book od basic math

1. Matemática Básica

3. 3
Matemática Básica
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA
Reitor
Prof. Msc. Pe. José Romualdo Desgaperi
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA VIRTUAL
Diretor Geral da UCB Virtual
Prof. Dr. Francisco Villa Ulhôa Botelho
Diretoria de Cursos de Graduação a Distância
Profª. MSc. Bernadete Moreira Pessanha Cordeiro
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Coordenação de Produção
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Coordenação de Atendimento ao Estudante e Relacionamento
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Equipe de Produção Técnica
Conteudista
Prof. Adolfo Dani
Analistas
José Eduardo Pires Campos Júnior
Viviane de Melo Resende
Viviane Cristina V. Sebba Ramalho
Yara Dias Fortuna
Montagem
Acyr Frederico Leocádio
Anderson Macedo da Silveira
Bruno Marques Beça da Silva
Olávia Cristina Gomes Bonfim
Edição de Conteúdo
Kelly Kareline de Oliveira Torres
Márcia Regina de Oliveira

5. 5
Matemática Básica
Sumário
Sumário
1. Conjuntos Numéricos ...................................................................................................................... 7
1.1. Conjunto dos Naturais.............................................................................................................................7
1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos....................................................................7
1.3. Conjunto dos Racionais ...........................................................................................................................7
1.4. Conjunto dos Irracionais .........................................................................................................................7
1.5. Conjunto dos Reais ..................................................................................................................................7
2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais................................................... 9
2.1. Sinais Resultantes nas Operações..........................................................................................................9
2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração...........................................................9
2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão....................................................9
2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. .............................10
3. Operações e Suas Inversas ........................................................................................................... 17
3.1. Regra das Operações Adição e Subtração..........................................................................................17
3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão ...................................................................................18
3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação ....................................................19
4. Prioridades nas Operações........................................................................................................... 23
5. Relações e Funções........................................................................................................................ 25
5.1. Plano Cartesiano ....................................................................................................................................25
5.2. Função do 1º Grau..................................................................................................................................26
5.3. Função do 2º grau ou quadrática.........................................................................................................30
5.4. Função Exponencial ...............................................................................................................................34
5.5. Função Logarítmica................................................................................................................................36
5.6. Funções Trigonométricas......................................................................................................................37
6. Soluções de Sistemas de Equações ............................................................................................ 39
7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias................................................ 43
7.1. Razão........................................................................................................................................................43
7.2. Proporção ................................................................................................................................................43
7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas. ............................................................43
7.3.1. Diretamente Proporcionais...................................................................................................................43
7.3.2. Inversamente Proporcionais.................................................................................................................44
7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais...................................46
7.3.4. Porcentagens ........................................................................................................................................47
7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i)..................................................................................................................47
7.3.4.2. Porcentagem....................................................................................................................................47
7.4. Média........................................................................................................................................................49
7.4.1. Média Aritmética Simples....................................................................................................................49
7.4.2. Média Aritmética Ponderada................................................................................................................49
7.4.3. Média Geométrica................................................................................................................................49
8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais............................................................ 51
8.1. Adição e subtração de expressões ......................................................................................................51
8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis...................................51
8.2.1. Produtos Notáveis ................................................................................................................................52
8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais................................................................................53
8.4. Fatoração e Simplificação ....................................................................................................................54
9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo ............................................... 57
9.1. Relações Trigonométricas.....................................................................................................................57
9.2. Relações Métricas...................................................................................................................................58

6. 6
Matemática Básica
Sumário
10. Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações .............................................. 61
10.1. Grandezas Físicas...................................................................................................................................61
10.2. Fenômenos Físicos ................................................................................................................................. 61
10.3. Medição....................................................................................................................................................61
10.4. Sistemas de Unidades............................................................................................................................61
10.5. Fatores que interferem na medição ...................................................................................................62
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida .............................................................................................62
10.7. Algarismo significativo ..........................................................................................................................62
10.8. Arredondamentos...................................................................................................................................62
10.8.1. Operações com Algarismos Significativos......................................................................................63
10.8.1.1. Adição e Subtração..........................................................................................................................63
10.8.1.2. Multiplicação e Divisão: .................................................................................................................63
10.9. Notação Científica ................................................................................................................................. 63
10.10. Ordem de grandeza. .........................................................................................................................64
10.11. Grandezas Físicas ..............................................................................................................................64
10.11.1. Grandezas Escalares........................................................................................................................64
10.11.2. Grandezas Vetoriais ........................................................................................................................64
10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais............................................................................................65
10.11.2.1.1. Adição ........................................................................................................................................65
10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal ...................................................................................................................65
10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo ...........................................................................................................66
10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana...........................................................................................66
10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença ..............................................................................................................67
10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal ...................................................................................................................67
10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo ...........................................................................................................67
10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana.........................................................................................68

7. 7
Matemática Básica
Aula 01
Matemática Básica
Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, sílabas, palavras, frases, vírgulas,
pontos, etc. Semelhantemente, na matemática precisamos dos algarismos, números, símbolos, sinais,
prioridades e propriedades nas operações para que possamos equacionar, criar fórmulas, realizar cálculos
tão necessários em nosso quotidiano e em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a
calculadora ou computador, precisamos de conhecimento básico de matemática para o uso adequado
destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos.
1. Conjuntos Numéricos
O conjunto dos números Reais (R) é o que melhor atende a solução dos problemas básicos de nosso
quotidiano e é composto pelos seguintes subconjuntos:
1.1. Conjunto dos Naturais
{ },...4,3,2,1,0=N
1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos
{ }...3,2,1,0,1,2,3... −−−=Z
1.3. Conjunto dos Racionais
{ }...3...2...1...0...1...2...3... −−−=Q
2
9−
2
3−
2,0 25,2
...555,0−
1.4. Conjunto dos Irracionais
}{ ......3...2...2... π−=I
1.5. Conjunto dos Reais
Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais (R). Note que:
R
I
QZN
⊂


⊂⊂
ou RIQ ⊂∪ )(
está contido
N
Z
Q
I
R
Obs.: Não conseguimos escrever na forma de fração
Obs.: Conseguimos escrever
na forma de fração decimal
exatas, dizimas periódicas
simples e compostas.
1,4159

9. 9
Matemática Básica
Aula 02
2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais
2.1. Sinais Resultantes nas Operações
2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração
( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja: + 3 + 4 = 7
Obs. Quando é positivo, podemos deixar sem o sinal na resposta.
( - ) com ( - ) dá ( - ). Veja: - 3 - 4 = - 7
(+) com ( - ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja:






=+=−+
−=−+
2213
253
( - ) com ( + ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja:






−=+−
=+=+−
123
2253
2.1.2.Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão
( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja:






=+=÷=+÷+
=+=⋅=+⋅+
3326)2(6
6623)2(3
Obs. Quando o número é positivo, podemos deixar sem o sinal na multiplicação e
divisão.
( - ) com ( - ) dá ( + ). Veja:






=+=−÷−
=+=−⋅−
5,15,1)2(3
66)2(3
( + ) com ( - ) dá ( - ). Veja:






−=−÷+
−=−⋅+
3)2(6
6)2(3
( - ) com ( + ) dá ( - ). Veja:






−=+÷−
−=+⋅−
3)2(6
6)2(3

10. 10
Matemática Básica
Aula 02
Nos símbolos de multiplicação e divisão podemos usar:






−
=
−
⋅==÷
=⋅=
−
b
a
b
a
bababa
abbaaxb
1
/
2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais.
1º) Todo o número elevado ao expoente zero vale (1).
Veja:
120
= ; ( ) 12
0
=− ; 1
5
3
0
=





; ( ) 12
0
=
2º) Não tem divisão de número por zero
Veja:
?
0
7
= (impossível, confira na calculadora).
3º) Zero dividido por qualquer número dá zero.
Veja:
0
7
0
= (confira na calculadora).
4º) Não tem raiz quadrada ou de índice par de números negativos.
Ran
∉−
R∉− 4
Não pertence ao conjunto dos Reais
Não tem solução em R
Índice (2) não se escreve
Índice par
10
=a
)(
0
impossível
a
=
0
0
=
a
Divisão
Deixar o sinal negativo da fração, quando tiver,
sempre no numerador.
Multiplicação

11. 11
Matemática Básica
Aula 02
R∉−4
4
Obs. Cuidado, se o índice for impar, tem raiz. Veja:
283
−=−
5º) Um número negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica positivo.
expoente par
Maior que zero (positivo)
Veja:
( ) ( ) ( ) 44222
2
=+=−⋅−=−
( ) 813
4
=−
Cuidado: ( ) 22
22 −≠−
É diferente, pois:
( ) ( ) ( )




−=⋅−=−
=−⋅−=−
4222
4222
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) 82222
3
−=−⋅−⋅−=− (número negativo elevado ao expoente impar, o resultado fica
negativo).
6º) Potência de potência, multiplicamos os expoentes.
Veja:
15
8
5
4
3
25
4
3
2
3
2
3
2
3
2
−





 −
⋅
−






=





=
















7º)Uma potência troca de sinal quando muda de posição subindo para o numerador ou descendo
para o denominador.
Veja:
a) 3
3
2
1
2 =−
b) 5
5
3
3
1
=−
Índice impar
Índice par
( ) nmnm
aa ⋅
=
n
n
a
a −
=
1
n
n
a
a
1
=−
( ) 0>−
n
a

12. 12
Matemática Básica
Aula 02
8º) O expoente de uma fração muda de sinal quando invertemos a fração.
Veja:
9
16
3
4
4
3
22
=





=





−
; 8
1
2
2
1
33
=





=





−
9º) Equivalência - potenciação - radiciação (como tirar do radical e retornar)
Veja:
a) 2
5
2 5
33 =
b)
7
3
7
3
3
2
3
2






=





c) 55 15
1
777 ==
10º) Para somar e subtrair frações precisamos reduzir ao mesmo denominador. Veja:
a)
5
4
4
2
+
Achando o m.m.c (mínimo múltiplo comum) de 4 e 5, fatoramos assim:
5
2
2
1
5
1
2
4
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20
20 é o m.m.c de 4 e 5.
2÷
10
13
02
62
20
1610
5
4
4
2
=
//
//
=
+
=+
2÷
nnnn
a
b
b
a
ou
a
b
b
a






=











=





−−
n
m
n m
aa =

13. 13
Matemática Básica
Aula 02
Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que dá ( 5 ) multiplica pelo numerador 2 dando 10 etc.
Ao simplificar 





20
26
você deve dividir o numerador e o denominador por um mesmo número.
b)
60
23
60
3512
12
7
15
3 −
=
−
=−
m.m.c de 15 e 12:
5
3
2
2
1
3
6
12
1
5
15
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60
c)
5
4
2
2
3
+− lembre que
1
2
2
−
=− logo, o m.m.c de 2, 1, 5 é:
5
2
111
512
Logo: m.m.c = 2 ∙ 5 = 10
10
3
10
82015
5
4
2
2
3
=
+−
=+−
11º) Para multiplicação de frações, multiplicamos numerador pelo numerador e denominador pelo
denominador. Veja:
a)
15
8
5
4
3
2
=⋅
b)
7
24
7
3
8
−
=⋅−
Lembre que
1
8
8
−
=−
4÷
c)
15
1
06
4
4
1
3
2
5
2 −
=
//
/−
=⋅




 −
⋅
4÷

14. 14
Matemática Básica
Aula 02
12º) Para dividir frações multiplicamos a 1º fração pela inversa da 2ª fração. Veja:
2÷
a)
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2
=
//
//
=⋅=÷ ou
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2
=
//
//
=⋅=
2÷
b)
2
15
2
5
3
5
2
3 =




 −
⋅=




 −
÷ lembre que
1
3
3 =
c) ( )
15
2
3
1
5
2
3
5
2
=




 −
⋅
−
=−÷
−
lembre que -3 =
1
3−
13º) Na multiplicação de potências de mesma base permanece a base e somam-se os expoentes
nmnm
aaa ⋅
=⋅ (a = base; m e n = expoentes). Veja:
a) 127575
3333 ==⋅ +
b) 1515
1
15
109
3
2
5
3
3
2
5
3
222222 ====⋅
−
−
−
c)
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
12
2
1
1
2
1
1
=





=





=





=





=





⋅





−+−
+−−
d) 10122122
10101010 −−−
==⋅
14º) Na divisão de potências de mesma base permanece a base e subtraem-se os expoentes
nmnm
aaa −
=÷ (a = base; m e n = expoentes). Veja:
a)
9
1
3
1
3333 2
27575
====÷ −−
b) 1037
3
7
55
5
5 −−−
−
==
c)
15
2
15
1210
5
4
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2






=





=





=





=





÷





+−
+
−





 −
−
−−−
d) 51510
15
10
1010
10
10 −−
==
15º) Decimal Exata: valor resultante de uma operação divisão de resto zero. Veja:

15. 15
Matemática Básica
Aula 02
a) →= 4,0
5
2
tem uma casa decimal (casa depois da vírgula)
b) →= 25,0
4
1
tem duas casas decimais
c) →353,2 tem três casas decimais
Para obter a fração que deu origem (geratriz) a uma decimal exata, fazemos:
• Numerador: colocamos o número todo sem a vírgula.
• Denominador: colocamos 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais (casas
depois da vírgula). Veja:
a)
5
2
01
4
4,0 =
//
/
=
b)
4
1
001
52
25,0 =
///
//
=
c)
1000
2353
353,2 =
16º) Dízima Periódica Simples: valor resultante de uma operação divisão que não dá exata e logo
depois da vírgula aparece um número que se repete, denominado de período. Veja:
a) 0,33... Também representado por 3,0
b) 0,272727...ou 27,0
c) 2,444... ou 4,2
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica simples fazemos:
Numerador: Colocamos o período (parte que se repete)
Denominador: Colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Veja:
a)
3
1
9
3
33,0 =
/
/
=
b)
11
3
33
9
99
27
...272727,0 ===
c)
9
23
9
518
9
5
2...555,02...555,2 =
+
=+=+=
Parte inteira não entra na regra.

16. 16
Matemática Básica
Aula 02
17º) Dízima Periódica Composta: Valor resultante de uma operação que não dá exata e depois da
vírgula aparece uma parte que não se repete (parte não periódica) seguida de um período (parte que
se repete). Veja:
Parte não periódica (que não se repete) (4)
a) 0,4333...
Parte periódica (que se repete) (3)
Não periódica (23)
b) 2,23717171...
Periódica (71)
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica composta, fazemos:
Numerador: colocamos a parte não periódica seguida de um período menor, a parte não
periódica.
Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido de
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Veja:
Parte não periódica
Periódica
Parte não periódica
a)
30
13
09
93
90
443
...4333,0 =
//
//
=
−
=
Parte não periódica (23)
Período (71)
b)
2475
587
2
2475
587
2
0594
4711
2
0099
8432
2
9900
232371
2...23717171,2 +⇒+=
////
////
+=
////
////
+=
−
+=
Parte inteira não entra na regra (2)
2475
5537
2475
5874950
=
+
Um zero só, pois a parte não periódica só é
constituída de um algarismo que é o 4.
Um nove só, pois a parte periódica só é
constituída de um algarismo que é o 3.

17. 17
Matemática Básica
Aula 03
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
inversa
3. Operações e Suas Inversas
Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incógnitas ou variáveis
necessitamos conhecer algumas regras de relação entre as operações. Assim temos:
Para isolar vaiáveis determinando assim seus valores, fazemos operações inversas. Para trocar de
membro um valor qualquer, fazemos operação inversa. É errado dizer que trocamos de sinal quando
passamos para outro membro. O certo é dizer que fazemos operação inversa.
3.1. Regra das Operações Adição e Subtração
Veja os exemplos:
a) x + 4 = 12 : isolando o x, passamos o (+ 4 ) que está fazendo adição(somando) com o ( x ) para o
segundo membro fazendo operação inversa, isto é, subtração. Logo:
x = 12 – 4
Adição Subtração
Multiplicação Divisão
Potenciação Radiciação Logaritmação
1º Membro à esquerda
da igualdade
2º Membro à direita
da igualdade.=
inversa
inversa
Adição Subtração

18. 18
Matemática Básica
Aula 03
inversa
x = 8
b) x - 7 = 17 isolando o x, passamos o 7 que está subtraindo para o 2º membro onde estará somando
fazendo assim operação inversa. Logo:
x = 17 + 7
x = 24
c) 20 - x = 30, passando +20 para o 2º membro, como estava somando, passa subtraindo.
20 - x = 30
- x = 30 – 20
- x = 10
Em (-x) o valor do x isolado deve sempre ficar positivo. Para tanto, podemos multiplicar por (- 1) os
dois membros da igualdade.
- x = 10 (-1)
x = -10
3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão
Veja os exemplos:
a) 2 x = - 14: isolando o ( x ), passamos o ( +2 ) que está multiplicando o ( x ) para o segundo
membro fazendo operação inversa, isto é, dividindo.
Logo: 7
2
14
−=⇒
−
= xx
b) 4
3
2
=
x
isolando o ( x ), passamos o ( +3 ) que está dividindo para o 2º membro multiplicando,
operação inversa. Veja: 122432 =⇒⋅= xx e o 2 que está multiplicando o x para o 2º membro
dividindo, operação inversa.
6
2
12
=⇒= xx
c) 2
8
44
3
2
−
−
=
+− xx
achando o m.m.c. de 3, 8 e 1, pois
1
2
2 =
Multiplicação
Divisão

19. 19
Matemática Básica
Aula 03
inversa
inversa
inversa
inversa
3
2
2
2
1
1
1
2
4
8
1
3
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24
⇒
−−
=
+−
24
481212
24
168 xx
⇒−−−=−− 481216128 xx Passamos os termos semelhantes em x para o 1º membro e os
números para o 2º membro fazendo operações inversas.
⇒−=− 7620x Multiplicando por (-1) ambos os membros temos.
7620 −=− x (-1)
⇒= 7620x Isolando o x, passamos o (+ 20) que está multiplicando o x para o 2º membro dividindo
e depois simplificamos:
5
19
01
83
02
67
=
//
//
=
//
//
=x
3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação
Determinar (b) é calcular o logaritmo (log)
cab
=
Determinar o (c) é calcular a potência
Determinar o (a) é calcular a raiz
(isola a potência)
Radiciação⇒=⇒= bb
cxcx (isola a base)
Aplicando radiciação ( )b
c em ambos os membros para isolar o x, temos:
bb b
cx =/
de onde obtemos: b
cx =
ãoLogaritmaç
log
log
⇒=⇒=
a
b
xbax
(isola o expoente)
Mesmo denominador em ambos os membros podemos
simplificar.
oPotenciaçã⇒= b
ax
Potenciação Radiciação Logaritmação

20. 20
Matemática Básica
Aula 03
Aplicando logaritmação (log) em ambos os membros para isolar o x, temos: bax
loglog = onde,
usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever bax loglog = de onde obtemos:
a
b
x
log
log
= .
Propriedades dos logaritmos.
Quando a base é 10, não representamos. AA loglog10 =
Para números fatoráveis, calculamos estes valores como segue. Veja o exemplo.
a) Potência822223
⇒=⇒⋅⋅=⇒= xxx
b) ⇒=⇒= 3
2282 xx
Mesma base igualamos os expoentes.
Fatorando (8)
3
2
2
2
2
1
2
4
8
⇒







Logo: x = 3⇒Logaritmo
c) ⇒=⇒= 333
28 xx Mesmo expoente igualamos as bases. Logo: raiz2 ⇒=x .
Obs. 8 (fatorando) 3
28 ==
Quando não for possível concluir a resposta pelo método da fatoração, usamos a calculadora
cientifica ou as tabelas produzidas para esta finalidade. Veja alguns exemplos usando a calculadora
cientifica.
a) x=3
2
8=x
b) 82 =x
2log
8log
=x
3=x
1) yxyx logloglog +=⋅
2) yx
y
x
logloglog −=
3) xmxm
loglog =
Tecla: 2
Tecla: yx
ou ∧
Tecla: 3
Tecla: =
Tecla: log ou ln
Tecla: 8
Tecla: ÷
Tecla: log ou ln
Tecla: 2
Tecla: =

21. 21
Matemática Básica
Aula 03
Obs. Nesta seqüência ou com pequenas mudanças para diferentes marcas de calculadoras. Pode
usar a calculadora padrão do Windows (Iniciar > Executar > Calç). Configure para ter opções da
calculadora científica (no menu Exibir > Científica)
c) 83
=x
3
8=x
2=x
Resolvendo outros exemplos:
d) x=5,1
2
...828427,2=x
e) x=− 5,1
2
f) 7,45,2
=x ou 5,2
7,4=x
g) 32 =x
ou ...584962,1
2log
3log
==x
h) 7,195,1 =x
35,7
5,1log
7,19log
==x
Tecla: 2
Tecla: yx
ou ∧
Tecla: 1,5
Tecla: =
Tecla: 2
Tecla: ∧ ou x
y
Tecla: 1,5
Tecla: ±
Tecla: =
Tecla: 2,5
Tecla: 2ndF ou Shift
Tecla: x
Tecla: 4,7
Tecla: =
Tecla: log
Tecla: 3
Tecla: ÷
Tecla: log
Tecla: 2
Tecla: =
Tecla: log
Tecla: 19,7
Tecla: ÷
Tecla: log
Tecla: 1,5
Tecla: =
Tecla: 3
Tecla: 2ndF ou Shift
Tecla: x
Tecla: 8
Tecla: =

22. 22
Matemática Básica
Aula 03
i) Veja a utilidade de saber isolar variável fazendo operações inversas para obter fórmulas. Dada a
fórmula do montante no sistema de capitalização composta t
iCM )1( +=
M = Montante no final do período de aplicação
C = Capital
i = Taxa
t = Tempo de aplicação
Isolar cada uma das variáveis M, C, i, t utilizando operações inversas.
1º) Para calcular o (M) a fórmula já está pronta, pois o mesmo já está isolado: t
iCM )1( +=
2º) Para calcular (C) passamos t
i)1( + que está multiplicando o C para o outro lado (membro)
dividindo. Logo: t
i
M
C
)1( +
=
3º) Para calcular o (t) que é expoente, usamos logaritmos. Em t
iCM )1( += passamos o (C) que
está multiplicando para o outro lado dividindo, ficando assim: ( )t
i
C
M
+= 1 . Agora aplicamos
logaritmo em ambos os membros e depois isolamos o (t). Veja:
)1log(
log
i
C
M
t
+
=
4º) Para calcular o (i) que é base, usamos radiciação. Em t
iCM )1( += passamos o (C) para o
outro lado, ficando assim: ( )
C
M
i
t
=+1 . Agora aplicamos radiciação isolando o (i). Veja:
11 −=⇒=− tt
C
M
i
C
M
i
Notou como precisamos das (sete) 7 operações para trabalhar com esta fórmula mais usada no
mundo dos juros e montante composto.

23. 23
Matemática Básica
Aula 04
4. Prioridades nas Operações
(Quem resolver primeiro?).
Quando as (sete) 7 operações estão aparecendo em parte ou todas numa mesma expressão numérica
ou algébrica com: ( ), [ ], { }, devemos dar a seguinte preferência de resolução: 1º ( ), 2º [ ], 3º { }, e
dentro de cada um desses símbolos, ou mesmo na ausência deles, devemos resolver na seguinte
ordem:
(1º) lugar: Potenciação – Radiciação – Logaritmação na ordem que aparecem da esquerda para a
direita.
(2º) lugar: Multiplicação e Divisão na ordem que aparecem.
(3º) lugar: Adição e Subtração na ordem que aparecem.
Exemplos:
a) 33
8100log4425242 −−−÷+⋅−
1º lugar (potenciação, radiciação, logaritmação)
224285242 −⋅−−÷+⋅−
2º lugar (multiplicação, divisão)
375,17282625,082 −=−−−+−
3º lugar (adição e subtração)
b) 24538log416243 22
÷⋅−−−÷−÷+
1º lugar
24539031,01642432
÷⋅−−−÷−÷+
2º lugar
1531,31039031,025,029 −=−−−−+
3º lugar
29 0,25 -10
4 16 0,9031
0,625 88
228

24. 24
Matemática Básica
Aula 04
c) ( )[ ]{ }342423543 2
−÷−−−⋅−⋅
1º lugar (parênteses)
( )[ ]{ }35,0229543 −−⋅−−⋅−⋅
( )[ ]{ }35,049543 −−−−⋅−⋅
( )[ ]{ }35,4543 −−⋅−⋅
2º lugar (colchetes)
[ ]{ }35,2243 −−⋅−⋅
{ }3903 −⋅
3º lugar (chaves)
{ } 261873 =⋅
d)






+





+





−−+ 162
8
1
3
2
4
1
3224
m.m.c de 3 e 8 é 24






+





+




 −
−+ 162
24
316
4
1
3224






+





+





−+ 162
24
13
4
1
3224






+





+−+ 162
96
13
3224
m.m.c de 1; 96;1 é 96






+




 +−
+ 16
96
192133072
24






+





//
/+ 16
69
3251
24
48
4211
48
9603251
20
48
3251
16
48
3251
4 =
+
=+=






++

25. 25
Matemática Básica
Aula 05
5. Relações e Funções
As relações e funções são fórmulas úteis na análise e solução de problemas no nosso dia a dia. Todo o
controle bancário, a análise da economia, os cálculos de engenharia, estatística, enfim, tudo o que
envolve aspectos quantitativos usa de alguma forma relações e funções. O que a matemática denomina
de ( x ) e ( y ) => variáveis e a, b, c => coeficientes, as outras áreas do conhecimento atribuem outros
nome. Veja um exemplo só:
⇒+= baxy Função do 1º grau em matemática
escoeficientba ⇒,
⇒yx, variáveis
)(livreteindependenx ⇒
dependentey ⇒ (depende de x)
As fórmulas a seguir também são funções do 1º grau que resolvem problemas nas diversas áreas de
conhecimentos.
⇒+= oVatV Função da velocidade no MRUV
⇒+= oSVtS Função da posição no MRU
⇒+= baPD Função demanda de mercado
⇒+= baPS Função oferta de mercado
⇒+= baqC Função custo
Etc., etc., etc. Como você percebe, cada relação e função têm infinitas aplicações no nosso
quotidiano produzindo respostas numéricas e permitindo análises gráficas no plano cartesiano.
5.1. Plano Cartesiano
O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si denominados de eixo (x) (abscissas) e
eixo (y) (das ordenadas) e os dois eixos permitem estabelecer as coordenadas de cada ponto.
Ordenada (y)
(a, b) Coordenadas do ponto (P)
Abscissa (x)
a
b
P
y
x

26. 26
Matemática Básica
Aula 05
Vejamos a localização de alguns pontos.
5.2. Função do 1º Grau
É uma relação do tipo baxy += cujo gráfico no plano cartesiano é uma reta.
a => Coeficiente angular ou declividade da reta em relação ao eixo ( x )
b => Coeficiente linear, onde a reta corta o eixo ( y )
⇒
−
=
a
b
x raiz, onde a reta corta o eixo ( x )
-4-6
-3 0
-5
4
2
4
6
y
x
A ( 0 ,0 )
B ( 4 , 2 )
C ( 0, 4 )
F ( -4 , 0)
E ( -6 , -5)
D ( -3, 6 )
b
x
a < 0
decrescente
x
y
P ( x , y )
x
b
crescente
x
y
a > 0
b
y
x
a = 0
constante

27. 27
Matemática Básica
Aula 05
Para traçar o gráfico no plano cartesiano podemos usar um dos métodos a seguir:
1º Método: Atribuindo de forma arbitrária (livre) valores para x e depois calculando os valores de y
(método da tabela)
2º Método: Determinando alguns pontos importantes como os pontos de intersecção com os eixo (x)
e (y) e outras propriedades dos gráficos que veremos a seguir.
1º) Atribuindo valores para (x) e calculando (y), temos:
Exemplo (1) 62 −= xy
b = - 6
a = 2
1º Método: Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a reta basta dois valores (pontos)
4612
6602
4
6
1
0
−=−⋅=⇒
−=−⋅=⇒
−
−
y
y
yx
Ou escolha outros que achar mais fácil e útil e determine os correspondentes em (y).
2º Método: Determinando os pontos de intersecção com os eixos.
Em ⇒+= baxy O coeficiente linear (b) é sempre o ponto de intersecção da reta com o eixo (y)
Em 662 −=⇒−= bxy
Em ⇒+= baxy Fazemos y = 0 e isolando x o valor encontrado é sempre o ponto de intersecção
da reta com o eixo x que denominamos de raiz. Logo:
baxy +=
0=+ bax
⇒
−
=⇒−=
a
b
xbax raiz ou ponto de intersecção da reta com o eixo x.
Em



−=
=
⇒−=
6
2
62
b
a
xy
( ) ⇒=
−−
=
−
= 3
2
6
a
b
x raiz
y
x
-4
-6
(0,-6)
(1,-4)

28. 28
Matemática Básica
Aula 05
Intersecção com o eixo (y)
Com os valores obtidos podemos traçar o gráfico
a = 2 > 0 função crescente pois:
x => cresce
y => cresce
Note que:
y = ax + b
y = 2x - 6
a = 2 > 0 => indica que a função é crescente
Exemplo (2) y = -3x + 8
1º Método
2º Método:
baxy
xy
+=
+−= 83




⇒+=
−
−
=
−
=
⇒=
...66,2
3
8
8
a
b
x
b
⇒<−= 03a Função decrescente, pois:
x => cresce
y => decresce
x
3
-6
y
y
x
8
-1
3
(0,8)
(3,-1)
Intersecção com o eixo (x) ou raiz
8/3
8
y
x
2,66...
1833
8803
1
8
3
0
−=+⋅−=⇒
=+⋅−=⇒
− y
y
yx

29. 29
Matemática Básica
Aula 05
Exemplo (3) 044 +=⇔= xyxy
1º Método:
414
4)1(4
4
4
1
1
=⋅=
−=−⋅/=→
→
−−
y
xy
yx
2º Método:
baxy
xy
+=
+= 04




⇒=
−
=
−
=
⇒=
0
4
0
0
a
b
x
b
⇒>= 04a Função crescente, pois:
x => cresce
y => cresce
Exemplo (4) 606 +=⇔= xyy
1º Método:
6610
6600
6
6
1
0
=+⋅=→
=+⋅=→
y
y
yx
Intersecção com o eixo (x) raiz
x
y
-1
1
-4
y
4
6
y
x
0 1
Intersecção com o eixo (y)
0
x
y

30. 30
Matemática Básica
Aula 05
2º Método:
y = 6 ou y = 0x + 6




⇒
−
=
−
=
⇒=
)(
0
6
6
impossível
a
b
x
b
Logo a reta não tem raiz, não corta o eixo (x),
É paralela a este eixo
⇒= 0a função constante pois:
x => cresce
y => constante (valor sempre 6)
5.3. Função do 2º grau ou quadrática
É uma relação do tipo: cbxaxy ++= 2
cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva denominada
de parábola.
c => indica onde a parábola corta o eixo (y)
a => indica: se a > 0: CVC = Concavidade Voltada para Cima. Se a < 0: CVB = Concavidade
Voltada para Baixo.
Fórmula de Báscara onde
x’ e x”, indica onde a parábola corta o eixo (x) que denominamos de
raízes.
a
b
xV
2
−
=
a
yV
4
∆−
=
6
y
x
CVB
CVC
⇒
∆±−
==
a
b
xx
2
"'
cab ⋅⋅−=∆ 42
Intersecção (y)

31. 31
Matemática Básica
Aula 05
(Xv, YV) => indica as coordenadas do vértice da parábola.
Podemos aqui também traçar o gráfico da parábola usando um dos métodos já vistos.
1º Método:
Método da tabela, atribuindo valores para (x) e calculando correspondentes em y.
2º Método:
Método dos pontos importantes e propriedades.
Vamos traçar alguns gráficos pelos dois métodos.
Exemplo (1)
cbxaxy ++= 2
62
−+= xxy





−=
=
=
6
1
1
c
b
a
1º Método:
Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a parábola precisamos de diversos pontos. E este
método não é o mais recomendado, pois não garante o traçado completo da parábola.
x’ xv
c
y
yv
x”
x

32. 32
Matemática Básica
Aula 05
764)3(
062)2(
660)0(
462)2(
664)4(
7
0
6
4
6
3
2
0
2
4
2
2
2
2
2
=−+=→
=−+=→
−=−+=→
−=−−−=→
=−−−=→
−
−−
−
y
y
y
y
y
yx
1º Método:
Os pontos importantes e propriedades
cbxaxy ++= 2
62
−+= xxy





−=
=
=
6
1
1
c
b
a
a) C = -6 => Ponto onde a parábola corta o eixo (y)
b) raízes => Ponto onde a parábola corta o eixo (x)
cab ⋅⋅−=∆ 42
25)6(1412
=−⋅⋅−=∆
⇒
∆±−
==
a
b
xx
2
"'






=
+−
=
−=
−−
=
⇒
±−
=
⋅
±−
=
2
2
51
"
3
2
51
'
2
51
12
251
x
x
x
c) vértice:
25,6
4
25
14
25
4
5,0
2
1
12
1
2
−=
−
=
⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
⋅
−
=
−
=
a
y
a
b
x
V
V
6
2 3
-4
y
7
-2
-4
x

33. 33
Matemática Básica
Aula 05
d) a = 1 > 0: CVC
Juntando as conclusões a, b, c, d traçamos a parábola.
Exemplo (2)
532 2
+−−= xxy
Resolvendo só pelo 2º método
a) c = 5 => ponto de intersecção da parábola com o eixo (y)
b) raízes => intersecção da parábola com o eixo (x)
acb 42
−=∆
494095)2(4)3( 2
=+=⋅−⋅−−=∆
4
73
)2(2
49)3(
2 −
±
=
−⋅
±−−
=
∆±−
=
a
b
x
5,2
4
73
' −=
−
+
=x
1
4
73
" =
−
−
=x
c) vértice
a) a = -2 < 0: Logo CVB
Exemplo (3)
2
4xy = note que é uma função do 2º grau incompleta, pois para cbxaxy ++= 2
faltam os termos
bx e c, onde concluímos que:
a = 4
b = 0
c = 0
y
x-0,5
-6,25
6
2-3
125,6
8
49
)2(4
49
4
75,0
4
3
4
3
)2(2
)3(
2
+=
−
−
=
−⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
−
=
−⋅
−−
=
−
=
a
y
a
b
x
V
V
CVB
-2,5 -0,75 1
6,125
5

34. 34
Matemática Básica
Aula 05
Podemos traçar o gráfico usando o 1º método (tabela) atribuindo valores ou o 2º método (pontos
principais e propriedades). Vamos usar o 2º método.
a) c = 0 => onde a parábola intercepta o eixo (y)
b) Raízes: onde intercepta o eixo (x)
acb 42
−=∆ = 004402
=⋅⋅−
0
8
0
8
00
)4(2
00
2
==
±
=
⋅
±−
=
∆±−
=
a
b
x
c) vértice
0
16
0
44
0
4
0
8
0
42
0
2
=
−
=
⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
⋅
−
=
−
=
a
y
a
b
x
V
V
d) a = 4 > 0 : CVC logo
5.4. Função Exponencial
É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a).
Se a > 1, temos gráfico do tipo:
Crescente.
Se 0 < a< 1, temos gráfico do tipo:
Decrescente.
x
ay =
CVC
x
y
x
y
1
y
1
x

35. 35
Matemática Básica
Aula 05
Exemplo (1)
x
y 2=
Usando o 1º método (da tabela) atribuímos valores para (x) e calculamos (y).
x y
-2 0,25 25,0
4
1
2
1
)2( 2
2
====→ −
y
-1 0,5 ( ) 5,0
2
1
2
1
2 1
1
====→
−
y
0 1 1)2( 0
==→ y
1 2 2)2( 1
==→ y
Crescente
x => cresce
y => cresce
Exemplo (2)
x
y 





=
2
1
:
Usando o método da tabela temos:
x y
-2 0,25 25,0
4
1
2
1
)2( 2
2
====→ −
y
-1 0,5 ( ) 5,0
2
1
2
1
2 1
1
====→
−
y
0 1 1)2( 0
==→ y
1 2 2)2( 1
==→ y
Decrescente
x => cresce
y => decresce
1
0,5
0,25
1
-2 -1
2
1
2
4
0,5
1-1-2

36. 36
Matemática Básica
Aula 05
5.5. Função Logarítmica
É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a) se a > 1, obtemos gráfico do
tipo:
Se 0 < a < 1, obtemos gráfico do tipo:
Exemplo: xxy log2log2 10 == usando o 1º método (da tabela) atribuindo valores para x, temos:
Usando (log) na calculadora científica.
401,0log22
2)1(21,0log22
0)0(21log20
21210log21
01,0
1,0
1
10
−==→−
−=−⋅==→−
===→
=⋅==→
y
y
y
y
yx
xy alog=
crescente
y
x1
decrescente
y
x1
1
0,01 0,1
10
-4
-2
2

37. 37
Matemática Básica
Aula 05
São infinitas as relações funções e para cada uma delas corresponde um gráfico. Vejamos só mais
uma.
5.6. Funções Trigonométricas
Exemplo: )(10 xseny = Ângulo
Seno
Pelo método da tabela temos:
X Y
0º y = 10 sen 0º = 10 (0) = 0
90º y = 10 sen 90º = 10 (1) = 10
180º y = 10 sen 180º = 10 (0) = 0
270º y = 10 sen 270º = 10 (-1) = -10
360º y = 10 sen 360º = 10 (0) 0
450º y = 10 sen 450º = 10 (1) = 10
540º y = 10 sen 540º = 10 (0) = 0
630º y = 10 sen 630º = 10 (-1) = -10
720º y = 10 sen 720º = 10 (0) = 0
540450
x
y
-10
10
360 7206300 27018090

39. 39
Matemática Básica
Aula 06
6. Soluções de Sistemas de Equações
Resolver sistemas de equações significa determinar os valores de (x, y) que atendem
simultaneamente ao sistema, ou seja, se são comuns às funções. Graficamente significa determinar
o ponto de intersecção das curvas das funções colocadas no mesmo plano cartesiano.
São inúmeras as aplicações deste campo da matemática de pontos comuns como:
• Equilíbrio oferta-demanda
• Ponto de nivelamento custo-receita
• Ponto de encontro (cruzamento) de corpos em movimento
• Pontos de mesma velocidade, aceleração, inflação, etc.
São muitos os métodos utilizados para a solução de sistemas. Os básicos são:
• Método da adição
• Método da substituição
• Método da comparação
Exemplo (1) Resolva o sistema e represente no plano cartesiano.
2x - y = 6
- x + 3y = - 2
Resolvendo pelo método da adição, multiplicamos a 2ª equação por (2) para que, somando com a
1ª, possamos eliminar uma das variáveis.
( )


⋅⇔−=+−
−=−
223
62
yx
yx



−=+//−
−=−//
⇒
462
62
yx
yx
2
5
10
105 −=⇒
−
=⇒−=⇒ yyy
Substituindo o valor encontrado em uma das duas equações acharemos x correspondente.
Escolhendo a 1ª temos:
4
2
8
82
262
622
6)2(2
62
−=⇒=⇒−=
−−=
−=+
−=−−
−=−
xxx
x
x
x
yx
Logo: a solução do sistema é (-4, -2)
Para traçar o gráfico das duas funções no mesmo plano cartesiano podemos usar o 1º método
(tabela) ou 2º método (pontos de intersecção com os eixos) já visto. Veja:
Usando o 2º método, isolando (y), temos:
)ª1(626262 funçãoxyxyyx ⇔+=⇒−−=−⇒−=−
)ª2(
3
2
3
1
2323 funçãoxyxyyx −=⇒−=⇒−=+−
y
x
x
y2
y1

40. 40
Matemática Básica
Aula 06
⇒= 6b onde corta o eixo (y) para 1ª função
⇒
−
=
3
2
b onde corta o eixo (y) para 2ª função
⇒−− )2,4( ponto comum para a 1ª e 2ª função.
Exemplo (2)



⇒=−
⇒=−
)ª2(22
)ª1(42
yx
yx
Resolvendo pelo método da substituição, isolamos uma das variáveis de uma das equações e
substituímos na outra.



=−
+=⇒=−
22
4242
yx
yxyx
Substituindo o (x) por 2y + 4 na 2ª equação.
2
3
6
63823284
2)42(2
−=⇒
−
=⇒−=⇒−=⇒=−+
=−+
yyyyyy
yy
Agora substituímos y = -2 em x = 2y + 4. Para determinar (x), teremos:
x = 2 (-2)+4 = -4+4=0 logo (0, -2) é a solução do sistema(intersecção das retas).
Para traçar o gráfico, podemos isolar o (y) nas duas equações e achar as raízes (onde cada uma corta
o eixo x)




−=⇒+−=−⇒=−
−=⇒+−=−⇒=−
222222
2
2
1
4242
xyxyyx
xyxyyx
raizfunção
a
b
xba
raizfunção
a
b
xba
)º2(1
2
)2(
2;2
)º1(4
2
1
)2(
2;
2
1
=
−−
=
−
=⇒−==
=
−−
=
−
=⇒−==
(0, -2) => ponto comum para a 1ª e 2ª função
6
-4
1º
2º
-2/3
-2
Isolamos (x) da 1ª equação e substituímos na 2ª
onde corta o eixo x
onde corta o eixo x

41. 41
Matemática Básica
Aula 06
Exemplo (3) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio para as seguintes funções
de demanda e oferta.



+−=
−=
pS
pD
28
534
ou



−=+−=
+−=−=
8228
345534
xxy
xxy
Pois



=
=
xp
yD
D => demanda (procura, compra de bens e serviços)
S => oferta (venda de bens e serviço)
P => preço por unidade
Resolvendo pelo método da comparação, igualamos:
D = S
34 – 5p = -8 +2p
-5p -2p = -8 -34
-7p = -42
P = 6 substituindo em uma das equações, temos:
D = 34 – 5p
D = 34 – 5 . 6
D = 34 – 30
D = 4
Logo, para o preço P = 6 teremos as quantidades de demanda e oferta D = S = 4 em equilíbrio para
a quantidade 4. logo (6, 4) solução do sistema.
6
D
S
S, D
34
-8
4
P
y
x
1º f
1 4
-2
2º f

43. 43
Matemática Básica
Aula 07
7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias
7.1. Razão
É uma relação do tipo quociente entre dois valores. Lê-se a para b.
Exemplo (1) Num concurso concorreram para 50 vagas 4000 candidatos. Qual a relação candidatos
vagas?
Resolução:
1
80
05
0004
=
//
////
==
b
a
vaga
candidato
São 80 candidatos para dada vaga
Exemplo (2) Um carro de marca (A) vende por mês 200 unidades e da marca (B) 40 unidades. Qual
a razão entre (A) e (B).
Resolução:
1
4
05
002
=
//
///
=
B
A
. A relação é de 4 da marca (A) para 1 da marca (B) ou a marca (A) vende
4 vezes mais que a marca B.
7.2. Proporção
É a igualdade entre duas razões. ⇒=
d
c
b
a
a está para b assim como c está para d.
Propriedade das proporções: a . d = b . c
7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas.
7.3.1. Diretamente Proporcionais
São diretamente proporcionais quando a razão de cada número da seqüência
A (a1, a2, a3...) pela correspondente da seqüência B (b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (K).
k
b
a
b
a
b
a
==== ...
3
3
2
2
1
1
No caso de grandezas vale a mesma relação, pois serão diretamente proporcionais se o aumento do
valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra e então as razões de dois valores de
uma é igual á razão dos dois valores correspondentes a eles na outra.
2
1
2
1
1221
2
2
1
1
b
b
a
a
oubaba
b
a
b
a
==⇒=
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é
denominada de regra de três simples. No esquema prático, como são grandezas diretamente
proporcionais, as setas terão mesmo sentido.

44. 44
Matemática Básica
Aula 07
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↓ 2
1
2
1
b
b
a
a
= ou 1221 baba =
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão dos números (20, x, y) são diretamente proporcionais aos
números da sucessão (4, 2, 1).
Resolução:
124
20 yx
== ⇒=⇒⋅=⇒=⇒ 4042024
24
20
xx
x
10=x
⇒⋅=⇒= 1204
14
20
y
y
5=y
Exemplo (2) Cinco metros de um tecido custam R$: 80,00. Quanto custam oito metros?
Resolução: Comprimento (m) preço (R$)
Comprimento(m) Preço (R$)
8
5
↓
x
80
↓
Setas no mesmo sentido por serem diretamente proporcionais. (quanto maior a compra em metros
maior será o preço)
00,128:$
5
640
8085
80
8
5
Rxxx
x
=⇒=⇒⋅=⇒=
Exemplo (3) Se um pedreiro rebocar 20m2
de parede em 4 dias, quanto pode rebocar em 25 dias?
Dias Reboco (m2
)
25
4
↓
x
20
↓
2
125
4
500
25204
20
25
4
mxx
x
==⇔⋅=⇒=
Exemplo (4) Se a distância no mapa, medido com a régua, entre duas cidades é de 10cm e a escala
do mapa é 1/100000, qual a distância real entre elas?



==⇒⋅=⋅⇒== kmcmccmx
x
cm
realocompriment
mapaocompriment
escala 101000000101000001
10
100000
1
)(
)(
7.3.2. Inversamente Proporcionais
São inversamente proporcionais quanto à razão de cada número da seqüência
A (a1, a2, a3,...) pelo inverso de cada número correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem
origem a uma constante (k) ou o produto de cada número da seqüência A (a1, a2, a3,...) pelo
correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (k).

45. 45
Matemática Básica
Aula 07
kbababaK
b
a
b
a
b
a
......
111 332211
3
3
2
2
1
1
===⇔====
No caso de grandezas, vale a mesma relação, pois serão inversamente proporcionais se o aumento
do valor de uma leva a diminuição proporcional do valor da outra e então as razões dos valores de
uma pelo inverso da correspondente é igual a razão da outra pela inversa da correspondente.
2
2
1
1
11
b
a
b
a
= ou 2211 baba =
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é
denominada de regra de três simples.
No esquema prático, como são grandezas inversamente proporcionais, as setas terão sentidos
contrários.
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↑
Para igualar, invertemos a seta da grandeza (B) com seus valores fazendo com que as duas
grandezas apontem para o mesmo sentido.
2
1
a
a
↓
1
2
2
1
1
2
b
b
a
a
b
b
=⇒↓ ou 2211 baba =
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão de números (4, x, y) são inversamente proporcionais aos
números da sucessão (9, 12, 36).
Resolução:
1
3636
3694
3
1236
1294
361294
=
⋅=
⋅=⋅
=
⋅=
⋅=⋅
⋅=⋅=⋅
y
y
y
x
x
x
yx
Exemplo (2) Três torneiras nas mesmas condições enchem um tanque em 90 min. Quantas torneiras
de mesma vazão que essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 min?
Tempo(m) nº torneias
54
90
↓
x
3
↑

46. 46
Matemática Básica
Aula 07
Setas em sentido contrário por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, pois diminuindo o
tempo teremos que aumentar o número de torneiras. Invertendo uma das setas para ficarem com
mesmo sentido, temos:
Tempo(m) nº torneias
54
90
↓
x
3
↓
)(539054
354
90
torneirasxx
x
=⇒⋅=⇒=
7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais.
Seguem as mesmas regras já vistas para as regras de três simples com grandezas diretas e
inversamente proporcionais. Só que agora uma grandeza varia em dependência com duas ou mais
grandezas.
Exemplo (1) Dez pessoas, trabalhando 5 dias, 6h por dia produzem 400 peças. Quantas pessoas
trabalhando 7dias, 8h por dia produzem 500 peças?
Resolução:
1º Passo: Montamos a tabela com as grandezas do mesmo tipo em coluna
x
Pessoasn
10
º
7
5
º Diasn
8
6
º Horasn
500
400
º Peçasn
2º Passo: Colocamos uma seta na coluna da variável sentido qualquer e depois comparamos esta
coluna com cada uma das demais colocando seta no mesmo sentido se tratar de grandezas
diretamente proporcionais e sentido contrário se tratar de grandezas inversamente proporcionais,
sem olhar para os números da coluna. Só pense no comportamento da idéia da coluna.
x
Pessoasn
10
º
7
5
º Diasn
8
6
º Horasn
500
400
º Peçasn
Comentário: Deve-se pensar que (mesmo que os números da tabela não confirmem):
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de dias (setas contrárias).
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de horas (setas contrárias).
Se aumentar o nº de pessoas aumenta o número peças.
3º Passo: Para resolver fazemos todas as setas apontarem no mesmo sentido da coluna da variável
(x)
x
10
↓
5
7
↓
6
8
↓
500
400
↓

47. 47
Matemática Básica
Aula 07
4º Passo: A razão da coluna da variável é igualada a razão do produto das demais colunas.
⇔
///⋅/⋅
///⋅/⋅
=
00365
0048710
x
Simplificando
4
112
450
4510112
45
11210
≅⇒=⇒⋅=⇒= xxx
x
(aproximadamente 4 pessoas)
7.3.4. Porcentagens
É uma razão onde o denominador é 100. Esta forma de “pensar” sobre 100 é muito utilizada no
nosso quotidiano como taxa de impostos, taxa de juros, taxa previdência, etc.
Exemplo (1) 10% de minha produção de soja se perdeu por falta de chuva.
⇒=
100
10
%10 de cada 100 partes 10 foram perdidas.
Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8.
⇒=
100
20
%20 de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8.
7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i)
Razão centesimal é toda a razão com denominador igual a 100
Exemplo: ipercentualtaxaunitáriataxacentesimalrazão =−=−=− )%(2)(02,0)(
100
2
⇒== %202,0
100
2
(lê-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100.
7.3.4.2. Porcentagem
Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido também recebe
um nome especial: porcentagem.
P = Porcentagem
i = Taxa de porcentagem
p = Valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal)
Exemplo (1) Quanto é 4% de 750.
Resolução:
P = i . p
4
3

48. 48
Matemática Básica
Aula 07
?
750
04,0
100
4
%4
=
=
===
P
p
i
3075004,0 =⋅⇒⋅= piP
Podemos também usar regra de três simples. Veja:
%4
%100
)( mporcentageTaxa
x
mPorcentage
750
30
100
3000
7504100
750
4
100
=∴=⇒⋅=⋅⇒= xxx
x
Exemplo (2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$: 800,00. Qual o preço desse objeto?
800
?
15,0
100
15
%15
=
=
===
P
p
i
33,5333:$
15,0
800
15,0800 RpppiP ==⇒⋅=⇒⋅=
Usando regra de três:
x→
→
%100
800%15
ou
x
800
100
15
=
33,5333:$
15
80000
80010015 Rxxx =⇒=⇒⋅=⋅
Exemplo (3) Ao pagar uma dívida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00 de multa. De
quantos por cento foi a multa?
Resolução:
00,1800
130
?
=
=
=
P
p
i
%2,7072,0
1800
130
1800130 ===⇒⋅=⇒⋅= iipiP
Ou regra de três:
%2,7
%1001301800
130
%1001800
=
⋅=
→
→
x
x
x

49. 49
Matemática Básica
Aula 07
7.4. Média
É a obtenção de um resultado único partindo de uma seqüência de dados com a finalidade de obter
uma informação classificatória ou para comparar com outros valores similares.
7.4.1. Média Aritmética Simples
Média aritmética simples (XS) é a razão entre a soma dos valores (x1, x2, x3, ...xn) e n (quantidade
destes valores).
Exemplo:
As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram: 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6 e 4º B =
8. Qual a média aritmética do ano?
5,5
4
8653
=
+++
=SX
7.4.2. Média Aritmética Ponderada
Média aritmética ponderada (XP) é a razão entre a soma do produto dos pesos ( nppp ,...21 ) pelos
seus respectivos valores ),...,( 21 nxxx e a soma dos pesos.
Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6
e 4º B = 8. Qual a média aritmética ponderada se os pesos dos bimestres foram:
1º B = 1; 2º B = 2; 3º B = 3; 4º B = 4
3,6
10
63
4321
84635231
==
+++
⋅+⋅+⋅+⋅
=PX
7.4.3. Média Geométrica
A média geométrica de (n) números reais positivos é a raiz n-ésima do produto entre esses números,
isto é:
n
nG xxxxX ...321 ⋅⋅=
n
nn
P
ppp
xpxpxp
X
+++
++
=
...
...
21
2211
n
xxxx
X n
S
...321 +++
=

50. 50
Matemática Básica
Aula 07
Exemplo (1) A média geométrica entre os números 7, 13, 18, 35 é dada por:
47,15573303518137 44
==⋅⋅⋅=GX
Exemplo (2) Qual o retângulo de menor perímetro com área de 64 cm2
?
64=⋅ba A média geométrica de ba ⋅ fornece este valor: ⇒== 864GX É o quadrado de lado 8
cujo perímetro vale 32 cm.

51. 51
Matemática Básica
Aula 08
8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais
As expressões algébricas contêm parte numérica e parte literal (letras) e são usadas na solução de
problemas e demonstrações de fórmulas em todas as áreas do conhecimento quantitativo.
Polinômios: As expressões algébricas são denominadas de polinômios quando possuírem só um
tipo de variável na forma dos exemplos a seguir:
⇒x3 Monômio (um termo)
⇒+ 23x Binômio (dois termos)
⇒−+ 122 2
xx Trinômio (três termos)
⇒+−+ 2325 23
xxx Polinômio (denominação genérica).
8.1. Adição e subtração de expressões
Só podemos operar (juntar) termos semelhantes, isto é, que tem a mesma parte literal com mesmo
expoente.
Exemplo (1) )4323()342()3( zyxxyzyxzyxy −++=−++−−
Exemplo (2)
58311)642545()6425()45( 33333
−+−=++−−+−=−−+−+− yxxyxyyxyxxyxyzxyxxy
8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis.
Multiplicamos parte numérica com parte numérica e parte literal com literal.
Exemplo (1)
xyyx 15)3()5( −=−⋅
Exemplo (2)
4734343)1()43( 2222222
+−+−⇒+−++−=+⋅+− yxxyxyxxxyxxyx
Exemplo (3)
)2()222( 223
−⋅−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo em colunas.
Obs. O (-2) e o (x2
) multiplicam cada termo e os resultados são postos em colunas por semelhança
para somarmos em seguida.
semelhantes
semelhantes
semelhantes
semelhantes

52. 52
Matemática Básica
Aula 08
2
43
2
23
−
−−−
x
xxx
8226 23
+++− xxx
2345
43 xxxx −−−
82273 2345
++−−− xxxxx
8.2.1. Produtos Notáveis
Denominamos de produtos notáveis quando multiplicamos binômios iguais. Veja:
22222
2)()()(º1 bababbaababababa ++=+++=+⋅+=+⇒
22
2))(()()(º2 babababababa +−=−−=−⋅−⇒
22
)()(º3 bababa −=−⋅+⇒
Desenvolva usando produtos notáveis.
Exemplo (1)
22222
25309)5(532)3()53( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+
Exemplo (2)
Usando o 2º produto notável
2222
44222)2( xxxxx −−=+⋅−=−
Exemplo (3)
Usando o 3º produto notável
9253)5()35)(35()53()53( 222
−=−=+−=+⋅+− xxxxxx
a b b2
a2
2ab
a2
- 2ab + b2
a b
a2
– b2a ba b

53. 53
Matemática Básica
Aula 08
8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais
Dividimos número por número e parte algébrica por parte algébrica de cada termo do numerador
pelo termo do denominador.
Exemplo (1)
xxxx
xx
x
x
xx
33
4
21
412 3
2
32
=
///
///
=
//
///
=÷
Exemplo (2)
yxxy
x
yxyx
x
yx
yx
yxxyx 2222
3
33
3
8
3
4
3
4
3
8
3
4
3
4
3)844( ++=++⇒÷++
Exemplo (3)
)2()233( 23
−÷−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo, neste caso, para a divisão de
polinômios. Lembre:
CR
RCBABA +⋅=⇔
A = Dividendo
B = Divisor
C = Quociente
R = Resto
2
210
512
− 22512 +⋅=
23
23
63
233
xx
xxx
−//−
−−−//
1793
2
2
+−
−
xx
x
xx
xx
189
29
2
2
+//+
−−//−
3471
271
+///−
−///
x
x
32
Podemos provar que: 32)2()1793(233 223
+−⋅+−=−−− xxxxxx
Divide sempre 1º termo do dividendo pelo 1º do divisor e a resposta que dá no quociente multiplica
por cada termo do divisor colocando o resultado de baixo do dividendo com sinal contrário em
A resposta da divisão é
1793 2
+− xx com resto 32

54. 54
Matemática Básica
Aula 08
colunas semelhantes para somar e retornar ao mesmo procedimento podendo sobrar no final resto
diferente de zero.
8.4. Fatoração e Simplificação
Sempre que for possível fatorar e simplificar para tornar mais simples uma expressão numérica ou
algébrica devemos fazê-lo com os seguintes procedimentos.
• Colocando em evidência o que é comum a cada termo (fatoração)
• Cancelando fatores do numerador com fatores do denominador da fração que sejam
semelhantes (simplificação)
• Dividindo numerador e denominador por um mesmo valor (simplificação)
• Juntando (adição e subtração) termos semelhantes (fatoração)
Fatore e ou simplifique as expressões a seguir sempre que for possível.
Exemplo (1)
1º) Colocando em evidência (3xy) no numerador por serem comuns a cada termo e (y) do
denominador por ser comum a cada termo.
)1(
)2(3
2
−
−
xy
yxy
2º) Dividimos cada termo dado inicialmente pela parte posta em evidência. Vejamos.
2
3
6
3
3 2
=
///
///
=
///
// /
yx
yx
y
yx
yx
Veja denominador
12
2
==
/
/
y
y
x
y
xy
3º) Simplificamos (y) (parte comum em evidência do numerador e denominador) e obtemos a
resposta
)1(
)2(3
2
−/
−/
xy
yyx
1
)2(3
2
−
−
x
yx
Exemplo (2)
yyx
xyxy
−
−
2
2
63

55. 55
Matemática Básica
Aula 08
⇒





−
9
1
16 2
a (Fatoramos) lembrando o produto notável 22
)()( bababa −=−⋅+ . É só extrair a
raiz para obter os valores anteriores.
3
1
9
1
416 2
=
= aa
Logo: 





−⋅





+=−
3
1
4
3
1
4
9
1
16 2
aaa
Exemplo (3)
⇒+− 1682
xx vem de um produto notável do tipo: bababababa +−=−=−⋅− 2)()()( 22
. Para
achar a e b é só extrair a raiz de x2
e 16.
xx =2
416 =
Logo: )4()4(1682
−⋅−=+− xxxx
Exemplo (4)
⇒
+−
−
96
9
2
2
xx
x
Fatorando numerador e denominador com os produtos notáveis temos:
)3()3(92
−⋅+=− xxx
)3()3(962
−⋅−=+− xxxx
xx =2
39 =
Logo:
3
3
)3)(3(
)3)(3(
96
9
2
2
−
+
=
−−
−+
=
+−
−
x
x
xx
xx
xx
x
Exemplo (5)
Cuidado nas simplificações numéricas.
• Nas adições e subtrações, todos os termos do numerador devem ser simplificados com o
denominador, pois equivale a pôr em evidencia. Veja:
yx
yx
84
5
4020
+=
+
pois yxyx
yx
84)2(4
5
)2(20
+=+=
+
• Na multiplicação e divisão, é um fator do numerador com um do denominador. Veja:
xy
yxyx
160
1
404
5
4020
=
⋅
=
/
⋅

56. 56
Matemática Básica
Aula 08
y
x
y
x
yx
31
5
124
20
)124(20
−
=
−
=−÷ pois:
)31(
5
)31(4
20
yy −
=
−

57. 57
Matemática Básica
Aula 09
9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo
A trigonometria básica do triângulo é uma das partes da matemática mais antiga e aplicada pelos
povos antigos em suas construções de pirâmides, cálculos de distâncias, alturas, topografia, etc.
Estudaremos aqui só as relações métricas e trigonométricas do triangulo retângulo.
9.1. Relações Trigonométricas
(Relações lados - ângulos)
tggente
seno
senoseno
alfaângulo
⇒
⇒
⇒
⇒
tan
coscos
)(α
α
α
α
αα
cos
1cos22
sen
tg
sen
=
=+
c
a
sen =α
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α
hipotenusac ⇒
c
b
=αcos
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α
hipotenusac ⇒
b
a
tg =α
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α
Exemplo: Calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo (α ) e comprovar as demais relações.
α
a
c
b
α
3
5
4

58. 58
Matemática Básica
Aula 09
75,0
4
3
8,0
5
4
cos
6,0
5
3
==
==
==
α
α
α
tg
sen
1cos22
=+ ααsen
1
25
16
25
9
1
5
4
5
3
22
=+⇒=





+





α
α
α
cos
sen
tg =
75,0
4
3
4
5
5
3
5
4
5
3
4
3
==
/
⋅
/
==
O ângulo α vale 36,86989765º, usando sen-1
(0,6) na calculadora podemos obter este valor.
sen 36,86989765º= 0,6
cos 36,86989765º=0,8
tg 36,86989765º=0,75
9.2. Relações Métricas
Pitágoras
A soma dos quadrados dos catetos (a2
+ b2
) é igual ao quadrado da hipotenusa (c2
)
222
cba =+
Relações secundárias
hcba
nmc
nmh
ncb
mca
cba
⋅=⋅
+=
⋅=
⋅=
⋅=
=+
2
2
2
222
h
n
α
m
b
a
c

59. 59
Matemática Básica
Aula 09
Exemplo: Conferir as relações métricas do triângulo retângulo.
25169543 222
=+⇒=+
5
16
54
5
9
53
22
22
=⇒⋅=⇒⋅=
=⇒⋅=⇒⋅=
nnncb
mmmca




==+
=+
5
5
25
5
16
5
9
cnm
4,2
5
12
5
43
5
16
5
92
==
⋅
=⋅=⋅=⇒⋅= nmhnmh
12124,2543 =⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅ hcba
α
m
n
b = 4
ha = 3
c = 5

61. 61
Matemática Básica
Aula 10
10.Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações
10.1. Grandezas Físicas
Grandezas físicas (físicas, químicas, biológicas, etc) são todas as grandezas que podemos medir ou
contar e que para tal tem instrumentos de medição e contagem e um significado físico padrão
também denominado de unidade.
10.2. Fenômenos Físicos
O homem observa os fenômenos para descobrir as leis que os regem. As descobertas científicas se
traduzem em aplicações tecnológicas como o avião, o carro, o telefone celular, etc.
10.3. Medição
A medição é a operação pela qual associamos um número a uma grandeza física.
Ex: massa de uma porção de ouro, m = 3 kg, medida com a balança.
10.4. Sistemas de Unidades
Sistema Internacional (SI) – grandezas fundamentais da física.
Uma unidade física é um padrão de comparação. O sistema internacional de medidas (SI) também é
denominado MKS (metro-kilograma segundo) que constituem as grandezas fundamentais da
mecânica.
Existem, ainda, dois outros sistemas em uso, veja a seguir.
Unidades e subunidades
1 tonelada = 1t = 1.000 kg
tempo: 1h = 60 min = 3.600s
Exemplos:
1 km = 1.000 m
1 kg = 1.000 g
8 h = 28.800 s
5,80 m = 580 cm

62. 62
Matemática Básica
Aula 10
600 g = 0,6 kg
1 mm = 0,001 m
1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 
2 km2 = 2.000.000 m2
500  = 0,5 m3
s
m
s
m
h
km
10
600.3
600.3
36 ==
10.5. Fatores que interferem na medição
É impossível medir uma grandeza física com precisão absoluta devido a fatores como
incompetência e desatenção do medidor, imperfeições do aparelho, grau de precisão do
instrumento, etc. Fenômenos como dilatações, temperatura, umidade do ar e outros interferem no
valor da medida.
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida
A precisão de um instrumento de medida corresponde à menor divisão do instrumento.
Ex.: uma régua graduada em milímetros tem precisão de milímetros e uma balança graduada em
dg (decigrama) tem precisão de decigrama.
10.7. Algarismo significativo
É todo o algarismo relacionado com a medição e o instrumento utilizado. Os algarismos corretos e o
primeiro algarismo duvidoso, isto é, que vai além da menor divisão oferecida pelo instrumento, são
chamados de algarismos significativos.
Exemplo: Em uma régua cuja menor divisão é o milímetro, deve-se obter medidas até décimos
de mm. Assim, por exemplo, ao se medir o comprimento de um lápis com esta régua podemos
obter valores como:
duvidoso em décimos de mm (vai além do instrumento)
precisão do instrumento em (mm)
10.8. Arredondamentos
Os valores das grandezas são arredondados para manter o número de algarismos significativos da
medição. Assim, o procedimento mais simples utilizado é o seguinte: se o algarismo imediatamente
à direita do último algarismo a ser conservado for inferior a 5, suprimimos o algarismo e todos os
subseqüentes a ele, e o anterior fica como está; se for igual ou superior a 5, o anterior é aumentado
de uma unidade.
15,32 cm

63. 63
Matemática Básica
Aula 10
Ex.: se desejamos uma precisão de duas casas decimais, fazemos:
10.8.1. Operações com Algarismos Significativos
10.8.1.1. Adição e Subtração
O resultado deverá ter o número de casas decimais da parcela que menos os tiver:
Exemplos:
a)
b)
c)
10.8.1.2. Multiplicação e Divisão:
O resultado deverá ter o número de algarismos significativos do fator que menos os tiver.
Exemplos:
a)  
2
.2
2
.2.4
49443,492,342,15 cmcmcmcm
signsignsignif
→///=⋅
b)   mmmm
signsignsignif .3.2
2
.4
82,15975681,141,2378,4 →/=÷
10.9. Notação Científica
Notação científica de uma grandeza física é escrever este valor num produto de dois fatores, onde o
1° é um número situado entre 1 e 10 e o 2° é uma potência de 10.
Ex.: 0,0003s = 3,0 . 10-4s.
20,345 cm = 20,35 cm.
20,3449 cm = 20, 34 cm.
7,49 kg → 2 casas
– 3,2 kg → 1 casa
4,29 kg
4,3 kg → 1 casa
8,389 m → 3 casas
+ 0,40 m → 2 casas
8,789 m
8,79 m → 2 casas
125,12 cm → 2 casas
+ 40,3 cm → 1 casa
165,42
165,4 cm → 1 casa

64. 64
Matemática Básica
Aula 10
1231m = 1,231 . 103m.
0,0021g = 2,1 . 10-3g.
carga elétrica elementar 1,6 . 10-19 coucomb
Ano-luz 9,46 . 1015 metros.
N° de Avogadro 6,02 . 1023
Massa da Terra 5,983 . 1024 quilogramas.
Operações:
Adição: 2⋅107 + 23⋅106 = 2⋅107 + 2,3⋅107 = 4,3⋅107
Subtração: 4⋅108 – 4⋅107 = 4⋅108 – 0,4⋅108 = 3,6⋅108
Multiplicação: (2.103).(4.106)=8.109
Divisão: 4
3
7
37
102
102
104
102104 ⋅=
⋅
⋅
=⋅÷⋅
10.10. Ordem de grandeza.
É a potência de dez mais próxima do valor da medida.
Para facilitar a obtenção da ordem de grandeza de um número adotamos os seguintes passos:
1º passo: escrevemos o número em notação cientifica.
2º passo: se o número que multiplica a potência de dez for igual ou superior a 5,5, isto gera
101
que vai se juntar à potência já existente. Caso for inferior a 5,5, gera 100
que não vai alterar a
potência anterior.
Ex.: 822  8,22 · 102
 101
· 102
 103
110  1,10 · 102
 100
· 102
 102
2,5 · 104
 100
· 106
 106
5,8 · 106
 101
· 106
 107
0,0055  5,5 · 10-3
 101
· 10-3
 10-2
10.11. Grandezas Físicas
É toda a grandeza que podemos medir.
10.11.1. Grandezas Escalares
são as que ficam bem definidas quando expressas por:
– um número
– um significado físico (unidade)
Ex.:
10.11.2. Grandezas Vetoriais
são as que ficam bem definidas quando expressas por:
– um número
– um significado físico (unidade)
3kg, 2 s
significado físico
número

65. 65
Matemática Básica
Aula 10
– uma orientação (direção e sentido que é dado por uma flecha que denominamos de vetor.)
Ex.:
3 → número (intensidade)
N → Newton (unidade de força)
direção: horizontal
sentido: para direita
10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais
10.11.2.1.1. Adição
21 VVS

+= ou 21 VVR

+=
Seja a soma dos vetores 1V

e 2V

Vejamos três métodos para determinar o vetor resultante.
10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal
Os vetores são postos um após o outro.
08,63712916
120cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
≅=++=
°⋅⋅−+=
−+=
R
R
VVVVR α

66. 66
Matemática Básica
Aula 10
10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo
Os vetores têm a mesma origem.
08,6
60cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
=
°⋅⋅++=
++=
R
R
VVVVR θ
10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana
V2x = V2 cos 60º = 3 . 0,5 = 1,5
V2y = V2 sen 60º = 3 . 0,866 = 2,598
Note que:
V2 = 3 foi projetado sobre o eixo x e sobre o eixo y, já o vetor V1 = 4 já está sobre o eixo ou
seja, já se encontra projetado onde:
V1x = V1 = 4 (sobre o eixo x)
V1y = 0 (sobre o eixo y)
Logo:
θ = 60º

67. 67
Matemática Básica
Aula 10
08,69996,36
7496,625,30
)598,2()5,5( 22
22
≅=
+=
+=
+=
R
R
R
RRR yx
10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença
21 VVD

−=
Procede-se como na adição, bastando inverter o vetor.
Veja:
10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal
61,3131225
60cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
≅=−=
°⋅⋅−+=
−+=
D
D
VVVVD θ
10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo
61,3
)5,0(34234
120cos2
22
21
2
2
2
1
=≅
−⋅⋅⋅++=
°++=
D
D
VVVVD
ou
Rx = V2x + V1 = 1,5 + 4 = 5,5
resultante sobre o eixo x
Ry = V2y = 2,598
resultante sobre o eixo y

68. 68
Matemática Básica
Aula 10
61,3
5,034234
60cos2
22
21
2
2
2
1
≅
⋅⋅⋅−+=
°−+=
D
D
VVVVD
10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana
V2x = –V2 cos 60º = –3.0,5 = –1,5
V2y = –V2 sen 60º = –3.0,866 = –2,598
Rx = V1 + V2y = 4 – 1,5 = 2,5
Ry = V2y = –2,598
61,3
9996,12
7496,625,6
22
≅
=
+=
+=
D
D
D
RRD yx