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1. CONSTRUÇÃO DE CURVAS DE CAPACIDADE DE GERADORES SÍNCRONOS USANDO MATLAB
PEDRO DA COSTA JR., LUIZ GONÇALVES JR., CLAUDIO V. DE AQUINO,
ANDRÉ N. DE SOUZA, JOSÉ E. C. CASTANHO
Faculdade de Engenharia de Bauru, UNESP - Univ Estadual Paulista, DEE, LSISPOTI
Av. Eng. Luiz Edmundo C. Coube 14-01 – CEP 17033-360- Bauru - SP
costajr@feb.unesp.br, luizgjr@feb.unesp.br, aquino@feb.unesp.br,
andrejau@feb.unesp.br, castanho@feb.unesp.br
Abstract⎯ Computer support in engineering teaching is an important auxiliary resource either in the theoretical classes as in la-
boratory experiments. This paper presents an application of Matlab (Matrix laboratory) to help investigate the operative charac-
teristics of synchronous generators behavior in electrical engineering graduation courses. It consists of a new computational tool
that provides students, as well as professionals, the possibility of a straightforward evaluation of the behavior of synchronous ge-
nerators from proposed situations, even without previous knowledge of programming languages by the user. Examples presented
here illustrate an application made in Matlab to build synchronous generators capabilities curves.
Keywords⎯ Capability curve, electrical engineering teaching, Matlab, synchronous generators, power system control, machine
theory, power system stability.
Resumo⎯ O apoio do computador no ensino de engenharia elétrica vem se tornando um recurso auxiliar tanto em aulas teóricas
quanto em experimentos de laboratório. Este artigo apresenta a utilização do Matlab (Matrix laboratory) para investigar as carac-
terísticas de geradores síncronos para os possíveis modos de operação. Trata-se do desenvolvimento de uma nova ferramenta
computacional que proporciona aos estudantes e profissionais de engenharia elétrica a possibilidade de uma avaliação direta do
comportamento de geradores síncronos. Exemplos ilustram um aplicativo feito em Matlab para construir de curvas de capacidade
de geradores síncronos.
Palavras-chave⎯ Curva de capacidade, ensino de engenharia elétrica, Matlab, geradores síncronos, controle de sistemas de po-
tência, teoria de máquinas, estabilidade de sistemas de potência.
1 Introdução
O ensino e aprendizado na atualidade vêm so-
frendo enormes mudanças. O uso dos métodos tradi-
cionais expositivos em sala de aula tem se mostrado
insuficiente para atender à demanda e necessidades
dos alunos e professores, frente ao volume de infor-
mação existente. As limitações destas técnicas tam-
bém podem fazer com que os estudantes tenham um
baixo aproveitamento.
Assim, o emprego de recursos metodológicos e didá-
ticos que aumentem a eficiência do aprendizado é
altamente desejável. Resultados práticos de simula-
ções computacionais, quando não substituem, com-
plementam a realização de experimentos em labora-
tório (Sardar 2008) e melhoram a eficiência do ensi-
no. O ensino na área de Sistemas Elétricos de Potên-
cia apresenta inúmeras possibilidades de aplicação de
recursos computacionais para seu aprimoramento.
Vários autores vêm contribuindo com o desenvolvi-
mento de softwares para melhor estudar a dinâmica
de sistemas elétricos de potência (Kolentini et al.
2009; Vargas et al. 2008; Zhu zhiling et al. 2007)
Particularmente, a análise da potência fornecida por
um gerador síncrono demanda um diagrama de ope-
ração não muito evidente de se construir e interpre-
tar, particularmente para o estudante de engenharia
elétrica que se inicia no assunto. Um diagrama de
vetores girantes ou fasores do circuito de armadura é
construído em função dos possíveis modos de fun-
cionamento em regime permanente para este gerador
(Guimarães & Rangel 2006). Uma região é então
determinada para que esta máquina síncrona opere
dentro de condições estáveis e seguras, garantindo o
fornecimento da potência entregue a uma linha de
alimentação. Esse processo pode ser bem acessível se
apoiado por ferramentas gráficas que o representem
visualmente.
O ambiente de computação técnica Matlab é indicado
para o desenvolvimento das ferramentas computa-
cionais de análise e projeto nas mais diferentes áreas
da engenharia por se tratar de um sistema interativo e
uma linguagem de programação computacional bas-
tante simples e amigável (Matsumoto 2004). Tem um
amplo emprego, tanto para uso profissional como
para ensino (Dai Fen et al. 2009). Ele reúne a capaci-
dade de programar aplicações matemáticas, permitir
a visualização gráfica dos resultados, permitindo
exprimir problemas e soluções em uma linguagem
matemática familiar. A imensa disponibilidade de
procedimentos e objetos prontos proporciona maior
concentração do usuário no desenvolvimento da
aplicação do que nos meios e estratégias necessárias
para atingir seu objetivo.
Este artigo apresenta uma ferramenta desenvolvida
no ambiente Matlab, cuja finalidade é auxiliar na
compreensão e na análise de geradores síncronos e
preenchendo uma lacuna de ferramentas nessa área.
O artigo descreve ainda os modelos matemáticos
necessários a representação e compreensão dos gera-
dores síncronos. Esses modelos e os vários modos de
operação do gerador são apresentados na seção 3
juntamente com uma breve introdução do seu fun-
4275

2. cionamento na seção 2. Na seção 4 é apresentada a
ferramenta desenvolvida no Matlab para análise e
visualização dos vários parâmetros de operação do
gerador síncrono. Finalmente, na seção 5 são apre-
sentadas conclusões sobre a ferramenta apresentada e
suas possibilidades de aplicação.
2 Geradores Síncronos
Construtivamente, um rotor, no eixo do circuito
circular de armadura, possui um enrolamento de
campo alimentado em corrente contínua, formando
pares de pólos magnéticos girantes.
Uma máquina síncrona pode operar como um motor
ou como um gerador. Operando como um gerador, o
movimento relativo do rotor em relação ao estator
produz um fluxo magnético variável no tempo que
induz uma força eletromotriz nos enrolamentos de
armadura.
Quanto à geometria do rotor estas máquinas podem
ser classificadas como sendo de pólos lisos (rotor
cilíndrico) para grandes velocidades angulares ou de
pólos salientes para velocidades menores.
Neste artigo, restringimos a abordagem gráfica ape-
nas para geradores de pólos salientes tendo em vista
a maior complexidade e generalidade da obtenção do
diagrama de operação deste tipo de máquina.
3 Gerador Síncrono de Pólos Salientes
A análise da operação de geradores de pólos sali-
entes é realizada a partir da teoria da dupla reação ou
da dupla reatância. A partir de considerações sobre o
diagrama fasorial do gerador de pólos salientes, ob-
têm-se os modos de operação e a correspondente
curva de capacidade (Lobosco, O. S. 1984).
Para a construção do diagrama fasorial da Figura 1,
admitem-se conhecidos os parâmetros do gerador
como a tensão terminal V& , as reatâncias de eixo
direto dX e em quadratura qX , assim como os pa-
râmetros da carga, ou seja, a corrente I e o ângulo φ
do fator de potência.
Para satisfazer as condições, admite-se a priori uma
equação fasorial para a tensão na armadura da forma
geral:
d d q qE V j I X j I X= + +& & & & (1)
O segmento AF suporta a direção do vetor E& , for-
necendo a abertura δ para o ângulo de carga. A queda
de tensão q qI X é a projeção do segmento AF sobre
a perpendicular a E& . Logo:
cos( ) cos( )q q qI X IX AFϕ δ ϕ δ= + = + (2)
Assim o segmento AF perpendicular ao vetor I
torna-se conhecido e dado por:
qAF IX= (3)
A direção do vetor E& é determinada e com ela a
decomposição da corrente de armadura. Através da
equação (1), a força eletromotriz (fem) E& torna-se
conhecida e o diagrama fasorial pode agora ser cons-
truído conforme mostrado na Figura 1.
Na Figura 2, a menos do fator de proporcionalidade
dV X o segmento CB representa a potência ativa, de
acordo com a equação , enquanto que o segmento
AB corresponde à potência reativa, conforme equa-
ção .
( ) ( ) ( )cosq d q
d
V
P E sen I X X
X
δ δ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ (4)
( ) ( )cosd d q d
d
V
Q I X I X sen
X
δ δ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (5)
φ
I&
dx I
qx I
d dx I
E&
V& A
C
δ
F
M
D
φ
q qx I
d qx I
qI
dI
Figura 1. Diagrama fasorial do gerador de pólos salientes.
4276

3. φ
I
E′&
dx I
qx I
( )E sen δ
( ) ( )cosq d qI x x δ−
( ) ( )cosd d d qx I x I senδ δ−
d dx I
E&
V A
C
δ δ
δ′
F
NB
Figura 2. Relação entre diagrama fasorial da máquina de pólos salientes e potência fornecida pela máquina
δ
δ′
E′&
E&
( )0E sen δ
( ) ( )cosq d qI x x δ−
( ) ( )cosd d d qx I x I senδ δ−
dx I
C
D′
A
G
O
δ
( )q d qI x x−
Figura 3. Diagrama fasorial do gerador de pólos salientes: 1ª modificação
H O A
C
G
δ
I (x - x )q d q
V (x / x - 1)d q
V
x Id
E0 E&
( )q d qI X X−
( )1d qV X X − V
dX I
Figura 4. Diagrama fasorial do gerador de pólos salientes: 2ª modificação.
.
Generalizando o diagrama da Figura 2, o efeito da
saliência dos pólos sobre a fem interna
( )q d qI X X⋅ − e sobre a potência ativa
( ) cos( )q d qI X X δ⋅ − ⋅ é prontamente visualizado na
Figura 3.
Adicionando-se ao diagrama da Figura 3 o semicír-
culo de diâmetro ( )1d qO H V X X= ⋅ − , obtém-se o
diagrama completo da Figura 4, que serve para pre-
ver as condições de funcionamento com qualquer
ângulo de potência, sem recorrer à decomposição da
corrente pela teoria da dupla reatância em grandezas
de eixos. A partir do diagrama da Figura 4, é possível
reproduzir o diagrama de operação do gerador sín-
crono de pólos salientes. Para tanto, basta observar o
comportamento deste diagrama para várias condições
de operação do gerador.
.
4277

4. x Id 1
φ1
φ3
φ2
x I
d 2
x Id 3
E0
3 E0
2
E0
1
V (x / x - 1)d q V
V (x / x )d q
δ1
δ2
δ3
G3
G2
G1
C3
C2 C1 C
D'3
D'2
D'1
B3 B2
B1 B
Figura 5. Operação com potência ativa constante.
V (x / x - 1)d q V
V (x / x )d q
M O A
cos indφcos capφ
0,9
0,6
0,9
0,6 C1
C1C1
C1
1d
q
x
V
x
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
d
q
x
V
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C1
C2
C3
C4
Figura 6. Operação com potência aparente constante.
3.1 Operação com potência ativa constante e excita-
ção variável
Os limites de operação superior e inferior da turbina
podem ser obtidos do diagrama da Figura 5
A contribuição da saliência dos pólos na potência
ativa é representada pelos segmentos D1'B, D2'B e
D3'B , enquanto CD1', CD2' e CD3', representam a
potência ativa devida à excitação. Finalmente, AB1,
AB2, e AB3 são as potências reativas em cada caso.
3.2 Operação com potência aparente constante e
excitação variável.
O limite de aquecimento do estator pode ser obti-
do com a ajuda do diagrama da Figura 6.
Mantendo-se constante a potência aparente, a corren-
te também é constante em módulo. À medida que a
excitação é variada, o lugar geométrico da ponta C
do vetor dAC X I= ⋅ descreve então uma circunfe-
rência.
3.3 Operação com excitação constante e potência
variável.
O limite de aquecimento do rotor bem como o
magnetismo residual pode ser obtido com a ajuda do
diagrama da Figura 7.
H
T
Figura 7. Operação com excitação constante.
E&
E&
E&
4278

5. 3.4 Limite de Estabilidade Teórico
O limite de estabilidade teórico pode ser obtido
graficamente como ilustrado na Figura 8.
1d
q
x
V
x
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
V
H O A
RT
H0
H1
H2
O1
O2
Figura 8. Obtenção do limite de estabilidade teórico.
A curva HT é obtida construindo-se vários círcu-
los, de diâmetros iguais ao do circulo da saliência.
Todos os círculos tangenciam a reta OR nos pontos
O1, O2, etc..
As linhas que unem H a O1, O2, etc. cortam os círcu-
los em H1, H2, etc.. A curva traçada por H1, H2, etc.
é o limite de estabilidade, passando por H e o ponto
H0, o qual corresponde à máxima potência para a
máquina sem excitação.
3.5 Diagrama de Operação Completo
A combinação dos diagramas fasoriais preceden-
tes, construídos com valores em p.u. e calibrados em
potência através da multiplicação dos segmentos que
representam as tensões por dV X fornece o diagra-
ma de operação do gerador de pólos salientes, con-
forme mostrado na Figura 9
A região de operação estável e segura do gerador é
contornada pela linha mais espessa no diagrama da
Figura 9.
A seguir, descreve-se a implementação em Matlab e
diversos exemplos de aplicação.
4 Implementação Computacional em Matlab
4.1 Diagrama Fasorial do Gerador de Pólos Salien-
tes
Para possibilitar uma experiência dinâmica para
quem pretende entender o comportamento do gerador
síncrono, foi implementada uma interface gráfica
usando os recursos disponíveis em Matlab que possi-
bilitam a visualização em tempo real dos diagramas
fasoriais do gerador síncrono ou de seu diagrama de
operação, conforme ilustrado a seguir.
Como o aspecto dos diagramas fasoriais depende das
solicitações de carga e dos parâmetros elétricos da
maquina, o usuário é convidado a experimentar o
efeito de diversos parâmetros sobre os diagramas
fasoriais através de controles deslizantes ou inserindo
valores numéricos em p.u. (potência aparente da
carga, reatância de eixo direto, reatância de eixo em
quadratura e tensão terminal). O fator de potência
também pode ser alterado (numericamente entre 0 e
1) e sua natureza também pode ser escolhida através
de botões de opção (indutiva ou capacitiva).
A Figura 10 apresenta um diagrama fasorial típico
onde os controles de parâmetros de carga e os contro-
les de parâmetros do gerador síncrono podem ser
visualizados. Como os parâmetros do gerador hidráu-
lico possuem valores típicos, o controle deslizante
que define o valor da reatância de eixo direto permite
valores p.u. na faixa de 0,6 a 1,5 e valores de reatân-
cia de eixo em quadratura na faixa de 0,4 a 1,0 (Por-
tugal 2007; Kundur 1994). O diagrama fasorial apre-
senta vetores auxiliares das quedas de tensão nas
reatâncias de eixo direto e de quadratura, utilizados
na determinação da direção do fasor de excitação
interna, ou seja, o ângulo de carga δ.
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Limite Máximo da Turbina
Limite de Aquecimento do Rotor
Limite Teórico de Estabilidade
Limite Prático de Estabilidade
Magnetismo Residual
Limite de Aquecimento do Estator
Limite Mínimo da Turbina
pu de MVAr
pudeMW
Figura 9. Diagrama de capacidade completo do gerador de pólos salientes.
.
4279

6. Figura 10. Diagrama fasorial de gerador de pólos salientes
Também é possível visualizar os valores numéricos
calculados da excitação interna, do ângulo de carga δ
e do ângulo φ que define o fator de potência.
O efeito das mudanças nos valores da carga pode ser
rapidamente avaliado. A Figura 11 mostra o diagra-
ma fasorial resultante de uma redução da potência
aparente da carga de 1,0 p.u para 0,6 p.u. A excitação
do gerador deverá ser ajustada para manter a tensão
terminal do gerador em 1,0 p.u. Neste caso, a fem do
gerador deverá ser reduzida de 1,76 p.u. para
1,41 p.u. Simultaneamente, o ângulo de carga é redu-
zido de 25,77° para 17,72°
Figura 11. Efeito da redução na potência aparente.
Da mesma forma, o estudante poderá analisar o efei-
to da alteração do fator de potência da carga sobre a
excitação do gerador. A Figura 12 mostra o diagrama
fasorial resultante da alteração do fator de potência
para o valor unitário, mantendo-se os demais parâ-
metros constantes. Neste caso, o aumento do fator de
potência de 0,9 para a 1,0 exige uma redução da
excitação de 1,76 p.u. para 1,45 p.u. Ao mesmo tem-
po, o ângulo de carga sofre um incremento de 25,77°
para 34,99°.
Figura 12. Efeito da alteração do fator de potência.
4.2 Diagrama de Capacidade do Gerador de Pólos
Salientes
Usando os mesmos recursos gráficos disponíveis
em Matlab, foi implementada uma interface gráfica
capaz de possibilitar a visualização em tempo real
das alterações em diagramas de capacidade proveni-
entes de alterações dos vários parâmetros do gerador
síncrono de pólos salientes.
A interface gráfica da Figura 13 fornece acesso direto
a todos os parâmetros necessários à construção do
diagrama de capacidade do gerador síncrona. A regi-
ão mais escura do diagrama corresponde à zona de
operação segura do gerador síncrona.
4280

7. Figura 13. Interface do software construtor de diagramas de capacidade de máquinas síncronas de pólos salientes.
O eixo vertical corresponde à potência ativa (p.u. de
MW) enquanto que o eixo horizontal corresponde à
potência reativa (p.u. de MVAr). Para efeito de com-
paração, os parâmetros do gerador fornecidos na
Figura 13 são considerados parâmetros de referência
para os demais exemplos contidos neste artigo.
Nesta interface é possível verificar o efeito dos valo-
res de reatância do gerador, da tensão terminal, limi-
tes de operação da turbina, de aquecimento do esta-
tor, aquecimento do rotor, magnetismo residual e
margem de segurança do limite de estabilidade
A construção do lugar geométrico dos limites de
estabilidade teórico e prático representa a maior
dificuldade na construção do diagrama de capacidade
para geradores com pólos salientes. O software de-
senvolvido permite ao usuário uma imediata visuali-
zação do efeito da alteração dos parâmetros dX e
qX sobre os limites do gerador. Para ilustrar este
recurso, o valor de dX é aumentado de 1,1 p.u. para
1,5 p.u.
Figura 14. Diagrama de capacidade para 1,5 . .dX p u=
A área de operação segura diminui significativamen-
te quando comparamos o diagrama da Figura 14 com
o diagrama de referência da Figura 13.
Além das opções apresentadas pelos controles desli-
zantes e botões de opção, o software desenvolvido
apresenta recursos de impressão e exportação do
diagrama para outros aplicativos de editoração, faci-
litando a confecção de relatórios pelos usuários.
Para facilitar a identificação dos limites da máquina,
o usuário é convidado a clicar o ponteiro do mouse
sobre as curvas coloridas. Quando isto acontece,
automaticamente uma descrição da curva aparece
informando o respectivo limite de operação. A Figu-
ra 15 ilustra esta funcionalidade do software.
O diagrama na Figura 15 também mostra a diminui-
ção da área de operação estável quando diminuímos
o valor da tensão interna máxima de 2,0 p.u. para
1,8 p.u., conservando os demais parâmetros da Figu-
ra 13 inalterados.
Figura 15. Descrição dos Limites de Operação.
4281

8. Para verificar se o gerador está dentro da área de
operação segura e estável, o usuário conta com recur-
sos para visualizar uma condição desejada. Por con-
troles deslizantes, escolhe-se a potência aparente e o
fator de potência da carga e um asterisco indica o
lugar geométrico da extremidade do fasor de potên-
cia aparente, explicitando se o mesmo encontra-se
dentro ou fora da região de operação estável. A Figu-
ra 16 ilustra uma situação em que a situação da carga
extrapola o limite prático de estabilidade e o limite
de aquecimento do estator. No caso ilustrado, a carga
é de 1,2 p.u. de MVA com fator de potência 0,5 ca-
pacitivo.
Figura 16. Ponto de Operação Instável.
5 Conclusão
O software apresentado neste artigo tem empre-
go imediato como ferramenta didática e de treina-
mento profissional. Porém, os conceitos utilizados e
a implementação também podem ser aproveitados
para utilização na supervisão e controle da geração
de energia em tempo real.
Embora as vantagens de ferramentas gráficas sejam
evidentes, é interessante a realização de testes mais
detalhados para verificar o impacto do uso da ferra-
menta proposta no aprendizado de alunos cursando
disciplinas de máquinas elétricas e controle.
A inclusão de módulos para visualização de outras
características do gerador tais como curvas de satura-
ção e curvas V deverá ser realizada na sequência do
projeto.
Uma evolução natural do sistema proposto consiste
em adaptar o algoritmo desenvolvido em Matlab para
possibilitar seu uso através da internet facilitando o
ensino à distância, empregando, por exemplo, applets
Java.
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