Material sobre Combinatória/Invariantes para Olimpíada de Matemática

1. Invariantes e Monovariantes
Rafael Rodrigues
Uma t´ecnica muito utilizada para resolver problemas em Olimp´ıadas de Matem´atica
´e a busca por invariantes. Isto ´e, busca por propriedades que se mant´em, dada uma
transforma¸c˜ao. Por exemplo, utilizamos o princ´ıpio da invariˆancia em problemas que
envolvam jogos, paridade, divisibilidade, simetria. O princ´ıpio da invariˆancia virtual-
mente n˜ao possui teoremas, portanto praticar muito ´e a ´unica maneira de dominar o
assunto. Ent˜ao, vamos come¸car com alguns problemas...
1 Problemas Iniciais
1. Os n´umeros 1, 2, . . . , 10 s˜ao escritos em uma linha. ´E poss´ıvel colocar sinais + ou
− entre eles de forma que a soma dˆe zero?
Solu¸c˜ao: N˜ao. Note que se colocarmos todos os sinais ”+” entre os n´umeros,
obtemos 1 + 2 + ... + 10 = 55. Al´em disso, se considerarmos a transforma¸c˜ao de
trocar sinais ”+” por sinais ” − ” notamos que essa transforma¸c˜ao n˜ao altera a
paridade do resultado. Logo, como inicialmente temos 55 que ´e ´ımpar, ´e imposs´ıvel
obter 0, que ´e par, atrav´es dessas transforma¸c˜oes, portanto, ´e imposs´ıvel colocar
sinais ”+” e ”−” de forma que o resultado seja 0.
2. Dois cantos diagonalmente opostos de um tabuleiro de xadrez s˜ao retirados. ´E
poss´ıvel cobrir o tabuleiro restante com domin´os?
Solu¸c˜ao: N˜ao. Considere o tabuleiro de xadrez pintado da maneira convencional.
Note que dois cantos opostos de um tabuleiro de xadrez possuem mesma cor.
Suponha sem perda de generalidade que retiramos dois cantos de cor preta. Por-
tanto, sobrar˜ao 30 casas pretas e 32 brancas. Por´em, cada pe¸ca de domin´o cobre
exatamente uma casa branca e uma casa preta. Logo, uma cobertura feita com
domin´os sempre cobre a mesma quantidade de casas brancas e pretas. Portanto,
´e imposs´ıvel cobrir todas as casas com domin´os, pois inicialmente temos n´umeros
diferentes de casas brancas e pretas.
3. (Olimp´ıada de Maio) Em cada um dos 10 degraus de uma escada existe uma r˜a.
Cada r˜a pode, de um pulo, colocar-se em outro degrau, mas quando uma r˜a faz
isso, ao mesmo tempo, uma outra r˜a pular´a a mesma quantidade de degraus em
1

2. sentido contr´ario: uma sobe e outra desce. Conseguir˜ao as r˜as colocar-se todas
juntas num mesmo degrau?
Solu¸c˜ao: N˜ao. Imagine que as r˜as recebam um ticket que corresponde ao n´umero
do degrau em que elas est˜ao. Note que a transforma¸c˜ao (subida ou descida de
uma r˜a, e consequentemente uma outra r˜a pula a mesma quantidade de degraus
no sentido contr´ario) n˜ao altera a soma dos n´umeros em todos os tickets. Portanto,
inicialmente a soma dos tickets ´e 1 + 2 + ... + 10 = 55. Imagine que seja poss´ıvel
que no final todas as r˜as vivessem em um mesmo degrau, suponha o degrau x.
Portanto, 10x = 55, logo x = 5.5, absurdo! Portanto, ´e imposs´ıvel que as r˜as
vivam juntas em um mesmo degrau.
4. Divide-se um c´ırculo em 10 setores e coloca-se uma ficha em cada setor. Um
movimento consiste em selecionar duas fichas e mover cada uma para um setor
adjacente. Prove que, depois de uma seq¨uˆencia arbitr´aria de movimentos, ´e im-
poss´ıvel que todas as fichas localizem-se em um mesmo setor.
5. Em uma folha de papel temos 10 sinais + e 5 sinais -. Em cada turno devemos
escolher 2 deles, apag´a-los e escrever um sinal + se eram iguais e um sinal - se
eram distintos. Provar que depois de 14 turnos sobrar´a apenas um sinal de -.
6. Em uma folha est˜ao escritos 2 n´umeros, em cada turno se apagam 2 n´umeros e
se estes eram a e b ent˜ao trocamos por 2a − b e 2b − a. Se inicialmente estavam
escritos 1458 e 1460. ´E poss´ıvel ap´os v´arios turnos os n´umeros na folha sejam 715
e 1024?
7. Seja n um inteiro positivo. Escrevemos em um quadro n n´umeros, x1, x2, ..., xn.
Um movimento consiste em trocar dois desses n´umeros pela soma. Mostre que
o n´umero escrito no quadro no final ´e independente da ordem das escolhas dos
movimentos.
8. Um c´ırculo est´a dividido em 6 setores, os n´umeros 1, 0, 1, 0, 0, 0 est˜ao escritos
neles. Em cada turno se podemos somar 1 a dois setores adjacentes. ´E poss´ıvel
que todos os setores tenham o mesmo n´umero?
9. (R´ussia 1998) Um n´umero de quatro d´ıgitos ´e escrito no quadro-negro. As opera¸c˜oes
permitidas s˜ao: adicionar 1 a dois d´ıgitos vizinhos (caso nenhum deles seja 9), ou
subtrair 1 de dois d´ıgitos vizinhos (caso nenhum deles seja 0). ´E poss´ıvel obtermos
2002 a partir de 1234 realizando algumas opera¸c˜oes?
10. Temos 3 pilhas de pedras com n pedras cada. Podemos a cada movimento escolher
duas pilhas e retirar uma pedra de cada, e adicionar uma pedra `a terceira pilha.
´E poss´ıvel terminarmos com apenas uma pedra?
11. ´E poss´ıvel iniciar com um cavalo em um dos cantos de um tabuleiro de xadrez e
chegar `a diagonal oposta passando uma vez por cada um dos outros quadrados?
12. ´E poss´ıvel um cavalo em tabuleiro 5×5 de xadrez se mover de forma que ele retorna
2

3. `a sua posi¸c˜ao original ap´os ter visitado cada casa do tabuleiro exatamente uma
vez?
13. Os n´umeros 1, 2, ..., 20 s˜ao escritos em um quadro negro. Podemos apagar dois
deles a e b e escrever no lugar o n´umero a + b + ab. Ap´os muitas opera¸c˜oes ficamos
apenas com um n´umero. Qual deve ser esse n´umero?
14. Sete moedas est˜ao sobre uma mesa mostrando a cara. Podemos escolher quais-
quer quatro delas e vir´a-las ao mesmo tempo. Podemos obter todas as moedas
mostrando a coroa?
15. a) Os n´umeros 1, 2, 3, ..., 1989 s˜ao escritos em um quadro negro. Podemos apagar
dois n´umeros e escrever sua diferen¸ca no local. Ap´os muitas opera¸c˜oes ficamos
apenas com um n´umero. Esse n´umero pode ser o zero?
b) Suponha n ´e ´ımpar, e os n´umeros 1, 2, . . . , 2n s˜ao escritos em um quadro negro.
Podemos apagar dois n´umeros e escrever sua diferen¸ca no local. Ap´os muitas
opera¸c˜oes ficamos apenas com um n´umero. Esse n´umero ´e par ou ´ımpar?
c) (Olimp´ıada de Matem´atica de Kiev 1974 ) Os n´umeros 1, 2, 3, ..., 1974 s˜ao escritos
em um quadro. Podemos apagar dois n´umeros e escrever ou a soma ou a diferen¸ca
no local destes n´umeros. Prove que ap´os 1973 opera¸c˜oes ´e imposs´ıvel que o ´unico
n´umero restante no quadro seja 0.
16. Come¸cando com a tripla {3, 4, 12} podemos a cada passo escolher dois n´umeros a
e b e troc´a-los por 0.6a − 0.8b e 0.8a + 0.6b. Usando essa opera¸c˜ao podemos obter
{4, 6, 12}?
17. (Rio Grande do Norte-99) A professora desafia Andr´e e Thiago com o seguinte
jogo, em que eles jogam alternadamente. Ela escreve no quadro-negro os inteiros
de 1 a 50. Uma jogada consiste em escolher dois dos n´umeros escritos, apagar
esses n´umeros, substituindo-os pela soma (Por exemplo, se Andr´e escolheu 8 e
23, apaga-os e escreve 31). Depois de algum tempo, vai restar no quadro negro
um ´unico n´umero. Se esse n´umero ´e par, o ganhador ´e Andr´e, caso contr´ario, o
ganhador ´e Thiago. Quem vence o jogo: Andr´e ou Thiago?
18. Todas as pe¸cas de um conjunto de domin´o est˜ao dispostos em cadeia de acordo
com as regras do jogo. Se um dos finais ´e 6, qual ´e o n´umero do outro final da
cadeia?
19. (R´ussia 1995) Trˆes pilhas de pedras est˜ao sobre uma mesa. Sisyphus pode escolher
duas pilhas e transferir uma pedra de uma pilha para a outra. Para cada trans-
ferˆencia ele recebe de Zeus o n´umero de moedas igual a diferen¸ca entre a quantidade
de pedras da pilha de onde foi retirada a pedra e a quantidade de pedras da pilha
que receber´a a pedra (a pedra na m˜ao de Sisyphus n˜ao ´e levada em conta). Se
essa diferen¸ca for negativa, Sisyphus deve pagar a Zeus o n´umero correspondente
(o generoso Zeus permite que ele pague depois se entrar em falˆencia). Ap´os algum
3

4. tempo todas as pilhas voltaram a ter a mesma quantidade inicial de pedras. Qual
o n´umero m´aximo de moedas que Sisyphus pode ter neste momento?
4

5. 2 Paridade e outros restos como Invariantes
20. Um drag˜ao possui 100 cabe¸cas. Um cavaleiro pode cortar 15, 17, 20, ou 5 cabe¸cas,
respectivamente, com um golpe de sua espada. Em cada um dos casos, 24, 2, 14,
ou 17 cabe¸cas crescem novamente. Se todas as cabe¸cas s˜ao cortadas, o drag˜ao
morre. ´E poss´ıvel que o drag˜ao morra?
Solu¸c˜ao: Note que cada golpe do cavaleiro faz com que o n´umero de cabe¸cas do
drag˜ao diminua em −9, 15, 6, ou −12. Note que independemente do caso, o n´umero
de cabe¸cas ´e modificado de um m´ultiplo de 3. Portanto, como 100 deixa resto 1
na divis˜ao por 3, ´e imposs´ıvel que um dia o drag˜ao possua 0 cabe¸cas, portanto ele
viver´a.
21. (AHSME 1995) Cinco pontos em um circulo s˜ao numerados com 1, 2, 3, 4, e 5 no
sentido hor´ario. Um inseto salta no sentido hor´ario de um ponto a outro sobre o
c´ırculo; se ele est´a sobre um ponto com numera¸c˜ao ´ımpar, ele se move um ponto,
e se ele est´a sobre um ponto com numera¸c˜ao par, ele salta dois pontos. Se o inseto
come¸ca no ponto 5, depois de 1995 saltos ele estar´a no ponto:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
22. Seja d(x) a soma dos d´ıgitos de x natural. Determine todas as solu¸c˜oes de d(d(n))+
d(n) + n = 1997.
23. Em Krac´ovia existem apenas 9 casas muito distantes entre si. ´E poss´ıvel que cada
casa esteja ligada a exatamente 7 outras casas atrav´es de estradas?
24. (Eslovˆenia 1992) Prove que para quaisquer inteiros positivos a1, a2, . . . , an o n´umero:
|a1 − a2| + |a2 − a3| + · · · + |an − a1| ´e par.
25. (Torneio das Cidades-85) Todo membro de uma seq¨uˆencia, iniciando do segundo,
´e igual a soma entre o termo precedente e a soma dos seus d´ıgitos. O primeiro
n´umero ´e 1. ´E poss´ıvel que 123456 perten¸ca `a seq¨uˆencia?
26. (Torneio das Cidades 2002) Um pol´ıgono convexo de N lados ´e dividido em triˆangulos
por diagonais que n˜ao se intersectam no interior do pol´ıgono. Os triˆangulos s˜ao
pintados de preto e branco de modo que quaisquer dois triˆangulos com um lado em
comum tˆem cores diferentes. Para cada N, ache a maior diferen¸ca poss´ıvel entre a
quantidade de triˆangulos pretos e a quantidade de triˆangulos brancos
27. Em uma folha de papel h´a certa quanntidade de letras a, b, c. Em cada turno
podemos trocar um a e um b por um b, um a e um c por um c, um b e um c por
um a, dois a por um a, dois b por um c ou dois c por um b. O objetivo ´e deixar
somente uma letra. Provar que sem importar a ordem que realizamos as opera¸c˜oes
, a letra que resta no final sempre ser´a a mesma.
28. (Leningrado 1987) As moedas dos pa´ıses Dillia e Dallia s˜ao o diller e o daller,
respectivamente. Podemos trocar um diller por dez dallers e um daller por dez
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6. dillers. Zequinha possui um diller e deseja obter a mesma quantidade de dillers e
dallers usando essas opera¸c˜oes. ´E poss´ıvel que isso ocorra?
29. Suponha que o n´umero 72010 est´a escrito em uma folha com todos os seus d´ıgitos.
Ent˜ao se apaga o primeiro d´ıgito (o da esquerda) e se suma ao n´umero que sobrou.
Este processo se repete at´e obtermos um n´umero N de dez digitos. Prove que N
n˜ao pode ter todos seus d´ıgitos diferentes.
30. (R´ussia 1998) Um inteiro positivo ´e escrito no quadro. N´os repetimos o processo:
Apagar o d´ıgito das unidades e soma 5 vezes este d´ıgito com o n´umero restante.
Come¸cando com 71998 podemos terminar em 19987
31. (Torneio das Cidades 1984) Na ilha de Camelot vivem 13 camale˜oes roxos, 15
verdes e 17 amarelos. Quando dois de cores distintas se encontram, mudam simul-
taneamente para a terceira cor. Poderia dar-se a situa¸c˜ao na qual todos tenham a
mesma cor?
32. (Hungria 1989) Considere um quadrado e uma pedra em cada um de seus v´ertices.
N´os podemos mudar o n´umero de pedras de acordo com a seguinte regra: N´os
podemos retirar qualquer quantidade de pedras de um v´ertice e adicionar o dobro
a alguma pilha de pedras em um v´ertice adjacente. ´E poss´ıvel chegarmos a ter
1989, 1988, 1990, e 1989 pedras em v´ertices consecutivos ap´os um n´umero finito
de movimentos?
33. (Hong Kong 1997) Cinco n´umeros 1, 2, 3, 4, 5 est˜ao escritos em um quadro negro.
Um estudante pode apagar dois dos n´umeros a e b e escrever nos seus lugares a +
b e ab. Ap´os algumas opera¸c˜oes podemos obter a qu´ıntupla 21, 27, 64, 180, 540?
34. (Olimp´ıada de Matem´atica da Am´erica Central e do Caribe 2003) A e B jogam com
um conjunto de 2003 moedas por turnos. Em cada turno ´e permitido remover um
n´umero de moedas tal que ´e um divisor do n´umero de moedas restante.Quem retira
a ´ultima moeda perde. Se A joga primeiro, quem possui a estrat´egia vencedora?
35. Em uma f´abrica de cart˜oes existem trˆes m´aquinas. A primeira recebe um cart˜ao
(a,b) e retorna um cart˜ao (a + 1,b + 1). A segunda recebe um cart˜ao (2a, 2b)
e retorna um cart˜ao (a,b). A terceira recebe dois cart˜oes (a,b) e (b,c) e retorna
o cart˜ao (a,c). Todas as m´aquinas tamb´em retornam o(s) cart˜ao(˜oes) dados. ´E
poss´ıvel fabricar um cart˜ao (1 , 1988) se temos inicialmente apenas um cart˜ao (5,
19)?
36. Em uma mesa h´a duas caixas de biscoitos, uma com 17 biscoitos e outra com 16.
Dois jogadores jogam por turnos e cada jogador, em seu turno, pode optar por
fazer uma das seguintes coisas:
1. Comer dois biscoitos de uma mesma caixa.
2. Passar um biscoito da segunda caixa para a primeira.
Perde o jogador que n˜ao possa fazer movimento. Qual jogador ganha?
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7. 37. (Bernoulli Trials, 1998) Arya e Bran est˜ao jogando um jogo. Eles iniciam com 2008
moedas arranjadas em um c´ırculo, e em turnos alternados, come¸cando com Arya.
Em seu turno, um jogador pode remover qualquer moeda, ou se duas moedas que
eram adjacentes ainda est˜ao no c´ırculo, o jogador pode retirar ambas. O jogador
que retira a ´ultima moeda vence. Prove que Bran possui uma estrat´egia vencedora.
38. Com a calculadora KPK-1991 podemos efetuar duas opera¸c˜oes: (a) elevar um
n´umero ao quadrado; e (b) e obter de um n´umero X de n d´ıgitos (n > 3) o n´umero
A + B, onde A ´e o n´umero formado pelos trˆes ´ultimos d´ıgitos de X e B o n´umero
formado pelos (n - 3) d´ıgitos de X. Podemos obter o n´umero 703 a partir de 604
usando essa calculadora?
39. (Kvant) Na sequˆencia 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 5, ..., cada termo a partir do s´etimo ´e igual
ao ´ultimo digito da soma dos seis termos anteriores. Prove que essa sequˆencia n˜ao
cont´em seis termos consecutivos iguais a 0, 1, 0, 1, 0, 1, respectivamente.
40. (Ucrˆania 1997) Um tabuleiro de xadrez ´e colorido de branco e preto da maneira
usual, e cada casa cont´em um inteiro. Sabemos que a soma dos n´umeros em cada
coluna e a soma dos n´umeros em cada linha ´e par. Mostre que a soma dos n´umeros
nas casa pretas ´e par.
41. (Lema de Sperner) Dividimos um triˆangulo grande em triˆangulos menores de modo
que qualquer dois dentre os triˆangulos menores ou n˜ao tˆem ponto em comum, ou
tˆem v´ertice em comum, ou tˆem um lado (completo) em comum. Os v´ertices dos
triˆangulos s˜ao numerados: 1, 2, 3. Os v´ertices dos triˆangulos menores tamb´em s˜ao
numerados: 1, 2 ou 3. A numera¸c˜ao ´e arbitr´aria, exceto que os v´ertices sobre o
lado do triˆangulo maior oposto ao v´ertice i n˜ao podem receber o n´umero i. Mostre
que entre os triˆangulo menores existe um com os v´ertices 1, 2, 3.
42. (Treinamento da Argentina para a Olimp´ıada Iberoamericana) Em uma caixa
temos 2000 bolinhas brancas. Al´em disso, possu´ımos uma quantidade muito grande
de bolinhas brancas, verdes e roxas(fora da caixa). Podemos realizar as seguintes
opera¸c˜oes com as bolinhas da caixa:
• Trocar duas bolinhas brancas por uma verde.
• Troca duas bolinhas roxas por uma verde.
• Trocar duas bolinhas verdes por uma branca e uma roxa.
• Trocar uma bolinha branca e uma verde por uma roxa.
• Trocar uma bolinha verde e uma roxa por uma branca.
(a) Ap´os um n´umero finito de opera¸c˜oes permitidas restam apenas 3 bolinhas na
caixa. Demonstrar que pelo menos uma delas ´e verde.
(b) ´E poss´ıvel, mediante uma sequˆencia de opera¸c˜oes permitidas, termos apenas
uma bolinha na caixa?
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8. 3 Lista I
43. (Cone Sul) Define-se o conjunto de 100 n´umeros {1, 1/2, 1/3, ..., 1/100}. Elimi-
namos dois elementos quaisquer a e b deste conjunto e se inclui, no conjunto, o
n´umero a + b + ab ficando assim um conjunto com um elemento a menos. Depois
de 99 destas opera¸c˜ooes, fica s´o um n´umero. Que valores pode ter esse n´umero?
44. (China 1986) ´E poss´ıvel arranjar os n´umeros 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , 1986, 1986 em fila
de modo que entre quaisquer dois i’s hajam (i - 1) n´umeros?
45. Dentro de uma caixa h´a 1995 bolas pretas e 2000 bolas brancas, e fora dela h´a
5000 bolas brancas. Retiramos da caixa 2 bolas. Se elas forem da mesma cor ent˜ao
retornamos uma bola branca. Se elas forem de cores diferentes retornamos uma
bola preta. Repete-se o processo at´e que reste uma ´unica bola na caixa. Qual pode
ser a sua cor?
46. Dadas trˆes pilhas de pedras com 19, 8 e 9 pedras, respectivamente. Podemos
escolher duas pilhas e transferir uma pedra de cada uma das pilhas para a terceira
pilha. Depois de algumas opera¸c˜oes ´e poss´ıvel que cada uma das trˆes pilhas possua
12 pedras?
47. Seja a1, a2, a3, ..., an uma permuta¸c˜ao qualquer dos n´umeros 1, 2, 3, ..., n. Prove
que, se n ´e ´ımpar, ent˜ao o produto
(a1 − 1)(a2 − 2)(a3 − 3)...(an − n)
´e par.
48. (Bulg´aria 2004) Considere todas as ”palavras” formadas por a’s e b’s. Nestas
palavras podemos fazer as seguintes opera¸c˜oes: Trocar um bloco aba por um bloco
b, trocar um bloco bba por um bloco a. Podemos fazer tamb´em as opera¸c˜ooes ao
contr´ario. ´E poss´ıvel obter a sequˆencia b aa...a
2003
a partir de aa...a
2003
b?
49. As seguintes opera¸c˜oes s˜ao permitidas com a equa¸c˜ao quadr´atica ax2 + bx + c:
a) trocar a e c;
b) trocar x por x + t, onde t ´e um n´umero real.
Repetindo estas transforma¸c˜oes ´e poss´ıvel transformar x2 − x − 2 em x2 − x − 1?
50. Cada um dos n´umeros a1, a2, ..., an ´e 1 ou -1, e temos que:
S = a1a2a3a4 + a2a3a4a5 + · · · + ana1a2a3 = 0
Prove que 4|n.
51. Sete moedas est˜ao sobre uma mesa mostrando a cara. Podemos escolher quais-
quer quatro delas e vir´a-las ao mesmo tempo. Podemos obter todas as moedas
mostrando a coroa?
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9. 52. (Leningrado-85) Trˆes cangurus est˜ao alinhados em uma estrada. A cada segundo
um dos cangurus salta. ´E permitido que um canguru salte por cima de um outro
canguru, mas n˜ao de dois cangurus de uma s´o vez. Prove que depois de 1985
segundos, os cangurus n˜ao podem voltar a ocupar a posi¸c˜ao relativa inicial.
53. (R´ussia 2008) Um n´umero natural ´e escrito no quadro-negro. Sempre que o n´umero
x est´a escrito, podemos troc´a-lo por 2x + 1 ou por x
x+2 . Em algum momento o
n´umero 2008 aparece na lista. Prove que 2008 deve ser o primeiro.
54. (R´ussia 1998) Os n´umeros 19 e 98 s˜ao escritos no quadro. A cada minuto, um deles
´e acrescentado 1 e o outro ´e elevado ao quadrado. ´E poss´ıvel que os dois n´umeros
se tornem iguais ap´os diversas opera¸c˜oes?
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10. 4 Colora¸c˜oes
55. Em um tabuleiro 8 × 8 uma das casas est´a pintada de preto e as outras casas de
branco. Podemos escolher qualquer linha ou coluna e trocar a cor de todas as suas
casas. Usando essas opera¸c˜oes, podemos obter um tabuleiro inteiramente preto?
56. Em um tabuleiro 3 × 3 uma das casas do canto est´a pintada de preto e as outras
casas de branco. Podemos escolher qualquer linha ou coluna e trocar a cor de todas
as suas casas. Usando essas opera¸c˜oes, podemos obter um tabuleiro inteiramente
preto?
57. Em um tabuleiro 8×8 as quatro casas do canto est˜ao pintadas de preto e as outras
casas de branco. Podemos escolher qualquer linha ou coluna e trocar a cor de todas
as suas casas. Usando essas opera¸c˜oes, podemos obter um tabuleiro inteiramente
preto?
58. (Par´a-2001) Um tabuleiro 4 × 4 possui, inicialmente, todas as casas pintadas de
branco. Uma opera¸c˜ao permitida ´e escolher um retˆangulo consistindo de 3 casas e
pintar cada uma das casas da seguinte forma:
– se a casa ´e branca ent˜ao pinta-se de preto;
– se a casa ´e preta ent˜ao pinta-se de branco.
Prove que, aplicando v´arias vezes a opera¸c˜ao permitida, ´e imposs´ıvel conseguirmos
que todo o tabuleiro fique pintado de preto.
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11. 5 Lista II
59. (OBM) Considere uma barra de chocolate 3×4 que tem um amendoim apenas num
peda¸co, em um dos cantos. Elias e F´abio querem repartir o chocolate, mas nenhum
deles gosta de amendoim. Ent˜ao combinam dividir o chocolate quebrando-o ao
longo das linhas verticais ou horizontais da barra, um depois do outro e retirando
o peda¸co escolhido, at´e que algu´em tenha que ficar com o peda¸co do amendoim.
Por sorteio, coube a Elias come¸car a divis˜ao, sendo proibido ficar com mais da
metade do chocolate logo no come¸co. Qual deve ser a primeira divis˜ao de Elias
para garantir que F´abio fique com o amendoim ao final?
60. (Olimpiada de matem´atica da Am´erica Central e do Caribe 2002). Dois jogadores
A, B e outras 2001 pessoas formam um c´ırculo, de modo que A e B n˜ao estejam
em posi¸c˜oes consecutivas. A e B jogam por turnos alternadamente come¸cando por
A. Uma jogada consiste em tocar uma das pessoas que se encontra a seu lado, a
qual deve sair do c´ırculo. Ganha o jogador que consiga retirar seu oponente do
c´ırculo. Demonstrar que um dos dois jogadores possui uma estrat´egia vencedora e
descreva tal estrat´egia.
61. Em n posi¸c˜oes distintas de um circuito circular existem n carros prontos para
partir, os quais cobrem o circuito em uma hora. Ao ouvir o sinal, cada um deles
escolhe uma dire¸c˜ao e parte imediatamente. Dois carros ao se encontrarem trocam
de dire¸c˜ao instantaneamente e sem perda de velocidade. Mostre que em certo
momento todos os carros estar˜ao novamente em seus pontos de partida.
62. (Fortaleza 2003) Sobre uma circunferˆencia tomamos m + n pontos, que a divide
em m + n pequenos arcos. N´os pintamos m pontos de branco e os n restantes de
preto. Em seguida, associamos a cada um dos m + n arcos um dos n´umeros 2,
1/2 ou 1, dependendo se as extremidades do arco sejam, respectivamente, ambas
brancas, ambas pretas ou uma preta e uma branca. Calcule o produto dos n´umeros
associados a cada um dos m + n arcos.
63. (Torneio das Cidades-93) Trˆes pilhas de caro¸cos s˜ao dadas sobre uma mesa. ´E
permitido adicionar ou remover de uma pilha um n´umero de caro¸cos que ´e igual a
soma do n´umero de caro¸cos das outras duas pilhas. Por exemplo [12, 3, 5] pode
tornar-se [12, 20, 5] pela adi¸c˜ao de 17 = 12 + 5 para a pilha de 3 ou tornar-se [4,
3, 5] pela remo¸c˜ao de 8 = 3 + 5 caro¸cos da pilha com 12. ´E poss´ıvel, iniciando
com pilhas possuindo 1993, 199 e 19 caro¸cos, conseguir uma pilha vazia depois de
uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes permitidas?
64. (Putnam) Seja Bn a quantidade de n - uplas ordenadas de inteiros positivos
(a1, a2, . . . , an) tais que 1
a1
+ 1
a2
+ · · · + 1
an
= 1. Determine se B10 ´e par ou ´ımpar.
65. 23 amigos querem jogar futebol. Para isso eles escolhem um ´arbitro e os outros se
dividem em dois times de 11 pessoas cada. Eles querem fazer isso de modo que
o total de peso de cada time seja o mesmo. N´os sabemos que todos eles possuem
11

12. pesos inteiros e que, independentemente de quem ´e o ´arbitro, ´e poss´ıvel se fazer os
dois times. Prove que todos eles possuem o mesmo peso.
12

13. 6 Monovariantes
66. Algumas pedras s˜ao colocadas em uma quantidade infinita de caixas alinhadas.
Enquanto houverem pelo menos duas pedras em alguma caixa, podemos retirar
duas dessas pedras, e mover uma para a caixa anterior e outra para a caixa poste-
rior. ´E poss´ıvel retornar `a configura¸c˜ao inicial depois de uma sequˆencia finita de
movimentos?
67. (Leningrado ) Existem n ≥ 2 n´umeros n˜ao-nulos escritos em um quadro. Podemos
escolher dois n´umeros a e b e troc´a-los por a + b/2 e b − a/2. Prove que ap´os feito
um movimento n˜ao podemos obter os n´umeros iniciais novamente.
68. Um total de 2000 pessoas est˜ao divididas entre os 115 quartos de uma mans˜ao.
A cada minuto, uma pessoa anda para um quarto com n´umero igual ou maior de
pessoas do qual ela estava. Prove que eventualmente todas as pessoas v˜ao estar
em um mesmo quarto.
69. Em um quadro negro est˜ao escritos n n´umeros. A cada minuto apaga-se dois
n´umeros a e b e escreve-se o n´umero (a + b)/4. Repetindo esta opera¸c˜ao n – 1
vezes, existir´a somente um n´umero no final. Prove que se inicialmente existirem n
1’s no quadro, ent˜ao o ´ultimo n´umero n˜ao ´e menor que 1/n.
70. (Olimp´ıada de Matem´atica do Conesul 2011) Em uma lousa est˜ao escritos os
n´umeros inteiros positivos de 1 at´e 4n inclusive. Em cada momento, Pedro apaga
dois n´umeros da lousa, a e b, e escreve o n´umero ab√
2a2+2b2
. Pedro repete o proced-
imento at´e que sobre apenas um n´umero. Demostrar que este n´umero ser´a menor
que 1
n , sem importar quais n´umeros Pedro escolha em cada momento.
71. (Ucrˆania 2000/ Lista de Prepara¸c˜ao para a Cone Sul-2001) Existem inicialmente
n n´umeros 1 em um quadro negro. Em cada passo ´e permitido apagar quaisquer
dois n´umeros a e b e escrever o n´umero ab
√
2
a+b . Esta opera¸c˜ao ´e feita n − 1 vezes.
Prove que o ´ultimo n´umero n˜ao ´e menor que 1√
n
.
72. Nove casas 1 × 1 de um tabuleiro 10 × 10 est˜ao infectadas. A cada segundo, uma
casa que possui duas casas vizinhas (com um lado em comum) infectadas tamb´em
se torna infectada. ´E poss´ıvel todas as casas se tornarem infectadas?
73. (Treinamento de Stanford para Putnam 2007) n − 1 casas 1 × 1 de um tabuleiro
n × n est˜ao infectadas. A cada segundo, uma casa que possui duas casas vizinhas
(com um lado em comum) infectadas tamb´em se torna infectada. Mostre que pelo
menos um quadrado continua sem ser infectado.
74. Se tem um tabuleiro infinito com n casas pintadas de preto. Em cada turno
podemos escolher uma casa e se pelo menos 2 de suas 4 vizinhas s˜ao da cor oposta
trocamos a sua cor. Suponhamos que ap´os v´arios turnos h´a 2006 casas pintadas
de preto de forma que nenhum par delas s˜ao vizinhas e o resto est´a pintado de
13

14. branco. Provar que n ≥ 2006.
75. (S˜ao Petersburgo 1998/ Lista de Prepara¸c˜ao para a Cone Sul) Um total de 119
an˜oes vivem em uma aldeia com 120 pequenas casas. Uma casa ´e dita super-
habitada se 15 an˜oes ou mais vivem nela. Todo dia, os an˜oes de uma casa super-
habitada tˆem uma briga e se mudam para outras(distintas) casas da aldeia. Algum
dia, necessariamente se encerrar´a?
76. Iniciando com uma qu´adrupla ordenada de inteiros, repetimos a opera¸c˜ao: (a, b, c, d)
transforma-se em (|a − b|, |b − c|, |c − d|, |d − a|). Prove que ap´os um n´umero finito
de passos, a qu´adrupla se transforma em (0, 0, 0, 0).
77. Suponhamos que temos uma sequˆencia de n´umeros inteiros n˜ao todos iguais S =
(a, b, c, d). Em cada turno os trocamos por (a − b, b − c, c − d, d − a). Provar que
para todo N, o m´odulo de alguma coordenada ser´a maior que N.
78. (S˜ao Petersburgo 1996/Putnam 2008/Lista de Prepara¸c˜ao para a Cone Sul-2015)
Esmeralda vˆe na lousa uma sequˆencia de n n´umeros a1, a2, ..., an. Ela pode apagar
dois n´umeros ai e aj e troc´a-los por mdc(ai, aj) e mmc(ai, aj) respectivamente se
i < j e ai n˜ao divide aj. Esmeralda repete essa opera¸c˜ao v´arias vezes, at´e que n˜ao
existam n´umeros nas condi¸c˜oes dadas. Prove que Esmeralda n˜ao consegue repetir
a opera¸c˜ao indefinidamente e que a sequˆencia final obtida n˜ao depende da ordem
em que as opera¸c˜oes foram feitas.
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15. 7 Lista III
79. (R´ussia 1998) Temos um tabuleiro n × n (n > 100) com n − 1 casas iguais a 1 e
o restante iguais a 0. Podemos escolher uma casa, subtrair 1 dela, e adicionar 1
nas demais casas que est˜ao na mesma linha e coluna desta. Com essa opera¸c˜ao,
podemos fazer com que todas as casas do tabuleiro se tornem iguais?
80. (OBM) ´E dada uma equa¸c˜ao do segundo grau x2 + ax + b = 0 com ra´ızes inteiras
a1 e b1. Consideramos a equa¸c˜ao do segundo grau x2 + a1x + b1 = 0. Se a
equa¸c˜ao x2 + a1x + b1 = 0 tem ra´ızes inteiras a2 e b2, consideramos a equa¸c˜ao
x2 + a2x + b2 = 0. Se a equa¸c˜ao x2 + a2x + b2 = 0 tem ra´ızes inteiras a3 e b3,
consideramos a equa¸c˜ao x2 + a3x + b3 = 0. E assim por diante. Se encontrarmos
uma equa¸c˜ao com ∆ < 0 ou com ra´ızes que n˜ao sejam n´umeros inteiros, encerramos
o processo. Exemplos:
• x2 −3x+2 = 0 −→ x2 +2x+1 = 0 −→ x2 −x−1 = 0 e n˜ao podemos continuar,
pois as ra´ızes de x2 − x − 1 = 0 s˜ao (1 +
√
5)/2 e (1 −
√
5)/2, n´umeros n˜ao inteiros.
• x2 − 3x + 2 = 0 −→ x2 + x + 2 = 0 e n˜ao podemos continuar, pois ∆ = −7 < 0.
• x2 = 0 −→ x2 = 0 −→ x2 = 0 −→ . . . neste caso podemos continuar o processo
indefinidamente (isto ´e, em nenhuma equa¸c˜ao obtida ocorre ∆ < 0 ou ra´ızes n˜ao
inteiras).
(a) Determine uma outra equa¸c˜ao que, como x2 = 0, nos permita continuar o
processo indefinidamente.
(b) Determine todas as equa¸c˜oes do segundo grau completas a partir das quais
possamos continuar o processo indefinidamente.
81. (Olimp´ıada de Matem´atica da Argentina) Temos 3 formigas nos v´ertices de um
quadrado. Em cada turno, uma formiga pode se mover na dire¸c˜ao paralela a reta
que determinam as outras 2. ´E poss´ıvel que depois de alguns turnos as formigas
ocupem 3 pontos m´edios dos lados do quadrado?
82. (OBM Jr.-95) Temos um tabuleiro 1995 × 1995. A cada uma de suas 19952 casas
associamos um dos n´umeros + 1 ou – 1. Em seguida, associamos a cada linha o
produto dos n´umeros das casas desta linha, e a cada coluna o produto dos n´umeros
das casas de cada coluna.
i) Se T ´e a soma dos n´umeros associados `as linhas, colunas e casas, prove que T ´e
diferente de 0.
ii) Se S ´e a soma dos n´umeros associados `as linhas e `as colunas, prove que S ´e
diferente de 0.
83. Um c´ırculo ´e dividido em seis setores. Os n´umeros 1, 0, 1, 0, 0, 0 s˜ao escritos em
sentido hor´ario. ´E permitido aumentar em 1 dois n´umeros vizinhos. ´E poss´ıvel
15

16. que em algum momento todos os n´umeros sejam iguais?
84. (Cone Sul) No plano cartesiano, considere os pontos de coordenadas inteiras. Uma
opera¸c˜ao consiste em: Escolher um destes pontos e realizar uma rota¸c˜ao de 90o no
sentido anti-hor´ario, com centro neste ponto. ´E poss´ıvel, atrav´es de uma sequˆencia
dessas opera¸c˜oes, levar o triˆangulo de v´ertices (0, 0), (1, 0), e (0, 1) no triˆangulo
de v´ertices (0, 0), (1, 0) e (1, 1)?
85. (Olimpiada de matem´atica da Am´erica Central e do Caribe 2002). No plano co-
ordenado temos o quadriculado n × n, com n inteiro maior ou igual a 2, cujos
v´ertices s˜ao os pontos de coordenadas inteiras (x, y), com 0 ≤ x ≤ n e 0 ≤ y ≤ n.
Considere os caminhos que v˜ao de (0, 0) a (n, n) sobre as linhas deste quadriculado
e que s´o avan¸cam para a direita ou para cima. Um caminho se chama equilibrado
se a soma dos valores de x de todos os pontos pelos quais se passam ´e igual a
soma de todos os valores de y desses mesmos pontos. Mostre que todo caminho
equilibrado divide o quadrado de lado n em duas figuras de mesma ´area.
86. (Cone Sul) Estando algumas pilhas de discos numa mesa, um movimento admiss´ıvel
´e escolher uma pilha, descartar um dos seus discos e dividir o que resta da pilha em
duas pilhas n˜ao vazias, n˜ao necessariamente iguais. Inicialmente h´a sobre a mesa
s´o uma pilha e esta tem 1000 discos. Determine se ´e poss´ıvel, depois de alguma
sucess˜ao de movimentos admiss´ıveis, chegar a uma situa¸c˜ao onde cada pilha tenha
exatamente 3 discos.
87. (IOI 2002 adaptado) A tela de um computador mostra um grid n × n, colorido de
preto e branco de alguma maneira. Podemos selecionar com um mouse qualquer
retˆangulo com lados nas retas do grid e clicar o bot˜ao do mouse: como resultado,
as cores do retˆangulo selecionados alternam (preto vira branco, branco vira preto).
Seja X o n´umero m´ınimo de cliques necess´arios para fazer todo o grid branco. Al´em
disso, seja Y o n´umero de v´ertices adjacentes a um n´umero ´ımpar de quadrados
pretos. Prove que Y
4 ≤ X ≤ Y
2
88. (IMO 2011) Seja S um conjunto finito de dois ou mais pontos do plano. Em S n˜ao
h´a trˆes pontos colineares. Um moinho de vento ´e um processo que come¸ca com
uma reta que passa por um ´unico ponto P que pertence a S. Roda-se no sentido
dos ponteiros do rel´ogio ao redor do pivot P at´e que a reta encontre pela primeira
vez um outro ponto de S, que denotaremos por Q. Com Q como novo pivot, a reta
continua a rodar no sentido dos ponteiros do rel´ogio at´e encontrar outro ponto
de S. Este processo continua sem parar, sendo sempre o pivot algum ponto de
S. Demonstre que se pode escolher um ponto P pertencente a S e uma reta que
passa por P tais que o moinho de vento resultante usa cada ponto de S como pivot
infinitas vezes.
89. (IMO) ´E atribu´ıdo um inteiro a cada um dos v´ertices de um pent´agono regular, de
tal forma que a soma dos cinco n´umeros seja positiva. Se trˆes v´ertices consecutivos
recebem os n´umeros x, y, z, respectivamente, e y < 0 ent˜ao a seguinte opera¸c˜ao ´e
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17. permitida: os n´umeros x, y, z s˜ao trocados por x+y, −y, z+y, respectivamente. Tal
opera¸c˜ao ´e repetida enquanto houver um n´umero negativo entre os cinco atribu´ıdos.
Determine se este processo necessariamente se encerra ap´os um n´umero finito de
aplica¸c˜oes de tal opera¸c˜ao.
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18. 8 Monovariantes II
90. (USAMO 1997/1) Seja pn o n-´esimo n´umero primo. Seja 0 < a < 1 um real. Defina
a sequˆencia xn por x0 = a, xn = pn
xn−1
− pn
xn−1
se xn−1 = 0, ou 0 se xn−1 = 0.
Encontre todos valores de a para os quais a sequˆencia eventualmente ´e 0.
91. Dado um pol´ıgono n˜ao convexo aplicamos a seguinte opera¸c˜ao: escolhemos 2
v´ertices n˜ao consecutivos A e B, tais que o pol´ıgono est´a contido em um dos 2
semiplanos que determina a reta AB e se reflete uma das partes do pol´ıgono que
une A com B pelo ponto m´edio de AB. Se aplicamos esta opera¸c˜ao indefinidamente,
provar que o pol´ıgono se tornar´a convexo.
92. (MOP 1998) Se tem um 2000 - ´agono regular e 2001 sementes distribu´ıdas entre
seus v´ertices. Em cada turno devemos escolher um v´ertice com pelo menos 2
sementes, retir´a-las e colocar uma delas em um v´ertice vizinho e a outra no outro
v´ertice vizinho. Provar que em algum momento haver´a pelo menos 1001 v´ertices
sem sementes.
93. Temos escritos n inteiros n˜ao negativos cujo maior divisor comum ´e 1 em um
quadro negro. Um movimento consiste em apagar dois n´umeros x e y, onde x ≥ y,
do quadro e troc´a-los por x − y e 2y. Determine para quais n-uplas originais de
n´umero no quadro, ´e poss´ıvel chegar em um ponto depois de alguns movimentos,
onde n − 1 dos n´umeros no quadro s˜ao zeros.
94. (Romˆenia TST 2002) Todo membro do parlamento tem seu rating pessoal. O
parlamento se divide em grupos e cada membro tem um rating relativo, que ´e
o quociente do seu rating pessoal sobre a soma dos ratings pessoais de todos os
membros do grupo. Um membro do parlamento pode trocar de um grupo a outro
somente se no novo grupo seu rating relativo aumenta. Cada dia, somente um
membro do parlamento pode trocar de grupo. Demonstrar que s´o s˜ao poss´ıveis um
n´umero finito de movimentos.
95. (USAMO 2003, Problema 6) Nos v´ertices de um hex´agono regular est˜ao escritos
seis inteiros n˜ao negativos cuja soma ´e n. ´E permitido fazer movimentos da seguinte
forma: Pode-se escolher um v´ertice e trocar o n´umero escrito pela diferen¸ca abso-
luta entre os dois v´ertices vizinhos. Prove que se n ´e ´ımpar ent˜ao pode ser feita
uma sequˆencia de movimentos, que depois dela o n´umero 0 aparece em todos os
seis v´ertices.
96. (Ir˜a TST 2005) Se tem uma quantidade finita de pontos no plano e um c´ırculo.
Em cada turno se calcula o baricentro dos pontos no interior do c´ırculo e se move
seu centro a este ponto. Provar que ap´os v´arios turnos o c´ırculo vai deixar de se
mover.
97. (R´ussia 1997/OBM N´ıvel 3 Problema 6) Temos uma fileira longa de copos e n
pedras no copo central (copo 0). Os seguintes movimentos s˜ao permitidos:
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19. Movimento tipo A
Se h´a pelo menos uma pedra no copo i e pelo menos uma no copo i + 1 podemos
fazer uma pedra que est´a no copo i + 1 pular para o copo i – 1 eliminando uma
pedra do copo i.
Movimento tipo B.
Se h´a pelo menos duas pedras no copo i podemos pular uma para o copo i + 2 e
uma outra para o copo i – 1.
Demonstre o seguinte fato: fazendo os movimentos tipo A ou B durante um tempo
suficientemente longo sempre chegaremos a uma configura¸c˜ao a partir da qual n˜ao
´e mais poss´ıvel fazer nenhum desses dois tipos de movimento. Al´em disso essa
configura¸c˜ao final n˜ao depende da escolha de movimentos durante o processo.
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