Representing Images in Frequency Domain

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The Fourier transform, named after Joseph Fourier, is a mathematical transform with many applications in physics and engineering. The Fourier Transform is an important image processing tool which is used to decompose an image into its sine and cosine components. The output of the transformation represents the image in the Fourier or frequency domain, while the input image is the spatial domain equivalent. In the Fourier domain image, each point represents a particular frequency contained in the spatial domain image.

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  1. 1. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Representando Imagens no Domínio da Frequência Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier Michel Alves dos Santos Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 Docente Responsável: Prof. Dr. Dimas Martinez {michel.mas}@gmail.com 12 de Novembro de 2012 Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  2. 2. Podem ser solucionados através do mesmo método! A Transformada de Fourier! Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Introdução O que esses problemas possuem em comum? Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  3. 3. Podem ser solucionados através do mesmo método! A Transformada de Fourier! Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Introdução O que esses problemas possuem em comum? Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  4. 4. Podem ser solucionados através do mesmo método! A Transformada de Fourier! Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Introdução O que esses problemas possuem em comum? Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  5. 5. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Objetivos da Apresentação Principais Objetivos da Apresentação Introduzir a forma discreta da Transformada de Fourier. Introduzir a representação de imagens no Domínio da Frequência. Exibir algumas aplicações da Transformada em áreas diversas. Figure: Representações no domínio da frequência da imagem Lenna: parte real, parte imaginária, magnitude ou espectro, ângulo fase e potência do espectro. Imagem em tons de cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 de altura. Mas antes, vamos falar um pouco sobre o ‘pai’ dessa família de ferramentas! Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  6. 6. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Objetivos da Apresentação Principais Objetivos da Apresentação Introduzir a forma discreta da Transformada de Fourier. Introduzir a representação de imagens no Domínio da Frequência. Exibir algumas aplicações da Transformada em áreas diversas. Figure: Representações no domínio da frequência da imagem Lenna: parte real, parte imaginária, magnitude ou espectro, ângulo fase e potência do espectro. Imagem em tons de cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 de altura. Mas antes, vamos falar um pouco sobre o ‘pai’ dessa família de ferramentas! Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  7. 7. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Jean Baptiste Joseph Fourier Um Pouco Sobre Fourier Fourier nasceu em Auxerre, França, 1768. Mais conhecido por seu trabalho ‘La Théorie Analytique de la Chaleur’ publicado em 1822. Traduzido para o Inglês em 1878: ‘The Analytic Theory of Heat’. Uma das grandes contribuições de Jean Baptiste Joseph Fourier para o campo de Processamento de Sinais foi a Transformada de Fourier. Poucas pessoas prestaram a devida atenção aos seus trabalhos quando foram publicados pela primeira vez. Atualmente suas descobertas, figuram como as mais importantes teorias matemáticas da engenharia moderna. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  8. 8. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Série e Transformada de Fourier Princípios da Série e da Transformada de Fourier Série de Fourier: Qualquer função que se repita de maneira periódica pode ser expressa como a soma de funções seno e cosseno de diferentes frequências, cada qual multiplicada por um coeficiente ponderador. Transformada de Fourier: Funções não periódicas, cuja as áreas abaixo da curva sejam finitas, podem ser expressas como a integral de funções seno e cosseno, multiplicadas por uma função ponderadora. Hoje, nosso objeto de estudo será a Transformada Discreta Bidimensional de Fourier e suas Aplicações. Figure: A última função é a soma das quatro primeiras vistas acima. Fourier, em 1807, acreditava que funções periódicas poderiam ser representadas como uma soma ponderada de funções seno e cosseno. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  9. 9. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 O Que é a Transformada de Fourier? Sobre A Transformada de Fourier A Transformada de Fourier (FT - Fourier Transform) é uma ferramenta (ou família de ferramentas) largamente empregada em processamento de sinais (sons, imagens, etc). A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas componentes elementares, seno e cosseno, com diferentes amplitudes, fase e frequência. Para processarmos um determinado sinal, transformamos a informação do mesmo para o domínio da frequência onde a sua avaliação é mais simples e eficiente. A Transformada Discreta de Fourier (DFT – Discrete Fourier Transform) é um membro dessa família de ferramentas, sendo empregada em sinais discretizados. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  10. 10. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada de Fourier e Suas Aplicações Algumas Aplicações da Transformada de Fourier A Transformada Discreta de Fourier é aplicada em: Métodos de Compressão Métodos de Codificação Filtragem Realce e Suavização Finalmente, como seriam as feições da Transformada de Fourier? Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  11. 11. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada de Fourier e Suas Aplicações Algumas Aplicações da Transformada de Fourier A Transformada Discreta de Fourier é aplicada em: Métodos de Compressão Métodos de Codificação Filtragem Realce e Suavização Finalmente, como seriam as feições da Transformada de Fourier? Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  12. 12. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada Contínua Bidimensional de Fourier Forma Direta e Inversa em Duas Dimensões Forma Direta: F(u, v) = ∞ −∞ ∞ −∞ f (x, y)e −j2π ux+vy dxdy Forma Inversa: f (x, y) = ∞ −∞ ∞ −∞ F(u, v)e j2π ux+vy dudv Onde j representa a unidade imaginária, sendo j = √ −1, as variáveis x e y representam coordenadas espaciais e as variáveis u e v, por conseguinte, representam coordenadas espectrais. f (x, y) representa o sinal que será transformado e F(u, v) a nossa Transformada Discreta de Fourier. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  13. 13. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada Discreta Bidimensional de Fourier Forma Direta e Inversa em Duas Dimensões Forma Direta: F(u, v) = 1 MN M−1 x=0 N−1 y=0 f (x, y)e −j2π ux M +vy N Forma Inversa: f (x, y) = M−1 u=0 N−1 v=0 F(u, v)e j2π ux M +vy N Onde j representa a unidade imaginária, sendo j = √ −1, as variáveis x e y representam coordenadas espaciais e as variáveis u e v, por conseguinte, representam coordenadas espectrais. M e N são as dimensões da imagem ou sinal f (x, y) e F(u, v) a nossa Transformada Discreta de Fourier. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  14. 14. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada Discreta de Fourier - Algoritmo Algoritmo da Transformada Discreta de Fourier § ¤ 1 /∗ D i s c r e t e F o u r i e r Transform Code − Assymptotic Complexity : O(N^4) ∗/ 2 MyComplexMatrix MyDiscreteFourierTransform : : forward ( MyDoubleMatrix& f ) 3 { 4 unsigned i n t N1 = f . rows ( ) ; unsigned i n t N2 = f . c o l s ( ) ; // dimensions of complex matrix 5 MyComplexMatrix myDFTMatrix ( N1 , N2 ) ; // d e c l a r a t i o n of complex matrix 6 7 f o r ( unsigned i n t k1 = 0 ; k1 < N1 ; k1++) // begin of e x t e r n a l l o o p s 8 { 9 f o r ( unsigned i n t k2 = 0 ; k2 < N2 ; k2++) 10 { 11 Complex _tmp_sum ( 0 . 0 , 0 . 0 ) ; // temporary accumulator 12 f o r ( unsigned i n t n1 = 0 ; n1 < N1 ; n1++) // begin of i n t e r n a l l o o p s 13 { 14 f o r ( unsigned i n t n2 = 0 ; n2 < N2 ; n2++) 15 { 16 double r e a l _ p a r t = cos ( −2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // r e a l p a r t 17 double imag_part = s i n ( −2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // i m a g i n a r y p a r t 18 _tmp_sum += f . at ( n1 , n2 ) ∗ Complex ( r e a l _ p a r t , imag_part ) ; // accumulation 19 } 20 } 21 Complex sum ( ( _tmp_sum . r e a l ( ) /(N1∗N2) ) , (_tmp_sum . imag ( ) /(N1∗N2) ) ) // sum r e s u l t 22 myDFTMatrix . i n s e r t ( k1 , k2 , sum) ; 23 } 24 } 25 r e t u r n myDFTMatrix ; 26 } ¦ ¥ Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  15. 15. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada Discreta de Fourier - Algoritmo Algoritmo da Transformada Inversa Discreta de Fourier § ¤ 1 /∗ I n v e r s e D i s c r e t e F o u r i e r Transform Code − Assymptotic Complexity : O(N^4) ∗/ 2 MyComplexMatrix MyDiscreteFourierTransform : : backward ( MyComplexMatrix& F) 3 { 4 unsigned i n t N1 = F . rows ( ) ; unsigned i n t N2 = F . c o l s ( ) ; // dimensions of complex matrix 5 MyComplexMatrix myIDFTMatrix ( N1 , N2 ) ; // d e c l a r a t i o n of complex matrix 6 7 f o r ( unsigned i n t k1 = 0 ; k1 < N1 ; k1++) // begin of e x t e r n a l l o o p s 8 { 9 f o r ( unsigned i n t k2 = 0 ; k2 < N2 ; k2++) 10 { 11 Complex _tmp_sum ( 0 . 0 , 0 . 0 ) ; // temporary accumulator 12 f o r ( unsigned i n t n1 = 0 ; n1 < N1 ; n1++) // begin of i n t e r n a l l o o p s 13 { 14 f o r ( unsigned i n t n2 = 0 ; n2 < N2 ; n2++) 15 { 16 double r e a l _ p a r t = cos ( 2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // r e a l p a r t 17 double imag_part = s i n ( 2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // i m a g i n a r y p a r t 18 _tmp_sum += F . at ( n1 , n2 ) ∗ Complex ( r e a l _ p a r t , imag_part ) ; // accumulation 19 } 20 } 21 Complex sum ( ( _tmp_sum . r e a l ( ) ) , (_tmp_sum . imag ( ) ) ) // sum r e s u l t 22 myIDFTMatrix . i n s e r t ( k1 , k2 , sum) ; 23 } 24 } 25 r e t u r n myIDFTMatrix ; 26 } ¦ ¥ Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  16. 16. A matriz complexa resultante da transformação apresentará duas componentes de informação: a real ou amplitude e a imaginária ou fase. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Resultado da Transformação O Resultado da Transformada é uma Matriz Complexa Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  17. 17. A matriz complexa resultante da transformação apresentará duas componentes de informação: a real ou amplitude e a imaginária ou fase. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Resultado da Transformação O Resultado da Transformada é uma Matriz Complexa Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  18. 18. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada Discreta de Fourier: Componentes Componentes da Transformada Discreta de Fourier F(u, v) = R(u, v) + jI(u, v), F(u, v) ∈ C R(u, v) : Representa os valores das componentes reais da transformada. I(u, v) : Representa, por sua vez, os valores das componentes imaginárias. Magnitude, Ângulo Fase e Potência do Espectro |F(u, v)| = R(u, v)2 + I(u, v)2 φ(u, v) = tan−1[I(u, v)/R(u, v)] P(u, v) = |F(u, v)|2 = R(u, v)2 + I(u, v)2 Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  19. 19. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Alguns Exemplos de Imagens Transformadas Figure: Imagem original, parte real, parte imaginária, magnitude ou espectro, ângulo fase e potência do espectro. Imagens em tons de cinza (8 bits) com 128x128 pixels. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  20. 20. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada de Fourier: Exemplo - Circle Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Circle Figure: Imagem original, magnitude ou espectro e ângulo fase. Imagem de teste em tons de cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 pixels de altura. Resultados obtidos em um Pentium Dual Core 2.00GHz, com 3.00 GB de memória principal (Ubuntu Linux 10.04 - Kernel 2.6.32.38). Algoritmo implementado utilizado-se a biblioteca Magick++ e a linguagem C++. Tempo necessário para obtenção da transformada, da representação do espectro e da representação do ângulo fase: 1m05.704s (média de tempo obtida após 50 execuções). Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  21. 21. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada de Fourier: Exemplo - Square Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Square Figure: Imagem original, magnitude ou espectro e ângulo fase. Imagem de teste em tons de cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 pixels de altura. Resultados obtidos em um Pentium Dual Core 2.00GHz, com 3.00 GB de memória principal (Ubuntu Linux 10.04 - Kernel 2.6.32.38). Algoritmo implementado utilizado-se a biblioteca Magick++ e a linguagem C++. Tempo necessário para obtenção da transformada, da representação do espectro e da representação do ângulo fase: 1m06.988s (média de tempo obtida após 50 execuções). Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  22. 22. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada de Fourier: Exemplo - Triangle Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Triangle Figure: Imagem original, magnitude ou espectro e ângulo fase. Imagem de teste em tons de cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 pixels de altura. Resultados obtidos em um Pentium Dual Core 2.00GHz, com 3.00 GB de memória principal (Ubuntu Linux 10.04 - Kernel 2.6.32.38). Algoritmo implementado utilizado-se a biblioteca Magick++ e a linguagem C++. Tempo necessário para obtenção da transformada, da representação do espectro e da representação do ângulo fase: 1m09.507s (média de tempo obtida após 50 execuções). Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  23. 23. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Transformada de Fourier: Exemplo - Cross Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Cross Figure: Imagem original, magnitude ou espectro e ângulo fase. Imagem de teste em tons de cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 pixels de altura. Resultados obtidos em um Pentium Dual Core 2.00GHz, com 3.00 GB de memória principal (Ubuntu Linux 10.04 - Kernel 2.6.32.38). Algoritmo implementado utilizado-se a biblioteca Magick++ e a linguagem C++. Tempo necessário para obtenção da transformada, da representação do espectro e da representação do ângulo fase: 1m17.191s (média de tempo obtida após 50 execuções). Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  24. 24. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Domínio da Frequência ou Espectral Representação no Domínio da Frequência ou Espectral Por que utilizar uma representação espectral? Algumas vezes, técnicas e procedimentos são melhor desempenhados em um outro domínio qualquer do que no domínio espacial. A remoção de frequências indesejadas é uma tarefa menos árdua. Certas operações (como a convolução) possuem um desempenho mais atrativo no Domínio da Frequência/Espectral do que no Domínio Espacial. Figure: Baboon ou Mandrill: Imagem, Representação no Domínio Espacial e Espectro de Fourier. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  25. 25. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Aplicações da Transformada - Impressões Digitais Reconhecimento de Digitais Figure: A Comparação do espectro de Fourier de imagens de impressão digital podem levar ao reconhecimento de determinados indivíduos de maneira muito mais rápida. Esse método é executado através da comparação de cristas, que apresentam características semelhantes quanto à direção e freqüência. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  26. 26. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Aplicações da Transformada - Fenótipos Classificação de Fenótipos Baseada em Padrões Figure: O olho da Drosophila é um grande exemplo de estrutura hexagonal celular em formato de cristal. O valor absoluto da Transformada de Fourier demostra a veracidade dessa estrutura. Assim como a Drosophila outros animais podem ser classificados utilizando a mesma técnica. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  27. 27. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Aplicações da Transformada - Texturas Detecção de Texturas em Imagens Figure: Um problema comum e recorrente em Processamento de Imagens e Visão Computacional é a Detecção de Padrões de Repetição, que nomeamos corriqueiramente como Textura. É um problema base, por exemplo, para classificação de determinados padrões de pelagem em animais. O que recai novamente no problema de classificação fenotípica. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  28. 28. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Aplicações da Transformada - Ruído Periódico Remoção de Ruído Periódico Figure: Ruído causado por alguma interferência externa ou de alguma forma, pelo próprio aparelho de captação da imagem gerando padrões perceptíveis. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  29. 29. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Aplicações da Transformada - Ruído Periódico Remoção de Ruído Periódico Figure: Ruído causado por alguma interferência externa ou de alguma forma, pelo próprio aparelho de captação da imagem gerando padrões perceptíveis. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  30. 30. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Conclusões Conclusões a Respeito dos Tópicos Apresentados Transformada Discreta de Fourier Possui baixa complexidade de codificação. Custo computacional acentuado : O(N4 ). Gera subprodutos que auxiliam na análise de um determinado conjunto transformado (som, imagem, etc): espectro; ângulo-fase; espectro da potência. Observação: A performance da DFT está sujeita a melhorias, caso seja usada sua forma rápida (FFT). Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  31. 31. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Conclusões Conclusões a Respeito dos Tópicos Apresentados Transformada Discreta de Fourier Possui baixa complexidade de codificação. Custo computacional acentuado : O(N4 ). Gera subprodutos que auxiliam na análise de um determinado conjunto transformado (som, imagem, etc): espectro; ângulo-fase; espectro da potência. Observação: A performance da DFT está sujeita a melhorias, caso seja usada sua forma rápida (FFT). Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  32. 32. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Sugestões de Leitura Algumas Sugestões de Leitura Figure: Algumas sugestões de leitura que podem melhorar a compreensão sobre o assunto: Woods & Gonzalez, Bernd Jähne, Oge Marques e Thyagarajan. Além dessas, outras boas sugestões seriam os livros de Aura Conci, Computação Gráfica: Teoria e Prática e o livro Image Processing for Computer Graphics and Vision de autoria de Luiz Velho, Jonas Gomes e Alejandro Frery. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  33. 33. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Agradecimentos Grato Pela Atenção! Michel Alves dos Santos - michel.mas@gmail.com http://www.facebook.com/michel.alves.santos http://www.linkedin.com/profile/view?id=26542507 https://twitter.com/Michel_Alves_ https://plus.google.com/110060332771581453284 Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  34. 34. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Referências Bibliográficas Principais Referências Bibliográficas A. Conci, E. Azevedo, and F. R. Leta. Computação Gráfica: Teoria e Prática, volume 2 of 1. Elsevier, Rio de Janeiro, Elsevier, 2008, 1 edition, 12 2008. ISBN 9788535223293. R. C. Gonzalez and R. E. Woods. Digital Image Processing. Addison-Wesley, 3 edition, March 1992. ISBN 9780131687288. B. Jahne. Digital Image Processing, volume 1. Springer, 5 edition. K. Thyagarajan. Digital Image Processing with Application to Digital Cinema, volume 1. Focal Press, 1 edition. L. Velho, J. Gomes, A. Frery, and S. Levy. Image Processing for Computer Graphics and Vision. Texts in Computer Science. Springer, 2 edition, 2008. ISBN 9781848001923. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  35. 35. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012 Call for Students Programa de Verão 2013 Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas (IM/UFAL) Iniciação Científica Disciplina: Introdução à Computação Gráfica; Mestrado Disciplina: Computação Gráfica; Mais informações em: www.im.ufal.br www.im.ufal.br/evento/verao Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL

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