Propriedades mecânicas do concreto

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CIVIL
NOTAS DE AULA DE CONCRETO I
Professora: Eliene Pires Carvalho

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Tema 1: Propriedades Mecânicas do Concreto
1.1) Resistência à compressão
A resistência do concreto à compressão em uma idade j (fcj) é a principal propriedade mecânica desse
material. Ela é avaliada adotando-se corpos-de-prova padrão, retirados da betoneira, por meio de ensaios
de carregamento único, de curta duração e monotônicos. (figura 1.1).
Figura 1.1 – Ensaio de resistência à compressão do concreto
A idade do concreto (j), bem como o tipo de cimento utilizado em sua composição, são parâmetros
importantes ao se avaliar a sua resistência, uma vez que o processo de hidratação do cimento é
continuado (Figura 1.2).
Figura 1.2 – Evolução da resistência do concreto com a idade [1]
A evolução da resistência do concreto com a idade, mostrada na figura 1.2, pode ser obtida através de
ensaios. Na ausência desses ensaios, essa evolução pode ser estimada em função do tipo de cimento
empregado no concreto, adotando-se a expressão abaixo:
fc(j) =β1 fc(j=28) (1)

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A tabela abaixo mostra relações fc(j)/fc(28) para alguns tipos de cimento, calculadas adotando-se a
equação 1, também preconizada pelo CEB-FIP Model Code [1].
.
Ressalta-se que a ABNT NBR 6118 recomenda o uso da expressão (1) para concretos com idades
inferiores a 28 dias. Para idades superiores a norma NBR 6118 admite-se que o crescimento da resistência
à compressão do concreto, a partir de 28 dias até 50 anos, será de apenas 16%, embora esse crescimento
possa ser superior a este valor [2].
No escritório de cálculo o projetista da estrutura especifica um valor para a resistência do concreto à
compressão denominado fck. Esse valor é adotado como ponto de partida dos cálculos de
dimensionamento e representa a resistência característica do concreto à compressão, aos 28 dias de
idade. Ele é especificado pelo projetista estrutural admitindo que somente 5% do volume de concreto do
componente estrutural terá resistência à compressão abaixo desse valor. Na obra o construtor deverá
adotar um traço de concreto que atenda a especificação de projeto, o que representa, de acordo com a
curva de Gauss mostrada na figura 1.3, que o concreto deverá ser dosado para uma resistência
correspondente a fcj,m :
Frequência (%)
Resistência
Figura 1.3 – Curva de Gauss para o concreto
fcj,m = fck + 1,65 sd
sd = desvio padrão

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O fck refere-se a resultados de resistência à compressão de corpos-de-prova padrão, amostrados durante
a concretagem e ensaiados com carregamento único, de curta duração e monotônico.
Como relacionar a resistência à compressão de corpos-de-prova padrão com a resistência à compressão
no elemento estrutural (pilares, lajes, vigas)? Segundo [2], admite-se que a resistência dos elementos
estruturais deve sempre ser menor que o fck devido a diferenças de geometria, cura, adensamento,
segregação interna, variabilidade da resistência do concreto, etc. Para levar esta questão em consideração
no projeto estrutural, o calculista determina a resistência de cálculo do concreto à compressão, aos 28 dias
de idade:
fcd = fck / c.
Outra consideração importante, relacionada à resistência do concreto, é que os ensaios de compressão em
corpos de prova, realizados com o objetivo de avaliar a resistência do concreto numa determinada idade (j),
são de curta duração. Segundo os trabalhos realizados pelo alemão Rüsch, o resultado desse ensaio é
superior ao obtido quando o ensaio é de longa duração. Isso se deve à microfissuração interna do concreto
que diminui a capacidade resistente do CP à compressão (Figura 1.4).
Figura 1.4 – Microfissuração interna do concreto
Esse decréscimo da resistência à compressão do concreto por ação das cargas de longa duração é
denominado efeito Rüsch. Conforme o CEB-FIP Model Code o modelo matemático que melhor representa
o efeito deletério da ação das cargas de longa duração é:
fc,sus,t = resistência à compressão do concreto sob carga mantida, na idade t dias, em MPa;
fc,t0 = resistência potencial à compressão do concreto na data (idade) t0 instantes antes de aplicação da
carga de longa duração, em MPa;
t0 = idade de aplicação da carga, em dias.
t = qualquer idade do concreto “a posteriori” de t0, e em dias.

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A ABNT NBR 6118 considera que o decréscimo da resistência à compressão do concreto devido à carga
aplicada aos 28 dias, e mantida até 50anos, será de 27%, ou seja, deve-se considerar um coeficiente de
minoração igual a 0.73 [2].
Para considerar os efeitos do crescimento da resistência com a idade, combinado com as conseqüências
deletérias da ação da carga mantida e de longa duração, a ABNT NBR 6118 considera um coeficiente 
para o cálculo da tensão de cálculo do concreto à compressão (σcd).
σcd = fcd *  = fck / c * 
O coeficiente β é resultado do produto de dois coeficientes: 1 que depende da taxa de crescimento da
resistência à compressão do concreto, a partir da data de aplicação da carga, e 2 que depende da taxa de
perda de capacidade resistente por efeito da carga de longa duração (Rüsch). Sendo 1 = 1.16 e 2 = 0.73,
cujo produto resulta  = 1.16 * 0.73 = 0.85 [2].
σcd = 0,85 fcd
1.2) Diagrama Tensão (σc) x Deformação do concreto (εc)
O diagrama tensão x deformação do concreto também é obtido através de ensaios de compressão simples,
realizados em corpos de provas (Cps) com dimensões e procedimentos estabelecidos na norma ABNT NBR
8522 (figura 1.5).
Figura 1.5 – Diagramas Tensão x Deformação do concreto mais realistas [3]
Para o projeto de estruturas de concreto armado pode-se adotar um diagrama teórico (figura 1.6), conforme
especificado na NBR ABNT 6118.

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Figura 1.6 – Diagrama Tensão x Deformação do concreto idealizado: PARÁBOLA-RETÂNGULO [4]
Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica de encurtamento do
concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de encurtamento do concreto na
ruptura) são mostrados ao lado do gráfico.
O diagrama xna compressão, apresentado na Figura 1.6 é um diagrama idealizado, onde se nota dois
trechos distintos, o primeiro curvo segundo uma parábola de grau “n”, com deformações inferiores aεc2 e
o segundo constante, com deformações variando de εc2 a εcu. Para o trecho curvo a tensão no concreto
é dada por
Onde fcd representa a resistência de cálculo do concreto= fck/1,4
Para projeto, o valor da resistência no trecho constante é considerado igual a σc = 0,85 fcd.
Um exemplo de diagramas tensão x deformação para diferentes classes de concretos é dado na figura 1.7.

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Figura 1.7 – Diagramas Tensão x Deformação PARÁBOLA-RETÂNGULO [3]
1.3) Módulo de Elasticidade do Concreto
Segundo [3] “O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do Diagrama Tensão (σc) x
Deformação do concreto (εc) é obtido pela derivada (dσ/dε) no ponto considerado, que representa a
inclinação da reta tangente à curva no ponto”. Ele pode ser obtido por meio de ensaios de compressão
simples, realizados em corpos de provas (Cps) com dimensões e procedimentos estabelecidos na norma
ABNT NBR 8522 (figura 1.8).
Eci = módulo elasticidade tangente inicial
Ecs = módulo elasticidade secante
Figura 1.8 – Diagramas Tensão x Deformação e módulo de elasticidade do concreto
Para o projeto das estruturas de concreto armado o módulo de elasticidade pode ser estimado, em função
da resistência do concreto. De acordo com a ABNT NBR 6118, o módulo de elasticidade ou módulo de
deformação tangente inicial (Eci) pode ser estimado pelas expressões seguintes:

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Onde Eci e fck são dados em megapascal (MPa).
O módulo de deformação secante pode ser estimado pela expressão:
Ressalta-se que:
•Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, pode ser adotado
módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de deformação secante Ecs.
•Na avaliação do comportamento global da estrutura pode ser utilizado em projeto o módulo de elasticidade
inicial Eci considerando-se que:
a) existem significativas regiões da estrutura onde as tensões são baixas, abaixo de 30% de fck.
b) nessas análises uma parte das ações é usualmente dinâmica de curta duração, como o vento, por
exemplo, para as quais o concreto tem uma resposta mais rígida.
O módulo de elasticidade numa idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a seguir:
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias e 28 dias;
fck(t) é a resistência à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar o módulo de
elasticidade, em megapascal (MPa).

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1.4) Resistência à tração
A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios
realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, respectivamente (figura 1.9). A resistência à
tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f.
Tração
direta
Tração na flexão Tração indireta – Spliting test
Figura 1.9 –Ensaios para avaliar a resistência do concreto à tração [6]
O ensaio de compressão diametral (Spliting test), desenvolvido pelo Prof. Lobo Carneiro, é o mais utilizado,
o mais simples e fornece resultados mais homogêneos e ligeiramente superiores ao da tração direta. Na
falta de ensaios o valor de fct pode ser avaliado por meio das equações propostas na ABNT NBR 6118:
Na tração, o diagrama σct x εct é bilinear conforme mostrado na figura 1.10.

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Figura 1.10 –Diagrama tensão x deformação do concreto na tração [4]
Bibliografia:
[1] Notas de Aula do Professor José Celso da Cunha do Curso de Mestrado em Engenharia Civil do Cefet
MG.
[2] Análise da resistência à compressão do concreto em estruturas acabadas com vistas à revisão da
segurança estrutural – Prof. Paulo Helene -Revista ALCONPAT, Volumen 1, Número 1, Enero-Abril 2011.
[3] Curvas tensão normal de compressão-deformação específica para concretos de diferentes resistências -
Prof. Ibrahim Shehata e Profa. Lidia Shehata
[4] Apostila de Concreto Armado I – Professor Ney Amorim Silva; Universidade Federal de Minas Gerais.
[5] ABNT NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento.
[6] Apostila de Estruturas de Concreto – Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo e Sandro P. Santos.

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Tema 2: Propriedades Reológicas do Concreto
2.1 ) Retração (shrinkage)
A retração é uma deformação volumétrica do concreto devido à perda da água que não está quimicamente
associada à pasta de cimento, quando o concreto é colocado em contato com o ar (secagem). A pasta
saturada não é dimensionalmente estável, quando exposta à umidade ambiente começa a perder água e a
retrair. Ressalta-se que, de forma simplificada, pode-se considerar a água na pasta de cimento com as
seguintes formas:
água livre: sem ligações fisico-químicas com a pasta, evapora sem provocar retração;
água adsorvida: com ligação física com a pasta, ao se evaporar provocar retração e
água retida em pequenos capilares: ao se evaporar provocar retração.
A deformação devido à retração do concreto não depende da aplicação de carregamento, e acontece ao
longo da vida útil da estrutura até uma relativa estabilização que depende de vários fatores. Se as
deformações forem impedidas pela presença de apoios externos ou de outros elementos estruturais
adjacentes e solidários à própria peça estrutural considerada, pode-se dar início a um processo de
fissuração. Nesses casos a fissuração ocorrerá quando se atinge a resistência à tração do concreto (figura
2.1)
Figura 2.1 – Fissuras devido a retração hidráulica e queda de temperatura.
Portanto, a retração é uma ação que deve ser considerada no projeto de estruturas de concreto armado,
tendo-se em vista os seus efeitos nos elementos de apoio (pilares) e no controle de fissuração da estrutura.
Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais da deformação específica de retração
do concreto considerando-se uma idade inicial (t0) e uma idade final considerada (t∞): εcs(t,t0) podem ser
obtidos, por interpolação linear, a partir da tabela 2.1 (ABNT NBR 6118).
Tabela 2.1 – Deformação específica de retração do concreto
A tabela 8.1 fornece o valor da deformação específica de retração cs(t,t0) em função da umidade média
ambiente e da espessura fictícia 2Ac/u, onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção

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transversal em contato com a atmosfera. Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto
entre 10C e 20C, podendo-se, entretanto, admiti-los como válidos para temperaturas entre 0C e 40C.
Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. (temperatura média
diária 20º c, concreto com abatimento de 50 mm a 100 mm).
Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do concreto imposta
pela armadura, o valor de εcs (t, t0) pode ser adotado igual a – 0,15 mm/m. Esse valor é válido para
elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm, sujeitos a umidade ambiente não
inferior a 75%. Nos elementos estruturais de concreto armado com taxas geométricas de armadura
longitudinal inferiores a 0,5% ou 0,1%, o valor característico da retração deve ser alterado,
respectivamente, para -0,20 mm/m ou 0,25 mm/m. Para valores de umidade significativamente inferiores a
75% esses valores devem ser revistos (ver ANEXO A ABNT NBR 6118)
2.2) Fluência (Creep)
Os mesmos mecanismos de secagem da água responsáveis pela retração também são responsável pela
fluência do concreto. A diferença é que no caso da fluência uma tensão externa aplicada torna-se a força
que direciona o movimento da água adsorvida e da água retida nos pequenos capilares (figura 2.2)
Figura 2.2 – Deformação imediata e deformação devido à fluência [1]
Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência (t,t0) do
concreto, submetido a tensões menores que 0,5 fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos,
por interpolação linear, a partir da tabela 2.2
:
taxa geométrica de armadura
As
Ac
As area aço
Ac area concreto
 



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A tabela 2.2 fornece o valor do coeficiente de fluência (t,t0) em função da umidade média ambiente e da
espessura fictícia 2Ac/u, onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com
a atmosfera. Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10C e 20C,
podendo-se, entretanto, admiti-los como válidos para temperaturas entre 0C e 40C. Esses valores são
válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. O valor de φ(t, t0) pode ser calculado por
interpolação dos valores da tabela 2.2.
Tabela 2.2 – Coeficiente de fluência do concreto
Nos casos em que a tensão inicial, aplicada no tempo t0, não varie significativamente, permite-se que essas
deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão abaixo:
Em geral a deformação lenta é o dobro da deformação imediata e a deformação total é o triplo da
deformação imediata. O que depende muito da idade do carregamento.
Efeitos Desfavoráveis relacionados à fluência:
 Perdas de tensão em cabos de peças em concreto protendido.

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 Aumento de curvatura de pilares com cargas excêntricas.
 Aumento de flechas em vigas e lajes.
Valores mais precisos para as deformações específicas devidas à fluência podem ser calculadas segundo
indicação do anexo A da ABNT NBR 6118.
2.3) Variação Uniforme de temperatura
De acordo com a física, a seção de uma peça submetida a uma variação uniforme de temperatura
apresentará uma deformação específica axial igual a: εt= α . Δt
Segundo a ABNT NBR 6118 o coeficiente de dilatação térmica do concreto pode ser admitido como αc =
10-5
/°C. Ressalta-se que o valor de α pode diminuir a baixas temperatura ou aumentar a altas
temperaturas, mas para valores compreendidos entre 0
o
C e 150º C, o coeficiente αc = 10-5
/°C é
considerado satisfatório [1].
Quanto aos valores de variação de temperatura a serem considerados no projeto das estruturas salienta-se
que a variação de temperatura ambiente não se transmite imediatamente ao concreto devido ao seu baixo
grau de condutibilidade térmica, ou seja, pontos mais internos no concreto terão uma menor variação de
temperatura. Devido a essa característica a ABNT NBR 6118 recomenda que:
“A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura da
atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação
da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem.
De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores:
a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser
considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10°C a 15°C;
b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente fechados,
cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação seja reduzida
respectivamente para 5°C a 10°C;
c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm admite-se que
seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados.
A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da diferença
entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. Abaixo será apresentado um
exemplo para análise da variação de temperatura ΔT que poderá ser adotada em projeto.
a) Suponha que a estrutura de concreto será construída em BH, na tabela 2.3 são apresentadas
as temperaturas máximas e mínimas em algumas cidades do Brasil. De acordo com a tabela, em
Belo Horizonte pode-se considerar:

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ΔT=Tmáx - Tmin= 36,9 - 3,1 = 33,8o
C
50%ΔT= 16,9º C
Tabela 2.3 – Temperaturas em Cidades Brasileiras [2]
Bibliografia:
[1] Curso de Concreto – Volume I – José Carlos Sussekind
MG.

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Tema 3: Aços para Concreto Armado
Os aços empregados na armadura para peças de concreto armado são ligas de ferro com pequenas
quantidades de carbono, além de outros elementos para melhoria das suas propriedades. O percentual de
carbono é de extrema importância porque confere ao aço maior ductilidade o que possibilita que o mesmo
não se quebre quando é dobrado para execução das armaduras.
A armadura é classificada de acordo com o seu processo de produção e em função de sua tensão de
escoamento. Com relação ao processo de produção, pode-se citar as barras que são produzidas por um
tratamento a quente que consiste na laminação, forjamento ou estiramento do aço a altas temperaturas,
tais como as barras tipo CA 25 e CA 50. Barras de aço desses grupos apresentam maior trabalhabilidade,
podem ser soldadas e apresentam diagrama tensão-deformação com patamar de escoamento bem
definido.
Os fios de aço podem ser produzidos por um tratamento a frio ou encruamento. Esse tipo de produção
consiste em submeter o aço a uma deformação por meio de tração, torção ou compressão, com o objetivo
de causar um aumento da sua resistência mecânica. Os fios de aço tipo CA 60 pertencem a esse grupo e
apresentam um diagrama tensão-deformação sem patamar de escoamento.
Quanto à tensão de escoamento, os aços empregados no Brasil recebem sua nomenclatura em função de
valores característico (fyk) dados em kN/cm
2
. Desta forma, os aços denominados CA 25, CA 50 e CA 60
devem apresentar valores característicos para suas tensões de escoamento iguais a 25, 50 e 60 kN/cm
2
,
respectivamente. Ressalta-se que a sigla CA significa Concreto Armado.
A aderência aço-concreto é fundamental para o funcionamento do elemento de concreto armado e por isso
os fios e barras devem ser providos de entalhes ou nervuras. Apenas as barras CA 25 podem ser lisas,
mas sua aplicação é limitada a elementos não estruturais. A capacidade aderente do tipo de barra ou fio
deve ser considerada no projeto da estrutura de concreto armado por meio do coeficiente de conformação
superficial (tabela 3.1).
Tabela 3.1 – Coeficientes de aderência [1]

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Os valores nominais dos diâmetros, das áreas das seções transversais e da massa por metro mais usados
estão indicados na tabela 3.2.
Tabela 3.1 – Barras e Fios de aço para Concreto Armado [2]
No que diz respeito às propriedades dos aços para concreto armado pode-se adotar os seguintes valores:
- Massa específica (ρs) = 7850 kg/m
3
.
- Coeficiente de dilatação térmica (αs )= 10-
5
/
o
C, para intervalos de temperaturas entre -20º C e 150º C .
- Módulo de elasticidade (Es) = 210 GPa = 21000 kN/cm
2
O diagrama tensão-deformação do aço também é de extrema importância para o dimensionamento dos
elementos de concreto armado e, portanto, para o projeto das estruturas. Na ausência de ensaios, pode-se

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adotar no dimensionamento o diagrama tensão-deformação simplificado mostrado na figura (3.1), para os
aços com ou sem patamar de escoamento (CA 50 ou CA 60).
Figura 3.1– Diagrama tensão-deformação para armadura [1]
Sendo fyd=fyk/1,15
εyd=deformação do aço correspondente à tensão de escoamento ( εyd=fyd/Es);
εsu=deformação última de ruptura do aço ( εsu=0,010 como valor convencional)
Ressalta-se que o aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente empregado para flexão em
lajes e como estribos, e o aço CA-50 é o mais utilizado nos elementos de concreto armado.
Bibliografia:

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Tema 4: Solicitações Normais e Domínios de deformação
O que é uma solicitação normal?
Força Nomal, Momento Fletor ou ambos atuando simultaneamente no
elemento estrutural.
As solicitações normais produzem tensões (σ) e deformações (ε) normais na
seção transversal do elemento estrutural (tração e/ou compressão), mostrados
na figura 4.1.
Tração
Flexão
Figura 4.1– Solicitações Normais [1]
No caso dos elementos de concreto armado, as seções transversais são compostas de aço e concreto e
estes dois materiais devem resistir às solicitações aplicadas até que seja atingida a sua resistência
(ruptura). Observa-se na figura 4.2 que o carregamento provoca a fissuração da região tracionada da viga e
que, nesta região, o aço é responsável por resistir à solicitação de tração apresentando uma deformação
denominada εs. O Concreto resiste às tensões de compressão e apresenta uma deformação denominada
εc. Quando o aço ou o concreto chega à deformação (ε) de ruptura, considera-se para o projeto que a
estrutura chegou ao Estado Limite Último (ELU).
Figura 4.2– Comportamento de uma viga de Concreto Armado submetida à flexão [2]

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Para o projeto das estruturas de concreto armado o ELU está relacionado a limites de deformação
convencionalmente adotados para o aço e para o concreto. Segundo a ABNT NBR 6118, a ruptura do
concreto à compressão é definida por um limite de deformação εcu para seções parcialmente comprimidas e
varia de ε2 a εcu para seções totalmente comprimidas. Os valores para ε2 e εcu foram discutidos no tema 1,
figura 1.6.
A ruptura do aço à tração é definida por um limite de deformação εsu=1 %, também já discutido no tema 3,
figura 3.1. Ressalta-se que esse limite de deformação para o aço tem por objetivo limitar a fissuração do
concreto que envolve a armadura. O alongamento real de ruptura do aço é bem superior a esse valor (5%
para aço CA60 e 8% para aço CA50).
Os limites de deformação associados às solicitações de projeto são apresentados na ABNT NBR 6118
como Domínios de deformação:
Domínio 1: corresponde à solicitação de tração uniforme ou flexo-tração do elemento de concreto armado
(figura 4.3)
Figura 4.3– Solicitação correspondente ao domínio 1 de deformação [3]
Nesse caso do Domínio 1 a seção está inteiramente tracionada e a linha neutra não corta a seção
transversal do elemento. Esse domínio caracteriza-se pela aplicação de força normal de tração ou a
combinação de força normal e momento fletor, enquanto a seção estiver inteiramente tracionada. Ele tem,
portanto, um limite superior e um limite inferior que serão definidos pela posição da linha neutra (LN).
Convencionalmente o limite superior do domínio 1 é considerado pela posição x da linha neutra = - ∞ e o
limite inferior é considerado pela posição da linha neutra tangenciando a face superior da seção transversal
x=0 (ver figura 4.8). Ressalta-se que se a linha neutra cortar a seção transversal significa que parte da
seção está tracionada e parte da seção está comprimida e, portanto, a solicitação está fora do domínio 1 e
começa a caracterizar o domínio 2. Ao analisar as solicitação normais do domínio 1 verifica-se que, uma

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vez que no ELU o concreto não resiste à tração, o aço será o responsável pela resistência da peça de
concreto armado. Desta forma a ruptura será caracterizada pela deformação do aço εsu=1 % .
Domínio 2: corresponde à solicitação de flexão simples ou composta (flexo-tração ou flexo-compressão) do
elemento de concreto armado (figura 4.4).
No Domínio 2 a seção está parcialmente tracionada e parcialmente comprimida com a linha neutra
cortando a seção transversal do elemento. Esse domínio caracteriza-se pela aplicação de flexão simples ou
composta sem ruptura à compressão do concreto. Convencionalmente o limite superior do domínio 2 é
considerado pela posição da linha neutra tangenciando a face superior da seção transversal x=0 e o limite
inferior é considerado pela posição da linha neutra x=x2L (ver figura 4.8). No domínio 2 a ruptura será
caracterizada pela deformação do aço εsu=1 % e as deformações no concreto serão menores que as
deformações de ruptura.
Domínio 3: corresponde à solicitação de flexão simples ou flexo-compressão do elemento de concreto
armado (figura 4.5).

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No Domínio 3 a seção também está parcialmente tracionada e parcialmente comprimida com a linha neutra
cortando a seção transversal do elemento, mas observe que ela está mais afastada da face superior da
seção transversal, indicando que aumentou a região comprimida. Esse domínio caracteriza-se pela
aplicação de flexão simples ou flexo-compressão, com ruptura à compressão do concreto e com
escoamento da armadura (s  yd). Convencionalmente o limite superior do domínio 3 é considerado pela
posição da linha neutra x=x2L e o limite inferior é considerado pela posição da linha neutra x=x3L (ver figura
4.8). No domínio 3 a ruptura será caracterizada pela deformação do aço s  yd e as deformações no
concreto εc = εcu.
Domínio 4 : corresponde à solicitação de flexão simples ou flexo-compressão do elemento de concreto
armado.
No Domínio 4 a seção também está parcialmente tracionada e parcialmente comprimida com a linha neutra
cortando a seção transversal do elemento, neste caso ela está mais afastada ainda da face superior da
seção transversal, indicando que aumentou a região comprimida. Esse domínio caracteriza-se pela
aplicação de flexão simples ou flexo-compressão, com ruptura à compressão do concreto e com o aço
tracionado sem escoamento (s < yd). Convencionalmente o limite superior do domínio 4 é considerado pela
posição da linha neutra x=x3L e o limite inferior é considerado pela posição da linha neutra x=d, onde d é a
altura útil da seção (ver figura 4.8). No domínio 4 a ruptura será caracterizada pela deformações no
concreto εc = εcu. e a deformação do aço s < yd .

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Domínio 4a: corresponde à solicitação de flexo-compressão do elemento de concreto armado com as
armaduras comprimidas (figura 4.6).
Figura 4.6– Solicitação correspondente ao domínio 4a de deformação [3]
No Domínio 4a a seção está inteiramente comprimida Esse domínio caracteriza-se pela aplicação de flexo-
compressão, com ruptura à compressão do concreto. Convencionalmente o limite superior do domínio 4a é
considerado pela posição da linha neutra x=d no centro de gravidade da armadura inferior e o limite inferior
é considerado pela posição da linha neutra x=H. No domínio 4a a ruptura será caracterizada pela
deformação do concreto εc = εcu.
Domínio 5: corresponde à solicitação de flexo-compressão ou compressão centrada do elemento de
concreto armado. No Domínio 5 a seção está inteiramente comprimida Esse domínio caracteriza-se pela
aplicação de flexo-compressão com as deformações de compressão do concreto variando de εcu ate εc2.
Convencionalmente o limite superior do domínio 5 é considerado pela posição da linha neutra x=H e o
limite inferior é considerado pela posição da linha neutra x5L= - ∞ (ver figura 4.7). Este domínio vai até a
reta b da compressão centrada onde o limite da linha neutra x5L= - ∞ (ver figura 4.8).
Figura 4.7– Solicitação correspondente ao domínio 4a de deformação [3]

24
Figura 4.8– Domínios de deformação e posição (x) da linha neutra (LN)
No domínio 2 a profundidade da LN varia desde X=0 até a profundidade limite X=X2L que pode ser
determinada por semelhança de triângulos (figura 4.9).

25
Figura 4.9– Profundidade limite do domínio 2 = X2L [4]
No domínio 3 a profundidade da LN varia desde X=X2L até a profundidade limite X=X3L que também pode
ser determinada por semelhança de triângulos (figura 4.10).
Figura 4.10 – Profundidade limite do domínio 3 = X3L [1]
A figura 4.11 representa a situação de deformação correspondente aos limites entre o final do domínio 4a e
o início do domínio 5. Nessa situação onde X = h, a distância a0-2 é obtida por regra de três simples
resultando:

26
Figura 4.11– Início do domínio 5 – localização do ponto C [4]
Destaca-se que no domínio 5 a flexão simples não é possível, sendo o mesmo caracterizado pela flexo-
compressão com excentricidades maiores e capazes de comprimir inteiramente a seção transversal. Esse
domínio vai desde a situação mostrada na figura x até a reta “b”, da compressão centrada, onde a
profundidade limite da LN é X5L = + ∞.
A ABNT NBR 6118 apresenta a figura 4.12 onde são representados todos os domínios de estado limite
último de uma seção transversal de concreto armado
Figura 4.12– Domínios de deformação (ELU) ABNT NBR 6118

27
Para que serve a teoria relacionada aos domínios de deformação?
Para determinar a resistência de um elemento de concreto armado (vigas,
pilares e tirantes) quando ele for submetido à Força Nomal, Momento Fletor ou
ambos atuando simultaneamente.
Uma vez determinada as dimensões da seção transversal de concreto e as
barras de aço pode-se, em seguida, verificar quais os esforços a que esta
seção resiste, considerando cada um dos domínios de deformação.
Para se calcular os esforços a que uma seção de concreto resiste, a NBR ABNT 6118 considera as
seguintes hipóteses básicas:
a) as seções transversais se mantêm planas após a deformação;
b) a deformação das barras de aço deve ser a mesma do concreto em seu entorno;
c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal devem ser desprezadas no ELU;
d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, definido
na figura 1.6, com tensão de pico igual a 0,85 fcd. Esse diagrama, mostrado na figura 4.13, pode ser
substituído pelo retângulo de profundidade y = λx, onde o valor do parâmetro λ pode ser tomado igual
a:
 λ = 0,8 para fck ≤ 50 MPa; ou
 λ = 0,8 – (fck -50)/400 para fck > 50 MPa.
Figura 4.13– Diagramas tensão-deformação para o concreto [4]
Uma visualização da distribuição de tensões na seção de concreto também pode ser vista na figura 4.14.

28
Figura 4.14– Distribuição de tensões e resultantes na seção de concreto [6]
As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem
necessidade de coeficiente de correção adicional.
No diagrama retangular a tensão (fc) é considerada constante e atuante até a profundidade y e pode ser
tomada igual a:
 αc fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir
desta para a borda comprimida ou 0,9 αc fcd no caso contrário (Ver figura 4.15).
sendo αc definido como:
 para concretos de classes até C50; αc = 0,85
para concretos de classes de C50 até C90: αc = 0,85 . [1,0 - (fck - 50) / 200]
Figura 4.15 – Valores de fc para o diagrama σxε retangular simplificado [4]
d) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de
cálculo, conforme mostrado na figura 3.1.
A consideração dessas hipóteses, para cada domínio e os respectivos cálculos dos esforços resistentes de
uma determinada seção de concreto serão mostrados por meio do exemplo 1 abaixo.
Exemplo 1 baseado na Apostila de Concreto I do Prof. Ney Amorim Silva – Universidade Federal de Minas
Gerais 2015
Traçar o diagrama de interação NxM que representa a resistência da seção retangular de 20x40 cm
2
, com
fck=25 MPa e aço CA 50 com 6 bitolas longitudinais ᶲL =12,5 mm, conforme figura abaixo:

29
Solução:
Como a resistência do concreto desse exemplo é menor que 50 MPa: εc2 = 2‰, εcu = 3,5‰, λ = 0,8 e αc =
0,85.
Como é aço CA 50: εyd =fyd/Es = (50/1,15) / 21 000= 0,00207 = 2,07‰.
fc = 0,85x2,5 / 1,4 = 1,518 kN/cm
2
fyd = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm
2
AsΦ= área de uma barra de aço de 12,5 mm = πx1,25
2
/ 4 = 1,227 cm
2
Para traçar o diagrama de forma simplificada, determinam-se os pontos correspondentes aos pares (N x M)
para algumas posições da LN no estado limite último ligando-os posteriormente. Os pontos escolhidos são
aqueles correspondentes às posições limites da LN que definem os domínios de deformação.
1) Profundidade X = - ∞ (início do domínio 1)
Para X = - ∞ a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresentada na figura abaixo. Essa
posição é correspondente à reta “a” dos domínios de deformação figura 4.12, onde todos os pontos da
seção transversal têm a mesma deformação εc=εs=0,010=10‰. Portanto:
εs1=εs2=εs3 = 10‰ e σs1=σs2=σs3 = fyd=43,48 kN/cm2
As1=As2=As3=2x1,227 = 2,454 cm
2
e Rs1=Rs2=Rs3=2,454x43,48=106,70 KN

30
Neste exercício serão adotados os sentidos positivos dos esforços solicitantes Nd e Md como indicado na
figura 2.16, ou seja, normal de compressão e momento fletor tracionando os pontos da parte inferior da
seção. Os esforços internos, resultantes Rs1, Rs2, Rs3, conforme indicados são todos de tração, uma vez
que está sendo avaliado o domínio 1. As equações de equilíbrio ficam:
ΣFh=0 Nd + Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0 Nd = - 3x106,70 = - 320,10 kN
ΣMCG=0 Md + Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 0
Na segunda equação de equilíbrio d’’=h-d e representa a distância entre a face inferior da seção de
concreto e o centro de gravidade da armadura As3. . Considera-se d= altura útil da seção = 40 -4 = 36 cm,
d´= 4 cm e d’’=4 cm. Os valores das solicitações de serviço N e M para X = -∞ são obtidos dividindo-se os
valores de cálculo Nd e Md pelo coeficiente de majoração das ações γf. Assim:
N = Nd / 1,4 = -320,10 / 1,4 ≈ - 229 kN (tração)
M = Md / 1,4 = 0
2) Profundidade X = 0 (final do domínio 1 e início do domínio 2)
Para X = 0, a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresentada na figura abaixo. Essa
posição é correspondente aos limites entre os domínios 1 e 2, onde todos os pontos da seção transversal
ainda estão tracionados. Nesse caso o ELU é definido por deformação plástica excessiva do aço, ficando a
armadura As3 com a deformação εs3 = εsu = 10‰. As deformações εs1 e εs2 são obtidas por semelhança de
triângulos.

31
Dividindo-se os valores de cálculo por γf = 1,4 obtém-se os valores das solicitações de serviço N e M para
X = 0.
N = Nd / 1,4 = -270,66 / 1,4 ≈ - 193 kN (tração)
M = 791,04/ 1,4 = 565,03 kN x m
3) Profundidade X = X2L (final do domínio 2 e início do domínio 3)
X2L = 0,259 d = 0,259 x 36 = 9,33 cm
A figura abaixo mostra a situação em que se têm comprimidas a região do concreto com hachuras e a
armadura As1. Embora existam na mesma seção transversal alongamentos (região tracionada) e
encurtamentos (região comprimida), os valores das deformações calculadas a seguir, estão

32
desacompanhados de sinais, portanto em valores absolutos. Qualquer dúvida sobre a natureza das
deformações, tensões ou resultantes pode ser tirada na figura.
y=0,8 X =0,8 x 9,33 = 7,46 cm Rcc = fc x b x y = 1,518 x 20 x 7,46 = 226,67 kN
εs1 = 2‰ < εyd = 2,07‰ σs1=Es x εs1=21000x2‰=21x2 = 42 kN/cm
2
(compressão)
εs2=4‰>εyd=2,07‰ σs2= σs3 = fyd = 43,48 kN/cm
2
(tração)
Rs1=2,454x42 = 103,07 kN (C) Rs2= Rs3=106,70 kN (T)
ΣFh=0 Nd - Rcc - Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0
Nd = 266,67 + 103,07 – 2 x 106,70 = 156,34 kN N ≈ 112 kN (Compressão)
ΣMCG=0
Md – Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0
Md = 266,67(20-7,46/2)+103,07(20-4)+106,70(20-4) = 7695,20 kN.cm
M ≈ 5497 kN.cm
4) Profundidade X = X3L (final do domínio 3 e início do domínio 4)
X = X3L = 0,628 d = 0,628 x 36 = 22,62 cm

33
A figura ilustra essa situação em que se têm além da região comprimida do concreto (parte com hachuras
da seção transversal) as armaduras As1 e As2 também comprimidas.
y=0,8 X =0,8x22,62 = 18,10 cm Rcc=fc x b x y=1,518 x 20 x 18,09 = 549,33 kN
εs1=0,00288=2,88‰>εyd=2,07‰ σs1= fyd = 43,48 kN/cm
2
(Compressão)
εs2=0,00041=0,41‰<εyd=2,07‰ σs2=21x0,41 = 8,61 kN/cm
2
(Compressão)
Rs1 = 106,70 kN (C) Rs2=2x1,227x8,61 = 21,12 kN (C) Rs3 = 106,70 kN (T)
ΣFh=0
Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 + Rs3 = 0
Nd = 549,33 + 106,70 + 21,12 - 106,70 = 570,45 kN N ≈ 407 kN (C)
ΣMCG=0
Md - Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0
Md = 549,33(20-18,10/2)+106,70(20-4)+106,70(20-4) = 9531,75 kN.cm
M ≈ 6736 kN.cm

34
5) Profundidade X = X4L (final do domínio 4 e início do domínio 4a)
X = X4L = d = 36 cm
A região comprimida abrange quase toda a seção transversal, as armaduras (As1) e (As2) trabalham
comprimidas e (As3) não sofre deformação, isto é σs3=0.
y=0,8 X =0,8x36 = 28,8 cm Rcc=fc x b x y=1,518 x 20 x 28,8 = 874,29 kN
εs1 = 3,11‰ > εyd=2,07‰ σs1= fyd = 43,48 kN/cm
2
(compressão)
εs2 = 1,56‰ < εyd=2,07‰ σs2=21x1,56 = 32,67 kN/cm
2
(compressão)
Rs1 = 106,70 kN (C) Rs2=2x1,227x32,67 = 80,16 kN (C) Rs3 = 0
ΣFh=0
Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 + Rs3 = 0
Nd = 874,29 + 106,70 + 80,16 + 0 = 1061,15 kN N ≈ 758 kN (C)
ΣMCG=0
Md – Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0
Md = 874,29(20-28,8/2)+106,70(20-4) = 6601,60 kN.cm
M ≈ 4715 kNcm

35
6) Profundidade X = X4aL (final do domínio 4a e início do domínio 5)
X = X4aL = h = 40 cm
A seção está inteiramente comprimida, a deformação na fibra inferior é nula e em um ponto a [(εcu- εc2) /
εcu] h = [(3,5-2) / 3,5] h = (3/7) h da borda mais comprimida é igual a εc2 = 2‰, ponto C dos domínios de
deformações. Essa situação está ilustrada na figura:
y=0,8 X =0,8x40 = 32 cm Rcc=fc x b x y=1,518 x 20 x 32 = 971,43 kN
εs1 = 3,15‰ > εyd=2,07‰ σs1= fyd = 43,48 kN/cm
2
(compressão)
εs2 = 1,56‰ < εyd=2,07‰ σs2=21x1,75 = 36,75 kN/cm
2
(compressão)
εs3 = 0,35‰ < εyd=2,07‰ σs3=21x0,35 = 7,35 kN/cm
2
(compressão)
Rs1=106,70 kN (C) Rs2=2x1,227x36,75=90,18 kN (C) Rs3=2x1,227x7,35=18,04 kN (C)
ΣFh=0
Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 - Rs3 = 0
Nd = 971,43 + 106,70 + 90,18 + 18,04 = 1186,35 kN N ≈ 847 kN (C)
ΣMCG=0
Md – Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) + Rs3(h/2 – d’’) = 0
Md = 971,43(20-32/2)+106,70(20-4)–18,04(20-4) = 5881,56 kN.cm
M ≈ 4201 kN.cm

36
6) Profundidade X = X5L= ∞ (final do domínio 5)
A seção está uniformemente comprimida, com a mesma deformação tanto para o concreto quanto para o
aço, εc = εs = 2 ‰, correspondendo à reta “b” dos domínios de deformações.
y>h Rcc = fc x b x y = fc x Ac = 1,518x20x40 = 1214,29 kN
εs1=εs2=εs3 = 2‰ < εyd, σs1 = σs2 = σs3 = 21x2 = 42 kN/cm2
Rs1 = Rs2 = Rs3 = 2x1,227x42 = 103,07 kN (C)
ΣFh=0
Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 - Rs3 = 0
Nd = 1214,29 + 3x103,07 = 1523,49 kN N ≈ 1088 kN (C)
ΣMCG=0
Md – Rcc(0) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) + Rs3(h/2 – d’’) = 0
Md = 103,07(20-4) – 103,07(20-4) = 0
M = 0
Traçado do diagrama de interação NxM que representa a resistência da seção estudada:
Com os pares (N,M) calculados nos itens 1 a 6 traça-se o diagrama de interação mostrado na figura
seguinte em linha mais grossa. Foram traçados de forma análoga, com linha fina, os outros diagramas para
a mesma seção transversal de concreto com 6Φ16, 6Φ10 e sem armação (As = 0). Nota-se que os quatros
diagramas de interação são semelhantes, sendo que a seção sem armadura não apresenta força normal
de tração. Para a seção com 6Φ12.5 os domínios de 1 a 5 foram marcados nesta figura. Para um valor de
força normal N só existe um único valor correspondente de momento M que a seção, com geometria
específica, suporta no estado limite último. Já para um mesmo valor de M existem dois valores de N que
podem solicitar a seção no ELU. Assim fixando-se N = 750 kN (compressão), existe apenas o valor M ≈
4760 kN.cm, obtido na escala, para a seção com 6Φ12.5 mm. Fixando-se para a mesma seção, M = 4000
kN.cm existem dois valores possíveis N ≈19 kN e N ≈ 859 kN, ambos de compressão e obtidos na escala.

37
Diagramas de interação para a seção abaixo, adotando-se concreto com fck =25 MPa.
Bibliografia:
[1] Resistência dos Materiais – Ferdinand P. Beer e E. Russel Johnston.
[2] LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos do dimensionamento de
estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982.
MG.
[4] Apostila de Concreto Armado I – Professor Ney Amorim Silva - Universidade Federal de Minas Gerais.
[6] Apostila sobre Flexão Simples – Rovadávia Aline Jesus Ribas.

38
Tema 5: Vigas de concreto armado
As vigas de concreto armado são elementos que recebem as cargas das lajes e paredes e levam as cargas
até os pilares (figura 5.1).
Figura 5.1 – Modelo de um edifício com lajes, vigas e pilares [1]
O primeiro passo para o dimensionamento das vigas é definir a resistência do concreto e do aço e o
cobrimento da armadura. Em seguida deve-se definir as dimensões das seções transversais das vigas, o
que pode ser feito com regras de pré-dimensionamento. Posteriormente são levantadas as ações atuantes
na viga e define-se o modelo estrutural para a determinação dos esforços solicitantes: força cortante e
momento fletor. Finalmente determina-se a armadura para viga, considerando-se, em geral, a seção mais
solicitada. Cada uma dessas etapas será descrita a seguir.
a) Definição da resistência do concreto e do cobrimento da armadura.
A resistência do concreto e o cobrimento da armadura devem atender a critérios que visam a durabilidade
das estruturas de concreto armado. Desta forma, ao iniciar o projeto da estrutura deve ser feita uma
classificação da classe de agressividade do meio em que ela vai ficar exposta durante a sua vida útil. A
classificação da agressividade do meio pode ser feita considerando-se a tabela 5.1:
Tabela 5.1 – Classificação da agressividade do ambiente [2]

39
As primeiras perguntas a serem feitas são:
Em qual meio será inserida a estrutura Ou partes dela?
Qual a umidade relativa desse meio?
Posso considerar um ambiente sempre seco?
Quais os agentes de deterioração do aço?
Quais os agentes de deterioração do concreto?
Segundo [2], os principais agentes agressivos à armadura são o gás carbônico CO2 e os cloretos Cl
-
.
Portanto, para se avaliar o risco de deterioração da armadura é importante avaliar o meio em que a
estrutura ou partes dela será inserida (tabela 5.2).
Tabela 5.2 – Classificação da agressividade do ambiente visando a durabilidade das armaduras [2]
No que diz respeito aos agentes de deterioração do concreto pode-se considerar a tabela 5.3:
Tabela 5.3 – Classificação da agressividade do ambiente visando a durabilidade do concreto [2]
Ressalta-se que a definição da classe de agressividade é de extrema importância para o projeto da
estrutura visando a durabilidade da mesma. A ABNT NBR 6118 apresenta a seguinte tabela para
avaliação da agressividade do meio:

40
Tabela 5.4– Classificação da agressividade do ambiente visando a durabilidade do concreto [3]
Classe de
agressividade
ambiental
Agressividade
Classificação geral do tipo de ambiente para
efeito de projeto
Risco de deterioração da
estrutura
I Fraca
Rural
Insignificante
Submersa
II Moderada Urbana1), 2)
Pequeno
III Forte
Marinha1)
Grande
Industrial1), 2)
IV Muito forte
Industrial 1), 3)
Elevado
Respingos de maré
1)
Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos
(salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes
com concreto revestido com argamassa e pintura).
2)
Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade
média relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou
regiões onde chove raramente. 3)
Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em
indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.
Uma classificação mais completa da agressividade do meio, para os elementos de concreto armado, pode
ser encontrada na norma BS E 206 (British Standard).
Uma vez definida a classe de agressividade ambiental pode-se determinar parâmetros de qualidade do
concreto e o cobrimento da armadura, importantes para a durabilidade da estrutura (Fig. 5.2)
Figura 5.2 – Exemplo do detalhamento de uma viga de concreto armado [1]
Detalhe do cobrimento da armadura

41
Segundo a ABNT NBR 6118, o concreto deve seguir as especificações mostradas na tabela 5.5
Tabela 5.5 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto [3]
Concreto Tipo
Classe de agressividade (tabela 6.1)
I II III IV
Relação
água/cimento em
massa
CA  0,65  0,60  0,55  0,45
CP  0,60  0,55  0,50  0,45
Classe de concreto
(ABNT NBR 8953)
CA  C20  C25  C30  C40
CP  C25  C30  C35  C40
NOTAS
1 O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na
ABNT NBR 12655.
2 CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado.
3 CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.
Não é permitido o uso de aditivos à base de cloreto em estruturas de concreto, devendo ser obedecidos os
limites estabelecidos na ABNT NBR 12655.
O cobrimento da armadura deve seguir as especificações abaixo:
Tabela 5.6 – Correspondência entre classe de agressividade e cobrimento nominal para c = 10 mm [3]
Tipo de estrutura
Componente ou
elemento
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
3)
Cobrimento nominal
Mm
Concreto armado
Laje
2)
20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Elementos estruturais
em contato com o
solo
30 40 50
2)
Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com
revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais
como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros as exigências desta
tabela podem ser diminuídos conforme critérios apresentados abaixo, respeitado um cobrimento
nominal 15 mm.
3)
Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto,
condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente
agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm.
4)
No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter
cobrimento nominal 45 mm.

42
Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento
nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (c). Nas obras
correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm.
Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa,
em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve
sempre ser:
cnom barra;
A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar
em 20% espessura nominal do cobrimento, ou seja:
dmáx 1,2 cnom
Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido, os cobrimentos definidos na
Tabela 5.6 podem ser reduzidos em até 5 mm.
b) Definição das dimensões das seções transversais da viga
De acordo com a ANBT NBR 6118, as vigas não devem apresentar largura menor que 12cm. Esse limite
pode ser reduzido, respeitando-se um mínimo absoluto de 10cm em casos excepcionais, sendo
obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições:
• alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais,
respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos.
• Espaço para lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931.
Sempre que possível, a largura das vigas deve ser adotada de maneira que elas fiquem embutidas nas
paredes. Porém, nos casos de grandes vãos ou de tramos muito carregados, pode ser necessário adotar
larguras maiores.
No caso da altura da viga, pode-se adotar regras de pré-dimensionamento práticas, baseadas no
comprimento do vão da viga (figura 5.3). As medidas adotadas devem ser verificadas nos cálculos
posteriores e corrigidas, se for o caso. Uma estimativa para a altura das vigas é dada por:
• tramos intermediários: hest = vão da viga/12
• tramos extremos ou vigas biapoiadas: hest = vão da viga/10
• balanços: hest = vão da viga/5
Figura 5.3– Estrutura composta de vigas e pilares [1]
O vão efetivo das vigas pode ser calculado por:
2
1
0 a
a 

 
ef

43
com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h), conforme figura
5.4.
Figura 5.4– Vão efetivo de vigas [3]
a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário
Nas vigas em balanço o vão efetivo é a distância até o centro do apoio.
Deve-se lembrar que a altura das vigas não pode invadir os espaços de portas e de janelas e, segundo [4],
considera-se a abertura de portas com 2,20m de altura. Ao lançar a estrutura (vigas, lajes e pilares) é
importante considerar que a padronização das dimensões, sempre que possível, simplificará a execução
das formas. Esse procedimento pode, eventualmente, gerar a necessidade de armadura dupla, em alguns
trechos [4].
c) Definição das ações atuantes nas vigas, do modelo estrutural e determinação dos esforços
solicitantes
Em projetos usuais de edifícios, as ações nas vigas são: peso próprio, reações de apoio das lajes e peso
de paredes. Elas também podem receber cargas de outras vigas ou cargas de pilares, nos casos de vigas
de transição ou em vigas de fundação. As cargas provenientes de outras vigas ou de pilares são
consideradas concentradas, os demais carregamentos podem ser admitidos como uniformemente
distribuídos [4] (figura 5.5)

44
Figura 5.5– Carregamento nas vigas [1]
O peso próprio das vigas, das lajes e das paredes são denominados ações permanente e as outras ações
de uso da laje são denominadas ações (ou cargas) acidentais.
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da
construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo, tendendo a
um valor limite constante. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores
representativos mais desfavoráveis para a segurança. As massas específicas dos materiais de construção
a serem adotadas para o cálculo das ações permanentes podem ser avaliadas com base nos valores
indicados na ABNT NBR 6120.
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção,
pela ação do vento e da água, devendo-se respeitar as prescrições feitas por Normas Brasileiras
específicas. As cargas acidentais correspondem normalmente a cargas verticais de uso da construção.
Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o elemento estudado. Quando a
carga acidental é maior que 20% da carga total deve-se considerar três situações de carregamento no
cálculo de uma viga contínua com carga uniforme, para se determinar a combinação mais desfavorável: (a)
todos os tramos totalmente carregados, (b) tramos alternados totalmente carregados ou com valor nulo da
carga variável e (c) idem, alterando a ordem dos carregamentos, isto é, os tramos totalmente carregados
passam a ter carga variável nula e vice-versa. A combinação das cargas permanentes e acidentais
constituem a carga total a que a viga deve resistir. Ao se fazer um projeto de uma estrutura de concreto
armado ou outro material, deve-se consultar a norma ABNT NBR 6120 que trata das ações a serem
consideradas. As ações devem ser combinadas (somadas), aplicando-se a cada uma delas um respectivo
coeficiente de segurança, de acordo com a verificação a ser feita (ELU ou ELS). Para o dimensionamento
de vigas submetidas à flexão simples, considera-se combinação mostrada abaixo:
Fd = gFgk +  q Fqk 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última;
Fgk representa as ações permanentes diretas;

45
Fqk representa as ações variáveis diretas
g = q = 1,4
Uma vez determinadas combinações de ações atuantes na viga, avalia-se o modelo estrutural a ser
adotado para a determinação dos esforços solicitantes nas mesmas, ou seja, os diagramas de força
Cortante e Momento fletor (figura 5.6).
Figura 5.6– Diagrama s de Esforços Solicitantes de viga submetida à carga uniformemente distribuída [4]
No caso da figura 5.6 optou-se por um modelo estrutural de viga biapoiada nos pilares. Ressalta-se que
este é o modelo mais simples e fácil determinação dos esforços nas vigas, mas existem outros modelos
estruturais que representam melhor a ligação das vigas com os pilares, tais como os pórticos planos ou
espaciais.
d) Cálculo da armadura para a viga e verificação de sua seção transversal
O cálculo da armadura para a viga segue a teoria dos domínios de deformação estudada
anteriormente. Ou seja, deve-se ter em mente que a seção transversal de concreto, com
determinada quantidade de barras de aço deve resistir ao momento fletor a que viga está sendo
submetida. Nesses casos de flexão simples a força normal (N)=0 e a força cortante será avaliada
posteriormente. Ressalta-se que é importante conhecer o comportamento da viga quando está
submetida à flexão simples para escolher e detalhar a posição das barras de aço na seção
transversal. Inicialmente pode-se lembrar que o concreto é muito resistente à compressão, mas
relativamente fraco na tração e, consequentemente, onde houver tensões de tração, mesmo com valores
baixos, haverá fissuras no concreto (figura 5.8)

46
Figura 5.8 - Fissuração do concreto tracionado [5]
Se a viga estiver submetida à flexão pura, o momento fletor poderá produzir tensões de tração superiores
àquelas que o concreto pode suportar, surgindo fissuras de flexão, transversais ao eixo da barra, próximas
ao centro da viga (figura 5.9)
Figura 5.9 – Armadura de flexão [6]
Devido a este comportamento, as arrmaduras de aço devem ser capazes de absorver os esforços internos
de tração nas vigas de concreto armado, pode-se considerar que as armaduras “costuram” as fissuras [6].
De acordo com a teoria dos domínios de deformação, convenciona-se que a ruína de uma seção à flexão
simples é alcançada quando, pelo aumento da solicitação, é atingida a ruptura do concreto à compressão
ou da armadura à tração. Como não há a atuação de força normal, os domínios possíveis são 2, 3 ou 4,
mas a ABNT NBR 6118 prescreve limites para a posição da LN nas seções transversais das vigas de
concreto armado, de forma a garantir as condições de ductilidade da viga evitando ruptura frágil:
a) (x/d) ≤0,45 para concretos com fck ≥50 MPa; ou
b) (x/d) ≤0,35 para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa.
Com esses limites pode haver a necessidade da adoção de armadura de compressão (A’s) na seção da
viga, garantindo que ela trabalhe nos domínios 2 ou 3 (figura 5.10).
De acordo com [6], no caso da seção retangular, pode-se adotar para os domínios 2 e 3 o diagrama
retangular para as tensões no concreto apresentado na figura 5.10.

47
Figura 5.10 –Seção retangular submetida à flexão simples [6]
b – largura da seção retangular (na NBR 6118:2014 é dado por bw)
h – altura total da seção retangular
d – altura útil da seção transversal (profundidade da armadura As)
d’ – profundidade da armadura A’s (borda mais comprimida até o CG de A’s)
X – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε parábola-retângulo
y – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε retangular
z – braço de alavanca do binário interno resistido pelo concreto (distância entre Rcc e Rst)
λ – parâmetro de redução da altura do diagrama retangular simplificado, dado nas equações (2.4)
αc – parâmetro de redução da resistência do concreto na compressão, dado nas equações (2.5)
Rcc – resultante interna de compressão no concreto
Rst – resultante interna de tração na armadura As
R’sd – resultante interna de compressão na armadura A’s
Md - momento externo solicitante de cálculo (até agora dado por MSd)
De acordo com a figura 5.10, pode-se escrever duas equações de equilíbrio: o somatório de momentos é
nulo em relação ao ponto de aplicação de As e o somatório de forças horizontais também é nulo:
O dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples encontra-se de forma resumida
na próxima página, de acordo com a apostila de Concreto I do Prof. Ney Amorim.

49
e) Prescrições da NBR ABNT 6118 referente às vigas
Depois de calculada a armadura para as vigas deve-se fazer algumas verificações e seguir algumas
orientações para o detalhamento da armadura, com o objetivo de se evitar que a viga tenha armadura
menor que uma taxa mínima, ou evitar fissuração excessiva da viga. Também existe a necessidade de
fazer um detalhamento que facilite o lançamento e adensamento do concreto. Logo, a ABNT NBR 6118
prescreve as seguintes orientações:
 Armadura longitudinal mínima de tração
A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados deve ser determinada pelo
dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa
mínima absoluta de 0,15 %.
Onde:
W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada; W0=
I/y
I= momento de inércia da seção com relação ao CG e y= distância do CG da seção à fibra mais
tracionada.
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (ver tema 1 – Propriedades Mecânicas do
Concreto).
 Armadura de pele
Nas vigas altas em que toda a armadura está concentrada na face inferior do banzo tracionado, existe a
tendência à arborização das fissuras, o que pode provocar maiores aberturas superficiais ao longo da
altura da viga (figuras 5.11)
Para se evitar esse fenômeno é necessário adotar ao longo da altura da viga uma armadura longitudinal
secundária, chamada de armadura de pele. A armadura mínima de pele, ou armadura de costela, deve ser
0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de aço CA 50 ou CA 60, dispostas
longitudinalmente, com espaçamento não maior que 20 cm ou d/3 (figura 5.12). A armadura de pele deve
ser devidamente ancorada no apoios das vigas.
.Além disto, toda armadura de pele tracionada deve manter um espaçamento menor ou igual a 15Φ da
bitola longitudinal. Não é necessário armadura superior a 5 cm
2
/m por face e em vigas com altura menor ou

50
igual a 60 cm, pode ser dispensada a utilização de armadura de pele. Ressalta-se que as armaduras
principais de tração e de compressão não podem ser consideradas no cálculo da armadura de pele.
Figura 5.11 – Fissuração em vigas altas [7]
Figura 5.12 – Armadura de pele em vigas altas
 Armadura total na seção transversal (tração e compressão)
De acordo com a ABNT NBR 6118: “A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) deve ser
menor que 4%Ac, calculada na região fora da zona de emendas.”
 Distribuição transversal das armaduras longitudinais em vigas
Conforme citado anteriormente, o detalhamento da armadura na seção transversal deve ser feito de forma
a facilitar o lançamento e adensamento do concreto. Por isto devem ser respeitados espaçamentos
mínimos entre as barras da armadura, conforme mostrado na figura 5.13:
Figura 5.13 – Detalhamento da armadura [6]
na direção horizontal (ah) ≥
- 20 mm;
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 1,2 vez a dimensão máxima característica do
agregado graúdo;
na direção vertical (av)
- 20 mm
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 0,5 vez a dimensão máxima característica do
agregado graúdo”.
Esses valores se aplicam também as regiões de
emenda por traspasse das barras.
Com base na figura 5.13, obtém-se a largura útil (bútil)
da vigar:
bútil = bw – 2(c + Φt)
Onde:
- c é o cobrimento nominal da armadura e
Φt é o diâmetro da armadura transversal (estribo).

51
Exemplos de flexão normal simples com seção retangular
- Exemplo 1 [8]
Calcular e detalhar a armadura de flexão para uma viga V1 biapoiada com vãoefetivo= 410 cm, seção 22x40
cm
2
(d= 35,5 cm), fck = 25 MPa, aço CA 50. A viga V1 se apoia em outras duas vigas. As ações sobre a
viga com seus valores característicos são: peso próprio da viga, reação das lajes e alvenaria de tijolos
furados com espessura de 25 cm e altura de 2,8 m sobre a viga. Considere classe II de agressividade
ambiental (c= 3,0 cm)
Modelo estrutural:
Solução:
a) Carga sobre a viga
Peso próprio pp = 0,22 x 0,4 x 25 = 2,2 kN/m
Peso da alvenaria palv = 0,25 x 2,80 x 13 = 9,1 kN/m
Reação das lajes parcela permanente = 20 kN/m
Reação das lajes parcela acidental q = 4 kN/m
Fd = gFgk +  q Fqk
Reação total Fd = 1,4 Fgk + 1,4 Fqk = 1,4 x (31,3 + 4) = 49,42
kN/m
b) Esforços:
Diagrama de momento fletor
Momento Positivo:
Md= 49,42 x 4,1
2
/8=103,84 kNm = 10384 kN x cm
-Verificação do Mdmin.:
I= bh
3
/12 = 20x50
3
/12=2083333,3 cm
4
e Y=25 cm, W0=I/y
fctk,sup=1,3x0,3fck
2/3
=1,3x0,3x25
2/3
=3,34 MPa=0,334 kN/cm
2
Md,min=0,8 x 8333,33x0,334=2226,7 kN x cm
Md > Mdmin → calcular As para resistir a Md
a) Cálculo da armadura de flexão
Momento positivo:
fc = 0,85 x 2,5/1,4=1,518 kN/cm
2
K = (10384) / [1,518 x 22 x (35,5)
2
] =
0,247 < KL = 0,295
K’ = K = 0,247
As,calc = As1 = (1,518 x 22 x 35,5 / 43,5)
x [1 – (1 – 2 x 0,247)
1/2
] = 7,87 cm
2
-Verificação de Asmin.:
As,min = 0,15% x 22 x 40 = 1,32 cm
2
< As
= 7,87cm
2
(ok!)
Usando ΦL= 16 mm (2,011 cm2) 4
Φ16 mm;
As,ef = 4 x 2,011 ≈ 8,0 cm
2
b) Detalhamento da seção
transversal

52
- Exemplo 2 [6]
Calcular as armaduras de flexão para a viga da figura abaixo para alguns valores de momento fletor M.
a) Ms,máx = 2000 kNcm
Solução:
Md= 1,4 x 2000 = 2800 kN x cm
W0=I/y
I= bh
3
/12 = 20x60
3
/12=360000 cm
4
Y=30 cm
fctk,sup=1,3x0,3fck
2/3
=1,3x0,3x20
2/3
=2,88
MPa=0,288 kN/cm
2
Md,min=0,8 x 8333,33x0,288=2764,8 kN
x cm
Md > Mdmin → calcular As para
resistir a Md
Verificação de Asmin.:
As,min = 0,15% x 20 x 60 = 1,8 cm
2
> As = 1,17cm
2
→ adotar As,min
Para atender a armadura final pode-se usar uma das duas hipóteses
de bitolas abaixo:
4Φ8 mm As,e=4x0,503 = 2,01 cm
2
> As = 1,80 cm
2
3Φ10 mm As,e=3x0,785 = 2,36 cm
2
> As = 1,80 cm
2
Onde As,e é a armadura efetivamente colocada ou existente.

53
b) Ms,máx = 6000 kNcm
Solução:
Md= 1,4 x 6000 = 8400 kN x cm
Md > Mdmin → calcular As para
resistir a Md
K=0,110 < KL = 0,295 K’ = K =
0,110
As = As1 = 4,51 cm
2
> As,min = 1,8
cm
2
Para atender a armadura final pode-
se usar uma das hipóteses de
bitolas abaixo:
6Φ10 mm As,e=6x0,785 = 4,71
cm
2
> As = 4,51 cm
2
4Φ12,5 mm As,e=4x1,227 = 4,98
cm
2
> As= 4,51 cm
2
3Φ16 mm As,e=3x2,011 = 6,03
cm
2
> As = 4,51 cm
2
Considerando-se um cobrimento c =
2,5 cm e estribo com Φt = 5mm,
bútil é dada por:
bútil = bw-2(c+Φt)=20-2x(2,5+0,5)=14
cm
Podem ser adotadas as 4 Φ12,5
mm em uma única camada.
c) Ms,máx = 15000 kNcm
Solução:
Md= 1,4 x 15000 = 21000 kN x cm
K=0,276 < KL = 0,295 K’ = K = 0,276
As = As1 = 10,33 cm
2
> As,min = 1,8 cm
2
Para atender a armadura final pode-se usar uma das hipóteses de
bitolas abaixo:
9Φ12,5 mm As,e=9x1,227 = 11,04 cm
2
> As= 10,33 cm
2
6Φ16 mm As,e=6x2,01 = 12,07 cm
2
> As= 10,33 cm
2
4Φ20 mm As,e=4x3,142 = 12,57 cm
2
> As= 10,33 cm
2
Considerando-se um cobrimento c = 2,5 cm e estribo com Φt =
5mm, bútil é dada por:
bútil = bw-2(c+Φt)=20-2x(2,5+0,5)=14 cm
O detalhamento da seção pode ser feito da seguinte forma:

54
d) Ms,máx = 20000 kNcm
Solução:
Md= 1,4 x 20000 = 28000 kN x cm
K=0,368 > KL = 0,295 K’ = KL = 0,295
As1 = 11 cm
2
As2 = 2,8 cm
2
As= As1 +As2 = 13,8 cm
2
> Asmin
d'/d = 4/56 = 0,071 <0,184 →φ=1 (página x )
A’s=As2/φ=2,8 cm
2
Para atender a armadura final de tração As pode-se usar
uma das hipóteses de bitolas abaixo:
7Φ16 mm As,e=7x2,01 = 14,08 cm
2
> As = 13,8 cm
2
5Φ20 mm As,e=5x3,142 = 15,71 cm
2
> As = 13,8 cm
2
3Φ25 mm As,e=3x4,909 = 14,71 cm
2
> As = 13,8 cm
2
Para atender a armadura final de compressão A’s pode-se
usar uma das hipóteses de bitolas abaixo:
4Φ10 mm As,e=4x0,785 = 3,14 cm
2
> As = 2,8 cm
2
3Φ12,5 mm As,e=3x1,227 = 3,68 cm
2
> As = 2,8 cm
2
O detalhamento da seção pode ser feito da
seguinte forma:

55
Exemplo 3: Calcular e detalhar a armadura de pele para a viga com seção mostrada abaixo (medidas em
cm)
Bibliografia
[1] http://www.tqs.com.br (software para cálculo estrutural)
[2] Durabilidade das Estruturas de Concreto Armado – Paulo R.L.Helene
[3] ABNT NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento
[4] Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios – Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo e Sandro
P. Santos
[5] Concreto Protendido – Roberto Buchaim
[6] Apostila de Concreto Armado I – Professor Ney Amorim Silva - Universidade Federal de Minas Gerais
[7] Técnica de armar as estruturas de concreto – Péricles Brasiliense Fusco
[8] ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação

56
Tema 6: Vigas de concreto armado com seção T ou L
Segundo [1] é comum nas construções usuais a ocorrência de pisos estruturais normalmente compostos
por lajes que descarregam em vigas. Durante a construção as lajes e vigas podem ser concretadas
monoliticamente e, dessa forma, elas passam a trabalhar em conjunto para resistir ao carregamento,
podendo-se considerar que parte da laje atua como seção da viga [figura 6.1].
Figura 6.1 – Vigas de Concreto armado com seção T (T beams) [2]
Quando se considera parte da laje na seção da viga têm-se uma viga T ou L. Ao observar o
comportamento de uma viga fletida no Estado Limite Último mostrado na figura 6.2, percebe-se que a
consideração da seção T só será relevante na região de momento positivo da viga (seção A-A), uma vez
que a região comprimida se encontra na parte superior da seção transversal (onde existe a laje). Na região
de momento negativo as fissuras estão na laje, o que não contribui para o aumento da resistência da seção
da viga. Resumindo, a consideração da seção T só terá sentido se for possível considerar parte da laje
para resistir às tensões de compressão a que será submetida a seção transversal.
Figura 6.2 – Momentos Positivos e Negativos na viga T [2]

57
De acordo com a ABNT NBR 6118 [3], quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da
ação conjunta de lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura
colaborante (bf) da laje associada à viga, compondo uma seção transversal T. A largura colaborante bf deve
ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% de a (0,1a) para cada lado da viga em que
houver laje colaborante, conforme mostrado na figura 6.3:
Figura 6.3 – Largura de mesa colaborante – adaptada [3]
Na figura 6.3, a letra a refere-se à distância entre pontos de momento fletor nulo, considerando-se o
diagrama de momento fletor da viga em estudo. A distância a pode ser estimada, em função do
comprimento  do tramo considerado, como se apresenta a seguir:
 viga simplesmente apoiada: a = 1,00  ;
 tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75  ;
 tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60  e tramo em balanço: a = 2,00  .
No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as
seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do
trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima. Ressalta-se que devem ser respeitados os
limites b1 e b3 conforme indicado na figura 6.3. O dimensionamento da seção pode ser feito de forma
simplificada adotando-se as expressões abaixo [4]. É importante citar que, segundo [4], o limite k ≤ 0 será o
utilizado para se ter a mesa parcialmente comprimida, ou seja, dimensionamento da seção como se fosse
uma seção retangular bf x h (figura 6.4).
Figura 6.4 – viga T com linha neutra cortando a mesa [5]

59
EXEMPLO 1 [4]
Calcular os valores da mesa colaborante bf para as vigas do projeto de formas apresentado na figura
abaixo, considerando as seções da viga com os máximos valores de momentos positivos e negativos
mostrados no diagrama de momentos fletores.

60
Solução:
Vigas V1, V2 e V3:
Vigas com dois tramos ou vãos, o primeiro com
comprimento (295+20/2+20/2) = 315 cm e o segundo com
(365+20/2+20/2) = 385 cm. Na figura correspondente ao
projeto de formas, M1 e M2 são os momentos positivos
(tracionam a parte inferior da viga) e X é o momento
negativo (traciona a parte superior da viga). Os pontos de
momentos nulos do diagrama estão indicados na figura
com as distâncias x1 e x2, referenciadas ao apoio central.
Viga V1:
A mesa está comprimida para os momentos M1 e M2 e
tracionada para o momento negativo X. Essa viga só pode
funcionar como T, ou no caso L, apenas nos trechos
positivos do diagrama de momentos.
Para o momento M1 a parcela da largura colaborante do
lado da nervura em que a laje tem continuidade, b1 é dada
por:
b1= 24 cm; o lado oposto a b1 não tem laje, portanto:
b3 =b4=0 e bf=bw+b1+b3=20+24+0=44 cm
Será considerada uma largura colaborante única para todas as
seções da viga V1 com momentos positivos.
Seção adotada para a viga 1 para os momentos
positivos:
Para o momento negativo X a seção só pode
funcionar como seção retangular de (20 x 40 ) cm.
Viga V2:
No caso dessa viga há continuidade da laje em
ambos os lados, logo:
positivos:
funcionar como seção retangular de (20 x 40 ) cm.

61
Solução:
Viga V3:
Os valores de b1 e b3 são os mesmos já calculados
para a viga V1. A diferença deve-se ao novo valor de
b2 = 295 cm, que não interfere nos resultados finais
de b1.
Para M1 tem-se:
bf = bw + b1 + b3 = 15 + 24 + 0 = 39 cm
Será considerada uma largura colaborante única para todas
as seções da viga V3 com momentos positivos.
positivos:
funcionar como seção retangular de (15 x 40) cm.
Viga V4:
Essa viga tem um balanço do lado esquerdo da
nervura que está 30 cm abaixo do nível das demais
lajes. Assim, têm-se mesas comprimidas tanto do lado
superior direito, quanto do inferior esquerdo da
nervura, fazendo a viga funcionar como seção L, para
momentos positivos e negativo.
1 = 315 cm 2 = 400 cm
a1 = 0,75 1 = 0,75x315 = 236,25 cm
a2 = 0,75 2 = 0,75x400 = 300 cm
x1 = 0,25 1= 0,25x315 = 78,75 cm
x2 = 0,25 2 = 0,25x400 = 100 cm
Para M1 tem-se
b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm
b1 ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm
→ b1 = 24 cm
b3 = b4 = 0 (a laje L1 está invertida, portanto
tracionada).
bf = bw + b1 + b3 = 15 + 24 + 0 = 39 cm
Será considerada uma largura colaborante única para todas
as seções da viga V4 com momentos positivos.
Para o momento negativo X, como a única laje
comprimida (L1) está do lado do balanço, sem
continuidade, tem-se:
b3 ≤ 0,10 (x1 + x2) = 0,10x(78,75 + 100) ≈ 18 cm
b3 = 18 cm
b3 ≤ b4 = 30 cm
b1 = 0 (a laje L2 está tracionada)
bf = bw + b1 + b3 = 15 + 0 + 18 = 33 cm
Viga V5:
De forma análoga ao calculado para V2, obtém-
se:
1 = 315 cm e a1 = 0,75 1 = 0,75x315 = 236,25 cm
As parcelas da largura colaborante dos lados Esquerdo
e Direito da nervura, são dadas por:
Para o momento negativo X a seção só pode funcionar
como seção retangular de (20 x 40 ) cm.

62
Viga V6:
1 = 315 cm
a1 = 0,75 1 = 0,75x315 = 236,25 cm
Para os momentos positivos:
b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm
b1 = 24 cm
b1 ≤ (b2/2) = (365/2) = 182,5 cm
b3 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm
b3 = 24 cm
b3 ≤ b4 = 50 cm
bf = bw + b1 + b3 = 20 + 24 + 24 = 68 cm
Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangular de (15 x 40) cm.
EXEMPLO 2 [4]
Calcular as armaduras para uma viga T, com bf = 90 cm, bw = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm, hf = 10 cm.
Considere concreto fck = 30 MPa, aço CA 50 e os momentos solicitantes na viga:
 M=15000 kN.cm
 M=40000 kN.cm
Solução:
fc=0,85x3/1,4 = 1,821 kN/cm2 ) e fyd=50/1,15 = 43,48 kN/cm2
a) Ms,máx = 15000 kNcm
Solução:
Md= 1,4 x 15000 = 21000 kN x cm
Md,min = 0,8 W0 fctk,sup,
O centro geométrico para a seção T de concreto em relação ao limite inferior da nervura bw (largura paralela ao
eixo x da seção transversal) vale:
ycg = (90x 10x 45 + 20x40x 20) / (90x10 + 20x40) = 33,24 cm
Ix,cg = [(90x50
3
)/12+90x50x(33,24-25)
2
]–[(70x40
3
)/12+70x40x(33,24-20)
2
]=378873 cm4
fctk,sup = 0,39 x 30
2/3
= 3,77 MPa ≈ 0,38 kN/cm2
Md,min = 0,8 x [(378873) / 33,24] x 0,38 = 3463 kNcm

63
As,min = 0,15% x (90x10) + (20 x 40) = 2,55 cm
2
< As = 11,09 cm
2
→ adotar As,calculado
Comentário:
Se optasse por calcular a viga com seção retangular 20/50, desprezando-se a contribuição da
mesa, a armadura seria As,Ret = 12,96 cm2
> As,T = 11,09 cm2
mostrando que quando possível, o
cálculo como seção T é sempre mais econômico.
b) Ms,máx = 40000 kNcm
Solução:
Md= 1,4 x 40000 = 56000 kN x cm
Md,min = 0,8 x [(378873) / 33,24] x 0,38 = 3463 kNcm ; Md > Mdmin → calcular As para resistir a Md
As,min = 0,15% x (90x10) + (20 x 40) = 2,55 cm
2
< As = 31,97 cm
2
→ adotar As,calculado
Bibliografia
[2] Reinforced Concrete Mechanics and Design – James G. MacGregor and James k. Wight.
[3] ABNT NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento
[4] Apostila de Concreto Armado I – Professor Ney Amorim Silva - Universidade Federal de Minas Gerais
[5] Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios – Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo e Sandro
P. Santos.
[5] Concreto Protendido – Roberto Buchaim

64
Tema 7: Vigas Contínuas e pórticos planos
No caso de estruturas usuais de edifícios, a ABNT NBR 6118 permite a adoção do
modelo de viga contínua para a determinação dos momentos positivos e dos momentos
negativos das vigas. A figura 7.1 mostra a planta de formas e o corte de uma estrutura de
um edifício e a figura 7.2 mostra o modelo estrutural de viga contínua.
Figura 7.1 – Planta de formas e Corte da estrutura de um Edifício [2]
Figura 7.2 – modelo de viga contínua [2]

65
Salienta-se que, de acordo com [3], na ligação viga-pilar existe certa rigidez (não é uma
rótula) e o momento fletor transmitido pela viga não pode ser desprezado (Figura 7.3).
Figura 7.3 – Ligação entre vigas e pilares [3]
Nesta metodologia considera-se, inicialmente, os pilares extremos como apoios simples e
os momentos fletores são calculados para a viga conforme mostrado na figura 7.4. O
momento fletor de ligação entre a viga e os pilares extremos é calculado fazendo-se
equilíbrio do momento fletor de engastamento perfeito no nó extremo.
Figura 7.4 – Momento de ligação da viga aos pilares extremos [2]

66
Os momentos negativos nas vigas, considerando-se a sua ligação aos apoios extremos
podem ser calculados pelas seguintes relações (Figura 7.5):
Na extremidade da viga:
Figura 7.5 – Condições de vinculação nos apoios extremos de vigas contínuas [4]
Em que:
-rinf, rsup, rviga é a rigidez de cada elemento i no nó em foco (pilar inferior, superior e viga);
- , sendo Ii a inércia do elemento e li conforme a Figura 7.5;
-Meng é o momento de engastamento perfeito na ligação viga-pilar;
Segundo a ABNT NBR 6118, para a utilização do modelo clássico de viga contínua,
simplesmente apoiada nos pilares, deve-se fazer as seguintes correções adicionais:
-Não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se
houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos (figura 7.6).

67
Figura 7.6 – Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas [2]
-Quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na
direção do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser
considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento
perfeito nesse apoio (figura 7.7)
Figura 7.7 – Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas [2]

68
EXEMPLO:
Calcular e detalhar a armadura longitudinal de uma viga contínua de 3 vãos, de um pavimento
intermediário, com altura l dos pilares igual a 3,0 m, concreto fck = 35 MPa, aço CA 50. A seção transversal
da viga é de 15x50 cm2
e d= 45 cm. os pilares são todos de 20x20 cm2
, as cargas, vãos e diagrama de
momento fletor estão apresentados na figura abaixo.
Solução:
Os momentos negativos sobre os apoios extremos para a viga contínua acima:
 Apoio extremo da esquerda
Rigidez dos pilares no nó considerado = rsup = rinf =
Isup / li sup = (20 x 203
/12) / 150 = 88,8
Rigidez da viga no nó considerado = rvig = Ivig / lvig =
(15 x 503
/12) / 400 = 390,6
Meng = (40x42
/12) = 53,33 kNm
(obtido das tabelas de momentos de engastamento
perfeito de barras biengastadas abaixo).

69
= α = (88,8 +88,8)/(88,8+88,8+390,6)=177,6/568,2=0,31
M extr,viga = α X Meng = 0,31 x 53,33 = 16,7 kN.m
 Apoio extremo da direita: idem apoio da esquerda.
 Correções:
a) O momento positivo máximo no segundo vão considerando engaste perfeito nos apoios é:
M*max = 40 x 4,02
/ 24 = 26,7 kNm (ver figura 7.6).
Esse é o valor a ser dimensionado, que além de positivo é maior que o encontrado no diagrama de
Momentos, M = 16 kNm. Para o primeiro e terceiro vãos não será necessário fazer essa verificação,
pois com os momentos de extremidades nulos os diagramas de momentos positivos nesses dois
trechos resultam em valores maiores que os encontrados na situação de engaste perfeito.
Desenhar o diagrama corrigido com os momentos negativos de extremidade.

70
 Cálculo da armadura de Flexão:
X
*
esq = X
*
direita = 1670 kNcm
Xd= 1,4 x 1670 = 2338 kN x cm
-Verificação do Xdmin.:
W0=I/y
I= bh
3
/12 = 15x50
3
/12=156250 cm
4
Y=25 cm
fctk,sup=1,3x0,3fck
2/3
=1,3x0,3x35
2/3
=4,18MPa
=0,418 kN/cm
2
Xd,min= 0,8 x 6250x0,418 =2090 kN x cm
Xd > Xdmin → calcular As para resistir a Xd
fc=0,85 x 3,5/1,4 =2,125 kN/cm
2
K=0,0362 ≤ KL
As = 1,22 cm
2
As,min = 0,15% x 15 x 50 = 1,12 cm
2
< As = 1,22 cm
2
→
adotar As
Para atender a armadura final adotar 2Φ10 mm
As,e=2 x0,785 = 1,57cm
2
> As = 1,22 cm
2
X = 6400 kNcm
Xd= 1,4 x 6400 = 8960 kN x cm
-Verificação do Xdmin.:
Xd,min= 0,8 x 6250x0,418 =2090 kN x cm
Xd > Xdmin → calcular As para resistir a Xd
fc=0,85 x 3,5/1,4 =2,125 kN/cm
2
K=0,139 ≤ KL
As = 4,95 cm
2
As,min = 0,15% x 15 x 50 = 1,12 cm
2
< As = 4,95 cm
2
→
adotar As
Para atender a armadura final adotar 3Φ16,0 mm
As,e=3 x 2 = 6,0 cm
2
> As = 4,95 cm
2

71
M = 5120 kNcm
Md= 1,4 x 5120 = 7168 kN x cm
Md,min= 0,8 x 6250x0,418 =2090 kN x cm
fc=0,85 x 3,5/1,4 =2,125 kN/cm
2
K=0,111 ≤ KL
As = 3,89 cm
2
As,min = 0,15% x 15 x 50 = 1,12 cm
2
< As = 3,89 cm
2
→
adotar As
Para atender a armadura final adotar 3Φ12,5 mm
As,e=3 x 1,226 = 3,68 cm
2
~ As = 3,89 cm
2
M* = 2670 kNcm
Md= 1,4 x 2670 = 3738 kN x cm
Md,min= 0,8 x 6250x0,418 =2090 kN x cm
fc=0,85 x 3,5/1,4 =2,125 kN/cm
2
K=0,0579 ≤ KL
As = 1,97 cm
2
As,min = 0,15% x 15 x 50 = 1,12 cm
2
< As = 1,97 cm
2
→
adotar As
Para atender a armadura final adotar 3Φ10 mm
As,e=3 x 0,785 = 2,35 cm
2
> As = 1,16 cm
2
 Detalhamento Simplificado da viga:

72
PÓRTICO PLANO:
Embora a norma considere o modelo de viga contínua para a determinação dos esforços
solicitantes nas vigas e pilares, o que ocorre, na verdade, é que o sistema de vigas e
pilares que compõe a estrutura da edificação funciona como um pórtico. Por essa razão,
os momentos na ligação viga-pilar calculados segundo a metodologia simplificada,
apresentada na ABNT NBR 6118, são apenas uma aproximação [3].
Os momentos fletores nas vigas e pilares podem ser obtidos a partir da consideração da
ligação entre pilares e vigas como pórticos monolíticos, conforme apresentado na figura
7.8.
Figura 7.8 – Diagrama de momento fletor – Pórtico Plano
Bibliografia:
[1] Fonte: LEMES et al, 2015
[2] Apostila UNESP – Estruturas de Concreto II – Vigas de Edifícios. Prof. Dr. Paulo
Sérgio dos Santos Bastos.
[3] Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado – Roberto Chust
Carvalho e Libânio Miranda Pinheiro.

73
Tema 8: Cisalhamento em vigas de concreto armado
Conforme visto nas aulas anteriores, o dimensionamento de uma viga de concreto
armado geralmente começa pela determinação das armaduras longitudinais para os
momentos fletores máximos, considerando-se a seção transversal da viga: retangular, T
ou L. Em seguida a armadura transversal (estribos) é calculada considerando-se a
resistência da viga à força cortante.
A figura 1 mostra o detalhe de uma viga biapoiada submetida ao carregamento composto
por duas cargas concentradas e a seção transversal da viga com a armadura longitudinal
e o estribo.
Figura 1 - Viga biapoiada (ABNT 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação)
Neste tópico das notas de aula vamos tratar da avaliação da resistência da viga à força
cortante e da determinação e detalhamento dos estribos.
a) Ensaios e modelos de cálculo
Conforme apresentado por Leonhardt e Monnig (1977) uma boa noção do
comportamento de uma viga de concreto armado pode ser obtida por meio de
ensaios. Muitos deles foram realizados para avaliar as variáveis que podem
influenciar na resistência das vigas de concreto armado à força cortante. Durante um
ensaio, tal como apresentado na figura 2, a ruptura por efeito de força cortante é
iniciada após o surgimento de fissuras inclinadas, causadas pela combinação de força
cortante e momento fletor.

74
Figura 2 – Comportamento de uma viga de concreto armado -Leonhardt e Monnig (1977)
Aumentando-se a carga P tem-se, como consequência, o aumento do número de fissuras
que crescem na direção do banzo comprimido da viga. A figura 3 mostra o ensaio de uma
viga com seção T e o padrão de fissuração para valores elevados de carregamento.
Figura 3 – Configuração de fissuras e ruptura de uma viga T -Leonhardt e Monnig (1977)
De forma simplificada pode-se considerar que a armadura transversal vai “costurar” as
fissuras, aumentando a resistência da viga ao esforço cortante e impedindo que ocorra

75
uma ruptura frágil. Considera-se que, após a fissuração da viga (estádio II) haverá uma
redistribuição das forças internas e as forças de tração que surgem no concreto serão
absorvidas pelas armaduras transversais, que impedirão a maior abertura das fissuras.
Na figura 4 é mostrado um detalhe da viga com a armadura transversal composta por
estribos e por barras dobradas.
Figura 4 – Detalhamento de uma viga de concreto armado -Leonhardt e Monnig (1977)
Ressalta-se que é mais comum o uso de estribos na viga, conforme mostrado na figura 4.
O uso de barras dobradas é pouco usual. Portanto, iremos adotar somente estribos
verticais para os exemplos dessas notas de aula.
A partir dos ensaios de vigas de concreto armado foi proposto um modelo de cálculo
baseado numa treliça com banzos paralelos (treliça de Morsch) apresentada na figura 5.
Figura 5 –Modelo de funcionamento de viga ao cisalhamento como treliça – Apostila
concreto I UFMG (2015)

76
Neste modelo Riitter e Morsch admitiram que, após a fissuração, a viga funcionaria
segundo uma treliça, com o banzo superior comprimido constituído pelo concreto e o
banzo tracionado pela armação inferior. As diagonais tracionadas seriam constituídas por
armação com inclinação α (limitada entre 45º e 90º) e as diagonais comprimidas
constituídas pelo concreto com inclinação θ=45º (figura 5).
Segundo Leonhardt e Monnig (1977) verificou-se, com base nos resultados de pesquisas
experimentais, que a inclinação das fissuras é geralmente inferior a 45º e as diagonais
comprimidas do concreto têm inclinações menores, podendo chegar a ângulos de 30º.
Essa variação ocorre em função, principalmente, da quantidade de armadura transversal
e da relação entre as larguras da alma e da mesa, em seções T e I.
Outro aspecto importante com relação à resistência de vigas à força cortante está
relacionado à atuação de mecanismos complementares ao modelo de treliça (MacGregor
e Wight, 2005). Serão destacados três mecanismos de transferência da força cortante em
viga com armadura transversal: Vcz relacionado ao banzo de concreto comprimido, Vay
relacionado ao engrenamento dos agregados ou atrito entre as superfícies nas fissuras
inclinadas, e Vd relacionado à ação de pino da armadura longitudinal (figura 6).
Figura 6 –Forças internas em uma viga com estribos – MacGregor e Wight (2005)
P’

77
Na figura 6 observa-se que a zona não fissurada de concreto comprimido pela flexão
(banzo de concreto) proporciona uma parcela de resistência à força cortante, que é a
componente Vcz, mostrada na figura 6. Há nesse trecho não fissurado uma pequena
parcela de transferência da força cortante. Também considera-se que, em uma fissura
inclinada, existe uma resistência ao deslizamento entre as duas superfícies do concreto,
devido à rugosidade e ao engrenamento dos agregados. Essa componente de
transferência de força cortante é Va. A componente Vd relaciona-se à transferência da
força cortante por ação de pino da armadura longitudinal. A ação de pino de uma barra
de aço inserida no concreto proporciona um mecanismo de transferência de força
cortante como mostrado na figura 7 (POLI, PRISCO e GAMBAROVA (1992))
Figura 7 -Transferência de força cortante por ação de pino – POLI, PRISCO e
GAMBAROVA (1992)
Todas essas componentes (Vcz, Va e Vd) proporcionam transferência de força cortante
e definem, juntamente com os estribos, a resistência da viga ao cisalhamento.
Segundo MacGregor e Wight (2005) é difícil quantificar separadamente as
contribuições de Vcz, Va e Vd. Nas normas de projeto essas componentes são
normalmente agrupadas e consideradas como VC. Logo a resistência da viga ao
cisalhamento é:
VR= Vc + Vs
Vc= parcela correpondente aos mecanismos complementares e
Vs= parcela correspondente ao estribo.

78
b) Prescrições da ABNT NBR-6118:2014
- Modelos de Cálculo
De acordo com a NBR-6118:2014 a teoria para o cálculo de vigas de concreto armado
pressupõe a analogia com o modelo em treliça de banzos paralelos, conforme
apresentado na figura 5. Essa norma admite dois modelos de cálculo em função da
inclinação “ɵ” das diagonais comprimidas de concreto (“bielas” de compressão).
Associados a esses modelos a norma considera ainda, os mecanismos resistentes
complementares, representados por uma componente adicional denominada Vc.
A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser
considerada satisfatória quando verificadas, simultaneamente, as seguintes condições:
VSd VRd2
VSd VRd3 = Vc + Vsw
VSd é a força cortante solicitante de cálculo na seção;
VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais
comprimidas de concreto (figura 8).
Figura 8 –Resultante resistente da diagonal comprimida
– Apostila concreto I UFMG (2015)
VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração
diagonal. Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal.

79
Figura 9 –Resultante resistente da diagonal tracionada – Apostila concreto I UFMG
Na região dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes nas
respectivas faces. Conforme citado, a norma NBR-6118:2014 admite dois modelos de
cálculo em função da inclinação “ɵ” das diagonais comprimidas de concreto. Esses
modelos serão descritos nos tópicos seguintes.
 Modelo de cálculo I
O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de  = 45 em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha
valor constante. No cálculo considera-se as seguintes expressões:
a) verificação da compressão diagonal
do concreto:
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d
αv2 = (1 - fck / 250) e fck, em megapascal.
1,4
fck
fcd 
b) cálculo da armadura transversal:
VRd3 = Vc +Vsw
Vsw = (Asw / s) 0,9 d fywd (sen α+ cos α)
Vc=Vc0 = 0,6 fctd bw d
fctd = fctk,inf/γc
2
3
0,7 0,7 0,3
,inf
f f f
ctk ctm ck
 
 

  
 
fck, em megapascal. γc=1,4

80
onde:
bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d;
d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de
gravidade da armadura de tração;
s é o espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o
eixo longitudinal do elemento estrutural;
fywd é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de
estribos não se tomando valores superiores a
435 MPa;
α é o ângulo de inclinação da armadura transversal (estribos) em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural, nestas notas de aula tomaremos α=90º.
 Modelo de cálculo II
O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de  em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural, com  variável livremente entre 30 e 45. Admite
ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.
No cálculo considera-se as seguintes expressões:
e) verificação da compressão diagonal do
concreto:
VRd2 = 0,54 αv2 fcd bw d sen2
θ(cotg α+ cotg θ)
αv2 = (1 - fck / 250) e fck, em megapascal.
1,4
fck
fcd 
f) cálculo da armadura transversal:
VRd3 = Vc +Vsw
Vsw = (Asw / s) 0,9 d fywd (cotg α+ cotg θ)
sen α
Vc=Vc1
Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0
Vc0= 0,6 fctd bw d
Vc1 = 0 quando VSd = VRd2 , interpolando-se
linearmente para valores intermediários.
Ver figura 10.

81
Figura 10 –Consideração do valor de Vc (modelo de cálculo II)
- Armadura Mínima e especificações para o estribo
As vigas submetidos a força cortante devem conter armadura transversal mínima
constituída por estribos, com taxa geométrica:
ywk
m
ct
w
sw
sw
sen f
f
2
,
0
s
b
A ,




onde:
Asw é a área da seção transversal dos estribos;
s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural;
α é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural;
bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção,
fywk é a resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal;
2 3
0,3
f f
ctm ck
 , fck, em megapascal.

82
Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal,
envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face oposta.
Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo horizontal
nessa região, ou complementado por meio de barra adicional.
Figura 11 – Detalhe de estribo fechado
O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder
1/10 da largura da alma da viga.
O espaçamento (s) mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do
elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo
um bom adensamento da massa (Figura 12).
Figura 12 – Distribuição dos estribos ao longo do eixo da viga.

83
O espaçamento (s) máximo deve atender às seguintes condições:
 se Vd ≤ 0,67 VRd2 , então smáx = 0,6 d ≤300 mm;
 se Vd > 0,67 VRd2 , então smáx = 0,3 d ≤200 mm.
O espaçamento transversal entre ramos verticais sucessivos da armadura constituída por
estribos não deve exceder os seguintes valores:
 se Vd ≤ 0,20 VRd2 , então st,máx = d ≤ 800 mm;
 se Vd > 0,20 VRd2 , então st,máx = 0,6 d ≤ 350 mm.
Nos casos de vigas largas pode-se adotar estribos conforme mostrado na figura 13.
Figura 13 – Detalhe de estribos para seções de vigas largas.
A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou
barras longitudinais soldadas. Os ganchos dos estribos podem ser:
g) semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a
5 ϕt, porém não inferior a 5 cm;
h) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 ϕt, porém não
inferior a 7 cm.
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao valor dado na
tabela abaixo.

84
Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos
Bitola
mm
Tipo de aço
CA-25 CA-50 CA-60
 10 3 Φ t 3 Φ t 3 Φ t
10 < Φ< 20 4 Φ t 5 Φ t -
 20 5 Φ t 8 Φ t -
- Exemplo (Livro ABNT NBR 6118:2003 Comentários e Exemplos de Aplicação)
Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na
figura abaixo. Considere P = 65 kN, concreto de classe C 25, aço CA-50,
Classe de Agressividade Ambiental I, c = 2,5 cm e d = 46 cm para a altura útil da
seção. Adotar modelo de cálculo I.
(I) (II) (III)

85
Solução
Utilizando o modelo de cálculo I (α=90o e θ=45o):
a) verificação da compressão diagonal do
concreto:
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d
αv2 = (1 - fck / 250)= (1-25/250)=0,9
25 2
17,86 1,78 /
1,4 1,4
fck
f MPa kN cm
cd   

VRd2 = 0,27. 0,9 .1,78 .12 .46 = 238,8 kN
Vsd = 1,4 x 65 = 91 kN
VSd VRd2 91< 238,8 OK!
b) cálculo dos estribos:
Nos trechos (I) e (III)
Vc=Vc0 = 0,6 fctd bw d fctd = fctk,inf/γc
2
3
0,7 0,7 0,3.25 1,78
,inf
1,79 2
1,28 0,128 /
1,4
f f MPa
ctk ctm
f MPa kN cm
ctd
 
 
 
  
 
  
Vc=Vc0 = 0,6.0,128.12.46=42,39 kN
Análise para o cálculo dos estribos:
Vsd = Vc + Vsw
Vsw = Vsd - Vc = 91-42,39=48,6 kN
Isto significa que na seção com força cortante
igual a 91 kN, a parcela correspondente a
42,39 kN é resistida por mecanismos
complementares (Vc). Os estribos serão
determinados para resistir ao restante da força
cortante. Logo:
Vsw = (Asw / s) 0,9 d fywd (sen α+ cos α)
48,6 = (Asw / s).0,9.46. 43,5 .(sen 90+ cos 90)
(Asw / s)=48,6/0,9.46.43,5=0,027 cm2
/cm
Considerando-se um trecho com s=100 cm:
(Asw / s)= 2,7 cm2
/m

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