Civ pedro caruso restum perez de faria

Departamento de Engenharia Civil
1
ANÁLISE EXPERIMENTAL E TEÓRICA DE ESTRUTURAS SUJEITAS
A GRANDES DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES
Aluno: Pedro Caruso Restum Perez de Faria
Orientador: Paulo Batista Gonçalves
1. Introdução
O presente trabalho apresenta o que foi desenvolvido durante a pesquisa de Iniciação
Científica no projeto “Análise Experimental e Teórica de Estruturas Sujeitas a Grandes
Deslocamentos e Deformações”, sob orientação do Professor Paulo Batista Gonçalves.
A pesquisa foi iniciada com o estudo específico da borracha: características e
comportamento com solicitações em tração, compressão e cisalhamento.
Na etapa de ensaios experimentais foi elaborado um relatório com a especificações da
borracha utilizada na confecção dos corpos de prova.
Para entender a influência da não linearidade dos materiais hiperelástico estudou-se,
inicialmente, o comportamento de uma barra constituída por material neo-Hookeano,
submetida a um carregamento axial.
Por fim, demonstrou-se a formulação adotada para analisar o comportamento não linear
de uma treliça feita de material hiperelástico neo-Hookeano, tendo como base na dissertação de
mestrado do doutorando Filipe Meirelles Fonseca sobre o “Comportamento não linear,
bifurcações e instabilidade de uma treliça hiperelástica” [11].
2. Características da Borracha
A dureza, os módulos, a tensão de ruptura e a deformação são as características das
borrachas mais utilizadas para caracterizar os compostos
Dureza
A dureza é a medida correntemente utilizada para caracterizar os produtos de borracha, e
a determinação do grau de dureza que corresponde à profundidade de penetração de uma esfera
rígida num corpo de prova normalizado em condições pré-fixadas, originou, por exemplo, a
escala de Graus Internacionais de Dureza da Borracha (GIDB) utilizada nas normas ISO. A
relação entre a dureza da borracha e o módulo de Young (Eo)1
é muito importante em todo o
desenvolvimento da teoria das deformações [4].
1
A relação entre a força (F) e a profundidade de penetração (P) de uma esfera rígida e o módulo de Young (E0) para um material
perfeitamente elástico e isotrópico é:
sendo:
F – força de penetração, em Newton;
E0 – coeficiente de proporcionalidade, chamado módulo de Young ou módulo de elasticidade, em MPa;
R – raio do penetrador esférico, em mm;
P – profundidade de penetração, em mm.

2
Módulo de distorção
Quando a borracha é submetida a uma deformação tangencial, verifica-se uma
proporcionalidade entre as tensões e as deformações, cujo coeficiente é designado de módulo
de distorção (G). Como a borracha tem coeficiente de Poisson de aproximadamente 0,5, pode-
se demonstrar que, nestas condições, Eo ≈ 3.G para borrachas de dureza inferior a 45 GIDB e
Eo ≈ 4.G, para borrachas de dureza superior [6]
Tensão de ruptura
Quando a borracha é submetida a uma força de tração crescente, ela se alonga
progressivamente até se romper. Se dividirmos esta força no momento da ruptura pela área da
seção submetida à tração (inicial), obtemos a tensão de ruptura [10]
Deformação
A borracha vulcanizada2
responde às deformações com variações na configuração das
cadeias moleculares [1].
2.1. Comportamento da borracha sob tração
As principais características da borracha em solicitações de tração são:
• Deformabilidade - submetida à tração em temperatura ambiente, a borracha pode
suportar deformações superiores a 1000%, sem ruptura (Figura 1).[2] A progressão da
curva tensão-deformação para borrachas não é linear, havendo proporcionalidade entre
tensões e deformações apenas numa pequena zona de deformação (Figura 2), onde é
possível determinar o coeficiente de resistência à deformação elástica 3
, chamado
módulo de Young (Eo)4
.[1].
Figura 1: Curvas típicas de tensão-deformação (em tração) para borrachas de
diferentes durezas [2]
2 2
Operação onde são criadas ligações entre as macromoléculas de um elastómero, que à partida se apresenta como uma
massa fraca e muito plástica, e se transforma em um produto forte, resistente e com boas características elásticas. A
vulcanização foi descoberta em 1839, por Goodyear, que aplicou a técnica à borracha natural, utilizando como agente de
vulcanização o enxofre [12].
3
Sem alteração permanente das dimensões originais como ocorre quando há deformação plástica.
4
A relação de proporcionalidade entre tensões e deformações é definida pela Lei de Hooke:
sendo:
σ – tensão aplicada, isto é, a força aplicada por unidade de área;
E0 – coeficiente de proporcionalidade, chamado módulo de elasticidade ou módulo de Young;
ε – deformação relativa, isto é, a deformação observada/dimensão inicial.

3
Figura 2: Curva típica da tensão-deformação (em tração) para uma borracha [8]
• Baixo Módulo de elasticidade - para produzir elevadas deformações na borracha são
necessárias baixas tensões (Figura 1)[1]. Se compararmos a ordem de grandeza dos
módulos de elasticidade do aço e da borracha, podemos dizer que o aço é um material
de elevado módulo de elasticidade e a borracha um material de módulo de elasticidade
muito baixo. Em outras palavras: o aço é um material muito pouco elástico; a borracha
é um material de elevada elasticidade [6]
• Recuperação – a borracha possui capacidade de recuperação quase total a grandes
deformações, correspondente à armazenagem de grande quantidade de energia. A
resiliência é a aptidão da borracha para restituir, quando da recuperação elástica, a
energia que lhe provocou a deformação [1]. Quanto maior a resiliência, maior é a
quantidade de energia restituída. As áreas sob as curvas de carga e descarga (Figura 3)
representam a energia fornecida na fase de carga e devolvida na fase de descarga. A
perda de energia durante o ciclo de deformação e recuperação, histerese, corresponde à
área entre as duas curvas. Quanto maior a histerese, menor a resiliência. A distância A-
C corresponde a uma deformação residual permanente [9].
Figura 3: Curvas de carga e descarga, em ciclo histerético [9]

4
• Elevado Módulo de Compressibilidade – quando a ação de compressão da borracha
é restrita (Figura 4), a deformação obtida é muito pequena para cargas de compressão
relativamente elevadas [1], portanto, o módulo de compressibilidade ou volumétrico
(E∞) da borracha é muito elevado (de 14 a 1000 vezes o valor do módulo de Young,
conforme a dureza da borracha).[6] A borracha é um material praticamente
incompressível5
, deformando-se mais por alteração da forma do que do volume [14].
Figura 4: Blocos de borracha em compressão pura, do tipo hidrostático [1]
2.2. Comportamento da borracha sob compressão
As curvas em compressão não têm a mesma forma das em tração (Figura 5). O valor
máximo da deformação por compressão é, teoricamente, de 100%, razão pela qual são
assintóticas para este valor de deformação. O valor do módulo de Young obtido em compressão,
também na zona das pequenas deformações, é idêntico ao valor em tração [2].
Figura 5: Curvas tensão-encurtamento em compressão [2]
5
O coeficiente de Poisson () - quociente entre a deformação transversal relativa (δe/δeo) e a deformação longitudinal relativa
(δL/δLo) – da borracha é aproximadamente 0,5 e, nesta condição, a variação de volume (δV) da borracha é nula, uma vez que
a variação relativa de volume (δV/Vo) num sólido submetido à força de tração ou compressão é [5]:

5
A forma geométrica do objeto (Figura 6) em compressão interfere nas relações tensão-
deformação através do fator forma (S), que representa a relação entre a superfície que sofre a
carga compressiva e a superfície livre:
Considerando dois paralelepípedos com a mesma qualidade de borracha, e alturas H1 >
H2, cujos lados de área L x L estão firmemente ligados a duas superfícies rígidas, onde em uma
delas é aplicada uma força compressiva F (Figura 6).
Figura 6: Blocos de altura diferente, em compressão [2]
A tensão de compressão nos dois casos é igual:
Porém, o bloco de altura H1 apresenta uma deflexão superior ao de altura H2:
x1 > x2
Pois, o fator forma do bloco de altura H2 é maior do que o de altura H1, dado H1 > H2:
Para uma mesma tensão de compressão, o bloco com menor área lateral (H2) pode
expandir-se menos lateralmente, deformando-se menos, ou seja, pode possuir uma maior
rigidez6
, correspondente a um maior módulo de compressão.
Sendo assim, o módulo de Young precisa ser corrigido para efeitos de cálculo7
:
6
A rigidez Kc é [3]:
7
Segundo a Lei de Hooke [3]:

6
O tipo de interação das superfícies em contato com a borracha também intervém na
relação entre tensões e deformações (Figura 7). Quanto mais abrasiva a superfície, maior a
restrição à livre deformação da borracha. As superfícies de borracha, quando ligadas a metal
impõem, obviamente, o maior grau de restrição.
Legenda:
1. Borracha ligada ao metal;
2. Borracha apoiada em papel abrasivo;
3. Borracha apoiada em superfícies polidas, secas;
4. Borracha apoiada em superfícies polidas, molhadas;
5. Borracha apoiada em superfícies lubrificadas.
Figura 7: Efeito das condições de superfície na tensão de compressão [2]
Logo:
Como:
Ec = Eo (1 + k . S2
)
sendo:
d – deformação;
t – espessura ou altura inicial;
Ec – módulo de compressão (função da dureza da borracha e da forma geométrica;
Fc – Força de compressão;
A – secção onde é aplicada a força de compressão;
k – Fator numérico.

7
2.3. Comportamento da borracha com Solicitações em cisalhamento
Solicitações em cisalhamento resultam de tensões tangenciais8
[13], presentes em
apoios de grandes estruturas, controle de vibrações, isolamento de base e suspensões [2].
A Figura 8 representa, esquematicamente, uma deformação em cisalhamento ou
tangencial.
Figura 8: Deformação em cisalhamento [2]
A deformação por cisalhamento pode ser definida pelo quociente entre a deformação
(X) e a espessura (t), ou pelo ângulo θ:
O fator de proporcionalidade entre tensões (σ) e deformações (tg θ) é o módulo de
distorção (G) já mencionado:
8 Além da deformação axial, um corpo em geral pode se deformar linearmente em outras duas direções. Analiticamente as
direções são ortogonais entre si e relacionadas nos eixos x, y, z. Assim, um corpo pode se deformar como na figura abaixo
[7]:
Tais deformações causam uma mudança nos ângulos inicialmente retos, entre linhas imaginárias do corpo e essa alteração
angular é definida por deformação cisalhante ou deformação tangencial.

8
A relação entre tensões e deformações, esquematizada na Figura 9, é praticamente
independente do fator de forma.
Figura 9: Curvas tensão-deformação em cisalhamento [2].
A deformação angular decorrente da mola de torção, representada na Figura 10, também
resulta de tensões do tipo tangencial9
.
9 A rigidez desta mola é:
e
Sendo θ a deformação angular provocada pelo momento de torção M.
Para pequenas deformações, a deformação angular é linear, considerada na extremidade do braço de torção:
Substituindo M e Ft:
Como:
Logo:

9
Figura 10: Mola de torção [2]
2.4. Efeito da variação de temperatura em tração, compressão e cisalhamento (efeito
Gough-Joule)
A borracha sofre dilatação com o aumento da temperatura, porém, sob tensão a
expansão térmica é neutralizada em certo momento. A elevação da temperatura contribui para
o desordenamento natural das cadeias moleculares dos elastômeros, em oposição ao efeito da
tração, que as ordena na direção da força que origina a deformação, causando retração no
alongamento (efeito Gough-Joule) [7].
As representações esquemáticas apresentadas na Figura 11, Figura 12 e Figura 13, a
seguir, mostram as relações entre deformações e forças de tração, forças de compressão e forças
de cisalhamento, para as temperaturas T2 > To > T1.
Figura 11: Efeito Gough-Joule em tração [7]
Figura 12: Efeito Gough-Joule em compressão[7]
Figura 13: Efeito Gough-Joule em cisalhamento[7]

10
3. Especificação da borracha utilizada na confecção dos corpos de prova
Para os ensaios experimentais, foram confeccionados corpos de prova, utilizando como
material a borracha de silicone preta rígida, da marca Redelease, um elastômero de silicone,
bicomponente, denso e resistente ao rasgo. Trata-se de um produto composto de base (líquido
viscoso) e catalisador, cujas propriedades típicas, definida pelo fabricante, encontram-se na
Tabela 1.
A preparação dos corpos de prova seguiu as determinações do fabricante. Inicialmente,
toda a sujeira e contaminantes foram removidos dos moldes, com álcool. Após a evaporação,
os moldes foram revestidos com vaselina sólida. Antes de iniciar a mistura, tanto a base de
silicone como o catalisador foram homogeneizados.
Em seguida, os dois componentes foram totalmente misturados manualmente na
proporção 20:1 (100 partes da base para 5 do catalisador, em peso). A mistura manual mostrou-
se satisfatória, quando foram adotados os cuidados para inibir a entrada de ar e a perda de
catalisador. A mistura foi feita à temperatura ambiente e completada em 2 minutos. Não foi
necessário fazer a desaeração a vácuo. Para evitar o aprisionamento de ar, a mistura catalisada
foi imediata e cuidadosamente despejada no molde, a partir de um dos cantos para preencher
todo o volume do molde.
A cura da mistura catalisada foi feita à temperatura ambiente e foi aguardada por, pelo
menos, 24 horas antes da borracha rígida ser desmoldada. Para que as propriedades mecânicas
máximas da borracha fossem atingidas, aguardou-se um período de pós-cura de 24 horas para
utilização dos corpos de prova nos ensaios.
PROPRIEDADES TÍPICAS Silicone líquido + Catalisador
Fabricante Redelease
Taxa de mistura, Base:Catalisador em peso 100:5
Cor da Mistura preto
Tempo de Trabalho até o início do processo de cura, minutos ≅ 8
Dureza após 24h, Shore A 50-60
Tempo de cura parcial, horas 4-6
Tempo de cura total, dias 5
Resistência à temperatura, graus celsius 360
Tabela 1: Propriedades do material utilizado na confecção dos corpos de prova

11
Modelo neo-Hookeano
O estudo do modelo neo-Hookeano [11] tem como objetivo a compreensão da influência
da não linearidade no comportamento dos materiais hiperelástico.
Existem na literatura diversos modelos que definem as propriedades mecânicas de
materiais hiperelásticos (borrachas, espumas, silicones,...) compressíveis10
e incompressíveis11
.
A modelagem destes materiais, por apresentarem um comportamento elástico não-
linear12
, emprega modelos constitutivos complexos, que se caracterizam pela existência de uma
função de energia interna de deformação, que, considerando que o material analisado seja
isotrópico13
, pode ser postulada em função dos invariantes de deformação (𝐼1𝑖) que podem ser
escritos em termos dos fatores de deformações principais do elemento estrutural (𝜆𝑖).
Mooney foi o primeiro a propor um modelo fenomenológico14
com dependência linear
do primeiro e segundo invariante de deformação (𝐼1, 𝐼2). A função da sua energia específica de
deformação (𝑊) é:
𝑊 = 𝐶1 (𝐼1 − 3) + 𝐶2 (𝐼2 − 3)
onde as constantes 𝐶𝑖 𝑠ão características do material determinadas no processo de calibração.
O primeiro modelo micromecânico15
proposto, conhecido como modelo neo-Hookeano,
consiste em um caso particular do modelo de Mooney, considerando 𝐶2 = 0. Sua função de
energia específica baseia-se apenas no primeiro invariante de deformação (𝐼1):
𝑊 = 𝐶1 (𝐼1 − 3)
sendo:
𝐼1 = 𝜆𝑥
2
+ 𝜆𝑦
2
+ 𝜆𝑧
2
Para simplificar a função de energia específica ( 𝑊 ), escreve-se os fatores de
deformações (𝜆𝑖) em função do fator de deformação principal axial (λ), que é a razão entre o
comprimento deformado (𝑙 ) e comprimento inicial (𝑙0) da barra. Assim o primeiro invariante é
igual a 𝐼1 = λ2
+ 1 𝜆
⁄ + 1 𝜆
⁄ 16 e a função de energia deformação (𝑊) é dada por:
𝑊 = 𝐶1 (λ2
+
2
𝜆
− 3)
Pelo elevado potencial de deformação e pela não linearidade do elemento de barra
hiperelástico, adota-se a deformação logarítmica (𝜀𝑙𝑛) do fator de deformação principal axial
(𝜆):
10 Materiais que alteram seu volume durante o processo de deformação/tensão.
11 Materiais que possuem a característica de permanecer com volume constante durante o processo de deformação.
12
Materiais hiperelásticos possuem relação não-linear entre tensão e deformação independentemente do nível de solicitação.
13 As propriedades mecânicas são as mesmas em todas direções.
14 Baseado na observação do comportamento do material durante os ensaios experimentais.
15 Desenvolvidos a partir de informações sobre as ligações químicas do material.
16
𝑙𝑥𝑙𝑦𝑙𝑧 = 𝑙0𝑥𝑙0𝑦𝑙0𝑧 
𝑙𝑥
𝑙0𝑥
=
𝑙0𝑦𝑙0𝑧
𝑙𝑦𝑙𝑧
 𝜆𝑥 =
1
𝜆𝑦
1
𝜆𝑧
 𝜆𝑥 =
𝐴0𝑦𝑧
𝐴𝑦𝑧
 𝜆 =
𝐴0
𝐴

12
𝜀𝑙𝑛 = ln(𝜆)
Para um coeficiente de Poisson constante (𝜈)17
, a deformação da seção transversal (𝜀𝑑)
é dada por:
𝜀𝑑 = −𝜈 ln(𝜆) = ln(𝜇)
sendo µ a raiz quadrada da razão entre a área deformada e a área inicial da seção18:
𝜇 = √𝐴 𝐴0
⁄
Pode-se então obter a seguinte expressão da área deformada do elemento (𝐴)19:
𝐴 = 𝐴0 𝜆−2𝜈
Considerando o coeficiente de Poisson (𝜈) do material incompressível 0,5, a relação
entre a área deformada e inicial da barra será:
𝐴 = 𝐴0 𝜆−1
A partir da variação infinitesimal da energia específica deformação do material (𝑑𝑊),
obtém-se a tensão de Cauchy (𝜎𝑙𝑛):
𝑑𝑊 = 𝜎𝑙𝑛 𝑑𝜀𝑙𝑛
logo, a tensão (𝜎𝑙𝑛)20:
𝜎𝑙𝑛 = 2𝐶1 (λ2
−
1
𝜆
)
Considerando que a barra do modelo neo-Hookeano, incompressível, submetida a uma
força axial 𝐹, temos21
:
𝐹 = 2𝐶1 𝐴0 (𝜆 −
1
λ2
)
Pela análise do Gráfico 1, verifica-se que para os mesmos valores de |F 𝐶1 𝐴0
⁄ |, o
alongamento da barra em tração (positivo) é muito superior a seu encurtamento na compressão
(𝜆).
17 O coeficiente de Poisson (𝜈) é razão entre a deformação transversal associada (e em sentido contrário, por isso o sinal
negativo) a uma deformação longitudinal na direção do esforço de aplicado a um material homogêneo e isotrópico
𝜈 = −
𝜀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
 𝜀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 = − 𝜈 𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
18 Considerando o coeficiente do material incompressível 𝜈 = 0,5 e λ = 𝐴0 𝐴
⁄
ln 𝜇 = − 1 2
⁄ ln 𝜆  ln 𝜇 = ln 𝜆−1 2
⁄
 𝜇 = 𝜆−1 2
⁄
 𝜇 = (𝐴0 𝐴
⁄ )−1 2
⁄
 𝜇 = √𝐴 𝐴0
⁄
19
ln 𝜇 = −𝜈 ln 𝜆  ln 𝜇 = ln 𝜆−𝜈
 𝜇 = 𝜆−𝜈
 (𝐴 𝐴0
⁄ )1 2
⁄
= 𝜆−𝜈
 𝐴 𝐴0
⁄ = 𝜆−2𝜈
 𝐴 = 𝐴0 𝜆−2𝜈
20
𝑊 = 𝐶1 λ2
+ 2𝐶1 λ−1
− 3𝐶1  𝑊′
= 2𝐶1 𝜆 − 2𝐶1 λ−2
 𝑊′
= 2𝐶1 (𝜆 − λ−2
)
𝜀𝑙𝑛 = ln(𝜆)  𝜀𝑙𝑛
′
= λ−1
𝑊′
= 𝜎𝑙𝑛 𝜀𝑙𝑛
′
 2𝐶1 (𝜆 − λ−2) = 𝜎𝑙𝑛 λ−1
 𝜎𝑙𝑛 = 2𝐶1 (
𝜆 − λ−2
λ−1 )  𝜎𝑙𝑛 = 2𝐶1 (λ2
− λ−1)
21
𝐹 = 𝐴 𝜎𝑙𝑛 𝐴 = 𝐴0 𝜆−1
𝜎𝑙𝑛 = 2𝐶1 (λ2
− λ−1)
𝐹 = 𝐴0 𝜆−1
2𝐶1 (λ2
− λ−1)  𝐹 = 2𝐶1 𝐴0 (𝜆 − λ−2)

13
Gráfico 1: Variação do parâmetro
𝐹
𝐶1 𝐴0
em relação ao fator de deformação 𝜆 [11]
A rigidez efetiva da barra (𝐶𝜆) é obtida derivando-se a tensão (𝜎𝑙𝑛)22 em relação à 𝜆:
𝐶𝜆 = 2𝐶1 (2𝜆 +
1
λ2
)
A relação entre 𝐶1 e o módulo de elasticidade (𝐸) é dada pelo limite da função da rigidez
da barra (𝐶𝜆) quando o fator de deformação λ tende a 1:
𝐸 = lim
𝜆→∞
2𝐶1 (2𝜆 +
1
λ2
) = 6𝐶1
Da análise do Gráfico 2, verifica-se que que a rigidez à compressão é superior rigidez à
tração (𝐶𝜆 𝐶1
⁄ ) para uma mesma variação de comprimento (𝑙 𝑙0
⁄ ):
Gráfico 2: Variação do parâmetro
𝐶𝜆
𝐶1
em relação ao fator de deformação 𝜆 [11]
4. Formulação
22
𝜎𝑙𝑛 = 2𝐶1 λ2
− 2𝐶1 λ−1
 𝜎𝑙𝑛
′
= 4𝐶1 𝜆 + 2𝐶1 λ−2
 𝜎𝑙𝑛′ = 2𝐶1 (2𝜆 − λ−2)

14
Este trabalho descreve a formulação utilizada para análise do comportamento não linear
de uma treliça de material hiperelástico neo-Hookeano23
; isotrópico e incompressível, sujeita a
cargas horizontais e verticais. Para avaliação do comportamento de uma treliça imperfeita,
foram consideradas imperfeições tanto de carga como na geometria da estrutura triangular [11].
Figura 14: Modelo da treliça imperfeita [11]
A linha tracejada da Figura 14 representa a estrutura perfeita, que na posição
indeformada possui altura ℎ0, base 2𝑏0, ângulo de abatimento 𝜃 e nó superior com liberdade
para deslocar-se nas direções x e y. As barras têm comprimento 𝑙0, área da seção transversal 𝐴0
e massa específica ρ.
Para a treliça geometricamente imperfeita, considera-se que a barra de cumprimento 𝑙1
tem a mesma inclinação 𝜃 da barra da treliça perfeita e que os comprimentos das projeções das
barras na direção x (𝑏1 𝑒 𝑏2) são alterados em função da imperfeição desejada, mantendo-se o
comprimento da base (𝑏1 + 𝑏2 = 2𝑏0). A Figura 14 adota uma alteração de 5% nestas
projeções.
A razão (𝑟) entre 𝑙1 𝑒 𝑙2 é definida por24
:
𝑟 =
𝑙1
𝑙2
=
sin (tan−1
(
𝑏1
𝑏2
tan(𝜃)))
sin(𝜃)
23 Para descrever o comportamento de um material neo-Hookeano, necessita-se apenas de uma constante elástica.
24 tan(𝛽) =
ℎ1
𝑏2
 tan−1
(
ℎ1
𝑏2
) = 𝛽 tan(𝜃) =
ℎ1
𝑏1
 ℎ1 = 𝑏1 tan(𝜃)
sin(𝜃) =
ℎ1
𝑙1
;  𝑙1 =
ℎ1
sin(𝜃)
sin(𝛽) =
ℎ1
𝑙2
 𝑙2 =
ℎ1
sin(𝛽)
𝑙1
𝑙2
=
sin(𝛽)
sin(𝜃)

𝑙1
𝑙2
=
sin(tan−1(
ℎ1
𝑏2
))
sin(𝜃)

𝑙1
𝑙2
=
sin(tan−1(
𝑏1 tan(𝜃)
𝑏2
))
sin(𝜃)

15
Para as imperfeições de carga, admite-se uma pequena componente de força
perpendicular à carga horizontal (𝑝𝑥) e vertical (𝑝𝑦) considerada. A Figura 15 ilustra uma
perturbação de carregamento da ordem de 1% (0,01 𝑝𝑖).
Figura 15: Imperfeição de carga estática vertical e horizontal [11]
Para o cálculo da Energia potencial total (𝚷), composta pela energia interna devido à
deformação das barras (U) e pela energia potencial das cargas externas (V), considera-se a
treliça imperfeita deformada (Figura 16), com a origem dos eixos cartesianos (𝑥, 𝑦) no nó
superior treliça perfeita.
𝛱 = 𝑈 + 𝑉
Figura 16: Modelo da treliça imperfeita deformada [11]

16
O fator de deformação 𝜆𝑖
25 para cada barra da unidade triangular 𝑙1
′ 26 e 𝑙2
′ 27 é dado por:
𝜆1 =
√(ℎ0 − 𝑦)2 + (𝑏0 + 𝑥)2
𝑙1
𝜆2 =
√(ℎ0 − 𝑦)2 + (𝑏0 − 𝑥)2
𝑙2
A Energia interna de deformação das barras (U), obtida a partir da geometria da Figura
14 com base na função neo-Hookeana da energia específica de deformação28
, é dada por:
𝑈 = 𝐶1 𝐴0 𝑙1 (𝜆1
2
+
2
𝜆1
− 3) + 𝐶1 𝐴0 𝑙2 (𝜆2
2
+
2
𝜆2
− 3)
𝑈 = 𝐶1 𝐴0 𝑙1 (
(ℎ0 − 𝑦)2
+ (𝑏0 + 𝑥)2
𝑙1
2 +
2𝑙1
√(ℎ0 − 𝑦)2 + (𝑏0 + 𝑥)2
− 3)
+ 𝐶1 𝐴0 𝑙2 (
(ℎ0 − 𝑦)2
+ (𝑏0 − 𝑥)2
𝑙2
2 +
2𝑙2
√(ℎ0 − 𝑦)2 + (𝑏0 − 𝑥)2
− 3)
Adotando-se as variáveis 𝛼𝑦 =
𝑦
ℎ0
e 𝛼𝑥 =
𝑥
𝑏0
, graus de liberdade do modelo, tem-se:
𝑈 = 𝐶1 𝐴0
𝑏1𝑙0
𝑏0
(
(ℎ0 − 𝛼𝑦ℎ0)
2
+ (𝑏0 + 𝛼𝑥𝑏0)2
(
𝑏1𝑙0
𝑏0
)
2 +
2
𝑏1𝑙0
𝑏0
√(ℎ0 − 𝛼𝑦ℎ0)
2
+ (𝑏0 + 𝛼𝑥𝑏0)2
− 3
)
+ 𝐶1 𝐴0
𝑏1𝑙0
𝑏0𝑟
(
(ℎ0 − 𝛼𝑦ℎ0)
2
+ (𝑏0 − 𝛼𝑥𝑏0)2
(
𝑏1𝑙0
𝑏0𝑟
)
2
+
2
𝑏1𝑙0
𝑏0𝑟
√(ℎ0 − 𝛼𝑦ℎ0)
2
+ (𝑏0 − 𝛼𝑥𝑏0)2
− 3
)
29
25
𝜆𝑖
= 𝑙𝑖
′
𝑙𝑖
26
𝑙1
′ 2
= (ℎ0 − 𝑦)2
+ (𝑏0 + 𝑥)2
27
𝑙2
′ 2
= (ℎ0 − 𝑦)2
+ (𝑏0 − 𝑥)2
28
𝑊 = 𝐶1 (λ2
+
2
𝜆
− 3)
29 𝑙1
𝑙0
=
𝑏1
𝑏0
 𝑙1 =
𝑏1 𝑙0
𝑏0
𝑙1
𝑙2
= 𝑟  𝑙2 =
𝑙1
𝑟
 𝑙2 =
𝑏1 𝑙0
𝑏0 𝑟

17
𝑈
= 𝐶1 𝐴0
𝑏1𝑙0
𝑏0
(
(
𝑏0
𝑏1
)
2
((𝑠𝑖𝑛(𝜃) − 𝛼𝑦 𝑠𝑖𝑛(𝜃))
2
+ (𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜃))2
)
+
𝑏1
𝑏0
2
√(𝑠𝑖𝑛(𝜃) − 𝛼𝑦 𝑠𝑖𝑛(𝜃))
2
+ (𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜃))2
− 3
)
+ 𝐶1 𝐴0
𝑏1𝑙0
𝑏0𝑟
(
(
𝑏0𝑟
𝑏1
)
2
((𝑠𝑖𝑛(𝜃) − 𝛼𝑦 𝑠𝑖𝑛(𝜃))
2
+ (𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜃))2
)
+
𝑏1
𝑏0𝑟
2
√(𝑠𝑖𝑛(𝜃) − 𝛼𝑦 𝑠𝑖𝑛(𝜃))
2
+ (𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜃))2
− 3
)
A equação acima aplica-se também à treliça perfeita. Neste caso, 𝑏1 = 𝑏0 e 𝑟 = 1.
A Energia potencial das cargas externas (V) para cada situação de carregamento
estático (𝑝𝑖) com imperfeições de carga (0,01 𝑝𝑖) é definida por30:
𝑉
𝑥 = −𝑝𝑥 𝑙0 cos(𝜃) (𝛼𝑥 − (
𝑏1
𝑏0
− 1) 31) − 0,01𝑝𝑥 𝑙0 sin(𝜃) (𝛼𝑦 − (
𝑏1
𝑏0
− 1))
𝑉
𝑦 = −𝑝𝑦 𝑙0 sen(𝜃) (𝛼𝑦 − (
𝑏1
𝑏0
− 1)) − 0,01𝑝𝑥 𝑙0 cos(𝜃) (𝛼𝑥 − (
𝑏1
𝑏0
− 1))
A equação acima aplica-se também à treliça perfeita. Neste caso, 𝑏1 = 𝑏0
32.
A Figura 17, abaixo, detalha o deslocamento de uma partícula de comprimento
infinitesimal (𝑑𝑠𝑖) da barra 𝑙i com massa33
por unidade de comprimento 𝑑𝑚𝑖 = 𝜌 𝐴0𝑑𝑠𝑖
34,
de 𝑥𝑖
′
e 𝑦𝑖
′
.
30
𝑉 = −𝑊
𝑊 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑥 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑥 𝑐𝑜𝑠(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
Deslocamento no mesmo sentido e direção da força  o ângulo formado é zero (cos(00) = 1).
31 𝑏1
𝑏0
− 1 =
1,05𝑏0−𝑏0
𝑏0
= 0,05
32
𝑉
𝑥 = −𝑝𝑥 𝑙0 cos(𝜃) 𝛼𝑥 − 0,01𝑝𝑥 𝑙0 sin(𝜃) 𝛼𝑦
𝑉
𝑥 = −𝑝𝑥 𝑏0 𝛼𝑥 − 0,01𝑝𝑥 ℎ0 𝛼𝑦
𝑉
𝑥 = −𝑝𝑥𝑥 − 0,01𝑝𝑥 y
33
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑥 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
34
𝜌 – massa específica do material neo-Hookeano da barra;
𝐴0 – área da seção transversal da barra indeformada e
𝑑𝑠𝑖 – comprimento infinitesimal da barra indeformada.

18
Figura 17: Deslocamento de 𝑥1
′
e 𝑦1
′
de um comprimento infinitesimal (𝑑𝑠1) da barra 𝑙1[11]
A energia cinética da partícula é dada por35
:
𝑑𝑇 =
𝑑𝑚𝑖
2
(𝑥̇𝑖
′2
+ 𝑦̇𝑖
′2
)
onde 𝑥̇𝑖
′
e 𝑦̇𝑖
′
são as respectivas velocidades relativas aos deslocamentos 𝑥𝑖
′
e 𝑦𝑖
′
da massa 𝑑𝑚𝑖.
A massa da partícula infinitesimal deformada é igual à da indeformada, em vista do
material da barra ser incompressível, assim:
𝑑𝑚𝑖 = 𝜌 𝐴0 𝑑𝑠𝑖 = 𝜌 𝐴𝑖 𝑑𝑠𝑖
′
= 𝜌
𝐴0
𝜆𝑖
𝜆𝑖 𝑑𝑠𝑖
Os deslocamentos 𝑥1
′
e 𝑦1
′
referente à barra 𝑙1 são dados por:
𝑥1
′
= 𝑠1 (
𝜆1(𝑏1 + 𝑥 𝑏1 𝑏0
⁄ )
𝜆1𝑙1
−
𝑏1
𝑙1
)
𝑦1
′
= 𝑠1 (
ℎ0𝑏1 𝑏0
⁄
𝑙1
−
𝜆1(ℎ0𝑏1 𝑏0
⁄ − 𝑦 𝑏1 𝑏0
⁄ )
𝜆1𝑙1
)
Os deslocamentos 𝑥2
′
e 𝑦2
′
referente à barra 𝑙2 são dados por:
𝑥2
′
= 𝑠2 (
𝑏2
𝑙2
−
𝜆2(𝑏2 − 𝑥 𝑏1 𝑏0
⁄ )
𝜆2𝑙2
)
35
𝑇 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑥 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒2
2
 o trabalho da força é igual à variação da energia cinética (𝑑𝑇).

19
𝑦2
′
= 𝑠2 (
ℎ0𝑏1 𝑏0
⁄
𝑙2
−
𝜆2(ℎ0𝑏1 𝑏0
⁄ − 𝑦 𝑏1 𝑏0
⁄ )
𝜆2𝑙2
)
Derivando-se os deslocamentos 𝑥𝑖
′
e 𝑦𝑖
′
em relação ao tempo, obtém-se as velocidades
𝑥̇𝑖
′
e 𝑦̇𝑖
′
:
𝑥̇1
′
= 𝑠1 (
𝑥
𝑙0
̇
)
𝑦̇1
′
= 𝑠1 (
𝑦
𝑙0
̇
)
𝑥̇2
′
= 𝑠2 (
𝑥̇𝑟
𝑙0
)
𝑦̇2
′
= 𝑠2 (
𝑦̇𝑟
𝑙0
)
Assim, a partir da equação da energia cinética da partícula36
, obtém-se a energia cinética
do sistema estrutural imperfeito:
𝑇 =
𝜌 𝐴0
2𝑙0
2 ∫ 𝑠1
2
𝑙1
0
𝑑𝑠1 (ẋ2
+ ẏ 2) +
𝜌 𝐴0 𝑟2
2𝑙0
2 ∫ 𝑠2
2
𝑙2
0
𝑑𝑠2 (ẋ2
+ ẏ 2)
A energia cinética para a treliça pode ser obtida, integrando-se a equação:
𝑇 =
𝜌 𝐴0
2 𝑙0
2 (𝑥̇2
+ 𝑦̇2
) ∫ 𝑠1
2
𝑙1
0
𝑑𝑠1 +
𝜌 𝐴0 𝑟2
2 𝑙0
2 (𝑥̇2
+ 𝑦̇2
) ∫ 𝑠2
2
𝑙2
0
𝑑𝑠2
Adotando-se as velocidades adimensionais 𝛼̇𝑥 =
𝑥̇
𝑏0
e 𝛼̇𝑦 =
𝑦̇
ℎ0
:
𝑇 =
𝑚
2𝑙0
3 ((𝛼̇𝑥 𝑏0)2
+ (𝛼̇𝑦 ℎ0)
2
)
𝑠1
3
3
| 𝑙1
0
+
𝑚 𝑟2
2𝑙0
3 ((𝛼̇𝑥 𝑏0)2
+ (𝛼̇𝑦 ℎ0)
2
)
𝑠2
3
3
| 𝑙2
0
37
𝑇 =
𝑚
2 𝑙0
3 ((𝛼̇𝑥 𝑙0 cos(𝜃))2
+ (𝛼̇𝑦 𝑙0 sin(𝜃))
2
)
𝑙1
3
3
+
𝑚 𝑟2
2 𝑙0
3 ((𝛼̇𝑥 𝑙0 cos(𝜃))2
+ (𝛼̇𝑦 𝑙0 sin(𝜃))
2
)
𝑙2
3
3
38
𝑇 =
𝑚
6𝑙0
3 (𝛼̇𝑥
2
𝑙0
2
cos2(𝜃) + 𝛼̇𝑦
2
𝑙0
2
sin2(𝜃)) (
𝑏1 𝑙0
𝑏0
)
3
+
𝑚 𝑟2
6 𝑙0
3 (𝛼̇𝑥
2
𝑙0
2
cos2(𝜃) + 𝛼̇𝑦
2
𝑙0
2
sin2(𝜃)) (
𝑏1 𝑙0
𝑏0𝑟
)
3
39
36
𝑑𝑇 =
𝜌 𝐴0𝑑𝑠𝑖
2
(𝑥̇𝑖
′2
+ 𝑦̇𝑖
′2
)
37
𝑚 = 𝜌 𝐴0 𝑙0
38
Ver nota 8.
39
Ver nota 7.

20
𝑇 =
𝑚 𝑙0
2
6
(
𝑏1
𝑏0
)
3
(𝛼̇𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝛼̇𝑦
2
𝑠𝑖𝑛2(𝜃))
+
𝑚 𝑙0
2
6𝑟
(
𝑏1
𝑏0
)
3
(𝛼̇𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝛼̇𝑦
2
𝑠𝑖𝑛2(𝜃))
O amortecimento de Rayleigh, proporcional à massa e à rigidez efetiva linear do corpo,
é utilizado para representar a dissipação de energia do sistema.
Para um sistema com amortecimento proporcional à massa, o amortecimento para o 𝑛-
ésimo modo de amortecimento (𝑐𝑛) é:
𝑐𝑛 = 𝑎0 𝑀𝑛
onde 𝑎0, para qualquer modo de vibração 𝑖, depende do coeficiente modal de amortecimento
(ζ𝑖) e é proporcional à frequência natural de vibração da estrutura (𝜔𝑖), da seguinte forma:
𝑎0 = ζ𝑖 2 𝜔𝑖
De maneira semelhante, para o amortecimento proporcional à rigidez da estrutura,
relacionado com o coeficiente 𝑎1, tem-se que:
𝑐𝑛 = 𝑎1 𝐾𝑛
Onde, para qualquer modo de vibração 𝑗, 𝑎1 depende do coeficiente de amortecimento
(ζ𝑗) e inversamente é proporcional à frequência natural associada (𝜔𝑗):
𝑎1 = ζ𝑗
2
𝜔𝑗
O modo amortecimento de Rayleigh considera os efeitos de massa e de rigidez agindo
juntos em um mesmo sistema, da seguinte forma:
𝑐 = 𝑎0 𝑴 + 𝑎1 𝐾
Considerando a ação conjunta dos efeitos de massa e rigidez, o coeficiente de
amortecimento pode ser obtido pela soma algébrica dos coeficientes 𝜁𝑛 associado à massa40
e à
rigidez41
. Colocando-se em forma matricial as equações resultantes, considerando os modos 𝑖
e 𝑗 42
, tem-se:
1
2 |
|
1
𝜔𝑖
𝜔𝑖
1
𝜔𝑗
𝜔𝑗
|
| {
𝑎0
𝑎1
} = {
ζ𝑖
ζ𝑗
}
40
𝜁𝑛 =
1
2𝜔𝑛
𝑎0
41
𝜁𝑛 =
𝜔𝑛
2
𝑎1
42 1
2𝜔𝑛
𝑎0 +
𝜔𝑛
2
𝑎1 = 𝜁𝑛
1
2𝜔𝑖
𝑎0 +
𝜔𝑖
2
𝑎1 = 𝜁𝑖
1
2ωj
𝑎0 +
𝜔𝑗
2
𝑎1 = 𝜁𝑗

21
A partir deste sistema, os coeficientes 𝑎0 e 𝑎1 são definidos como proporcionais às
frequências naturais de vibração (𝜔) associadas a cada modo de amortecimento, 𝑖 e 𝑗, da
seguinte forma43
:
𝑎0 = ζ
2 𝜔𝑖 𝜔𝑗
𝜔𝑖 + 𝜔𝑗
44
𝑎1 = ζ
2
𝜔𝑖 + 𝜔𝑗
45
A Figura 18 apresenta o gráfico da variação dos modos de amortecimento com a
frequência natural para um sistema com amortecimento proporcional à massa; proporcional à
rigidez da estrutura e proporcional à massa e à rigidez (amortecimento de Rayleigh).
(18.a) (18.b)
Figura 18: Variação dos modos de amortecimento com a frequência natural:
(18.a) amortecimento proporcional à massa e proporcional a rigidez;
(18.b) amortecimento de Rayleigh [11]
43
Assume-se um coeficiente de amortecimento constante (ζ) para diferentes modos de vibração.
44
𝜁 = (
1
2ω𝑖
+
1
2ω𝑗
) 𝑎0  𝜁 = (
ω𝑖 + ω𝑗
2 ω𝑖 ω𝑗
) 𝑎0
45
𝜁 = (
ω𝑖
2
+
ω𝑗
2
) 𝑎1  𝜁 = (
ω𝑖 + ω𝑗
2
) 𝑎1

22
5. Conclusões
O estudo teórico e experimental permitiu uma maior compreensão dos efeitos da não
linearidade no comportamento de Materiais Hiperelásticos submetidos a deslocamentos e
deformações.
O estudo iniciou-se com a análise teórica e prática das características e propriedades
mecânicas de materiais hiperelásticos, em especial da borracha.
Em seguida, estudou-se uma barra constituída por material neo-Hookeano, submetida a
um carregamento axial, com vistas a analisar a influência da não linearidade do material
hiperelástico destacando-se a diferença no seu comportamento quando submetida à tração e
compressão.
Por fim, para investigar o comportamento não linear, a estabilidade e as vibrações de uma
treliça neo-Hookeana, derivou-se uma formulação geral, considerando-se o carregamento
estático vertical e horizontal e as imperfeições de carga e na geometria da estrutura da treliça,
que possibilita o estudo em treliças com diferentes ângulos de abatimento e imperfeições.
6. Referências Bibliogáficas
1 - CAETANO, M. A Borracha Como Material de Engenharia. Disponível em:
<https://www.ctborracha.com/artefactos/a-borracha-como-material-de-engenharia/>.
Acesso em 01 set. 2019.
2 - CAETANO, M. A Borracha em solicitações Estáticas de Tracção, Compressão, Corte e
Torção. Disponível em: < https://www.ctborracha.com/artefactos/a-borracha-como-
material-de-engenharia/a-borracha-em-solicitacoes-estaticas-de-traccao-compressao-
corte-e-torcao/ > Acesso em 01 set. 2019.
3 - CAETANO, M. A Relações Matemáticas entre Tensões e Deformações em Regime
Estático. Disponível em: <https://www.ctborracha.com/artefactos/a-borracha-como-
material-de-engenharia/relacoes-matematicas-entre-tensoes-e-deformacoes-em-
regime-estatico/>. Acesso em 01 set. 2019.
4 - CAETANO, M. A Dureza da Borracha. Disponível em:
<https://www.ctborracha.com/borracha-sintese-historica/propriedades-das-borrachas-
vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-mecanicas/dureza/>. Acesso em 01 set.
2019.
5 - CAETANO, M. Coeficiente de Poisson. Disponível em:
vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-mecanicas/coeficiente-de-poisson/>.
Acesso em 01 set. 2019.
6 - CAETANO, M. Módulo de Elasticidade, Módulo de Young, Módulo ao Corte e Módulo
de Compressibilidade. Disponível em: <https://www.ctborracha.com/borracha-sintese-
historica/propriedades-das-borrachas-vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-
mecanicas/modulos/>. Acesso em 01 set. 2019.
7 - CAETANO, M. O Efeito Gough-Joule. Disponível em:
<www.ctborracha.com/artefactos/o-efeito-gough-joule/>. Acesso em 01 set. 2019.

23
8 - CAETANO, M. Propriedades Mecânicas da Borracha. Disponível em:
vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-mecanicas/>. Acesso em 01 set. 2019.
9 - CAETANO, M. Resiliência da Borracha. Disponível em:
vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-mecanicas/resiliencia/>. Acesso em 01
set. 2019.
10 - CAETANO, M. Tensão de Rotura e Alongamento na Rotura. Disponível em:
vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-mecanicas/tensao-e-alongamento-na-
rotura/>. Acesso em 01 set. 2019
11 - FONSECA, F. Comportamento não linear, bifurcações e instabilidade de uma treliça
hiperelástica, Rio de Janeiro. 2018. 152p. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.
12 - GUERREIRO, L. Comportamento de Materiais Estruturais – Comportamento de Blocos
de Elastómero (Borrachas), Lisboa, 2003. 46p Dissertação de Mestrado – Mestrado de
Engenharia de Estruturas do Instituto Superior Técnico.
13 - MASCIA, N. Teoria das Deformações. Campinas, 2006 (Revisão 2017). 30p.
Universidade Estadual de Campinas.
14 - SANCHES, J. Dilatação da Borracha devido a Pressão. III CIPEEX - Congresso
Internacional de Pesquisa, Ensino e Extensão. Anápolis. 2018. 7p. Centro Universitário
de Anápolis.

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