Lista de exercícios - Cálculo Diferencial e Integral I                                Problemas de Otimização1) De uma lon...
b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.      c) Determine a aceleração em um instante t arbitrário.8) Um fab...
375C = 15(πr2) + 5(2πr                   )                                 r2C = 15πr2 + 3750r           -1C’(r) = 0      ...
7) a) – 4,9t2 + 120t = 0t = 0 ou t = 24,5                         b) v(t) = 0O projétil atinge o solo após 24,5        t =...
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Lista otimizacao e_gabarito

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  1. 1. Lista de exercícios - Cálculo Diferencial e Integral I Problemas de Otimização1) De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer umacalha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devemser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?2) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto dacartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine otamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.3) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375π cm3. O custodo material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo domaterial usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda dematerial, determine as dimensões que minimizem o custo do material.4) Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito emum cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do conecoincidem.5) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma decilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo de metroquadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade dotanque deve ser de 10π cm3, que dimensões minimizará o custo da construção?6) Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligada a um circuito Vde resistência variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I = . Se a (R + r)força resultante é dada por P = I2.R, mostre que a força máxima ocorre quando R = r.7) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s.Pela física sabemos que sua distância acima do solo após t segundos és(t) = - 4,9t2 + 120t. a) Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
  2. 2. b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil. c) Determine a aceleração em um instante t arbitrário.8) Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de xreproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x3 – 3x2 – 80x + 500.Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro?Qual o máximo lucro semanal possível?9) Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Comopoderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecçãoda lata?10) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área depiquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve serretangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos trêslados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que seránecessária para completar o trabalho?11) No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado “fator dearraste”, isto é, a força de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede Bo arraste por uma função da forma F(v) = Av2 + , onde A e B são constantes v2positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste é minimizado quando v = B160 mph. Use esta informação para encontrar a razão . A Sugestões para a resolução e gabarito1) x = 7,5 cm 2) V = x(40 – 2x)(52 – 2x) x = 7,47 cm__________________________________________________________________3) V = 375π cm3V = πr2h = 375π 375h= r2Custo = 15(πr2) + 5(2πrh)
  3. 3. 375C = 15(πr2) + 5(2πr ) r2C = 15πr2 + 3750r -1C’(r) = 0 -230πr - 3750r =0r = 5 cmh = 15 cm___________________________________________________________________4) Fazendo semelhança de triângulos h 12 = 4−r 4 h = 3(4 – r)V = πr2h = πr2(3)(4 – r) 8r= 3____________________________________________________________________ 135) r = 15 m 2h = 23 15 m____________________________________________________________________ V6) I = R +rP = I2 R 2  V P=   R R + r P’(R) = 0R=r____________________________________________________________________
  4. 4. 7) a) – 4,9t2 + 120t = 0t = 0 ou t = 24,5 b) v(t) = 0O projétil atinge o solo após 24,5 t = 12,24 ssegundosv(t) = s’(t) = –9,8 + 120 c) a(t) = s”(t) = – 9,8 m/s2s’(24,5) = –120,1 m/sv(24,5)  = 120,1 m/s____________________________________________________________________8) Lucro = L(x) L(x) = R(x) – C(x)Receita = R(x) L(x) = 2800x – (x3 – 3x2 – 80x + 500)Custo = C(x) L’(x) = 0Resposta: x = 32 mesasL(32) = 61 964 unidades monetárias____________________________________________________________________9) V = 1000 cm3 M’(r) = 0V = πr h = 1000 2 500 r= 3 ≈ 5,42 cm 1000 Πh= Πr 2 h = 10,84 cm = 2rMaterial = 2πr2 + 2πrh 1000M(r) = 2πr2 + 2πr Πr 2____________________________________________________________________10) A = 5000 m2 5000 C(x) = 2x +A = xy = 5000 x 5000 C’(x) = 0y= x x = 50mCerca = 2x + y y = 100m____________________________________________________________________ B11) F(v) = Av2 + v2F’(v) = 0 B = (160)4 A

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