Cap09 primitivas2

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Cap09 primitivas2

  1. 1. Capítulo 09: Primitivas Sandra Gaspar Martins 02/12/2009
  2. 2. Introdução pág.2/90 Capítulo 09: Primitivas IntroduçãoISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  3. 3. Introdução pág.3/90 Capítulo 09: Primitivas Procurar a primitiva de uma função...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  4. 4. Introdução pág.3/90 Capítulo 09: Primitivas Procurar a primitiva de uma função... é procurar a função que tem essa derivada...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  5. 5. Introdução pág.4/90 Capítulo 09: Primitivas Por exemplo: uma primitiva de 3x 2 é ...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  6. 6. Introdução pág.4/90 Capítulo 09: Primitivas Por exemplo: uma primitiva de 3x 2 é ... x 3 . Porque derivando x 3 se obtém 3x 2 ...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  7. 7. Introdução pág.5/90 Capítulo 09: Primitivas Uma primitiva de 3e3x é ...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  8. 8. Introdução pág.5/90 Capítulo 09: Primitivas Uma primitiva de 3e3x é ... e3x . Porque derivando e3x se obtém 3e3x ...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  9. 9. Introdução pág.6/90 Capítulo 09: Primitivas ...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  10. 10. Introdução pág.7/90 Capítulo 09: Primitivas As primitivas são úteis sempre que conhecemos a derivada de uma função e pretendemos conhecer a função...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  11. 11. Introdução pág.8/90 Capítulo 09: Primitivas por exemplo, quando conhecemos a velocidade e queremos saber a posição...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  12. 12. Introdução pág.9/90 Capítulo 09: Primitivas ou quando conhecemos a aceleração e queremos saber a velocidade...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  13. 13. Introdução pág.10/90 Capítulo 09: Primitivas numa infinidade de outras situações...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  14. 14. Introdução pág.11/90 Capítulo 09: Primitivas Veremos no capítulo seguinte, dos Integrais, como utilizar as primitivas para calcular áreas, volumes, médias, etc, etc...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  15. 15. Introdução pág.12/90 Capítulo 09: Primitivas Vamos estudar várias técnicas de primitivação: Primitivas imediatas... Primitivação por partes... Primitivas de funções racionais... Primitivas de potências de senos e cosenos... Primitivação por substituição...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  16. 16. Introdução pág.13/90 Capítulo 09: Primitivas Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  17. 17. Introdução pág.13/90 Capítulo 09: Primitivas Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!! Até porque...ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  18. 18. Introdução pág.13/90 Capítulo 09: Primitivas Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!! Até porque...é impossível!!!! Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  19. 19. Introdução pág.14/90 Capítulo 09: Primitivas ObjectivosNo final deste capítulo deve: calcular primitivas imediatas; calcular primitivas por partes; calcular primitivas de potências de senos e cosenos; Competências globais calcular primitivas de funções racionais; calcular primitivas por substituição; Também deve: relacionar gráficos de funções com os gráficos das suas escrever e verbalizar os seu pensamentos de uma forma clara, concisa e organizada; primitivas; justificar os raciocínios; utilizar primitivas para resolver problemas. compreender e utilizar a linguagem matemática; utilizar programas computacionais como ferramenta de apoio ao estudo; formular hipóteses; interpretar, prever e criticar resultados no contexto do problema; fazer raciocínios demonstrativos, usando métodos adequados (n290es, incluem-se o método de redução ao absurdo, o método de indução matemática e a utilização de contra-exemplos); ser autónomo na auto-avaliação e, se necessário, na procura de elementos complementares de estudo.ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  20. 20. Introdução pág.15/90 Capítulo 09: Primitivas Note que: ▶ Para responder às perguntas ou fazer anotações, pode utilizar qualquer ferramenta do Adobe Reader :a ▶ Gravação áudio ▶ Caixa de texto ▶ Sublinhar ▶ Realçar ▶ Chamada ▶ Nuvem ▶ Lápis ▶ ... ▶ As figuras e textos sobre matemáticos foram retirados da web, para aceder à página original basta clicar na figura. a Se não domina adequadamente o Adobe Reader, veja o tutorial emISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  21. 21. 01 Definição de Primitiva pág.16/90 Capítulo 09: Primitivas Definição de PrimitivaISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  22. 22. 01 Definição de Primitiva pág.17/90 Capítulo 09: Primitivas PrimitivaDada uma função real de variável real f (x)chama-se primitiva de f a qualquer função cujaderivada seja f (x).Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))ou F (x).Exemplo:Uma primitiva de f (x) = 2xé ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  23. 23. 01 Definição de Primitiva pág.17/90 Capítulo 09: Primitivas Geometricamente: PrimitivaDada uma função real de variável real f (x)chama-se primitiva de f a qualquer função cujaderivada seja f (x).Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))ou F (x).Exemplo:Uma primitiva de f (x) = 2xé g(x) = x 2pois ( )′ g ′ (x) = x 2 = 2x.Note que: h(x) = x 2 + 5 i(x) = x 2 − 3 j(x) = x 2 + 20 Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0, 1)? k (x) = x 2 + C, ∈ ℝ.também são primitivas de f (x) = 2x. ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  24. 24. 01 Definição de Primitiva pág.17/90 Capítulo 09: Primitivas Geometricamente: PrimitivaDada uma função real de variável real f (x)chama-se primitiva de f a qualquer função cujaderivada seja f (x).Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))ou F (x).Exemplo:Uma primitiva de f (x) = 2xé g(x) = x 2pois ( )′ g ′ (x) = x 2 = 2x.Note que: h(x) = x 2 + 5 i(x) = x 2 − 3 j(x) = x 2 + 20 Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0, 1)? k (x) = x 2 + C, ∈ ℝ. É m(x) = x 2 + 1.também são primitivas de f (x) = 2x. ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  25. 25. 01 Definição de Primitiva pág.18/90 Capítulo 09: Primitivas 1. Verifique que qualquer das funções da direita pode ser uma primitiva da função da esquerda... a) b)ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  26. 26. 01 Definição de Primitiva pág.19/90 Capítulo 09: Primitivas A viga irá deformar-se assim:2. Seja a deformação de uma viga de comprimento 1, simplesmente apoiada em 2 postes à mesma altura, submetida a um peso uniformemente distribuído f (x) = 1kg. Sabe-se que ⎧ ⎨ u (4) (x) = f (x) u(0) = u(1) = 0 ⎩ ′′ u (0) = u ′′ (1) = 0 Determine a deformação u(x). vendo com mais zoom:ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  27. 27. 01 Definição de Primitiva pág.20/90 Capítulo 09: Primitivas3. Calcule: m) P x 2 = ( ) a) P(1) = n) P 7x 5 = ( ) b) P(6) = o) P (3 + 2x)5 = ( ) c) P(x) = p) P (3 − 2x 2 )6 x = ( ) d) P(e3x ) = e) P(5e−x ) = q) P (2 + ex )−5 ex = ( ) f) P(sin(x)) = r) P (sin(x))4 cos(x) = ( ) g) P(cos(2x)) = s) P (cos(x) sin(x)) = h) P(sec2 x) = ( ) 1 ( ) t) P = 1 x i) P = 1 + x2 ( ) 2x ( 1 ) u) P 2+5 = j) P = x 1 + (−6x)2 x4 ( ) ( ) x v) P = k) P = x5 + 2 1 + x4 ( ) 1 l) P √ = 1 − (3x)2ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  28. 28. 01 Definição de Primitiva pág.21/90 Capítulo 09: PrimitivasTabela de primitivas Sejam u = f (x) e k , 𝛼, C ∈ ℝ. P sec2 (u) u ′ = ... ( ) P(k ) = ... (k ∈ ℝ) P csc2 (u) u ′ = ... ( ) P(ku) = ... (k ∈ ℝ) P (u 𝛼 u ′ ) = ... (𝛼 ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u ′ ) = ... P (eu u ′ ) = ... P(csc(u) cot(u) u ′ )) = ... ( ′) ( ′ ) u √u P u = ... P 1−u 2 = ... ( ) ′ u′ P (sin(u) u ) = ... P 1+u 2 = ... P (cos(u) u ′ ) = ... ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  29. 29. 01 Definição de Primitiva pág.22/90 Capítulo 09: Primitivas Tabela de PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  30. 30. 01 Definição de Primitiva pág.23/90 Capítulo 09: PrimitivasTabela de primitivas Sejam u = f (x) e k , 𝛼, C ∈ ℝ. P sec2 (u) u ′ = tg(u) + C ( ) P(k ) = kx + C (k ∈ ℝ) P csc2 (u) u ′ = − cot g(u) + C ( ) P(ku) = kP(u) (k ∈ ℝ) u 𝛼+1 P (u 𝛼 u ′ ) = 𝛼+1 +C (𝛼 ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u ′ ) = sec(u) + C P (eu u ′ ) = eu + C P(csc(u) cot(u) u ′ )) = − csc(u) + C u′ u′ ( ) ( ) P = ln ∣u∣ + C P √ = arcsin(u) + C = − arccos(u) + C u 1 − u2 u′ ( ) P (sin(u) u ′ ) = − cos(u) + C P = arctan(u) + C = −arccot(u) + C 1 + u2 P (cos(u) u ′ ) = sin(u) + C ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  31. 31. 01 Definição de Primitiva pág.24/90 Capítulo 09: PrimitivasPrimitivas quase imediatas P (tan (u) u ′ ) = ... P(cot (u) u ′ ) = ... P (sec(u) u ′ ) = ... P (csc(u) u ′ ) = ... ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  32. 32. 01 Definição de Primitiva pág.24/90 Capítulo 09: PrimitivasPrimitivas quase imediatas P (tan (u) u ′ ) = ... P(cot (u) u ′ ) = ... P (sec(u) u ′ ) = ... P (csc(u) u ′ ) = ... ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  33. 33. 01 Definição de Primitiva pág.25/90 Capítulo 09: PrimitivasPrimitivas quase imediatas P (tan (u) u ′ ) = − ln ∣cos u∣ + C P(cot (u) u ′ ) = ln ∣sin u∣ + C P (sec(u) u ′ ) = ln ∣sec u + tan u∣ + C P (csc(u) u ′ ) = − ln ∣csc u + cot u∣ + C ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  34. 34. 01 Definição de Primitiva pág.26/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  35. 35. 01 Definição de Primitiva pág.27/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  36. 36. 01 Definição de Primitiva pág.28/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  37. 37. 01 Definição de Primitiva pág.29/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  38. 38. 01 Definição de Primitiva pág.30/90 Capítulo 09: Primitivas Primitivação por partesISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  39. 39. 01 Definição de Primitiva pág.31/90 Capítulo 09: PrimitivasA primitiva do produto é o produto das primitivas?ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  40. 40. 01 Definição de Primitiva pág.31/90 Capítulo 09: PrimitivasA primitiva do produto é o produto das primitivas?Experimente! ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  41. 41. 01 Definição de Primitiva pág.31/90 Capítulo 09: PrimitivasA primitiva do produto é o produto das primitivas?Experimente!Por exemplo: P(ex x 2 ) = P(ex ).P(x 2 )??? ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  42. 42. 01 Definição de Primitiva pág.31/90 Capítulo 09: Primitivas Calcule:A primitiva do produto é o produto das primitivas? (P(u)v )′ =Experimente!Por exemplo: P(ex x 2 ) = P(ex ).P(x 2 )??? ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  43. 43. 01 Definição de Primitiva pág.31/90 Capítulo 09: Primitivas Calcule:A primitiva do produto é o produto das primitivas? (P(u)v )′ = (P(u))′ v + P(u)v ′Experimente! logoPor exemplo: (P(u)v )′ = uv + P(u)v ′ x 2 x 2 P(e x ) = P(e ).P(x )??? se primitivarmos ambos os membros P (P(u)v )′ = P(uv ) + P (P(u)v ′ ) ( ) ou seja, P(u)v = P(uv ) + P (P(u)v ′ ) portanto P(uv ) = P(u)v − P (P(u)v ′ ) ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  44. 44. 01 Definição de Primitiva pág.32/90 Capítulo 09: Primitivas Primitivação por partes 1. Calcule: a) P(x ln(x)) = P(uv ) = P(u)v − P(P(u)v ′ ) b) P(xe−x ) =Deve escolher-se para v a primeira função em: c) P(ln(x)) =L-logaritmicasI - inversas de funções trigonométricasA - algébricas d) P(x 2 cos(2x)) =T - trigonométricasE - exponenciais e) P(ex sin(x)) =ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  45. 45. 01 Definição de Primitiva pág.33/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  46. 46. 01 Definição de Primitiva pág.34/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  47. 47. 01 Definição de Primitiva pág.35/90 Capítulo 09: Primitivas Primitivação de funções racionaisISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  48. 48. 01 Definição de Primitiva pág.36/90 Capítulo 09: PrimitivasPrimitivação de funções racionais B) Raízes reais múltiplas 1. grau do numerador ≥ grau do denominador ( ) —> divisão 2x 2 + x P ( 3 x −2 ) x 2 (x − 1)2 P ( 1 ) x +1 P ( 2 x + 3x − 6 ) x 3 (x − 2) P ( ) x −2 2 P (x − 1)4 2. grau do numerador < grau do denominador ( ) x +1 A) Raízes reais simples P 2x 2 − 20x + 50 ( ) 2x P C) Raízes complexas x2 + x − 2 ( ) ( 2 ) 3x + 1 x +3 P P x 2 + 9x − 10 x3 + x ( ) 2 P x 2 + 8x + 17 ( ) 10 P x 2 + 10x + 26 x2 + 1 ( ) P x(x 2 + 4x + 5) ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  49. 49. 01 Definição de Primitiva pág.37/90 Capítulo 09: PrimitivasD) Raízes complexas múltiplas ( ) 1 P 2 x (x 2 + 1) ( ) x5 P 3 (x 2 + 1) ( ) 1 P 2 ∗ (x 2 + 1) ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  50. 50. 01 Definição de Primitiva pág.38/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  51. 51. 01 Definição de Primitiva pág.39/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  52. 52. 01 Definição de Primitiva pág.40/90 Capítulo 09: Primitivas Primitivação de potências de seno e cosenoISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  53. 53. 01 Definição de Primitiva pág.41/90 Capítulo 09: PrimitivasPrimitivação de potências de seno e coseno Primitivação de potências de seno e 1. Calcule: coseno a) P(sin2 t) = Escreva a potência de seno como produto de quadrados de seno e, eventualmente, um seno. b) P(cos2 t) = Substitua cada quadrado utilizando as fórmulas que se seguem... (Analogamente para coseno.) c) P(sin3 t) = Potências pares: d) P(cos4 t) = 1+cos 2t cos2 t = 2 sin2 t = 1−cos 2t e) P(sin5 t) = 2 Potências ímpares: f) P(sin6 t) = cos2 t + sin2 t = 1 ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  54. 54. 01 Definição de Primitiva pág.42/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  55. 55. 01 Definição de Primitiva pág.43/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  56. 56. 01 Definição de Primitiva pág.44/90 Capítulo 09: Primitivas Primitivação por recorrênciaISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  57. 57. 01 Definição de Primitiva pág.45/90 Capítulo 09: PrimitivasPrimitivação por recorrência P(ex cos(x)) = ... P(ex sin(x)) = ... ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  58. 58. 01 Definição de Primitiva pág.46/90 Capítulo 09: Primitivas Primitivação por substituiçãoISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  59. 59. 01 Definição de Primitiva pág.47/90 Capítulo 09: PrimitivasPrimitivação por substituição Primitivação por substituição Substituições aconselháveis: Seja f : R → R primitivável num intervalo I e g : J → I bijectiva, Função com √ Substituição 2 2 g ∈ C 1 (J), √a − x x = a sin t 2 2 √a + x x = a tan t P(f (x)) = P (f (g(t)).g ′ (t)) x 2 − a2 x = a sec t ex x = ln t 1 ln(x) e x x = et sin x e cos x x = 2 arctan t sin x e cos x a multiplicar x = arcsin t ou x = arccos t tan x x = arctan t cot x x = arccott ) p1 ) pn ax+b q cx+d = t onde ( ( ax+b q1 ax+b qn x, cx+d , ..., cx+d √ √ q = m.m.c(q1 , q2 , ...qn ) √ x e ax 2 + bx + c 2 √ax + bx + c = √ax + t, a > 0 ax 2 + bx + c = c + tx, c > 0 √ ax 2 + bx + c = (x − d)t onde d é uma raíz de ax 2 + bx + c. ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  60. 60. 01 Definição de Primitiva pág.48/90 Capítulo 09: Primitivas1. Calcule: ( ) 1 a) P √ 3 √ . x+ x ( √ ) sin( x + 1) b) P √ . x +1 (√ ) c) P 1−x 2 . 5x + 53x ( ) d) P . 52x + 54x e) P (ln(x)) . ( √ √ ) x+ 3x (Nota: (loga u)′ = u′ f) P √4 √ 6 . u ln a , a > 0) x5 + x7 4x + 26x ( ) g) P . 43x + 28x + 4x − 1ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  61. 61. 01 Definição de Primitiva pág.49/90 Capítulo 09: Primitivas ( ) P e(x ) 2ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  62. 62. 01 Definição de Primitiva pág.50/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  63. 63. 01 Definição de Primitiva pág.51/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  64. 64. Para Praticar . . . pág.52/90 Capítulo 09: Primitivas Para Praticar . . .ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  65. 65. Para Praticar . . . pág.53/90 Capítulo 09: Primitivas1. Quais dos seguintes gráficos representam 2. Quais dos seguintes gráficos representam primitivas da função da figura 1? primitivas da função da figura 2?ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  66. 66. Para Praticar . . . pág.54/90 Capítulo 09: Primitivas3. Quais dos seguintes gráficos representam 4. *Seja a deformação de uma viga de primitivas da função da figura 3? comprimento 1, simplesmente apoiada em 2 postes à mesma altura, submetida a um peso f (x) = −2x 2 . Sabe-se que 2 (1+x ) ⎧ ⎨ u (4) (x) = f (x) u(0) = u(1) = 0 ⎩ ′′ u (0) = u ′′ (1) = 0 Determine a deformação u(x).ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  67. 67. Para Praticar . . . pág.55/90 Capítulo 09: Primitivas5. Considere um veículo que tem o seguinte 6. Considerando que a aceleração da força comportamento de aceleração (m/s2 ) em gravítica é 9, 8m/s2 , e desprezando a recta: resistência do ar, determine quanto tempo ⎧ √ demora uma massa a chegar ao chão, se for 12 t t ∈ [0, 1] largada do topo de um prédio de 98m. ⎨ 2 a(t) = 12 − 6(t − 1) t ∈]1, 2] 96 t ∈]2, +∞[ ⎩ (t+2)2 a) Determine aproximadamente o tempo necessário para o veículo atingir a velocidade de 100km/h(≈ 28m/s). b) Qual a velocidade máxima do veículo?ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  68. 68. Para Praticar . . . pág.56/90 Capítulo 09: Primitivas O modelo matemático que obtivemos produz7. Um pequeno foguetão de ensaios resultados significativos apenas até ao instante em atmosféricos é lançado verticalmente a partir que o motor pára. É óbvio que depois disso a do solo. O foguetão tem combustível no motor aceleração será diferente, passa a ser apenas a de tal modo que este funcione exactamente aceleração da gravidade que é de 9.8m/s2 mas no durante 2 minutos; na sua trajectória o sentido oposto ao do movimento. foguetão é acelerado a 4 m/s2 . Determine: i) Durante quanto tempo o foguetão sobe depois a) A que altura está o foguetão um minuto de acabar o combustível? depois de ser lançado? b) Nesse instante, a que velocidade está a j) Que altura máxima é atingida pelo foguetão? subir? c) Quando o motor parar a que altura estará o foguetão? d) Nesse instante, qual será a velocidade atingida pelo foguetão? e) O foguetão atingirá a altura de 20km? E 100km? f) Quanto tempo leva o foguetão a atingir a velocidade de 100m/s? g) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer os primeiros 50 metros? h) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer os segundos 50 metros?ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  69. 69. Para Praticar . . . pág.57/90 Capítulo 09: Primitivas8. Supondo que numa corrida de carros, partem 9. Usando séries de potências, determine uma os dois ao mesmo tempo, deslocam-se ambos 2 primitiva de ex . linearmente, o carro 1 com aceleração a1 (t) = t e o carro 2 com aceleração 10. Determine a função real de variável real f tal a2 (t) = t 2 , determine o instante em que os que carros se voltam a encontrar. 8 (Relembre que a derivada da posição é a f ′′ (x) = , f ′ (1) = −1 lim f (x) = 1 (x + 1)3 x→+∞ velocidade e a derivada da velocidade é a aceleração.)ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  70. 70. Para Praticar . . . pág.58/90 Capítulo 09: Primitivas11. Calcule uma primitiva de : o) x arctan(x) e2x + 2e3x sin(2x) a) p) √ 1 − ex sin(2x) 1 + sin2 (x) b) √ 1 + sin2 (x) q) x 2 ln(x) x4 r) (1 − x)e1+2x c) 2x 3 − 4x 2 + 8x − 16 x 2 + 6x − 1 1 s) d) 2 (x − 3)2 (x − 1) x − 5x + 6 e) x √cos(x) x2 + 1 t) f) x x + 1 (x − 1)3 cos(x) 2x 2 − 3x − 3 g) 2 u) sin (x) + 7 sin(x) + 10 (x + 2)(x 2 − 2x + 5) 1 x3 h) 2 v) 8 x − 5x + √ √ 6 x −5 x −1+ 3x −1 i) x(x 2 + 1) x −1 w) 2 j) sin (x) (x 2 + 1)4 − 5 k) cos(ln(x)) 3x x) 2x x3 3 − 3x − 2 l) 1 x +1 y) 2 + 1)3 2x 3 (x m) + sec(5x) sin2 (3x 4 ) z) ln 1 + x 2 . earctan(x) z1) arctan(x), usando primitivação por partes. n) 1 + x2 ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  71. 71. Para Praticar . . . pág.59/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  72. 72. Para Praticar . . . pág.60/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  73. 73. Para Praticar . . . pág.61/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  74. 74. Para Praticar . . . pág.62/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  75. 75. Para Praticar . . . pág.63/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  76. 76. Para Praticar . . . pág.64/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  77. 77. Para Praticar . . . pág.65/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  78. 78. Para Praticar . . . pág.66/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  79. 79. Para Praticar . . . pág.67/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  80. 80. Para Praticar . . . pág.68/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  81. 81. Para Praticar . . . pág.69/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  82. 82. Para Praticar . . . pág.70/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  83. 83. Para Praticar . . . pág.71/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  84. 84. Para Praticar . . . pág.72/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  85. 85. Para Praticar . . . pág.73/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  86. 86. Para Praticar . . . pág.74/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  87. 87. Para Praticar . . . pág.75/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  88. 88. Para Praticar . . . pág.76/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  89. 89. Para Praticar . . . pág.77/90 Capítulo 09: PrimitivasISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  90. 90. Bibliografia pág.78/90 Capítulo 09: Primitivas Bibliografia* José Alberto Rodrigues. Métodos matemáticos em engenharia: Modelos em ℝ. Edições Colibri, 2007. Deborah Hughes-Hallett, Gleason, McCallum, Flath, Lock, and Lomen. Calculus: Single variable. John Willey Sons, Inc, 4th edition, 2005. Jaime Carvalho e Silva and Carlos M. Franco Leal. Análise matemática aplicada: exercícios, actividades, complementos e provas de avaliação. McGraw-Hill, 1st edition, 1996. Jaime Campos Ferreira. Introdução à análise matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, 3rd edition, 1990. * Por ordem de adequação como complemento ao estudo.ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  91. 91. ANEXO: Tabela de derivadas pág.79/90 Capítulo 09: PrimitivasANEXO: Tabela de derivadas Sejam u = f (x), v = g(x), k ∈ ℝ. k′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u ′ (eu )′ = eu u ′ x′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u ′ (au )′ = au ln(a)u ′ , a ∈ ℝ╲ {1} (u + v )′ = u ′ + v ′ (tan(u))′ = sec2 (u)u ′ (u v )′ = u v ln(u)v ′ + vu v −1 u ′ ∣u∣ ′ u ′ (ku)′ = ku ′ (cot(u))′ = − csc2 (u)u ′ (∣u∣)′ = u = u u ∣u∣ (u.v )′ = u ′ v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u ′ ( u )′ u ′ v − uv ′ u′ v = (arcsin(u))′ = √ v2 1 − u2 u′ (u 𝛼 )′ = 𝛼u 𝛼−1 u ′ , 𝛼 ∈ ℚ╲ {0} (arccos(u))′ = − √ 1 − u2 (√ ) ′ u′ u′ u = √ (arctan(u))′ = 2 u 1 + u2 u′ u′ (ln(u))′ = (arccot(u))′ = − u 1 + u2 ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  92. 92. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.80/90 Notas como lhe aprouver... ) (Algumas páginas em branco para utilizarISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  93. 93. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.81/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  94. 94. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.82/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  95. 95. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.83/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  96. 96. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.84/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  97. 97. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.85/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  98. 98. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.86/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  99. 99. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.87/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  100. 100. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.88/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  101. 101. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.89/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
  102. 102. Notas Capítulo 09: Primitivas pág.90/90ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL

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