O documento discute inflação e taxas de juros reais versus nominais. Explica que a taxa de juro real é a parte da taxa nominal que não é devida à inflação. Fornece exemplos para calcular taxas reais a partir de dados sobre taxas nominais e inflação.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição

2. Capítulo 8
INFLAÇÃO
Mathias
Gomes

3. Inflação - Caracterização
Inflação: elevação continuada e persistente
nos preços de bens e serviços, num dado
intervalo de tempo.
Deflação: quando ocorre uma queda conti-
nuada e persistente nos preços de bens
e serviços, num dado intervalo de tempo.
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4. Inflações Elevadas
Na América Latina
País Período Taxa anual equivalente
Argentina 1947-60 27% a.a.
1960-74 27% a.a.
Brasil 1947-60 16% a.a.
1960-74 36% a.a.
1947-60 31% a.a.
Chile 1960-71 25% a.a.
1949-60 11% a.a.
Uruguai 1960-70 49% a.a.
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5. Inflações Elevadas
Incidência das Hiperinflações
País Período (19XX) Taxa média mensal Número de meses de
hiperinflação
Áustria out./21 a ago./22 47,10% 11
Alemanha ago./22 a nov./23 322% 16
China (Xangai) ago./48 a abr./49 400% ---
China (Chunking) ago./48 a abr./49 298% ---
Grécia nov./43 a nov./44 365% 13
Hungria mar./23 a fev./24 46% 10
Hungria ago./45 a jul./46 19800% 12
Polônia jan./23 a jan./24 81,40% 11
Rússia dez./21 a jan./24 57% 26
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6. Índices de Preços EXEMPLO
• Um índice de preços procura medir a mu-
dança que ocorre nos níveis de preço de um
período para outro.
• Índices de preços diferentes medem infla-
ções diferentes.
• O emprego de um dado índice requer uma
análise prévia, para determinar se o índice
proposto é adequado ao objetivo.
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7. Exemplo
As vendas do Grupo Trevo, que fabrica e vende produtos agrí-
colas e industriais, foram as seguintes:
1987 - Cr$ 121 milhões
1988 - Cr$ 850 milhões
1989 - Cr$ 14,2 bilhões
Como os produtos são agrícolas e industriais, resolveu-
-se usar o IGP-DI, que teve a evolução seguinte:
1987 - 0,26
1988 - 2,02
1989 - 28,62
a) Calcular a taxa de crescimento aparente (ou nominal: va-
mos usar “aparente” apenas para diferenciar a taxa nominal)
das vendas, ano a ano;
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8. Exemplo
b) Deflacionar a série de vendas com o IGP-DI e calcular a ta-
xa real de crescimento para cada ano.
Resolução:
a) Crescimento aparente: o crescimento das vendas,
em termos nominais, é obtido dividindo-se o valor de um ano
pelo valor do ano anterior e depois subtraindo-se um.
Ano Vendas correntes (Cr$ milhões) % de acréscimo
1987 121 -
1988 850 602,48
1989 14.200 1.570,59
Assim, de 1987 para 1988, obtemos:
1 + crescimento aparente = 850/121 = 7,0248
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9. Exemplo
crescimento aparente = 7,0248 - 1
crescimento aparente = 6,0248
Ou seja:
crescimento aparente = 602,48%
Podemos verificar que, em valor nominal, as vendas
cresceram 602% de 1987 para 1988 e 1570% de 1988 para
1989.
b) Para deflacionar a série de vendas, construímos o
índice base 100 em 1987, simplesmente dividindo os valores
do índice em cada ano pelo valor do índice em 1987:
Ano IGP-DI IGP-DI com base 100 em 1987
1987 0,26 1,0000
1988 2,02 7,7692
1989 28,62 110,0769
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10. Exemplo
O cálculo foi feito do seguinte modo:
Por exemplo, em 1989:
2,02/0,26 = 7,7692
A seguir, calcula-se a série deflacionada de vendas e
a taxa de crescimento real:
Ano Vendas Nominais IGP-DI Vendas Deflacionadas Taxa de
(Cr$ milhões) (2) (Preços de 1987) crescimento
(1) (1) : (2) real (% a.a.)
1987 121 1,0000 121 -
1988 850 7,7692 109,4 -9,6
1989 14.200 110,0769 129 17,9
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11. Exemplo
Para calcular as vendas deflacionadas, por exemplo
em 1988, fazemos:
1 + taxa real = 109,4/121 = 0,914
Logo:
taxa real = 0,914 -1
taxa real = - 0,096
Portanto:
taxa real = - 9,6%
Podemos concluir que, em 1988, as vendas decresce-
ram 9,6% em relação a 1987. Em 1989 as vendas apresenta-
ram um crescimento real de 17,9% em relação a 1988. Final-
mente, se compararmos as vendas de 1989 com as de 1987
deflacionadas (basta dividir 129 por 121 subtrair um, verifi-
camos um crescimento de 6,6% em dois anos.
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12. Taxa de Juros Aparente e
Taxa de Juros Real
Taxa de Juros Aparente: é a taxa que vigora
nas operações correntes.
A taxa aparente, quando existe inflação, po-
de ser decomposta em:
• Uma parte devida à inflação.
• Uma parte correspondente aos juros reais.
Mathias
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13. Taxa de Juros Aparente e Taxa
de Juros Real
EXEMPLO
Sendo:
i = taxa de juros aparente
j = taxa de inflação
r = taxa de juros real
A relação entre as taxas é:
1+ i
1+ r =
1+ j
Mathias
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14. Exemplo
a) Uma letra de câmbio foi adquirida por $ 1.000,00 em dezem-
bro de 19X4 para resgate em dezembro de 19X5 pela quantia
de $ 1.350,00.
Calcular:
1. A taxa de juros aparente.
2. A taxa de juros real, admitindo como taxa de inflação os ín-
dices:
Data Índice 2 OR
Dez./19X4 534 105,41
Dez./19X5 690 130,93
Mathias
Gomes

15. Exemplo
Resolução: A taxa de juros aparente é:
C = C0 (1+i)
1.350 = 1.000 (1+i)
Portanto: i = 35% a.a.
A taxa de juros real é dada por:
(1 + i )
r= −1
(1 + j )
onde j é a taxa de inflação.
Se adotarmos o índice 2 como medida da inflação, te-
mos:
690
1 + j1 = = 1,2921
534
Mathias
Gomes

16. Exemplo
1+ i 1,35
Portanto: 1 + r1 = = = 1,0448
1 + j1 1,2921
Logo: r1 = 4,48% a.a.
Adotando como medida da inflação a OR, temos:
130,93
1+ j = = 1,2421
105,41
1,35
r2 = = 1,0869
1,2421
r 2 = 8,69%a.a.
Mathias
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17. Exemplo
b) Uma pessoa fez uma aplicação em dezembro de 19X1, que
resgatou após um ano. O juro aparente recebido foi de 15%.
Calcular o juro real recebido, adotando como medida da infla-
ção no período o índice 2 da FGV (igual a 343 em dezembro
de 19X2 e igual a 297 em dezembro de 19X1).
Resolução: Se a taxa aparente é de 15% em 1 ano, tem-se:
1 + i = 1,15
1 + j = 343/297 = 1,1549
Logo, como: 1 + i = (1+r).(1+j)
Temos: 1,15 = (1+r).(1,1549)
1 + r = 1,15/1,1549 = 0,9958
Mathias
Gomes

18. Exemplo
r = -0,0042
ou r = -0,42% a.a.
Isto significa que, na aplicação feita, houve uma perda (ou juro
negativo) de 0,42% em um ano.
Mathias
Gomes

19. Exemplo
a) O Banco A oferece $ 100.000,00 à taxa de juros de 8% a.a.
mais correção monetária. Uma vez que o empréstimo foi con-
tratado em junho de 19X1, para ser amortizado em 5 parcelas
semestrais, construir a planilha de financiamento pelo Sistema
de Amortização Constante (SAC) com e sem correção monetá-
ria.
Considerar como correção monetária a variação no va-
lor das OR dada pela tabela a seguir:
Mathias
Gomes

20. Exemplo
MESES 19X1 19X2 19X3
Junho 54,01 65,75 74,97
Julho 55,08 66,93 75,80
Agosto 56,18 67,89 76,48
Setembro 57,36 68,46 77,12
Outubro 58,61 68,95 77,87
Novembro 59,79 69,61 78,40
Dezembro 60,77 70,07 79,07
Pergunta-se: Qual será a taxa aparente dentre destas hipóte-
ses ? Se o Banco B cobrar 20% a.a. de juros aparentes, qual é
o melhor financiamento ?
Mathias
Gomes

21. Exemplo
Resolução: 1) A planilha sem correção monetária é a se-
guinte:
Semestres Saldo Devedor Amortizações Juros Prestação
0 100.000 - - -
1 80.000 20.000 4.000 24.000
2 60.000 20.000 3.200 23.200
3 40.000 20.000 2.400 22.400
4 20.000 20.000 1.600 21.600
5 - 20.000 800 20.800
Total - 100.000 12.000 112.000
Mathias
Gomes

22. Exemplo
O cálculo do índice de correção monetária é feito por
semestre:
DEZ . X 1 60 ,77
1° semestre: = ≅ 1,1252
JUN . X 1 54 ,01
JUN . X 2 65 ,75
2° semestre: = ≅ 1, 2174
JUN . X 1 54 ,01
DEZ . X 2 70 ,07
3° semestre: = ≅ 1, 2974
JUN . X 1 54 ,01
JUN . X 3 74 ,97
4° semestre: = ≅ 1,3881
JUN . X 1 54 ,01
5° semestre: DEZ . X 3 79 ,07
= ≅ 1, 4640
JUN . X 1 54 ,01
Mathias
Gomes

23. Exemplo
Resolução: 2) Corrigindo a planilha anterior através dos ín-
dices calculados, tem-se:
Semestres Índice Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 - 100.000,00 - - -
1 1,1252 90.016,00 22.504,00 4.500,00 27.004,80
2 1,2174 73.044,00 24.348,00 3.895,68 28.243,68
3 1,2974 51.896,00 25.948,00 3.113,76 29.061,76
4 1,3881 27.762,00 27.762,00 2.220,96 29.982,96
5 1,4640 - 29.280,00 1.171,20 30.451,20
Total - - 129.842,00 14.901,60 144.744,40
Calculando-se a taxa de retorno associada ao fluxo das
prestações, encontramos 13,43% ao semestre. Portanto, a taxa
de juros aparente é de 28,66% ao ano. Logo, será preferível o
financiamento do banco B que cobra apenas 20% a.a. de juros
nominais.
Mathias
Gomes

24. Exemplo
b) A agência bancária “Dog-Cat Bank Ltd.”, sediada em Idaho,
USA, oferece à empresa brasileira Tavesa (Tartaruga Veloz S.A.)
um empréstimo de US$ 9.000,00 à taxa de 12% a.a. e estabele-
ce a amortização do principal em 3 parcelas anuais iguais.
O pagamento da amortização e dos juros devidos será feito em
dólares, o que acarreta um encargo financeiro adicional que é o
recebimento, junto ao Banco Central, de 25% dos juros a serem
remetidos. Essa percentagem é a do Imposto de Renda sobre
remessas de juros para o exterior.
O contrato será assinado em 31.12.X2, quando a taxa de compra
é de $ 6,18/US$, vencendo a primeira amortização em 31.12.X3.
(Para considerações sobre a desvalorização cambial, referir-se à
tabela a seguir).
Uma banco brasileiro, o Difasa (Dinheiro Fácil S.A.), sabendo da
oferta, visitou o cliente e propôs-lhe idêntica quantia à taxa no-
minal de 25% a.a. Qual é a melhor alternativa?
Mathias
Gomes

25. Exemplo
Resolução: O dólar para a venda foi o seguinte:
Data $/US$
31.12.X3 6,220
31.12.X4 7,435
31.12.X5 9,070
A planilha, em dólares, foi montada levando-se em conta
um imposto de remessa de 25% sobre juros, ou seja, como o
“Dog-Cat” não tem nada a ver com isto, há um acréscimo de 1/3
do juro devido como IR:
Mathias
Gomes

26. Exemplo
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Imposto de Renda Prestação
0 9.000,00 - - - -
1 6.000,00 3.000,00 1.080,00 360,00 4.440,00
2 3.000,00 3.000,00 720,00 240,00 3.960,00
3 - 3.000,00 360,00 120,00 3.480,00
Total - 9.000,00 2.160,00 720,00 11.880,00
Utilizando o valor do dólar para venda, podemos conver-
ter a prestação em $:
Ano Prestação
0 -
1 27.616,80
2 29.442,60
3 31.563,60
Mathias
Gomes

27. Exemplo
O valor emprestado, convertido em moeda de compra em
31.12.X2 ($ 6,18/US$) dá $ 55.620,00.
Logo, para calcularmos o custo deste empréstimo, basta en-
encontrar a taxa i, tal que:
55.620,00 = 27.616,80(1+i)-1+ 29.442,60(1+i)-2+ 31.563,60(1+i)-3
Acha-se: i = 26,75% a.a.
Dado o fato de que a taxa nominal ofertada pelo banco bra-
sileiro é de 25% a.a., portanto inferior ao banco estrangeiro, con-
clui-se que a melhor alternativa é de tornar-se o empréstimo inter-
no.
Mathias
Gomes