O documento discute o conceito de centro de massa de um sistema de partículas. Explica que o centro de massa é o ponto onde se considera aplicada a resultante das forças sobre o sistema e para o qual se associa a massa total do sistema. Também descreve como localizar experimentalmente o centro de massa de um corpo rígido e como a localização do centro de massa afeta a estabilidade de um objeto.

1. Centro de massa
de um sistema
de partículas

2. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Temos estudado a cinemática e a dinâmica de um corpo, como um automóvel ou uma
bola, representando-o por um só ponto: o seu centro de massa.
Mas, em geral, um corpo tem de ser estudado como um sistema de partículas.
Uma partícula pode mover-se entre duas posições quaisquer descrevendo uma trajetória
retilínea ou curvilínea, mas, como não tem dimensões, esse movimento é sempre de
translação.

3. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Um sistema de partículas (como um corpo extenso) terá movimento de translação se as
suas partículas descreverem igual trajetória, que pode ser retilínea ou curvilínea e, no
mesmo instante, todas tiverem igual velocidade.
Corpo com movimento de translação retilínea. Corpo com movimento de translação curvilínea.

4. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Um sistema de partículas pode ter simultaneamente um movimento de translação e de
rotação.
Quando tem só movimento de rotação (diz-se rotação pura), há partículas fixas – as que
estão sobre o eixo de rotação – e partículas móveis, que rodam em torno desse eixo.
Estas últimas descrevem trajetórias circulares de diferentes raios.
A sua velocidade depende da distância ao eixo de rotação:
será tanto maior quanto maior for o raio da trajetória
circular.

5. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Muitos movimentos são uma combinação de translação e de
rotação. Por exemplo, numa roda de bicicleta há uma
translação retilínea do centro de massa e uma rotação em
torno do eixo que passa pelo centro de massa.
Bicicleta em movimento.
Num sistema de partículas que só tem movimento de translação basta estudar uma só
partícula, pois todas têm igual movimento. Se, simultaneamente, forem desprezáveis as
variações de energia interna do sistema, então o sistema será redutível a uma partícula.

6. Centro de massa de uma sistema de
partículas
No nosso quotidiano deparamo-nos
com numerosos corpos em que a
distância entre duas quaisquer
partículas é constante,
independentemente do seu movimento
ou das interações a que está sujeito:
diz-se um corpo indeformável ou rígido.
O martelo é um corpo rígido.
De facto não há corpos totalmente rígidos: quando pressionamos um dedo sobre o tampo
de uma mesa, o dedo e o tampo deformam-se; contudo, como a deformação do tampo
não é percetível, dizemos que ele é rígido.

7. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Um sistema formado por um barco e
pelos seus ocupantes já não é rígido (é
deformável), pois as distâncias entre os
seus constituintes podem variar.
Corpo não rígido
Iremos estudar movimentos de corpos rígidos e de sistemas deformáveis, que têm apenas
movimento de translação.
Neste caso não é necessário estudar cada partícula, pois todas têm o mesmo movimento.

8. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Podemos reduzir um objeto extenso e complexo a um só ponto, o chamado centro de
massa (CM) do sistema, que se move, em cada instante, com velocidade igual à de cada
partícula do sistema.

9. Centro de massa de uma sistema de
partículas
O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto ao qual se associa a massa do
sistema e onde se considera aplicada a resultante das forças exercidas sobre o sistema.

10. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Nos sistemas com elevada simetria, e cuja massa esteja
uniformemente distribuída (sistema homogéneo), o centro de
massa localiza-se no centro geométrico do corpo.
Numa bola oca, num pneu ou num anel, com a massa
homogeneamente distribuída, o centro de massa é o centro
geométrico, mas não se localiza no corpo.
Se o sistema não tiver simetria, o centro de massa estará na região onde se concentrar
a maior parte da massa.

11. Centro de massa de uma sistema de
partículas

12. Centro de massa de uma sistema de
partículas
As coordenadas da posição do centro de massa são dadas pelas equações escalares:

13. Centro de massa de uma sistema de
partículas
Determinaremos experimentalmente a posição do centro de massa (CM) de um corpo
rígido com espessura uniforme.
• Pendura-se o objeto por um ponto qualquer da sua periferia, ponto A, e marca-se
a linha vertical que passa por esse ponto.

14. Centro de massa de uma sistema de
partículas
• Pendura-se depois o objeto por um outro ponto, B, e marca-se a linha
vertical que passa por B.
• A interseção das duas linhas indica a posição do centro de massa (claro que o
centro de massa está no interior do objeto e não na sua superfície!).
Determinaremos experimentalmente a posição do centro de massa (CM) de um corpo
rígido com espessura uniforme.

15. Centro de massa de uma sistema de
partículas
• Para confirmar, pode escolher-se outro ponto, C, e pendurar de novo o objeto,
traçando a linha vertical que passa por C. Essa linha tem de intersetar as outras
duas no mesmo ponto (CM).
Determinaremos experimentalmente a posição do centro de massa (CM) de um corpo
rígido com espessura uniforme.

16. Centro de massa de uma sistema de
partículas
A localização do centro de massa é determinante para a estabilidade de um corpo.
A estante, cuja forma se pode variar porque não
é rígida, só se mantém sem cair quando a vertical
que passa pelo seu centro de massa (coincidente
com o fio suspenso) cai dentro da sua base de
sustentação.
Estante

17. Questõe
s
6
cm
2 cm
2
cm
3 cm
R = 3 cm
A
B
C
(Resolução)

18. Questõe
s
6
cm
2 cm
2
cm
3 cm
R = 3 cm
A
B
C
No referencial da figura as coordenadas da posição
do centro de massa de cada um destes corpos são:
Corpo A – (1, 3) cm
Corpo B – (5, 1) cm
Corpo C – (5, 5) cm
As coordenadas do centro de massa do sistema são (4,1; 4,1) cm
(Resolução)