(ACH2002) Introdução à Análise de Algoritmos - Aula 12

Aula 12 – Algoritmos de Ordena¸c˜ao:
Modelo Incremental
Norton Trevisan Roman
norton@usp.br
27 de setembro de 2018
Norton Trevisan Romannorton@usp.br Aula 12 – Algoritmos de Ordena¸c˜ao: Modelo Incremental27 de setembro de 2018 1 / 25

Ordena¸c˜ao
Trata do problema de ordenar um conjunto de
n ≥ 1 valores

Ordena¸c˜ao
n ≥ 1 valores
Arranjo, lista ligada etc

Ordena¸cão
n ≥ 1 valores
Podemos projetar por indu¸cão diversos algoritmos
para o problema da ordena¸cão

Ordena¸cão
n ≥ 1 valores
Podemos projetar por indu¸cão diversos algoritmos
para o problema da ordena¸cão
De fato, todos os algoritmos básicos de ordena¸cão
surgem de projetos por indu¸cão sutilmente diferentes

Ordena¸c˜ao
Modelo Incremental: Indu¸c˜ao Fraca

Ordena¸cão
Modelo Incremental: Indu¸cão Fraca
Padrão seguido pelos algoritmos:
Ordena¸c~aoIncremental(A, n):
Entrada: Arranjo A de n valores
Sa´ıda: Arranjo A ordenado
se n == 1 ent~ao retorne
sen~ao:
<comandos iniciais>
Ordena¸c~aoIncremental(A, n - 1)
<comandos finais>
retorne

Ordena¸cão
Divisão e Conquista: Indu¸cão Forte

Ordena¸cão
Divisão e Conquista: Indu¸cão Forte
Padrão seguido pelos algoritmos:
Ordena¸c~aoD&C(A, ini, fim):
n = fim - ini + 1
se n == 1 ent~ao retorne
sen~ao:
<comandos iniciais: a divis~ao> (cálculo de q)
Ordena¸c~aoD&C(A, ini, q)
Ordena¸c~aoD&C(A, q+1, fim)
<comandos finais: a conquista>
retorne

Projeto por Indu¸c˜ao Fraca
Primeira Alternativa

Base: n = 1. Um conjunto de um ´unico elemento
est´a ordenado

est´a ordenado
H.I.: Sei ordenar um conjunto de n − 1 ≥ 1 valores

est´a ordenado
Passo:

est´a ordenado
Passo:
Seja S um conjunto de n ≥ 2 valores, e x um elemento
qualquer de S

está ordenado
Passo:
qualquer de S
Pela H.I., sabemos ordenar o conjunto S − x. Basta então
inserir x na posi¸cão correta para obtermos S ordenado

está ordenado
Passo:
qualquer de S
Pela H.I., sabemos ordenar o conjunto S − x. Basta então
inserir x na posi¸cão correta para obtermos S ordenado
Método da Inser¸cão (Insertion Sort)

Método da Inser¸cão (recursivo)
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna // está ordenado
sen~ao:
Inser¸c~ao(A, n - 1)
v = A[n-1]
j=n-1
enquanto (j > 0) e (A[j-1] > v) fa¸ca:
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
se n = 1
para n ≥ 2

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
0 se n = 1
para n ≥ 2

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
0 se n = 1
T(n − 1) para n ≥ 2

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
0 se n = 1
T(n − 1) + (n − 1) para n ≥ 2

Ent˜ao
T(n) = T(n − 1) + n − 1

Ent˜ao
T(n) = T(n − 1) + n − 1
= (T(n − 2) + (n − 1) − 1) + n − 1

Ent˜ao
T(n) = T(n − 1) + n − 1
= (T(n − 2) + (n − 1) − 1) + n − 1
T(n − 2) + 2n − 2 − 1

Ent˜ao
T(n) = T(n − 1) + n − 1
= (T(n − 2) + (n − 1) − 1) + n − 1
T(n − 2) + 2n − 2 − 1
= (T(n − 3) + (n − 2) − 1) + 2n − 2 − 1

Ent˜ao
T(n) = T(n − 1) + n − 1
= (T(n − 2) + (n − 1) − 1) + n − 1
T(n − 2) + 2n − 2 − 1
= (T(n − 3) + (n − 2) − 1) + 2n − 2 − 1
T(n − 3) + 3n − 3 − 2 − 1

Ent˜ao
T(n) = T(n − 1) + n − 1
= (T(n − 2) + (n − 1) − 1) + n − 1
T(n − 2) + 2n − 2 − 1
= (T(n − 3) + (n − 2) − 1) + 2n − 2 − 1
T(n − 3) + 3n − 3 − 2 − 1
. . .

Ent˜ao
T(n) = T(n − 1) + n − 1
= (T(n − 2) + (n − 1) − 1) + n − 1
T(n − 2) + 2n − 2 − 1
= (T(n − 3) + (n − 2) − 1) + 2n − 2 − 1
T(n − 3) + 3n − 3 − 2 − 1
. . .
= T(n − k) + kn −
k
i=1
i

E
T(n) = T(n − k) + kn −
k
i=1
i

E
T(n) = T(n − k) + kn −
k
i=1
i
= T(1) + kn −
k
i=1
i, em T(n − k) = T(1)

E
T(n) = T(n − k) + kn −
k
i=1
i
= T(1) + kn −
k
i=1
i, em T(n − k) = T(1)
= T(1) + (n − 1)n −
n−1
i=1
i, pois n − k = 1

E
T(n) = T(n − k) + kn −
k
i=1
i
= T(1) + kn −
k
i=1
i, em T(n − k) = T(1)
= T(1) + (n − 1)n −
n−1
i=1
i, pois n − k = 1
= (n − 1)n −
n−1
i=1
i, pois T(1) = 0

E
T(n) = T(n − k) + kn −
k
i=1
i
= T(1) + kn −
k
i=1
i, em T(n − k) = T(1)
= T(1) + (n − 1)n −
n−1
i=1
i, pois n − k = 1
= (n − 1)n −
n−1
i=1
i, pois T(1) = 0
= (n − 1)n −
(n − 1)n
2

T(n) = (n − 1)n −
(n − 1)n
2

T(n) = (n − 1)n −
(n − 1)n
2
= n2
− n −
n2
− n
2

T(n) = (n − 1)n −
(n − 1)n
2
= n2
− n −
n2
− n
2
=
n2
− n
2

T(n) = (n − 1)n −
(n − 1)n
2
= n2
− n −
n2
− n
2
=
n2
− n
2
= Θ(n2
)

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
se n = 1
para n ≥ 2

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
O(1) se n = 1
para n ≥ 2

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
O(1) se n = 1
T(n − 1) para n ≥ 2

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
T(n) =
O(1) se n = 1
T(n − 1) + O(n) para n ≥ 2

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)
= (T(n − 2) + O(n)) + O(n)

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)
= (T(n − 2) + O(n)) + O(n)
= (T(n − 3) + O(n)) + O(n) + O(n)

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)
= (T(n − 2) + O(n)) + O(n)
= (T(n − 3) + O(n)) + O(n) + O(n)
. . .

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)
= (T(n − 2) + O(n)) + O(n)
= (T(n − 3) + O(n)) + O(n) + O(n)
. . .
= T(n − k) + kO(n)

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)
= (T(n − 2) + O(n)) + O(n)
= (T(n − 3) + O(n)) + O(n) + O(n)
. . .
= T(n − k) + kO(n)
= T(1) + (n − 1)O(n), quando T(n − k) = T(1)

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)
= (T(n − 2) + O(n)) + O(n)
= (T(n − 3) + O(n)) + O(n) + O(n)
. . .
= T(n − k) + kO(n)
= T(1) + (n − 1)O(n), quando T(n − k) = T(1)
= O(1) + O(n2
) − O(n)

E
T(n) = T(n − 1) + O(n)
= (T(n − 2) + O(n)) + O(n)
= (T(n − 3) + O(n)) + O(n) + O(n)
. . .
= T(n − k) + kO(n)
= T(1) + (n − 1)O(n), quando T(n − k) = T(1)
= O(1) + O(n2
) − O(n)
= O(n2
)

Método da Inser¸cão (iterativo)
Inser¸c~ao(A, n):
para i = 1 até n - 1 fa¸ca:
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n)

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n) × O(n)

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n) × O(n) = O(n2
)

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n) × O(n) = O(n2
) Bem mais fácil!!!

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n)

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n) + O(n)

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n) + O(n) × O(n)

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n) + O(n) × O(n) = O(n2
)

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
O(n) + O(n) × O(n) = O(n2
) O mesmo valor.

M´etodo da Inser¸c˜ao: recursivo × iterativo
Inser¸c~ao(A, n):
se n == 1: retorna
sen~ao:
v = A[n-1]
j=n-1
enquanto (j > 0) e
(A[j-1] > v) fa¸ca:
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v
Inser¸c~ao(A, n):
v = A[i]
j=i
enquanto (j > 0) e
(A[j-1] > v) fa¸ca:
A[j] = A[j-1]
j=j-1
A[j] = v

Segunda Alternativa

Segunda Alternativa
Base: n = 1. Um ´unico elemento est´a ordenado

Segunda Alternativa

Segunda Alternativa
Passo:

Segunda Alternativa
Passo:
Seja S um conjunto de n ≥ 2 valores, e x o menor elemento
de S

Segunda Alternativa
Passo:
de S
Então x certamente é o primeiro elemento da sequência
ordenada de S. Por hipótese de indu¸cão, sabemos ordenar os
demais S − x elementos, e assim obtemos S ordenado

Segunda Alternativa
Passo:
de S
Então x certamente é o primeiro elemento da sequência
ordenada de S. Por hipótese de indu¸cão, sabemos ordenar os
demais S − x elementos, e assim obtemos S ordenado
Método da Sele¸cão (Selection Sort)

Método da Sele¸cão (recursivo)
Sele¸c~ao(A, ini, fim):
Entrada: Arranjo A de n valores e os ´ındices
de in´ıcio e término da sequência a ser ordenada
se ini < fim ent~ao:
min = ini
para j = ini+1 até fim fa¸ca:
se A[j] < A[min] ent~ao: min = j
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t
Sele¸c~ao(A, ini+1, fim)

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
min = ini
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
min = ini
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t
T(n) =
se n = 1
para n ≥ 2

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
min = ini
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t
T(n) =
O(1) se n = 1
para n ≥ 2

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
min = ini
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t
T(n) =
O(1) se n = 1
O(n) para n ≥ 2

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
min = ini
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t
T(n) =
O(1) se n = 1
O(n) + T(n − 1) para n ≥ 2

Quantas
compara¸c˜oes
no arranjo s˜ao
feitas no pior
caso?
min = ini
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t
T(n) =
O(1) se n = 1
O(n) + T(n − 1) para n ≥ 2
= O(n2
)

Método da Sele¸cão (iterativo)
Sele¸c~ao(A, n):
para i = 0 até n-2 fa¸ca:
min = i
para j = i+1 até n-1 fa¸ca:
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Sele¸c~ao(A, n):
min = i
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Sele¸c~ao(A, n):
min = i
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t
O(n)

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Sele¸c~ao(A, n):
min = i
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t
O(n) × O(n)

Usando a
nota¸cão O,
quantas
compara¸cões
no arranjo são
feitas no pior
caso?
Sele¸c~ao(A, n):
min = i
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t
O(n) × O(n) = O(n2
)

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Sele¸c~ao(A, n):
min = i
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t

E quantas
trocas de
elementos s˜ao
feitas no
arranjo no pior
caso?
Sele¸c~ao(A, n):
min = i
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t
O(n)

Método da Sele¸cão: recursivo × iterativo
min = ini
para j=ini+1 até fim fa¸ca:
se A[j] < A[min] ent~ao:
min = j
t = A[min]
A[min] = A[ini]
A[ini] = t
Sele¸c~ao(A, n):
min = i
se A[j] < A[min] ent~ao:
min = j
t = A[min]
A[min] = A[i]
A[i] = t

Inser¸cão × Sele¸cão
Inser¸cão: Sele¸cão:

Inser¸cão:
Compara¸cões: O(n2
)
Sele¸cão:

Inser¸c˜ao:
)
Sele¸c˜ao:
)

Inser¸c˜ao:
)
Trocas: O(n2
)
Sele¸c˜ao:
)

Inser¸c˜ao:
)
Trocas: O(n2
)
Sele¸c˜ao:
)
Trocas: O(n)

Inser¸cão:
)
Trocas: O(n2
)
Sele¸cão:
)
Trocas: O(n)
Apesar dos algoritmos de ordena¸cão por Inser¸cão e
Sele¸cão terem a mesma complexidade assintótica
em compara¸cões, em situa¸cões onde a opera¸cão de
troca é muito custosa é prefer´ıvel utilizar a Sele¸cão

Referências
Material baseado em slides dos professores Cid de Souza,
Cândida da Silva e Delano Beder
Cormen, Thomas H., Leiserson, Charles E., Rivest, Ronald L.,
Stein, Clifford. Introduction to Algorithms. 2a ed. MIT Press,
2001.

(ACH2002) Introdução à Análise de Algoritmos - Aula 12

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