Representing Images in Frequency Domain

Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM)
Representando Imagens no Domínio da Frequência :: Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier :: Palestra - Matfest 2012
Representando Imagens no Domínio da Frequência
Percepções Iniciais da Transformada Discreta Bidimensional de Fourier
Michel Alves dos Santos
Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões
Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970
Docente Responsável: Prof. Dr. Dimas Martinez
{michel.mas}@gmail.com
12 de Novembro de 2012
Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL

Podem ser solucionados
através do mesmo método!
A Transformada de
Fourier!
Introdução
O que esses problemas possuem em comum?

Objetivos da Apresentação
Principais Objetivos da Apresentação
Introduzir a forma discreta da Transformada de Fourier.
Introduzir a representação de imagens no Domínio da Frequência.
Exibir algumas aplicações da Transformada em áreas diversas.
Figure: Representações no domínio da frequência da imagem Lenna: parte real,
parte imaginária, magnitude ou espectro, ângulo fase e potência do espectro.
Imagem em tons de cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 de altura.
Mas antes, vamos falar um pouco sobre o ‘pai’ dessa família de ferramentas!

Jean Baptiste Joseph Fourier
Um Pouco Sobre Fourier
Fourier nasceu em Auxerre, França, 1768.
Mais conhecido por seu trabalho ‘La
Théorie Analytique de la Chaleur’
publicado em 1822.
Traduzido para o Inglês em 1878: ‘The
Analytic Theory of Heat’.
Uma das grandes contribuições de Jean Baptiste Joseph Fourier para o
campo de Processamento de Sinais foi a Transformada de Fourier.
Poucas pessoas prestaram a devida atenção aos seus trabalhos quando
foram publicados pela primeira vez.
Atualmente suas descobertas, ﬁguram como as mais importantes teorias
matemáticas da engenharia moderna.

Série e Transformada de Fourier
Princípios da Série e da Transformada de Fourier
Série de Fourier: Qualquer
função que se repita de maneira
periódica pode ser expressa
como a soma de funções seno e
cosseno de diferentes
frequências, cada qual
multiplicada por um coeﬁciente
ponderador.
Transformada de Fourier:
Funções não periódicas, cuja as
áreas abaixo da curva sejam
ﬁnitas, podem ser expressas
como a integral de funções seno
e cosseno, multiplicadas por
uma função ponderadora.
Hoje, nosso objeto de estudo será a Transformada Discreta
Bidimensional de Fourier e suas Aplicações.
Figure: A última função é a soma das
quatro primeiras vistas acima. Fourier, em
1807, acreditava que funções periódicas
poderiam ser representadas como uma soma
ponderada de funções seno e cosseno.

O Que é a Transformada de Fourier?
Sobre A Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier (FT - Fourier Transform) é uma ferramenta
(ou família de ferramentas) largamente empregada em processamento de
sinais (sons, imagens, etc).
A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas componentes
elementares, seno e cosseno, com diferentes amplitudes, fase e frequência.
Para processarmos um determinado sinal, transformamos a informação do
mesmo para o domínio da frequência onde a sua avaliação é mais simples
e eﬁciente.
A Transformada Discreta de Fourier (DFT – Discrete Fourier Transform) é um
membro dessa família de ferramentas, sendo empregada em sinais discretizados.

Transformada de Fourier e Suas Aplicações
Algumas Aplicações da Transformada de Fourier
A Transformada Discreta de Fourier é aplicada em:
Métodos de Compressão
Métodos de Codiﬁcação
Filtragem
Realce e Suavização
Finalmente, como seriam as feições da Transformada de Fourier?

Transformada Contínua Bidimensional de Fourier
Forma Direta e Inversa em Duas Dimensões
Forma Direta:
F(u, v) =
∞
−∞
∞
−∞
f (x, y)e
−j2π ux+vy
dxdy
Forma Inversa:
f (x, y) =
∞
−∞
∞
−∞
F(u, v)e
j2π ux+vy
dudv
Onde j representa a unidade imaginária, sendo j =
√
−1, as variáveis x e y
representam coordenadas espaciais e as variáveis u e v, por conseguinte,
representam coordenadas espectrais. f (x, y) representa o sinal que será
transformado e F(u, v) a nossa Transformada Discreta de Fourier.

Transformada Discreta Bidimensional de Fourier
Forma Direta e Inversa em Duas Dimensões
Forma Direta:
F(u, v) =
1
MN
M−1
x=0
N−1
y=0
f (x, y)e
−j2π ux
M
+vy
N
Forma Inversa:
f (x, y) =
M−1
u=0
N−1
v=0
F(u, v)e
j2π ux
M
+vy
N
Onde j representa a unidade imaginária, sendo j =
√
−1, as variáveis x e y
representam coordenadas espaciais e as variáveis u e v, por conseguinte,
representam coordenadas espectrais. M e N são as dimensões da imagem
ou sinal f (x, y) e F(u, v) a nossa Transformada Discreta de Fourier.

Transformada Discreta de Fourier - Algoritmo
Algoritmo da Transformada Discreta de Fourier
§ ¤
1 /∗ D i s c r e t e F o u r i e r Transform Code − Assymptotic Complexity : O(N^4) ∗/
2 MyComplexMatrix MyDiscreteFourierTransform : : forward ( MyDoubleMatrix& f )
3 {
4 unsigned i n t N1 = f . rows ( ) ; unsigned i n t N2 = f . c o l s ( ) ; // dimensions of complex matrix
5 MyComplexMatrix myDFTMatrix ( N1 , N2 ) ; // d e c l a r a t i o n of complex matrix
6
7 f o r ( unsigned i n t k1 = 0 ; k1 < N1 ; k1++) // begin of e x t e r n a l l o o p s
8 {
9 f o r ( unsigned i n t k2 = 0 ; k2 < N2 ; k2++)
10 {
11 Complex _tmp_sum ( 0 . 0 , 0 . 0 ) ; // temporary accumulator
12 f o r ( unsigned i n t n1 = 0 ; n1 < N1 ; n1++) // begin of i n t e r n a l l o o p s
13 {
14 f o r ( unsigned i n t n2 = 0 ; n2 < N2 ; n2++)
15 {
16 double r e a l _ p a r t = cos ( −2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // r e a l p a r t
17 double imag_part = s i n ( −2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // i m a g i n a r y p a r t
18 _tmp_sum += f . at ( n1 , n2 ) ∗ Complex ( r e a l _ p a r t , imag_part ) ; // accumulation
19 }
20 }
21 Complex sum ( ( _tmp_sum . r e a l ( ) /(N1∗N2) ) , (_tmp_sum . imag ( ) /(N1∗N2) ) ) // sum r e s u l t
22 myDFTMatrix . i n s e r t ( k1 , k2 , sum) ;
23 }
24 }
25 r e t u r n myDFTMatrix ;
26 }
¦ ¥

Transformada Discreta de Fourier - Algoritmo
Algoritmo da Transformada Inversa Discreta de Fourier
§ ¤
1 /∗ I n v e r s e D i s c r e t e F o u r i e r Transform Code − Assymptotic Complexity : O(N^4) ∗/
2 MyComplexMatrix MyDiscreteFourierTransform : : backward ( MyComplexMatrix& F)
3 {
4 unsigned i n t N1 = F . rows ( ) ; unsigned i n t N2 = F . c o l s ( ) ; // dimensions of complex matrix
5 MyComplexMatrix myIDFTMatrix ( N1 , N2 ) ; // d e c l a r a t i o n of complex matrix
6
7 f o r ( unsigned i n t k1 = 0 ; k1 < N1 ; k1++) // begin of e x t e r n a l l o o p s
8 {
9 f o r ( unsigned i n t k2 = 0 ; k2 < N2 ; k2++)
10 {
11 Complex _tmp_sum ( 0 . 0 , 0 . 0 ) ; // temporary accumulator
12 f o r ( unsigned i n t n1 = 0 ; n1 < N1 ; n1++) // begin of i n t e r n a l l o o p s
13 {
14 f o r ( unsigned i n t n2 = 0 ; n2 < N2 ; n2++)
15 {
16 double r e a l _ p a r t = cos ( 2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // r e a l p a r t
17 double imag_part = s i n ( 2 ∗ M_PI ∗ ( k1∗n1/N1 + k2∗n2/N2) ) ; // i m a g i n a r y p a r t
18 _tmp_sum += F . at ( n1 , n2 ) ∗ Complex ( r e a l _ p a r t , imag_part ) ; // accumulation
19 }
20 }
21 Complex sum ( ( _tmp_sum . r e a l ( ) ) , (_tmp_sum . imag ( ) ) ) // sum r e s u l t
22 myIDFTMatrix . i n s e r t ( k1 , k2 , sum) ;
23 }
24 }
25 r e t u r n myIDFTMatrix ;
26 }
¦ ¥

A matriz complexa resultante da transformação
apresentará duas componentes de informação: a
real ou amplitude e a imaginária ou fase.
Resultado da Transformação
O Resultado da Transformada é uma Matriz Complexa

Transformada Discreta de Fourier: Componentes
Componentes da Transformada Discreta de Fourier
F(u, v) = R(u, v) + jI(u, v), F(u, v) ∈ C
R(u, v) : Representa os valores das componentes reais da transformada.
I(u, v) : Representa, por sua vez, os valores das componentes imaginárias.
Magnitude, Ângulo Fase e Potência do Espectro
|F(u, v)| = R(u, v)2 + I(u, v)2
φ(u, v) = tan−1[I(u, v)/R(u, v)]
P(u, v) = |F(u, v)|2 = R(u, v)2 + I(u, v)2

Alguns Exemplos de Imagens Transformadas
Figure: Imagem original, parte real, parte imaginária, magnitude ou espectro, ângulo
fase e potência do espectro. Imagens em tons de cinza (8 bits) com 128x128 pixels.

Transformada de Fourier: Exemplo - Circle
Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Circle
Figure: Imagem original, magnitude ou espectro e ângulo fase. Imagem de teste em tons de
cinza (8 bits) com 128 pixels de largura por 128 pixels de altura. Resultados obtidos em um
Pentium Dual Core 2.00GHz, com 3.00 GB de memória principal (Ubuntu Linux 10.04 - Kernel
2.6.32.38). Algoritmo implementado utilizado-se a biblioteca Magick++ e a linguagem C++.
Tempo necessário para obtenção da transformada, da representação do espectro e da
representação do ângulo fase: 1m05.704s (média de tempo obtida após 50 execuções).

Transformada de Fourier: Exemplo - Square
Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Square

Transformada de Fourier: Exemplo - Triangle
Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Triangle

Transformada de Fourier: Exemplo - Cross
Magnitude e Ângulo Fase do Exemplo Cross

Domínio da Frequência ou Espectral
Representação no Domínio da Frequência ou Espectral
Por que utilizar uma representação espectral?
Algumas vezes, técnicas e procedimentos são melhor desempenhados em um
outro domínio qualquer do que no domínio espacial.
A remoção de frequências indesejadas é uma tarefa menos árdua.
Certas operações (como a convolução) possuem um desempenho mais
atrativo no Domínio da Frequência/Espectral do que no Domínio Espacial.
Figure: Baboon ou Mandrill: Imagem, Representação no Domínio Espacial e Espectro de Fourier.

Aplicações da Transformada - Impressões Digitais
Reconhecimento de Digitais
Figure: A Comparação do espectro de Fourier de imagens de impressão digital
podem levar ao reconhecimento de determinados indivíduos de maneira muito
mais rápida. Esse método é executado através da comparação de cristas, que
apresentam características semelhantes quanto à direção e freqüência.

Aplicações da Transformada - Fenótipos
Classiﬁcação de Fenótipos Baseada em Padrões
Figure: O olho da Drosophila é um grande exemplo de estrutura hexagonal
celular em formato de cristal. O valor absoluto da Transformada de Fourier
demostra a veracidade dessa estrutura. Assim como a Drosophila outros
animais podem ser classiﬁcados utilizando a mesma técnica.

Aplicações da Transformada - Texturas
Detecção de Texturas em Imagens
Figure: Um problema comum e recorrente em Processamento de Imagens e
Visão Computacional é a Detecção de Padrões de Repetição, que nomeamos
corriqueiramente como Textura. É um problema base, por exemplo, para
classiﬁcação de determinados padrões de pelagem em animais. O que recai
novamente no problema de classiﬁcação fenotípica.

Aplicações da Transformada - Ruído Periódico
Remoção de Ruído Periódico
Figure: Ruído causado por alguma interferência externa ou de alguma forma,
pelo próprio aparelho de captação da imagem gerando padrões perceptíveis.

Conclusões
Conclusões a Respeito dos Tópicos Apresentados
Transformada Discreta de Fourier
Possui baixa complexidade de codiﬁcação.
Custo computacional acentuado : O(N4
).
Gera subprodutos que auxiliam na análise de um determinado
conjunto transformado (som, imagem, etc):
espectro;
ângulo-fase;
espectro da potência.
Observação: A performance da DFT está sujeita a melhorias, caso
seja usada sua forma rápida (FFT).

Sugestões de Leitura
Algumas Sugestões de Leitura
Figure: Algumas sugestões de leitura que podem melhorar a compreensão sobre o
assunto: Woods & Gonzalez, Bernd Jähne, Oge Marques e Thyagarajan. Além dessas,
outras boas sugestões seriam os livros de Aura Conci, Computação Gráﬁca: Teoria e
Prática e o livro Image Processing for Computer Graphics and Vision de autoria de
Luiz Velho, Jonas Gomes e Alejandro Frery.

Agradecimentos
Grato Pela Atenção!
Michel Alves dos Santos - michel.mas@gmail.com
http://www.facebook.com/michel.alves.santos
http://www.linkedin.com/proﬁle/view?id=26542507
https://twitter.com/Michel_Alves_
https://plus.google.com/110060332771581453284

Referências Bibliográficas
Principais Referências Bibliográficas
A. Conci, E. Azevedo, and F. R. Leta.
Computação Gráfica: Teoria e Prática, volume 2 of 1.
Elsevier, Rio de Janeiro, Elsevier, 2008, 1 edition, 12 2008.
ISBN 9788535223293.
R. C. Gonzalez and R. E. Woods.
Digital Image Processing.
Addison-Wesley, 3 edition, March 1992.
ISBN 9780131687288.
B. Jahne.
Digital Image Processing, volume 1.
Springer, 5 edition.
K. Thyagarajan.
Digital Image Processing with Application to Digital Cinema, volume 1.
Focal Press, 1 edition.
L. Velho, J. Gomes, A. Frery, and S. Levy.
Image Processing for Computer Graphics and Vision.
Texts in Computer Science. Springer, 2 edition, 2008.
ISBN 9781848001923.

Call for Students
Programa de Verão 2013
Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas
(IM/UFAL)
Iniciação Científica
Disciplina: Introdução à Computação Gráfica;
Mestrado
Disciplina: Computação Gráfica;
Mais informações em:
www.im.ufal.br
www.im.ufal.br/evento/verao

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