(ACH2044) Inteligência Artificial - Aula 10

Inteligência Artificial – ACH2016
Aula 10 – Lógica de Primeira Ordem
Norton Trevisan Roman
(norton@usp.br)
10 de abril de 2019
Norton Trevisan Roman(norton@usp.br) 10 de abril de 2019 1 / 40

Lógica de Primeira Ordem
Objetos e relações:

LPO é construı́da em torno de objetos e relações

Podemos também falar sobre “alguns” ou “todos”,
sem termos que citá-los explicitamente:

Ex: como representar “se pintamos um bloco com tinta
verde, ele fica verde”?

Em lógica proposicional, temos que fazer uma regra para cada bloco

Não há como fazer a afirmação geral para todos os blocos

Ou então “acesso a esse recinto é permitido somente a
pessoas autorizadas ou conhecidas de pessoas autorizadas”

Gigantesco em lógica proposicional

Gigantesco em lógica proposicional
Terı́amos que listar as pessoas autorizadas e seus conhecidos

Lógica de Primeira Ordem: Sintaxe
Elementos sintáticos básicos

Termos

Termos
Um termo é uma expressão lógica que se refere a um objeto

Termos
Corresponde a constantes, variáveis e funções

Termos
No caso geral, um termo é formado por uma função seguida
de uma lista de termos como argumentos a essa função →
f (t1, . . . , tn)

Termos
f (t1, . . . , tn)
Predicados

Termos
f (t1, . . . , tn)
Predicados
Representam relações entre termos

Termos
f (t1, . . . , tn)
Predicados
Representam relações entre termos
Elementos básicos das sentenças

Lógica de Primeira Ordem: Semântica
Modelos e Interpretações

Em lógica proposicional, um modelo simplesmente
associava um valor verdade a cada sı́mbolo

Essa também era sua interpretação

Em LPO, modelos contém objetos e relações

O domı́nio de um modelo é então o conjunto dos objetos e
relações que ele contém

Um domı́nio não pode ser vazio → todo domı́nio deve
conter pelo menos um objeto

Um domı́nio não pode ser vazio → todo domı́nio deve
conter pelo menos um objeto
Cabe à interpretação do modelo especificar o significado de
cada termo e predicado dentro desse domı́nio

Modelo: Exemplo

Modelo: Exemplo
Domı́nio:

Modelo: Exemplo
Domı́nio:
Predicados:

Modelo: Exemplo
Domı́nio:
Predicados:
IRMÃO = {< , >, < , >, < , >, . . . }

Modelo: Exemplo
Domı́nio:
Predicados:
IRMÃO = {< , >, < , >, < , >, . . . }
AMIGO = {< , >, < , >, < , >, < , >}

Modelo: Exemplo
Domı́nio:
Predicados:
IRMÃO = {< , >, < , >, < , >, . . . }
AMIGO = {< , >, < , >, < , >, < , >}
Funções:

Modelo: Exemplo
Domı́nio:
Predicados:
IRMÃO = {< , >, < , >, < , >, . . . }
AMIGO = {< , >, < , >, < , >, < , >}
Funções:
PAI = {< , >, < , >, < , >, < , >}

Modelo: Exemplo
Note que a ausência de uma regra do tipo
“Se A é irmão de B então B é irmão de A”
nos obriga a incluir todos os possı́veis pares no
modelo:

Modelo: Exemplo
modelo:
IRMÃO = {< , >, < , >, . . . }

Modelo: Exemplo
modelo:
IRMÃO = {< , >, < , >, . . . }
Esse tipo de regra é muito importante para reduzir
nosso trabalho de por todas as possı́veis
combinações explicitamente no modelo

Interpretação
Especifica referentes para:

Interpretação
Sı́mbolos constantes: objetos

Interpretação
Sı́mbolos de predicado: relações

Interpretação
Sı́mbolos de função: relações funcionais

Interpretação
Conjunto de objetos: elementos do domı́nio (ex: Pessoa,
Lápis, João)

Interpretação
Conjunto de objetos: elementos do domı́nio (ex: Pessoa,
Lápis, João)
Trata-se de um mapa entre os elementos do
domı́nio e esses sı́mbolos

Interpretação: Sı́mbolos
Há um paralelo com lı́ngua natural

Por exemplo, a noção de pai é uma só, mas a
palavra usada para designá-la depende da lı́ngua em
que é pronunciada

que é pronunciada
A palavra nada mais é que um sı́mbolo para uma relação de
paternidade

que é pronunciada
A palavra nada mais é que um sı́mbolo para uma relação de
paternidade
A relação é comum a todos nós, mas o sı́mbolo varia

Interpretação: Exemplo
Bart → Homer →
Lisa → Maggie →

Bart → Homer →
Lisa → Maggie →
Pai(x) → Objeto y no par < y, x > em PAI

Bart → Homer →
Lisa → Maggie →
Pai(Bart) = Homer, pois PAI contém o par < , >

Bart → Homer →
Lisa → Maggie →
Irmão(x,y) → Verdadeiro se IRMÃO contiver o par
< x, y >

Bart → Homer →
Lisa → Maggie →
Irmão(x,y) → Verdadeiro se IRMÃO contiver o par
< x, y >
Irmão(Bart, Lisa) = Verdadeiro, pois IRMÃO contém o par
< , >

Termos

Termos
Sı́mbolos constantes

Termos
Dão nomes a coisas particulares

Termos
Ex: Fred, C1, A, Japão, Bactéria 39

Termos
Sı́mbolos variáveis:

Termos
Sintaticamente iguais às constantes, embora não se refiram
a um objeto em particular

Termos
Similares às usadas em programação

Termos
Ex: x, y, a (minúsculas)

Termos
Ex: x, y, a (minúsculas)
Um termo sem variáveis é chamado de termo base (ground
term)

Termos
Sı́mbolos de função:

Termos
Usados quando, em vez de uma constante, quisermos usar
uma relação para definir um objeto

Termos
Ex: usamos BraçoEsq(Pedro), em vez de dar um nome ao braço,
como BRAÇO ESQ PEDRO

Termos
Definem que um dado objeto deve se relacionar a um único
outro objeto desta maneira

Termos
Ex: BraçoEsq(Pedro) relaciona Pedro a um único objeto
correspondente ao seu braço esquerdo

Termos
Ex: BraçoEsq(Pedro) relaciona Pedro a um único objeto
correspondente ao seu braço esquerdo
Sua vantagem está em que essa mesma função pode ser
usada para definir relações entre outros objetos

Termos
Ex:
Proposicional LPO
PAI PEDRO ↔ Pai(Pedro)
PAI JOÃO ↔ Pai(João)

Termos
Uma única função
aplicada a 2
sı́mbolos distintos
Ex:
Proposicional LPO

Termos
aplicada a 2
Ex:
Proposicional LPO
Semântica de um termo f (t1, . . . , tn):

Termos
aplicada a 2
Ex:
Proposicional LPO
f se refere a alguma função F no modelo

Termos
aplicada a 2
Ex:
Proposicional LPO
t1, . . . tn se referem a objetos o1, . . . , on no domı́nio

Termos
aplicada a 2
Ex:
Proposicional LPO
t1, . . . tn se referem a objetos o1, . . . , on no domı́nio
O termo como um todo se refere ao objeto correspondente
ao valor de F aplicada a o1, . . . , on

Predicados

Predicados
Aplicados a zero ou mais termos

Predicados
Conectam parâmetros, indicando que a conexão
existe

Predicados
existe
Ex: Irmão(x,y), Maior(x,y)

Predicados
existe
Também servem para descrever algum atributo

Predicados
existe
Também servem para descrever algum atributo
Ex: Azul(A), Chovendo

Predicados × Funções
Irmão(João,x) – ???

Irmão(João,x) – Predicado

Pode retornar muitos valores para x, mantendo-se João
como primeiro

como primeiro
E num modelo em que ninguém tem mais que 1 irmão?

como primeiro
Função, pois x será associado a um objeto especı́fico sempre

como primeiro
PernaEsquerda(Pedro) – ???

como primeiro
PernaEsquerda(Pedro) – ???
Pedro → Minha centopeia de estimação

como primeiro
PernaEsquerda(Pedro) – Predicado

como primeiro
PernaEsquerda(x) deve também se aplicar a outros
elementos conhecidos que possam fazer parte da base

como primeiro
PernaEsquerda(x) deve também se aplicar a outros
elementos conhecidos que possam fazer parte da base
Ex: mesa, cadeira etc.

Maior(Tamanho(PernaEsq(JOÃO)), Tamanho(PernaEsq(PEDRO)))

Predicados

Predicados Funções

Função faz referência a um objeto do domı́nio

Valores também são objetos

Predicado faz referência a um atributo ou relação
em si

Predicado faz referência a um atributo ou relação
em si
Mas o que é predicado ou função depende totalmente do
modelo

Voltemos ao nosso exemplo de modelo...
Domı́nio:
Predicados:
IRMÃO = {< , >, < , >, < , >, . . . }
AMIGO = {< , >, < , >, < , >, < , >}
Funções:
PAI = {< , >, < , >, < , >, < , >}

Dentro do domı́nio, tanto predicados quanto
funções são meras listas de pares ordenados

Predicados:

Predicados:
Irmão( ,x) ⇒ x = {< , >, < , >}

Predicados:
Irmão( ,x) ⇒ x = {< , >, < , >}
Pode haver vários pares com como primeiro item e um
segundo item diferente

Predicados:
Irmão( ,x) ⇒ x = {< , >, < , >}
Funções:

Predicados:
Irmão( ,x) ⇒ x = {< , >, < , >}
Funções:
Pai( ) =

Predicados:
Irmão( ,x) ⇒ x = {< , >, < , >}
Funções:
Pai( ) =
Aplicar a função a um termo nos leva a um único par possı́vel

Sentenças
Usadas para representar fatos

Sentenças
Sentenças Atômicas ou Átomos

Sentenças
Compostas por predicado aplicado a zero ou mais termos

Sentenças
Ex: Irmão(Ricardo, João)

Sentenças
A interpretação particular será a responsável por definir que
objetos correspondem a Ricardo e João

Sentenças
Sentenças atômicas podem conter termos complexos

Sentenças
Ex: Casado(Pai(Ricardo), Mãe(João))

Sentenças
Também possuem o operador =

Sentenças
Também possuem o operador =
Ex: Pai(João) = Pedro

Sentenças
Sentenças Complexas

Sentenças
Produzidas a partir de sentenças menores usando-se os
conectivos lógicos:

Sentenças
¬, ∧, ∨, ⇒ ou →, e ⇔ ou ↔

Sentenças
¬, ∧, ∨, ⇒ ou →, e ⇔ ou ↔
Ex:

Sentenças
¬, ∧, ∨, ⇒ ou →, e ⇔ ou ↔
Ex:
¬Irmão(Jorge, Pedro)

Sentenças
¬, ∧, ∨, ⇒ ou →, e ⇔ ou ↔
Ex:
¬Irmão(Jorge, Pedro)
Irmão(Jorge, Pedro) ⇒ Irmão(Pedro, Jorge)

Sentenças: Valor verdade
Uma sentença atômica
predicado(termo1, termo2, . . . , termon)
é verdadeira em um dado modelo se a relação
representada pelo predicado vale entre os objetos
representados por seus argumentos

Sentenças: Valor verdade
Uma sentença atômica
predicado(termo1, termo2, . . . , termon)
é verdadeira em um dado modelo se a relação
representada pelo predicado vale entre os objetos
representados por seus argumentos
Ex:
Amigo(Bart,Millhouse) ⇒ Verdadeiro, pois a relação
AMIGO vale para os objetos e

Passo-a-passo: Irmão(Bart,Lisa)?

Verificamos a interpretação de cada sı́mbolo
constante:

constante:
Bart →

constante:
Bart →
Lisa →

constante:
Bart →
Lisa →
Verificamos que relação o sı́mbolo Irmão denota

constante:
Bart →
Lisa →
Irmão(x,y) → IRMÃO = {< , >, < , >,
< , >, < , >, . . . }

constante:
Bart →
Lisa →
Irmão(x,y) → IRMÃO = {< , >, < , >,
< , >, < , >, . . . }
Buscamos pelo par < , > dentro da relação:

constante:
Bart →
Lisa →
Irmão(x,y) → IRMÃO = {< , >, < , >,
< , >, < , >, . . . }
Buscamos pelo par < , > dentro da relação:
Encontramos → a sentença é verdadeira nessa
interpretação

Igualdade
Também podemos construir uma sentença atômica
através do sı́mbolo de igualdade (=)

Igualdade
Nesse caso, t1 = t2 sse o objeto denotado por t1 for o
mesmo denotado por t2 sob uma dada interpretação

Igualdade
Para verificar a veracidade de uma igualdade basta então
olharmos na interpretação se os referentes dos 2 termos são
o mesmo objeto

Igualdade
o mesmo objeto
Ex: Maggie = Margaret?

Igualdade
o mesmo objeto
Interpretação: Maggie = Margaret =

Igualdade
o mesmo objeto
Interpretação: Maggie = Margaret =
Nesse caso, (Maggie = Margaret) é verdadeira

Quantificadores
Usados para expressar propriedades de coleções
inteiras de objetos (em vez de enumerá-los)

Quantificadores
Quantificação Universal (∀)

Quantificadores
Descreve fatos e propriedades que se aplicam a todo e
qualquer objeto

Quantificadores
qualquer objeto
∀x P será verdade em um modelo sse P for verdade com x
sendo cada objeto possı́vel no modelo

Quantificadores
qualquer objeto
Ex: ∀x Homem(x) ⇒ Mortal(x)

Quantificadores
qualquer objeto
Para todo x, se x for homem, então x é mortal

Quantificadores
qualquer objeto
Para todo x, se x for homem, então x é mortal
(Todo homem é mortal)

Quantificação Universal: Exemplo
Todo mundo que estuda IA é inteligente

∀x Estuda(x, IA) ⇒ Inteligente(x)

Equivale à conjunção de todas as possı́veis
instâncias de x:

instâncias de x:
(Estuda(Bart, IA) ⇒ Inteligente(Bart)) ∧

instâncias de x:
(Estuda(Lisa, IA) ⇒ Inteligente(Lisa)) ∧

instâncias de x:
(Estuda(Homer, IA) ⇒ Inteligente(Homer)) ∧ . . .

instâncias de x:
(Estuda(Homer, IA) ⇒ Inteligente(Homer)) ∧ . . .
Note que se Estuda(Homer, IA) = Falso, ainda assim
(Estuda(Homer, IA) ⇒ Inteligente(Homer)) = Verdadeiro

Quantificação Universal
Tipicamente, ‘∀’ vem junto ao conectivo ‘⇒’

Cuidado! Usar ‘∧’ como conectivo pode levar a :

∀x Estuda(x, IA) ∧ Inteligente(x)

(Todo mundo estuda IA e é inteligente)

Ou seja, (Estuda(Bart, IA) ∧ Inteligente(Bart)) ∧

(Estuda(Lisa, IA) ∧ Inteligente(Lisa)) ∧

(Estuda(Homer, IA) ∧ Inteligente(Homer)) ∧ . . .

(Estuda(Homer, IA) ∧ Inteligente(Homer)) ∧ . . .
Se Estuda(Homer, IA) = Falso, então a sentença toda é
falsa

Quantificadores
Quantificação Existencial (∃)

Quantificadores
Descreve fatos e propriedades que se aplicam a pelo menos
um objeto

Quantificadores
um objeto
Ex: ∃x Chapéu(x) ∧ NaCabeça(x, Pedro)

Quantificadores
um objeto
Existe um x tal que x é um chapéu e está na cabeça de
Pedro

Quantificadores
um objeto
Pedro
(Pedro está com um chapéu na cabeça)

Quantificadores
um objeto
Pedro
≡ (Tem um chapéu na cabeça de Pedro)

Quantificadores
um objeto
Pedro
≡ (Tem um chapéu na cabeça de Pedro)
≡ (. . . )

Quantificação Existencial
∃x P é verdadeiro em um modelo sse existir algum
x (objeto associado a x) para o qual P é verdadeiro

Ex: ∃x Estuda(x, IA) ∧ Inteligente(x)

Existe um x que estuda IA e é inteligente

(Alguém dos que estudam IA é inteligente)

Equivale à disjunção de todas as possı́veis instâncias
de P

de P
(Estuda(Lisa, IA) ∧ Inteligente(Lisa)) ∨

de P
(Estuda(Lisa, IA) ∧ Inteligente(Lisa)) ∨
(Estuda(Bart, IA) ∧ Inteligente(Bart)) ∨ . . .

Tipicamente, ∃ vem junto ao conectivo ∧

Cuidado! Usar ‘⇒’ como conectivo pode levar a
erro:

erro:
∃x Estuda(x, IA) ⇒ Inteligente(x)

erro:
Existe um x para o qual a expressão é verdadeira

erro:
Existe um x para o qual a expressão é verdadeira
Será verdade, mesmo que ninguém estude IA, pois F ⇒ T e
F ⇒ F

Quantificadores: Exemplo
Considere a seguinte interpretação:
Bart → Lisa → Maggie →
Homer → Millhouse →

Homer é pai de algum amigo de Milhouse?

∃x (Pai(x) = Homer) ∧ Amigo(x, Milhouse)?

Verifique a interpretação das constantes Homer e Milhouse

Homer → ; Millhouse →

Verifique se existe um objeto no modelo que atenda às
relações Pai e Amigo, com essas constantes

Verifique se existe um objeto no modelo que atenda às
relações Pai e Amigo, com essas constantes
x =

Todo filho de Homer é amigo de Milhouse?

∀x (Pai(x) = Homer) ⇒ Amigo(x, Milhouse)

Verifique se, para todo objeto no modelo que atenda às
relações Pai e Amigo, com essas constantes, a implicação é
satisfeita

Verifique se, para todo objeto no modelo que atenda às
relações Pai e Amigo, com essas constantes, a implicação é
satisfeita
A implicação é falsa para x = e x =

Quantificadores Aninhados
Podemos usar sentenças com múltiplos
quantificadores:

quantificadores:
“A relação Irmão é simétrica”

quantificadores:
∀x∀y Irmão(x, y) ⇔ Irmão(y, x)

quantificadores:
Quantificadores consecutivos do mesmo tipo podem
ser escritos como um só:

quantificadores:
Quantificadores consecutivos do mesmo tipo podem
ser escritos como um só:
∀x, y Irmão(x, y) ⇔ Irmão(y, x)

Quantificadores: Escopo
Assim como variáveis de programação, variáveis de
quantificadores têm escopo

Ex: ∀x (Chapéu(x) ∨ (∃x Irmão(Pedro, x)))

Uma variável pertence ao quantificador mais interno que a
menciona (como se ele a declarasse)

Não será sujeita a mais nenhuma quantificação

Não será sujeita a mais nenhuma quantificação
É sempre melhor usar variáveis distintas, para evitar
confusão:
∀x (Chapéu(x) ∨ (∃y Irmão(Pedro, y)))

Quantificadores: Propriedades

∀x∀y é o mesmo que ∀y∀x

∃x∃y é o mesmo que ∃y∃x

∃x∀y não é o mesmo que ∀y∃x

∃x∀y Ama(x, y)

∃x∀y Ama(x, y)
(Existe alguém que ama todo mundo)

∃x∀y Ama(x, y)
∀y∃x Ama(x, y)

∃x∀y Ama(x, y)
∀y∃x Ama(x, y)
(Todo mundo é amado por alguém)

Quantificadores: Dualidade
Cada quantificador pode ser expresso em termos do
outro

outro
∀x Gosta(x, Sorvete)

outro
¬∃x ¬Gosta(x, Sorvete)

outro
∃x Gosta(x, Quiabo)

outro
¬∀x ¬Gosta(x, Quiabo)

outro
¬∀x ¬Gosta(x, Quiabo)
Regras de De Morgan:
∀x ¬P ≡ ¬∃x P ∀x P ≡ ¬∃x ¬P
¬∀x P ≡ ∃x ¬P ∃x P ≡ ¬∀x ¬P

Exemplos

Exemplos
Gatos são mamı́feros:

Exemplos
∀x Gato(x) ⇒ Mamı́fero(x)

Exemplos
Paulo é um jogador alto:

Exemplos
Jogador(Paulo) ∧ Alto(Paulo)

Exemplos
Sobrinho é o filho do irmão:

Exemplos
∀x, y Sobrinho(x, y) ⇔ ∃z [Irmão(z, y) ∧ filho(x, z)]

Exemplos
Primo é o filho do irmão de um pai:

Exemplos
Primo é o filho do irmão de um pai:
∀x, y Primo(x, y) ⇔
∃z, k [Irmão(z, k) ∧ Filho(x, z) ∧ Filho(y, k)]

Exemplos
Ninguém ama Ana:

Exemplos
Ninguém ama Ana:
¬∃x Ama(x, Ana)

Exemplos
Ninguém ama Ana:
¬∃x Ama(x, Ana)
Todo mundo tem um pai

Exemplos
Ninguém ama Ana:
¬∃x Ama(x, Ana)
∀x∃y (Pai(x) = y)

Exemplos
Ninguém ama Ana:
¬∃x Ama(x, Ana)
Todo mundo tem pai e mãe

Exemplos
Ninguém ama Ana:
¬∃x Ama(x, Ana)
∀x∃y, z [(Pai(x) = y) ∧ (Mãe(x) = z)]

Exemplos
Ninguém ama Ana:
¬∃x Ama(x, Ana)
∀x∃y, z [(Pai(x) = y) ∧ (Mãe(x) = z)]
Quem quer que tenha um pai, tem uma mãe

Exemplos
Ninguém ama Ana:
¬∃x Ama(x, Ana)
∀x∃y, z [(Pai(x) = y) ∧ (Mãe(x) = z)]
Quem quer que tenha um pai, tem uma mãe
∀x [[∃y (Pai(x) = y)] ⇒ [∃z (Mãe(x) = z)]]

Exemplos
Definição completa de irmão:
∀x, y Irmão(y, x) ⇔ [¬(x = y) ∧ ∃m, p ¬(m =
p) ∧ (Pai(x) = p) ∧ (Mãe(x) = m) ∧ (Pai(y) =
p) ∧ (Mãe(y) = m)]

Exemplos
∀x, y Irmão(y, x) ⇔ [¬(x = y) ∧ ∃m, p ¬(m =
p) ∧ (Mãe(y) = m)]
Note que frisamos que não são a mesma pessoa (com ¬(x = y) e
¬(m = p))

Exemplos
∀x, y Irmão(y, x) ⇔ [¬(x = y) ∧ ∃m, p ¬(m =
p) ∧ (Mãe(y) = m)]
¬(m = p))
Isso porque as variáveis no quantificador universal vão casar com
cada elemento do domı́nio

Exemplos
∀x, y Irmão(y, x) ⇔ [¬(x = y) ∧ ∃m, p ¬(m =
p) ∧ (Mãe(y) = m)]
¬(m = p))
Isso porque as variáveis no quantificador universal vão casar com
cada elemento do domı́nio
Muito embora, se os conjuntos Mãe e Pai forem disjuntos, não
haverá como (m = p), tornando a parte ¬(m = p) redundante

Mas piora...

Mas piora...
Como dizemos que Paulo tem 2 irmãos, Pedro e
Juca?

Mas piora...
Juca?
Irmão(Paulo, Pedro) ∧ Irmão(Paulo, Juca)?

Mas piora...
Juca?
Não. Faltou dizer que Juca 6= Pedro

Mas piora...
Juca?
Irmão(Paulo, Pedro) ∧ Irmão(Paulo, Juca) ∧ ¬(Juca =
Pedro)?

Mas piora...
Juca?
Pedro)?
Ainda não... isso ainda resulta verdadeiro se ele tiver um 3o
irmão...

Mas piora...
Juca?
Pedro)?
Ainda não... isso ainda resulta verdadeiro se ele tiver um 3o
irmão...
Pedro)∧[∀x Irmão(x, Paulo) ⇒ ((x = Pedro)∨(x = Juca))]

Referências
Russell, S.; Norvig P. (2010): Artificial Intelligence: A Modern
Approach. Prentice Hall. 3a ed.
Slides do livro:
http://aima.eecs.berkeley.edu/slides-pdf/
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Electrical-Engineering-
and-Computer-Science/6-034Spring-2005/
LectureNotes/index.htm

(ACH2044) Inteligência Artificial - Aula 10

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