8. Espectro de linha
Espectro de linha bilateral
8
Espectro de amplitude tem simetria par
e espectro de fase tem simetria impar
9. Espectro de linha
Sinais periódicos descritos como soma de sinusoides
simples
𝑣 𝑡 = 7 − 10𝑐𝑜𝑠 40𝜋𝑡 − 60° + 4𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡
9
10. Espectro de linha
𝑣 𝑡 = 7 − 10𝑐𝑜𝑠 40𝜋𝑡 − 60° + 4𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡
Espectro de linha unilateral
10
11. Espectro de linha
𝑣 𝑡 = 7 − 10𝑐𝑜𝑠 40𝜋𝑡 − 60° + 4𝑠𝑒𝑛 120𝜋𝑡
Espectro de linha bilateral
11
12. Potência média
• O valor médio de um sinal qualquer:
Sinal periódico: valor médio = valor médio num período
Define-se a potência média:
Se S for finita, o sinal é classificado como sinal de potência
12
13. Série de Fourier
• Aplicado aos sinais periódicos
• Determina os coeficientes (com informação da
amplitude e fase das riscas) para qualquer sinal
periódico
• Pode ser usada para decompor um sinal periódico
como somatório de sinais sinusoidais simples (um
sinal sinusoidal por cada risca)
•
13
14. Série de Fourier
• Os coeficientes são dados:
• Cn é um complexo
14
Forma Polar
Onde arg Cn é o angulo do complexo Cn
15. Série de Fourier
• Espectro de linha bilateral
• O coeficiente de ordem n ocorre em:
• Só existem valores diferentes de zero em múltiplos
de f0
• n=0 corresponde ao valor médio do sinal
• Se v(t) for real:
15
16. Série de Fourier
• Versão trigonométrica da série de Fourier
• Espectro de linha unilateral
16
17. Função SINC
• Cálculo de Cn envolve cálculo recorrente do seguinte
integral:
• 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝛼
𝜋𝛼
Anula para valores de α inteiro excepto α=0 (onde tem
o máximo)
17
23. Transformada de Fourier
• Sinais genéricos (periódicos e não periódicos)
• Sinais de energia
Usar a fórmula do coeficiente da série
fazendo:
23
24. Transformada de Fourier
• Espectro deixa de ser em riscas e passa a ser uma
função contínua em f
• Recuperar v(t) deixa de ser somatório:
• v(t) é transformada inversa
24
28. Pulso retangular
• Parte significativa do espectro
Será utilizada como largura espectral de um pulso
de duração τ
• Redução da duração do pulso => aumento da
largura espectral. Pulsos curtos tem espectros
largos e pulos longos tem espectros estreitos:
Fenómeno conhecido como “espalhamento
recíproco”
28
39. Considerações Finais
• Fenômenos periódicos ocorrem recorrentemente em várias
aplicações: representação de funções periódicas em termos de
funções simples, como o senx ou cosx - Séries de Fourier.
• Conceitos e técnicas desenvolvidos para as séries de Fourier
podem ser estendidos para o caso de funções que não são
periódicas: Transformadas de Fourier.
• A utilização de séries e transformadas de Fourier revela-se,
portanto, eficiente na resolução de problemas nas mais diversas
áreas.
39
Notas do Editor
Zeros em 4f0, -4f0, 8f0, -8f0, … (não tem linhas espectrais)
Referir o valor do C0
Fase 0 ou +/-180