é o menor múltiplo comum
entre 10 e 6, também conhecido como mínimo
múltiplo comum. Isto pode ser resumido da
seguinte forma:
M.M.C. (10, 6) = 30.
 Compreendendo “Máximo Divisor Comum”
A pergunta “Qual é o máximo divisor comum entre
10 e 6?” pode ser transformada em outra mais
familiar (talvez): “Qual é o maior divisor que os
números 10 e 6 tem em comum?” Vejamos como
respondê-la.
Divisores de 10*
: 10, 5, 2, 1
Divisores de 6*
: 6, 3, 2, 1.
Percebe-se que os números 2 e 1 são divisores de
10 e 6 simultaneamente. Logo, 2 e 1 são múltiplos
em comum de 10 e 6. No entanto, precisamos
apenas do maior: 2. Portanto, o número 2 é o maior
divisor comum entre 10 e 6, também conhecido
como máximo divisor comum (MDC). Isto pode ser
resumido da seguinte forma:
M.D.C. (10, 6) = 2.
* Estamos considerando somente os valores positivos.
 Método prático para obter MMC e MDC:
decomposição simultânea
Qual é o MDC e o MMC entre 360 e 84?
360, 84
180, 42
90, 21
45, 21
15, 7
5, 7
1, 7
1, 1
2 ●
2 ●
2
3 ●
3
5
7
MDC (360, 84) = 22
.3 = 12
(é o produto dos divisores comuns ●
)
MMC (360, 84) = 23
.32
.5.7 = 2520
(é o produto de todos os divisores)
Auto-avaliação 2. Usando o método prático da
decomposição simultânea verifique que
MMC (10, 6) = 30 e que MDC (10, 6) = 2.
 Exercícios
1. Calcule o MDC e o MMC de:
a) 3 e 6
b) 11 e 7
c) 24 e 60
d) 24, 36 e 48
e) 72 e 120
Respostas.1
2. Escolha dois números diferentes cujo MMC é 24.
Mostre que sua escolha é correta.
3. Escolha dois números diferentes cujo MDC é 10.
Mostre que sua escolha é correta.
1
A) 3. 6. B) 1. 77. C) 12. 120. D) 12. 144. E) 24. 360.

2. 2Fundamentos de Matemática – 2010/2 | Prof. Jeferson Gomes Moriel Jr
 Problemas de aplicação dos conceitos de MDC
e MMC
P1. Em certa cidade existe três festas que
acontecem periodicamente, quais sejam, a festa do
milho, a festa da uva e a festa da soja. A festa do
milho ocorre a cada quatro anos, a festa da uva
ocorre a cada três anos e a festa da soja ocorre a
cada seis anos. Se em 2010 estas festas ocorreram
simultaneamente, qual será o próximo ano elas
voltarão a ocorrer simultaneamente outra vez?
Solução. Calculando o MMC (4, 3, 6) = 12
encontramos o número de anos necessários para
que as festas ocorram simultaneamente. Como
as festas ocorreram juntas em 2010, então 2010
+ 12 = 2022 é o próximo ano em que as festas
ocorrerão outra vez simultaneamente.
P2. O cometa X passa perto da Terra a cada 100
anos, o cometa Y a cada 45 anos e o cometa K a
cada 300 anos. Sabe-se que no ano 1.115 foi a
última vez que esses três cometas estiveram
próximos da Terra ao mesmo tempo. Faça uma
previsão da próxima vez que eles estarão,
simultaneamente, próximos à Terra. Resposta2
.
P3. Em uma casa há quatro lâmpadas, a primeira
acende a cada 27 horas, a segunda acende a cada
45 horas, a terceira acende a cada 60 horas e a
quarta só acende quando as outras três estão
acesas ao mesmo tempo. De quantas em quantas
horas a quarta lâmpada vai acender? Resposta3
.
P4. Uma bibliotecária recebe 130 livros de
Matemática e 195 livros de Português. Ela quer
arrumá-los em estantes, colocando igual
quantidade de livros em cada estante, sem misturar
livros de Matemática e de Português na mesma
estante. Quantos livros ela deve colocar em cada
estante para que o número de estantes utilizadas
seja o menor possível?
Solução. Chamemos de n o número de livros que
a bibliotecária vai colocar em cada estante.
Então temos: 130/n = número de estantes para
os livros de Matemática e 195/n = número de
estantes para os livros de Português.
Isso mostra que n deve ser divisor comum de
130 e 195, pois o número de estantes utilizadas é
2
2015.
3
540 horas.
inteiro. Sabemos que quando aumentamos o
denominador de uma fração, esta fração diminui
(por exemplo, 27/10 é menor do que 27/8).
Logo, quanto maior for o denominador n,
menores serão as frações 130/n e 195/n, o que
significa que menor será o número de estantes
utilizadas. Vemos assim que n deve ser o maior
divisor comum de 130 e 195. Fazendo os cálculos
temos quem MDC(130, 195) = 65.
Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada
estante. Portanto, o número de estantes para os
livros de Matemática é de 130/65 = 2 e o número
de estantes para os de Português é 195/65 = 3, o
que dá um total de 2+3 = 5 estantes.
P5. Uma locadora adquiriu 220 DVDs de filme e 275
DVDs de show. Deve-se armazená-los em
prateleiras, colocando igual quantidade de DVDs em
cada prateleira, sem misturar os de filme com os de
show na mesma prateleira. Quantos DVDs devem
ser colocados em cada prateleira para que o
número de prateleiras utilizadas seja o menor
possível? Quantas prateleiras serão utilizadas neste
caso? Resposta4
.
4
55 livros. 4+5=9 prateleiras.