Lista 4 - Transformações Lineares.pdf

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QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Transformações Lineares
1. Verifique quais dos seguintes operadores é uma transformações lineares:
( ) ( )
( )
2 2
2 3
2 3 2
2
) : P
) : R R
, , ax ax
) : R R
) : R R
,
d k P
a T
x y x y x y bx c bx cx
e T
b T
x y xy
→
→
→ + − + + → + +
→
→
→
( )
3
3 3
2 2
11 12 13
21 22 23 11 22 33
31 32 33
) : R
) : R
det , ,
x
x
x x
f T M
c T M
a a a
a b a b
a a a a a a
c d c d
a a a
→
→
→
 
     
→ →
     
   
 
 
2. Seja o operador 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦 ).
a) 𝑇 é uma Transformação Linear?
b) Qual é a matriz transformação linear associada a 𝑇?
c) Encontre o núcleo de 𝑇.
3. Seja o operador 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 , 3𝑧 ).
a) T é uma Transformação Linear?
b) Qual é a matriz transformação linear associada a ‘T’?
c) Encontre o núcleo de 𝑇.
4. Seja o operador 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 – 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ).
a) 𝑇 é uma Transformação Linear?
b) Qual é a matriz transformação linear associada a 𝑇?
c) Encontre o núcleo de 𝑇.
5. Seja um operador Linear T: R² → R². Sabe-se que T(1, 0) = (−1, 1)e T(0, 1) = (4, 2):
a) Encontre o operador que define a transformação;
b) Qual é a matriz transformação linear associada a 𝑇?
c) Encontre o núcleo de T;
d) Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (14, 4)?
6. Seja um operador Linear T: R² → R³. Sabe-se que T(1,1) = (3,2,1) e T(0, −2) = (0,1,0).
a) Encontre o operador que define a transformação;
b) Qual é a matriz transformação linear associada a 𝑇?
c) Encontre o núcleo de T;
d) Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (15,11,5)?
7. Seja um operador Linear T: R³ → R². Sabe-se que 𝑇(1,0,0) = (2,0), 𝑇(0,1,0) = (1,1) e
𝑇(0,0,1) = (0, −1).
a) Encontre o operador que define a transformação;
b) Qual é a matriz transformação linear associada a 𝑇?
c) Encontre o núcleo de T;
d) Qual seria o subespaço do R³ na qual a imagem da transformação é T(𝒗) = (4, 1)?
8. Seja um operador Linear T: R³ → R². Sabe-se que T(3,2,1) = (1,1), T(0,1,0) = (0, −2) e
T(0,0,1) = (0, −1)

2. 2/2
a) Encontre o operador que define a transformação;
b) Qual é a matriz transformação linear associada a 𝑇?
c) Encontre o núcleo de T;
d) Qual seria o subespaço do R³ na qual a imagem da transformação é T(𝒗) = (3, 2)?
9. Sejam os operadores lineares F e Q:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
, , , ,, ,, ,,
,
, , , ,
,
, , , , , ,
2
, , , ,
:
F Q
F Q
R R R
x y z x y z x y z
Onde
x x y
F x y z x y z y y Q
z z
⎯⎯
→ ⎯⎯
→
⎯⎯
→ ⎯⎯
→
 = +

= =

 =

( ) ( )
,, ,
, , , ,, ,, ,, ,, ,
,, ,
2
, , , , 3
5
x x
x y z x y z y y
z z
 =

= =

 =

a) Encontre a matriz transformação associado ao operador “F”.
b) Que tipo de transformação o operador “F” realiza no R3
?
c) Qual é o núcleo de “F”?
d) Encontre a matriz transformação associado ao operador “Q”.
e) Que tipo de transformação o operador “Q” realiza no R3
?
f) Qual é o núcleo de “Q”?
g) Encontre a matriz transformação global.
h) Que tipo de transformação o operador global realiza no R3
?
i) Qual é o núcleo de do operador global?
10. Um operador T: R³ → R³ associa a cada vetor 𝒗 do R³ ao resultado do produto vetorial deste
vetor 𝒗 com um vetor não nulo 𝑤 também do R³. De modo que: T(𝒗) = 𝒗 × 𝑤. Mostre que
T é um operador linear.
11. Seja o operador D:
1
1
0 0
( )
: P P
n n
n n
i i
i i
i i
dP x
D
dx
a x i a x
−
−
= =
= →
 →  
 
a) Mostre que o operador derivada é uma transformação linear;
b) Admita n=3. Qual seria a matriz transformação linear associada ao operador D?
c) Encontre o núcleo de 𝐷.
12. Seja o operador I:
1
1
0 0
( ) : P P
1
n n
i
n n
i i
i
i i
I P x dx
a x
a x
i
−
+
= =
= →

 →
+

 
a) Mostre que o operador integral é uma transformação linear;
b) Admita n=2. Qual seria a matriz transformação linear associada ao operador I?
c) Encontre o núcleo de 𝐼.