Maquinas de fluido: título conciso e otimizado

ERICO ANTONIO LOPES HENN
MAQUINAS DE FLUIDO
2• Eorc;Ao
editoraufsm
2006
~--------·-~--
ERICO ANTONIO LoPES HENN
MAQUINAS DE FLUIDO
2• Eorc;Ao
editoraufsm
2006

UNIVERSTDADEFEDERALDESANTAMARlA
Reitor Clovis SilvaLlma
Vice-reitor Felipe Martins Miillcr
DireZurda Edifora Honorio Rosa Nascimento
Crm.,·dho Editorial Aleir Fontana De Paris
A11dh.1·e e revi.1·iio de lexlo
Edilorariio de texlo
Capa
Carlos Alberto da Fonseca Pires
Daniela Lopes dos Santos
Eduardo Furtado Flores
Haroldo Dalla Costa
Hon6rio Rosa Nascimento
Jorge Luiz da Cunha
Leris Salete B. Haefnner
Odemir Paim Peres Junior
Ronai Pires da Rocha
Silvia Carneiro Lobato Paraense
Mar1stela Blirger Rodrigues
DR Publicidade
Mllrcio de Oliveira Soriano
H5 I 5m Henn, Erico Ant6nio Lopes
Miiquinas de fluido I Erico Ant6nio Lopes Henn
. - 2_ ed. - Santa Maria : Ed. da UFSM, 2006.
474p.: ii. , 23 cm.
l. Engenharia mecfinica 2. Miiquinas de fluido
3. Miiquinas de fluxo 4_ Miiquinas de deslocamento
positivo I. Titulo.
ISBN 85-7391-075-5
CDU 621.6
Ficha catalognifica elaborada por Maristela Eckhardt CRB-10/737
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e-mail: editora@ctlab.ufsm br
www.ufsm.br/ed1torn
"Antes o desafio de uma juventude questionadora,
que ainda sonha, do que a presen<;a resignada de
}ovens que j6. nao sonham mais."
A
Nara,
Leonardo,
Rafael e
Camila

5 Semelhan9a e Grandezas Adimensionais ............................................. 95
5.1 Milquinas de fluxo semelhantes ........................................................ 96
5.2 Grandezas unitatias ....................................~,':.................................. 100
5.3 Velocidade de rota91io esp.ecffica ................................................... 108
5.4 Coeficientes adimensionais ........................................................... 113
lNDICE 5.5 Exercfcios resolvidos ..................................................................... 116
5.6 Exercfcios propostos ...................... .............. ......... 123
6 Cavita9ao e Choque S6nico .................................................................. 127
6.1 Defini9i'io de cavita9ao .............................. ............................... 128
Pref<icio ........................................................................................................ 11
Sfmbolos adotados ........................................................................................ 13.
Subfndices utilizados .................................................................................... 21
Convers1io de unidades ................................................................................. 23
1 Introdm;;ao ... ....................................................................................... 25
1.1 Definii;ilo de m<iquina de fluido....................................................... 27
1.2 Tipos principais ................................................................................ 28
1.3 Campo de aplica9ao ......................................................................... 28
1.4 Grandezas fundamentais: energia, vazao e potencia......................... 33
1.4.1 Energia........................................................................................... 33
1.4.2 Vazao............................................................................................. 40
1.4.3 Potencia........................................................................................ 41
2 M<'iquinas de Fluxo ................................................................................. 43
6.2 Coeficiente de cavita9ao ................................................................. 133
6.3 NPSH e altura de suc9ao mcixima ................................................. 135
6.4 Choque s6nico ................................................................................ 143
6.5 Limite s6nico ........................................................ ............... 146
6.6 Exercfcios resolvidos ......................................................... 150
6.7 Exercicios propostos ...................................................................... 157
7. Empuxos Axial e Radial ....................................................................... 161
7.1 Empuxo axial em rotores axiais ..................................................... 162
7.2 Empuxo axial em rotores radiais ........................................... .. 166
7.3 Compensa9ao do empuxo axial em rotores radiais ........................ 169
7.4 Empuxo radial .............................................................................. 174
7.5 Exercfcios resolvidos ..................................................................... 177
7.6 Exercfcios propostos ..................................................................... 182
8 Caracterfsticas de Funcionamento de Turbinas Hidraulicas ................. 185
2.1 Elementos construtivos..................................................................... 43
2.2 Classifica9ao das maquinas de fluxo................................................ 45
2.2.1 Segundo a dire9ao da convers1io de energia.................................. 45
2.2.2 Segundo a forma dos canais entre pas do rotor............................. 48
2.2.3 Segundo a trajet6ria do fluido no rotor.......................................... 49
3 Equa91io Fundamental das Maquinas de Fluxo ...................................... 51
8.1 Centrais hidreletricas ...................................................................... 186
8.2 Golpe de arfete e regulagem das turbinas hidr<'iulicas ..................... 189
8.3 Curvas caracterfsticas de turbinas hidrciulicas ................................ 192
8.4 Exercfcios resolvidos ...................................................................... 208
8.5 Exercfcios propostos ..................................................................... 213
9 Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo .................. 217
3.1 Triiingulo de velocidades .................................................................. 51
3.2 Equa9ao fundamental para niimero infinito de pas .......................... 60
3.3 Fator de deficiencia de potencia....................................................... 67
3.4 Grau de rea91io te6rico ...................................................................... 68
4 Perdas de Energia em Maquinas de Fluxo .............................................. 71
4.1 Tipos de perdas ............................................................................... 72
4.2 Potencias e rendimentos em maquinas de fluxo ............................... 78
4.3 Grau de rea9ao real ........................................................................... 84
4.4 Exercfcios resolvidos ........................................................................ 85
4.5 Exercicios propostos ........................................................................ 92
9. 1 Curva te6rica e curva real ............................................................... 217
9.2 Determina9ao do ponto de funcionamento ..................................... 226
9.3 Tipos de curvas e fatores que as modificam ................................... 231
9.4 Exercfcios resolvidos ...................................................................... 249
9.5 Exercfcios propostos. ......................................................... .... 259
l0 Associa91io de Geradores em Serie e em Paralelo ............................... 263
10.1 Tubula96es mistas e mUltiplas ...................................................... 264
I0.2 Associa91io de geradores em paralelo ........................................... 266
I0.3 Associmrao de geradores em serie ..................................... ...... 268
10.4 Exercfcios resolvidos ......................................................... ..... 272

10.5 Exercicios propostos .................................................................... 279
11 Particularidades no Funcionamento de Geradores de Fluxo ................. 283
',
11.1 Instabilidade ...............................................,................................ 283
11.2 Funcionamento de gerador~s com curva caracteristica inst<ivel .. 286
11.3 Influencia da viscosidade do fluido em bombas ........................... 289
11.4 Efeito da compressibilidade nos turbocompressores .................... 294
12 C<ilculo de Rotores Radiais .................................................................. 301
12. l Influencia da fonna da pa ............................................................. 301
12.2 Modificm;ao dos tri3.ngulos de velocidades em uma m<iquina real ... 312
12.2.1 Influencia do nllmero finito de pas ............................................ 312
12.2.2 Influencia da espessura das plis ................................................. 321
12.3 Roteiro para c<ilculo de um rotor radial ........................................ 325
13 C<ilculo de Rotores Axiais .................................................................... 347
13.1 Fundamentos da teoria aerodin§.mica ........................................... 347
13.2 Modelos de escoamento utilizados no projeto de rotores axiais .. 361
13.3 Escoamento atraves de uma grade ................................................ 367
13.4 Aplicar;iio da teoria aerodin§.mica as m<iquinas axiais .................. 371
13.5 Roteiro para c<ilculo de um rotor axial ......................................... 377
14 M<iquinas de Deslocamento Positivo .................................................... 401
14.1 Bombas de deslocamento positivo .............................................. 402
14.1.1 Bombas de embolo OU pistfio .................................................... 403
14.1.1.1 Cavitar;ao nas bombas alternativas de pistao....................... 409
14.1.2 Bombas de diafragma ..............................................................413
14.1.3 Bambas de engrenagens ............................................................ 414
14.l.4 Bambas de parafuso ..........................................................,....... 419
14.1.5 Bombas de l6bulos ................................................................... 422
14.1.6 Bombas de palhetas ............................................................. 425
14.2 Curvas caracteristicas de bombas de deslocamento positivo ...... 426
14.3 Compressores de deslocamento positivo ...................................... 433
14.3.l Compressores de embolo OU pistao ......................................... 433
14.3.2 Cotnpressores de diafragma ou membrana ........................... 442
14.3.3 Compressores de palhetas ....................................................... 443
14.3.4 Compressores de parafuso....................................................... 446
14.3.5 Compressores de 16bulos (Roots).............................................. 448
14.3.6 Compressores de anel lfquido ................................................... 449
14.4 Exercfcios resolvidos .................................................................... 451
14.5 Exercfcios propostos .................................................................... 458
indice remissivo .......................................................................................... 463
Bibliografia ................................................................................................. 471
_ __j

PREFACIO
Este livro apresenta o texto b3sico da disciplina M3quinas de Fluido
ministrada pelo autor aos alunos dos cursos de gradua9ao em Engenharia
Mec&nica e Engenharia Qulmica da Universidade Federal de Santa Maria.
0 contelldo desta publica9ao, como o pr6prio programa da disci-
plina, busca fornecer os principios da teoria cl3.ssica sabre este tipo de
mri.quina e, dentro de um enfoque did<itico, facilitar o uso destes
conhecimentos na pr3.tica do dia-a-dia do futuro profissional de
engenharia. Com este objetivo, foram inclufdos exemplos de aplicai;ao
no final de varios capltulos, com a utilizar;ao de tabelas e curvas de
funcionamento fomecidas por fabricantes. Normalmente seni utilizado
o Sistema Internacional de Unidades, oficial no Brasil desde 1962,
fazendo-se, em algumas situa95es, a sua correla9ao com outros sistemas
de unidades freqiientemente encontrados nas publica95es recnicas.
Na abordagem dos principais tipos de M<iquinas de Fluido, as
M3.quinas de Fluxo e as M3.quinas de Deslocamento Positivo, a enfase
e para as Miiquinas de Fluxo, particularmente para as que trabalham
com fluidos em escoamento incompressivel, onde o autor se ap6ia na
experi@ncia de viirios anos como professor, projetista e consultor de
empresas.
0 capftulo sabre as Miquinas de Deslocamento Positivo toma-se
indispensiivel principalmente quando se procura subsidiar o processo
de selei;ao do tipo mais adequado de miiquina a ser empregado num
sistema fluido-mec&nico. Embora a predomin&ncia das M<lquinas de
Fluxo no transporte de fluidos, por exemplo, existem situa95es em que
a melhor solui;ao recai sobre uma M:iquina de Deslocamento Positivo.
Saber discernir sobre a aplica9ao de um tipo ou outro e pre-requisito
exigido tanto para um engenheiro mec§.nico como para um engenheiro
qufmico. Por outro lado, o compromisso com o desenvolvimento
tecnol6gico do pals toma imprescindivel a formai;ao de um profissional
12 Mdquinas de Fluido
nao s6 capaz de usar corretamente m3.quinas jii existentes, 1nas tambem
apto a utilizar o meto<lo cientffico para o proje~de novos equipamentos.
A presen9a de capftulos que fomecem uma primeira orientai;ao para
o projeto de rotores de miiquinas de fluxo e as freqtientes cita96es
bibliogriificas durante o texto procuram motivar o aluno para um apro-
funda1nento sobre o assunto, nffo se restrinjindo ao contelldo abordado
em sala de aula ou as p3.ginas de uma apostila. A coloca9ao entre
parCnteses do significado em ingl@s dos principais termos tecnicos utili-
zados te1n a pretensao de facilitar o acesso do estudante as publica95es
internacionais e indicar a importancia, cada vez maior, para um profi.s-
sional da :irea de engenharia, do conhecimento de uma lingua univer-
sahnente utilizada para o intercimbio tecnico-cientffico.
A simbologia e as conveni;Oes utilizadas neste livro sao as intro-
duzidas por Bran & Souza, 1
precursores, no Brasil, do tratamento
conjunto <las M:iquinas de Fluxo em uma Unica disciplina.
Ao submeter a presente obra aaprecia9ao de professores, alunos, e
profissionais que venham a trabalhar sobre o tema, o autor espera a
contribui-;ffo critica que possa levar ao seu aperfei-;oamento.
Registre-se, aqui, o reconhecimento do autor aos professores: Ennio
Cruz da Costa, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Lucio
Renn6 Salomon e Zulcy de Souza, da Escola Federal de Engenharia de
ltajub:i, com quern teve a honra de conviver e que despertaram seu
interesse por esta area academica, pelo conhecimento, entusiasmo e
dedica93.o; aos colegas do Centro de Tecnologia da UFSM e aos seus
ex-alunos, pela convivencia amiga e motivadora, ea Editora da UFSM,
por tomar passive! a editora9ao desta obra.
' BRAN, R. & SOUZA, Z. de.. Mriquinas dejluxo.

.
SfMBOLOS ADOTADOS
Na lista apresentada a seguir alguns simbolos representam mais de
u1na grandeza. Neste caso, o significado especffico eesclarecido no local
onde figuram no texto.
A iirea.
a grau de abertura do sistema diretor de uma turbina hidr<lulica
ou fator de redu9ao da velocidade do vento em turbinas e6licas.
b largura do rotor ou envergadura do perfil aerodinfimico.
Ca coeficiente de arrasto de um perfil aerodinfimico.
CH coeficiente de corre9ao da altura de eleva9ao devido avisco-
sidade do tluido.
c
cm
calor especifico apressiio constante do tluido de trabalho.
coeficiente de sustenta9ao de um perfil aerodinfimico.
calor especifico a volume constante do fluido de trabalho.
coeficiente de correyao de rendimento devido aviscosidade
do fluido.
velocidade absoluta da corrente fluida.
componente meridiana da velocidade absoluta da cor-
rente fluida.
velocidade de propaga9ao do som no meio considerado.
componente tangencial da velocidade absoluta da cor-
rente fluida.
velocidade absoluta da corrente nao perturbada.
vetor velocidade absoluta da origem do sistema de coor-
denadas relativo.
difimetro do rotor, difunetro do pistiio ou difrmetro da tubulayao.
difimetro exterior das nervuras de compensayao do empuxo
axial.
14
d
e
e,
F
F,,
F
'
f
f,
G
g
H
h
i'
]'
Mdquinas de Fluido
derivada, diferencial ou difimetro da haste do pistao de
m3quina altemativa.
difrmetro do eixo.
di3.metro do jato de'uma turbina Pelton.
distfincia entre centros ou excentricidade.
energia perdida por fugas.
energia especifica referente as perdas hidraulicas.
perdas de energia por choque.
espessura da pa ou fator de engrossamento de um perfil
aerodinimico.
espessura da pa medida na direyao tangencial.
forya.
forya de arrasto ou empuxo axial.
forya de sustentas;ao.
coeficiente de atrito, freqtiencia de m<iquina el6trica ou flecha.
fator de estrangulamento.
peso.
acelerayao da gravidade.
altura de elevayao de m<'iquinas geradoras ou altura de queda
de m<'iquinas motoras.
altura ou energia especifica de acelera98.o.
desnivel geometrico entre dois pontos.
altura nominal.
perda de carga em metros de coluna de fluido.
perda de carga no recalque.
perda de carga na sucyao.
altura de sucyao geometrica.
altura de sucyao geometrica maxima.
perda de carga na vrilvula de sucyao de m<iquinas de deslo-
camento altemativas.
entalpia do fluido.
nllmero de est<igios de uma m<lquina de fluido ou nllmero
de parafusos movidos de uma mriquina de deslocamento
positivo de parafuso.
vetor unitririo do sistema relativo correspondente ao eixo x'.
vetor unitirio do sistema relativo correspondente ao eixo y'.

Sf1nholos Adotados 15
K
k
k'
L
m
mf
ril,
N
NP!PA
NPIPR
NPSH,
NPSH,
n
n,
n,,
n,
n
'
coeficiente adimensional, constante ou caracterfstica de uma
canaliza~ao.
escala de velocidades.
escala din3.mica.
.
escala geom6trica ou fator de escala.
coeficiente de corre~ao para o calculo do nlimero de pas.
coeficiente de corre<;;3.o de Pfleiderer para o c<ilculo do fator
de deficiencia de potencia.
expoente adiab<itico ou isentr6pico.
vetor unit<irio do sistema relative correspondente ao eixo z'.
comprimento de canalizai;;ao, comprimento da corda de perfil
aerodinfunico ou curso dos pist6es de m<iquinas altemativas.
torque ou momenta.
nUmero de Mach.
torque ou momenta intercambiado entre fluido e rotor
suposto com ntimero infinite de pas.
tluxo missico de um fluido.
tluxo m:lssico que foge atraves das folgas.
fluxo m:lssico que passa atraves do rotor.
nUmero de pas do rotor.
pressao disponivel na admissao da bomba.
pressao requerida na admissao da bomba.
saldo positivo de altura de suc98.o requerido pela bomba.
saldo positivo de altura de suc9ao disponivel na instala98.o.
velocidade de rota9ao, freqiiencia do movimento completo
do pistao em m:lquina alternativa ou expoente da
co1npressao politr6pica.
velocidade de rota9ao unit<iria.
velocidade de rota9ao biunitaria.
velocidade de rota9ao especifica no sistema tecnico de
unidades referida avazao.
coeficiente de forma ou velocidade de rota9ao especifica
no sistema internacional de unidades.
velocidade de rota9ao especffica no sistema tecnico de uni-
dades referida a potencia ou velocidade de rota9ao es-
pecifica no sistema ingles de unidades.
16
pp(•=
p
Q
Q,
Q,,
Q,
Q,,
Q,
Q,,
q
R
R
potencia disponivel.
potencia perdida por atrito de disco.:
potencia no eixo da maquina.
potencia no eixo unitfuia.
potencia no eixo biunitfuia.
Mdquinas de Fluido
potencia intercambiada no rotor suposto com nUmero finito
de pas.
pot6ncia intercambiada no rotor suposto com ntimero infinito
de pas.
pressao.
pressao atmosferica.
press3.o de estagna98.o.
pressiio de referencia do liquido ou pressao no recalque.
pressao de vaporiza9ao do liquido na temperatura de escoa-
mento.
vazao de um fluido.
vazao unitaria.
vazao biunit<iria.
vaz:ao correspondente as fugas atraves das folgas.
vazao nominal.
vazao que passa atraves do rotor.
perda de vazao recalcada em fun9iio da vaporiza93.o do liquido
na regiiio de admissfio de uma bomba de deslocamento
positivo.
quantidade de calor por unidade de massa.
constante universal dos gases.
vetor posi93o de uma partlcula fluida com rela9iio ao sistema
absoluto.
vetor posi9ao da origem do siste1na relativo com rela9ao
ao sistema absoluto.
raio de curvatura da pa.
ntimero de Reynolds.
raio de um ponto generico do rotor.
vetor posi9ao de uma particula fluida com rela9ao ao sistema
relativo.
raio exterior do rotor.

Sfmbolos Adotados 17
r
'
s
s,
T
t
t,
u
v
v
"
v
w
w
"'
w~
x
y
ydLD
Yest
Y,
y
'"
Yp,ooo
y
raio interior ou raio do cubo do rotor.
momento estatico da se9ao meridian3 do canal em rela9ao
ao eixo do rotor. -
momento estatico do"'filete medio da corrente com rela9ao
ao eixo de rota9ao.
coeficiente de suc9ao.
entropia do fluido ou largura da cfimara de compensa9ao
do empuxo axial.
temperatura absoluta em Kelvin.
temperatura, tempo, passo, ou largura das nervuras colocadas
no dorso do rotor.
tempo de fechamento do 6rgao obturador de uma turbina
hidr<iulica.
velocidade tangencial de um ponto do rotor ou energia interna
do fluido por unidade de massa.
volume.
volume de gas aspirado por um compressor.
volume caracterfstico deslocado em m<iquina de desloca-
mento positivo.
volume especffico do fluido.
velocidade relativa da corrente fluida.
componente meridiana da velocidade relativa.
velocidade relativa da corrente nao perturbada.
abcissa cartesiana.
salto energ€tico ou trabalho especlfico disponfvel, representa
a energia por unidade de massa que o fluido recebe da
in<iquina, no caso de maquina geradora, ou que entrega a
m<iquina, no caso de m<iquina motora.
energia especffica de pressao dinfunica ou de velocidade.
energia especffica de pressao estiitica.
trabalho especffico interno da m8.quina.
energia ou trabalho especffico intercambiado no rotor suposto
com nllmero finito de pas.
energia ou trabalho especffico intercambiado no rotor suposto
com nUmero infinito de p8.s.
ordenada cartesiana.
I_
18
z
d
a (alfa)
~ (beta)
r (gama)
y (gama)
LI (delta)
LIH
Lip
espessura maxima do perfil aerodinfirnico.
fator de compressibilidade de um ~s.
cota de um ponto qualquer.
Mdquinas de Fluido
ilngulo de ataque cte um perfil aerodinfunico ou sfmbolo
de derivada parcial.
fu1gulo que formam os sentidos positivos de ii e C ou fu1-
gulo de inclina9ao das pis do sistema diretor de uma m3.qui-
na de fluxo.
ilngulo que forma o sentido positivo de W com o negativo
de ii OU fingulo de inclina91'io das p8.S do rotor.
circula9ao ou intensidade de v6rtice.
peso especffico do fluido ou do material s61ido.
diferen9a finita.
sobrepressao provocada pelo golpe de ariete, em coluna liquida.
diferen9a de pressao.
diferen9a de pressao dinfimica entre a admissao e a descarga
de u1n ventilador.
Apcsi diferen9a de pressao est<i.tica entre a adrnissao e a descarga
de um ventilador.
Ap, depressao suplementar.
.6.p1
diferen9a de pressao total produzida pelo ventilador.
8 (delta) iingulo de constru91io das pis do rotor.
e (epsilon) fingulo de deslizamento de um perfil aerodinfimico ou coefi-
ciente de espa90 nocivo de um compressor alternative.
TJ (eta)
Tl,
llest
Tl,
Tl,
Tim
Tl,
Tl,
Tl,
8 (teta)
rendimento.
rendimento de atrito de disco.
rendimento estatico de um ventilador.
rendimento hidr<iulico.
rendimento interno.
rendimento mecfu1ico.
rendimento do perfil aerodinfimico.
rendimento total.
rendimento volumetrico.
3.ngulo de giro de um ponto do rotor ou da manivela de
m<iquina alternativa.

Sfmbolos Adotados 19
A (lambda) coeficiente empfrico ou relai;ao de velocidade perif6rica de
turbina e6lica.
µ(mi)
v (ni)
p (r6)
Prcal
P,
a (sigma)
'tadm
<!> (fi)
'I' (psi)
fator de deficiencia de, potencia ou coeficiente de viscosida-
de absoluta.
coeficiente de viscosidade cinem<itica.
massa especffica do fluido.
grau de reai;ao real.
grau de reai;ao te6rico.
coeficiente de cavitai;;ao.
valor critico do coeficiente ae cavitai;;ao.
tensao de ruptura do material.
tensao de cisalhamento.
tensao admissfvel de cisalhamento.
coeficiente de vazao da m<iquina de fluxo.
coeficiente de pressao da m<iquina de fluxo.
CD (Omega) velocidade angular de rotai;;ao do rotor.
CD' velocidade angular do fluido pela ai;;ao de nervuras no dorso
do rotor.
l

SusfNorcEs UTrLrzAoos
A rela~ao a seguir apresenta o significado dos Indices inferiores
(sublndices) que sao utilizados com maior freqilencia durante o texto.
Outros, de uso mais restrito, terao o seu significado esclarecido quando
forem empregados para caracterizar uma determinada grandeza.
2
3
4
5
6
corresponde a ponto na corrente fluida situado na entrada do
sistema diretor de m:iquina de fluxo ou indica grandeza unitfilia.
corresponde a ponto na corrente fluida situado na saida do sistema
diretor de 1n8-quina de fluxo.
corresponde a ponto na corrente de entrada nfio perturbada
(regularizada), situado imediatamente antes da entrada do rotor
de maquina de fluxo.
corresponde a ponto na entrada do rotor de m<iquina de fluxo, ja
no espai;o entre as pas girat6rias.
corresponde a ponto na saida do rotor da mJ.quina de fluxo, ainda
no espayo entre as pas girat6rias.
corresponde a ponto na corrente de saida jU regularizada, situado
imediatamente ap6s a saida do canal do rotor de m<iquina de
fluxo.
11 indica grandeza biunit<iria.
a corresponde a ponto situado na admissiio de uma mJ.quina de
fluido, indica direyao axial ou refere-se a rendimento por atrito
de disco.
atm refere-se apressao atmosferica.
d corresponde a ponto situado na descarga de uma mJ.quina de
fluido.
din refere-se 3. pressiio dinJ.mica OU de velocidade.
e corresponde a ponto situado no difunetro exterior do rotor ou
refere-se ao eixo da mJ..quina.
22
est
F
G
J
M
m
n
p
pa
r
s
u
v
Mllquinas de Fluido
refere-se apressao estJ..tica.
refere-se ao ponto de funcionamento 4a m<iquina de fluido.
refere-se adesnivel geom6trico.
corresponde a ponto siillado no difunetro interior ou diJ.metro do
cubo do rotor ou indica valor intemo da mliquina.
corresponde ao nivel de jusante da instalayao hidr<iulica.
corresponde ao nivel de montante da instalayao hidr<iulica.
refere-se a m<iquina modelo, rendimento mec3.nico ou a
componente meridiana de velocidade.
indica valores nominais ou de projeto da mJ.quina.
refere-se a_ m<iquina prot6tipo OU 3. energia perdida.
indica grandeza correspondente as p<is do rotor de m<iquina de
fluxo.
indica direyao radial ou grandeza referente ao recalque da
mliquina.
indica transformas;ao isentr6pica, grandeza referente a sucs;ao
da mJ..quina OU refere-se a_ velocidade do SOffi.
refere-se adires;ao tangencial ou a valor total.
indica componente tangencial de velocidade.
indica rendimento volumetrico, pressao de vaporizas;ao ou re-
fere-se a tluido viscoso.
corresponde a ponto situado na corrente fluida niio pertur-
bada ou refere-se a rotor de m<iquina de fluxo com nllmero
infinito de pas.

,
CONVERSAO DE UNIDADES
UNIDAllES DE CoMPRTh1ENTO:
l in (polegada) = 0,0254 m;
I ft (pe) = 12 in = 0,3048 m;
l mile (milha) = 1609,3 m;
UNIDADES DE VELOCIDADE E ROTA~Ao:
I fpm (ft/min)= 0,016667 ft/s = 0,00508 mis;
l mph (milha/hora) = 1,609 km/h= 0,447 mis;
I rps= l Hz=60rpm.
UNIDADES DE PREssAo:
l bar= 0,1 MPa;
l kgf/cm' = 98, l kPa;
I mmCA = l kgf/m' = 9,81 Pa;
l torr= l mmHg = 133,32 Pa;
l psi (lbf/in') = 0,0703 kgf/cm' = 6,895 kPa;
UNIDADES DEVAZA.O:
I m3
/h = 0,27778 l/s = 2,7778. 10 -; m3/s;
l gpm (galiio/min) = 0,227 m3
/h = 6,309. 10-' m3/s;
l cfm (ft3
/min) = 1,698 m'ih = 4,717. 10-3 m3/s;
UNIDADES DE ENERGIA E ENERGIA EsPECfFICA:
l kcal= 4,1868 kJ;
l kWh= 3,6 MJ;
l kgf.m = 427 kcal= 9,81 J
l Btu= 0,252 kcal= 1,05506 kJ;
l kcal/kg= 4,1868 kJ/kg;
l Btu/lbm = 0,556 kcal/kg = 2,325 kJ/kg;
24
UNIDADES DE POTitNCIA:
l CV= 75 kgf.mls = 632,44 kcal/b = 0,7355 kW;
I HP= 2545 Btu/h = 641,62 kcal/h = 0,7457 kW;
UNIDADES DE MASSA E PESO EsPECiFICOS:
l lbmlft3 = 0,03108 slug/ft' =16,018 kg/m3
;
l lbf/ft' (pound/ft')= 16,02 kgf/m3
= 157,16 N/m3
UNIDADES DE VISCOSIDADE:
l cSt (centistoke) = 10-6
m2
/s;
l ft'/s = 92903 cSt;
1 cP (centipoise) = 10-3
Pa.s;
UNIDADES DE TEMPERATURA:
K=°C + 273,15
° F = 915 ° C + 32
Mdquinas de Fluidu

I
I
i
1
INTRODU<;:Ao
De~de as mais remotas eras, o conhecimento sobre a energia contida
n~s flu1dos e a sua utiliza9ffo econ6mica tern sido um dos fatores
pru~o.rdiais para o desenvolvimento da humanidade. Grandes sistemas
de 1rngai;ao ~a eram utilizados na Mesopotamia, cerca de 3000 a.C.,
e?q~an~o ant1gos povos, como os egipcios e os gregos, usavam rodas
h1drauhcas para moer grffos de cereais. Ao cientista egfpcio Heron de
Alexandria, que viveu provavelmente durante o seculo II a.C., eatribufdo
o desenvolvi1nento de varios equipamentos precursores das modernas
m~quinas de fluido. Entre eles, um 6rgao musical, com soprador a pistiio
ac1onad~ por um moinho de vento (Fig. 1.1), e um aparelho que pode
ser cons1derado como a primeira versffo de uma turbina a vapor. Um
pequeno globo de metal girava a partir da reac;ao ao escapamento de
vapor d'8-gua por dois canos orientados em sentidos opostos situados na
Fig. l. l Utilizm;;fio de mliquinas de fluido na antiguidade: dispositivo desenvolvido
por Heron de Alexandria para acionar um 6rgao musical. (Fonte: Revue
Technique Sulzer)
26 Mtiquinas de Fluido
Fig. 1.2 Turbina a vapor desenvolvida por Heron de Alexandria. (Fonte: Enciclopedia
Delta Universal)
sua periferia (Fig. 1.2). 0 vapor chegava ao interior do globo, atraves de
suportes ocos, procedente de uma caldeira a vapor situada na parte inferior.
E, no entanto, a partir do seculo XIX que as m:lquinas de fluido
passaram a ter um maior desenvolvimento, com a utilizac;fio de
conhecimentos aprofundados em termodin8mica e aerodinfunica, com
o surgimento de novos materiais e, modernamente, com o uso de recurses
computacionais cada vez mais sofisticados.
As turbinas a gas, por exemplo, cujas primeiras constru96es
remontam ao seculo XVII, tiveram o seu maior desenvolvimento durante
a Segunda Guerra Mundial, com a utilizac;ao na propulsao de avi6es e
na gera9fio de energia eletrica. Mesmo a energia e6lica, j8- utilizada
para acionar os moinhos de vento do seculo X, no Oriente Medio, passa
a ser uma modema altemativa energetica com a constm9ao de turbinas
e6licas com potencia unitaria acima de 2 MW.
Hoje, as m:lquinas de fluido sao utilizadas no transporte de lfquidos,
gases e s6lidos, na gerac;ao e na acumulac;iio de energia, e.em processos
qufmicos que demandam elevadas press5es, como a compressiio do gas
de etileno para a fabrica9iio de polietileno, em compressores de 6mbolo
que alcanc;am press5es da ordem de 350 MPa (3500 bar).
A simulac;ao numerica de m<iquinas de fluido por computador (Fig.
1.3) tern alcanc;ado um alto nfvel de desenvolvimento e possibilitado
nfio s6 a visualizac;lio de fluxes complexos, mas tambem a elaborac;lio
de programas de c<ilculo que permitem projetar novos tipos de maquinas
a partir de um banco de dados conhecido, prever seu comportamento
por meio de ensaios simulados e chegar aconstruc;lio de prot6tipos por
meio de m<iquinas de produc;ao com comando numerico.

lntrodurJo 27
Fig. 1.3 Simulai;ao de fluxo tridimensional atraves de uma turbina hidr'1ulica do tipo
Francis (Fonte: Sulzer Technical Review).
Neste livro, mais do que o tratamento hist6rico ou individual dos
diferentes tipos de miiquinas de fluido, sera adotado 0 m6todo generali-
zado. Pois, embora seja not6rio que muitas destas miiquinas evoluiram
empiricamente e conseguiram desempenho altamente satisfat6rio com um
minimo de entendimento analitico, nao 6 menos verdade que a analise <las
operac;f>es bisicas e um profundo conhecimento dos principios comuns que
regem o seu funcionamento sao necessarios para uma melhor performa.Ilce
e, certamente, teriam economizado uma grande quantidade de tempo, es-
fo~o e recursos financeiros se estivessem presentes desde o inicio.
Com este objetivo, neste capitulo serii caracterizad;:i a maquina objeto
de estudo; os seus principais tipos, com os respectivos campos de aplica-
,c;fio; os fundamentos cientificos biisicos para a sua construc;fio e entendi-
mento do seu funcionamento. Isto porque, embora toda a sofistica9ao dos
m6todos computacionais hoje disponiveis, estes conceitos biisicos tem-se
mantido validos ao longo do tempo e pennitem uma abordagem didiitica e
simplificada dos diferentes tipos de m<iquinas de fluido.
1.1 Defini«.;Bo de m3quina de fluido
M3quina de fluido (fluid machinery) 6 o equipamento que promo-
ve a troca de energia entre um sistema meciinico e um fluido, transfor-
mando energia mecanica em energia de fluido ou energia de fluido em
energia mecftnica. No primeiro caso, em que h<i o aumento do nfvel
energ6tico de um fluido a partir do fornecimento de energia meciinica,
por analogia com o gerador el6trico, apenas substituindo energia el6tri-
28 Mdquinus de Fluido
ca por energia de fluido, costuma-se designar a miiquina de m3quina
de fluido geradora. No segundo caso, em qu~ energia meciinica e pro-
duzida a partir da redui;ao do nivel energ6tico de um fluido, pela analo-
gia com o motor el6trico, a m<ie!j_uina e usualmente chamada de m3qui-
na de fluido motora.
1.2 Tipos principais
As m<'iquinas de fluido sao normalmente subdivididas em dois ti-
pos principais: as m3quinas de deslocamento positivo (positive
displacement machines) e as m3quinas de fluxo (turbomachines).
No primeiro tipo, tamb6m chamado de estatico, uma quantidade fixa
de tluido de trabalho e confinado durante sua passagem atraves da maquina
e submetido a trocas de pressao em razao da variac;ao no volume do recipi-
ente em que se encontra contido, isto e, o fluido e obrigado a mudar o seu
estado energ6tico pelo deslocamento de uma fronteira em movimento.
Nas m<iquinas de fluxo, as vezes denominadas de rn3quinas dinfr-
micas, o fluido nfio se encontra em momenta algum confinado e sim
num fluxo continua atrav6s da m3quina, submetido a trocas de energia
devido a efeitos diniimicos.
Desconsiderando-se a troca de calor com o meio ambiente e possi-
veis folgas entre as partes fixas e m6veis, quando uma m<iquina de des-
locamento positivo pfila de funcionar, o fluido de trabalho no seu interi-
or permanecer3, indefinidamente, no estado em que se encontrava no
momento em que o movimento cessou e este podera ser completamente
diferente das condi96es do ambiente externo. Namesma situai;ao, o fluido
de trabalho de uma m3quina de fluxo assumir3, imediatamente, as con-
di96es ambientais, quando ela deixar de operar.
As m3quinas rotativas (rotary machines), como a bomba de en-
grenagens, e as m3quinas alternativas (reciprocating machines), como
o compressor de pistao, silo exemplos tfpicos de m3quinas de desloca-
mento positivo, enquanto as turbinas hidr<iulicas e os ventiladores cen-
trifugos podem ser citados como exemplos de mii.quinas de fluxo.
1.3 Campo de aplica-;3.o
0 campo de aplica«.;Bo (application range) dos diferentes tipos de
m<iquinas de fluido e tao amplo e sujeito a regi6es de superposi<;t'io, que,
muitas vezes, torna-se dificil definir qual a melhor m<iquina para de-

lntrodur;iio 29
terminada aplicar;,:ao, por exemplo, no caso de bombas (pumps) e com-
pressores (compressors), deve-se definir Se a melhor soJur;,:aoe 0 emprego
de uma maquina de deslocamento positivoOU de uinamaquina de fluxo. Ou,
mesmo paraum tipo de maquina ~ fluxo, porexemplo,as turbinas hidniuli-
cas, deve-se definirqua) delas atende melhor ascaracterfsticas de um deter-
minado aproveitamento hidreletrico. No entanto, existem situa<;6esemque a
supremaciade um tipo de maquina sabre 0 outro e tao evidente que a sele-
r;,:ao pode serfeitaja nas etapas iniciais deum projeto.
Tomando-se para analise o caso dos compressores, normalmente
caracterizados pela vazao de gas aspirado e pela pressao na descarga,
pode-se constatar (Fig. 1A) o domfnio absoluto dos compressores cen-
trffugos e axiais (maquinas de fluxo) pararegioes de grandes vazoes, prin-
cipalmente em situar;,:oes, como nos motores de aviao, em que a relar;:ao
requerida entre a potencia de propulsao e o peso da m:iquina seja a mai-
orpossfvel e que apresente um formate favoravel do ponto de vista aero-
dinamico. Entretanto, na gama das pequenas e medias vazoes e elevadas
relar;:oes de pressao entre descarga e admissao, os compressores alter-
nativos de embolo ou pistao mantem o seu predomfnio, com avanr;:os
tecnologicos significativos e um consumoenergetico favoravel. No entan-
to, eles tern cedidoespar;,:o para os compressores de palhetas e de parafu-
so para as situar;,:oes de medias vazoes e pressoes nao taoelevadas.
Na Fig. 1.4, procura-se mostrar a distinc;;ao entre os termos ventila-
dor (fan) e compressor (compressor) paradenominar maquinas que tra-
balham com gas. Num ventilador, a alterar;,:ao na densidade entre a admis-
~ao ea descarga da maquina e tao pequenaque 0 gas pode serconsidera-
do como um fluido incompresslvel (diferenc;;as de pressao ate 10 kPa ou
1000 mmCA), enquanto num compressor, a altera:ifo de densidade esig-
nificativa, nao podendo serdesconsiderada. Para uma faixa de"diferenr;,:a
de pressao entre a descarga ea admissao da maquina da ordem de 10 a
300 kPa (1000 a 30000 mmCA), tambem e usual a denomina~ao de
soprador (blower).
Para o caso das maquinas de fluido geradoras que trabalham com
Ifquidos, denominadas de bombas (Fig. 1.5), a situar;,:ao esemelhante a
dos compressores, havendo 0 predomfnio das maquinas de fluxo (bom-
bas centrffugas, bombas de fluxo misto e bombas axiais) para a regiao
de medias e grandes vazoes, enquantoas bombas altemativas e rotativas
(maquinasde deslocamento positivo) dominam a faixa de medias e gran-
des alturas de eleva<;:ao e pequenas vazoes. Como existem areas de
L
30
.'
Mtiquinas de Fluido
~p (mmCA) ~p (kPa)
107
10 6
.
105
-
10
1
1
--~--- ~ - ------- r -------~-- - -- --- -------,--------r-------
' ' ' -----. '
t 1 I :
Compressor Atiernativo :
' '
' ' '
-~-~ - - ------ ~ ----- -- ~ ---
' '
Co pressor
--ce trifugo -
' .-~
· ---r---i...
:Compres~or
:de paraft).so
Comp es~or de p~lhetas
Ventil dor
------~- -----~---
' '
Certtri ugo '
'
-- ----- - ~-- -----
Vent1lador Axial
104
10 104 106 Q(m3/h)
Fig. l.4 Campo de aplicac;ao de ventiladores e compressores.

!111rod11rao
Hem .'
105
---- ---1 ---- ---~ ---- ----r- ---- --1 ------ --.
104
103
102
10
1
I 1 I
'
'
' ' '
-- --r--- ----, -- -----,
'
'
....___.........__- -- - -:
' ' '
I I I
' Bo 1bas Gentrifugas :
I
I
Bombas: axiais
I
I
'
'
31
I 10 102
103
104
105
Q(m3/h)
Fig. 1
.5 Campo <le aplicac;ao de bombas.
superposii;ao entre os campos de aplicai;ao dos dilerentes tipos de bom-
bas, outros critfaios, como viscosidade do Lfquido bornbeado, presenc;:a
de s6lidos em suspensao, variac;:ao ou nao da vazao em func;:ao da varia-
i;ao da resistencia do sistema ao escoa.mento. facilidade de manutenc;:ao,
custos, etc., devem ser levados em considerac;:ao para a selec;:ao da ma-
quina mais adequada para um determinado tipo de aplicac;:ao.
Ja a Fig. L.6, apresenta o campo de aplicac;:ao dos ptincipais tipos
de turbinas hidraulicas (maquinas de fl.uxo motoras), levando em con-
siderac;:ao a altura de queda, a vazao e a potencia. Embora fique eviden-
ciado a existencia de regioes em que prepondera um determinado tipo
de maquina, por exemplo. turbina Kaplan, para grandes vazoes e peque-
nas alturas de queda, e, turbiua Pelton,para as maiores alturas de queda,
existem faixas de altura de queda e vazao em que mais de um tipo de
H(m)
1800
200
60
10
3
1
0,01
M<iquinas de Fluido
Centrais com turbinas hidraulicas:
- microcentrais: ate 100 kW
- miniccntrais: de I00 a I000 ~W
- pequenas centrnis: de I000 a 30000 kW
- medias centrais: de 30000 a 100000 kW
- grandes centrais: acima de I00000 kW

~
0
t£

0,1 1 10 100 1000
a
Q
,~
~
Y£
Q(m
3
/s)
Fig. 1.6 Campo de aplicac;ao de turbinas hidraulicas.
maquina poderia ser utilizado. Neste caso tambem sera? ~mpr~gados
criterios adicionais de selec;ao, como custo do gerador eletnco, n sco de
cavitac;:ao, custo de construc;ao civil, flexibilidade de operac;ao, facilidade
de manutenc;:ao, entre outros. . .
As turbinas Michell-Banki, tambem denommadas de turbmas
Ossberger, praticamente inexistentes nas centrais hidreletricas acima de

lntrodui;iio 33
1000 kW (Fig. 1.6), merecem ser citadas pela sua grande utilizar;ao em
micro e minicentrais, em virtude da facilidade de.{abrica9ao, baixo custo
e born rendimento para situar;5es de flutuar;ao de vaziio.
1.4 Grandezas fundamentais: energia, vazao e potencia
Neste item sera apresentada uma breve revisao de conceitos
fundamentais da Termodinfimica e da Mecfinica dos Fluidos, indis-
pens<iveis para a definir;ao de grandezas utilizadas correntemente no
estudo das M<iquinas de Fluido, tais como energia (energy), vaz3o
(capacity) ou volume (jlow rate) e potencia (power).
1.4.1 Energia
0 primeiro principio da termodinfimica, aplicado a um sistema,
permite escrever:
[
Energia que oJ [Energia que oJ
sistema recebe - sistema entrega = [
Variayao da energia]
total do sistema
Aplicando este enunciado para um volume de controle limitado
pelas se96es de admissao (inlet), representada pelo indice "a" nas
equa96es, e descarga (discharge ou outlet), representada pelo indice
"d", de uma maquina de fluido com escoamento em regime permanente
(Fig. 1.7) e utilizando grandezas referidas aunidade de massa do fluido
de trabalho (grandezas especificas), tem-se:
onde, considerando o sistema internacional de unidades:
q = quantidade dt· calor, por unidade de massa, recebida pela m<iqui-
na de fluido, '~tn J/kg;
Y = trabalho especlfico realizado pela m<iquina, em J/kg;
u = energia interna do fluido, em J/kg;
p = pressao est<itica do fluido, em N/m2;
v = volume especffi,~o do fluido, em m3/kg;
c = velocidade absolata da corrente fluida, em mis;
MGquinas de Fluido
"·
y
Volume
.,
Controle
q
Fig. 1.7 Volume de controle de uma m<iquina de fluido.
g ::: acelera93.o da grrividade, em m/s2
;
z ::: cota de referencia de um ponto do escoamento, em m.
Pela definic;i'io de entalpia: h ::: u + p v
onde:
h = entalpia do fluido, em J/kg.
Levando esta expressao na equa93.o (1.1), obt6m-se:
(1.2)
Aplicando esta equayao ao caso das bombas hidr3.ulicas (hydraulic
pumps) e considerando o bombeamento como uma transforma9ao
adiab3.tica sem atrito (isentr6pica), uma vez que em tennodin8.mica
considera-se o trabalho recebido pelo sistema coma negativo, pode-se
calcular a energia consumida pela bomba, por kg de fluido recalcado,
da seguinte maneira:
(13)
onde o fndice "s" representa o final de uma transforma98.o isentr6pica.

/ntrodur;Jo
Pela definiyao de entropia, tem-se:
dq = T ds = dh - v dp,
onde:
T :::: temperatura absoluta, em K;
s entropia do fluido, e1n J/kgK.
35
(1.4)
Como o bombeamento considerado e adiab:itico reversivel, pelo
segundo principio da termodinftmica, vem:
sd:::: Sa, ou ainda, ds = 0.
Da equayao (1.4) conclui-se que dh = v dp.
Levando esta conclusao aequayao (1.3), obtem-se:
Y= f vdp+t(c;-c;)+g(z, -z,)
Sabendo que v = l/p , onde "p" ea massa especffica do fluido,
chega-se a:
(1.5)
Para turbinas hidr:iulicas (hydraulic turbines), coma o trabalho e
fornecido pelo sistema, ou seja, positivo, a equa93.o (1.5) resulta em:
(1.6)
Voltando aexpressao (1.2):
e aplicando-a ao caso de um compressor que realize uma compressao
adiab:itica reversivel (isentr6pica), consideranQo desprezivel a variayao
de energia potencial e de energia cin6tica, em colnparayao com a variayao
de entalpia, obtem-se: '
Y=hds -ha (1.7)
Considerando como fluido de trabalho um gas perfeito:
dh =C, dT, (1.8)
onde:
CP = calor especifico do gas, a pressiio constante, em J/k:gK.
Levando a equayiio (1.8) a(1.7), obtem-se:
Y=C,(T,, -T,)=C, T,(~:-1) (1.9)
Do primeiro principio da termodin3.mica, para transforma93.o
reversivel, com trabalho somente do tipo "p dv", tem-se:
dq=du + pdv (1.10)
~,_,,,.
Por outro lado, diferenciando a equayao da entalpia:
h=u+pv, vem: dh=du+pdv+vdp :. du+pdv=dh-vdp
Pela defini9iio de entropia, equa93.o (1.4), e sabendo que a equayiio
dos gases perfeitos e:
pv=RT,
pode-se escrever que:
ds=dq=du+pdv
T T
dh -vdp
T
(I.II)
. C, dT-vdp
.. ds=~----
T

lntrodw;iio 37
Para uma transformac;ao adiabatica reversfvel (isentr6pica), onde
ds = 0, tem-se:
C dT-vdp=O
' ,
ou a1nda:
v
dT=-dp (l.12)
c,
Da termodinfunica dos gases, tem-se as seguintes relac;5es:
e
C -C =R
onde:
c,
k
R
' ,
calor especffico do gas, a volume constante, em J/kg K;
expoente adiabatico ou isentr6pico, adimensional;
constante do gas, em J/kgK.
(1.13)
(1.14)
Dividindo ambos os membros da equac;ao (1.14) por Cp e levando
em considera93.o a equac;ao (1.13), pode-se escrever que:
C, C, R
---=
Cr CP CP
1 R
1- -=-
k c,
C = kR
' k-1
Substituindo este valor na equac;ao (1.12), tem-se:
dT k-ldp
- - -
T k p
Integrando esta Ultima expressao entre "a" e "ds" (transformac;ao
isentr6pica), vem:
J
d'dT = k-lJd'dp
a T k a p
k-1
Tct, = [E<Llk
Ta Pa
(l.15)
Da mesma maneira, chega-se a:
I
v, -[p,Jk
Vds - Pa (l.16)
Levando a equac;ao (1.15) na (1.9), fica-se com:
(1.17)
Como o comportamento dos gases reais apresenta um certo grau de
variac;ao em relac;ao aos gases perfeitos, que cresce com o aumento da
densidade do gas e com a proximidade do estado liquido, faz-se
necess<i.rio a introduc;ao de um fator de corre93.o, denominado "fator de
compressibilidade", na equa93.o dos gases perfeitos, dando origem a
equac;ao modificada para os gases reais:
pv=ZRT, (1.18)
onde:
Z = fator de compressibilidade (compressibility_factor), adimensional.
Os valores de "Z" sao obtidos de diagramas apresentados nos
manuais de termodin3.mica para cada gis especifico ou mistura de gases.

lntrodw;iio 39
Para uma maior precisfio na determina9fio do comportamento
operacional de um compressor, Rodrigues1
recomenda a seguinte
correc;ao para o c:ilculo do trabalho especifico de uma compressfio
isentr6pica: .,
(l.19)
Nesta equac;ao, "Za" e "Zd" sao os fatores de compressibilidade
medidos, respectivamente, nas condi<;6es de admissfio e descarga do
compressor.
Teoricamente, a compressfio poderia ser isotermica, consurnindo menos
energia (trabalho). No entanto, isto levaria anecessidade de extrair uma
quantidade de calor do sistema igual ao trabalho de compressfio mais as
perdas que ocorrere1n durante o processo. Os compressoresditos isotennicos,
apresentam refrigerm;fio ap6s um ou mais est:agios, com a temperatura do
gas voltando ao valor inicial somente no final da compressao.
Todos os processes de compressao sem perdas situam-se entre o
isotermico e o isentr6pico, segundo a lei da compressfio politr6pica:
p V n = Constante,
onde:
n = 1, para a compressfio isotermica;
n = k, para a compressao isentr6pica.
(1.20)
Na realidade, quando o calor extraido de um processo de compressao
for inferior ao calor gerado pelas perdas, o expoente "n" da compressfio
politr6pica ser:i superior ao expoente "k" da compressao isentr6pica.
Para as turbinas a g3.s ou a vapor (gas or steam turbines), que
trabalham com fluido compressivel, a aplica9ao do primeiro principio
da tennodinfimica conduz aseguinte expressfio para o c<i.lculo do trabalho
especifico produzido num processo de expansfio isentr6pica:
1 RODRIGUES, P. S. B., Compressores industriais.
(l.21)
onde:
ha = entalpia do fluido na admissfio da maquina;
hds = entalpia do fluido na descarga da m:iquina, considerando uma
transforma<;fio isentr6pica.
Na pr:itica, e principalmente para m<i.quinas que trabalham com
fluido incompressivel, e comum associar a energia recebida (caso das
bombas) ou fornecida (caso das turbinas) pelo fluido, ao passar pela
m:iquina, a uma altura de coluna de fluido, H (head'). Ou seja:
H=Yig
onde "g" e a acelera93.o da gravid~de, em rn/s2•
1.4.2 Vazao
Pela equa9fio da continuidade, o fluxo m3.ssico (mass flow rate)ril.,
atraves de qualquer s~fio, e constante num regime permanente. Ou seja:
ri1. = pa Aa ca = pd Ad Cd =Constante (l.22)
onde:
m =
p =
A =
c =
fluxo m<'issico do fluido, em kg/s;
massa especifica do fluido (density), em kg/m3;
3.rea de passagem da corrente fluida, em m2
;
velocidade absoluta media da corrente fluida, perpendicular a3.rea
de passagem, em mis.
Quando se trata de um fluido incompressivel, a massa especifica
pode ser considerada constante e torna-se mais freqtiente o uso da vazfio
volumetrica no dimensionamento da m<'iquina. Entre o fluxo m<'i.ssico e
o fluxo de volume ou vazao, existe a seguinte rela9i'io:
m~pQ, (l.23)
onde "Q" ea vaziio (volume flow rate), em m3/s.

lntrod111;iio
41
1.4.3 Potincia
Tomando par base o trabalho especlfico ('energia par unidade de
massa), recebido ou fornecido p&!a miquina, pode-se calcular a potencia
recebida (input power) ou fornecida (output power), pela seguinte
expressao:
P= mY=pQY, (1.24)
onde, no Sistema Internacional de Unidades, o fluxo missico e expresso
em kg/s, o trabalho especffico em J/kg, a massa especlfica em kg/m3
,
a vazao volumetrica em m3
/s ea potencia "P" em W.
No Sistema Tecnico de Unidades, a expressao para o cilculo da
potencia converte-se em:
P= yQ H
75
onde:
p
y
Q =
H =
potencia, em CV;
peso especlfico, em kgf/m3;
vazao, em m3
/s;
altura de coluna fluida, em m.
(l.25)
No caso de miquinas que trabalham com um gels (oar, por exemplo),
tambem e comum associar-se o trabalho especffico com a diferenya de
pressao total existente entre a descarga ea admissao da mliquina. Ou seja:
y = Ap,
p
onde:
Ap1
= diferenya de pressao total entre a descarga e admiss8.o da miquina,
em N/m2
;
p = massa especlfica do fluido de trabalho, em kg/m3
•
Dcsta maneira, a potencia, no Sistema Internacional de Unidades,
podera ser calculada por:
P=t-p,Q (l.26)
42
onde:
P = potencia, em W;
Q = vazao, em m3/s.
E, no Sistema Tecnico de Unidades:
P="-P, Q
75
Mdquinas de Fluido
(l.27)
neste caso, com "Apt" em kgf/m2
ou mmCA (miHmetros de coluna
d'3.gua), "Q" em m 3
/s, sendo a potencia "P" obtida em CV.
Caso se queira obter o torque (torque) ou momento (n1omentum)
no eixo da mriquina de fluido, que e importante para a seleyao adequada
do motor ou gerador a ser acoplado aela, pode-se escreverpara o Sistema
Internacional de Unidades:
onde:
M =
p
OJ =
torque ou momenta da mciquina, em Nm;
potencia, em W;
velocidade angular de rotayao da miquina, em rad/s;
(l.28)
n = velocidade de rotai;;ao da mJ.quina, em rpm, embora a unidade de
rotai;;ao no S.I. seja o Hz (s-1).
JJ., para o Sistema Tecnico de Unidades, tem-se:
M = 716,2.1'_ (l.29)
n
onde:
M = torque ou momenta, em kgf m;
P potencia, em CV;
n = velocidade de rotai;;ao, em rpm.
----·--------~~~~-------------""""'

'2
MAQUINAS DE FLUXO
M3.quina de Fluxo (turbomachine) pode ser definida como u1n
transformador de energia (sendo necessariamente o trabalho mecfrnico
uma das formas de energia) no qua! o meio operante eum fluido que,
em sua passagem pela m<iquina, interage com um elemento rotativo,
nfio se enconlrando, em qualquer instante, confinado.
Todas as m<lquinas de fluxo funcionam, teoricamente, segundo os
mesmos princfpios, o que traz apossibilidadede utili~ao do mesmo metodo
de c<llculo. De fato, esta considera~ao eplenamente vilida apenas quando o
fluido de trabalho eum fluido ideal, j<i que, na realidade, propriedades do
fluido, tais como volume especffico e viscosidade, podern variar
diferentemente de fluido para fluido e, assim, influir consideravelmente nas
caracterfsticas construtivas dos diferentes tipos de mclquinas.
Como exemplos de mclquinas de fluxo, citam-se: as turbinas hi-
drliolicas (hydraulic turbines), os ventiladores (fans), as bombas
centrifugas (centr(fugal pumps), as turbinas a vapor (steam turbines),
·OS turbocompressores, as turbinas a g3.s (gas turbines).
Este capftulo, alem de apresentar a defini9ao e os elementos
construtivos fundamentais de uma m<i.quina de fluxo, fornece alguns
crit6rios de classifica9ffo dessas m<i.quinas, objetivando estabelecer uma
linguagem comum para a sua abordagem e proporcionar meios de
identifica9ffo dos seus diferentes tipos.
2.1 Elementos construtivos
Nao haveni aqui a preocupa93o de relacionar, exaustivamente, todas
as partes que comp6em as m<iquinas de tluxo, tais como, seu corpo ou
carca9a, o eixo, os mancais, os elementos de veda9ao, o sistema de
lubrifica9ao, etc., mas a inten9ao de caracterizar os elementos constru-
tivos fundamentais, nos quais acontecem os fen6menos fluidodinfimicos
44 M6quinas de Fluido
essenciais para o funcionamento da m<iquina: o rotor (impeller ou runner)
e o sistema diretor (stationary guide casing)•.__
0 rotor (Fig. 2.1), onde acontece a tninsformai;;ao de energia
mec3nica em energia de fluidb, ou de energia de fluido em energia
mec3nica, e o 6rg3o principal de uma m<iquina de fluxo. Econstituido
por um certo n6mero de p3.s girat6rias (runner blades) que dividem o
espa90 ocupado em canais, por onde circula o fluido de trabalho.
Fig. 2.1 Rotor de bomba semi-axial ou de fluxo misto.
Ja o sistema diretor tern como finalidade coletar o fluido e dirigi-lo
para um caminho detenninado. Esta funi;;ao de direcionador de fluxo,
muitas vezes, e acompanhada por outra de transformador de energia.
Assim, por exemplo, numa bomba centrifuga (Fig. 2.2), o sistema diretor
de safda efundamentalmente um difusor (diffuser) que transforma parte
· da energia de velocidade do lfquido que eexpelido pelo rotor em energia
Caixa espiral
Fig. 2.2 Sistema diretor em forma de caixa espiral de uma bomba centrifuga.

Mdquinas de Fluxo 45
Fig. 2.3 Sistema diretor de turbina hidr:iulica do tipo Pelton.
de pressao. Enquanto isto, numa turbina hidr<iulica do tipo Pelton, o
sistema diretor (Fig. 2.3) e, em Ultima anfilise, um injetor (noule) que
transforma a energia de pressffo do fluido em energia de velocidade que
ser<i fomecida ao rotor atraves de jatos convenientemente orientados.
Em alguns tipos de m3quinas o sistema diretor nffo se faz presente,
como nos ventiladores axiais de uso domestico. A existencia do rotor, no
entanto, e imprescindivel para a caracterizai;;ffo de uma m<iquina de fluxo.
2.2 Classificai;;3.o das m3.quinas de fluxo
Entre os diferentes criterios que podem ser utilizados para classificar
.as m<iquinas de fluxo, pode-se citar os seguintes:
- segundo a direi;;ao da conversiio de energia;
- segundo a forma dos canais entre as p3s do rotor;
- segundo a trajet6ria do fluido no rotor.
2.2.1 Segundo a diret;ao da conversao de energia
Segundo a direi;;ao da conversao de energia as m<iquinas de fluxo
classificam-se em motoras e geradoras.
M3.quina de fluxo motora ea que transfonna energia de fluido em
trabalho mec§.nico, enquanto m:iquina de fluxo geradora e a que recebe
trabalho mecfulico e o transforma em energia de fluido. No primeiro
tipo a energia do fluido diminui na sua passagem pela m3quina, no
segundo, a energia do fluido aumenta.
46
Sistema diretor
(Injetor)
Fig. 2.4 Turbina Pelton (Fonte: WKV).
Mdquinas de Fluido
Rotor
Como exemplos de m3quinas de fluxo motoras, citam-se as turbinas
hidr:iulicas (Fig. 2.4) e as turbinas a vapor (Fig. 2.5). Entre as mtiquinas
de fluxo geradoras encontram-se os ventiladores (Fig. 2.6) e as bombas
centrffugas (Fig. 2.7).
Sistc1na diretor (injetor)
Fig. 2.5 Turbina a vapor do tipo Curtis.

Sistema iretor (caixa espiral)
Fig. 2.6 Ventilador centrifugo (Fonte: OTAM).
Sistema Dirctor (Voluta)
Fig. 2.7 Bomba centrifuga (Fonte:KSB).
Algumas miquinas podem funcionar tanto como motores quanto
geradores de fluxo, como e o caso das bombas-turbinas reversiveis
(reversible pump-turbines) que, dependendo do sentido do fluxo atraves
do rotor, funcionam como bombas, girando num sentido, ou como
turbinas, girando em sentido contrfilio.
Tambem e comum encontrar uma mliquina de fluxo motora (turbina
a g&s) acionando uma miquina de fluxo geradora (turbocompressor),
48
Turbooompressor
Motor
'
pistao
Turbina a g3s
Mdquinas de Fluido
montadas num mesmo eixo, como
acontece nas ~rbinas de avia9§.o e nos
turboalimenfudores (turbochargers)
de motores de combustao interna a
pistiio (Fig. 2.8).
2.2.2 Segundo aJonna dos canais
entre p6.s do rotor
Quanto aforma dos canais entre a
pas do rotor, as maquinas de fluxo
classificam-se em m<iquinas de a<;fio e
em mliquinas de rea9ao.
Fig. 2.8 Turboalimentadordemotora Nas m3quinas de fluxo de ai;3.o
pistao (Fonte: Schwitzer). (impulse turbomachines), os canais do
rotor constituem simples desviadores de
fluxo, nao havendo aumento ou dirninui93.o da pressao do fluido que
passa atraves do rotor.
Nas m3quinas de fluxo dereai;iio (reaction turbomachines), os canais
constitufdos pelas pas m6veis do rotor tern a forma de injetores (nas turbinas)
ou a forma de difusores (nas bombas e nos ventiladores), havendo redu3.0,
no primeiro caso (turbinas), ou aumento, no segundo caso (bombas e
ventiladores), da pressao do fluido que passa atraves do rotor.
· Sao exemplos de m<i.quinas de fluxo de at'io: a turbina hidr<i.ulica
do tipo Pelton (Fig. 2.4) ea turbina a vapor do tipo Curtis (Fig. 2.5).
Como exemplos de m3.quinas de fluxo de rea9ao podem ser citados: as
bombas centrffugas (Fig. 2.7), os ventiladores (Fig. 2.6) e as turbinas
hidr<i.ulicas do tipo Francis (Fig. 2.9).
Fig. 2.9 Turbina hidniulicado tipo Francis lenta.

2.2.3 Segundo a trajet6ria do .fiuido no rotor
Finalmente, segundo a trajet6ria do fluido no rotor, as m<i.quinas de
fluxo classificam-se em: radiais,~axiais, diagonais ou de fluxo misto (ou
ainda, semi-axial) e tangenciais.
Nas m3-quinas de fluxo radiais (radial flow turbomachines), o
escoamento do fluido atraves do rotor percorre uma trajet6ria predo-
minantemente radial (perpendicular ao eixo do rotor). Como exemplos
de m<i.quinas radiais, citam-se as bombas centrifugas (Fig. 2.7), os
ventiladores centrifugos (Fig. 2.6) e a turbina Francis lenta (Fig. 2.9).
13., nas m3quinas de fluxo axiais (axial flow turbomachines), o
escoamento atraves do rotor acontece numa direr;;ao paralela ao eixo do
rotor ou axial. Como exemplos de m3.quinas axiais citam-se os ventila-
dores axiais, as bombas axiais (Fig. 2.10) e as turbinas hidr<i.ulicas do
tipo Helice e Kaplan.
Fig. 2.10 Bomba axial.
Quando o escoamento nao e radial nem axial, a m<i.quina e
denominada de fluxo misto (mixed flow turbomachine), diagonal, ou,
ainda, semi-axial, com as particulas de fluido percorrendo o rotor numa
trajet6ria situada sobre uma superficie aproximadamente c6nica. Entre
as m:lquinas diagonais ou de fluxo misto encontram-se as bombas semi-
axiais (Fig. 2.11 ), a turbina Francis r<i.pida ea t~rbina hidr3.ulica Deriaz.
Fig. 2.11 Bomba semi-axial ou de fluxo 1nisto.
Numa m3.quina de fluxo tangencial (tangencial flow turbo-
machine), o jato liquido proveniente do injetor incide tangencialmente
sobre o rotor. A turbina hidr:lulica do tipo Pelton (Fig. 2.4) e o exemplo
citado para m8.quina de fluxo tangencial.

3
EQUA<;:AO FUNDAMENTAL DAS
MAQUINAS DE FLUXO
Este capltulo inicia pelo estabelecimento dos chamados tri.ingulos
de velocidades, que sao uma fonna geometrica de expressar a equar;;ao
vetorial que rclaciona o movimento relativo com o movimento absoluto
das particulas tluidas que percorrem o rotor de uma inti.quina de fluxo e
ferramenta indispens<ivel para o estudo simplificado do complexo
escoamento atraves deste tipo de m<iquina.
Logo a seguir, 1nais do que um rigorismo do tratamento matem<i.tico
na dcterminar;;ao da equar;;ao que rege o funcionamento de todas as
1niquinas de fluxo, e feito um esfon;:o para demonstrar o significado
ffsico dos termos que a compOem. Mesmo com os modernos recursos
da computar;;ao eletr6nica e os avanr;;os do c<ilculo numerico <las correntes
fluidas, as simplificay5es adotadas no trata1nento cl<'issico do assunto
justificam-se por pennitir ao engenheiro um entendimento que certa-
mente facilitara a vinculayao entre a teoria e a pratica neste campo de
conhecimento.
As conseqiiencias da presenya de um ntimero finito de pas no rotor
real da m3.quina sobre a energia calculada pela equayao fundamental
sao comentadas no final do capftulo, antecipando uma anfilise mais
detalhada que sera feita no Capftulo 12. A definiyao do grau de reayao,
fomece um instrumento Util para a caracterizrn;ao dos diferentes tipos
de m<iquinas de fluxo em funyao da forma como acontecem as trocas de
energia em seu interior.
3.1 Tri3.ngulo de velocidades
A escolha conveniente do sistema de referencia e de grande
importfincia para o estabelecimento de equay5es em mec§.nica dos
tluidos. Um escoamento que em relayao a um detenninado sistema de
referencia seja vari<i.vel, pode, se for escolhido um sistema adequado,
ser permanente em relayao a este, facilitando, d~sta maneira, o seu estudo.
Isto podera levar a que o movimento de uma partfcula fluida P seja
referido a um sistema de coordenadas que, por sua vez, tambem esteja
em movimento. Este sistema sera, entao, considerado como relativo (0',
X', Y', Z') e ter3.., no caso geral, um movimentocombinado de translayao
e rotayao com relayao a outro considerado fixo e chamado de sistema
absoluto (0, X, Y, Z) (Fig. 3.1).
z Z'
p
..,
O'
X'
0
y
Fig. 3.1 Sistemas de coordenadas absoluto e relativo.
A relayao entre os vetores posiyiio nos dois sistemas sera:
(3.1)
onde:
R. :::::: vetor posiyao da particula fluida P com relayao ao centro 0 do
..... sistema absolute;
R0 :::::: vetor posiyao do centro O' do sistema relativo com relayao ao
centro 0 do sistema absoluto.
~
r :::::: vetor posiyao da particula fluida P com relayao ao centro O' do
sistema relativo.
~ ~ ~
Designando-se por i', j', k' os vetores unit3.rios do sistema de
coordenadas cartesianas 0', X', Y', Z', e por x', y', z' as componentes
~
do vetor posiyao r neste sistema relativo, pode-se, entao, escrever:

Equafii.O Fundamental das Mdquinas de Fluxo
--> --> --> -->
r = x'i' +y'j' +z'k'
Derivando a equayao (3.1)Com relayao ao tempo, vem:
4
dR d R0 d r
+
c =
dt dt dt
onde:
4
dR0
dt
53
(3.2)
(3.3)
(3.4)
e, como tanto as componentes escalares do vetor posiyao r como os
seus vetores unitarios (podem girar) variam com o tempo:
--> --> --> -->
dr :-;dx' :;dy' k-->,dz' ,di' ,dj' ,dk' (3.5)
---=1 --+J --+ --+x -+y -+z
ili ili ili ili ili ili ili
Sabe-se, ainda, que qualquer vetor fixado a um corpo que gira a
4
uma velocidade angular m tern uma derivada, com relayi'io ao tempo,
4
igual ao produto vetorial (representado pelo sfmbolo x) de ro com o
vetor considerado. Logo:
4
di' --> :;
-=rox1 ·
dt ,
4
d ., --> -->
_J =roxj'
dt
4
d k' --> -->,
-=roxk
dt
(3.6)
Designando-se por w a velocidade relativa da particula fluida:
--> dx':; dy'~ dz'k
4
'
W=---1 +--J +--
dt dt dt
(3.7)
Levando as relai;5es (3.4), (3.5), (3.6) e (3.7) na equai;ao (3.3),
chega-se a:
c=c0 +w+roxr (3.8)
4 _,
0 produto vetorial ro x r d3 origem a um terceiro vetor,
4 4
perpe_gdicular ao piano formado por ro e t"_-. que sera representado
por u Como nas m3quinas de fluxo em geral (exceto nas helices de
4
embarcay5es e aeronaves), c0
= O chega-se a equayao que rege a
construyao do chamado trifingulo de velocidades (velocity triangle):
c = w + u (3.9)
Antes de aplicar esta equayfio as m<i.quinas de fluxo, einteressante,
para um melhor entendimento do que seja movimento absolute e
movimento relativo, fazer uma analogia com o movimento das particulas
de agua da chuva, com relayfio a um referencial fixo e com relayao a um
referencial em movimento.
4
Imaginando uma situayao de chuva torrencial, representa-se por c a
velocidade das particulas de chuva com relayao a um observador fixo
4
(siste1na absoluto) e por u, a velocidade de deslocamento de um
autom6vel onde se encontra o observador em movimento (sistema
relativo) (Fig. 3.2). Na visao deste observador, as partfculas de chuva
incidirao sobre o autom6vel com uma velocidade de m6dulo e direyao
u
'
''
''
''
'
~.i' i' i' i'i' i' i' i'
c
(~i_stema ab_solutol I
u
+---
Fig. 3.2 Triiingulo de velocidades (analogia com o movimento das partfculas de figua
da chuva).

Equapio Fundamental das Mdquinas de Fluxo 55
~
representados pelo vetor w (velocidade relativa), obtido pela aplicayao
da equayao (3.9), enquanto para o observador fi~o, situado fora do carro,
as partfculas possuirao uma velocidade com direyao e intensidade
~ '
definidas pelo vetor c (velocidade absoluta). Dependendo da
~
velocidade do autom6vel, ou seja, do m6dulo do vetor u, a chuva
sequer molhara a sua janela traseira.
Para a aplicayao do trifulgulo de velocidades as m<iquinas de fluxo,
considera-se a corrente fluida que circula atrav6s do rotor de um venti-
lador centrffugo, representado, esquematicamente, pelo corte segundo
um piano meridiano que passa pelo eixo do rotor e pelo corte segundo
um plano perpendicular ao eixo do rotor (Fig. 3.3).
~bi~
6
'5
i
!4
3
I
T W>
---t'·
-Fig. 3.3 Escoamento atraves do rotor de um ventilador centrffugo (m<iquina de fluxo
geradora).
~
u
~
c
~
w
a
p
Em urn ponto qualquer do rotor, denornina-se:
=
=
=
=
velocidade tangencial (peripherical velocity) do referido ponto
do rotor;
velocidade absoluta da corrente fluida (absolute velocity offlow);
velocidade relativa da corrente fluida (relative velocity offlow);
~ ~
3.ngulo que formarn os sentidos positivos de u e c;
~
frngulo que formam o sentido positivo de w com o negativo
~
de u.
56 Mllquinas de Fluido
A estes vetores e suas componentes atribuem-se os seguintes fndices:
3 = um ponto na corrente de entrada na-9 perturbada, situado
i1nediatamente antes da entrada (inlet) do rotor;
4 = um ponto situado imediatamente depois da entrada do rotor,
portanto, ja no espayo entre as pcl.s girat6rias;
5 = um ponto situado imediatamente antes da saida (outlet) do rotor,
portanto, ainda no espayo entre as pas girat6rias;
6 = um ponto na Corrente de safda nilo perturbada, situado
imediatamente depois da safda do canal m6vel.
Esta convenyao seni v31ida tanto para maquinas de fluxo geradoras,
como 6 o caso do ventilador centrifugo utilizado no exemplo, como para
maquinas de fluxo motoras, estabelecendo uma correspondencia entre
algarismos e pontos da m:iquina no sentido da corrente fluida (Fig. 3.4).
I
r+ h1 ..,
'3
4 .--
'
I
'''''5
j6 1' '
• ---t< ; I
-~r-- " '<
I J_l~ ~
- - -
"
Fig. 3.4 Escoamcnto atraves do rotor de uma maquina de fluxo 1notora.
Considerando-se o rotor radial do ventilador da Fig. 3.3 como
constitufdo de um nUmero infinito de pas, o que implica na supos1yao
de pas com espessura infinitesimal separadas por canais tamb6m
infinitesirnais, pode-se concluir que o fluxo atraves dele ser:i unidi-
mensional e que a corrente fluida sera tangente as pas do rotor, em
todos os seus pontos.
Ou seja, as pas serao construfdas de tal forma que nao haja, na sua
parte inicial, qualquer choque do tluido por mudanya brusca de direyiio,
com o conseqiiente descolamento da veia fluida ea formayao de v6rtices
dissipadores de energia. Para que esta condiyiio de ausencia de choque
aconteya, e necess3rio que a composiyao da velocidade absoluta da

Equar;ilo Fundamental das Milquinas de Fluxo 57
corrente fluida c4 , com a velocidade tangencial do rotor, u4
, para um
ponto na entrada do rotor, satisfar;a a equar;fio'_f3.9) e de uma direr;fio
~
para a velocidade relativa, w4 , que seja justamente a da parte inicial da
~
pi. 0 vetor w4 formara o ilngulo P
4
com o sentido negativo da velocidade
~
tangencial u 4 que sera o pr6prio ilngulo de inclinar;ao das pas na entrada
do rotor do ventilador.
0 angulo de inclinar;ao <las pas na saida do rotor sera p5
e coincidira
~
com o ilngulo-+que o sentido positivo de w5
formara com o sentido
negativo de u 5 •
A trajet6ria relativa do fluido, vista por um observador que se
movimenta solid3.rio ao rotor, acompanhara, pois, a curvatura AEB da
pa. Ja, a trajet6ria das particulas do fluido para um observador fixo a
carcar;a da maquina (sistema absoluto), ou seja, a trajet6rj.a absoluta
AE'B', comer;a com direr;ao da velocidade absoluta c4
, sob urn
fingulo a 4 , e termina na periferia do rotor com a direr;ao da
~
velocidade absoluta c5 sob um fuigulo a5
• Isto porque enquanto uma
particula de fluido desloca-se ate o ponto E sobre a pa do rotor, no mesmo
tempo, este ponto ocupara a posir;ao E' com relar;ao ao referencial fixo
(carcar;a da maquina). Ou seja, EE' sera a trajet6ria do ponto E do
rotor no mesmo tempo t empregado pela particula de fluido para ir
de A ate E, de forma que o ilngulo central 8, correspondente ao arco
EE', seja igual a cot, para uma velocidade angular do rotor constante
e igual a co.
Caso exista um sistema diretor colocado ap6s o rotor, as p<is deste
sistema deverao possuir um fuigulo de inclinar;ao na entrada coincidente
a a5, para que possam captar, sem nenhum choque por mudanr;a brusca
de direr;ao, as particulas de tluido que deixam o rotor.
Da mesma maneira, a inclinar;ao <las pas de um sistema diretor
instalado antes do rotor de uma maquina de fluxo motora (turbina
hidraulica do tipo Franci~ por exemplo) estabelecera a direr;ao com que
a velocidade absoluta, c 4
, entrara no rotor (Fig. 3.4).
A Fig. 3.5 representa um triilngulo de velocidades generico que
traduz a equar;ao (3.9), destacando duas componentes do vetor velocidade
absoluta, ; , da corrente fluida, a componente na direr;ao da velocidade
~
tangencial, cu, ea componente medida num plaf!9 meridiano,
perpendicularmente a_ dire93.o da ve}ocidade tangencial, Cm.
5
'"II
IQ
Fig. 3.5 Triiingulo de velocidades gen6rico.
Enquanto a componente tangencial (tangencial ou }Vhirl compo-
nent) de m6dulo c est<i como se ver<i a seguir, intimamente ligada a
ener~ia especffica i~~erca~biada entre o rotor e o fluido, a componente
meridiana (meridional component), de m6dulo cm, esti vinculada avazao
da m<iquina, por meio da equar;ao da continuidade:
(3.10)
onde· .;s·
. ~p
Q = vazao de fluido que passa pelo rotor, em m3/s; "
A = area de passagem do fluido, em m2;
cm= velocidade meridiana, em mis.
Pela condir;ao de obtenr;ao da equar;ao da continuidade, a
~
con1ponente meridiana cm da velocidade absoluta deve ser sempre
perpendicular aarea A.
Para as m3.quinas radiais, a componente meridiana possui a direi;ao
radial, enquanto a area de passagem, desprezando a espessura das pas,
corresponde asuperficie lateral de um cilindro (Fig. 3.6), ou seja:
A ~ itD b (3.11)
ondc:

Equap'io Fundamental das Mdquinas de Fluxo 59
A = area da sei;ao de passagem, em rn2;
D di3metro (diameter) da se9ao considerada, em m;
b largura do rotor (impeller width ou impeller breadth) na se9ao
considerada, em m. ...
ROTOR RADIAL ROTOR DE FLUXO MISTO ROTOR AXIAL
Fig. 3.6 Area de passagem da corrente fluida atraves dos diversos tipos de rotores.
Para as m3quinas axiais, a componente meridiana tern a dire9ao
do eixo do rotor e a area de passagem e a superffcie de uma coroa circular
(Fig. 3.6), calculada por:
A= n_ (o' -o')
4 c l
(3.12)
onde:
De= difunetro exterior (tip diameter) do rotor, em m;
D; = diilmetro interior ou di3metro do cubo (hub diameter) do rotor,
em rn.
Ja, nas m3quinas diagonais ou de fluxo misto, a cornponente
meridiana encontra-se nurna direyao intermediaria entre a radial ea axial
e a <"irea de passagem corresponde asuperffcie lateral de um tronco de
cone (Fig. 3.6), que pode ser expressa por:
(3.13)
onde:
De = di§.metro da base rnaior do tronco de con~, em m;
D = di§.metro da base menor do tronco de con·e, em m;
'
b = comprirnento da geratriz do tronco de cone, em m.
3.2 Equa~ao fundamental para ntimero infinito de p3s
Para a determinayao da equa~iio fundamental das m3quinas de
fluxo, sera considerada a m<"iquina geradora radial representada esque-
maticamente na Fig. 3.7, cujo rotor possui um niimero infinito de pas,
no qual o escoamento mantern-se em regime permanente e as
transforma95es acontecem sem perdas energeticas. Ou seja, parte-se da
suposi93.o de uma maquina ideal, na qual o escoamento e unidimensional,
congruente com as pas, sem atrito e com fluxo de massa constante.
Proj~ao do bordo de saida
da pl! sobre piano meridiano
Disco dianteiro do rotor
Projc)<'io do bordo de entrada
da pii sobre piano meridiano
Fig. 3.7 M3.quina de fluxo radial geradora (carte longitudinal).
A energia que o fluido recebe ao interagir com as pas do rotor pode
ser traduzida num aumento da sua energia de pressao, da sua energia de
velocidade ou da sua energia de posi93.o (potencial). A transforma93.o
pode acontecer sob todas as formas de energia citadas ou apenas sob
uma delas, sendo que a variayao da energia potencial pode ser desprezada.

Equafiio Fundamental das Mllquinas de Fluxo 61
0 aumento da energia de pressao ser3. explicado como decorrente
de duas transformar;Oes separadas, masque, na r~alidade, acontecem ao
mesmo tempo e de forma inseparavel. Esta simplificac;ao, embora
grosseira, auxilia o entendimento.,dos fenOmenos ffsicos que ocorrem no
interior da maquina. A energia de pressao est3.tica que o fluido recebe ao
passar pelo rotor pode, entao, ser expressa como a soma de dois termos:
'
Ps - p, u' w' - w'
Ye>! = 5 - u,
+ ' 5
2 2
(3.14)
onde:
Y., =
P, =
P, =
p
u, =
u, =
w, =
w, =
p
energia de pressao est3.tica, em J/kg;
pressao na safda do rotor, em N/m2
;
pressao na entrada do rotor, em N/m2;
massa especffica do fluido em escoamento, em kg/m3;
velocidade tangencial de um ponto situado na safda do rotor, em mis;
velocidade tangencial de um ponto situado na entrada do rotor,
em m/s;
velocidade relativa de uma partfcula fluida na entrada do rotor,
em mis;
velocidade relativa de urna partfculafluida na safda do rotor, em mis.
0 primeiro termo traduz o aumento de pressao decorrente da ac;ao da
forr;a centrifuga sobre as partfculas fluidas, provocado pela diferenc;a das
velocidades tangenciais de entrada e safda (exceto para rotores axiais ou
tangenciais, onde u4
=u5
) como conseqi.iSncia do movimento de rotac;ao do
rotor. Este mesmo efeito gera uma depressao na boca de entrada do rotor,
fazendo com que o fluido tenha acesso a ela, deslocando-se atraves da
canalizac;aode admissao da bomba, impulsionado pela presslio maior existente
no reservat6rio de succ;ao.
0 segundo termo deve-se atransformac;ao de energia de velocidade
em energia de pressao, decorrente da diminui9ao da velocidade relativa
de w4 para w5 no interior de canais em fonna de difusores constitufdos
pelas pas do rotor.
Paralelamente ao aumento de energia de pressao estritica, produz-
se uma transformac;ao de energia sob forma de velocidade, ou energia
especffica de pressao dinfunica, em razao da diferen9a das velocidades
absolutas entre a safda e a entrada do rotor. O.!l seja:
(3.15)
Ydin =
2
onde:
Ydin = energia especffica de pressao dinfunica ou de velocidade, em J/kg;
c5
= velocidade absoluta de uma particula fluida na saida do rotor, em
mis;
c4
= velocidade absoluta de uma particula fluida na entrada do rotor,
em mis.
A energia total entregue ao fluido ao passar pelo rotor da m<iquina
de tluxo correspondera, entao, asoma dos termos contidos nas equa96es
(3.14e3.15):
2 2 2 2 2 2
U 5 -U4 W 4 -W 5 C
5
-c4
+-~-~+---
(3 16)
2 2 2
onde:
Y . = energia ou trabalho especifico intercambiado nas pas do rotor
,,_
suposto com nUmero infinito de p.3.s.
A equac;ao (3.16) euma das formas de representac;ao da equas;ao
fundamental para as maquinas de fluxo geradoras.
Seguindo raciocinio analogo, chega-se aequac;ao fundamental para
as m3.quinas de fluxo motoras. Ou seja, a energia que o fluido fomece 3.s
pas do rotor sera:
(3.17)
onde, neste caso:
u' - ' ' '
Ye,1 =
P4 - Ps
'
u, W5 -W 4
= +
p 2 2
(3.18)
e
c2 - c2
Ydm =
_,__
5
2
(3.19)

Equar;ao Fundamental das Mtiquinas de Fluxo 63
Considerando agora os trifuigulos de velocidade na entrada e na
saida do rotor e as rela95es trigonom6tricas existentes entre suas com-
ponentes (Fig. 3.5), tem-se que: ,
'
W4= C~ -2 U 4 Cu4 +u!
e
'
W5= ' 2 '
Cs- U5Cus+u5
Levando estes valores aequac;ao (3.16) e fazendo as simplifica96es
necessririas, chega-se a:
onde:
y
p.1~
u,
u,
c
"'
c
"'
=
=
=
=
=
(3.20)
salto energ6tico ou trabalho especffico fornecido pelas pas do
rotor ao fluido, em J/kg;
velocidade tangencial de um ponto na entrada do rotor, em mis;
velocidade tangencial de urn ponto na saida do rotor, em mis;
componente tangencial da velocidade absoluta para a entrada
do rotor, em m/s;
co1nponente tangencial da velocidade absoluta para a saida
do rotor, em mis.
A equagao (3.20) e a forma mais empregada da equai;io fun-
damental para as m3quinas de fluxo geradoras (fundamental equation
of turbomachines). Esta equagao tambem e chamada de equai;io de
Euler (Euler equation) para maquinas de fluxo geradoras, em
homenagem ao cientista sufgo Leonhard Euler que a formulou no seculo
XVIII. Para se chegar a esta mesma equagao, de uma forma mais
adequada ao desenvolvimento de Euler, utiliza-se o tratamento vetorial,
como sera visto adiante. Para tanto, sera considerado o volume de
controle varrido pelo deslocamento de uma pa do rotor durante uma
rotagao completa, ou seja, o volume de controle delimitado pela
superflcie lateral gerada pelo bordo de entrada da pa, pela superffcie
gerada pelo bordo de safda da pa, pelo disco dianteiro e pelo disco traseiro
do rotor (Fig. 3.7). A equa93.o do momento da quantidade de movimento,
desenvolvida naMecfullca dos Fluidos, pode serescritada seguinte maneira:
- - - - · - - - - - - -
~ (~ ~ )( ~ ~) d (~ ~)
M= [ rxc pc.dA +at[ rx_c (pdv) (3.21)
onde:
~
M
~
= momento da quantidade de movimento do sistema considerado,
com relagao a um ponto de referencia fixo;
r = vetor posigao de uma partfcula de fluido;
c = velocidade de uma particula de fluido com rela93.o ao referencial
_, fixo;
dA = vetor representativo de um elemento de area da superffcie de
controle considerada;
p = massa especifica do fluido;
dv = volume elementar de fluido.
Nesta equa93.o, o simbolo "x" representa o produto vetorial, e o
slmbolo ".", o produto escalar de dois vetores.
Na aplica93.o em maquinas de fluxo interessa calcular o momento
da quantidade de movimento da equagao (3.21) com relagao ao eixo do
rotor. Como as tens5es tangenciais sao ignoradas nos limites da superficie
de controle (fluido ideal) e as press5es que atuam sobre a mesma n3.o
contribuem para a produ~ao de um momento com relagao ao eixo, pode-
se, entao, escrever:
onde:
Mpj== momento ou torque exercido pelo rotor, suposto com nrimero
infinito de pas, sobre o fluido, com relagao ao eixo de rotas;ao;
r distfincia radial do eixo ate a particula de fluido considerada;
cu componente tangencial da velocidade da particula de fluido.
Para regime permanente:
(3.22)

.~ ...
Equarao Fundamental das Mdquinas de Fluxo 65
Como s6 existe fluxo atraves <las superffcies de entrada, A4, e de
saida, A5
, aplicando a equayao (3.22) asuperficie,que delimita o volume
de controle considerado, tem-se:...
M,,_ = f''°"' [pc, dA, cos(90 + o:J] + fr, c,, [pc, dA, cos(90- ex,)]
A4 A5
Pelo triilngulo de velocidades, sabe-se que:
e que
Levando estes valores na equayao anterior e considerando os pro-
dutos r4cu4
e r5
cu5
constantes ao longo das superffcies de entrada e
safda (fluxo unidimensional), respectivamente, diz-se que:
Mp.i== -r4cu4P Jcm4dA4 + rsCusP fcni5dA5
A4 A5
Pela equayao da continuidade, as integrais representam a vazao,
Qr, que passa atraves das se:6es A4 e A5
do rotor. Logo, pode-se
escrever:
(3.23)
De acordo com a equayao (1.28), a potencia necess<lria para acionar
o rotor ideal considerado sera:
onde:
p
··-
ffi
p
Q,
r,
=
(324)
potencia fornecida pelo rotor suposto com nUmero infinito de
pas, em W;
velocidade angular de rotac;ao do rotor;
massa especifica do fluido, em kg/m3
;
vazao que passa atraves do rotor, em m3
/s;
raio de safda do rotor, em m;
- - - - - - - - - - - - - · - - - - - -
r4
= raio de entrada do rotor, em m;
cuS = componente tangencial da velocidade ab...soluta de safda, em mis;
cu
4 = componente tangencial da velocidade abSoluta de entrada, em mis.
Esta potencia PP""' sera a responsavel pelo acrescimo de energia
Y P""' que idealmente o fluido sofreria ao interagir com um rotor de
nlimero infinito de pas. Ou seja, pela equac;ao (1.24), pode-se escrever:
p =pQ y
pa.. r pa=
(3.25)
Comparando-se as equay6es (3.24) e (3.25), conclui-se que:
(3.26)
Ou, ainda, como u5
=co r5
e u4=co r4, chega-se novamente a
equa,ao (3.20):
Aplicando raciocinio an<llogo ao escoamento de um fluido atraves
do rotor de uma turbina, chega-se a equai;;ao fundamental para as
maquinas de fluxo motoras:
(3.27)
onde:
Ypa"'= salto energetico ou trabalho especffico fornecido pelo fluido a
um rotor com nllmero infinito de p<is, em J/kg.
No caso das turbinas hidr<lulicas, normalmente procura-se evitar a
componente de giro na saida do rotor para reduzir as perdas por atrito
no tubo de suci;;3.o (drqft tube) da turbina. Isto e obtido quando cus = 0,
correspondendo a um 3.ngulo a5
= 90°. Neste caso, a equayao
fundamental para miquinas de fluxo motoras reduz-se a:
(3.28)

Equar;iio Fundamental das Mdquinas de Fluxo 67
Esta equa98.o constitui um born ponto de partida para o projeto da
maquina. Mas para o fluido real, com a varia9iip das condi96es de fluxo
no sistema diretor e no rotor, resulta, muitas vezes, que o rendimento
6timo niio se alcan9a para c05
= 0, sendo recomendavel o uso da equa9ao
(3.27) completa.
Para as maquinas de fluxo geradoras desprovidas .de pas diretrizes
antes do rotor, como as bombas e os ventiladores centrifugos, nor-
malmente o fluido chega ao bordo de ataque das pas do rotor com um
fulgulo a4 = 90°, fazendo com que cu4 = 0 e levando aequa98.o
simplificada:
(3.29)
3.3 Fator de deficiencia de potencia
Ate aqui se analisou a situa98.o de uma maquina de fluxo ideal,
com nllmero infinito de pas no rotor, onde o escoamento pode ser consi-
derado unidimensional e perfeitamente guiado pelas pas. Numa maquina
de fluxo motora real, com um nllmero finito de pas, a corrente fluida
segue o contomo das pas sem desprendimentos notaveis e a aplicai;iio
da teoria unidimensional conduz a resultados que concordam com os
experimentais. Portanto, nenhuma corre9ao se faz necessfilia e pode-se
sempre adotar:
y =
'"°
Y. (3.30)
'"
ou, ainda:
p =
pL
P.
onde:
Y.=
"'
p =
,,
,.
energia ou trabalho especifico intercambiados no rotor suposto
com nrimero finito de pas, em J/kg;
potencia intercambiada no rotor suposto com nllmero finito de
pas, em W.
Isso niio acontece com as maquinas de fluxo geradoras, onde a
energia que um rotor real, com nllmero finito de pas, entrega ao fluido
e menor que a esperada a partir da considera98.o de um rotor ideal, com
nllmero infinito de pas, fazendo-se necessario...a utiliza9iio de um fator
de corre9iio que leve em conta tal diferen9a. Este fator, adimensional,
denominado de fator de defiCiencia de potencia (slip factor), repre-
sentado pelo simbolo µ, sera sempre menor ou igual a 1, aumentando
com o aumento do nllmero de pas do rotor, conforme sera visto no
Capitulo 12.
Para maquinas de fluxo geradoras, tem-se entao:
ypj = µ ypU= (3.31)
e
p .= µ p.
pa pa=
Eimportante salientar que o fator de cteficiencia de potencia n:ao e
um rendimento, uma vez que niio leva em considera9iio perdas ener-
g6ticas, mas a impossibilidade de se atingir uma situa9iio idealizada. Ou
seja, uma maquina de fluxo geradora real entregara menos energia ao
fluido do que uma com nllrnero infinito de pas no rotor, corn as mesmas
dimensOes e mesma velocidade de rota9ao.
3.4 Grau de reat;3o te6rico
Ao passar pelo interior de uma maquina de fluxo, o fluido sofre
transforma96es de energia de pressao e de energia de velocidade (energia
de pressao dinamica). A propor9iio de energia que e intercambiada sob
forma de pressiio estatica e fator importante para a classifica9ao das
maquinas de fluxo e, para um detenninado tipo de maquina, conduz a
determinadas peculiaridades de projeto. A forma <las pas, o grau de
admissao (parcial ou total) e muitos outros parfunetros de constru98.o,
estiio intimamente associados arela9iio entre a varia98.o da energia de
pressiio est3tica ea varia9ao total de energia no rotor, denominada grau
de reat;3o (degree o,freaction).
Quando o escoarnento atraves do rotor e considerado ideal, isto e,
sem perdas, esta grandeza e chamada de grau de reat;iio te6rico e, assim,
expressa:

Equa<;iio Fundamental das Mdquinas de Fluxo 69
(3.32)
onde:
p1
= grau de reac;iio te6rico, adimensional;
YP,, = energia (salto energetico) especffica intercambiada no rotor con-
siderado com nlimero finito de pas, em J/kg;
Y0
,
1
= energia especffica de pressiio est<itica, em J/kg;
Ydin = energia especffica de pressiio dinfun:ica ou de velocidade, em J/kg.
0 grau de reac;iio te6rico normalmente esta compreendido entre 0
(zero) e 1 (um), mas pode ser tambem menor que 0 e maior que 1,
servindo para classificar as m<iquinas de fluxo em m:iquinas de a~ii.o,
quando o grau de reac;ao te6rico for igual a 0 e em m:iquinas de rea~ii.o,
quando o grau de reac;iio for diferente de 0.
Nas m<iquinas de fluxo que trabalham com fluido compressfvel
(turbinas a vapor, por exemplo), ainda que o grau de reac;ao defina-se,
as vezes, como a relac;ao entre a energia de pressao e a energia total
intercambiada no rotor, e mais freqtiente defini-lo como a relac;ao entre
o salto entfilpico no rotor e a variac;ao total de entalpia na m<iquina ou
num est<igio da m<iquina, considerando as transformac;Oes como
isentr6picas (Fig. 3.8), ou seja:
p, (3.33)
onde:
h. = entalpia do fluido na admissao da m<iquina ou de um est<igio da
m<iquina, correspondente a uma pressao pa e a uma temperatura
t,, em J/kg;
h4, = entalpia na entrada do rotor, correspondente a pressao p4
ea uma
transformac;ao isentr6pica, em J/kg;
h5, = entalpia na saida do rotor, correspondente apressao p5
ea uma
transformac;ao isentr6pica, em J/kg.
70
h
4,
h4, -----------
sa= &j= S5
Fig. 3.8 Diagrama h = f (s) para turbina a vapor ou a gas.
Mdquinas de Fluido
r,
s
Saliente-se que, nas maquinas de fluxo que trabalham com fluido
considerado compressfvel (turbinas a vapor e turbinas a gis), e freqtiente
misturar, numa mesma maquina de varies est<igios, est<igios de ac;ao e
de reac;ao e inclusive fazer que em um mesmo estigio o grau de reac;ao
varie da entrada para a saida.

4
PERDAS DE ENERGIA EM
MAQUINAS DE FLUXO
No capftulo anterior, a equar;ao fundamental foi determinada
para uma m<iquina onde o fluido de trabalho era ideal (sem visco-
sidade), a rugosidade das paredes era desconsiderada, as folgas
supostas inexistentes e o escoamento acontecia de maneira perfei-
tamente tangencial as pas do rotor e do sistema diretor, sem desco-
lamentos das superffcies de contato. No entanto, estas hip6teses
simplificadoras nao sao encontradas nas m<iquinas reais, onde as
transformar;5es acontecem com degradar;ao de energia, as folgas entre
as partes rotativas e as partes fixas sao uma necessidade construtiva,
o fluido de trabalho e viscoso e as perdas apresentam-se como ine-
vitiveis. 0 conhecimento da origem e da magnitude destas perdas de
energia da ao projetista condi95es de minimiza-Ias, permitindo a
construyao de maquinas de elevado rendimento.
Embora, em algumas situa96es, a reduyao dos custos de fabri-
cayao prepondere sobre uma sofisticayao tecnica do projeto, exemplos
·podem ser citados, demonstrando a importfincia da melhoria do rendi-
mento, principalmente, em m8.quinas de grande porte. 0 aumento de
t % no rendimento de um turbocompressor radial para g<is natural
com pressao na descarga de 40 MPa e potencia de acionamento da
ordem de 10 MW, significa uma reduyao de 100 kW na potencia
do motor de acionamento, com a correspondente economia de energia.
A reduyao de 1% no rendimento de uma das turbinas hidniulicas do
tipo Francis da Central Hidreletrica de Itaipu, no rio Paran3, com
700 MW de potencia, levaria a uma reduyao de 7000 kW na potencia
gerada, equivalente a potencia total de uma Pequena Central
Hidreletrica, como a de Furnas de Segredo, no rio Jaguari, RS.
As perdas de energia, os rendimentos que as representam e suas
implicay5es no c3lculo da potencia das m.4quinas de fluxo serao
abordados neste capftulo. '
4.1 Tipos de perdas
Pelo Primeiro Princfpio da Termodinfunica, sabe-se que a energia
nao pode ser criada ou destrufda, mas apenas transformada. 0 que se
costuma chamar de perdas (losses) sao, na realidade, processos irrever-
sfveis que ocorrem no funcionamento das m<iquinas, onde formas de
energia mais nobre como a mec<lnica, por exemplo, degradam-se,
transformando-se em formas de energia de qualidade inferior, como o
calor e a energia interna.
Nas m8.quinas de fluxo, as perdas classificam-se em internas e
externas. Como perdas internas englobam-se as perdas hidr<iulicas, as
perdas por fugas ou volum6tricas, as perdas por atrito de disco e, no
caso das m<iquinas de admissiio parcial, as perdas por ventilayao. As
perdas externas silo, essencialmente, as perdas mecfinicas.
As perdas hidr3ulicas (hydraulic losses) sao as mais importantes
nas m<iquinas de fluxo e originam-se do atrito do fluido com as paredes
dos canais do rotor e sistema diretor, da dissipayffo de energia por
mudan9a brusca de seyao e direyao dos canais que conduzem o fluido
atraves da m3quina e tamb6m pelo choque do fluido contra o bordo de
ataque das pas, que tern lugar quando a m3quina funciona fora do ponto
nominal ou ponto de projeto. Este choque e produzido na entrada das
pas m6veis do rotor, quando a tangente ap3 na entrada nao coincide
com a direyao da velocidade relativa, e na entradadas pas fixas do sistema
diretor, quando a tangente apa nao coincide com a direyao da velocidade
absoluta da corrente fluida, dando origem a turbilh6es provocados pela
separa9ao da camada limite (descolamento) do fluido em escoamento
das paredes que o conduzem (Fig. 4.1).

Perdas de Energia em Mtiquinas de Ffuxo
..I> 8

I
• 7
~ ,
L.----""'-~. ;'!;:·· 6
~ 5

4
' 3

Fig. 4.1 Turbilh6es provocados por descolamentos da corrente fluida.
73
A rugosidade das superffcies fixas e m6veis e o nUmero de Reynolds
exercem grande influencia sobre as perdas de carga por causa do atrito.
Quando a camada limite laminar cobre as irregularidades da parede, a
superffcie pode ser considerada polida.
Particularmente, para as maquinas de fluxo com rotores de canais
estreitos, onde o acesso para polimento e dificil, a rugosidade pode criar
perdas consideraveis. Co1no as velocidades no interior de uma maquina
de fluxo siio, em geral, elevadas, o escoamento, quase sempre, encontra-
se na zona de turbulencia completa (tubos rugosos), onde o coeficiente
de atrito (friction .factor) f niio varia com o nUmero de Reynolds, mas
somente com a rugosidade relativa. Neste caso, as perdas hidraulicas
silo proporcionais ao quadrado da velocidade e, como as 3.reas das sei;;6es
de escoamento permanecem constante, tambem proporcionais ao
quadrado da vaziio. Esta conclusiio niio se aplica ao bombeamento de
Oleos de grande viscosidade, onde a influencia do nU.mero de Reynolds
sobre o coeficiente de atrito nao pode deixar de ser considerada, podendo-
se chegar azona de escoamento laminar.
Como as perdas hidrrl.ulicas provocam uma perda na energia
especffica intercambiada entre as pas do rotoc e o fluido de trabalho,
pode-se escrever, para maquinas de fluxo geradoras:
(4.1)
onde:
Y¢ ::= energia especffica que teoricamente as pas do rotor entregariam
ao fluido, em J/kg;
Y ::= energia especffica disponfvel pelo fluido na safda da maquina,
ou, salto energetico especffico na maquina, ou, ainda, a energia
que realmente o fluido recebe do rotor, em J/kg;
EP ::= energia especffica referente as perdas hidraulicas, em J/kg.
Para maquinas de fluxo motoras, a equac;iio sera:
Y ~Y-E
pa p
(4.2)
onde:
Yr" ::= energia especffica que realmente as pas do rotor recebem do fluido,
em J/kg;
Y ::= energia disponivel pelo fluido na entrada da maquina, ou, salto
energetico especffico na maquina, ou, ainda, a energia que
teoricamente o fluido entregaria ao rotor, em J/kg;
Er ::= energia especffica referente as perdas hidrrl.ulicas.
As perdas por fugas (leakage losses) ou perdas volumetricas
ocorrem atraves das inevitaveis folgas existentes entre a parte rotativa e
a parte fixa da maquina, separando recintos com press6es diferentes
(Fig. 4.2). Essas folgas podem variar de alguns ctecimos de milimetros,
por exemplo, em bombas para indU.strias de processo, ate varios
milimetros, por exemplo, em ventiladores comuns de baixa pressiio. A
massa ou volume que por ai escoa carrega uma quantidade de energia
que sera considerada perdida durante 0 funcionamento da maquina.

Perdas de Energia e111 Mdquinas de Fluxo 75
-~ --------
'
Fig. 4.2 Perdas por fugas em maquinas de tluxo.
A Fig. 4.2 representa, do eixo para a esquerda, o corte longitudinal
de uma m<lquina de fluxo motora e, do eixo para a direita, o corte longi-
tudinal de uma m<lquina de fluxo geradora. De acordo com esta figura,
a quantidade de fluido que passa pelo rotor da m<lquina e, conseqiien-
temente, participa do intercilmbio de energia, e:
- para m<iquinas de fluxo motoras: m, = m mf (4.3)
- para maquinas de fluxo geradoras: m, = m+ mf (4.4)
Onde:
ri1 =
• fluxo m<issico que passa pelo interior do rotor, em kg/s;
ri1 = fluxo m<lssico que passa pelas canaliza95es de admisslio e des-
carga da maquina, em kg/s;
Inr = fluxo m<issico que passa atraves das folgas, em kg/s.
Como ill. = p Q, sendo p a massa especffica do fluido em kg/m3
e Q a vazao em m3/s, as equa95es (4.3) e (4.4) poderao ser escritas,
respectivamente, para m<iquinas motoras e miquinas geradoras:
Q, = Q - Q, (4.5)
Q, = Q + Q, (4.6)
onde:
Q, = vazao que passa pelo interior _do rotor, eqi m3
/s;
Q = vazao que circula pelas canaliza95es de admisslio e descarga da
maquina, em m3
/s;
Qr = vazao de fugas, em m3
/s.
A energia perdida por fugas, Er sera entlio:
mf Qr
E, =- Y_, = -Y.
m1=Qpa (4.7)
Como a vazao Qr varia proporcionalmente a se9lio da folga ea raiz
quadrada da diferen9a de pressiio entre os dois lados da folga, a energia
perdida por fugas cresce com o aumento da folga e com o salto energetico
especffico da m3.quina.
0 rotor e como um disco que gira dentro de uma carca9a. Ideahnente,
o disco deveria girar no vazio, mas, na realidade, a carca9a encontra-se
preenchida pelo fluido de traba1ho e as faces externas deste disco, por atrito,
arrastam as particulas fluidas que se encontram aderidas a ele, provocando
um movimento do fluido no espa90 compreendido entre o rotor e as paredes
da carca9a. Este movimento consome uma determinada potencia, que,
ocorrendo durante o tempo de funcionamento da m<lquina, caracteriza a
denominada perda de energia por atrito de disco (disk friction loss). A
potencia consumida por atrito de disco pode ser expressa por:
(4.8)
onde:
Pa = potencia perdida por atrito fluido, em W;
K = coeficiente adimensional que depende do nUmero de Reynolds;
p = massa especifica do fluido de trabalho, em kg/m3
;
u = velocidade tangencia1 correspondente ao difunetro exteriordo rotor,
emm/s;
D = diilmetro exterior do rotor, em m.
As perdas por atrito de disco sao tfpicas das m<iquinas de fluxo,
ainda que, nas m3.quinas axiais, este tipo de perda seja muito pequeno e
possa, em geral, ser desprezado. Tratando-se de rotor radial semi-aberto,

-
Perdus de Energia e1n Mdquinas de Fluxo 77
com s6 uma superficie de contato, ou, de um rotor de dupla admissiio,
P, tera a metade do valor expresso pela equa9ii9 (4.8).
As perdas por ventilac;3.o (wind.age losses) s6 tern lugar nas m<lquinas
de fluxo de admissiio parcial e saO muito import.antes nos est:agios de a93.0
das turbinas a vapor e das turbinas a gas. Elas se originarn pelo contato das
pas inativas do rotor com o fluido que se encontra no recinto onde ele gira.
De maneiraanfilogaas perdas poratrito de disco, estas perdas saodiretamente
proporcionais amassa especifica do fluido de trabalho e crescem com o
aumento do difimetro do rotor, da altura das pas, da velocidade de rota9iio e
tambem quando diminui o grau de admissao.
As perdas descritas, denominadas perdas intemas das m3.quinas de
fluxo, rem como caracterfstica comum o fornecimento de calor ao fluido
de trabalho e, conseqilentemente, o aumento da sua entalpia de descarga.
Algumas vezes a energia de velocidade de saida nas turbinas tambem
e considerada como perda hidr<'iulica e, conseqiientemente, como perda
intema da m<'iquina, porque, embora o projetista busque reduzir a velo-
cidade de saida no rotor <las turbinas, visando ao melhor aproveitamento
possivel da energia cin6tica, um valor finito desta velocidade toma-se
necess<'irio para transportar o fluido para fora da m<'iquina. Se a energia
de velocidade de safda nilo for utilizada, por exemplo, em outros est<'igios
da m<i.quina, ela configurari uma perda e, nas turbinas a vapor, aumenta
a entalpia do vapor na descarga.
Finalmente, e importante mencionar as perdas mec3nicas
(mechanical losses), conseqilencia do atrito nos mancais e nos dispo-
.sitivos de vedayao por contato (nas gaxetas e nos selos meciinicos, por
exemplo), e do atrito do ar com superfi'.cies rotativas, tais como volantes
e acoplamentos. As perdas nos dispositivos de transmissfio e no acio-
namento de 6rgilos auxiliares, tais como, reguladores de velocidade e
bombas de 61eo, tambem podem ser consideradas como perdas meci-
nicas. 0 calor gerado por estas perdas, normalmente, nao e transmitido
ao fluido de trabalho, daf serem chamadas tambem de perdas externas.
As perdas nos mancais dependem do peso da parte rotativa suportada
por eles, da velocidade tangencial do eixo e do coeficiente de atrito
entre as superffcies em contato, enquanto, nas gaxetas, aiem da velo-
cidade tangencial do eixo, do coeficiente e da superffcie de atrito, e
importante considerar o grau de aperto da sobreposta da gaxeta. Quanto
maior este aperto, maior sera a pressffo exercida pela gaxeta sobre o
eixo e maiores serilo as perdas mecinicas correspondentes.
4.2 Potencias e rendimentos em m3quinas de fluxo
De acordo com os v3rios tipos de perdaS, anteriormente descritas,
definem-se os diversos rendi'mentos <las miquinas de fluxo, que se
classificam em:
• rendimento hidr3.ulico (hydraulic efficiency), Tjh, que leva em con-
siderayffo as perdas hidrJ.ulicas, assim expresso:
- para mJ.quinas de fluxo motoras:
(4.9)
- para m<i.quinas de fluxo geradoras:
(4.10)
• rendimento volumetrico (volumetric efficiency), riv' que considera
as perdas por fugas, definido pelas equay5es:
- para m3quinas de fluxo motoras:
ri:t- m
T = '
' m
Q-Q,
Q
- para m3quinas de fluxo geradoras:
T,=-~m~_
m+illr
=
Q + Q,
(4.11)
(4.12)
• rendimento de atrito de disco (disk friction efficiency), TJ3
, que
engloba as perdas por atrito de disco e ventilayilo, assim definido:
- para mJ.quinas de fluxo motoras:
(Y -E, )(m-ril, )- P,
(Y -E,)(m-m,) (4.13)

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