1. MATEMÁTICA EM GOTAS é um projeto de sistema de ensino, criado por José Luiz Maria Teixeira . Objetivo: auxiliar o estudante no seu processo de aprendizagem da matemática. Contatos com o autor : Tel.: (82) 3334-3238 e-mail: fedati@ig.com.br FEDATI PRODUÇÕES CULTURAIS - Edição 1 – 2007 Críticas e sugestões serão bem recebidas.

2. Autor : José Luiz Maria Teixeira ( [email_address] ) Tel.: (82) 3334-3238 DAS CONDIÇÕES DE USO : Respeite os direitos autorais . Ao adquirir esse produto , o seu conteúdo só poderá ser utilizado para : 1) estudo individual; 2) exibição em instituições sem fins lucrativos, desde que não haja alteração de nenhuma espécie e a conexão seja feita da Internet. O nome do autor deve ser citado apropriadamente segundo as normas vigentes da ABNT. Quaisquer outros usos (como distribuição em cursos pagos) requerem a permissão prévia e expressa de José Luiz Maria Teixeira . A adesão a essas normas é fundamental para a continuidade desta obra. Caso testemunhe qualquer utilização desse material que viole essas condições , entre em contato conosco; sua identidade será resguardada. FRAÇÕES ALGÉBRICAS Parte 2 Edição 1 – 2007 Observação : Essa é um cópia liberada exclusivamente para os colegas da turma 2009.2 – Licenciatura – Matemática – UFAL .

3. ADIÇÃO ALGÉBRICA - ( CONTINUAÇÃO ) MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO POTENCIAÇÃO FRAÇÕES ALGÉBRICAS - PARTE - 2 OPERAÇÕES ADIÇÃO ( Continuação ) MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO POTENCIAÇÃO

4. AGORA É SUA VEZ !

5. A . S . V ( 2 ) Efetue, dando o resultado na forma mais simples : a) b) c) d) e) f) g) 1 o GRUPO h) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS

6. A . S . V ( 2 ) a) b) c) d) 1 o GRUPO RESPOSTAS = 12 8x + 9x + 10x = 12 27x = = 12a 4x + 18x - 3x = 12 19x = 15x 20 - 21 = = 2x 2 4 - 3x - 4 9x 15x 1

7. A . S . V ( 2 ) e) 1 o GRUPO RESPOSTAS = a ( a + 2 ) 3 ( a + 2 ) - a ( a - 2 ) = = a ( a + 2 ) 3a + 6 - a 2 + 2a = a ( a + 2 ) - a 2 + 5a + 6 ou - (a 2 - 5a - 6 ) a ( a + 2 ) ou a ( a + 2 ) a 2 - 5a - 6 - a 2 - 5a - 6 = ( a + 1 ) ( a – 6 ) OBSERVAÇÃO : f

8. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS f) = 2 ( x - 1 ) 1(3x + 1) - 2 ( x + 1 ) = = 2 ( x - 1 ) = = 3x + 1 - 2x - 2 2 ( x - 1 ) x - 1 e) = a ( a + 2 ) 3 ( a + 2 ) - a ( a - 2 ) = = a ( a + 2 ) 3a + 6 - a 2 + 2a = a ( a + 2 ) - a 2 + 5a + 6 ou - (a 2 - 5a - 6 ) a ( a + 2 ) ou a ( a + 2 ) a 2 - 5a - 6 -

9. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS g) = x ( 3 - x ) 3 ( 3 - x ) 3x ( 3 - x ) 3x - x 2 = x ( 3 - x ) 3x ( 3 - x ) = = h) Neste exercício achei interessante apresentar três resoluções, para que possa compará-las e analisá-las. Observação

10. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS = ( a + b ) ( a - b ) 2a ( a - b ) - ( b - a ) ( a + b ) = = ( a + b ) ( a - b ) = = ( a + b ) ( a - b ) 2a 2 - 2ab - ( ab + b 2 - a 2 - ab ) h) 1 o modo : 2a 2 - 2ab - ab - b 2 + a 2 + ab = 2a 2 - 2ab - b 2 + a 2 = ( a + b ) ( a - b ) = 2a ( a - b ) ( a + b ) ( a - b ) = ( a - b ) ( 2a + a + b ) ( a + b ) ( a - b ) = + ( a + b ) ( a - b ) ( a - b ) ( a - b ) ( a - b ) a 2 - b 2

11. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS = ( a + b ) ( a - b ) 2a ( a - b ) - ( b - a ) ( a + b ) = = ( a + b ) ( a - b ) = = ( a + b ) ( a - b ) ( a - b ) ( 2a + a + b ) 2a ( a - b ) + ( a - b ) h) 2 o modo : - ( b - a ) = - b + a = a - b ( a - b ) ( a - b ) ( a - b ) A tendência é efetuar os produtos como foi feito no 1 o modo. detalhe ( a + b )

12. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS = h) 3 o modo : a + b 2a + a + b = 1 Observe : = Qual é a resolução mais “bonita” ?

13. AGORA É SUA VEZ !

14. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO a) b) c) d) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS Efetue, dando o resultado na forma mais simples :

15. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO a) RESPOSTAS = ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) 2 + 2 ( x + 2 ) + 1 ( 4 x - 16 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) x 2 - 4x + 4 + 2x + 4 + 4 x - 16 x 2 + 2x - 8 ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) x + 4 x + 2 = = = = = = = ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

16. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO b) RESPOSTAS ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 ( x + 2 ) + 3 ( x - 3 ) - 1 ( 4x - 7 ) ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2x + 4 + 3x - 9 - 4x + 7 = = = = x + 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) = = = 1 ( x - 3 ) ( x + 2 )

17. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO c) RESPOSTAS ( x + 3 ) ( x - 3 ) 1 ( x 2 + x ) + 2 ( x + 3 ) + 1 ( x - 3 ) x 2 + x + 2x + 6 + x - 3 = = = = x 2 = ( x + 3 ) ( x - 3 ) + 4x + 3 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = = ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) = x + 1 x - 3

18. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO d) RESPOSTAS ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x ( x - 1 ) + 1 ( x - 1 ) - ( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x 2 - 2x + x - 1 - ( x 2 - x + 2x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) x 2 ( x - 1 ) = = = = = = ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x 2 - 2x + x - 1 - x 2 + x - 2x + 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = = ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 2 x + 1 x - 1 = - 2x + 1

19. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Recordando : MULTIPLICAÇÃO a · c b · d Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si ( cancelando os fatores comuns se houver ) . Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.

20. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Recordando : DIVISÃO · inverso d c Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. Observação : = =

21. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 1 = 2 b a 2 ou, se preferir : = a · b · b b · a · a · a = b a 2 Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.

22. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 2 = = 2 2y x inverso Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.

23. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 3 = ( x - 1 ) · 3x 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x · = = 2 ( x + 1 ) 3x Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.

24. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 4 = = 3 x ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) = · x 2 2 = x ( x + 2 ) 3 ( x - 2 ) Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.

25. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 5 = = a 2 + 2ab + b 2 a - b a + b 3a - 3b : Observação : = inverso a 2 + 2ab + b 2 a - b a + b 3a - 3b =

26. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 5 = = a 2 + 2ab + b 2 a - b a + b 3a - 3b a + b 3a - 3b • = ( a - b ) · ( a + b ) ( a + b ) · 3 ( a - b ) 2 = 1 3 ( a + b ) inverso Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência. a 2 + 2ab + b 2 a - b

27. AGORA É SUA VEZ !

28. A . S . V ( 3 ) 1 o Grupo - Efetue, dando o resultado na forma mais simples : a) b) c) d) e) f) g) h) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS ( Considere que as frações dadas satisfaçam ao domínio de validade )

29. A . S . V ( 3 ) a) b) c) d) RESPOSTAS = 6 = = = 2 = 3 = 3 1 o Grupo

30. A . S . V ( 3 ) 1 o Grupo e) f) RESPOSTAS = = = 3 ( x + 3 ) = = = = ( x - 2 ) ( y - 2 )

31. A . S . V ( 3 ) g) RESPOSTAS 1 o Grupo = = = = =

32. A . S . V ( 3 ) h) RESPOSTAS 1 o Grupo = = = = = = 2

33. AGORA É SUA VEZ !

34. A . S . V ( 3 ) 2 o Grupo - Efetue, dando o resultado na forma mais simples : a) b) c) d) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS ( Considere que as frações dadas satisfazem ao domínio de validade )

35. A . S . V ( 3 ) 2 o Grupo a) RESPOSTAS = = 2 3 b) = = = =

36. A . S . V ( 3 ) c) RESPOSTAS 2 o Grupo = = = = 3

37. A . S . V ( 3 ) d) RESPOSTAS 2 o Grupo = = = = ou

38. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = = Olha a potenciação de monômios ! Quer fazer uma revisão ? Exemplo 1 ( Considere que a fração dada satisfaça ao domínio de validade )

39. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = = Olha a potenciação de monômios ! Quer fazer uma revisão ? Exemplo 2 ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )

40. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = Olha os produtos notáveis ! Quer fazer uma revisão ? Exemplo 3 ( a + b ) ( a - b ) 2 2 = ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )

41. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = Exemplo 4 Olha o expoente negativo ! Precisa de uma revisão ? ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )

42. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Exemplo 5 Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = = Olha o expoente negativo ! Precisa de uma revisão ? ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )

43. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Exemplo 6 Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = Olha o expoente negativo ! Precisa de uma revisão ? = ( 5y ) 2 ( x - 3 ) 2 = ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )

44. AGORA É SUA VEZ !

45. A . S . V ( 4 ) Calcule as seguintes potências, considerando que todas as bases estão definidas em R : a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS

46. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : a) b) c) RESPOSTAS = = = + = = - x 3 = - x 3 + +

47. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : d) e) f) RESPOSTAS = - ( 4x 2 ) 3 ( 3y ) 3 = - 64x 6 27y 3 = ( a 2 b 4 ) 5 ( x 3 ) 5 = a 10 b 20 x 15 = - ( 3a 2 ) 3 ( 2b 3 ) 3 = - 27a 6 8b 9

48. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : g) h) i) RESPOSTAS = ( a - b ) 2 ( 3x 3 ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 9x 6 = ( 2mn ) 3 ( m + n ) 3 = 8m 3 n 3 m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 = ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) 2 = x 2 - 2x + 1 x 2 - 4x + 4 - -

49. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : g) h) i) RESPOSTAS = ( a - b ) 2 ( 3x 3 ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 9x 6 = ( 2mn ) 3 ( m + n ) 3 = 8m 3 n 3 m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 = ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) 2 = x 2 - 2x + 1 x 2 - 4x + 4 - -

50. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : j) k) l) RESPOSTAS = 5x 3 x - y = = 4p 2 q 2 m 2 n 2 = = x 6 x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3

51. Expressões envolvendo mais de uma operação. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S Obs: Considerar que as frações dadas satisfazem às condições de existência.

52. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S EXEMPLO 1 Simplificar a expressão = = = = a 2 + b 2 a 2 - b 2

53. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S EXEMPLO 2 Simplifique a expressão = = 1

54. AGORA É SUA VEZ !

55. Simplifique as expressões : a) b) A . S . V ( 5 ) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS c)

56. a) A . S . V ( 5 ) RESPOSTAS = = x - 3 b) = = = = = =

57. A . S . V ( 5 ) RESPOSTAS c) = = = = = Observação : x 2 + y 2 + 2xy = x 2 + 2xy + y 2 = ( x + y ) 2

58. FIM