Caroline GodoyTurma : Sistemas de Informação
Teste de HipóteseTeste para a variância• Em algumas situações, tais como problemas de controle de  qualidade, além da medi...
Teste de HipóteseTeste para a variância                                                               Segue uma distribuiç...
Teste de Hipótese  Teste para a variância • As regiões de rejeição podem ser apresentadas como:2              2           ...
Teste de HipóteseExemplo 5• Sabe-se que em uma região do país a altura média é de 1,68m com  variância 0,30m2. Um pesquisa...
Teste de HipóteseComparação das variâncias de DuasPopulações ou Tratamentos• Suponha que temos duas amostras independentes...
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Teste de HipóteseComparação das variâncias de DuasPopulações ou Tratamentos• Rejeitamos a hipótese nula se:         Fc    ...
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Teste de HipóteseExemplo 6• Considerando duas populações, uma com 13 observações e outra com  7, qual os valores de F para...
Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos• Comparar duas populações ou dois tratamentos é muito frequen...
Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos• O planejamento dos experimentos de duas populações pode ser ...
Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras independentes• Questões iniciais:    1.   As duas ...
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Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras independentes• Portanto, rejeita-se H0 se:i ) | tc...
Teste de Hipótese  Comparação de Duas Populações ou  Tratamentos – Amostras independentes  • Intervalo de Confiança para a...
Teste de HipóteseCorreção da Prova1.   Explique o Teorema do Limite Central (TLC).2.   Explique a diferença entre estimaçã...
Teste de HipóteseCorreção da Prova5.   Para estimar o rendimento semanal de operários de construção de uma     grande cida...
Teste de HipóteseCorreção da Prova7.   A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito     preocupada...
Próxima aula• Teste para duas populações com variâncias diferentes;• Testes para amostras pareadas;
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  1. 1. Caroline GodoyTurma : Sistemas de Informação
  2. 2. Teste de HipóteseTeste para a variância• Em algumas situações, tais como problemas de controle de qualidade, além da medida de eficiência do tratamento, ou do interesse sobre a média por exemplo, existe o interesse no comportamento da variabilidade da medida de interesse.• Portanto surge a necessidade do teste de hipótese a cerca da variância da medida de interesse, ou seja, 2 2 H0 : 0 2 2 0 2 2 H1 : 0 2 2 0
  3. 3. Teste de HipóteseTeste para a variância Segue uma distribuição• A estatística de teste neste caso é dada por: Qui-quadrado 2 (n 1) S 2 2 c 2 ~ n 1 0 O valor que quero testar na hipótese• Rejeita-se H0 se: 2 2 2 2i) c n 1;1 ( 2) ou c n 1; 2 (teste bilateral) 2 2ii) c n 1; (teste unilateralà direita) 2 2iii) c n 1;1 (teste unilateralà esquerda)
  4. 4. Teste de Hipótese Teste para a variância • As regiões de rejeição podem ser apresentadas como:2 2 2 2n 1;1 ( 2) n 1; 2 n 1; n 1;1
  5. 5. Teste de HipóteseExemplo 5• Sabe-se que em uma região do país a altura média é de 1,68m com variância 0,30m2. Um pesquisador acredita que a alimentação rotineira em uma cidade litorânea, sendo diferente da região como um todo, contribui para que as pessoas apresentem alturas mais homogêneas, apesar de não alterar a altura média na população da cidade. Para verificar a sua suspeitas, ele coletou uma amostra de 31 pessoas e obteve como estimativa para a variância o valor de S2=0,25m2. Realizar um teste de hipótese para verificar a suspeita do pesquisador para α=4%.
  6. 6. Teste de HipóteseComparação das variâncias de DuasPopulações ou Tratamentos• Suponha que temos duas amostras independentes, de tamanhos n1 e n2, retiradas de duas populações normais com a mesma variância σ2 S12 S 2 obtidos das amostras por2 e respectivamente.• Já vimos que: (n1 1) S12 2 U 2 ~ (n1 1) 2 (n2 1) S 2 2 V 2 ~ (n2 1)• E portanto: U S12 (n1 1) 2 ~ F (n1 1, n2 1) S2 V (n2 1)
  7. 7. Teste de HipóteseComparação das variâncias de DuasPopulações ou Tratamentos• Consideremos, agora, uma amostra ( X1 ,..., X n ) de uma população com distribuição N ( 1; 12 ) e uma amostra (Y1 ,...,Ym ) de uma população 2 com distribuição N ( 2 ; 2 ) . Suponhamos que as duas amostras sejam independentes.• Queremos testar: 2 2 2 H 0: 1 2 2 2 H 0: 1 2 S12• Então fixamos α e verificamos o valor da estatística de teste Fc . 2 S2
  8. 8. Teste de HipóteseComparação das variâncias de DuasPopulações ou Tratamentos• Rejeitamos a hipótese nula se: Fc Fn 1;m 1; 2 ou Fc Fn 1;m 1;1 ( 2) A tabela somente nos fornece o valor da cauda da direita, mas podemos calcular o valor da cauda esquerda como: Fn 1 1;m 1;1 ( 2) Fm 1;n 1; 2 Fm 1;n 1;1 ( 2) Fn 1;m 1;( 2)
  9. 9. Teste de HipóteseComparação das variâncias de DuasPopulações ou Tratamentos• Se o teste for unilateral rejeitamos a hipótese nula se: Fc Fn 1;m 1; Fc Fn 1;m 1;1 Fn 1;m 1;1 Fm 1;n 1;
  10. 10. Teste de HipóteseExemplo 6• Considerando duas populações, uma com 13 observações e outra com 7, qual os valores de F para um teste bilateral de variâncias para testar 2 2 2 H 0: 1 2 2 2 H 0: 1 2• Considere α=10%
  11. 11. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos• Comparar duas populações ou dois tratamentos é muito frequente na prática estatística. Uma pergunta que aparece frequentemente em qualquer problema é: O tratamento (método) A é melhor que (mais eficiente) que o tratamento (método) B?• Para comparar as respostas de dois métodos ou populações, pode-se usar planos de pares equiparados ou comparar amostras aleatórias selecionadas separadamente de cada poopulação.• Exemplo: Um banco deseja conhecer qual dos dois planos de incentivo aumentará mais o uso de seus cartões de crédito. Ele oferece cada incentivo a uma a.a. de clientes de cartões de crédito e compara a quantidade debitada no cartão durante os 6 meses seguintes.
  12. 12. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos• O planejamento dos experimentos de duas populações pode ser de dois tipos: • Planejamento Aleatorizado (amostras independentes) Pop. 1: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta A; (amostra de n1 valores) Pop. 2: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta B. (amostra de n2 valores) • Planejamento Pareado (amostras dependentes) Pop. 1: Peso dos indivíduos antes da dieta A Pop. 2: Peso dos indivíduos depois da dieta A. (amostra única de tamanho n)
  13. 13. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras independentes• Questões iniciais: 1. As duas populações são normais? Verificar por gráficos como Box Plot ou Histograma já vistos. 2. As variâncias são iguais ou diferentes? Realizar o Teste F já visto. 3. As variâncias da população são conhecidas ou desconhecidas?
  14. 14. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos – Amostras independentes• Considerando as duas populações Normais ; variâncias iguais e desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de Verossimilhança: H 0: A B H 0: B A 2 2 (YB YA ) ( B ) (n A 1) S A (nB 1) S Btc A onde Sp n A nB 2 1 1 Sp nA nB
  15. 15. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras independentes• Portanto, rejeita-se H0 se:i ) | tc | t nA nB 2; 2 (teste bilateral)ii) tc t nA nB 2; (teste unilateralà direita)iii) tc t nA nB 2; (teste unilateralà esquerda)
  16. 16. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos – Amostras independentes • Intervalo de Confiança para a diferença : B A * 1 1 * 1 1IC( B A ; ) : ( xB xA ) t S p ; ( xB xA ) t S p nA nB nA nB * t tnA nB 2; 2
  17. 17. Teste de HipóteseCorreção da Prova1. Explique o Teorema do Limite Central (TLC).2. Explique a diferença entre estimação por ponto e por intervalo.3. Como podemos verificar se o comportamento de um conjunto de dados segue uma distribuição normal?4. Um centro de estudos de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para avaliar a opinião dos telespectadores de uma região, sobre certo comentarista esportivo. Para isso entrevistou 380 telespectadores, selecionados ao acaso da região, e constatou que 180 desejavam que o comentarista fosse afastado da TV. Determine um intervalo de confiança de 90% para p: proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista.
  18. 18. Teste de HipóteseCorreção da Prova5. Para estimar o rendimento semanal de operários de construção de uma grande cidade, um sociólogo seleciona uma amostra aleatória de 75 operários. A média amostral é dada por reais e reais. Determine um intervalo de confiança para considerando 90% e 95% de confiança. Qual intervalo abrange mais valores? Por quê?6. Complete as informações sobre testes de hipóteses abaixo: P(erro ) P( H0 | H0 ) P(erro ) P( H0 | H0 )
  19. 19. Teste de HipóteseCorreção da Prova7. A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem por ano e desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra de nove indústrias e medido o número de horas/homens perdidas por acidente, que foi de 50 horas. Você diria, no nível de 5%, que há evidência de melhoria? (Defina as hipóteses e suponha normalidade nos dados).
  20. 20. Próxima aula• Teste para duas populações com variâncias diferentes;• Testes para amostras pareadas;

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