Notas Curso Espaços Métricos

Notas do Curso de SMA-343 - Espa¸cos M´etricos
Prof. Wagner Vieira Leite Nunes
S˜ao Carlos 2.o semestre de 2008

Sumário
1 Introdu¸cão 5
2 Espa¸cos Métricos 7
2.1 Defini¸cões básicas e exemplos de espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Distância de um ponto a um subconjunto em um espa¸co métrico . . . . . . . . . 41
2.5 Distância entre dois subconjuntos de um espa¸co métrico . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Imersões isométricas e isometrias entre espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Fun¸cões Cont´ınuas Definidas em Espa¸cos Métricos 53
3.1 Defini¸cão de fun¸cão cont´ınua em espa¸cos métricos e exemplos . . . . . . . . . . . 53
3.2 Propriedades elementares de fun¸cões cont´ınuas entre espa¸cos métricos . . . . . . 64
3.3 Homeomorfismos entre espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Métricas equivalentes em um espa¸co métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 Transforma¸cões lineares e multilineares definidas em espa¸cos vetoriais normados . 100
4 Conjuntos Abertos, Fechados - Espa¸cos Topológicos 115
4.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Rela¸cões entre conjuntos abertos e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Espa¸cos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4 Conjuntos fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Conjuntos Conexos 165
5.1 Defini¸cões e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 Propriedades gerais de conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3 Conexão por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4 Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6 Limites 213
6.1 Limites de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.2 Sequências de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.4 Convergência e topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.5 Sequências de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.6 Produtos cartesianos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.7 Limites de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3

4 SUM ÁRIO
7 Continuidade Uniforme de Fun¸cões em Espa¸cos Métricos 253
8 Espa¸cos Métricos Completos 263
8.1 Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.2 Espa¸cos métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.3 Espa¸cos de Banach e espa¸cos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.4 Extensão de fun¸cões cont´ınuas ou uniformemente cont´ınuas . . . . . . . . . . . . 281
8.5 Completamente de um espa¸co métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.6 Espa¸co métricos topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.7 O teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.8 Método das aproxima¸cões sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
9 Bibliografia 315

Cap´ıtulo 1
Introdu¸cão
Este trabalho poderá servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espa¸cos
métricos.
Serão exibidos todos os conceitos relacionados com o conteúdo acima, bem como propriedades
e aplica¸cões dos mesmos.
As referências ao final das notas poderão servir como material importante para o conteúdo
aqui desenvolvido.
5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO

Cap´ıtulo 2
Espa¸cos Métricos
5.08.2008 - 1.a
7.08.2008 - 2.a
2.1 Defini¸cões básicas e exemplos de espa¸cos métricos
Come¸caremos com a:
Defini¸cão 2.1.1 Seja M um conjunto não vazio.
Diremos que uma aplica¸cão
d : M × M → R
é uma métrica (ou distância) em M se as seguintes condi¸cões estão satisfeitas:
(d1) d(x, x) = 0;
(d2) se x, y ∈ M e x = y então d(x, y) > 0;
(d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M;
(d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ M.
Observa¸cão 2.1.1
1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ M e que d(x, y) = 0 se, e somente
se, x = y.
2. (d3) nos diz que d(x, y) é um fun¸cão simétrica nas variáveis x e y.
3. (d4) é conhecida como desigualdade triangular.
Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de um
triângulo é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triângulo.
7

8 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS MÉTRICOS
x
y
z
d(x, z) < d(x, y) + d(y, z)
Com isto temos a:
Defini¸cão 2.1.2 Se d é uma métrica em M então o par (M, d) será denominado espa¸co
métrico.
Observa¸cão 2.1.2 Quando não houver possibilidade de confusão nos referiremos ao espa¸co
métrico M (ao invés de (M, d)) deixando subentendido a métrica d a ser considerada.
Nota¸cão 2.1.1 Se (M, d) é um espa¸co métrico, os elementos de M serão ditos pontos de M.
A seguir daremos alguns exemplos de espa¸cos métricos.
Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto não vazio.
Consideremos a aplica¸cão d : M × M → R dada por
d(x, y) =
0, se x = y
1, se x = y
.
Afirmamos que d é uma métrica em M.
De fato, as condi¸cões (d1), (d2) e (d3) são verificadas facilmente e serão deixadas como
exerc´ıcio para o leitor.
Mostremos que (d4) ocorre.
Se x = z então temos que
d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z)
independente de y ∈ M (pois d(x, y), d(y, z) ≥ 0).
Se x = z então temos que
d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z) (∗)
independente de y ∈ M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x = z segue que
d(y, z) = 1 assim (*) ocorrerá; de modo semelhante se y = z).
Portanto vale (d4), ou seja, d é uma métrica em M.

2.1. DEFINIÇ ÕES B ÁSICAS E EXEMPLOS DE ESPAÇOS MÉTRICOS 9
Observa¸cão 2.1.3 A métrica acima é denominada métrica zero-um.
Exemplo 2.1.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e S ⊆ M não vazio.
Então tomando-se a restri¸cão de d sobre S, isto é, d|S : S × S → R dada por d|S(x, y)
.
=
d(x, y) para x, y ∈ S então segue que d|S é uma métrica em S.
A veririfica¸cão que (d1)-(d4) valem para d|S será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Observa¸cão 2.1.4 No caso acima S será dito subespa¸co (métrico) de M e a métrica d|S
será dita métrica induzida pela métrica d de M.
Exemplo 2.1.3 Seja M = R e
d : R × R → R
dada por
d(x, y)
.
= |x − y|
para x, y ∈ R.
Então d é uma métrica em R pois (d1)-(d4) são conseqüências das propriedades elementares
da fun¸cão valor absoluto (a verifica¸cão disto será deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Observa¸cão 2.1.5 No caso acima diremos que a métrica d é a métrica usual de R.
Podemos generalizar o exemplo acima, a saber:
Exemplo 2.1.4 Seja M = Rn.
Podemos considerar as seguintes aplica¸cões
d, d , d : Rn
× Rn
→ R, j = 1, 2, 3 :
1. d(x, y)
.
= (x1 − y1)2 + · · · (xn − yn)2 =
n
i=1
(xi − yi)2
1
2
.
2. d (x, y)
.
= |x1 − y1| + · · · |xn − yn| =
n
i=1
|xi − yi|.
3. d (x, y)
.
= max{|x1 − y1|, · · · , |xn − yn|} = max
1≤i≤n
|xi − yi|.
As aplica¸cões d, d , d são métricas em Rn.
De fato, elas cumprem as condi¸cões (d1),(d2) e (d3) (isto será deixado como exerc´ıcio para
o leitor).
A condi¸cão (d4) é facilmente verificada para d e d (isto será deixado como exerc´ıcio para
o leitor).
A condi¸cão (d4) para d será verificada num exemplo a seguir.
1. A métrica d acima definida será denominada métrica euclideana.
Ela provém da fórmula da distância entre dois pontos (em coordenadas cartesianas) que é
uma conseqüência do Teorema de Pitágoras (a verifica¸cão disto será deixado como exerc´ıcio
para o leitor).
Devido a este fato a métrica d será dita métrica usual de Rn.

2. Se n = 2 a métrica d é a que dá a distância entre os pontos p e q do plano (ou seja, o
comprimento do segmento de reta que une os pontos p e q, vide figura abaixo).
p
q
d(p, q)
A métrica d nos dá a distância entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de um
triângulo retângulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo).
p
q
r
' E
T
c
‰
w
d (p, q)
A métrica d nos dá a distância entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimento
do maior cateto de um triângulo retângulo determinado pelos pontos p e q (vide figura
abaixo).
p
q
r
' E
‰
d (p, q)
Geometricamente, temos a seguinte configura¸cão para as três distâncias acima:

p
q
d(p, q)
d (p, q)
E'
E'
T
c
W
w
d (p, q)
3. Se n = 2 temos o plano R2 cujos elementos serão representados por (x, y) ou (u, v), onde
x, y, u, v ∈ R.
4. Em algumas situa¸cões identificamos R2 com C, o conjunto dos números complexos por
meio da correspondência (x, y) → x + iy, onde i2 .
= −1.
5. Se n = 3 temos o espa¸co R2 cujos elementos serão representados por (x, y, z) ou (u, v, w),
onde x, y, z, u, v, w ∈ R.
Com isto temos a
Proposi¸cão 2.1.1 Consideremos d, d , d as métricas definidas no exemplo (2.1.4).
Então, para todo x, y, ∈ Rn temos
d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d (x, y) ≤ n d (x, y).
Demonstra¸cão:
Observemos que para todo a, b ≥ 0 temos que:
√
a + b ≤
√
a +
√
b (∗).
De fato, pois
[
√
a +
√
b]2
= [
√
a]2
+ 2
√
a
√
b + [
√
b]2
= a + 2
√
a
√
b + b ≥ a + b.
Portanto
√
a + b ≤
√
a +
√
b como afirmamos.
Observemos que para todo x, y, ∈ Rn temos
d (x, y) = max
1≤i≤n
|xi − yi|
[|a|=
√
a2]
= max
1≤i≤n
(xi − yi)2 ≤


n
j=1
(xj − yj)2


1
2
= d(x, y),
d(x, y) =


n
j=1
(xj − yj)2


1
2
(∗)
≤
n
j=1
(xj − yj)2
[
√
a2=|a|]
=
n
j=1
|xj − yj| = d (x, y) e
d (x, y) =
n
j=1
|xj − yj| ≤
n
j=1
max
1≤j≤n
{|xj − yj|} = max
1≤j≤n
{|xj − yj|}
n
j=1
1
= max
1≤j≤n
{|xj − yj|}.n = n.d (x, y)

completando a demonstra¸cão.
Para o próximo exemplo introduziremos a seguinte defini¸cão:
Defini¸cão 2.1.3 Seja X um conjunto não vazio.
Diremos que uma fun¸cão f : X → R é limitada se existir k = kf > 0 tal que
|f(x)| ≤ k, para todo x ∈ X.
Denotaremos por B(X; R) o conjunto formado por todas as fun¸cões, f : X → R que são
limitadas, isto é,
B(X; R)
.
= {f : X → R : f é limitada}.
Com isto temos o:
Exemplo 2.1.5 Na situa¸cão acima temos que B(X; R) tornar-se-á um espa¸co vetorial sobre R
com as opera¸cões usuais de adi¸cão de fun¸cões e multiplica¸cão de número real por fun¸cão (isto
será deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Definimos
d : B(X; R) × B(X; R) → R
por
d(f, g)
.
= sup
x∈X
|f(x) − g(x)|,
onde f, g ∈ B(X; R).
Afirmamos que d é uma métrica em B(X; R).
De fato:
1. Se f ∈ B(X; R) então
d(f, f) = sup
x∈X
|f(x) − f(x)| = 0,
mostrando que vale (d1);
2. Se f, g ∈ B(X; R) e f = g então existe x0 ∈ X tal que f(x0) = g(x0).
Assim
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| ≥ |f(x0) − g(x0)| > 0,
3. Se f, g ∈ B(X; R) então
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| = sup
x∈X
| − [g(x) − f(x)]| = sup
x∈X
|g(x) − f(x)| = d(g, f),
4. Se f, g, h ∈ B(X; R) então para cada x ∈ X temos que
|f(x) − g(x)| = |[f(x) − h(x)] + [h(x) − g(x)]|
[|a+b|≤|a|+|b|]
≤ |f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|.
Logo

d(f, g) = sup
x∈X
{|f(x) − g(x)|} ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}. (∗)
Sabemos que se A e B são limitados superiormente em R então A + B é limitado superi-
ormente em R e
sup[A + B] ≤ sup A + sup B.
Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos
d(f, g) ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)|} + sup
x∈X
{|h(x) − g(x)|}
= d(f, h) + d(h, g),
mostrande que (d4) é verdadeira.
Deste completamos a prova que d é uma métrica em B(X; R).
1. A métrica definida no exemplo acima é denominada métrica da convergência uniforme
ou métrica do sup.
2. Para ilustrar, se X
.
= [0, 1], f, g : [0, 1] → R são dadas por f(x) = x e g(x) = x2, x ∈ [0, 1]
então, geometricamente, d(f, g) será o comprimento da maior corda vertical unindo os
pontos dos gráficos das fun¸cões f e g (vide figura abaixo).
T
E
1
1
f
g
c
d(f, g) = |f( 1
2
) − g( 1
2
)| = 1
2
− 1
2
2
= 1
4
x
y
TC
1
2
3. Vale observar que se X = {1, 2, · · · , n} então toda fun¸cão f : X → R será limitada (pois
|f(x)| ≤ kf
.
= max
1≤i≤n
|f(i)|, x ∈ X), ou seja, f ∈ B(X; R).
Logo podenos identificar f com a n-upla (x1, x2, · · · , xn) onde xi
.
= f(i), 1 ≤ i ≤ n.
Portanto B(X; R) pode ser identificado com Rn.
Neste caso a métrica d em B(X; R) definida no exemplo acima, induzirá a métrica d em
Rn, pois
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| = max
1≤i≤n
|f(i) − g(i)| = max
1≤i≤n
|xi − yi| = d (x, y),
onde xi = f(i), yi = g(i), i = 1, · · · , n.
Conclusão, temos a seguinte identifica¸cão: (B(X; R), d) = (Rn, d ).

12.08.2008 - 3.a
Para o próximo exemplo precisaremos da:
Defini¸cão 2.1.4 Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Diremos que uma fun¸cão . :→ R é uma norma em E se as seguintes condi¸cões são
verificadas:
(n1) Se x ∈ E é tal que x = 0 então x = 0;
(n2) Se λ ∈ R e x ∈ E então λ x = |λ| x ;
(n3) Se x, y ∈ E então x + y ≤ x + y .
Observa¸cão 2.1.8 Suponhamos que . seja uma norma em E, espa¸co vetorial sobre R.
1. Observemos para todo x ∈ E temos que
0 = 0.x
(n2)
= |0| x = 0 e − x = (−1).x
(n2)
= | − 1| x = x (∗).
2. Se x ∈ E temos
0 = x + (−x)
(n3)
≤ x + − x
(∗)
= x + x = 2 x .
Logo x ≥ 0, para todo x ∈ E.
3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que se x ∈ E, x = 0 então x > 0.
Com isto temos a
Defini¸cão 2.1.5 Um espa¸co vetorial normal é um par (E, . ) onde E é um espa¸co vetorial
sobre R e . é uma norma definida em E.
A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos vetoriais normados.
Exemplo 2.1.6 Consideremos em Rn as seguintes fun¸cões . , . , . : Rn → R dadas por
x
.
=
n
i=1
x2
i , x
.
=
n
i=1
|xi|, x
.
= max
1≤i≤n
|xi|,
onde x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn.
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que as fun¸cões . , . acima são normas
em Rn.
Além disso será deixado para o leitor a verifica¸cão que . satisfaz as condi¸cões (n1), (n2).
Logo adiante mostraremos que . também satisfaz a condi¸cão (n3) e portanto também será
uma norma em Rn.
Outro exemplo importante é

Exemplo 2.1.7 No exemplo (2.1.5) acima podemos considerar a fun¸cão
. : B(X; R) → R
dada por
f
.
= sup
x∈X
|f(x)|, f ∈ B(X; R).
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que . é uma norma em B(X; R), ou seja,
(B(X; R), . ) é um espa¸co vetorial normado.
Tal norma será denomiada de norma da convergência uniforme (ou do sup) em
B(X; R).
Podemos agora obter uma cole¸cão de exemplos de espa¸cos métricos, a saber:
Exemplo 2.1.8 Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
Consideremos a fun¸cões d : E × E → R dada por
d(x, y)
.
= x − y , x, y, ∈ E.
Afirmamos que d é um métrica em E.
De fato:
1.
d(x, x) = x − x = 0
[Observa¸cão (2.1.8) item 1.]
= 0,
ou seja, vale (d1);
2. Se x = y temos que x − y = 0, logo
d(x, y) = x − y
[observa¸cão (2.1.8) item 3.]
> 0,
ou seja, vale (d2);
3. Se x, y ∈ E temos que
d(x, y) = x − y
[observa¸cão (2.1.8) item 1.]
= − (x − y) = y − x = d(y, x),
ou seja, vale (d3);
4. Se x, y, z ∈ E temos que
d(x, z) = x − z = (x − y) + (y − z)|
(n4)
≤ x − y + y − z = d(x, y) + d(y, z),
ou seja, vale (d4).
Portanto d é um métrica em E e assim (E, d) é um espa¸co métrico.

1. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial normado é um espa¸co métrico (onde
a métrica será a métrica do exemplo acima).
Neste caso diremos que a métrica d provém da norma . .
Por exemplo, as métricas d, d , d de Rn provém das normas . , . , . , respectiva-
mente (será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão destes fatos).
De modo semelhante temos que a métrica
d(f, g) = f − g
definida em B(X; R) (onde a norma . é a do exemplo (2.1.7)) é proveniente da norma
da convergência uniforme.
2. Pergunta-se:
Seja E é um espa¸co vetorial sobre R e d é um métrica em E.
Existirá uma norma em E de modo que a métrica dada d provém dessa norma? ou seja,
uma métrica qualquer definida E provém de alguma norma definida em E?
Infelizmente isto é falso, ou seja, existem espa¸cos vetoriais que possuem métricas que não
provém de normas definidas no espa¸co vetorial em questão.
O exerc´ıcio 3 da 1.a lista de exerc´ıcios nos dá uma condi¸cão necessaria e suficiente para
que um métrica em um espa¸co vetorial seja proveniente de uma norma do espa¸co vetorial
em questão.
Mais precisamente temos que:
Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Uma métrica, d, em E provém de uma norma em E se, e somente se,
d(x + a, y + a) = d(x, y) e d(λx, λy) = |λ|d(x, y),
para todo x, y, a ∈ E e λ ∈ R.
No exerc´ıcio 4 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor é convidado a produzir um exemplo de
espa¸co vetorial que possua uma métrica que não provém de nenhuma norma definida no
espa¸co vetorial em questão.
3. Observemos também que se (E, . ) é um espa¸co vetorial normado então para todo x ∈ E
temos
d(x, 0) = x − 0 = x ,
isto é, a norma do vetor x ∈ E é a distância do ponto x ∈ E à origem 0 ∈ E.
Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da
Defini¸cão 2.1.6 Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Diremos que a fun¸cão
< ., . >: E × E → R
é um produto interno (ou escalar) em E se satisfas as seguintes condi¸cões:
(p1) Para x, x , y ∈ E temos
< x + x , y >=< x, y > + < x , y >;

(p2) Para x, y ∈ E e λ ∈ R temos
< λx, y >= λ < x, y >;
(p3) Para x, y ∈ E temos
< x, y >=< y, x >;
(p4) Para x ∈ E, x = 0 temos
< x, x >> 0.
Neste caso diremos que (E, < ., . >) é um espa¸co com produto interno (ou escalar).
1. Se (E, < ., . >) é um espa¸co com produto interno então para x, y, y ∈ E e λ ∈ R temos
que
< x, y + y >
(p3)
= < y + y , x >
(p1)
= < y, x > + < y , x >
(p3)
= < x, y > + < x, y >
e
< x, λy >
(p3)
= < λy, x >
(p2)
= λ < y, x >
(p3)
= λ < x, y >, (∗)
ou seja, < ., . > é linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear).
2. De (p4) temos que se x ∈ E e < x, x >= 0 então x = 0.
Logo temos que
< x, x >≥ 0
para todo x ∈ E e < x, x >= 0 se, e somente se, x = 0.
No curso de Álgebra Linear dir´ıamos que a fun¸cão < ., . > é bilinear, simétrica e positiva
definida.
A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos com produto interno:
Exemplo 2.1.9 Seja E = Rn e definamos
< ., . >: Rn
× Rn
→ R
por
< x, y >
.
= x1y1 + · · · + xnyn =
n
i=1
xi yi,
onde x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn.
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que a fun¸cão < ., . > definida acima
satisfaz as condi¸cões (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < ., . > é um porduto interno em Rn.
Outro exemplo importante é:

Exemplo 2.1.10 Seja C([a, b]; R) = {f : [a, b] → R; f cont´ınua em [a, b]}.
Pode-se mostrar que C([a, b]; R) munido das opera¸cões usuais de adi¸cão de fun¸cões e multi-
plica¸cão de número real por fun¸cão é um espa¸co vetorial.
Para isto basta mostrar que C([a, b]; R) é um subsepa¸co vetorial de B([a, b]; R) (a verifica¸cão
deste fato será deixado como exerc´ıcio para o leitor; lembremos que se f é cont´ınua em [a, b]
então f será limitada).
Considere a seguinte fun¸cão
< ., . >: C([a, b]; R) × C([a, b]; R) → R
dada por:
< f, g >
.
=
b
a
f(x)g(x) dx,
se f, g ∈ C([a, b]; R).
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que < ., . > definida acima satisfaz as
condi¸cões (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, é um produto interno em C([a, b]; R) .
Com isto temos uma cole¸cão de espa¸cos vetoriais normados (e portanto, de espa¸cos métricos),
a saber:
Exemplo 2.1.11 Seja (E, < ., . >) um espa¸co vetorial com produto interno.
Considere a fun¸cão
. : E → R
dada por
x
.
= < x, x >, (∗)
para x ∈ E.
Afirmamos que . é uma norma em E.
De fato:
1. Se x ∈ E e x = 0 então
x = < x, x >
(p4), <x,x>0
= 0,
isto é, vale (n1);
2. Se x ∈ E e λ ∈ R então
λx = < λx, λx >
[ (p1) e a observa¸cão (2.1.10) (*)]
= λ2 < x, x > =
√
λ2 < x, x > = |λ| x ,
isto é, vale (n2);
3. Nesta situa¸cão temos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a saber: se (E, < ., . >) espa¸co
vetorial com produto interno então para todo x, y ∈ E temos que
| < x, y > | ≤ x y .
De fato:
Se x = 0 valerá a igualdade, logo será verdadeira.

Se x = 0 podemos definir
λ
.
=
< x, y >
x 2
e z
.
= y − λx.
Observemos que
< z, x > =< y − λx, x >=< y, x > −λ < x, x >=< y, x > −
< x, y >
< x, x >
< x, x >
=< x, y > − < x, y >= 0,
(isto é, os vetores em questão são ortogonais).
Logo
y 2
=< y, y >=< z + λx, z + λx >=< z, z > +λ < z, x > +λ < x, z > +λ2
< x, x >
[<x,z>=<z,x>=0]
= z 2
+ λ2
x 2
.
Logo
λ2
x 2
≤ y 2
,
ou seja,
< x, y >
x 2
2
x 2
≤ y 2
,
isto é,
< x, y >2
≤ x 2
y 2
implicando a desigualdade acima, como quer´ıamos demonstrar.
4. Utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que
x + y 2
< x + y, x + y >=< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y >
= x 2
+ 2 < x, y > + y 2
≤ x 2
+ 2 x y + y 2
= ( x + y )2
,
inplicando que
x + y ≤ x + y ,
ou seja , vale (n3).
Com isto temos que . é uma norma em E.
5. Segue do item acima que a aplica¸cão d do exemplo (2.1.4) satisfaz a condi¸cão (d4), ou
seja, será uma métrica em Rn, como hav´ıamos afirmado.
1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima é uma norma que provém do
produto interno de E.
2. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial com produto interno pode tornar-se
um espa¸co vetorial normado (com a norma que provém do produto interno dado).

3. Pergunta-se:
Seja E um espa¸co vetorial normado.
Toda norma de E provém de um produto interno?
A resposta é negativa, isto é, existem espa¸cos vetoriais que possuem normas que não
provém de nenhum produto interno no espa¸co vetorial em questão.
No exerc´ıcio 5 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor é convidado a mostrar que em B(X; R) a
norma da convergência uniforme não provém de um produto interno.
Um outro exemplo pode ser obtido utilizando-se o item abaixo.
4. Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que: [Ex1.1 - +0.5]
Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
A norma . de E provém de um produto interno se, e somente se, temos que
x + y 2
+ x − y 2
= 2[ x 2
+ y 2
],
para tod x, y ∈ E, que é conhecida como lei do paralelogramo.
5. Logo a norma . em R2 não provém de um produto interno pois tomando-se x = (1, 0)
e y = (0, 1) temos que estes vetores não satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!).
6. Como conseqüência do que vimos acima todo espa¸co vetorial com produto interno é um
espa¸co métrico (basta tomar a métrica que provém da norma que é proveniente do produto
interno).
Para concluir a se¸cão temos o:
Exemplo 2.1.12 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) dois espa¸cos métricos.
Em M × N podemos considerar as seguinte fun¸cões
d, d , d : [M × N] × [M × N] → R
dadas por:
d(z, z )
.
= [dM (x, x )]2 + [dN (y, y )]2;
d (z, z )
.
= dM (x, x ) + dN (y, y );
d (z, z )
.
= max{dM (x, x ), dN (y, y )},
onde z = (x, y), z = (x , y ) ∈ M × N.
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d, d , d são metricas em M × N.
1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espa¸cos métricos.
Mais precisamente, se (M1, d1), (M2, d2), · · · , (Mn, dn) são n-espa¸cos métricos então pode-
mos definir as seguintes métricas no produto cartesiano M1 × M2 × · · · × Mn:

2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAÇOS MÉTRICOS 21
d(x, y)
.
= [d1(x1, y1)]2 + · · · + [dn(xn, yn)]2 =
n
j=1
[dj(xi, yi)]2;
d (x, y)
.
= d1(x1, y1) + · · · + dn(xn, yn) =
n
j=1
dj(xi, yi);
d (x, y)
.
= max{d1(x1, y1), · · · , dn(xn, yn)} = max
1≤j≤n
{dj(xi, yi)},
onde x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ M1 × M2 × · · · × Mn.
A verifica¸cão será deixcada como exerc´ıcio para o leitor.
2. A métrica d definida acima será dita métrica produto em M
.
= M1 × M2 × · · · × Mn.
A métrica d definida acima será dita métrica da soma em M
.
= M1 × M2 × · · · × Mn.
A métrica d definida acima será dita métrica do máximo em M
.
= M1 ×M2 ×· · ·×Mn.
3. De modo análogo ao feito na proposi¸cão (2.1.1) pode-se mostrar (será deixado como exer-
c´ıcio para o leitor) que para todo x, y, ∈ M1 × M2 × · · · × Mn temos
d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d (x, y) ≤ n d (x, y).
4. Quando M1 = M2 = · · · = Mn = R reobteremos o espa¸co euclideano Rn como produto
cartesiano de n cópias do esp¸cao métrico R.
14.08.2008 - 4.a
2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos métricos
Come¸caremos introduzindo a:
Defini¸cão 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e r > 0.
Definimos a bola aberta de centro em a e raio r, denotada por B(a; r) como sendo o
seguinte subconjunto de M:
B(a; r)
.
= {x ∈ M : d(x, a) < r}.
a
Qr
Definimos a bola fechada de centro em a e raio r, denotada por B[a; r] como sendo o
seguinte subconjunto de M:
B[a; r]
.
= {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}.

a
r
u
Definimos a esfera de centro em a e raio r, denotada por S(a; r) como sendo o seguinte
subconjunto de M:
S(a; r)
.
= {x ∈ M : d(x, a) = r}.
a
r
T
1. A bola aberta de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distância ao
ponto a é menor do que r.
A bola fechada de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distância ao
ponto a é menor ou igual do que r.
A esfera aberta de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distância ao
ponto a é igual r.
2. É fácil ver que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor)
B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r),
onde a reunião é disjunta, isto é, B(a; r) ∩ S(a; r) = ∅.
3. Se M = E é um espa¸co vetorial e a métrica d provém de uma norma . em E, então
segue que
B(a; r)
.
= {x ∈ E : x − a < r},
B[a; r]
.
= {x ∈ E : x − a ≤ r},
S(a; r)
.
= {x ∈ E : x − a = r}.
Temos o seguinte resultado:

Proposi¸cão 2.2.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, X ⊆ M um subsepa¸co (métrico) de M,
a ∈ X e r > 0.
Denotemos por BX(a; r) a bola aberta de centro em a e raio r em X.
Então
BX(a; r) = B(a; r) ∩ X,
onde B(a; r) é a bola aberta de centro em a e raio r em M.
Reciprocamente, dada a bola aberta de centro em a e raio r em M então B(a; r)∩X é a bola
aberta de centro em a e raio r em X, ou seja,
B(a; r) ∩ X = BX(a; r).
M
X
a
…r
©
BX (a; r)
B
B(a; r)
Demonstra¸cão:
Observemos que
BX(a; r) = {x ∈ X : dX(x, a) < r} = {y ∈ M : d(y, a) < r} ∩ X = B(a : r) ∩ X,
completando deste modo a demonstra¸cão do resultado.
De modo semelhante podemos provar a:
Proposi¸cão 2.2.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, X ⊆ M um subsepa¸co (métrico) de M,
a ∈ X e r > 0.
Denotemos por BX[a; r] e SX(a; r) a bola fechada e esfera de centro em a e raio r em X,
respectivamente.
Então
BX[a; r] = B[a; r] ∩ X, SX[a; r] = S(a; r) ∩ X
onde B[a; r], S(a; r) são a bola fechada e a esfera de centro em a e raio r em M, respectivamente.
Reciprocamente, dada a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em M então
B[a; r] ∩ X, ou S(a; r) ∩ X é a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em X,
respectivamente ou seja,
B[a; r] ∩ X = BX[a; r], S(a; r) ∩ X = SX[a; r].
Demonstra¸cão:
A demonstra¸cão será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Para ilustrar temos os seguintes exemplos:

Exemplo 2.2.1 Consideremos R2 com a métrica usual e X = S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 = 1}.
Seja a ∈ S1 e r > 0.
Da proposi¸cão (2.2.1) segue que BS1 (a; r) será um arco (sem os extremos) da circunferência
S1 cujo ponto médio (no arco) será o ponto a (vide figura abaixo).
E
T
x
y
ES1
a
T
r
W
BR2 (a : r)c
BS1 (a; r)
De modo semelhante, da proposi¸cão (2.2.2) segue que BS1 [a; r], SS1 (a; r) são o arco (com os
extremos) da circunferência S1 cujo ponto médio será o ponto a e os pontos extremos do mesmo
arco, respectivamente (vide figura abaixo).
E
T
x
y
ES1
a
T
r
W
BR2 [a : r]c
BS1 [a; r]
B
z
SS1 (a; r)
Exemplo 2.2.2 Sejam M = ∅ munido da métrica zero-um, a ∈ M e r > 0.

Então
Se r > 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[d(x,a)≤1<r]
= M,
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[d(x,a)≤1<r]
= M;
Se r < 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[r<1]
= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a},
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[r<1]
= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a};
Se r = 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[r<1]
= {a},
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[r=1]
= M,
Como conseqüência temos que
S(a, r) = B[a; r] B(a; r) = ∅, se r = 1, S(a; 1) = B[a; 1] B(a; 1) = M − {a}.
Exemplo 2.2.3 Sejam R com a métrica usual, a ∈ R e r > 0.
Então:
B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : |x − a| < r} = (a − r, a + r), ou seja, um intervalo aberto,
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : |x − a| ≤ r} = [a − r, a + r], ou seja, um intervalo fechado;
S(a, r) = B[a; r] B(a; r) = {a − r, a + r}, ou seja, os extremos do intervalo.
Geometricamente temos:
E
a
a + ra − r
Bola aberta de centro em a e raio r
E
a + ra − r a
Bola fechada de centro em a e raio r
E
a + r
a
a − r
Esfera de centro em a e raio r
Exemplo 2.2.4 Consideremos em R2 as métricas d, d , d definidas no exemplo (2.1.4).
Sejam a = (a1, a2) ∈ R2 e r > 0. Então:
B(a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d[(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: (x − a1)2 + (y − a2)2 < r}
= {(x, y) ∈ R2
: (x − a1)2
+ (y − a2)2
< r2
},
isto é, a região interior de um c´ırculo de centro no ponto a e raio r (veja figura abaixo).

a = (a1, a2)
Q
r
B (a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d [(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: |x − a1| + |y − a2| < r}
isto é, a região interior do quadrado de centro em a e cujas diagonais
são paralelas aos eixos coordenados (veja figura abaixo).
Observemos que
|x − a1| + |y − a2| = r se, e somente se,



x − a1 + y − a2 = r
−(x − a1) + y − a2 = r
−(x − a1) − (y − a2) = r
x − a1 − (y − a2) = r
que são as quatro retas que determinam o losango abaixo.
E
T
a = (a1, a2)
' x − a1 − y + a2 = r
' x − a1 + y − a2 = rE−x + a1 + y − a2 = r
E−x + a1 − y + a2 = r
(a1, a2 − r)
(a1 + r, a2)(a1 − r, a2)
(a1, a2 + r)
B (a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d [(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: max{|x − a1|, |y − a2|} < r}
= {(x, y) ∈ R2
: |x − a1| < r e |y − a2| < r} = (a1 − r, a1 + r) × (a2 − r, a2 + r)
isto é, a região interior do quadrado [a1 − r, a1 + r] × [a2 − r, a2 + r]) (veja figura abaixo).

a = (a1, a2)
E
T
a1 − r a1 + ra1
a2 − r
a2 + r
a2
Observa¸cão 2.2.2 Geometricamente, o exemplo (2.2.4) ilustra que uma bola (aberta ou fechada)
pode não corresponder ao que pensamos (por exemplo, uma bola ser um quadrado!).
Exemplo 2.2.5 Seja (B([a, b]; R)), d) onde d é a métrica do sup (veja exemplo (2.1.5)).
Sejam f ∈ B([a, b]; R)) e r > 0.
Observemos que g ∈ B(f; r) se, e somente se,
r > d(f, g) = sup
x∈[a,b]
|f(x) − g(x)|
que implicará
|f(x) − g(x)| < r, para todo x ∈ [a, b],
ou ainda,
f(x) − r < g(x) < f(x) + r, para todo x ∈ [a, b].
Geometricamente podemos interpretar isso da seguinte forma: encontremos a representa¸cão
gráfica do gráfico de f, isto é,
G(f)
.
= {(x, f(x)) : x ∈ [a, b]}.
Encontremos a faixa de amplitude 2r em torno do gráfico de f, isto é, o conjunto
F2r(f)
.
= {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f(x) − r < y < f(x) + r}.

T
E
G(f)
f(x)
x
c
T
T
c
r
r
F2r(f)

Deste modo, se g ∈ B(f; r) então o gráfico de g estará contido na faixa de amplitude 2r em
torno do gráfico de f, isto é, G(g) ⊆ F2r(f).
Geometricamente temos
T
E
G(f)
f(x)
x
c
T
T
c
r
r
G(g)
Observa¸cão 2.2.3 No exemplo acima, pode ocorrer de G(g) ⊆ F2r(f) e d(f, g) = r.
Para ver isto basta considerar f(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] e g(x) =
x, 0 ≤ x 1
0, x = 1
.
Neste caso
d(f, g) = sup
0≤x≤1
|f(x) − g(x)| = 1,
logo g ∈ B(f; 1) mas G(g) está contido em F2(f) (veja figura abaixo).

E
T
G(f)
G(g)
F2r(f)
A
Exemplo 2.2.6 Seja M
.
= {z = (x, y) ∈ R2 : z ≤ 1} subespa¸co (métrico) de R2 munido da
métrica usual.
Logo se r 1 temos que BM (0; r) = BM [0; r] = M e assim SM (0; r) = ∅.
Exemplo 2.2.7 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos métricos e M
.
= M1 × · · · Mn munido da
métrica do máximo (isto é, d da observa¸cão (2.1.12) itens 1. e 2.).
Sejam a = (a1, · · · , an) ∈ M e r 0.
Então
B(a; r) = {x ∈ M : d (x, a) r} = {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn : max
1≤i≤n
di(xi, ai) r}
= {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn : di(xi, ai) r, para todo i = i, · · · , n}
= {x1 ∈ M1 : d1(x1, a1) r} × · · · × {xn ∈ Mn : dn(xn, an) r}
= BM1 (a1; r) × · · · × BMn (an; r)
De modo semelhante (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) temos
B[a; r] = BM1 [a1; r] × · · · × BMn [an; r]
Logo acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano com a métrica
do máximo é o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do
produto cartesiano.
1. Se no exemplo acima mudarmos a métrica do máximo pela métrica produto ou pela métrica
da soma a afirma¸cão será falsa, isto é, uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano
pode não ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores
do produto cartesiano.
Como exerc´ıcio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-exemplo em R2.

2. Se considerarmos R3 como sendo o produto cartesiano de R2 × R onde R2 e R estão
munidos das correspondentes métricas euclieanas e tormarmos em R3 = R2 × R a métrica
d[(x, t), (x , t )]
.
= max{dR2 (x, x ), dR(t, t )},
onde (x, t), (x , t ) ∈ R2 × R então uma bola aberta, B(a; r) (ou fechadas) em R3 munido
da métrica d acima serão cilindros retos com base circular (contida no plano z = a), com
centro em a e raio r)e altura 2r.
De fato, pois se (A, a) ∈ R2 × R e r 0 então, do exemplo (2.2.7), segue que
BR2×R((A, a); r) = BR2 (A; r) × BR(a; r) = {(x, y) : x2
+ y2
r2
} × {t ∈ R : |t − a| r},
ou seja, o produto cartesiano do interior de um c´ırculo por um intervalo aberto que nos
dá, geometricamente, um cilindro reto com base circular.
T
B(0; r)
T
c
T
c
I
r
r
r
E
a
A verifica¸cão deste fato será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Temos a
Defini¸cão 2.2.2 Seja (M, d) um espa¸co métrico.
Diremos que um ponto a ∈ M é um ponto isolado de M se existir uma bola aberta de M
que contenha somente o ponto a, isto é, existe r 0 tal que B(a; r) = {a}.
1. Um ponto a ∈ M é isolado em M se existe r 0 tal que não existem pontos diferentes do
ponto a a uma distância menor que r do próprio ponto.
2. Um ponto a ∈ M não é ponto isolado de M se toda bola aberta centrada em a contém,
pelo menos, um ponto de M diferente do ponto a, isto é, para todo r 0 temos
[B(a; r) ∩ M] {a} = ∅.
Consideremos os

Exemplo 2.2.8 Seja (M, d) um espa¸co métrico onde d é a métrica zero-um.
Então todo ponto de M é ponto isolado de M.
De fato, se a ∈ M e 0 r ≤ 1 então vimos no exemplo (2.2.2) que B(a; r) = {a}, mostrando
que a é ponto isolado de M.
Exemplo 2.2.9 Seja Z o conjunto formado por todos os números reais inteiros munido da
métrica usual induzida de R.
Afirmamos que todo ponto de Z é ponto isolado de Z.
De fato, se n ∈ Z e 0 r ≤ 1 então B(n; r) ∩ Z = {n} (pois B(n; r) = {x ∈ Z : |x − n|
r ≤ 1} = {n}), mostrando que n ∈ Z é ponto isolado de Z.
Exemplo 2.2.10 Seja P
.
= {0, 1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } munido da métrica usual induzida de R.
Observemos que o ponto 0 ∈ P não é um ponto isolado de P.
De fato, dado r 0 existe n0 ∈ N tal que n0
1
r
.
Logo
d(
1
n0
, 0) = |
1
n0
− 0| =
1
n0
r,
isto é,
1
n0
∈ [B(0; r) ∩ P] {0},
ou seja, 0 não é ponto isolado de P.
Por outro lado, qualquer outro ponto de P é ponto isolado de P.
De fato, se
1
n
∈ P então o ponto mais próximo dele em P é o ponto
1
n + 1
, cuja distância
a
1
n
é
1
n(n + 1)
(pois d(
1
n
,
1
n + 1
= |
1
n
−
1
n + 1
| =
(n + 1) − n
n(n + 1)
=
1
n(n + 1)
).
Logo se tomarmos
0 r
1
n(n + 1)
temos que se x ∈ P e
d(x,
1
n
) r
1
n(n + 1)
temos que x =
1
n
, ou seja,
[B(
1
n
; r) ∩ P] {
1
n
} = ∅,
mostrando que
1
n
é ponto isolado de P.
1
n
1
n−1
1
n+1
E'
1
n(n+1)
E' 1
(n−1)n
Observa¸cão 2.2.6 Se P
.
= {1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } munido da métrica usual induzida de R então,
segue do exemplo acima, que todo ponto de P é um ponto isolado de P.

Exemplo 2.2.11 Seja E um espa¸co vetorial normado com E = {0}.
Afirmamos que nenhum ponto de E é ponto isolado de E.
De fato, dado a ∈ E, para todo r 0 mostremos que
[B(a; r) ∩ E] {a} = ∅.
Para mostrar isso, consideremos y ∈ E, y = 0.
Logo o vetor
z
.
=
r
2 y
y
é diferente do vetor 0 e
z =
r
2 y
y =
r
2 y
y =
r
2
,
logo
0 z r.
Seja x
.
= a + z.
Então x = a (pois z = 0) e
x − a = z r,
ou seja,
x ∈ B(a; r) ∩ E e x = a,
mostrando que x ∈ [B(a; r) ∩ E] {a}, isto é,
[B(a; r) ∩ E] {a} = ∅.
Portanto todo ponto de E não é ponto isoldado de E.
~
a
r
By
b
x
.
= a + r
2 y
y
19.08.2008 - 5.a
Temos a
Defini¸cão 2.2.3 Diremos que um espa¸co métrico (M, d) é discreto se todo ponto de M é um
ponto isolado de M.
Exemplo 2.2.12 O exemplo (2.2.9) mostra que Z com a métrica usual induzida de R é um
espa¸co métrico discreto.

Exemplo 2.2.13 A observa¸cão (2.2.6) mostra que P = {1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } com a métrica
usual induzida de R é um espa¸co métrico discreto.
Exemplo 2.2.14 Seja M um conjunto não vazio e d a métrica zero-um em M.
Então (M, d) é um espa¸co métrico discreto, pois se a ∈ M então para 0 r ≤ 1 temos, do
Exemplo (2.2.2), que B(a; r) = {a}, ou seja todo ponto de M é ponto isolado de M, portanto
M é um espa¸co métrico discreto.
Diremos que um subconjunto X ⊆ M é discreto se X como subsepa¸co (métrico) de M for
um espa¸co métrico discreto.
Observa¸cão 2.2.7 Na situa¸cão acima, X é um espa¸co métrico discreto se, e somente se, para
cada x ∈ X existe r 0 tal que B(x; r) ∩ X = {x} (pois, da proposi¸cão (2.2.1) temos que
B(x; r) ∩ X = BX(x; r)).
Exerc´ıcio 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico e X um subconjunto finito de M.
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que X é um subconjunto discreto de M.
Para finalizar a se¸cão temos a:
Proposi¸cão 2.2.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico, a, b ∈ M com a = b.
Consideremos r, s 0 tais que
r + s ≤ d(a, b).
Então as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) são disjuntas (veja figura abaixo), isto é,
B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅.
a
b
E '
r
s
E'
d(a, b) r + s
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B(a; r) ∩ B(b; s).
Logo
d(a, x) r e d(b, x) s.
Portanto
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) r + s ≤ d(a, b),
ou seja, d(a, b) d(a, b), o que é um absurdo.
Logo
B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅

como quer´ıamos mostrar.
De modo semelhante temos a:
Proposi¸cão 2.2.4 Na situa¸cão da proposi¸cão acima, se
r + s d(a, b)
então as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] são disjuntas , isto é,
B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅.
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B[a; r] ∩ B[b; s].
Logo
d(a, x) ≤ r e d(b, x) ≤ s.
Portanto
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ r + s d(a, b),
ou seja, d(a, b) d(a, b), o que é um absurdo.
Logo
B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅
2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos métricos
Iniciaremos com a
Diremos que um subconjunto X ⊆ M, não vazio, é limitado em M se existir c 0 tal que
d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.
Observa¸cão 2.3.1 Se X ⊆ M é limitado em M então podemos considerar o conjunto
D
.
= {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X} ⊆ R.
Como X é limitado em M segue que D é não vazio e limitado superiormente (ou seja, existe
c ∈ R tal que c ∈ D).
Como todo subconjunto limitado superiormente em R admite supremo, segue que existe
0 ≤ sup D ∞.
Logo podemos introduzir a
Defini¸cão 2.3.2 Na situa¸cão acima, sup D será denominado diâmetro de X e indicado por
diam(X), ou seja,
diam(X) = sup{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para x, y ∈ X}.

2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAÇOS MÉTRICOS 35
1. Se X ⊆ M não for limitado em M escreveremos
diam(X)
.
= ∞.
Isto significa que para todo c 0 existem xc, yc ∈ X tal que d(xc, yc) c.
2. Se X ⊆ M for limitado então
d(x, y) ≤ diam(X), para todo x, y, ∈ X.
3. É fácil mostrar que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se X ⊆ M for limitado
em M e Y ⊆ X então Y ⊆ M é limitado em M e
diam(Y ) ≤ diam(X).
Consideremos alguns exemplos
Exemplo 2.3.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico.
Então toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) é subconjunto limitado de M e seu diâmetro
é menor ou igual ao dobro do seu raio.
De fato, seja a ∈ M e r 0.
Se x, y ∈ B(a; r) então
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r
mostrando que B(a; r) é um subconjunto limitado de M.
Além disso segue que 2r é um limitante superior do conjunto
{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ B(a; r)}.
Portanto
diam[B(a; r)] ≤ 2r,
como afirmamos acima.
Vale o análogo para a bola fechada B[a; r] e para a esfera S(a; r) (será deixado como exerc´ıcio
para o leitor).
Observa¸cão 2.3.3 Em geral, não podemos garantir que o diâmetro da bola aberta (ou fechada,
ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos Z com a métrica usual induzida de R, r = 1 e n ∈ Z.
Como vimos no Exemplo (2.2.9) temos que B(n; 1) = {n} cujo diâmetro é zero (que é menor
que 2).
Quando vale a igualdade?
O exemplo a seguir responde esta questão:
Exemplo 2.3.2 Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E = {0}.
Afirmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diâmetro igual ao dobro do raio
da mesma, isto é,
diam(B(a; r)) = 2r (ou diam(B[a; r]) = 2r, diam(S(a; r)) = 2r).

De fato, sejam a ∈ E e r 0.
Sabemos que B(a; r) é um subconjunto limitado de E e que diam[B(a; r)] ≤ 2r.
Mostremos que se 0 s 2r então s não poderá ser pode ser diâmetro de B(a; r), ou seja,
existem x1, y1 ∈ B(a; r) tal que d(x1, y1) s.
Consideremos y ∈ E tal que y = 0 e seja t ∈ R tal que
s 2t 2r, ou seja, 0
s
2
t r.
Observemos que o vetor
x
.
=
t
y
y ∈ E
tem a seguinte propriedade:
x =
t
y
y = t
y
y
= t,
ou seja, x = t r.
Afirmamos que os vetores
x1
.
= a + x, x2
.
= a − x ∈ B(a; r).
De fato,
d(a + x, a) = (a + x) − a = x = t r
e, de modo semelhante, temos
d(a − x, a) = (a − x) − a = − x = x = t r.
Além disso
d(a + x, a − x) = (a + x) − (a − x) = 2x = 2 x = 2t s,
ou seja, d(x1, y1) s.
Logo todo s ∈ (0, 2r) não poderá ser o diâmetro da bola aberta B(a; r).
Geometricamente temos
a
u
r

y

©
x1 = a + t y
y
y1 = a − t y
y
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor o
Exerc´ıcio 2.3.1 Mostrar que, na situa¸cão acima, temos
diam[B[a; r]] = 2r e diam[S(a; r)] = 2r.

1. Dado um espa¸co métrico qualquer (mesmo sendo não limitado) podemos considerar subes-
pa¸cos (métricos) do mesmo que sejam limitados.
Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a métrica induzida do
espa¸co métrico dado neste subconjunto.
2. Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E = {0}.
Então E não é limitado.
De fato, consideremos x ∈ E, x = 0 e definamos, para cada n ∈ N,
xn
.
=
2n
x
x.
Observemos que
xn =
2n
x
x = 2n
x
x
= 2n n,
logo
d(xn, 0) = xn − 0 = xn n,
mostrando que E não é limitado.
3. Seja (M, d) um espa¸co métrico.
Vale observar que um subconjunto X ⊆ M é limitado em M se, e somente se, X está
contido em alguma bola aberta de M, isto é, existe a ∈ M e r 0 tal que X ⊆ B(a; r).
De fato, se existe a ∈ M e r 0 tal que X ⊆ B(a; r) então para todo x, y ∈ X temos que
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r,
ou seja, X é limitado (e seu diâmentro é menor ou igual a 2r).
Reciprocamente, se X é limitado em M então existe c 0 tal que
d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.
Consideremos x0 ∈ X.
Temos que
d(x, x0) ≤ c para todo x ∈ X,
assim se X ⊆ B(x0; c), ou seja X está contido em uma bola aberta de M, como quer´ıamos
mostrar.
Temos a
Proposi¸cão 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X, Y ⊆ M limitados em M.
Então X ∪ Y e X ∩ Y são limitados em M.

Demonstra¸cão:
Observemos que X ∩ Y ⊆ X e como X é limitado em M segue, da Observa¸cão (2.3.2) item
3., que X ∩ Y também será limitado em M.
Se X = ∅ ou Y = ∅ segue que X ∪ Y = Y ou X ∪ Y = X, respectivamente, implicando que
X ∪ Y é limitado.
Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X, Y = ∅.
Como X, Y são limitados em M existem c, d 0 e a, b ∈ M tais que
d(x, a) ≤ c e d(y, b) ≤ d
para todo x ∈ X e y ∈ Y .
Considere
k
.
= c + d + d(a, b) 0.
Logo se x ∈ X e y ∈ Y temos que
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ c + d(a, b) + d = k.
Portanto se x, y ∈ X ∪ Y temos que:
Se x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ c k
Se x, y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ c k
Se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ k,
ou seja, d(x, y) ≤ k para todo x, y ∈ X ∪ Y , mostrando que X ∪ Y é limitado em M.
Como conseqüência temos o:
Corolário 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X1, X2, · · · , Xn ⊆ M limitados em M.
Então X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn e X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn são limitados em M.
Demonstra¸cão:
Utiliza-se indu¸cão matemática e a proposi¸cão acima (será deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Como outra conseqüência imediata temos que
Corolário 2.3.2 Seja (M, d) espa¸co métrico. Todo subconjunto finito de M é limitado.
Demonstra¸cão:
Basta observar que se X é um subconjunto finito de M ele será uma reunião finita dos
conjuntos formados por cada um dos seus pontos e como o conjunto formado por um ponto é
limitado segue, do corolário acima, que X será limitado em M.
Nota¸cão 2.3.1 Dada uma fun¸cão f : X → Y denotaremos seu conjunto imagem por f(X),
isto é,
f(X)
.
= {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.
Podemos agora introduzir a

Defini¸cão 2.3.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X um subconjunto não vazio.
Diremos que uma fun¸cão f : X → M é limitada em X se seu conjunto imagem, f(X), for
um subconjunto limitado de M.
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 2.3.3 Seja R com a métrica usual e f : R → R dada por
f(x)
.
=
1
1 + x2
, x ∈ R.
Observemos que |f(x)| ≤ 1, para todo x ∈ R, logo f é uma fun¸cão limitada (neste caso temos
f(R) = (0, 1]).
A figura abaixo nos dá o gráfico de f.
E
T
G(f)
1
Exemplo 2.3.4 Na situa¸cão acima se considerarmos g : R → R dada por g(x)
.
= x2 para x ∈ R
temos que g(R) = [0, ∞) logo não será um subconjunto limitado de R, mostrando que a fun¸cão
g não será uma fun¸cão limitada.
A figura abaixo nos dá o gráfico de g.
E
T
G(g)
Exemplo 2.3.5 Se a métrica d em Rn provém de uma norma de Rn então d não é uma fun¸cão
limitada.
De fato, da Observa¸cão (2.3.4) item 2. temos que Rn não é limitado, logo
d(Rn
, Rn
) = [0, ∞) ⊆ R
não poderá ser um subconjunto limitado de R, logo a fun¸cão d não será uma fun¸cão limitada.

Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.5) por meio do
Exemplo 2.3.6 Sejam X um conjunto não vazio e (M, dM ) um espa¸co métrico.
Indiquemos por B(X; M) o conjunto de todas as fun¸cões limitadas definidas em X e tomando
valores em M, isto é,
B(X; M)
.
= {f : X → M : f é limitada em X}.
Dadas f, g ∈ B(X; M) temos que o conjunto
{dM (f(x), g(x)) : x ∈ X}
é limitado em R.
De fato, como f e g são limitadas segue que f(X) e g(X) são subconjuntos limitados em M.
Logo da Proposi¸cão (2.3.1) segue que f(X) ∪ g(X) é um subconjunto limitado em M, ou
seja, {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} é limitado em R, portanto admite supremo.
Logo, dadas f, g ∈ B(X; M), podemos definir
d(f, g)
.
= sup
x∈X
{dM (f(x), g(x))}.
Pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que d é uma métrica em B(X; M)
que é denominada métrica da convergência uniforme ou métrica do sup.
1. Na situa¸cão acima podemos considerar o conjunto F(X; M) formado por todas as fun¸cões
definidas em X com valores em M.
Neste caso a métrica do sup não tem sentido em F(X; M) pois existem fun¸cões f, g : X →
M tais que o conjunto {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} não é limitado em R (logo não poderemos
considerar o supremo desse conjunto).
Nesta situa¸cão podemos decompor F(X; M) como uma reunião de espa¸cos métricos nos
quais podemos introduzir a métrica do sup.
Para mais detalhes ver [1] pag. 15.
2. Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
Pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se f, g ∈ B(X; E) e λ ∈ R
então (f +g) ∈ B(X; E) e λf ∈ B(X; E), ou seja, B(X; E) tornar-se-á um espa¸co vetorial
sobre R.
Neste caso a métrica da convergência uniforme em B(X; E) provém da seguinte norma de
B(X; E):
f
.
= sup
x∈X
f(x) E, f ∈ B(X; E),
que é denominada norma da convergência uniforme ou do sup.
De fato, pois
d(f, g) = sup{dE(f(x), g(x)) : x ∈ X} = sup
x∈X
f(x) − g(x)) .

2.4. DIST ÂNCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAÇO MÉTRICO41
2.4 Distância de um ponto a um subconjunto em um espa¸co
métrico
Observa¸cão 2.4.1 Como motiva¸cão consideremos o seguinte caso:
Em um plano consideremos X uma reta e a um ponto que não pertence à reta X.
Consideremos x0 ∈ X o pé da perpendicular à reta X que contém o ponto a (vide figura
abaixo).
x0
a
X
Seja x ∈ X tal que x = x0.
Então aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ∆ax0x (veja figura abaixo)
obtemos
[d(a, x)]2
= [d(a, x0)]2
+ [d(x0, x)]2
.
x0
a
X
x
Em particular temos que d(a, x) ≥ d(a, x0) para todo x ∈ X, ou seja, x0 é o ponto mais
próximo do ponto a que pertence à reta X.
Deste modo podemos escrever
d(a, x0) = inf
x∈X
{d(a, x)}.
Podemos generalizar este fato, para isto observemos que se (M, dM ) um espa¸co métrico, X ⊆ M
não vazio e a ∈ M então o conjunto {dM (x, a) : x ∈ X} ⊆ R é limitado inferiormente por 0
(pois dM (a, x) ≥ 0).
Logo admite ´ınfimo, assim temos a:
Defini¸cão 2.4.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico, X ⊆ M, não vazio e a ∈ M.
Definimos a distância do ponto a ao conjunto X, indicada por d(a, X), como sendo
d(a, X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}.

21.08.2008 - 6.a
1. Das propriedades de ´ınfimo temos:
(a) Para todo x ∈ X temos que
d(a, X) ≤ d(a, x)
(isto é, d(a, X) é um limitante inferior do conjunto {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ R);
(b) Se d(a, X) c então existe x ∈ X tal que d(a, x) c (isto é, d(a, X) é o maior dos
limitantes inferiores).
2. Para todo x ∈ X temos que d(a, x) ≥ 0 logo
d(a, X) ≥ 0.
3. Observemos que se a ∈ X então
d(a, X) = 0.
De fato, se a ∈ X então 0 = d(a, a) ∈ {d(a, x) : x ∈ X}.
4. Além disso, se X ⊆ Y então
d(a, Y ) ≤ d(a, X).
Lembremos que se A ⊆ B então inf B ≤ inf A (*) (será deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Logo, se X ⊆ Y então {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ {d(y, a) : y ∈ Y }, assim de (*) temos que
d(a, Y ) = inf{d(y, a) : y ∈ Y } ≤ inf{d(x, a) : x ∈ X} = d(a, X),
5. Se d(a, X) = 0 isto não implica, necessariamente, que a ∈ X como vereremos em exemplos
a seguir.
O que podemos afirmar é que:
d(a, X) = 0 se, e somente se, dado ε 0 existe x ∈ X tal que d(a, x) ε.
6. Vale observar que, em geral, não podemos substituir o ´ınfimo na defini¸cão acima pelo
m´ınimo, isto é, pode não existir um ponto em x0 ∈ X de tal modo que
d(a, X) = d(a, x0),
como veremos em exemplos a seguir.
A seguir consideraremos alguns exemplos.
Exemplo 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e X = {x1, x2, · · · , xn} um subconjunto
finito de M.
Então
d(a, X) = inf{d(a, x) : x ∈ X}
[conjunto finito]
= inf
1≤i≤n
{d(a, xi)}
[conjunto finito]
= min
1≤i≤n
{d(a, xi)}.

Exemplo 2.4.2 Seja R2 como a métrica usual e S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} a circun-
ferência unitária de centro na origem e raio 1.
Então se z = (x, y) ∈ S1 e 0 = (0, 0) temos que
d(0, z) = (x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y2 = 1,
ou seja, d(0, S1) = 1 (veja figura abaixo).
E
T
x
y
z = (x, y)
0 = (0, 0)
d(0, z) = 1
S1
‚
Exemplo 2.4.3 Seja R munido da métrica usual e X = (a, b) (= B(a + b−a
2 ; b−a
2 )).
Então temos que
d(a, X) = d(b, X) = 0.
Podemos provar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:
Proposi¸cão 2.4.1 Sejam E um espa¸co vetorial normado, a ∈ E e r 0.
Então dado b ∈ E,
d(b, B(a; r)) = 0 se, e somente se, b ∈ B[a; r].
Demonstra¸cão:
(⇐=)
Suponhamos que b ∈ B[a; r], ou seja, b − a ≤ r.
Se tivermos b − a r seguirá que b ∈ B(a; r), logo d(b, B(a; r)) = 0.
Afirma¸cão: se b − a = r 0 então dado ε 0 afirmamos que existe x ∈ B(a; r) tal que
d(b, x) ε.
De fato, definamos
u
.
=
1
r
(b − a) ∈ E.
Segue que
u =
1
r
(b − a) =
1
r
b − a =
1
r
r = 1.
Escolhamos t ∈ (r − ε, r), assim 0 r − t ε.
Consideremos
x
.
= a + t.u ∈ E.

Temos que
d(x, a) = x − a = (a + t.u) − a = |t| u
[ u =1]
= t r,
ou seja, x ∈ B(a; r).
Além disso, temos
d(x, b) = b − x = b − (a + t.u) = (b − a) − t.u
[b−a=r.u]
= r.u − t.u = |r − t| u
[ u =1]
= r − t ε,
logo concluimos a prova da afirma¸cão acima. (veja figura abaixo).
b
a
b
!ε
“
r
x = a + tu
o
Logo dado ε 0 existe x ∈ B(a; r) tal que 0 ≤ d(b, x) ε, ou seja,
0 ≤ d(b, B(a; r)) ≤ d(b, x) ε,
isto é,
d(b, B(a; r)) = inf{d(b, x) : x ∈ B(a; r)} = 0.
(=⇒)
Reciprocamente, suponhamos que d(b, B(a; r)) = 0.
Seja p ∈ E tal que p ∈ B[a; r].
Afirmamos que d(p, B(a; r)) 0.
De fato, como p ∈ B[a; r] temos que
p − a r, logo p − a = r + c
para algum c 0.
Se x ∈ B(a; r) temos que x − a r e como
p − a ≤ p − x + x − a
segue que
d(p, x) = p − x ≥ p − a − x − a = (r + c) − x − a (r + c) − r = c,
ou seja, c é um limitante inferior do subconjunto
{d(p, x) : x ∈ B(a; r)} ⊆ R.
Como d(p, B(a; r)) é o ´ınfimo do conjunto acima segue que
d(p, B(a; r)) ≥ c 0,
concluindo a prova da afirma¸cão (veja figura abaixo).

T
a
p
T
r
c
Como d(b, B(a; r)) = 0, da afirma¸cão, segue que b ∈ B[a; r], como quer´ıamos demonstrar.
Observa¸cão 2.4.3 Em particular a afirma¸cão acima nos diz que podemos ter b ∈ E com
d(b, X) = 0 e b ∈ X (onde X = B(a; r)), como afirmamos anteriormente.
Temos a:
Proposi¸cão 2.4.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, a, b ∈ M e X ⊆ M não vazio. Então
|d(a, X) − d(b, X)| ≤ d(a, b).
A figura abaixo ilustra o resultado
X
d(a, X)
d(b, X)
d(a, b)
a
b
Demonstra¸cão:
A desigualdade acima é equivalente a
−d(a, b) ≤ d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b).
Observemos que para todo x ∈ X temos que
d(a, X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x),

ou seja,
d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, x),
ou ainda, o número real
d(a, X) − d(a, b)
é um limitante inferior do subconjunto {d(b, x) : x ∈ X} ⊆ R.
Da defini¸cão de ´ınfimo segue
d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, X), isto é, d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). (∗)
Observemos que para todo x ∈ X temos que
d(b, X) ≤ d(b, x) ≤ d(b, a) + d(a, x),
ou seja,
d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, x)
ou ainda, o número real
d(b, X) − d(a, b)
é um limitante inferior do subconjunto {d(a, x) : x ∈ X} ⊆ R.
Da defini¸cão de ´ınfimo segue
d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, X), isto é, d(a, X) − d(b, X) ≥ −d(a, b). (∗∗)
De (*) e (**) segue a desiguladade e a conclusão da prova.
Como conseqüência temos o
Corolário 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico e a, b, x ∈ M. Então
|d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(a, b).
Demonstra¸cão:
Basta considerar X
.
= {x} na proposi¸cão acima e verificar que d(a, {x}) = d(a, x).
2.5 Distância entre dois subconjuntos de um espa¸co métrico
Temos a
Defini¸cão 2.5.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e X, Y ⊆ M não vazios.
Definimos a distância entre os conjuntos X e Y , indicada por d(X, Y ), como sendo
d(X, Y )
.
= inf{d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.
Consideremos o
Exemplo 2.5.1 Consideremos R com a métrica usua, X = (−∞, 0) e Y = (0, ∞).
Então dada ε 0 existem x ∈ X e y ∈ Y tal que
d(x, y) ε, ou seja, d(X, Y ) = 0.
Observemos que X ∩ Y = ∅ e mesmo assim d(X, Y ) = 0.

2.6. IMERS ÕES ISOMÉTRICAS E ISOMETRIAS ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS 47
Observa¸cão 2.5.1 Se (M, d) é um espa¸co métrico e X, Y ⊆ M não vazios então:
1. Se X ∩ Y = ∅ então d(X, Y ) = 0;
2. Observemos que
d(X, X) = 0 e d(X, Y ) = d(Y, X).
3. Pode ocorrer de d(X, Y ) = 0 e X ∩ Y = ∅.
Deixaremos para o leitor encontrar um exemplo onde isto ocorre.
2.6 Imersões isométricas e isometrias entre espa¸cos métricos
Come¸caremos pela
Defini¸cão 2.6.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é um imersão isométrica de M em N se
dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.
No caso acima diremos que a fun¸cão f preserva as distâncias de M e N, respectivamente.
Observa¸cão 2.6.1 Na situa¸cão acima se f : M → N é uma imersão isométrica temos que f é
injetora.
De fato, se f(x) = f(y) então
dM (x, y) = dN (f(x), f(y)) = 0,
logo x = y, mostrando que f é injetora.
Com isto temos a:
Defini¸cão 2.6.2 Um imersão isométrica que é sobrejetora será denomiada isometria de M
em N.
1. Na situa¸cão acima f : M → N é ums isometria se, e somente se, f preserva as distâncias
de M e N e for sobrejetora.
2. Em particular se f : M → N é isometria então f é bijetora.
Logo admite fun¸cao inversa f−1 : N → M e esta também é uma isometria.
De fato, pois se w, z ∈ N temos que existe x, y ∈ M tal que z = f(x) e w = f(y) (pois f
é sobrejetora) assim
dM (f−1
(z), f−1
(w)) = dM (f−1
(f(x)), f−1
(f(y))) = dM (x, y)
[f é isometria]
= dN (f(x), f(y)) = dN (z, w),
mostrando que f−1 preserva as distâncias de N e M.

3. Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos métricos e f : M → N, g : N → P imersões
isométricas de M em N e de N em P, respectivamente.
Então (g ◦ f) : M → P é uma imersão isométrica de M em P.
De fato, se x, y ∈ M temos que
dP ((g ◦ f)(x), (g ◦ f)(y)) = dP (g(f(x)), g(f(y)))
[g preserva distâncias]
= dN (f(x), f(y))
[f preserva distâncias]
= dM (x, y),
mostrando que g ◦ f preserva as distâncias de M e P.
4. Como conseqüência temos que composta de isometrias também será uma isometria entre
os respectivos espa¸cos métricos.
5. Toda imersão isométrica f : M → N define uma isometria de M sobre f(M) (pois neste
caso f : M → f(M) será sobrejetora e continuará a preservar as distâncias de M e N).
Com isto temos a:
Defini¸cão 2.6.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Diremos que M e N são isométricos se existir uma isometria de M em N e neste caso
escreveremos M ∼ N.
Observa¸cão 2.6.3 1. Temos que M ∼ M (basta considerar a identidade de M em M);
2. Se M ∼ N então N ∼ M (pois, como vimos na Observa¸cão (2.6.2) item 2., a inversa de
uma isometria é uma isometria);
3. Se M ∼ N e N ∼ P então M ∼ P (pois, como vimos na Observa¸cão (2.6.2) item 3., a
composta de isometrias é uma isometria).
4. Os três itens acima nos dizem que ∼ é uma rela¸cão de equivalência no conjunto formado
por todos os espa¸cos métricos (isto é, ∼ satisfaz as propriedades: reflexiva, simétrica e
transitiva).
5. Se existir uma imerão isométrica f : M → N então temos que M ∼ f(M) (pois a fun¸cão
f : M → f(M) será sobrejetora e preservará as distâncias de M e f(M)).
26.08.2008 - 7.a
6. Sejam X um subconjunto não vazio, (M, dM ) um espa¸co métrico e f : X → M uma fun¸cão
injetora.
Nosso objetivo é introduzir uma métrica em X de tal modo que a fun¸cão f torne-se uma
imersão isométrica de X e M.
Para isto definamos
dX : X × X → R
por
dX(x, y)
.
= dM (f(x), f(y)), x, y ∈ X.
É fácil verificar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que dX é uma métrica em
X (precisamos usar do fato que f é injetora!) e deste modo a fun¸cão f tornar-se-á uma
imersão isométrica de (X, dX) em (M, dM ).

Podemos mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que a métrica dX em X é a
única métrica que torna f uma imersão isométrica de X em M.
Com isto temos a:
Defini¸cão 2.6.4 Na situa¸cão acima diremos que a métrica dX é a métrica induzida por f
em X.
Observa¸cão 2.6.4 Um caso particular da situa¸cão acima é quando X ⊆ M, não vazio onde
(M, dM ) é um espa¸co métrico.
Neste caso se considerarmos a aplica¸cão inclusão
i : X → M dada por i(x)
.
= x, para x ∈ X,
temos que a fun¸cão i é injetora.
Logo podemos considerar em X a métrica induzida pela fun¸cão i que coincidirá com a métrica
induzida de M em X (pois dX(x, y) = dM (i(x), i(y)) = dM (x, y), para todo x, y ∈ X).
A seguir consideraremos alguns exemplos.
Exemplo 2.6.1 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.
Sejam a, u ∈ Rn tal que u = 1.
Consideremos a fun¸cão f : R → Rn dada por
f(t)
.
= a + t u, t ∈ R.
Afirmamos que f é um imersão isómétrica de R em Rn.
De fato, se t, s ∈ R temos que
dRn (f(t), f(s)) = f(t) − f(s) = (a + t u) − (a + s u) = (t − s) u
= |t − s| u
[ u =1]
= |t − s| = dR(t, s),
mostrando que a fun¸cão f preserva as distâncias de R e Rn.
1. Observemos que o gráfico de f é a reta que passa pelo ponto a = a ∈ Rn e tem a dire¸cão
do vetor unitário u ∈ Rn.
Em particular, f não é uma isometria de R em Rn se n = 1 (pois, neste caso, não é
sobrejetora).
2. Se n = 1 então f será isometria de R em R (isto será deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Exemplo 2.6.2 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn e a ∈ Rn.
Afirmamos que a fun¸cão f : Rn → Rn dada por
f(x)
.
= x + a, x ∈ Rn
,
é uma isometria de Rn em Rn.

De fato, se x, y ∈ Rn então
d(f(x), f(y)) = f(x) − f(y) = (x + a) − (y + a) = x − y = d(x, y),
mostrando que f preserva a distância em Rn (ou seja, é uma imersão isométrica de Rn em Rn).
Além disso f(Rn) = Rn pois se y ∈ Rn se tomarmos
x
.
= y − a
segue que
f(x) = x + a = (y − a) + a = y,
ou seja, f é sobrejetora, ou seja, f é uma isometria de Rn em Rn.
Com isto temos a
Defini¸cão 2.6.5 A fun¸cão f acima definida será denominada transla¸cão pelo vetor a.
Exemplo 2.6.3 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.
Afirmamos que a fun¸cão f : Rn → Rn dada por
f(x)
.
= −x, x ∈ Rn
,
é uma isometria em Rn.
De fato, se x, y ∈ Rn então
d(f(x), f(y)) = f(x) − f(y) = (−x) − (−y) = − x + y = x − y = d(x, y),
mostrando que f preserva a distância em Rn (ou seja, é uma imersão isométrica de Rn em Rn).
Além disso f(Rn) = Rn pois se y ∈ Rn se tomarmos
x
.
= −y
segue que
f(x) = x = −(−y) = y,
ou seja, f é sobrejetora, isto é, f é uma isometria de Rn em Rn.
Com isto temos a
Defini¸cão 2.6.6 A fun¸cão f acima definida será denominada reflexão em torno da origem
de Rn.
1. Observemos que na situa¸cão acima, dados a, b ∈ Rn existe uma isometria f : Rn → Rn tal
que f(b) = a (basta considerar a transla¸cão f(x)
.
= x + (a − b)).
2. Podemos substituir o Rn por um espa¸co vetorial normado qualquer que os exemplos acima
continuarão válidos neste novo contexto.

Exemplo 2.6.4 Consideremos C o conjunto formado pelo números complexos munido da métrica
induzida pelo valor absoluto de um número complexo (isto é, se z = a+bi então z = x2 + y2
e assim a métrica será d(z1, z2) = z1 − z2 , z1, z2 ∈ C).
Sejam u ∈ C tal que u = 1 e a fun¸cão
f : C → C
dada por
f(z)
.
= u.z,
para z ∈ C (onde . é a multiplica¸cão de números complexos).
Afirmamos que f é uma isometria.
De fato, f é imersão isométrica em C, pois
d(f(z1), f(z2)) = f(z1) − f(z2) = u.z1 − u.z2 = u.(z1 − z2)
= u z1 − z2
[ u =1]
= z1 − z2 = d(z1, z2),
mostrando que f preserva a distância em C.
Além disso, se w ∈ C consideremos
z
.
=
w
u
∈ C.
Logo
f(z) = u.z = u.
w
u
= w,
mostrando que f é sobrejetora, portanto uma isometria de C em C.
Observa¸cão 2.6.7 A aplica¸cão f do exemplo acima é uma rota¸cão (no sentido horário) de um
ângulo θ =
π
2
se u = i e θ = arctg(
b
a
) se u = a + bi, se a = 0 (veja figura abaixo).
E
T C
z
f(z) = u.z
θ
Finalizaremos esta se¸cão com a
Proposi¸cão 2.6.1 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico limitado.
Então existe uma imersão isométrica ϕ : M → B(M; R), onde em B(M; R) consideraremos
a métrica induzida pela norma da convergência uniforme.

Demonstra¸cão:
Definamos ϕ : M → B(M; R) por
ϕ(x)
.
= dx,
onde dx : M → R é dada por
dx(y)
.
= dM (x, y)
(ou seja, a distância ao ponto x).
Como M é limitado segue que dx ∈ B(M; R), ou seja ϕ está bem definida.
Mostremos que ϕ preserva as ditâncias de M e B(M; R).
Observemos que se x, x , y ∈ M então
|dx(y) − dx (y)| = |d(x, y) − d(x , y)|
[corolário (2.4.1)]
≤ dM (x, x ),
assim
dB(M;R)(ϕ(x), ϕ(x )) = ϕ(x) − ϕ(x ) = dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)|≤dM (x, x ).
Por outro lado, se tomarmos y = x temos que
|dx(y) − dx (y)| = |dM (x, y) − dM (x , y)|
[y=x ]
= |dM (x, x ) − dM (x , x )| = dM (x, x ).
Logo
dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)|≥dM (x, x ),
portanto
dB(M; R)(dx, dx ) = dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)| = dM (x, x ),
ou seja, ϕ preserva as distâncias de M e de B(M; R).
1. Pode-se provar um resultado análogo ao exibido acima retirando-se a hipótese de M ser
limitado.
Uma demonstra¸cão para esse fato pode ser encontrada em [1] pag. 20.
2. O resultado acima garante que todo espa¸co métrico pode ser imerso, isometricamente, em
um espa¸co vetorial normado.

Cap´ıtulo 3
Fun¸cões Cont´ınuas Definidas em
Espa¸cos Métricos
3.1 Defini¸cão de fun¸cão cont´ınua em espa¸cos métricos e exem-
plos
Temos a:
Defini¸cão 3.1.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M.
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é cont´ınua no ponto a se dado ε 0 existir
δ = δ(ε, a) 0 tal que
dM (x, a) δ implicar dN (f(x), f(a)) ε.
f(a)
~
ε
E
f
a
a δ
f(B(a; δ))
%
M
N
Diremos que f : M → N é cont´ınua em M se ela for cont´ınua em cada um dos pontos de
M.
1. Na situa¸cão acima, f é cont´ınua no ponto a se, e somente se, se dado ε 0 existir
δ = δ(ε, a) 0 tal que
f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε),
ou seja, dada uma bola aberta de centro em f(a) e raio ε 0 em N, existe uma bola aberta
de centro em a e raio δ 0 em M, tal que a imagem pela fun¸cão f desta segunda bola
está contida na primeira bola.
53

54 CAPÍTULO 3. FUNÇ ÕES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAÇOS MÉTRICOS
2. Se M ⊆ R e N = R munidos da métrica usual de R então f : M → R será cont´ınua em
a ∈ M se, e somente se, dado ε 0 existir δ = δ(ε, a) 0 tal que se x ∈ M e
a − δ x a + δ
implicar
f(a) − ε f(x) f(a) + ε,
ou seja,
f((a − δ, a + δ)) ⊆ (f(a) − ε, f(a) + ε),
pois as bolas abertas em R (com a métrica usual) da defini¸cão de contiuidade serão os,
respectivos, intervalos abertos obtidos acima.
T T
Ef
f(a)
a
a + δ
a − δ
f(a) + ε
f(a) − ε
A seguir exibiremos alguns exemplos.
Antes porém temos a:
Defini¸cão 3.1.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma fun¸cão f : M → N que tem
a seguinte propriedade: existe c 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
Neste caso diremos que a fun¸cão f é lipschitziana em M.
A constante c será dita constante de Lipschitz da fun¸cão f.
Exemplo 3.1.1 Se f : M → N é lipschitiziana em M então f é cont´ınua em M.
De fato, como f é lipschitiziana em M existe c 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
Logo, dado ε 0 seja δ
.
=
ε
c
0.
Então se a ∈ M e dM (x, a) δ temos que
dN (f(x), f(a)) ≤ c dM (x, a) cδ ≤ c
ε
c
= ε,
mostrando que a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a ∈ M.
Como a ∈ M é arbitrário segue que a fun¸cão f é cont´ınua em M.

3.1. DEFINIÇ ÃO DE FUNÇ ÃO CONTÍNUA EM ESPAÇOS MÉTRICOS E EXEMPLOS 55
Exemplo 3.1.2 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R.
Afirmamos que a aplica¸cão
fλ : E → E
dada por
fλ(x)
.
= λ.x, x ∈ E,
é lipschitiziana em E.
De fato,
dE(fλ(x),fλ(y)) = fλ(x), fλ(y) E = λ.x − λ.y E = λ(x − y) E
= |λ| x − y E = |λ|dE(x, y),
ou seja,
dE(fλ(x),fλ(y)) = |λ|dE(x, y), x, y ∈ E,
mostrando que a afirma¸cão é verdadeira.
Em particular, a aplica¸cão fλ : E → E sérá cont´ınua em E para cada λ ∈ R fixado.
1. Se f1, · · · , fn : E → E, onde E é um espa¸co vetorial normado, são lipschitzianas então
dados a1, · · · , an ∈ R temos que
f
.
= a1f1 + · · · anfn
também será uma aplica¸cão lipschitziana em E.
A verifica¸cão deste fato será deixado como exerc´ıcio para o leitor.
Conclusão: combina¸cão linear de fun¸cões lipschitzianas é uma fun¸cão lipschitziana.
Em particular, a aplica¸cão f : E → E será cont´ınua em E.
2. Seja R munido da métrica usual.
Então f : R → R é lipschitiziana em M se, e somente se, existe c 0 tal que
|f(x) − f(y)|
|x − y|
=
dR(f(x), f(y))
dR(x, y)
≤ c, x, y ∈ R, x = y.
3. Observemos se f : I → R é diferenciável em I, um intervalo de R e |f (x)| ≤ c para todo
x ∈ I então a fun¸cão f é lipschitziana em I.
De fato, dados x, y ∈ I do Teorema do Valor Intermediário segue que existe ¯x ∈ [x, y] ( ou
[y, x]) tal que
f(x) − f(y)
x − y
= f (¯x).
Logo
|f(x) − f(y)|
|x − y|
= |f (¯x)| ≤ c,
ou seja, a fun¸cão f é lipschitziana em I, como afirmamos acima.
Conclusão: toda fun¸cão real, de variável real, diferenciável em um intervalo da reta e tal
que sua derivada é limitada neste intervalo é uma fun¸cão lipschitiziana no intervalo em
questão.

2.09.2008 - 8.a
Uma situa¸cão mais geral é dada pela
Defini¸cão 3.1.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N.
Diremos que a fun¸cão f é localmente lipschitziana em M se para cada a ∈ M existe
ra 0 tal que a restri¸cão da fun¸cão f a bola aberta B(a; ra) (isto é, f|B(a;ra)
) é uma fun¸cão
lischitziana, ou seja, existe c = c(B(a; ra)) 0 satisfazendo
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).
E
a
o ra
fx
y
f(x)
f(y)
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM (x, y)
Com isto temos o
Exemplo 3.1.3 Se f : M → N é localmente lipschitziana em M então f é cont´ınua em M.
De fato, dado a ∈ M seja ra 0 tal que restri¸cão da fun¸cão f a bola aberta B(a; ra) seja
uma fun¸cão lipschitziana, isto é, existe c = c(B(a; ra)) 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).
Dado ε 0 seja δ
.
= min{
ε
c
, ra} 0.
Logo se, dM (x, a) δ temos que
dN (f(x), f(a))
[dM (x,a)δ≤ra]
≤ c dM (x, a)c δ
[dM (x,a)δ≤ε
c
]
≤ c
ε
c
= ε,
mostrando que a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a ∈ M.
Como a ∈ M é arbitrário segue que a fun¸cão f : M → N será cont´ınua em M.
Observa¸cão 3.1.3 Se f1, · · · , fn :→ E, onde E é um espa¸co vetorial normado, são localmente
lipschitzianas em E então, dados a1, · · · , an ∈ R, temos que
f
.
= a1f1 + · · · anfn
também será localmente lipschitziana em E.
Conclusão: combina¸cão linear de fun¸cões localmente lipschitzianas num espa¸co vetorial nor-
mado é uma fun¸cão localmente lipschitziana neste espa¸co.
Em particular, a aplica¸cão f : E → E acima definida será cont´ınua em E.

Exemplo 3.1.4 Seja f : R → R dada por f(x)
.
= xn, x ∈ R e n ∈ N.
Afirmamos que f é localmente lispchitziana em R.
De fato, sejam x, y ∈ B(0; a), isto é, |x|, |y| ≤ a.
Então temos que
dR(f(x), f(y)) = |f(x) − f(y)| = |xn
− yn
| = |(x − y)(xn−1
+ xn−2
y + · · · xyn−2
+ yn−1
)|
≤ |x − y|[|x|n−1
+ |x|n−2
|y| + · · · |x||y|n−2
+ |y|n−1
]
≤ |x − y|[|a|n−1
+ |a|n−2
|a| + · · · |a||a|n−2
+ |a|n−1
n−parcelas
]
= nan−1
|x − y| = nan−1
dR(x, y),
ou seja, f é localmente lischitziana em R (a constante de Lipschitz será c
.
= nan−1).
Em particular, a aplica¸cão f : R → R será cont´ınua em R.
Observa¸cão 3.1.4 Do exemplo acima e da observa¸cão (3.1.3) segue que toda fun¸cão polinomial
p : R → R (isto é, se a1, · · · , an ∈ R temos que
p(x)
.
= a0 + a1x + · · · , anxn
, x ∈ R
é uma fun¸cão localmente lispchitziana em R e portanto será uma aplica¸cão cont´ınua em R.
Exemplo 3.1.5 Seja f : R∗ .
= R {0} → R dada por
r(x)
.
=
1
x
, x ∈ R∗
.
Para cada a 0 temos que f é lipschitiziana em Ra, onde Ra
.
= {x ∈ R : |x| ≥ a}.
De fato, se x, y ∈ Ra então |x|, |y| ≥ a logo,
dR(f(x), f(y)) = |f(x)−f(y)| = |
1
x
−
1
y
| = |
y − x
x.y
| =
1
|x|.|y|
|x−y|
[|x|,|y|≥a0]
≤
1
a2
|x−y| =
1
a2
dR(x, y),
mostrando que f é lipschitziana em Ra (basta tomar a constante de Lipschitz como sendo c
.
=
1
a2
)
para cada a 0.
Em particular, a aplica¸cão f : R∗ → R é cont´ınua em Ra para todo a 0, isto é, f é
cont´ınua em R∗.
Exemplo 3.1.6 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial normado, R com a métrica usual e λ ∈ R.
m : R × E → E
dada por
m(λ, x)
.
= λ.x, λ ∈ R, x ∈ E,
é localmente lipschitiziana em R × E onde no produto cartesiano R × E considerarmos a norma
da soma (isto é,
(λ, x) R×E = |λ| + x E,
(λ, x) ∈ R × E) e assim podemos tomar a métrica
dR×E[(λ, x), (β, y)] = |λ − β| + x − y E,

se (λ, x), (β, y) ∈ R × E).
De fato, dado (λ0, x0) ∈ R × E, fixado r 0, se
(λ, x), (β, y) ∈ B((λ0, x0); r) ⊆ R × E
temos que
|λ − λ0|, |β − β0| r e x − x0 E, y − x0 E r.
Logo
dE(m(λ, x), m(β, y)) = m(λ, x) − m(β, y) E = λ.x − β.y E = λ.x − λ.y + λy − β.y E
= λ.(x − y) + (λ − β).y E ≤ λ(x − y) E + (λ − β)y E
= |λ| x − y E + |λ − β| y E
[|λ|≤|λ−λ0|+|λ0|≤r+|λ0|]
≤ [r + |λ0|] x − y E + |λ − β| y E
[ y E≤ y−x0 E+ x0 E≤r+ x0 E]
≤ [r + |λ0|] x − y E + [r + x0 E]|λ − β|
≤ max{r + |λ0|, r + x0 E}[ x − y E + |λ − β|]
[c
.=max{r+|λ0|,r+ x0 E}]
= c[|λ − β| + x − y E]
= c dR×E[(λ, x), (β, y)]
Em particular, a aplica¸cão m : R × E → E será cont´ınua em R × E (munido da métrica
acima).
Exerc´ıcio 3.1.1 Em particular, vale o mesmo para multiplica¸cão de números reais ou multi-
plica¸cão de números reais por vetores de Rn.
Uma outra classe de fun¸cões importantes é dada pela
Diremos que a fun¸cão f é uma contra¸cão fraca se
dN (f(x), f(y)) ≤ dM ((x, y), x, y ∈ M.
e uma subclasse desta é dada pela
Diremos que a fun¸cão f é uma contra¸cão (forte) se existir c ∈ [0, 1) tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
1. É fácil de ver que toda contra¸cão forte é uma contra¸cão fraca.
2. Também é evidente que toda contra¸cão fraca ou forte é uma aplica¸cão lipschitiziana e
portanto cont´ınua em todo o espa¸co métrico.
Seguir daremos alguns exemplos de contra¸cões fracas.

Exemplo 3.1.7 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e k ∈ N fixo.
Se f : M → N é dada por
f(x)
.
= k, para todo x ∈ M
então f é uma contra¸cão forte, pois
dN (f(x), f(y)) = dN (k, k) = 0 ≤
1
2
dM (x, y), x, y ∈ M,
(no caso escolhemos c
.
=
1
2
1).
Em particular, a aplica¸cão f : M → N é cont´ınua em M.
Exemplo 3.1.8 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M subespa¸co métrico de M.
A aplica¸cão de inclusão, i : X → M dada por i(x)
.
= x, x ∈ X é uma contra¸cão fraca pois
dM (i(x), i(y)) = dX(x, y), x, y ∈ X.
Em particular, a aplica¸cão i : X → M é cont´ınua em X.
Em geral temos o
Exemplo 3.1.9 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Se f : M → N é uma imersão isométrica então f é uma contra¸cão fraca pois
dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.
Em particular, a aplica¸cão f : M → N será cont´ınua em M.
Observa¸cão 3.1.6 Como caso particular do exemplo acima temos que toda isometria é uma
contra¸cão fraca, logo cont´ınua em todo o espa¸co métrico.
Exemplo 3.1.10 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Independente de uma das três métricas que escolhamos para M × N (ver exemplo (2.1.12) e
observa¸cão (2.1.12) item 3.), para cada a ∈ M e b ∈ N se considerarmos as aplica¸cões
ib : M → M × N e ja : N → M × N
dadas por
ib(x)
.
= (x, b) e ja(y)
.
= (a, y),
então ib e ja são uma contra¸cões fracas.
De fato, pois
dM×N (ib(x1), ib(x2)) = dM×N [(x1, b), (x2, b)]
(∗)
≤ dM (x1, x2), x1, x2 ∈ M,
dM×N (ja(y1), ib(y2)) = dM×N [(a, y1), (a, y2)]
(∗∗)
≤ dN (y1, y2), y1, y2 ∈ N
mostrando a afirma¸cão acima.
Vale observar que as desigualdades (*) e (**) são válidas, independentementes, de qual das
três métricas que considerarmos no produto cartesiano (verifique!).
Em particular, as aplica¸cões ib : M → M × N e ja : N → M × N são cont´ınuas em M e N,
respectivamente.

Exemplo 3.1.11 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M não vazio.
Definamos dX : M → R por
dX(y)
.
= d(y, X), y ∈ M.
Afirmamos que dX é uma contra¸cão fraca.
De fato, se y1, y2 ∈ M temos que
dR(dX(y1), dX(y2)) = |dX(y1) − dX(y2)| = |d(y1, X) − d(y2, X)|
[proposi¸cão (2.4.2)]
≤ dM (y1, y2),
Em particular, a aplica¸cão dx : M → R é cont´ınua em M.
Observa¸cão 3.1.7 Do exemplo acima segue que para cada x ∈ M temos que a aplica¸cão
dx : M → R dada por dx(y)
.
= dM (x, y), y ∈ M,
é uma contra¸cão fraca.
Para ver isto basta considerar X
.
= {x} ⊆ M.
Em particular, a aplica¸cão dx : M → R será cont´ınua em M.
Exemplo 3.1.12 Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
A aplica¸cão . : E → R é uma contra¸cão fraca.
De fato, se x, y ∈ E temos que
dR( x , y ) = | x − y | = |dE(x, 0) − dE(y, 0)| ≤ |dE(x, y)| = x − y = dE(x, y),
Em particular, a aplica¸cão . : E → R é uma fun¸cão cont´ınua em E.
Exemplo 3.1.13 Seja (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos métricos.
Pra cada i = 1, · · · n a aplica¸cão
pi : M1 × · · · × Mn → Mi, dada por pi(x)
.
= xi,
onde x = (x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn (conhecida como i-ésima proje¸cão) é uma contra¸cão
fraca onde podemos considerar no produto cartesiano M
.
= M1 ×· · ·×Mn qualquer uma das três
métricas da observa¸cão (2.1.12).
De fato, se xi, yi ∈ Mi temos que
dM1 (pi(x), pi(y)) = dMi (xi, yi) ≤ dM (x, y),
onde x = (x1, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yi−1, yi, yi+1, · · · , yn) ∈ M, mostrando
que a afirma¸cão é verdadeira.
Em particular, a aplica¸cão pi : M1 × · · · × Mn → Mi é cont´ınua em M1 × · · · × Mn para cada
i = 1, · · · , n.
Exemplo 3.1.14 Seja (M, dM ) espa¸co métrico.
Então a aplica¸cão
dM : M × M → R

é uma contra¸cão fraca se em M ×M considerarmos a métrica da soma ou do máximo em M ×M
(veja exemplo (2.1.12)).
De fato, se (x, y), (x , y ) ∈ M × M então
dR(dM (x, y), dM (x , y )) = |dM (x, y) − dM (x , y )| = |dM (x, y) − dM (x , y) + dM (x , y) − dM (x , y )|
≤ |dM (x, y) − dM (x , y)| + |dM (x , y) − dM (x , y )| ≤ dM (x, x ) + dM (y, y )
≤ dM×M [(x, y), (x , y )],
Em particular, a aplica¸cão dM : M × M → R será cont´ınua em M × M.
4.09.2008 - 9.a
Exemplo 3.1.15 Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R.
s : E × E → E
dada por
s(x, y)
.
= x + y, x, y ∈ E,
é uma contra¸cão fraca onde em E×E estamos considerando a norma da soma (isto é, (x, y) E×E
.
=
x E + y E e sua respectiva métrica associada).
De fato,
dE(s(x, y), s(x , y )) = s(x, y) − s(x , y ) E = (x + y) − (x + y ) E = (x − x ) + (y − y ) E
≤ x − x + y − y E = (x, y) − (x , y ) E×E = dE×E((x, y), (x , y )).
Em particular, a aplica¸cão s : E × E → E será cont´ınua em E × E.
Exerc´ıcio 3.1.2 Em particular, vale o mesmo para soma números reais ou soma de vetores em
Rn e B(X; M) munido da métrica do sup.
Exemplo 3.1.16 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico, a ∈ M, X um conjunto não vazio e
B(X; M) munido da métrica do sup.
Definamos a aplica¸cão
va : B(X; M) → M por va(f)
.
= f(a), f ∈ B(X; M).
Então va é uma contra¸cão em B(X; M).
De fato, se f, g ∈ B(X; M) temos que
dM (va(f), va(g) = dM (f(a), g(a)) ≤ sup{dM (f(x), g(x)) : x ∈ M} = dB(X;M)(f, g),
Em particular, a aplica¸cão va : B(X; M) → M será cont´ınua em B(X; M).

1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M um ponto isolado de M.
Afirmamos que f : M → N é cont´ınua em a ∈ M.
De fato, como a ∈ M é um ponto isolado de M, existe δ0 0 tal que B(a; δ0) ∩ M = {a}.
Dado ε 0 seja 0 δ ≤ δ0.
Se dM (x, a) δ ≤ δ0 temos que x = a logo
dN (f(x), f(a)) = dN (f(a), f(a)) = 0 ε,
2. Como conseqüência da observa¸cão acima temos que se (M, dM ) for um espa¸co discreto
(isto é, todo ponto dele é ponto isolado) então toda fun¸cão f : M → N é cont´ınua em M.
Em particular, a métrica de M é a métrica zero-um então vale o mesmo.
3. Por outro lado se (N, dN ) for um espa¸co discreto temos que: f : M → N cont´ınua em
M se, e somente se, para cada a ∈ M a fun¸cão f é constante em alguma bola aberta de
centro em a.
De fato, se a ∈ M então dado 0 ε ≤ 1 temos que B(f(a); ε) = {f(a)} assim para todo
δ 0 se x ∈ B(a; δ) para que f(x) ∈ B(f(a), ε) = {f(a)} deveremos ter f(x) = f(a) na
bola aberta B(a; δ), como afirmamos acima.
Em particular, a métrica de N é a métrica zero-um então vale o mesmo.
Temos a
Defini¸cão 3.1.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M.
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é descont´ınua no ponto a se ela não for cont´ınua
no ponto a.
1. Na situa¸cão acima f é descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε 0 tal que
para todo δ 0 existe xδ ∈ M tal que
dM (xδ, a) δ mas dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε.
2. Um formula¸cão equivalente seria: f é descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe
ε 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ M tal que
dM (xn, a)
1
n
mas dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.
Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma seqüência (xn)n∈N em M que é con-
vergente para a em M tal que a seqüência (f(xn))n∈N em N não é convergente em N.
Vale observar que ainda não introduzimos a no¸cão de convergência de seqüências.
Na verdade isto será tratado num cáp´ıtulo mais adiante.

Exemplo 3.1.17 A fun¸cão f : R → R dada por f(x) =
1, se x ∈ Q
0, se x ∈ I
não é cont´ınua em
nenhum ponto de R.
De fato, sejam a ∈ Q e ε =
1
2
0.
Dado δ 0 consideremos x ∈ I tal que |x − a| δ, isto é, d(x, a) δ (veja figura abaixo).
E
a ∈ Q a + δa − δ
c
x ∈ I
Como f(x) = 0 e f(a) = 1 segue que
dR(f(x), f(a)) = |f(x) − f(a)| = |0 − 1| = 1 ≥
1
2
= ε,
mostrando que f não é cont´ınua em nenhum a ∈ Q.
Por outro lado, sejam a ∈ I e ε =
1
2
0.
Dado δ 0 consideremos x ∈ Q tal que |x − a| δ, isto é, d(x, a) δ (veja figura abaixo).
E
a ∈ I a + δa − δ
c
x ∈ Q
Como f(x) = 1 e f(a) = 0 segue que
dR(f(x), f(a)) = |f(x) − f(a)| = |1 − 0| = 1 ≥
1
2
= ε,
mostrando que f não é cont´ınua em nenhum a ∈ I.
Portanto f não é cont´ınua em nenhum ponto de R.
Observa¸cão 3.1.10 Observemos que no exemplo acima temos que f|Q
e f|I
são cont´ınuas (na
verdade a primeira é constante e igual a 0 e a segunda é constante e igual a 1).
Para f : M → N e X ⊆ M não vazio, o exemplo acima nos mostra a diferen¸ca entre:
1. f|X
: X → N cont´ınua em X;
2. f : M → N cont´ınua em todos os pontos de M.
Podemos sempre afirmar que na situa¸cão acima (b) implicará sempre em (a).
Mas, em geral, (a) pode não implicar em (b), como mostra o exemplo acima.
Exemplo 3.1.18 Consideremos f : R → R dada por
f(x) =
sen(1
x), se x = 0
0, se x = 0
.
Afirmamos que f é descont´ınua em x = 0.
De fato, seja ε =
1
2
0.

Dado δ 0 seja N0 ∈ N tal que N0 ≥
1
δ
.
Consideremos x ∈ R dado por
x
.
=
2
(2N0 + 1)π
.
Como (2N0 + 1)π 2N0 temos que
dR(x, 0) = x =
2
(2N0 + 1)π

2
2N0
=
1
N0
δ.
Mas
dR(f(x), f(0)) = |sen(
1
2
(2N0+1)π
) − 0| = |sen(
(2N0 + 1)π
2
)|
[sen(
(2N0+1)π
2
)=±1]
= 1 ≥
1
2
= ε,
Observa¸cão 3.1.11 Seja f : M → N e consideremos N1
.
= f(M) = {f(x) : x ∈ M} visto
como subsepa¸co métrico de N (ou seja, com a métrica induzida de N).
Definamos f1 : M → N1 por f1(x)
.
= f(x), x ∈ M.
Afirmamos que f é cont´ınua em M se, e somente se, f1 é cont´ınua em M.
A demonstra¸cão deste fato será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
3.2 Propriedades elementares de fun¸cões cont´ınuas entre espa¸cos
métricos
Come¸caremos pela
Proposi¸cão 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos métricos e a ∈ M.
Se f : M → N é cont´ınua em a e g : N → P é cont´ınua em f(a) então g ◦ f : M → P é
cont´ınua em a.
Demonstra¸cão:
Dado ε 0, como g é cont´ınua no ponto f(a), existe λ 0 tal que se y ∈ N e
dN (y, f(a)) λ então dP (g(y), g(f(a))) ε. (∗)
Mas f é cont´ınua em a, logo dado λ 0 (obtido acima), existe δ 0 tal que se x ∈ M e
dM (x, a) δ então dN (f(x), f(a)) λ.
Logo, se f(x) ∈ N, de (*) temos
dP (g(f(x)), g(f(a))) λ,
mostrando que g ◦ f é cont´ınua em a, como quer´ıamos mostrar.
1. O resultado acima nos diz que a composta de duas fun¸cões cont´ınuas é uma fun¸cão
cont´ınua.

3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNÇ ÕES CONTÍNUAS ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS65
2. Temos a seguinte caracteriza¸cão geométrica para a demonstra¸cão do resultado acima:
g(f(a))
”
ε
E
gf(a)
…
λ
g(B(f(a); λ))
‡
Ef
”
δ
f(B(a; δ))
c
a
Como conseqüência temos
Corolário 3.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Se f : M → N é cont´ınua em a ∈ X ⊆ M então f|X
: X → N é cont´ınua em a.
Demonstra¸cão:
Sabemos que a aplica¸cão inclusão, i : X → M é cont´ınua em X (ver exemplo (3.1.8)).
Observemos que f|X
= f ◦ i.
Como f é cont´ınua em a segue, da proposi¸cão acima, que f|X
= f ◦ i será cont´ınua no ponto
a, completando a demosntra¸cão do corolário.
Observa¸cão 3.2.2 O corolário acima nos diz que a restri¸cão de uma fun¸cão cont´ınua a um
subconjunto do seu dom´ınio será uma fun¸cão cont´ınua nesse subconjunto.
Antes de prosseguir temos a
Observa¸cão 3.2.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos métricos, f : M×N → P onde em
M × N consideramos uma das três métricas usuais (da raiz quadrada, da soma ou do máximo).
Logo f será cont´ınua em (a, b) ∈ M × N se dado ε 0 existe δ 0 tal que
dM×N ((x, y), (a, b)) δ implicar dP (f(x, y), f(a, b)) ε.
Neste caso é comum dizermos que f é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b).
Temos também a:
Defini¸cão 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos métricos, f : M × N → P e (a, b) ∈
M × N.
Diremos que f é cont´ınua em rela¸cão a 1.a variável no ponto (a, b) se a aplica¸cão
fb : M → P
dada por
fb(x)
.
= f(x, b), x ∈ M,
for cont´ınua no ponto a.
Diremos que f é cont´ınua em rela¸cão a 2.a variável no ponto (a, b) se a aplica¸cão
fa
: N → P

dada por
fa
(y)
.
= f(a, y), y ∈ N,
for cont´ınua no ponto b.
Diremos que f é cont´ınua separadamente no ponto (a, b) se ela for cont´ınua em rela¸cão
a cada uma das variáveis no ponto (a, b).
1. Na situa¸cão acima se f é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b) então temos que
fa
= f ◦ ja fb = f ◦ ib,
onde ib : M → M × N e ja : N → M × N são as aplica¸cões de M, e de N, em M × N
dadas pelo exemplo (3.1.10), respectivamente.
Assim, como ib e ja são cont´ınuas em M e N, respectivamente, segue que que fa e fb são
cont´ınuas nos pontos a e b, respectivamente.
Portanto f será cont´ınua separadamente no ponto (a, b).
2. Não vale, em geral, a rec´ıproca do resultado acima, isto é, existem fun¸cões f : M ×N → P
que são cont´ınuas separadamente no ponto (a, b) mas não são cont´ınuas (conjuntamente)
no ponto (a, b).
Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo:
Seja
f : R × R → R
dada por
f(x)
.
=



xy
x2 + y2
, se (x, y) = (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
.
No ponto (0, 0) temos que f é cont´ınua separamente (pois f(x, 0) = 0 e f(0, y) = 0 para
todo x, y, ∈ R que são cont´ınuas em R).
Mas f não é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (0, 0) pois se tomarmos a restri¸cão da
fun¸cão f à reta y = ax, com a = 0 (que torna-se um espa¸co métrico com a métrica
induzida pela métrica de R2) então teremos
f(x, ax) =
ax2
x2 + a2x2
=
a
1 + a2
= 0 se x = 0
e se x = 0 teremos que f(0, a.0) = (0, 0), mostrando que f é descont´ınua no ponto (0, 0).
Para o próximo resultado precisaremos da
Defini¸cão 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2) espa¸cos métricos,
f : M → N1 × N2
dada por
f(x)
.
= (f1(x), f2(x)), x ∈ M
onde fj : M → Nj, j = 1, 2 são ditas fun¸cões coordenadas da fun¸cão f.
Neste caso escreveremos f = (f1, f2).

3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNÇ ÕES CONTÍNUAS ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS67
Com isto temos a
Proposi¸cão 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2), N1×N2 espa¸cos métricos, onde no último
consideramos uma das três métricas usuais, f : M → N1 × N2 dada por f(x)
.
= (f1(x), f2(x)),
x ∈ M onde fj : M → Nj, j = 1, 2 e a ∈ M.
Então f é cont´ınua no ponto a se, e somente se, f1 e f2 são cont´ınuas no ponto a.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que f é cont´ınua no ponto a.
Temos que
f1 = p1 ◦ f e f2 = p2 ◦ f,
onde pj : N1 × N2 → Nj, j = 1, 2 são as proje¸cões em N1 e N2 definidas no exemplo (3.1.13),
respectivamente.
Como p1, p2 são cont´ınuas em N1 e N2, respectivamente, segue que f1 e f2 são cont´ınuas em
a ∈ M.
Reciprocamente,
(i) Consideremos em N1 × N2 a métrica do máximo.
Se f1 e f2 são cont´ınuas em a ∈ M então dado ε 0 segue que existem δ1, δ2 0 tal que
se
dM (x, a) δi implicará dNi (fi(x), fi(a)) ε, i = 1, 2. (∗)
Seja δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
Assim, se dM (x, a) δ logo dM (x, a) δ1 e dM (x, a) δ2 e de (*) teremos
dN1×N2 (f(x), f(a)) = max{d1(f1(x), f1(a)), d2(f2(x), f2(a))} ε,
mostrando que f é cont´ınua no ponto a.
(ii) Se considerarmos em N1 × N2 a métrica da raiz quadrada temos que dado ε 0 existem
δ1, δ2 0 tal que se
dM (x, a) δi implicará dNi (fi(x), fi(a))
ε
√
2
, i = 1, 2. (∗)
tomando-se δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
Assim, se dM (x, a) δ logo dM (x, a) δ1 e dM (x, a) δ2 e de (*) teremos
dN1×N2 (f(x), f(a)) = [d1(f1(x), f1(a))]2 + [d2(f2(x), f2(a))]2 [
ε
√
2
]2 + [
ε
√
2
]2
=
ε2
2
+
ε2
2
=
√
ε2 = ε,
mostrando que f é cont´ınua no ponto a.
(iii) Se considerarmos em N1 × N2 a métrica da soma temos que dado ε 0 existem δ1, δ2 0
tal que se
dM (x, a) δi implicará dNi (fi(x), fi(a))
ε
2
, i = 1, 2. (∗)

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