polígrafo

1. DEMONSTRAC¸ ˜OES DE TEOREMAS
ENVOLVENDO POTENCIAC¸ ˜AO E
RADICIAC¸ ˜AO
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
Sabemos que am
× an
= am+n
. Usaremos esta defini¸c˜ao nas provas que se
seguem.
A) Provar que a0
= 1, para a = 0.
Prova:
1. Sabemos que am
× an
= am+n
, assumimos n = 0 e obtemos am
× a0
=
am+0
2. am
× a0
= am+0
= am
[elemento neutro da adi¸c˜ao]
3. 1
am am
× a0
= 1
am am
[prop. das equa¸c˜oes, com a = 0]
4. 1.a0
= 1 [inversa multiplicativa]
5. a0
= 1 [elemento neutro da multiplica¸c˜ao]
6. Est´a provado o enunciado
B) Provar que a−m
= 1/am
, para a = 0.
Prova:
1. Sabemos que am
× an
= am+n
, assumimos n = −m e obtemos am
×
a−m
= am+(−m)
2. am
× a−m
= a0
[prop. da inversa aditiva]
3. am
× a−m
= 1 [teorema anterior]
4. 1
am am
× a−m
= 1
am .1 [prop. das equa¸c˜oes e a = 0]
1

2. 5. 1.a−m
= 1
am .1 [prop. da inversa multiplicativa]
6. a−m
= 1
am [elemento neutro da multiplica¸c˜ao]
7. Est´a provado o enunciado
C) Provar que a.ak−1
= ak
.
Prova:
1. Sabemos que am
× an
= am+n
, assumimos m = 1, n = k − 1 e obtemos
a1
× ak−1
= a1+(k−1)
2. a.ak−1
= a(1+(−1))+k
[prop. comutativa, associativa e simplifica¸c˜ao
(a1
= a)]
3. a.ak−1
= a0+k
[prop. da inversa aditiva]
4. a.ak−1
= ak
[elemento neutro da soma]
5. Est´a provado o enunciado
Sabemos que se a = bn
ent˜ao b = n
√
a. Usaremos esta defini¸c˜ao na prova
que se segue.
D) Provar que n
√
a n
√
b = n
√
ab.
Prova:
1. Fazemos x = n
√
a e y = n
√
b. Logo, pela defini¸c˜ao acima, a = xn
e
b = yn
.
2. Assim, ab = xn
yn
= (xy)n
e pela mesma defini¸c˜ao, xy = n
√
ab.
3. Segue-se que n
√
a n
√
b = n
√
ab.
4. Est´a provado o enunciado
2