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Ondas eletromagnéticas na engenharia

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Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas MIEEC 2006/2007 http://www.bbemg.ulg.ac.be/Images/UKondeelm.gif
OE 0607 Faculdade de Engenharia Ondas Electromagnéticas no MIEEC disciplina final da área de Teoria da Electricidade • Circuitos (1º ano, tronco comum) • Leis básicas dos circuitos eléctricos • Electromagnetismo (2º ano, tronco comum) • Campos eléctrico e magnético • Ondas Electromagnéticas (2º ano, ramo Telecomunicações) • Propagação de ondas electromagnéticas • meios infinitos • linhas de transmissão • guias de onda • Geração de ondas electromagnéticas • antenas
OE 0607 Faculdade de Engenharia Escolaridade • Teóricas • 1 turma • 2 X 1h por semana • Teórico-práticas • 4 turmas • 1 X 2h por semana • Laboratórios • 4 turmas • 3 X 2h por semestre Lab1 (sala I220) •turmas 11 e 12 dia 29/3 •turmas 13 e 14 dia 12/4 Lab2 (sala I220) turmas 11 e 12 dia 26/4 turmas 13 e 14 dia 3/5 Lab3 (sala B236) turmas 11 e 12 dia 17/5 turmas 13 e 14 dia 24/5
OE 0607 Faculdade de Engenharia Funcionamento • Teóricas • exposição e discussão da matéria • resolução de exercícios (?) • Teórico-práticas • resolução de exercícios pelos docentes • resolução de exercícios pelos alunos • realização de microtestes • Laboratórios • realização de trabalhos de acordo com guiões fornecidos • elaboração e entrega de relatórios
OE 0607 Faculdade de Engenharia Docentes 2ª feira, 15h – 16h 5ª feira, 9h – 12h 5ª feira, 10h – 11h 2ª feira, 8h – 9h atendimento turma 12 Nuno Fidalgo gab J 110 jfidalgo@fe.up.pt turmas 11 e 13 todos os alunos Inês Carvalho gab I 313 mines@fe.up.pt todas as turmas Carlos Pintassilgo gab I 115 cdp@fe.up.pt turma 14 Aníbal Matos gab I 316 anibal@fe.up.pt laboratórios práticas teóricas
OE 0607 Faculdade de Engenharia Avaliação • Exame final • 70% da nota final • consulta de formulário fornecido • inclui pergunta sobre laboratório (apenas para alunos que frequentam disciplina) • Microtestes • 20% da nota final • realizados nas aulas práticas sem aviso prévio • curta duração (aprox 15 min) • entre 7 a 9 durante o semestre • 2 piores não contam para nota • Componente laboratorial • 10% da nota final nota de frequência
OE 0607 Faculdade de Engenharia • Classificação de frequência - AD (0 – 20 valores) • Microtestes – M (0 – 4 valores) • média dos microtestes, excluindo os 2 piores • Laboratórios – L (0 – 2 valores) • média das classificações em cada trabalho • Condições para obtenção de frequência • Não exceder limite de faltas • aulas TP (25% das previstas 3 faltas) • Labs (25% dos previstos 1 falta) • Classificação mínima 30% em cada componente • Microtestes • Labs • Alunos com dispensa de frequência • Trabalhadores estudantes • Para usar este direito não se podem inscrever nas turmas TP/Labs Obtenção de frequência 6 20 ) ( ⋅ + = L M AD
OE 0607 Faculdade de Engenharia Classificação final – CF Exame final – E (0 – 20 valores) Nota de frequência – AD (0 – 20 valores) • Alunos a frequentar • Alunos com dispensa de frequência • Melhoria de classificação E CF = AD 0.3 E 0.7 CF ⋅ + ⋅ = E CF =
OE 0607 Faculdade de Engenharia Programa • Linhas de transmissão • Tensão, corrente e impedância ao longo da linha; adaptação; transitórios • Ondas electromagnéticas planas • Propagação em meios infinitos e em meios com perdas; incidência em interfaces • Guias de onda e cavidades • Guias metálicos e dieléctricos • Antenas e radiação • Dipolos eléctrico e magnético; padrões de radiação; antenas finas e grupos de antenas • Métodos Numéricos • Diferenças finitas; elementos finitos
OE 0607 Faculdade de Engenharia Plano 11 25 Total 1 2 Métodos Numéricos 1 4 Radiação 1 1 Apresentação/Revisão 2 7 Guias de Onda 3 5 Ondas Electromagnéticas 3 6 Linhas de transmissão Aulas Teórico-Práticas Aulas Teóricas
OE 0607 Faculdade de Engenharia Bibliografia • Livro recomendado • D. K. Cheng, 'Field and Wave Electromagnetics', Addison Wesley Publishing, 1989. • Material fornecido • Acetatos das aulas teóricas • Folhas de problemas • Apontamentos sobre guias de onda e cavidades • Apontamentos sobre métodos numéricos • Formulário disponível na página da disciplina: http://www.fe.up.pt/~mines/OE/
OE 0607 Faculdade de Engenharia Conceitos necessários • Sistemas de coordenadas • Cartesiano • Cilíndrico • Esférico • Análise vectorial • Gradiente • Rotacional • Laplaciano • Fasores • Equações de Maxwell
OE 0607 Faculdade de Engenharia Sistema de coordenadas cartesiano dz dy dx z x y dz dy dx dV = dz dy dAx = dz dx dAy = dy dx dAz = z dz y dy x dx l d ˆ ˆ ˆ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
OE 0607 Faculdade de Engenharia Sistema de coordenadas cilíndrico dz dr rdφ r z φ z dz rd r r l d ˆ ˆ ˆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = φ φ φ d dr r dAz = dz d r dAr φ = dz dr dA = φ dz d dr r dV φ =
OE 0607 Faculdade de Engenharia Sistema de coordenadas esférico dr rdθ r sinθdφ r φ θ φ θ θ d d dr r dV sin 2 = φ θ θ d d r dAr sin 2 = φ θ θ d dr r dA sin = θ φ d dr r dA = θ θ φ φ θ ˆ ˆ sin ˆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = rd d r r dr l d
OE 0607 Faculdade de Engenharia Gradiente • coordenadas cartesianas • coordenadas cilíndricas • coordenadas esféricas z z f y y f x x f f ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ z z f f r r r f f ˆ ˆ 1 ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ φ φ φ φ θ θ θ ˆ sin 1 ˆ 1 ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ f r f r r r f f
OE 0607 Faculdade de Engenharia Rotacional • coordenadas cartesianas • coordenadas cilíndricas • coordenadas esféricas z r A rA A z r z r r r A φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ ˆ ˆ ˆ 1 φ θ θ φ θ φ θ θ θ A r rA A r r r r r A r sin ˆ sin ˆ ˆ sin 1 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ z y x A A A z y x z y x A ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ ˆ ˆ ˆ
OE 0607 Faculdade de Engenharia Laplaciano • coordenadas cartesianas • coordenadas cilíndricas • coordenadas esféricas 2 2 2 2 2 2 1 1 z f f r r f r r r f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ φ 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 φ θ θ θ θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ r f r r f r r r f
OE 0607 Faculdade de Engenharia Fasores • Sinais harmónicos nos tempos • de fácil geração • soluções de equações diferenciais lineares • permitem decomposição de sinais genéricos (série de Fourier,…) • Sinais sinusoidais são caracterizados por • amplitude • frequência • fase • Podemos escrever onde ( ) ( ) φ ω + = t I t i cos 0 ( ) ( ) { } { } t j t j Ie e I t i ω φ ω Re Re 0 = = + φ j e I I 0 = Fasor
OE 0607 Faculdade de Engenharia Propriedades importantes dos fasores • Linearidade • Derivação • Integração ( ) ( ) 2 1 2 1 bV aV t bv t av + → + ( ) X j dt t dx ω → ( ) ω j X dt t x →
OE 0607 Faculdade de Engenharia Exemplo Circuito RLC série ( ) t V ω cos 0 R C L ± resistência: bobina: condensador: ( ) ( ) RI V t Ri t v R R = → = ( ) ( ) I j V dt t di L t v L L ω = → = ( ) ( ) C j I V dt t dv C t i C C ω = → = I C j L j R V + + = ω ω 1 0 C j L j R V I ω ω 1 0 + + = ( ) + + = C j L j R e V t i t j ω ω ω 1 Re 0
OE 0607 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell • Lei de Faraday: • Lei de Ampére: • Lei de Gauss: t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B • notação fasorial • meios LHI (ε, µ) H B E D µ ε = = 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j J H H j E ε ρ ωε ωµ
OE 0607 Faculdade de Engenharia Circuitos de parâmetros discretos • Tempos de propagação são desprezáveis, sentindo-se de forma instantânea o efeito do sinal de entrada em todos os seus elementos • Análise é válida apenas quando as dimensões dos diferentes elementos são muito menores do que o comprimento de onda do sinal de entrada • Ex: Para v=c ( ) t V ω cos 0 R C L ± cm 5 . 12 GHz 4 . 2 km 6000 Hz 50 = → = = → = λ λ f f
OE 0607 Faculdade de Engenharia • Quando as dimensões dos circuitos são comparáveis ao comprimento de onda dos sinais, é necessário considerar a variação destes ao longo do circuito A análise destes circuitos requer a utilização de elementos (resistências, bobinas, condensadores) distribuídos ao longo do circuito Circuitos de parâmetros distribuídos l ± λ
Faculdade de Engenharia Linhas de transmissão OE - MIEEC 2006/2007
OE 0607 Linhas 2 Faculdade de Engenharia • A equação é satisfeita por qualquer função escalar u(x,t) do tipo Equação de onda escalar ( ) ( ) 0 , 1 , 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t t x u c x t x u EQUAÇÃO DE ONDA ( ) ( ) ct x f t x u ± = ,
OE 0607 Linhas 3 Faculdade de Engenharia Exemplo Seja () ⋅ f ⋅ x ( ) 1 ,t x u ( ) 0 , = t x u ( ) 2 ,t x u ( ) 1 ,t x u ( ) 2 ,t x u • se u(x,t)=f(x-ct) ( ) 0 , = t x u x • se u(x,t)=f(x+ct)
OE 0607 Linhas 4 Faculdade de Engenharia Velocidade de propagação • Para determinar a velocidade de propagação da onda é necessário considerar a velocidade com que um dado ponto do perfil f se propaga. c dt dx v = = sendo x±ct=const., tem-se dx±cdt=0 • Na equação este termo está associado à velocidade de propagação 0 1 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t u c x u
OE 0607 Linhas 5 Faculdade de Engenharia solução da equação de onda quando Soluções harmónicas f π ω 2 = ( ) ( ) 0 , 1 , 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t t x u v x t x u kv = ω f v v f λ λ π π = ⇔ = 2 2 ( ) ( ) kx t A t x u − = ω cos , λ π 2 = k
OE 0607 Linhas 6 Faculdade de Engenharia Modelo eléctrico da linha Linha de transmissão l ± λ necessidade de considerar elementos distribuídos ao longo do circuito R: resistência por unidade de comprimento Ω/m L: indutância por unidade de comprimento H/m C: capacidade por unidade de comprimento F/m G: condutância por unidade de comprimento S/m
OE 0607 Linhas 7 Faculdade de Engenharia Modelo eléctrico da linha Para distância ∆ ∆ ∆ ∆z z R∆ z L∆ z G∆ z C∆ z ∆ i(z+∆z,t) i(z,t) + + - - v(z,t) v(z+∆z,t) ( ) ( ) ( ) ( ) t t z z v z C i t z z v z G i t t z i z L v t z i z R v C G L R ∂ ∆ + ∂ ∆ = ∆ + ∆ = ∂ ∂ ∆ = ∆ = , , , ,
OE 0607 Linhas 8 Faculdade de Engenharia Equações gerais das linhas de transmissão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , , , , = ∆ + + ∂ ∆ + ∂ ∆ + ∆ + ∆ + − ∆ + + ∂ ∂ ∆ + ∆ = t z z i t t z z v z C t z z v z G t z i t z z v t t z i z L t z i z R t z v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t z v C t z v G z t z i t t z i L t z i R z t z v ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ + = ∂ ∂ − , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z V C j G dz z dI z I L j R dz z dV ω ω + = − + = −
OE 0607 Linhas 9 Faculdade de Engenharia Corrente e tensão ao longo da linha ( )( ) C j G L j R ω ω γ + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z V C j G dz z dI z I L j R dz z dV ω ω + = − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) z I dz z I d z V dz z V d 2 2 2 2 2 2 γ γ = = ( ) 1 m− + = β α γ j Solução geral: ( ) ( ) z z z z e I e I z I e V e V z V γ γ γ γ − − + − − + + = + = 0 0 0 0 γ constante de propagação α constante de atenuação β constante de fase
OE 0607 Linhas 10 Faculdade de Engenharia Corrente e tensão ao longo da linha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z V C j G dz z dI z I L j R dz z dV ω ω + = − + = − ( ) ( ) z z z z e I e I z I e V e V z V γ γ γ γ − − + − − + + = + = 0 0 0 0 γ ωL j R I V I V + = − = − − + + 0 0 0 0 tensão e corrente na linha completamente determinadas por 2 constantes
OE 0607 Linhas 11 Faculdade de Engenharia Impedância característica Impedância característica: quociente entre a tensão e a corrente para uma linha infinita γ ωL j R I V z I z V Z + = = = + + 0 0 0 ) ( ) ( ( ) Ω + + = C j G L j R Z ω ω 0 ± + + 0 0 , I V − − 0 0 , I V linha infinita não há reflexões 0 0 0 = = − − I V ( ) ( ) + + = 0 0 I V z I z V
OE 0607 Linhas 12 Faculdade de Engenharia Impedância característica 0 0 0 0 0 Z I V I V = − = − − + + ( ) ( ) z z z z e I e I z I e V e V z V γ γ γ γ − − + − − + + = + = 0 0 0 0 ( ) ( ) z z z z e Z V e Z V z I e V e V z V γ γ γ γ 0 0 0 0 0 0 − − + − − + − = + = para uma linha de comprimento finito:
OE 0607 Linhas 13 Faculdade de Engenharia Características importantes – resumo Constante de propagação ( )( ) ( ) 1 m− + + = + = C j G L j R j ω ω β α γ ( ) Ω + + = C j G L j R Z ω ω 0 Velocidade de propagação Impedância característica ( ) 1 ms− = β ω v Comprimento de onda ( ) m 2 β π λ = Caso geral •atenuação depende da frequência •velocidade depende da frequência Distorção de sinais
OE 0607 Linhas 14 Faculdade de Engenharia Casos particulares – linhas sem perdas Constante de propagação LC LC j j ω β α ω β α γ = = = + = 0 C L Z = 0 Velocidade de propagação Impedância característica LC v 1 = Linha sem perdas R=G=0 •não há atenuação •velocidade constante •impedância constante e real não há distorção
OE 0607 Linhas 15 Faculdade de Engenharia Casos particulares – linha sem distorção Constante de propagação ( ) LC L C R L C L j R j ω β α ω β α γ = = + = + = C L Z = 0 Velocidade de propagação Impedância característica LC v 1 = Linha sem distorção R/L=G/C •atenuação constante •velocidade constante •impedância constante e real não há distorção
OE 0607 Linhas 16 Faculdade de Engenharia Parâmetros das linhas de transmissão •O comportamento de uma dada linha depende da frequência de operação e dos seus parâmetros R, L, G e C •Estes parâmetros dependem da geometria da linha e dos materiais que a constituem Seja σ condutividade do dieléctrico σC condutividade dos condutores ε permitividade eléctrica do dieléctrico µ permeabilidade magnética do dieléctrico µC permeabilidade magnética do condutor
OE 0607 Linhas 17 Faculdade de Engenharia Parâmetros das linhas de transmissão a b a D a h W 2h
OE 0607 Linhas 18 Faculdade de Engenharia Linhas de comprimento infinito ± g V − − 0 0 , I V + + 0 0 , I V g Z z + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z comprimento infinito não há reflexões ( ) ( ) z z e I z I e V z V γ γ − + − + = = 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Z I V z I z V z Z = = = + +
OE 0607 Linhas 19 Faculdade de Engenharia Linhas de comprimento finito ± g V g Z 0 + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z L Z + − ( ) z V ( ) z I + − L V L I ( ) ( ) L L L o L o L I Z V Z V Z V z I I V V z V V = − = = = + = = = − + − + 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) − = + = ⇔ − = + = − + − + − + 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 Z Z I V Z Z I V V V I Z V V I Z L L L L o L o L L ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] z L z L L z L z L L e Z Z e Z Z I Z z I e Z Z e Z Z I z V γ γ γ γ 0 0 0 0 0 2 1 2 1 − − + = − + + = − − ( ) ( ) z o z o z o z o e Z V e Z V z I e V e V z V γ γ γ γ 0 0 − − + − − + − = + = z l −
OE 0607 Linhas 20 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha z L Z ± g V g Z + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z + − ( ) z V ( ) z I + − L V L I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z L z L z L z L e Z Z e Z Z e Z Z e Z Z Z z I z V z Z γ γ γ γ 0 0 0 0 0 − − + − + + = = − − ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] z L z L L z L z L L e Z Z e Z Z I Z z I e Z Z e Z Z I z V γ γ γ γ 0 0 0 0 0 2 1 2 1 − − + = − + + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L z z z z z z L z z Z e e Z e e Z e e Z e e Z z Z γ γ γ γ γ γ γ γ − − + − − + = − − − − 0 0 0 ( ) ( ) ( ) z Z Z z Z Z Z z Z L L γ γ tanh tanh 0 0 0 − − = ' z ( ) ( ) ( ) ' tanh ' tanh ' 0 0 0 z Z Z z Z Z Z z Z L L γ γ + + = x x x x e e e e x − − + − = ) tanh(
OE 0607 Linhas 21 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha z L Z ± g V g Z + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z + − ( ) z V ( ) z I + − L V L I ' z linhas sem perdas β γ j = ( ) ( ) x j jx tan tanh = ( ) ( ) ( ) ' tan ' tan ' 0 0 0 z jZ Z z jZ Z Z z Z L L β β + + = linha de comprimento l ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z Z L L in β β tan tan 0 0 0 + + = ( ) ( ) ( ) ' tanh ' tanh ' 0 0 0 z Z Z z Z Z Z z Z L L γ γ + + =
OE 0607 Linhas 22 Faculdade de Engenharia Impedância de entrada - casos particulares linha sem perdas, de linha de comprimento l ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z Z L L in β β tan tan 0 0 0 + + = 0 Z ZL = 0 Z Zin = ∞ = L Z ( ) l jZ Zin β cotg 0 − = 2 λ n l = L in Z Z = 0 = L Z ( ) l an jZ Zin β t 0 = ( ) 4 1 2 λ − = n l L in Z Z Z 2 0 =
OE 0607 Linhas 23 Faculdade de Engenharia Casos particulares: 0 Z ZL = 0 = ΓL ∞ = L Z 1 = ΓL 0 = L Z 1 − = ΓL Não há reflexões Linha adaptada Coeficiente de reflexão Coeficiente de reflexão (tensão) quociente entre tensão reflectida e tensão incidente ( ) ( ) + − = = = = Γ 0 0 0 V V z V z V o inc ref L na carga: 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ ( ) ( ) 0 0 0 0 2 1 2 1 Z Z I V Z Z I V L L L L − = + = − + Notas: 1. Em geral, é complexo 2. Para a corrente: L Γ Γ Γ = Γ θ j L L e | | L Z V Z V inc ref I V V I I I I Γ − = − = − = = = Γ + − + − + − 0 0 0 0 0 0 0 0
OE 0607 Linhas 24 Faculdade de Engenharia Coeficiente de reflexão Coeficiente de reflexão (tensão) quociente entre tensão reflectida e tensão incidente ( ) ( ) + − = = = = Γ 0 0 0 V V z V z V o inc ref L na carga: Γ Γ = + − = Γ θ j L L L L e Z Z Z Z 0 0 ao longo da linha: ( ) ( ) z L z z o inc ref e e V e V z V z V z γ γ γ 2 0 ) ( Γ = = = Γ − + − z z − = ' ' 2 ) ' ( z Le z γ − Γ = Γ linhas sem perdas: β γ j = ( ) ' 2 ) ' ( z j L e z β θ − Γ Γ = Γ
OE 0607 Linhas 25 Faculdade de Engenharia Coeficiente de reflexão na carga 0 0 R Z jX R Z L L L = + = (linha sem perdas) 0 , ≥ + = L L L L r jx r z 1 1 0 0 0 0 + − = + − = Γ Z Z Z Z Z Z Z Z L L L L L ( ) ( ) L L L L L jx r jx r + + + − = Γ 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ≤ + + + − = Γ L L L L L jx r jx r 0 min 0 Z ZL L = = Γ 0 1 = = Γ L MAX L r 1 0 ≤ Γ ≤ L seja 0 Z Z z L L = impedância de carga normalizada
OE 0607 Linhas 26 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha ( ) z j z j e V e V z V β β − − + + = 0 0 z ( ) ( ) ( ) z j z j z j e e V e V V z V β β β − − − − + + + − = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) z V e V V z V z j β β cos 2 0 0 0 − − − + + − = ( ) 2 cos jx jx e e x − + = onda móvel onda estacionária
OE 0607 Linhas 27 Faculdade de Engenharia Ondas móveis e estacionárias •seja ( ) z j Ae z V β − = •seja ( ) { } ( ) { } ( ) z t A Ae e Ae t z v z t j t j z j β ω β ω ω β − = = = − − cos Re Re , z onda móvel ( ) ( ) z A z V β cos = •seja ( ) ( ) { } ( ) ( ) t z A e z A t z v t j ω β β ω cos cos cos Re , = = onda estacionária z nodos ( v=0 para qualquer t )
OE 0607 Linhas 28 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha ( ) z j z j e V e V z V β β − − + + = 0 0 z onda móvel + onda estacionária ( ) ( ) z j L z j e e V z V β β 2 0 1 Γ + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 sin ' 2 cos 1 ' 2 0 2 2 0 z V z z V z V L L L L β θ β θ β θ − Γ + Γ + = − Γ + − Γ + = Γ + Γ Γ + periódico período=λ λ λ λ/2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 0 ' 2 ' 0 1 1 ' z j L z j z j L z j e e V e e V z V β θ β β β − + − + Γ Γ + = Γ + = ' z
OE 0607 Linhas 29 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha - exemplo ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + para ( ) m 2 m 1 5 . 0 V 1 1 4 0 π λ β π = = = Γ = − + j L e V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 λ min V MAX V
OE 0607 Linhas 30 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos de tensão •mínimos de tensão: ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + •localização: π β θ n zM 2 2 / − = − Γ ( ) Γ + = θ π β n zM 2 2 1 / n z 0 '≥ inteiro •localização: ( )π β θ 1 2 2 / + − = − Γ n zm ( ) [ ] Γ + + = θ π β 1 2 2 1 / n zm n z 0 '≥ inteiro •valor: L L V V Γ − Γ + = + 2 1 2 0 min ( ) L V V Γ − = + 1 0 min •valor: L L MAX V V Γ + Γ + = + 2 1 2 0 ( ) L MAX V V Γ + = + 1 0 •máximos de tensão: ( ) 1 ' 2 cos + = − Γ z β θ
OE 0607 Linhas 31 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha - exemplo ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + para ( ) m 2 m 1 5 . 0 V 1 1 4 0 π λ β π = = = Γ = − + j L e V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 min V MAX V ( ) 5 . 1 1 0 = Γ + = + L MAX V V ( ) 5 . 0 1 0 min = Γ − = + L V V 8 π 8 5π π λ = 2 8 / π π + = n zM 8 5 / π π + = n zm
OE 0607 Linhas 32 Faculdade de Engenharia SWR SWR (Voltage Standing Wave Ratio) : quociente entre tensão máxima e mínima ( ) ( ) L L MAX V V V V SWR Γ − Γ + = = + + 1 1 0 0 min L L SWR Γ − Γ + = 1 1 1 1 + − = Γ SWR SWR L Nota: 1 ≥ SWR
OE 0607 Linhas 33 Faculdade de Engenharia SWR – casos particulares 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ L L SWR Γ − Γ + = 1 1 1 1 + − = Γ SWR SWR L Casos particulares: 0 Z ZL = 0 = ΓL min V V MAX = não há reflexões não há onda estacionária 1 = SWR 0 = ΓL linha adaptada 1 = SWR 1 = SWR
OE 0607 Linhas 34 Faculdade de Engenharia SWR – casos particulares 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ L L SWR Γ − Γ + = 1 1 1 1 + − = Γ SWR SWR L Casos particulares: ∞ = L Z 1 = ΓL 0 = L Z 1 − = ΓL ∞ = SWR ( ) + + = Γ + = 0 0 2 1 V V V L MAX ( ) 0 1 0 min = Γ − = + L V V ∞ = SWR + = 0 2V V MAX 0 min = V
OE 0607 Linhas 35 Faculdade de Engenharia Corrente ao longo da linha ( ) z j z j e I e I z I β β − − + + = 0 0 z onda móvel + onda estacionária ( ) ( ) z j L z j e e Z V z I β β 2 0 0 1 Γ − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 sin ' 2 cos 1 ' 2 0 0 2 2 0 0 z Z V z z Z V z I L L L L β θ β θ β θ − Γ − Γ + = − Γ − + − Γ − = Γ + Γ Γ + periódico período=λ λ λ λ/2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 0 0 ' 2 ' 0 0 1 1 ' z j L z j z j L z j e e Z V e e Z V z I β θ β β β − + − + Γ Γ − = Γ − = ' z
OE 0607 Linhas 36 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos de corrente •mínimos de corrente: ( ) 1 ' 2 cos = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 0 z Z V z I L L β θ − Γ − Γ + = Γ + •localização: ( )π β θ 1 2 ' 2 + − = − Γ n z ( ) [ ] Γ + + = θ π β 1 2 2 1 ' n z n z 0 '≥ inteiro •localização: π β θ n z 2 ' 2 − = − Γ ( ) Γ + = θ π β n z 2 2 1 ' n z 0 '≥ inteiro •valor: L L Z V I Γ − Γ + = + 2 1 2 0 0 min ( ) L Z V I Γ − = + 1 0 0 min •valor: L L MAX Z V I Γ + Γ + = + 2 1 2 0 0 ( ) L MAX Z V I Γ + = + 1 0 0 •máximos de corrente: ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ
OE 0607 Linhas 37 Faculdade de Engenharia Tensão e corrente – localização de máximos e mínimos ( ) 1 ' 2 cos = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 0 z Z V z I L L β θ − Γ − Γ + = Γ + ( ) [ ] Γ + + = θ π β 1 2 2 1 / n zm n z 0 '≥ inteiro ( ) Γ + = θ π β n zM 2 2 1 / n z 0 '≥ inteiro ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + máximos de tensão e mínimos de corrente máximos de tensão e mínimos de corrente mínimos de tensão e máximos de corrente
OE 0607 Linhas 38 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I ( ) ( ) l z I I l z V V V Z I V in in in g in g − = = − = = + = ( ) ( ) z o z o z o z o e Z V e Z V z I e V e V z V γ γ γ γ 0 0 − − + − − + − = + = z l − ( ) 0 0 2 1 Z Z I V L L + = + ( ) [ ] ( ) [ ] l L l L L in l L l L L in e e Z Z I Z I e e Z Z I V γ γ γ γ 2 0 0 2 0 1 2 1 1 2 1 − − Γ − + = Γ + + = ( ) ( ) ( ) [ ] l L l L g l L L g e Z e Z e Z Z I Z V γ γ γ 2 0 2 0 0 1 1 2 1 − − Γ + + Γ − + =
OE 0607 Linhas 39 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) ( ) ( ) [ ] l L l L g l L L g e Z e Z e Z Z I Z V γ γ γ 2 0 2 0 0 1 1 2 1 − − Γ + + Γ − + = ( ) ( ) [ ] l L g g g l L L e Z Z Z Z V Z e Z Z I γ γ 2 0 0 0 0 2 1 − Γ − + + = + 0 0 Z Z Z Z g g g + − = Γ (coeficiente de reflexão no gerador) ( ) [ ] l L g g g l L L e V Z Z Z e Z Z I γ γ 2 0 0 0 1 2 1 − Γ Γ − + = + ( ) 0 0 2 1 Z Z I V L L + = + ( ) ( ) Γ Γ − Γ − + = Γ Γ − Γ + + = − − − − − − l L g z L z g l g l L g z L z g l g e e e Z Z e V z I e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 0 2 2 0 0 1 1 1 1 tensão e corrente definidas à custa de g L V Z l Z , , , , 0 γ
OE 0607 Linhas 40 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) ( ) Γ Γ − Γ − + = Γ Γ − Γ + + = − − − − − − l L g z L z g l g l L g z L z g l g e e e Z Z e V z I e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 0 2 2 0 0 1 1 1 1 ( ) ( )( )1 2 2 0 0 1 1 − − − − Γ Γ − Γ + + = l L g z L z g l g e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ ( ) ( ) ( ) ( ) + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ + + = − − − − − − − − z L l L g z l L g z L l L g z l L g z L z g l g e e e e e e e e e e Z Z e V Z γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) + Γ Γ + Γ Γ + Γ + + = − − − − 2 2 2 0 0 1 l L g l L g z L z g l g e e e e Z Z e V Z γ γ γ γ γ + + + + = − 3 2 1 1 1 x x x x
OE 0607 Linhas 41 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ + + = − − − − − − − − z L l L g z l L g z L l L g z l L g z L z g l g e e e e e e e e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) + + + + + + = − − + − − + − − + z z z z z z e V e V e V e V e V e V z V γ γ γ γ γ γ 3 3 2 2 1 1 − − + Γ = 1 2 2 V e V l g γ + − Γ = 3 3 V V L − − + Γ = 2 2 3 V e V l g γ + 2 V + − Γ = 2 2 V V L − 2 V g l g Z Z e V Z V + = − + 0 0 1 γ + 1 V + − Γ = 1 1 V V L − 1 V
OE 0607 Linhas 42 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) + + + + + + = − − + − − + − − + z z z z z z e V e V e V e V e V e V z V γ γ γ γ γ γ 3 3 2 2 1 1 + 2 V − 2 V + 1 V − 1 V ( ) ( ) ( ) z z z z e V e V e V V V e V V V z V γ γ γ γ − − + − − − − + + + + = + + + + + + + = 0 0 3 2 1 3 2 1
OE 0607 Linhas 43 Faculdade de Engenharia Potência na linha de transmissão – linha sem perdas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 0 0 ' 2 ' 0 1 ' 1 ' z j L z j z j L z j e e Z V z I e e V z V β θ β β θ β − + − + Γ Γ Γ − = Γ + = (linha sem perdas) ( ) ( ) ( ) { } ' ' Re 2 1 ' * z I z V z Pmed = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Γ − Γ + = − − − + − + Γ Γ ' 2 ' 0 * 0 ' 2 ' 0 1 1 Re 2 1 ' z j L z j z j L z j med e e Z V e e V z P β θ β β θ β ( ) ( ) ( ) { } ' 2 ' 2 2 0 2 0 1 Re 2 z j z j L L e e Z V β θ β θ − − − + Γ Γ − Γ + Γ − = ( ) { } ' 2 sin 2 1 Re 2 2 0 2 0 z j Z V L L β θ − Γ + Γ − = Γ + ( ) ( ) constante 1 2 ' 2 0 2 0 = Γ − = + L med Z V z P incidente reflectida potência fornecida pelo gerador à linha potência absorvida na carga
OE 0607 Linhas 44 Faculdade de Engenharia Potência na linha de transmissão – caso geral ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 2 ' ' 0 0 ' 2 ' 2 ' ' 0 1 ' 1 ' z j z L z j z z j z L z j z e e e e Z V z I e e e e V z V β θ α β α β θ α β α − − + − − + Γ Γ Γ − = Γ + = ( ) ( ) ( ) { } ' ' Re 2 1 ' * z I z V z Pmed = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Γ − Γ + = − − − − + − − + Γ Γ ' 2 ' 2 ' ' 0 * 0 ' 2 ' 2 ' ' 0 1 1 Re 2 1 ' z j z L z j z z j z L z j z med e e e e Z V e e e e V z P β θ α β α β θ α β α ( ) { } ' 2 sin 2 1 Re 2 ' 2 ' 4 2 ' 2 0 2 0 z e j e e R V z L z L z β θ α α α − Γ + Γ − = Γ − − + ( ) ( ) ' 2 2 ' 2 0 2 0 2 ' z L z med e e R V z P α α − + Γ − = ( ) ( ) 2 0 2 0 , 1 2 0 ' L med L med R V z P P Γ − = = = + ( ) ( ) l L l med in med e e R V l z P P α α 2 2 2 0 2 0 , 2 ' − + Γ − = = = 0 0 R Z = se
OE 0607 Linhas 45 Faculdade de Engenharia ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 im re im L im re im re L x r Γ + Γ − Γ = Γ + Γ − Γ − Γ − = Impedância de carga coeficiente de reflexão 1 1 + − = Γ L L L z z onde 0 Z Z z L L = (impedância de carga normalizada) 0 0 R Z jX R Z L L L = + = (linha sem perdas) L L L jx r z + = im re j L L j e Γ + Γ = Γ = Γ Γ θ L L L z Γ − Γ + = 1 1 ( ) ( ) im re im re L L j j jx r Γ − Γ − Γ + Γ + = + 1 1
OE 0607 Linhas 46 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 im re im L im re im re L x r Γ + Γ − Γ = Γ + Γ − Γ − Γ − = Impedância de carga coeficiente de reflexão 2 2 2 1 1 1 + = Γ + + − Γ L im L L re r r r L r + 1 1 L L r r + 1 ( ) ( ) 2 2 0 2 0 R y y x x = − + − ( ) 0 1 = Γ + = Γ im L L re r r centrada em circunferência de raio ( ) L r + 1 1 Os coeficientes de reflexão de todos os ZL cuja parte real é rL estão nesta circunferência
OE 0607 Linhas 47 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ Impedância de carga coeficiente de reflexão 2 2 2 1 1 1 + = Γ + + − Γ L im L L re r r r Notas: curva não depende de xL 0 = Γim 1 1 1 , , = Γ ∨ + − = Γ d re L L e re r r 1 1 1 + − L L r r 0 = L r 1 , − = Γ e re para qualquer ZL ∞ = L r 1 , = Γ e re 1 − circuito aberto
OE 0607 Linhas 48 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 im re im L im re im re L x r Γ + Γ − Γ = Γ + Γ − Γ − Γ − = Impedância de carga coeficiente de reflexão ( ) 2 2 1 1 1 = − Γ + − Γ L L im re x x ( ) ( ) 2 2 0 2 0 R y y x x = − + − circunferência de raio L x 1 L im re x 1 1 = Γ = Γ centrado em L x 1 L x 1 1 1 ≤ ΓL Os coeficientes de reflexão de todos os ZL cuja parte imaginária é xL estão aqui
OE 0607 Linhas 49 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ Impedância de carga coeficiente de reflexão L x 1 L x 1 1 Notas: curva não depende de rL ( ) 2 2 1 1 1 = − Γ + − Γ L L im re x x L x 1 − 0 = L x 0 = L x raio infinito curvas simétricas para xL < 0
OE 0607 Linhas 50 Faculdade de Engenharia Diagrama de Smith re Γ im Γ 1 xL constante rL constante
OE 0607 Linhas 51 Faculdade de Engenharia Diagrama de Smith
OE 0607 Linhas 52 Faculdade de Engenharia Γ θ re Γ im Γ Diagrama de Smith 1 L Γ L Z •a partir de: ponto no diagrama ( intersecção de curvas referentes a rL e xL ) Γ θ e L Γ rL e xL L x L r L Γ •a partir de:
OE 0607 Linhas 53 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha ao longo da linha: z z − = ' ' 2 ) ' ( z Le z γ − Γ = Γ linhas sem perdas: β γ j = ( ) ' 2 ) ' ( z j L e z β θ − Γ Γ = Γ re Γ im Γ 1 módulo constante fase diminui com z’ em direcção ao gerador em direcção à carga ( ) ( ) 0 0 ) ( Z z Z Z z Z z + − = Γ Nota: ( ) ( ) z L z z o inc ref e e V e V z V z V z γ γ γ 2 0 ) ( Γ = = = Γ − + − diagrama de Smith pode ser usado para determinar a partir de ( ) z Z ) (z Γ
OE 0607 Linhas 54 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha No diagrama de Smith as distâncias medem-se em fracções de λ λ λ λ re Γ im Γ 1 em direcção ao gerador em direcção à carga ( ) ' 2 ) ' ( z j L e z β θ − Γ Γ = Γ quando π β 2 ' 2 = z 2 2 2 ' λ β π = = z a uma volta completa (360º) corresponde distância = λ λ λ λ/2 posição inicial
OE 0607 Linhas 55 Faculdade de Engenharia Impedância de entrada 1. marcar no diagrama ponto correspondente à impedância de carga normalizada, zL ponto P1 2. desenhar circunferência centrada na origem que passa por P1 3. traçar segmento de recta que passa pela origem e por P1 4. traçar segmento de recta que passa na origem e corresponde a rotação de l em direcção ao gerador 5. intersecção da circunferência com este segmento ponto P2 6. , onde zin é directamente obtido de P2 re Γ im Γ 1 0 Z z Z in in ⋅ = P1 P2
OE 0607 Linhas 56 Faculdade de Engenharia Admitância re Γ im Γ 1 ( ) ( ) ( ) ' tan ' tan ' 0 0 0 z jZ Z z jZ Z Z z Z L L β β + + = ( ) ( ) L L L Z Z jZ Z jZ Z Z z Z 2 0 0 0 0 2 tan 2 tan 4 ' = + + = = π π λ ( ) L Z Z Z Z 0 0 4 = λ ( ) L y z = 4 λ º 360 2 ⇔ λ º 180 4 ⇔ λ 1. marcar zL 2. rodar 180º L y L z
OE 0607 Linhas 57 Faculdade de Engenharia Localização de máximos e mínimos ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 0 z Z V z I L L β θ − Γ − Γ + = Γ + ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + ( ) 1 ' 2 cos = − Γ z β θ máximos de tensão e mínimos de corrente mínimos de tensão e máximos de corrente ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 ' z j L e z β θ − Γ Γ = Γ máximos de tensão quando ( ) π n z 2 ' = Γ ∠ mínimos de tensão quando ( ) ( )π 1 2 ' + = Γ ∠ n z
OE 0607 Linhas 58 Faculdade de Engenharia Localização de máximos e mínimos re Γ im Γ 1 máximos de tensão quando ( ) π n z 2 ' = Γ ∠ mínimos de tensão quando ( ) ( )π 1 2 ' + = Γ ∠ n z máximos de tensão mínimos de tensão Notas: 1. máximos e mínimos ocorrem quando a impedância da linha é real 2. como seria de esperar, pontos de máximos (mínimos) estão separados por nλ λ λ λ/2
OE 0607 Linhas 59 Faculdade de Engenharia Adaptação de linhas de transmissão 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ adaptação de linhas: 1. entrega de potência máxima à carga 2. evitar distorção dos sinais a transmitir ( ) 2 0 2 0 1 2 L med Z V P Γ − = + onde 0 = ΓL potência entregue à carga é máxima é vantajoso que a linha esteja adaptada linha sem perdas: 0 Z ZL =
OE 0607 Linhas 60 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 ( ) ( ) ( ) ' tan ' tan ' 0 0 0 z jZ Z z jZ Z Z z Z L L β β + + = ( ) ( ) L L L Z Z jZ Z jZ Z Z z Z 2 0 0 0 0 2 tan 2 tan 4 ' = + + = = π π λ 4 λ L Z linha de quarto de comprimento pode ser usada para adaptar impedâncias
OE 0607 Linhas 61 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 ( ) L Z Z Z 2 0 / = L Z 0 Z 4 λ / 0 Z L Z 0 Z linha desadaptada 0 0 / Z Z Z L = 0 Z = linha adaptada 0 Z ZL ≠ Nota: ZL tem de ser real
OE 0607 Linhas 62 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – ZL complexa ( ) 1 2 0 / R Z Z = 4 λ / 0 Z L Z 0 Z 0 1 0 / Z R Z = 1 d 1 1 R Z = 0 Z = linha adaptada 0 Z
OE 0607 Linhas 63 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – SWR 0 Z Z = 4 λ 0 1 0 / Z R Z = L Z 0 Z 1 d 1 1 R Z = 0 Z L L SWR Γ − Γ + = 1 1 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ 0 ≠ ΓL 0 0 1 0 1 ≠ + − = Γ Z R Z R L troços desadaptados 0 0 0 0 0 = + − = Γ Z Z Z Z L 1 ≠ SWR 1 ≠ SWR 1 = SWR troço adaptado
OE 0607 Linhas 64 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – diagrama de Smith L Z 0 Z Z = 4 λ 0 1 0 / Z R Z = 0 Z 1 d 1 1 R Z = 0 Z re Γ im Γ 1 0 Z Z z L L = L z 1 d 1 r 0 1 1 Z r R = 0 1 0 / Z R Z =
OE 0607 Linhas 65 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ 1 re Γ im Γ 1 Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – frequência diferente L Z 0 2 Z Z = 4 2 p d λ = 0 Z 1 d 1 1 R Z = 0 Z L z 1 d 1 r projecto: p f f = linha desadaptada p p f v = λ d d f v = λ 0 1 0 / Z R Z = 4 / 2 d d λ ≠ 1 z L z 1 d 1 1 r z ≠ 0 1 0 / Z R Z ≠ 0 2 Z Z ≠ p d f f f ≠ = frequência diferente:
OE 0607 Linhas 66 Faculdade de Engenharia linha adaptada a a jB jX 1 = Adaptação com elementos reactivos L Z 0 Z Nota: elementos em paralelo trabalhar com admitâncias a jB Y Y + = 1 2 1 d se 1 0 1 1 jB Z Y + = 0 2 Z Z = 0 2 1 Z Y = 1 B Ba − = Dimensionar adaptador determinar e a X 1 d para que { } 0 1 1 Re Z Y = para que { } 0 Im 2 = Y ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 tan tan 1 d jZ Z d jZ Z Z Y L L β β + + = 0 > a X ω = a X L indutância 0 < a X a X C ω = 1 capacidade
OE 0607 Linhas 67 Faculdade de Engenharia a a jB jX 1 = Adaptação com elementos reactivos – diagrama de Smith L Z 0 Z a jB Y Y + = 1 2 1 d 1 0 1 1 jB Z Y + = admitâncias normalizadas: 0 Z Z z = 0 0 1 YZ Z Z z y = = = 1 1 1 jb y + = a a jb y = a jb y y + = 1 2 condição de adaptação: 0 2 Z Z = 1 2 = y 1 2 = y 1 1 1 jb y + = a jb y y + = 1 2 1 b ba − = 1 d tal que ( ) 1 Re 1 = y
OE 0607 Linhas 68 Faculdade de Engenharia Adaptação com elementos reactivos – diagrama de Smith re Γ im Γ 1 L y 1 b ba − = 1 d tal que ( ) 1 Re 1 = y L Z 0 Z 1 1 1 jb y + = a a jb y = a jb y y + = 1 2 1 d 1 = r / 1 P // 1 P / 1 d // 1 d curva r =1 é intersectada em dois pontos duas soluções possíveis / 1 P // 1 P e 1 1 1 jb y + = 1 jb ba − = a a b Z X 0 − =
OE 0607 Linhas 69 Faculdade de Engenharia Linhas como elementos reactivos l ( ) ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z l Z L L β + β + = tan tan 0 0 0 0 = L Z ( ) l jZ β = tan 0 linha em curto circuito ( ) ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z l Z L L β + β + = tan tan 0 0 0 ( ) l j Z β = tan 0 0 Z impedâncias de entrada puramente imaginárias linhas em curto circuito ou circuito aberto podem ser usadas como elementos reactivos em adaptação l ∞ = L Z linha em circuito aberto 0 Z STUBs
OE 0607 Linhas 70 Faculdade de Engenharia Linhas como elementos reactivos – admitância de entrada l 0 = L Z ∞ = L y linha em curto circuito 0 Z l ∞ = L Z linha em circuito aberto 0 Z i y re Γ im Γ 1 i i jb y = ∞ = L y l 0 = L y re Γ im Γ 1 0 = L y i i jb y = l i y
OE 0607 Linhas 71 Faculdade de Engenharia projecto de adaptação: Adaptação com stub simples L Z 0 Z d l 2 y s s jb y = ( ) ( ) 1 2 Re Re y y = imaginário s y linha adaptada 1 2 = y ( ) 1 Re 1 = y s y y y + = 1 2 stub em paralelo 1 y ( ) ( ) 1 Im Im y ys − = 1. determinar d tal que ( ) 1 Re 1 = y 2. determinar l tal que ( ) ( ) 1 Im Im y ys − = 1 1 1 jb y + = 1 b bs − = ou circuito aberto
OE 0607 Linhas 72 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ 1 Adaptação com stub simples – diagrama de Smith Notas L Z 0 Z d l 1 2 = y 1 jb ys − = 1 1 1 jb y + = / d / 1 jb ∞ = y 1 = r L y 1. determinar d tal que 1 1 1 jb y + = 2. determinar l tal que 1 jb ys − = curva r = 1 intersectada em dois pontos duas soluções (apenas uma apresentada na figura) / l / 1 jb − para stub em circuito aberto l mede-se a partir de y = 0 projecto de adaptação / 1 y
OE 0607 Linhas 73 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub simples – diagrama de Smith re Γ im Γ 1 / d / 1 jb L y / cc l / 1 jb − / 1 y / ca l re Γ im Γ 1 // d // 1 jb − // 1 y L y // cc l // 1 jb // ca l solução 1 solução 2
OE 0607 Linhas 74 Faculdade de Engenharia 1 / d / 1 jb L y / l / 1 jb − Adaptação com stub simples – resumo L Z 0 Z d l 1 2 = y 1 jb ys − = 1 1 1 jb y + = 1. marcar yL 1 1 1 jb y + = 3. determinar l tal que 1 jb ys − = projecto de adaptação 2. determinar d tal que dificuldade: nem sempre é possível colocar o stub na posição desejada
OE 0607 Linhas 75 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y ou circuito aberto sB sB jb y = A l 1 y ou circuito aberto quando a posição para colocar o stub está pré-definida, é ainda possível adaptar a linha de transmissão usando o método do stub duplo projecto do duplo stub dimensionar lA e lB se d é fixo
OE 0607 Linhas 76 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y ou circuito aberto ou circuito aberto sB sB jb y = A l 1 y sA L y y y + = 1 stubs em paralelo sB y y y + = 2 3 s y ( ) ( ) L y y Re Re 1 = imaginário ( ) ( ) 2 3 Re Re y y = linha adaptada 1 3 = y d “deslocando” 2 y 1 y dimensionar stub A a partir de y1 2 2 1 jb y + = 2 b bsB − = dimensionar stub B a partir de y2 { } { } L sA sA L y b b b y b Im Im 1 1 − = ⇔ + = { } 1 1 Re jb y y L + =
OE 0607 Linhas 77 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – projecto usando carta de Smith Como calcular y1 e y2 ? sA L y y y + = 1 ( ) ( ) L y y Re Re 1 = d “deslocando” 2 y 1 y 2 b bsB − = 2 2 1 jb y + = y1 na circunferência r = 1, rodada de “d” em direcção à carga y1 na circunferência r =Re{ yL } y2 na circunferência r = 1 L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y intersecção destas duas circunferências y1
OE 0607 Linhas 78 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – carta de Smith r = 1, rodada de “d” em direcção à carga intersecção de r =Re{ yL } e L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y d L y r = 1, rodada de “d” em direcção à carga r =Re{ yL } / 1 y // 1 y determinação de y1 Importante: pode não existir y1
OE 0607 Linhas 79 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – carta de Smith rodar y1 de “d” em direcção ao gerador L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y / 1 y // 1 y determinação de y2 // 2 y / 2 y d
OE 0607 Linhas 80 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – carta de Smith dimensionamento dos stubs L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y a partir de y1 e y2 2 2 1 jb y + = 2 b bsB − = { } L sA y b b Im 1 − = { } 1 1 Re jb y y L + = determinação de lA e lB
OE 0607 Linhas 81 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – projecto 2. determinar y2 L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y projecto 3. determinar comprimento dos stubs / 1 y // 1 y // 2 y / 2 y d 1. determinar y1
OE 0607 Linhas 82 Faculdade de Engenharia / 1 y // 1 y // 2 y / 2 y d Adaptação com stub duplo – resumo 2. desenhar circunferência r=1 rodada d em direcção à carga L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y projecto 1. marcar yL 3. determinar y1 pela intersecção desta circunferência com { } L y r Re = 4. determinar y2 rodando y1 uma distância d em direcção ao gerador 5. determinar lB a partir de 2 b bsB − = 6. determinar lA a partir de { } L sA y b b Im 1 − = Notas: •podem existir duas soluções possíveis para y1, y2, ySA e ySB •para cada stub pode ser necessário considerar soluções para terminação em curto-circuito e em circuito-aberto
OE 0607 Linhas 83 Faculdade de Engenharia L y d Adaptação com stub duplo – valor da carga vs distância d r = 1 rodada de “d” em direcção à carga intersecção de r =Re{ yL } e determinação de y1 esta intersecção pode não ser possível para determinadas cargas e distâncias d { } L y r Re = rodada , 1 = r será possível adaptar a linha nesta situação usando um stub duplo? não colocar o stub junto da carga
OE 0607 Linhas 84 Faculdade de Engenharia L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y L d 4 y L y d rodada , 1 = r Adaptação com stub duplo – valor da carga vs distância d colocando o stub a uma distância dL da carga L d { } 4 Re y r = 4 y / 1 y // 1 y
OE 0607 Linhas 85 Faculdade de Engenharia Adaptação de linhas de transmissão – notas finais •a adaptação só é efectiva à frequência de projecto •só a linha principal está adaptada •nem sempre um dado método funciona: linhas λ λ λ λ/4 nem sempre se encontram linhas com desejado stub simples pode não ser possível colocar stub na posição desejada stub duplo pode não existir solução para y1 e não ser possível colocar stub a distância dL da carga / 0 Z
OE 0607 Linhas 86 Faculdade de Engenharia Transitórios em linhas sem perdas terminadas resistivamente linha sem perdas LC v 1 = C L R Z = = 0 0 ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R − 1 V reflectida na carga + 1 V incidente + 2 V incidente (reflectida no gerador) num dado ponto da linha, a tensão (corrente) num dado instante é obtida pela soma de todos os degraus de tensão (corrente) que aí chegaram é necessário saber a amplitude e a posição dos diferentes degraus em função do tempo
OE 0607 Linhas 87 Faculdade de Engenharia Amplitude dos degraus de tensão ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R − 1 V reflectida na carga + 1 V incidente + 2 V incidente (reflectida no gerador) coeficiente de reflexão na carga 0 0 R R R R L L L + − = Γ g g V R R R V 0 0 1 + = + 2º degrau + − Γ = 1 1 V V L 3º degrau − + Γ = 1 2 V V g + Γ Γ = 1 V L g 4º degrau + − Γ = 2 2 V V L ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g 5º degrau − + Γ = 2 3 V V g ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g coeficiente de reflexão no gerador 0 0 R R R R g g g + − = Γ 1º degrau amplitudes:
OE 0607 Linhas 88 Faculdade de Engenharia Posição dos degraus de tensão ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R − 1 V reflectida na carga + 1 V incidente + 2 V incidente (reflectida no gerador) tempo de propagação ao longo da linha v l T = velocidade de propagação v carga, em T t = 1º degrau tempos de chegada: 2º degrau gerador, em T t 2 = 3º degrau carga, em T t 3 = 4º degrau gerador, em T t 4 = 5º degrau carga, em T t 5 =
OE 0607 Linhas 89 Faculdade de Engenharia Diagrama de reflexões de tensão ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R diagrama de reflexões de tensão permite representar graficamente degraus de tensão z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 g g V R R R V 0 0 1 + = + v l T = + 1 V + − Γ = 1 1 V V L − 1 V + Γ Γ = 1 V L g − + Γ = 1 2 V V g + 2 V + − Γ = 2 2 V V L ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g − 2 V − + Γ = 2 3 V V g ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g + 3 V − 3 V
OE 0607 Linhas 90 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha num dado instante ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V 0 t t = 0 z z = − + + 1 1 V V + − + + + 2 1 1 V V V 0 z z 0 l − ( ) z V
OE 0607 Linhas 91 Faculdade de Engenharia Tensão num dado ponto em função do tempo ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V 1 t 0 z z = 4 t 2 t 5 t 3 t − + + 1 1 V V + − + + + 2 1 1 V V V 1 t t 0 ( ) 0 z V + 1 V 2 t 3 t 5 t 4 t − + − + + + + 2 2 1 1 V V V V + − + − + + + + + 3 2 2 1 1 V V V V V
OE 0607 Linhas 92 Faculdade de Engenharia Tensão na carga em função do tempo ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V − + + 1 1 V V T t 0 L V T 3 T 5 − + − + + + + 2 2 1 1 V V V V − + − + − + + + + + + 3 3 2 2 1 1 V V V V V V
OE 0607 Linhas 93 Faculdade de Engenharia Valor final da tensão na linha ( ) + + + + + + = ∞ → − + − + − + 3 3 2 2 1 1 V V V V V V t V z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R g g V R R R V 0 0 1 + = + + − Γ = 1 1 V V L − + Γ = 1 2 V V g + Γ Γ = 1 V L g + − Γ = 2 2 V V L ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g − + Γ = 2 3 V V g ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ + = ∞ → + 3 2 1 1 1 L g L g L g L V t V
OE 0607 Linhas 94 Faculdade de Engenharia Valor final da tensão na linha z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ + = ∞ → + 3 2 1 1 1 L g L g L g L V t V 1 < Γ Γ L g se ( ) L g L V t V Γ Γ − Γ + = ∞ → + 1 1 1 ( ) g g L L V R R R t V + = ∞ → 0 0 0 0 0 0 1 R R R R R R R R V R R R V L L L g g g g g + − = Γ + − = Γ + = + valor final não depende de R0
Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas http://www.bbemg.ulg.ac.be/Images/UKondeelm.gif OE – MIEEC 2006/2007
OE 0607 Ondas 2 Faculdade de Engenharia Programa de OE Linhas de transmissão 6 aulas Ondas electromagnéticas planas 5 aulas Guias de onda e cavidades 7 aulas Antenas e radiação 4 aulas Métodos Numéricos 2 aulas
OE 0607 Ondas 3 Faculdade de Engenharia Ondas – aula 1 • Equações de Maxwell • formas integral e diferencial • meios isotrópicos, homogéneos e lineares • campos harmónicos • Equação de onda e equação de Helmholtz • Ondas planas e uniformes em meios infinitos sem perdas • relação de dispersão • velocidade de fase • impedância característica do meio • propagação numa direcção arbitrária
OE 0607 Ondas 4 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell –formas integral e diferencial forma diferencial lei de Gauss lei de Ampére lei de Faraday forma integral t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B s d t B l d E S C ⋅ ∂ ∂ − = ⋅ s d t D J l d H S C ⋅ ∂ ∂ + = ⋅ = ⋅ V S dv s d D ρ 0 = ⋅ S s d B
OE 0607 Ondas 5 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell –formas integral e diferencial forma diferencial forma integral t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B s d t B l d E S C ⋅ ∂ ∂ − = ⋅ s d t D J l d H S C ⋅ ∂ ∂ + = ⋅ = ⋅ V S dv s d D ρ 0 = ⋅ S s d B campo eléctrico (V/m) ( ) t r E E , = densidade de fluxo magnético (T) ( ) t r B B , = campo magnético (A/m) ( ) t r H H , = deslocamento eléctrico (C/m2) ( ) t r D D , = densidade de carga eléctrica (C/m3) ( ) t r, ρ ρ = densidade de corrente eléctrica (A/m2) ( ) t r J J , =
OE 0607 Ondas 6 Faculdade de Engenharia Meios isotrópicos, homogéneos e lineares meios: isotrópicos propriedades não dependem da direcção homogéneos propriedades não dependem da posição lineares satisfazem o princípio da sobreposição H B E D µ ε = = e µ ε e µ ε e constantes escalares t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H Nota: em meios condutores E J σ = permitividade eléctrica (F/m) permeabilidade magnética (H/m) ε µ
OE 0607 Ondas 7 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell – campos hamónicos usando notação fasorial 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j J H H j E ε ρ ωε ωµ ( ) ( ) r X j t t r X ω → ∂ ∂ , t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H FASORES funções do espaço e do tempo funções do espaço
OE 0607 Ondas 8 Faculdade de Engenharia Equação de onda – meios sem cargas e sem perdas meios em cargas 0 = ρ t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H meios em perdas 0 = σ 0 = J t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ 0 = ⋅ ∇ E t E H ∂ ∂ = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H ( ) ∂ ∂ × ∇ − = × ∇ × ∇ t H E µ ( ) H t × ∇ ∂ ∂ − = µ ( ) 2 2 t E E ∂ ∂ − = × ∇ × ∇ µ ε ( ) ( ) X X X 2 ∇ − ⋅ ∇ ∇ = × ∇ × ∇ 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε 0 = ⋅ ∇ E
OE 0607 Ondas 9 Faculdade de Engenharia Equação de onda – meios sem cargas e sem perdas t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ t E H ∂ ∂ = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H ( ) ∂ ∂ × ∇ = × ∇ × ∇ t E H ε ( ) E t × ∇ ∂ ∂ = ε ( ) 2 2 t H H ∂ ∂ − = × ∇ × ∇ µ ε ( ) ( ) X X X 2 ∇ − ⋅ ∇ ∇ = × ∇ × ∇ 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 0 = ⋅ ∇ E 0 = ⋅ ∇ H 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε equações de onda
OE 0607 Ondas 10 Faculdade de Engenharia Equação de onda – meios sem cargas e sem perdas 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε em coordenadas cartesianas 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2 2 2 2 2 2 2 z X y X x X X ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2 2 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ µ ε 2 2 2 2 2 2 2 2 t H z H y H x H ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ µ ε 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε
OE 0607 Ondas 11 Faculdade de Engenharia Equação de Helmholtz 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε 0 2 2 = + ∇ E E µ ε ω em notação fasorial ( ) ( ) ( ) ( ) r X r X j t t r X 2 2 2 2 , ω ω − = → ∂ ∂ 0 2 2 = + ∇ H H µ ε ω 0 2 2 = + ∇ E k E 0 2 2 = + ∇ H k H µ ε ω = k número de onda equações de Helmholtz
OE 0607 Ondas 12 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas 0 2 2 2 = + x x E k dz E d seja ( ) ( ) ( )z z E y z E x z E z y x ˆ ˆ ˆ + + = 0 = ⋅ ∇ E 0 2 2 2 = + E k dz E d solução geral jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 k j r k r ± = ⇔ = + 0 2 2 z µ ε ω = k ( ) z E E = 0 2 2 = + ∇ E k E ( ) ( ) ( ) 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z z E y z E x z E z y x ( ) const. = z Ez ( ) 0 = z Ez z E ˆ ⊥ por exemplo, seja ( )x z E E x ˆ = ( )x z E E x ˆ = onda que se propaga segundo z
OE 0607 Ondas 13 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas ondas planas uniformes amplitude é constante nos planos de fase constante ondas planas fase é constante em planos perpendiculares à direcção de propagação jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 z fase e amplitude constantes nos planos z=const. onda plana uniforme que se propaga segundo z
OE 0607 Ondas 14 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas – velocidade de fase µ ε ω = k jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 ( ) { } t j Ve t v ω Re = ( ) ( ) ( ) kz t E kz t E t z Ex + + − = − + ω ω cos cos , 0 0 k vf ω = µ ε 1 = f v rad/m m/s no vazio H/m 10 4 F/m 10 36 1 7 0 9 0 − − × = = × ≅ = π µ µ π ε ε m/s 10 3 1 8 0 0 × ≅ = = µ ε c vf velocidade depende do meio
OE 0607 Ondas 15 Faculdade de Engenharia Campo magnético ( )x z E E ˆ = jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 ? = H 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j J H H j E ε ρ ωε ωµ E j H × ∇ = ωµ 0 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 jkz jkz e E e E z y x z y x j H − − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ωµ ( ) y e E e E z j jkz jkz ˆ 0 0 + ∂ ∂ + = − − + ωµ y e E k e E k jkz jkz ˆ 0 0 − = − − + ωµ ωµ µ ε ω = k y e E e E H jkz jkz ˆ 1 1 0 0 − = − − + η η ε µ η = z
OE 0607 Ondas 16 Faculdade de Engenharia Impedância intrínseca ( )x e E e E E jkz jkz ˆ 0 0 − − + + = y e E e E H jkz jkz ˆ 1 1 0 0 − = − − + η η Ω = ε µ η é a impedância intrínseca do meio no vazio H/m 10 4 F/m 10 36 1 7 0 9 0 − − × = = × ≅ = π µ µ π ε ε Ω ≅ Ω ≅ = = 377 120 0 0 0 π ε µ η η
OE 0607 Ondas 17 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas transversais ( )x e E e E E jkz jkz ˆ 0 0 − − + + = y e E e E H jkz jkz ˆ 1 1 0 0 − = − − + η η direccção de propagação: z H E e são perpendiculares entre si e ambos são perpendiculares à direcção de propagação ondas electromagnéticas transversais ondas TEM
OE 0607 Ondas 18 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – propagação numa direcção arbitrária ( ) e z k y k x k j p e E E z y x ˆ 0 + + − = versor que indica direcção do vector campo eléctrico seja ε µ ω = k 0 2 2 = + ∇ E k E ( ) 0 2 2 2 2 = + + + − E k E k k k z y x ε µ ω2 2 2 2 = + + z y x k k k z k y k x k k z y x ˆ ˆ ˆ + + = n a kˆ = componentes de um vector com valor absoluto z y x k k k e , ε µ ω = k e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = onde z z y y x x r ˆ ˆ ˆ + + = é o vector de posição vector segundo direcção de propagação
OE 0607 Ondas 19 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – planos de fase constante planos de fase constante: n a k k ˆ = e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = const. = ⋅r k const. ˆ = ⋅ r an equação de planos perpendiculares a n â y x z P n â r projecção de na direcção de r n â plano de fase constante e amplitude uniforme
OE 0607 Ondas 20 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – direcção do campo eléctrico e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = 0 = ⋅ ∇ E ( ) 0 ˆ 0 = ⋅ ∇ ⋅ − e r k j p e E ( ) 0 ˆ 0 = ⋅ ∇ ⋅ − e r k j p e E e n r k j p a e jkE ˆ ˆ 0 ⋅ − ⋅ − 0 = 0 ˆ ˆ = ⋅ e n p a E é perpendicular à direcção de propagação! ( ) f X X f X f ∇ ⋅ + ⋅ ∇ = ⋅ ∇ ( ) ( ) z k y k x k j r k j z y x e z z y y x x e + + − ⋅ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ˆ ˆ ˆ ( ) r k j z y x e z k y k x k j ⋅ − + + − = ˆ ˆ ˆ r k j e k j ⋅ − − =
OE 0607 Ondas 21 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – campo magnético e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = H é perpendicular à direcção de propagação e a E j H × ∇ = ωµ ( ) E a H n × = ˆ 1 η E ( ) X f X f X f × ∇ + ⋅ ∇ = × ∇ ( ) e r k j p e jE H ˆ 0 ⋅ − × ∇ = ωµ ( ) e r k j p e jE H ˆ 0 × ∇ = ⋅ − ωµ ( ) r k j r k j e k j e ⋅ − ⋅ − − = ∇ n r k j a jke ˆ ⋅ − − =
OE 0607 Ondas 22 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas para ondas TEM que se propagam segundo +z E direcção de polarização fixa x e E E z jk ˆ 0 − = se onda polarizada LINEARMENTE segundo x̂ ( ) ( )x z k t E t z E ˆ cos , 0 − = ω direcção de indica a POLARIZAÇÃO da onda z E ˆ ⊥ CASO GERAL y E x E E y x ˆ ˆ + = onde y e E x e E E z jk y z jk x ˆ ˆ 0 0 − − + = 2 1 2 0 1 0 φ φ j y j x e A E e A E = = são complexos 0 0 , y x E E ( ) ( ) y e A x e A E z k j z k j ˆ ˆ 2 1 2 1 − − + = φ φ
OE 0607 Ondas 23 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização linear ( ) ( ) y e A x e A E z k j z k j ˆ ˆ 2 1 2 1 − − + = φ φ ( ) { } t j Ve t v ω Re = ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 1. 0 2 = A ( ) ( )x z k t A t z E ˆ cos , 1 1 φ ω + − = polarização linear segundo x̂ 2. 0 1 = A polarização linear segundo ŷ ( ) ( )y z k t A t z E ˆ cos , 2 2 φ ω + − = 3. A A A = = = = 2 1 2 1 φ φ φ polarização linear segundo p̂ ( ) ( )( ) y x z k t A t z E ˆ ˆ cos , + + − = φ ω ( )p z k t A ˆ cos 0 φ ω + − = 2 0 = A onde 2 ˆ ˆ ˆ y x p + = e p̂ 1 1 x º 45 y
OE 0607 Ondas 24 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização linear ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 4. 2 1 2 1 A A ≠ = = φ φ φ polarização linear segundo p̂ ( ) ( )( ) y A x A z k t t z E ˆ ˆ cos , 2 1 + + − = φ ω ( )p z k t A ˆ cos 0 φ ω + − = 2 2 2 1 0 A A A + = onde 2 2 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ A A y A x A p + + = p̂ 1 A 2 A x y 1 2 1 tan A A − = α
OE 0607 Ondas 25 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização circular direita ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 5. A A A = = − = = 2 1 2 1 2 0 π φ φ polarização circular ( ) ( ) y z k t A x z k t A t z E ˆ 2 cos ˆ cos , − − + − = π ω ω A x y ( ) ( )y z k t A x z k t A ˆ sin ˆ cos − + − = ω ω ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 1 1 1 ω ω + = ( ) x A E ˆ 0 , 0 = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 2 2 2 ω ω + = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 ω ω + = regra da mão direita polegar aponta no sentido de propagação dedos indicam direcção de ( ) t E , 0 polarização circular direita
OE 0607 Ondas 26 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização circular esquerda ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 6. A A A = = + = = 2 1 2 1 2 0 π φ φ polarização circular ( ) ( ) y z k t A x z k t A t z E ˆ 2 cos ˆ cos , + − + − = π ω ω A x y ( ) ( )y z k t A x z k t A ˆ sin ˆ cos − − − = ω ω ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 1 1 1 ω ω − = ( ) x A E ˆ 0 , 0 = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 2 2 2 ω ω − = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 ω ω − = regra da mão “esquerda” polegar aponta no sentido de propagação dedos indicam direcção de ( ) t E , 0 polarização circular esquerda
OE 0607 Ondas 27 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização elíptica ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 7. 2 1 2 1 2 0 A A ≠ ± = = π φ φ polarização elíptica ( ) ( ) y z k t A x z k t A t z E ˆ 2 cos ˆ cos , 2 1 ± − + − = π ω ω 1 A x y ( ) ( )y z k t A x z k t A ˆ sin ˆ cos 2 1 − − = ω ω ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 1 2 1 1 1 ω ω = ( ) x A E ˆ 0 , 0 1 = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 2 1 ω ω = 2 A 2 2 π φ + = 2 2 π φ − =
OE 0607 Ondas 28 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – resumo seja direcção do versor de polarização depende da relação entre amplitudes das duas ondas y E x E E y x ˆ ˆ + = se ondas em fase onda resultante tem polarização linear se diferença de fase = 90º onda resultante tem polarização elíptica (soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaço) circular amplitudes iguais elíptica amplitudes diferentes se diferença de fase arbitrária eixos da elipse não coincidem com x e y onda resultante tem polarização circular ou elíptica
OE 0607 Ondas 29 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – aplicações emitidas em polarização linear, com orientado perpendicularmente ao solo antena de recepção deve ser paralela a ondas AM E emitidas em polarização linear, com orientado paralelamente ao solo antena de recepção deve ser paralela a ondas TV E E E emitidas em polarização circular antena de recepção deve estar num plano normal à direcção de propagação ondas FM antenas nos telhados são horizontais
OE 0607 Ondas 30 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – permitividade complexa Equações de Maxwell para campos harmónicos em meios LHI com perdas e sem cargas: H B E D µ ε = = t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H E J σ = 0 = ρ 0 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j E H H j E ωε σ ωµ ( )E j H ωε σ + = × ∇ E j c ωε = − = ωε σ ε ε j c 1 E j j − = ωε σ ωε 1 permitividade complexa
OE 0607 Ondas 31 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – tangente de perdas − = ωε σ ε ε j c 1 tangente de perdas ωε σ δ = c tan bom condutor ωε σ >> bom isolador ωε σ << comportamento de um dado material varia com a frequência Ex: água do mar 0 72 S/m 4 ε ε σ = = z f H 50 = z f GH 1 = 7 10 2 − × = ωε σ << bom condutor 4 = ωε σ = condutor
OE 0607 Ondas 32 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – constante de propagação − = ωε σ ε ε j c 1 0 2 2 = + ∇ E k E 0 2 2 = + ∇ H k H ε µ ω = k c c k ε µ ω = ωε σ ε µ ω j − = 1 β α γ j + = ωε σ ε µ ω j j − = 1 constante de propagação α − = ωε σ ε µ ω j j 1 Re β − = ωε σ ε µ ω j j 1 Im constante de atenuação constante de fase Nota: λ π β 2 = β ω = f v 0 2 2 = + ∇ E k E c 0 2 2 = + ∇ H k H c z z e E e E E γ γ − − + + = 0 0 (para propagação segundo z) c jk = γ
OE 0607 Ondas 33 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – impedância complexa − = ωε σ ε ε j c 1 ( ) E a H n × = ˆ 1 η Ω = ε µ η ( ) E a H n c × = ˆ 1 η Ω = c c ε µ η ωε σ ε µ ε µ η j c c − = = 1 impedância complexa H E e em meios com perdas, não estão em fase
OE 0607 Ondas 34 Faculdade de Engenharia Bons condutores – constante de propagação β α γ j + = ωε σ ε µ ω j j − = 1 β π λ 2 = j j j − = − ≅ − ωε σ ωε σ ωε σ 1 bom condutor ωε σ >> j j 1 ωε σ ε µ ω γ ≅ ( ) j + = 1 2 σ ωµ j 1 ωε σ = j σ ωµ = ( ) j f + = 1 σ µ π σ µ π β α f = = f vf = β ω = f v σ µ ω 2 = f v σ µ π λ f 2 = ( )E j H ωε σ + = × ∇
OE 0607 Ondas 35 Faculdade de Engenharia Bons condutores – impedância intrínseca ( ) j f c + = 1 σ µ π η ωε σ j − 1 ωε σ ε µ ε µ η j c c − = = 1 bom condutor ωε σ >> j 1 ωε σ ≅ º 45 = ∠ c η ( ) E a H n c × = ˆ 1 η H atrasado 45º em relação a E se º 45 = ∠ c η ωε σ >> bom condutor Nota:
OE 0607 Ondas 36 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular bom condutor ωε σ >> σ µ π β α f = = z e E E γ − + = 0 factor de atenuação: z j z e e E β α − − + = 0 para propagação segundo +z: z e α − frequências elevadas α elevado onda sofre atenuação considerável propagação apenas numa pequena película profundidade de penetração efeito pelicular ) m ( 1 1 σ µ π α δ f = = z e α −
OE 0607 Ondas 37 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular profundidade de penetração ) m ( 1 σ µ π δ f = material ) Hz ( 60 = f ) m / S ( σ ) MHz ( 1 = f ) GHz ( 1 = f prata cobre ouro alumínio água do mar 7 10 17 . 6 × 7 10 1 . 4 × 7 10 8 . 5 × 7 10 54 . 3 × 4 mm 27 . 8 mm 53 . 8 mm 14 . 10 mm 92 . 10 m 32 mm 066 . 0 mm 064 . 0 mm 079 . 0 mm 084 . 0 m 25 . 0 mm 002 . 0 mm 0021 . 0 mm 0025 . 0 mm 0027 . 0 (já não é bom condutor a esta frequência)
OE 0607 Ondas 38 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular propagação apenas numa pequena película para altas frequências profundidade de penetração efeito pelicular ) m ( 1 1 σ µ π α δ f = = condutor cilíndrico a altas frequências, a corrente circula numa coroa cilíndrica exterior de espessura δ δ são usados tubos cilíndricos ocos em condutores para altas frequências (ex. antenas)
OE 0607 Ondas 39 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular circulação de corrente numa pequena película para altas frequências profundidade de penetração efeito pelicular ) m ( 1 1 σ µ π α δ f = = variação da resistência com a frequência resistência DC 2 a l RDC π σ = resistência AC a l RAC π δ σ 2 = δ a l δ 2 a R R DC AC = a altas frequências a << δ DC AC R R >>
OE 0607 Ondas 40 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo – dispersão velocidade de fase velocidade de propagação da frente de onda de fase constante f v β α γ j + = ωε σ ε µ ω j j − = 1 − = ωε σ ε µ ω β j j 1 Im meios sem perdas ε µ ω β = é constante meios com perdas β não é função linear de ω depende da frequência β ω = f v em sinais que consistem numa dada banda de frequências, as componentes a diferentes frequências propagam-se a velocidades de fase diferentes distorção do sinal DISPERSÃO ε µ 1 = f v
OE 0607 Ondas 41 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo – relação de dispersão; meios dispersivos meios dispersivos meios para os quais a velocidade de fase depende da frequência meios sem perdas são meios não dispersivos meios com perdas são meios dispersivos relação de dispersão equação que relaciona com β ω Ex: meios sem perdas ε µ ω β =
OE 0607 Ondas 42 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo no caso geral relação de dispersão sinal de largura de banda centrada numa portadora ( ) ω β β = ( ) ω f f v v = ω ∆ 2 0 ω ω 0 ω 1 ω 2 ω ω ω ω ∆ − = 0 1 ω ω ω ∆ + = 0 2 ω ω ∆ >> 0 β β β ∆ + = 0 2 β β β ∆ − = 0 1 (propagação segundo +z) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] { } z t z t E t z E β β ω ω β β ω ω ∆ − − ∆ − + ∆ + − ∆ + = 0 0 0 0 0 cos cos , ondas planas correspondentes a ω1 e ω2: ( ) ( ) z t z t E 0 0 0 cos cos 2 β ω β ω − ∆ − ∆ =
OE 0607 Ondas 43 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo ( ) ( ) ( ) z t z t E t z E 0 0 0 cos cos 2 , β ω β ω − ∆ − ∆ = z ( ) 0 , z E envolvente portadora portadora propaga-se à velocidade 0 0 β ω = f v envolvente propaga-se à velocidade β ω ∆ ∆ = g v 0 lim → ∆ω ( ) m/s 1 ω β d d vg = velocidade de grupo
OE 0607 Ondas 44 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo – dispersão normal e anómala ω β d d vg 1 = velocidade de grupo β ω = f v velocidade de fase = f v d d d d ω ω ω β 2 f f f v d dv v ω ω − = ω ω d dv v v v f f f g − = 1 casos particulares 1. 0 = ω d dvf f g v v = 2. 0 < ω d dvf f g v v < sem dispersão ( constante) f v dispersão normal ( diminui com ) f v ω 3. 0 > ω d dvf f g v v > dispersão anómala f v ω ( aumenta com )
OE 0607 Ondas 45 Faculdade de Engenharia Energia transportada por uma onda t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε E J σ = ( ) ( ) ( ) H E E H H E × ∇ ⋅ − × ∇ ⋅ = × ⋅ ∇ (igualdade vectorial) ( ) ∂ ∂ + ⋅ − ∂ ∂ − ⋅ = × ⋅ ∇ t E J E t H H H E ε µ ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ × V V S dv E dv E H t s d H E 2 2 2 2 2 σ ε µ ( ) ( ) ( ) J E E E t H H t H E ⋅ − ⋅ ∂ ∂ − ⋅ ∂ ∂ − = × ⋅ ∇ 2 1 2 1 ε µ ( ) A A t t A A ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 E E H t H E σ ε µ − + ∂ ∂ − = × ⋅ ∇ ( )dv A s d A V S ⋅ ∇ = ⋅ Nota: expressões instantâneas 2 W/m
OE 0607 Ondas 46 Faculdade de Engenharia Teorema de Poynting ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ × V V S dv E dv E H t s d H E 2 2 2 2 2 σ ε µ potência que atravessa S diminuição da energia armazenada no campo EM por unidade de tempo potência dissipada por condução conservação de energia Nota: expressões instantâneas
OE 0607 Ondas 47 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ × V V S dv E dv E H t s d H E 2 2 2 2 2 σ ε µ vector de Poynting ( ) 2 W/m H E S × = representa a densidade de potência instantânea transportada pela onda electromagnética ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ V V e m S dv p dv w w t s d S σ 2 E p σ σ = 2 2 1 H wm µ = 2 2 1 E we ε = Nota: expressões instantâneas
OE 0607 Ondas 48 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting – campos harmónicos { } t j e r E t r E ω ) ( Re ) , ( = { } t j e r H t r H ω ) ( Re ) , ( = { } { } t j t j e r H e r E t r H t r E t r S ω ω ) ( Re ) ( Re ) , ( ) , ( ) , ( × = × = { } { } * 2 1 Re X X X + = { } { } { } { } * * 2 1 2 1 Re Re B B A A B A + × + = × { } * * * * 4 1 B A B A B A B A × + × + × + × = { } B A B A × + × = * Re 2 1 { } t j e r H r E r H r E t r S ω 2 * ) ( ) ( ) ( ) ( Re 2 1 ) , ( × + × = valor instantâneo fasores
OE 0607 Ondas 49 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting médio { } t j e r H r E r H r E t r S ω 2 * ) ( ) ( ) ( ) ( Re 2 1 ) , ( × + × = Ondas TEM vector de Poynting médio aponta na direcção e sentido de propagação da onda = T dt t r S T r S ) , ( 1 ) ( med Densidade de potência média { } ( ) 2 * med W/m ) ( ) ( Re 2 1 ) ( r H r E r S × = n a H E ˆ ⊥ ⊥ { } n a E H E S ˆ 1 Re 2 1 Re 2 1 * 2 * med = × = η E a H n × = ˆ 1 η ( ) ∗ × × = × E a E H E n ˆ 1 * * η ( ) ( ) { } n n a E E a E E ˆ ˆ 1 * * * ⋅ − ⋅ = η n a E ˆ 1 2 * η = ( ) ( ) ( ) B A C B C A C B A ⋅ − ⋅ = × ×
OE 0607 Ondas 50 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting médio – casos particulares 1. Onda TEM com polarização linear z e E S z ˆ cos 2 1 2 2 0 med η α θ η − = y e E H z j ˆ 1 ) ( 0 β α η + − = x e E E z j ˆ ) ( 0 β α+ − = 2. Onda TEM com polarização circular z e E S z ˆ cos 1 2 2 0 med η α θ η − = ( ) x j y e E H z j ˆ ˆ 1 ) ( 0 − = + − β α η ( ) y j x e E E z j ˆ ˆ ) ( 0 + = + − β α { } n a E H E S ˆ 1 Re 2 1 Re 2 1 * 2 * med = × = η β α γ j + = η θ η η j e = caso geral: meio com perdas = 2 * Re 1 Re η η η η θη cos =
OE 0607 Ondas 51 Faculdade de Engenharia Incidência de uma onda TEM numa interface plana meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε i θ t θ r θ plano de incidência plano xz ângulo de incidência i θ plano formado pela normal à interface e pela direcção de propagação da onda incidente nt â transmitida z x a i i ni ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = z x a t t nt ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = z x a r r nr ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ − = direcções de propagação: ni â incidente nr â reflectida
OE 0607 Ondas 52 Faculdade de Engenharia Leis de Snell – lei da reflexão meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε ni â nr â nt â i θ t θ r θ frente de onda mesma fase O / O B / A A n â ondas planas frentes de onda são planos normais a r i OO OO θ θ sin sin / / = / 1 / 1 OA AO β β = pontos e têm mesma fase O A / O / A pontos e têm mesma fase fase = dist. ⋅ β r i θ θ =
OE 0607 Ondas 53 Faculdade de Engenharia Leis de Snell – lei da refracção meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε ni â nr â nt â i θ t θ r θ O / O B / A A fase = dist. ⋅ β t i OO OO θ β θ β sin sin / 2 / 1 = 2 1 sin sin β β θ θ = i t 1 2 f f v v = n â ondas planas frentes de onda são planos normais a pontos e têm mesma fase O A B / O pontos e têm mesma fase OB AO 2 / 1 β β = f v ω β =
OE 0607 Ondas 54 Faculdade de Engenharia Índice de refracção Índice de refracção quociente entre velocidades de propagação no vazio e no meio f v c n = 2 1 sin sin n n i t = θ θ lei de Snell da refracção Ex: meio sem perdas ε µ 1 = f v 0 0 ε µ ε µ = n r r ε µ = 1 ≥ n n elevado velocidade baixa 1 2 sin sin f f i t v v = θ θ
OE 0607 Ondas 55 Faculdade de Engenharia Condições de fronteira meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε n â meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε equações de Maxwell 0 = ⋅ = ⋅ ⋅ ∂ ∂ + = ⋅ ⋅ ∂ ∂ − = ⋅ S V S S C S C s d B dv s d D s d t D J l d H s d t B l d E ρ ( ) 0 ˆ 2 1 = − × E E an ( ) S n J H H a = − × 2 1 ˆ seja agora o versor normal à interface que aponta do meio 2 para o meio 1 n â ( ) S n D D a ρ = − ⋅ 2 1 ˆ ( ) 0 ˆ 2 1 = − ⋅ B B an densidade superficial de corrente (A/m) densidade superficial de carga (C/m3)
OE 0607 Ondas 56 Faculdade de Engenharia Condições de fronteira meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε n â meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε ( ) 0 ˆ 2 1 = − × E E an ( ) S n J H H a = − × 2 1 ˆ ( ) S n D D a ρ = − ⋅ 2 1 ˆ ( ) 0 ˆ 2 1 = − ⋅ B B an tan , 2 tan , 1 E E = contínuo norm B contínuo tan E 0 se contínuo tan = S J H 0 se contínuo norm = S D ρ norm , 2 norm , 1 B B = Nota: 0 e 0 ≠ ≠ S S J ρ apenas em condutores perfeitos
OE 0607 Ondas 57 Faculdade de Engenharia Condições de fronteira – condutores perfeitos meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε n â meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε 0 0 0 0 cond cond cond cond = = = = B D H E condutores perfeitos 0 e 0 ≠ ≠ S S J ρ σ µ π α δ f 1 1 = = ∞ = σ 0 = Ex: ∞ = 2 σ ( ) 2 1 ˆ H H a J n S − × = ( ) 2 1 ˆ D D an S − ⋅ = ρ 1 ˆ H an × = t a H ˆ tan , 1 = 1 ˆ D an ⋅ = n a D ˆ norm , 1 =
OE 0607 Ondas 58 Faculdade de Engenharia Incidência normal incidência normal 0 = i θ 2 1 sin sin n n i t = θ θ r i θ θ = 0 = = t r θ θ meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H incidente x e E E z i i ˆ 1 0 γ − = y e E H z i i ˆ 1 1 0 γ η − = reflectida x e E E z r r ˆ 1 0 γ + = y e E H z r r ˆ 1 1 0 γ η + − = transmitida x e E E z t t ˆ 2 0 γ − = y e E H z t r ˆ 2 2 0 γ η − = ( )x e E e E z r z i ˆ 1 1 0 0 γ γ + − + = y e E e E z r z i ˆ 1 1 1 0 1 0 − = + − γ γ η η r i E E E + = 1 r i H H H + = 1 meio 1 meio 2
OE 0607 Ondas 59 Faculdade de Engenharia Incidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão condições fronteira meio 1 z x meio 2 y i E nt â t E t H i H ni â nr â r E r H contínuo tan E contínuo tan H ( ) 0 se = S J 1 E ( )x e E e E z r z i ˆ 1 1 0 0 γ γ + − + = 1 H y e E e E z r z i ˆ 1 1 1 0 1 0 − = + − γ γ η η meio 1 meio 2 x e E E z t ˆ 2 0 2 γ − = y e E H z t ˆ 2 2 0 2 γ η − = 2 0 1 0 1 0 0 0 0 η η η t r i t r i E E E E E E = − = + em z=0 2 1 2 1 H H E E = = 1 2 2 0 0 1 2 1 2 0 0 2 η η η η η η η + = + − = i t i r E E E E
OE 0607 Ondas 60 Faculdade de Engenharia Incidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z i z i ˆ 1 1 0 0 1 γ γ + − Γ + = 1 H y e E e E z r z i ˆ 1 1 1 0 1 0 − = + − γ γ η η meio 1 meio 2 x e E E z t ˆ 2 0 2 γ − = y e E H z t ˆ 2 2 0 2 γ η − = 1 2 1 2 0 0 η η η η + − = i r E E η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 1 2 2 0 0 2 η η η + = i t E E coeficiente de transmissão coeficiente de reflexão τ = Γ + 1 Notas 1. 2. 1 ≤ Γ 3. 0 ≥ τ 4. x e E E z i ˆ 2 0 2 γ τ − = ( )x e E e E E z r z i ˆ 1 1 0 0 1 γ γ + − + =
OE 0607 Ondas 61 Faculdade de Engenharia Incidência normal – onda estacionária meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z i z i ˆ 1 1 0 0 1 γ γ + − Γ + = η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 ( ) [ ]x e e E E z z i ˆ 1 1 0 1 γ γ τ + − Γ + Γ − = τ = Γ + 1 ( )x e e E x e E E z z i z i ˆ ˆ 1 1 1 0 0 1 γ γ γ τ − + − − Γ + = ( )x z E x e E E i z i ˆ sinh 2 ˆ 1 0 0 1 1 γ τ γ Γ + = − ( ) 2 sinh x x e e x − − = (meio 1 sem perdas) 1 1 β γ j = ( )x z E j x e E E i z i ˆ sin 2 ˆ 1 0 0 1 1 β τ β Γ + = − onda em propagação onda estacionária
OE 0607 Ondas 62 Faculdade de Engenharia Incidência normal – máximos e mínimos meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z j i z j i ˆ 1 1 0 0 1 β β + − Γ + = η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 ( ) [ ] ( ) ( )2 1 2 1 0 1 2 sin 2 cos 1 z z E E i β θ β θ + Γ + + Γ + = Γ Γ meio 1 sem perdas ( )x z E j x e E E i z j i ˆ sin 2 ˆ 1 0 0 1 1 β τ β Γ + = − máximos: ( )x e e E z j z j i ˆ 1 1 1 2 0 β β + − Γ + = ( ) z Ei 1 2 0 2 cos 2 1 β θ + Γ + Γ + = Γ Γ Γ = Γ θ j e mínimos: ( ) 1 2 cos 1 + = + Γ z β θ ( ) 1 2 cos 1 − = + Γ z β θ ( ) π θ β n zMAX 2 2 1 1 + − = Γ ( ) [ ] π θ β 1 2 2 1 1 min + + − = Γ n z ( ) Γ + = 1 0 1 i MAX E E ( ) Γ − = 1 0 min 1 i E E
OE 0607 Ondas 63 Faculdade de Engenharia Incidência normal – incidência num condutor ideal meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z j i z j i ˆ 1 1 0 0 1 β β + − Γ + = η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 meio 1 sem perdas máximos: mínimos: ( )π β 1 2 2 1 1 + = n zMAX 1 min β π n z = 0 1 2 i MAX E E = 0 min 1 = E meio 2 condutor ideal ( ) 0 1 = σ ωε σ ε µ η j − = 1 0 2 = η ( ) ∞ = 2 σ 0 1 = − = Γ τ 0 2 = E ( )x e e E E z j z j i ˆ 1 1 0 1 β β + − − = ( )x z jEi ˆ sin 2 1 0 β − = não há onda móvel, apenas onda estacionária e e
OE 0607 Ondas 64 Faculdade de Engenharia Incidência normal – múltiplas interfaces meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η meio 1 ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η meio 2 y e E H x e E E z z ˆ ˆ 2 2 2 2 3 2 3 γ γ η − + − + = = meio 3
OE 0607 Ondas 65 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – condições fronteira meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = meios dieléctricos 0 = S J contínuo tan E contínuo tan H 0 = z 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 η η − + − + − + − + − = − + = + E E E E E E E E d z = 3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 η η γ γ γ γ γ γ γ γ d d d d d d d d e E e E e E e E e E e E e E e E − − + − − + − − + − − + − = − + = + 4 equações 4 incógnitas ( ) + − + − 3 2 2 1 , , , E E E E se conhecido + 1 E
OE 0607 Ondas 66 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – analogia com linhas de transmissão meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = meio 1 meio 2 meio 3 y e E H x e E E z z ˆ ˆ 2 2 2 2 3 2 3 γ γ η − + − + = = ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η z z z z e Z V e Z V I e V e V V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 γ γ γ γ − − + − − + − = + = linha 1 linha 2 linha 3 z z z z e Z V e Z V I e V e V V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 γ γ γ γ − − + − − + − = + = z z e Z V I e V V 3 3 3 3 3 3 3 γ γ − + − + = = 2 Z 1 Z 3 Z 0 = z d z= z
OE 0607 Ondas 67 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – analogia com linhas de transmissão 3 ) ( Z d z Z = ≥ linha 3 infinita ( ) ( ) ( ) ( ) z d Z Z z d Z Z Z d z Z − + − + = ≤ ≤ 2 3 2 2 2 3 2 tanh tanh ) 0 ( γ γ 1 1 eff , 12 ) 0 ( ) 0 ( Z z Z Z z Z + = − = = Γ 2 2 eff , 23 ) ( ) ( Z d z Z Z d z Z + = − = = Γ 2 3 2 3 Z Z Z Z + − = 2 Z 1 Z 3 Z 0 = z d z= z ) ( ) ( ) ( z I z V z Z = Impedância ao longo da linha linha 2 finita Coeficientes de reflexão ( ) d d d d e V e V e V e V 2 3 2 2 2 eff , 23 3 2 eff , 23 2 1 γ γ γ γ − + − + − + − Γ − = Γ = ( ) + + + − Γ − = Γ = 1 eff , 12 2 1 eff , 12 1 1 V V V V
OE 0607 Ondas 68 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – analogia com linhas de transmissão meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = ) ( ) ( ) ( z H z E z Z y x = ( ) d d d d e E e E e E e E 2 3 2 2 2 eff , 23 3 2 eff , 23 2 1 γ γ γ γ − + − + − + − Γ − = Γ = 3 ) ( η = ≥ d z Z ( ) ( ) ( ) ( ) z d z d d z Z − + − + = ≤ ≤ 2 3 2 2 2 3 2 tanh tanh ) 0 ( γ η η γ η η η 1 1 eff , 12 ) 0 ( ) 0 ( η η + = − = = Γ z Z z Z 2 2 eff , 23 ) ( ) ( η η + = − = = Γ d z Z d z Z 2 3 2 3 η η η η + − = ( ) + + + − Γ − = Γ = 1 eff , 12 2 1 eff , 12 1 1 E E E E 4 equações 4 incógnitas ( ) + − + − 3 2 2 1 , , , E E E E se conhecido + 1 E meio 3 infinito Impedância de onda meio 2 finito Coeficientes de reflexão
OE 0607 Ondas 69 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – aplicação meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = Eliminação de reflexões na interface 1 3 através da inserção do meio 2 0 eff , 12 = Γ 1 ) 0 ( η = = z Z Aplicações práticas •eliminação de reflexos em lentes •atenuação de ecos de radar (aviões invisíveis) •… Nota: meio 2 pode ser visto como adaptador de 4 / λ
OE 0607 Ondas 70 Faculdade de Engenharia Incidência oblíqua de uma onda TEM numa interface plana onda TEM n a H E ˆ ⊥ ⊥ i i H E e estão no plano n â ⊥ meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε i θ t θ r θ nt â transmitida ni â incidente nr â reflectida 2. paralelo ao plano de incidência i E i E y e E E r a jk i i ni ˆ ˆ 0 1 ⋅ − = ( ) z x e E E i i r a jk i i ni ˆ sin ˆ cos ˆ 0 1 θ θ − = ⋅ − polarização perpendicular polarização paralela ( ) y e E z x e E E r a jk i i i r a jk i i ni ni ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ 2 , 0 ˆ 1 , 0 1 1 ⋅ − ⋅ − + − = θ θ polarização perpendicular polarização paralela 1. perpendicular ao plano de incidência Caso geral:
OE 0607 Ondas 71 Faculdade de Engenharia Polarizações perpendicular e paralela – convenção polarização perpendicular meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H polarização paralela componentes de tangentes à interface mantêm o sentido t r i E E E e ,
OE 0607 Ondas 72 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – campos eléctrico e magnético meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H incidente z x a i i ni ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = y e E E r a i i ni ˆ ˆ 0 1 ⋅ − = γ i ni i E a H × = ˆ 1 1 η ( ) x z e E i i r a i ni ˆ cos ˆ sin ˆ 1 0 1 θ θ η γ − = ⋅ − reflectida z x a r r nr ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ − = y e E E r a r r nr ˆ ˆ 0 1 ⋅ − = γ r nr r E a H × = ˆ 1 1 η ( ) x z e E i i r a r nr ˆ cos ˆ sin ˆ 1 0 1 θ θ η γ + = ⋅ − z x i i ˆ cos ˆ sin θ θ − = transmitida z x a t t nt ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = y e E E r a t t nt ˆ ˆ 0 2 ⋅ − = γ t nt t E a H × = ˆ 1 2 η ( ) x z e E t t r a t nt ˆ cos ˆ sin ˆ 2 0 2 θ θ η γ − = ⋅ − relações entre obtidas a partir das condições fronteira 0 0 0 e , t r i E E E
OE 0607 Ondas 73 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – campos eléctrico e magnético meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H condições fronteira contínuo tan E contínuo tan H ( ) 0 se = S J em 0 = z t r i E E E = + tx rx ix H H H = + x j t x j r x j i t i i e E e E e E θ β θ β θ β sin 0 sin 0 sin 0 2 1 1 − − − = + 2 sin 0 1 sin 0 sin 0 2 1 1 cos cos cos η θ η θ θ θ β θ β θ β x j t t x j i r x j i i t i i e E e E e E − − − − = + − meios sem perdas 0 2 1 = =σ σ 2 2 1 1 β γ β γ j j = = t i θ β θ β sin sin 2 1 = 0 0 0 t r i E E E = + ( ) t t i r i E E E θ η θ η cos cos 1 2 0 0 0 1 = −
OE 0607 Ondas 74 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H 0 0 0 t r i E E E = + ( ) t t i r i E E E θ η θ η cos cos 1 2 0 0 0 1 = − t i t i i r E E θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 0 0 + − = t i i i t E E θ η θ η θ η cos cos cos 2 1 2 2 0 0 + = t i t i θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 + − = Γ⊥ t i i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 + = ⊥ coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão
OE 0607 Ondas 75 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H t i t i θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 + − = Γ⊥ t i i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 + = ⊥ coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão notas 1. ⊥ ⊥ = Γ + τ 1 (tal como para incidência normal) 2. é possível que 0 = Γ⊥ t i θ η θ η cos cos 1 2 = ⊥ = B i θ θ (ângulo de Brewster) t i n n θ θ sin sin 2 1 = ( )2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 sin µ µ ε µ ε µ θ − − = ⊥ B 3. se meio 2 for condutor perfeito, 0 2 = η 0 1 = − = Γ ⊥ ⊥ τ 2 1 µ µ ≠ só possível quando
OE 0607 Ondas 76 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – campos eléctrico e magnético incidente z x a i i ni ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = ( ) z x e E E i i r a i i ni ˆ sin ˆ cos ˆ 0 1 θ θ γ − = ⋅ − y e E H r a i i ni ˆ ˆ 1 0 1 ⋅ − = γ η reflectida z x a r r nr ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ − = y e E H r a r r nr ˆ ˆ 1 0 1 ⋅ − − = γ η z x i i ˆ cos ˆ sin θ θ − = transmitida z x a t t nt ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = ( ) z x e E E t t r a t t nt ˆ sin ˆ cos ˆ 0 2 θ θ γ − = ⋅ − y e E H r a t t nt ˆ ˆ 2 0 2 ⋅ − = γ η relações entre obtidas a partir das condições fronteira 0 0 0 e , t r i E E E meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) z x e E E i i r a r r nr ˆ sin ˆ cos ˆ 0 1 θ θ γ + = ⋅ −
OE 0607 Ondas 77 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – campos eléctrico e magnético meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H condições fronteira contínuo tan E contínuo tan H ( ) 0 se = S J em 0 = z tx rx ix E E E = + t r i H H H = + x j t t x j i r x j i i t i i e E e E e E θ β θ β θ β θ θ θ sin 0 sin 0 sin 0 2 1 1 cos cos cos − − − = + 2 sin 0 1 sin 0 sin 0 2 1 1 η η θ β θ β θ β x j t x j r x j i t i i e E e E e E − − − = − meios sem perdas 0 2 1 = =σ σ 2 2 1 1 β γ β γ j j = = t i θ β θ β sin sin 2 1 = ( ) t t i r i E E E θ θ cos cos 0 0 0 = + ( ) 2 0 0 0 1 1 η η t r i E E E = − meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H
OE 0607 Ondas 78 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão i t i t i r E E θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 0 0 + − = i t i i t E E θ η θ η θ η cos cos cos 2 1 2 2 0 0 + = coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) t t i r i E E E θ θ cos cos 0 0 0 = + ( ) 2 0 0 0 1 1 η η t r i E E E = − i t i t θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 || + − = Γ i t i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 || + =
OE 0607 Ondas 79 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão notas 1. = Γ + i t θ θ τ cos cos 1 || || 2. é possível que 0 || = Γ i t θ η θ η cos cos 1 2 = || B i θ θ = (ângulo de Brewster) t i n n θ θ sin sin 2 1 = ( )2 2 1 2 1 1 2 || 2 1 1 sin ε ε ε µ ε µ θ − − = B 3. se meio 2 for condutor perfeito, 0 2 = η 0 1 || || = − = Γ τ 2 1 µ µ = quando coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão i t i t θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 || + − = Γ i t i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 || + = ( ) 2 1 || 1 1 sin ε ε θ + = B meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H
OE 0607 Ondas 80 Faculdade de Engenharia Campo eléctrico no meio 1 – polarização perpendicular r i E E E + = 1 ⊥ ⊥ = Γ + τ 1 ( ) [ ] y e e e E E x j z j z j i i i i ˆ sin cos cos 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β τ − ⊥ − ⊥ ⊥ Γ + Γ − = 1 1 β γ j = onda em propagação segundo onda em propagação segundo x, com amplitude dependente de z meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H meio 1 sem perdas y e E y e E r a j r r a j i nr ni ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 1 1 ⋅ − ⋅ − + = β β z x r a z x r a i i nr i i ni θ θ θ θ cos sin ˆ cos sin ˆ − = ⋅ + = ⋅ ( ) y e e e E y e E x j z j z j i r a j i i i i ni ˆ ˆ sin cos cos 0 ˆ 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β β τ − − ⊥ ⋅ − ⊥ − Γ + = ( ) y e z E j y e E x j i i r a j i i ni ˆ cos sin 2 ˆ sin 1 0 ˆ 0 1 1 θ β β θ β τ − ⊥ ⋅ − ⊥ Γ + = ni â
OE 0607 Ondas 81 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos no meio 1 – polarização perpendicular meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H y e E y e E E r a j r r a j i nr ni ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 1 1 1 ⋅ − ⋅ − + = β β z x r a z x r a i i nr i i ni θ θ θ θ cos sin ˆ cos sin ˆ − = ⋅ + = ⋅ ( ) ( )y e e E E z j z x j i i i i ˆ 1 cos 2 cos sin 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β + ⊥ + − Γ + = ( ) [ ] ( ) [ ]2 1 2 1 0 1 cos 2 sin cos 2 cos 1 z z E E i i i θ β θ θ β θ + Γ + + Γ + = Γ ⊥ Γ ⊥ ( ) z E i i θ β θ cos 2 cos 2 1 1 2 0 + Γ + Γ + = Γ ⊥ ⊥ máximos: mínimos: ( ) 1 cos 2 cos 1 + = + Γ z i θ β θ ( ) π θ θ β n z i MAX 2 cos 2 1 1 + − = Γ ( ) [ ] π θ θ β 1 2 cos 2 1 1 min + + − = Γ n z i ( ) ⊥ Γ + = 1 0 1 i MAX E E ( ) ⊥ Γ − = 1 0 min 1 i E E ( ) 1 cos 2 cos 1 − = + Γ z i θ β θ Γ ⊥ ⊥ Γ = Γ θ j e
OE 0607 Ondas 82 Faculdade de Engenharia Incidência num condutor ideal – polarização perpendicular meio 1 z x condutor ideal i θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H ( )y e e e E E z j z j x j i i i i ˆ cos cos sin 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β − = − − máximos: mínimos: ( ) i MAX n z θ β π cos 2 1 2 1 + = i n z θ β π cos 1 min = 0 1 2 i MAX E E = 0 min 1 = E 0 2 = η ( ) ∞ = 2 σ 0 1 = − = Γ ⊥ ⊥ τ 0 2 = E ( )y z e E j i x j i i ˆ cos sin 2 1 sin 0 1 θ β θ β − − = meio 2 condutor ideal onda em propagação segundo x, com amplitude dependente de z e e
OE 0607 Ondas 83 Faculdade de Engenharia Campo eléctrico no meio 1 – polarização paralela r i E E E + = 1 1 1 β γ j = meio 1 sem perdas meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) ( ) z x e E z x e E i i r a j r i i r a j i nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ 0 1 1 θ θ θ θ β β + + − = ⋅ − ⋅ − = Γ + i t θ θ τ cos cos 1 || || ( ) ( ) ( ) z x e E z x e E z x e E i i r a j i i i r a j i i i r a j i i t nr ni ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos cos cos ˆ 0 || ˆ 0 || ˆ 0 || 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ τ β β β + Γ + − Γ − − = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ( ) ( ) ( ) z e e e E x e e e E z x e E E i z j z j x j i i z j z j x j i i i r a j i i t i i i i i i ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos cos cos cos cos sin 0 || cos cos sin 0 || ˆ 0 || 1 1 1 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ τ θ β θ β θ β θ β θ β θ β β + Γ + − Γ + − = − − ⋅ − ( ) ( ) ( ) z z e E x z e E j z x e E i i x j i i i x j i i i r a j i i t i i ni ˆ sin cos cos 2 ˆ cos cos sin 2 ˆ sin ˆ cos cos cos 1 sin 0 || 1 sin 0 || ˆ 0 || 1 1 1 θ θ β θ θ β θ θ θ θ τ θ β θ β β − − ⋅ − Γ + Γ + − =
OE 0607 Ondas 84 Faculdade de Engenharia Campo eléctrico no meio 1 – polarização paralela ondas em propagação segundo x, com amplitudes dependente de z onda em propagação segundo ni â meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) z x e E E i i r a j i i t ni ˆ sin ˆ cos cos cos ˆ 0 || 1 1 θ θ θ θ τ β − = ⋅ − ( ) x z e E j i i x j i i ˆ cos cos sin 2 1 sin 0 || 1 θ θ β θ β − Γ + ( ) z z e E i i x j i i ˆ sin cos cos 2 1 sin 0 || 1 θ θ β θ β − Γ +
OE 0607 Ondas 85 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos no meio 1 – polarização paralela ( ) ( ) i r a a j r a j i x nr ni ni e e E E θ β β cos 1 ˆ ˆ || ˆ 0 1 1 1 ⋅ − ⋅ − Γ + = ( ) [ ] ( ) [ ]2 1 || 2 1 || 0 1 cos 2 sin cos 2 cos 1 cos z z E E i i i i x θ β θ θ β θ θ + Γ + + Γ + = Γ Γ ( ) z E i i i θ β θ θ cos 2 cos 2 1 cos 1 || 2 || 0 + Γ + Γ + = Γ máximos: mínimos: ( ) π θ θ β n z i MAX 2 cos 2 1 1 + − = Γ ( ) [ ] π θ θ β 1 2 cos 2 1 1 min + + − = Γ n z i ( ) || 0 1 1 cos Γ + = i i MAX E E θ ( ) || 0 min 1 1 cos Γ − = i i x E E θ Γ Γ = Γ θ j e || || meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H r i E E E + = 1 ( ) ( ) z x e E z x e E i i r a j r i i r a j i nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ 0 1 1 θ θ θ θ β β + + − = ⋅ − ⋅ − ( ) ( ) z e E e E x e E e E i r a j r r a j i i r a j r r a j i nr ni nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 1 1 1 1 θ θ β β β β ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + − + + = ( ) i z j r a j i x i ni e e E E θ θ β β cos 1 cos 2 || ˆ 0 1 1 1 Γ + = ⋅ −
OE 0607 Ondas 86 Faculdade de Engenharia condutor ideal Incidência num condutor ideal – polarização paralela máximos de E1x: ( ) i MAX n z θ β π cos 2 1 2 1 + = i n z θ β π cos 1 min = i i MAX x E E θ cos 2 0 1 = 0 min 1 = x E 0 2 = η ( ) ∞ = 2 σ 0 1 || || = − = Γ τ 0 2 = E meio 2 condutor ideal ondas em propagação segundo x, com amplitudes dependente de z meio 1 z x i θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H ( ) ( ) [ ] z e e x e e E E i r a j r a j i r a j r a j i nr ni nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 1 1 1 1 θ θ β β β β ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + − − = ( ) ( ) z z e E x z e E j i i x j i i i x j i i i ˆ sin cos cos 2 ˆ cos cos sin 2 1 sin 0 1 sin 0 1 1 θ θ β θ θ β θ β θ β − − − − = mínimos de E1x: e e
OE 0607 Ondas 87 Faculdade de Engenharia condutor ideal Guias de onda metálicos meio 1 z x i θ r θ y polarização perpendicular: i n z θ β π cos 1 = 0 1 = E ( )y z e E j E i x j i i ˆ cos sin 2 : 1 sin 0 1 1 θ β θ β − − = ⊥ ( ) ( ) z z e E x z e E j E i i x j i i i x j i i i ˆ sin cos cos 2 ˆ cos cos sin 2 : || 1 sin 0 1 sin 0 1 1 1 θ θ β θ θ β θ β θ β − − − − = em polarização paralela: i n z θ β π cos 1 = 0 1 = x E em para ambas polarizações, um plano condutor paralelo ao plano xy poderia ser colocado em , sem alterar o campo no meio 1 i n z θ β π cos 1 = i n z θ β π cos 1 =
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  • 1. Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas MIEEC 2006/2007 http://www.bbemg.ulg.ac.be/Images/UKondeelm.gif
  • 2. OE 0607 Faculdade de Engenharia Ondas Electromagnéticas no MIEEC disciplina final da área de Teoria da Electricidade • Circuitos (1º ano, tronco comum) • Leis básicas dos circuitos eléctricos • Electromagnetismo (2º ano, tronco comum) • Campos eléctrico e magnético • Ondas Electromagnéticas (2º ano, ramo Telecomunicações) • Propagação de ondas electromagnéticas • meios infinitos • linhas de transmissão • guias de onda • Geração de ondas electromagnéticas • antenas
  • 3. OE 0607 Faculdade de Engenharia Escolaridade • Teóricas • 1 turma • 2 X 1h por semana • Teórico-práticas • 4 turmas • 1 X 2h por semana • Laboratórios • 4 turmas • 3 X 2h por semestre Lab1 (sala I220) •turmas 11 e 12 dia 29/3 •turmas 13 e 14 dia 12/4 Lab2 (sala I220) turmas 11 e 12 dia 26/4 turmas 13 e 14 dia 3/5 Lab3 (sala B236) turmas 11 e 12 dia 17/5 turmas 13 e 14 dia 24/5
  • 4. OE 0607 Faculdade de Engenharia Funcionamento • Teóricas • exposição e discussão da matéria • resolução de exercícios (?) • Teórico-práticas • resolução de exercícios pelos docentes • resolução de exercícios pelos alunos • realização de microtestes • Laboratórios • realização de trabalhos de acordo com guiões fornecidos • elaboração e entrega de relatórios
  • 5. OE 0607 Faculdade de Engenharia Docentes 2ª feira, 15h – 16h 5ª feira, 9h – 12h 5ª feira, 10h – 11h 2ª feira, 8h – 9h atendimento turma 12 Nuno Fidalgo gab J 110 jfidalgo@fe.up.pt turmas 11 e 13 todos os alunos Inês Carvalho gab I 313 mines@fe.up.pt todas as turmas Carlos Pintassilgo gab I 115 cdp@fe.up.pt turma 14 Aníbal Matos gab I 316 anibal@fe.up.pt laboratórios práticas teóricas
  • 6. OE 0607 Faculdade de Engenharia Avaliação • Exame final • 70% da nota final • consulta de formulário fornecido • inclui pergunta sobre laboratório (apenas para alunos que frequentam disciplina) • Microtestes • 20% da nota final • realizados nas aulas práticas sem aviso prévio • curta duração (aprox 15 min) • entre 7 a 9 durante o semestre • 2 piores não contam para nota • Componente laboratorial • 10% da nota final nota de frequência
  • 7. OE 0607 Faculdade de Engenharia • Classificação de frequência - AD (0 – 20 valores) • Microtestes – M (0 – 4 valores) • média dos microtestes, excluindo os 2 piores • Laboratórios – L (0 – 2 valores) • média das classificações em cada trabalho • Condições para obtenção de frequência • Não exceder limite de faltas • aulas TP (25% das previstas 3 faltas) • Labs (25% dos previstos 1 falta) • Classificação mínima 30% em cada componente • Microtestes • Labs • Alunos com dispensa de frequência • Trabalhadores estudantes • Para usar este direito não se podem inscrever nas turmas TP/Labs Obtenção de frequência 6 20 ) ( ⋅ + = L M AD
  • 8. OE 0607 Faculdade de Engenharia Classificação final – CF Exame final – E (0 – 20 valores) Nota de frequência – AD (0 – 20 valores) • Alunos a frequentar • Alunos com dispensa de frequência • Melhoria de classificação E CF = AD 0.3 E 0.7 CF ⋅ + ⋅ = E CF =
  • 9. OE 0607 Faculdade de Engenharia Programa • Linhas de transmissão • Tensão, corrente e impedância ao longo da linha; adaptação; transitórios • Ondas electromagnéticas planas • Propagação em meios infinitos e em meios com perdas; incidência em interfaces • Guias de onda e cavidades • Guias metálicos e dieléctricos • Antenas e radiação • Dipolos eléctrico e magnético; padrões de radiação; antenas finas e grupos de antenas • Métodos Numéricos • Diferenças finitas; elementos finitos
  • 10. OE 0607 Faculdade de Engenharia Plano 11 25 Total 1 2 Métodos Numéricos 1 4 Radiação 1 1 Apresentação/Revisão 2 7 Guias de Onda 3 5 Ondas Electromagnéticas 3 6 Linhas de transmissão Aulas Teórico-Práticas Aulas Teóricas
  • 11. OE 0607 Faculdade de Engenharia Bibliografia • Livro recomendado • D. K. Cheng, 'Field and Wave Electromagnetics', Addison Wesley Publishing, 1989. • Material fornecido • Acetatos das aulas teóricas • Folhas de problemas • Apontamentos sobre guias de onda e cavidades • Apontamentos sobre métodos numéricos • Formulário disponível na página da disciplina: http://www.fe.up.pt/~mines/OE/
  • 12. OE 0607 Faculdade de Engenharia Conceitos necessários • Sistemas de coordenadas • Cartesiano • Cilíndrico • Esférico • Análise vectorial • Gradiente • Rotacional • Laplaciano • Fasores • Equações de Maxwell
  • 13. OE 0607 Faculdade de Engenharia Sistema de coordenadas cartesiano dz dy dx z x y dz dy dx dV = dz dy dAx = dz dx dAy = dy dx dAz = z dz y dy x dx l d ˆ ˆ ˆ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
  • 14. OE 0607 Faculdade de Engenharia Sistema de coordenadas cilíndrico dz dr rdφ r z φ z dz rd r r l d ˆ ˆ ˆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = φ φ φ d dr r dAz = dz d r dAr φ = dz dr dA = φ dz d dr r dV φ =
  • 15. OE 0607 Faculdade de Engenharia Sistema de coordenadas esférico dr rdθ r sinθdφ r φ θ φ θ θ d d dr r dV sin 2 = φ θ θ d d r dAr sin 2 = φ θ θ d dr r dA sin = θ φ d dr r dA = θ θ φ φ θ ˆ ˆ sin ˆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = rd d r r dr l d
  • 16. OE 0607 Faculdade de Engenharia Gradiente • coordenadas cartesianas • coordenadas cilíndricas • coordenadas esféricas z z f y y f x x f f ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ z z f f r r r f f ˆ ˆ 1 ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ φ φ φ φ θ θ θ ˆ sin 1 ˆ 1 ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ f r f r r r f f
  • 17. OE 0607 Faculdade de Engenharia Rotacional • coordenadas cartesianas • coordenadas cilíndricas • coordenadas esféricas z r A rA A z r z r r r A φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ ˆ ˆ ˆ 1 φ θ θ φ θ φ θ θ θ A r rA A r r r r r A r sin ˆ sin ˆ ˆ sin 1 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ z y x A A A z y x z y x A ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ ˆ ˆ ˆ
  • 18. OE 0607 Faculdade de Engenharia Laplaciano • coordenadas cartesianas • coordenadas cilíndricas • coordenadas esféricas 2 2 2 2 2 2 1 1 z f f r r f r r r f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ φ 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 φ θ θ θ θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ r f r r f r r r f
  • 19. OE 0607 Faculdade de Engenharia Fasores • Sinais harmónicos nos tempos • de fácil geração • soluções de equações diferenciais lineares • permitem decomposição de sinais genéricos (série de Fourier,…) • Sinais sinusoidais são caracterizados por • amplitude • frequência • fase • Podemos escrever onde ( ) ( ) φ ω + = t I t i cos 0 ( ) ( ) { } { } t j t j Ie e I t i ω φ ω Re Re 0 = = + φ j e I I 0 = Fasor
  • 20. OE 0607 Faculdade de Engenharia Propriedades importantes dos fasores • Linearidade • Derivação • Integração ( ) ( ) 2 1 2 1 bV aV t bv t av + → + ( ) X j dt t dx ω → ( ) ω j X dt t x →
  • 21. OE 0607 Faculdade de Engenharia Exemplo Circuito RLC série ( ) t V ω cos 0 R C L ± resistência: bobina: condensador: ( ) ( ) RI V t Ri t v R R = → = ( ) ( ) I j V dt t di L t v L L ω = → = ( ) ( ) C j I V dt t dv C t i C C ω = → = I C j L j R V + + = ω ω 1 0 C j L j R V I ω ω 1 0 + + = ( ) + + = C j L j R e V t i t j ω ω ω 1 Re 0
  • 22. OE 0607 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell • Lei de Faraday: • Lei de Ampére: • Lei de Gauss: t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B • notação fasorial • meios LHI (ε, µ) H B E D µ ε = = 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j J H H j E ε ρ ωε ωµ
  • 23. OE 0607 Faculdade de Engenharia Circuitos de parâmetros discretos • Tempos de propagação são desprezáveis, sentindo-se de forma instantânea o efeito do sinal de entrada em todos os seus elementos • Análise é válida apenas quando as dimensões dos diferentes elementos são muito menores do que o comprimento de onda do sinal de entrada • Ex: Para v=c ( ) t V ω cos 0 R C L ± cm 5 . 12 GHz 4 . 2 km 6000 Hz 50 = → = = → = λ λ f f
  • 24. OE 0607 Faculdade de Engenharia • Quando as dimensões dos circuitos são comparáveis ao comprimento de onda dos sinais, é necessário considerar a variação destes ao longo do circuito A análise destes circuitos requer a utilização de elementos (resistências, bobinas, condensadores) distribuídos ao longo do circuito Circuitos de parâmetros distribuídos l ± λ
  • 25. Faculdade de Engenharia Linhas de transmissão OE - MIEEC 2006/2007
  • 26. OE 0607 Linhas 2 Faculdade de Engenharia • A equação é satisfeita por qualquer função escalar u(x,t) do tipo Equação de onda escalar ( ) ( ) 0 , 1 , 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t t x u c x t x u EQUAÇÃO DE ONDA ( ) ( ) ct x f t x u ± = ,
  • 27. OE 0607 Linhas 3 Faculdade de Engenharia Exemplo Seja () ⋅ f ⋅ x ( ) 1 ,t x u ( ) 0 , = t x u ( ) 2 ,t x u ( ) 1 ,t x u ( ) 2 ,t x u • se u(x,t)=f(x-ct) ( ) 0 , = t x u x • se u(x,t)=f(x+ct)
  • 28. OE 0607 Linhas 4 Faculdade de Engenharia Velocidade de propagação • Para determinar a velocidade de propagação da onda é necessário considerar a velocidade com que um dado ponto do perfil f se propaga. c dt dx v = = sendo x±ct=const., tem-se dx±cdt=0 • Na equação este termo está associado à velocidade de propagação 0 1 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t u c x u
  • 29. OE 0607 Linhas 5 Faculdade de Engenharia solução da equação de onda quando Soluções harmónicas f π ω 2 = ( ) ( ) 0 , 1 , 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t t x u v x t x u kv = ω f v v f λ λ π π = ⇔ = 2 2 ( ) ( ) kx t A t x u − = ω cos , λ π 2 = k
  • 30. OE 0607 Linhas 6 Faculdade de Engenharia Modelo eléctrico da linha Linha de transmissão l ± λ necessidade de considerar elementos distribuídos ao longo do circuito R: resistência por unidade de comprimento Ω/m L: indutância por unidade de comprimento H/m C: capacidade por unidade de comprimento F/m G: condutância por unidade de comprimento S/m
  • 31. OE 0607 Linhas 7 Faculdade de Engenharia Modelo eléctrico da linha Para distância ∆ ∆ ∆ ∆z z R∆ z L∆ z G∆ z C∆ z ∆ i(z+∆z,t) i(z,t) + + - - v(z,t) v(z+∆z,t) ( ) ( ) ( ) ( ) t t z z v z C i t z z v z G i t t z i z L v t z i z R v C G L R ∂ ∆ + ∂ ∆ = ∆ + ∆ = ∂ ∂ ∆ = ∆ = , , , ,
  • 32. OE 0607 Linhas 8 Faculdade de Engenharia Equações gerais das linhas de transmissão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , , , , = ∆ + + ∂ ∆ + ∂ ∆ + ∆ + ∆ + − ∆ + + ∂ ∂ ∆ + ∆ = t z z i t t z z v z C t z z v z G t z i t z z v t t z i z L t z i z R t z v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t z v C t z v G z t z i t t z i L t z i R z t z v ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ + = ∂ ∂ − , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z V C j G dz z dI z I L j R dz z dV ω ω + = − + = −
  • 33. OE 0607 Linhas 9 Faculdade de Engenharia Corrente e tensão ao longo da linha ( )( ) C j G L j R ω ω γ + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z V C j G dz z dI z I L j R dz z dV ω ω + = − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) z I dz z I d z V dz z V d 2 2 2 2 2 2 γ γ = = ( ) 1 m− + = β α γ j Solução geral: ( ) ( ) z z z z e I e I z I e V e V z V γ γ γ γ − − + − − + + = + = 0 0 0 0 γ constante de propagação α constante de atenuação β constante de fase
  • 34. OE 0607 Linhas 10 Faculdade de Engenharia Corrente e tensão ao longo da linha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z V C j G dz z dI z I L j R dz z dV ω ω + = − + = − ( ) ( ) z z z z e I e I z I e V e V z V γ γ γ γ − − + − − + + = + = 0 0 0 0 γ ωL j R I V I V + = − = − − + + 0 0 0 0 tensão e corrente na linha completamente determinadas por 2 constantes
  • 35. OE 0607 Linhas 11 Faculdade de Engenharia Impedância característica Impedância característica: quociente entre a tensão e a corrente para uma linha infinita γ ωL j R I V z I z V Z + = = = + + 0 0 0 ) ( ) ( ( ) Ω + + = C j G L j R Z ω ω 0 ± + + 0 0 , I V − − 0 0 , I V linha infinita não há reflexões 0 0 0 = = − − I V ( ) ( ) + + = 0 0 I V z I z V
  • 36. OE 0607 Linhas 12 Faculdade de Engenharia Impedância característica 0 0 0 0 0 Z I V I V = − = − − + + ( ) ( ) z z z z e I e I z I e V e V z V γ γ γ γ − − + − − + + = + = 0 0 0 0 ( ) ( ) z z z z e Z V e Z V z I e V e V z V γ γ γ γ 0 0 0 0 0 0 − − + − − + − = + = para uma linha de comprimento finito:
  • 37. OE 0607 Linhas 13 Faculdade de Engenharia Características importantes – resumo Constante de propagação ( )( ) ( ) 1 m− + + = + = C j G L j R j ω ω β α γ ( ) Ω + + = C j G L j R Z ω ω 0 Velocidade de propagação Impedância característica ( ) 1 ms− = β ω v Comprimento de onda ( ) m 2 β π λ = Caso geral •atenuação depende da frequência •velocidade depende da frequência Distorção de sinais
  • 38. OE 0607 Linhas 14 Faculdade de Engenharia Casos particulares – linhas sem perdas Constante de propagação LC LC j j ω β α ω β α γ = = = + = 0 C L Z = 0 Velocidade de propagação Impedância característica LC v 1 = Linha sem perdas R=G=0 •não há atenuação •velocidade constante •impedância constante e real não há distorção
  • 39. OE 0607 Linhas 15 Faculdade de Engenharia Casos particulares – linha sem distorção Constante de propagação ( ) LC L C R L C L j R j ω β α ω β α γ = = + = + = C L Z = 0 Velocidade de propagação Impedância característica LC v 1 = Linha sem distorção R/L=G/C •atenuação constante •velocidade constante •impedância constante e real não há distorção
  • 40. OE 0607 Linhas 16 Faculdade de Engenharia Parâmetros das linhas de transmissão •O comportamento de uma dada linha depende da frequência de operação e dos seus parâmetros R, L, G e C •Estes parâmetros dependem da geometria da linha e dos materiais que a constituem Seja σ condutividade do dieléctrico σC condutividade dos condutores ε permitividade eléctrica do dieléctrico µ permeabilidade magnética do dieléctrico µC permeabilidade magnética do condutor
  • 41. OE 0607 Linhas 17 Faculdade de Engenharia Parâmetros das linhas de transmissão a b a D a h W 2h
  • 42. OE 0607 Linhas 18 Faculdade de Engenharia Linhas de comprimento infinito ± g V − − 0 0 , I V + + 0 0 , I V g Z z + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z comprimento infinito não há reflexões ( ) ( ) z z e I z I e V z V γ γ − + − + = = 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Z I V z I z V z Z = = = + +
  • 43. OE 0607 Linhas 19 Faculdade de Engenharia Linhas de comprimento finito ± g V g Z 0 + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z L Z + − ( ) z V ( ) z I + − L V L I ( ) ( ) L L L o L o L I Z V Z V Z V z I I V V z V V = − = = = + = = = − + − + 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) − = + = ⇔ − = + = − + − + − + 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 Z Z I V Z Z I V V V I Z V V I Z L L L L o L o L L ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] z L z L L z L z L L e Z Z e Z Z I Z z I e Z Z e Z Z I z V γ γ γ γ 0 0 0 0 0 2 1 2 1 − − + = − + + = − − ( ) ( ) z o z o z o z o e Z V e Z V z I e V e V z V γ γ γ γ 0 0 − − + − − + − = + = z l −
  • 44. OE 0607 Linhas 20 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha z L Z ± g V g Z + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z + − ( ) z V ( ) z I + − L V L I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z L z L z L z L e Z Z e Z Z e Z Z e Z Z Z z I z V z Z γ γ γ γ 0 0 0 0 0 − − + − + + = = − − ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] z L z L L z L z L L e Z Z e Z Z I Z z I e Z Z e Z Z I z V γ γ γ γ 0 0 0 0 0 2 1 2 1 − − + = − + + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L z z z z z z L z z Z e e Z e e Z e e Z e e Z z Z γ γ γ γ γ γ γ γ − − + − − + = − − − − 0 0 0 ( ) ( ) ( ) z Z Z z Z Z Z z Z L L γ γ tanh tanh 0 0 0 − − = ' z ( ) ( ) ( ) ' tanh ' tanh ' 0 0 0 z Z Z z Z Z Z z Z L L γ γ + + = x x x x e e e e x − − + − = ) tanh(
  • 45. OE 0607 Linhas 21 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha z L Z ± g V g Z + − ( ) z V ( ) z I ( ) z Z + − ( ) z V ( ) z I + − L V L I ' z linhas sem perdas β γ j = ( ) ( ) x j jx tan tanh = ( ) ( ) ( ) ' tan ' tan ' 0 0 0 z jZ Z z jZ Z Z z Z L L β β + + = linha de comprimento l ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z Z L L in β β tan tan 0 0 0 + + = ( ) ( ) ( ) ' tanh ' tanh ' 0 0 0 z Z Z z Z Z Z z Z L L γ γ + + =
  • 46. OE 0607 Linhas 22 Faculdade de Engenharia Impedância de entrada - casos particulares linha sem perdas, de linha de comprimento l ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z Z L L in β β tan tan 0 0 0 + + = 0 Z ZL = 0 Z Zin = ∞ = L Z ( ) l jZ Zin β cotg 0 − = 2 λ n l = L in Z Z = 0 = L Z ( ) l an jZ Zin β t 0 = ( ) 4 1 2 λ − = n l L in Z Z Z 2 0 =
  • 47. OE 0607 Linhas 23 Faculdade de Engenharia Casos particulares: 0 Z ZL = 0 = ΓL ∞ = L Z 1 = ΓL 0 = L Z 1 − = ΓL Não há reflexões Linha adaptada Coeficiente de reflexão Coeficiente de reflexão (tensão) quociente entre tensão reflectida e tensão incidente ( ) ( ) + − = = = = Γ 0 0 0 V V z V z V o inc ref L na carga: 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ ( ) ( ) 0 0 0 0 2 1 2 1 Z Z I V Z Z I V L L L L − = + = − + Notas: 1. Em geral, é complexo 2. Para a corrente: L Γ Γ Γ = Γ θ j L L e | | L Z V Z V inc ref I V V I I I I Γ − = − = − = = = Γ + − + − + − 0 0 0 0 0 0 0 0
  • 48. OE 0607 Linhas 24 Faculdade de Engenharia Coeficiente de reflexão Coeficiente de reflexão (tensão) quociente entre tensão reflectida e tensão incidente ( ) ( ) + − = = = = Γ 0 0 0 V V z V z V o inc ref L na carga: Γ Γ = + − = Γ θ j L L L L e Z Z Z Z 0 0 ao longo da linha: ( ) ( ) z L z z o inc ref e e V e V z V z V z γ γ γ 2 0 ) ( Γ = = = Γ − + − z z − = ' ' 2 ) ' ( z Le z γ − Γ = Γ linhas sem perdas: β γ j = ( ) ' 2 ) ' ( z j L e z β θ − Γ Γ = Γ
  • 49. OE 0607 Linhas 25 Faculdade de Engenharia Coeficiente de reflexão na carga 0 0 R Z jX R Z L L L = + = (linha sem perdas) 0 , ≥ + = L L L L r jx r z 1 1 0 0 0 0 + − = + − = Γ Z Z Z Z Z Z Z Z L L L L L ( ) ( ) L L L L L jx r jx r + + + − = Γ 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ≤ + + + − = Γ L L L L L jx r jx r 0 min 0 Z ZL L = = Γ 0 1 = = Γ L MAX L r 1 0 ≤ Γ ≤ L seja 0 Z Z z L L = impedância de carga normalizada
  • 50. OE 0607 Linhas 26 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha ( ) z j z j e V e V z V β β − − + + = 0 0 z ( ) ( ) ( ) z j z j z j e e V e V V z V β β β − − − − + + + − = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) z V e V V z V z j β β cos 2 0 0 0 − − − + + − = ( ) 2 cos jx jx e e x − + = onda móvel onda estacionária
  • 51. OE 0607 Linhas 27 Faculdade de Engenharia Ondas móveis e estacionárias •seja ( ) z j Ae z V β − = •seja ( ) { } ( ) { } ( ) z t A Ae e Ae t z v z t j t j z j β ω β ω ω β − = = = − − cos Re Re , z onda móvel ( ) ( ) z A z V β cos = •seja ( ) ( ) { } ( ) ( ) t z A e z A t z v t j ω β β ω cos cos cos Re , = = onda estacionária z nodos ( v=0 para qualquer t )
  • 52. OE 0607 Linhas 28 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha ( ) z j z j e V e V z V β β − − + + = 0 0 z onda móvel + onda estacionária ( ) ( ) z j L z j e e V z V β β 2 0 1 Γ + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 sin ' 2 cos 1 ' 2 0 2 2 0 z V z z V z V L L L L β θ β θ β θ − Γ + Γ + = − Γ + − Γ + = Γ + Γ Γ + periódico período=λ λ λ λ/2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 0 ' 2 ' 0 1 1 ' z j L z j z j L z j e e V e e V z V β θ β β β − + − + Γ Γ + = Γ + = ' z
  • 53. OE 0607 Linhas 29 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha - exemplo ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + para ( ) m 2 m 1 5 . 0 V 1 1 4 0 π λ β π = = = Γ = − + j L e V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 λ min V MAX V
  • 54. OE 0607 Linhas 30 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos de tensão •mínimos de tensão: ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + •localização: π β θ n zM 2 2 / − = − Γ ( ) Γ + = θ π β n zM 2 2 1 / n z 0 '≥ inteiro •localização: ( )π β θ 1 2 2 / + − = − Γ n zm ( ) [ ] Γ + + = θ π β 1 2 2 1 / n zm n z 0 '≥ inteiro •valor: L L V V Γ − Γ + = + 2 1 2 0 min ( ) L V V Γ − = + 1 0 min •valor: L L MAX V V Γ + Γ + = + 2 1 2 0 ( ) L MAX V V Γ + = + 1 0 •máximos de tensão: ( ) 1 ' 2 cos + = − Γ z β θ
  • 55. OE 0607 Linhas 31 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha - exemplo ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + para ( ) m 2 m 1 5 . 0 V 1 1 4 0 π λ β π = = = Γ = − + j L e V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 min V MAX V ( ) 5 . 1 1 0 = Γ + = + L MAX V V ( ) 5 . 0 1 0 min = Γ − = + L V V 8 π 8 5π π λ = 2 8 / π π + = n zM 8 5 / π π + = n zm
  • 56. OE 0607 Linhas 32 Faculdade de Engenharia SWR SWR (Voltage Standing Wave Ratio) : quociente entre tensão máxima e mínima ( ) ( ) L L MAX V V V V SWR Γ − Γ + = = + + 1 1 0 0 min L L SWR Γ − Γ + = 1 1 1 1 + − = Γ SWR SWR L Nota: 1 ≥ SWR
  • 57. OE 0607 Linhas 33 Faculdade de Engenharia SWR – casos particulares 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ L L SWR Γ − Γ + = 1 1 1 1 + − = Γ SWR SWR L Casos particulares: 0 Z ZL = 0 = ΓL min V V MAX = não há reflexões não há onda estacionária 1 = SWR 0 = ΓL linha adaptada 1 = SWR 1 = SWR
  • 58. OE 0607 Linhas 34 Faculdade de Engenharia SWR – casos particulares 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ L L SWR Γ − Γ + = 1 1 1 1 + − = Γ SWR SWR L Casos particulares: ∞ = L Z 1 = ΓL 0 = L Z 1 − = ΓL ∞ = SWR ( ) + + = Γ + = 0 0 2 1 V V V L MAX ( ) 0 1 0 min = Γ − = + L V V ∞ = SWR + = 0 2V V MAX 0 min = V
  • 59. OE 0607 Linhas 35 Faculdade de Engenharia Corrente ao longo da linha ( ) z j z j e I e I z I β β − − + + = 0 0 z onda móvel + onda estacionária ( ) ( ) z j L z j e e Z V z I β β 2 0 0 1 Γ − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 sin ' 2 cos 1 ' 2 0 0 2 2 0 0 z Z V z z Z V z I L L L L β θ β θ β θ − Γ − Γ + = − Γ − + − Γ − = Γ + Γ Γ + periódico período=λ λ λ λ/2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 0 0 ' 2 ' 0 0 1 1 ' z j L z j z j L z j e e Z V e e Z V z I β θ β β β − + − + Γ Γ − = Γ − = ' z
  • 60. OE 0607 Linhas 36 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos de corrente •mínimos de corrente: ( ) 1 ' 2 cos = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 0 z Z V z I L L β θ − Γ − Γ + = Γ + •localização: ( )π β θ 1 2 ' 2 + − = − Γ n z ( ) [ ] Γ + + = θ π β 1 2 2 1 ' n z n z 0 '≥ inteiro •localização: π β θ n z 2 ' 2 − = − Γ ( ) Γ + = θ π β n z 2 2 1 ' n z 0 '≥ inteiro •valor: L L Z V I Γ − Γ + = + 2 1 2 0 0 min ( ) L Z V I Γ − = + 1 0 0 min •valor: L L MAX Z V I Γ + Γ + = + 2 1 2 0 0 ( ) L MAX Z V I Γ + = + 1 0 0 •máximos de corrente: ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ
  • 61. OE 0607 Linhas 37 Faculdade de Engenharia Tensão e corrente – localização de máximos e mínimos ( ) 1 ' 2 cos = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 0 z Z V z I L L β θ − Γ − Γ + = Γ + ( ) [ ] Γ + + = θ π β 1 2 2 1 / n zm n z 0 '≥ inteiro ( ) Γ + = θ π β n zM 2 2 1 / n z 0 '≥ inteiro ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + máximos de tensão e mínimos de corrente máximos de tensão e mínimos de corrente mínimos de tensão e máximos de corrente
  • 62. OE 0607 Linhas 38 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I ( ) ( ) l z I I l z V V V Z I V in in in g in g − = = − = = + = ( ) ( ) z o z o z o z o e Z V e Z V z I e V e V z V γ γ γ γ 0 0 − − + − − + − = + = z l − ( ) 0 0 2 1 Z Z I V L L + = + ( ) [ ] ( ) [ ] l L l L L in l L l L L in e e Z Z I Z I e e Z Z I V γ γ γ γ 2 0 0 2 0 1 2 1 1 2 1 − − Γ − + = Γ + + = ( ) ( ) ( ) [ ] l L l L g l L L g e Z e Z e Z Z I Z V γ γ γ 2 0 2 0 0 1 1 2 1 − − Γ + + Γ − + =
  • 63. OE 0607 Linhas 39 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) ( ) ( ) [ ] l L l L g l L L g e Z e Z e Z Z I Z V γ γ γ 2 0 2 0 0 1 1 2 1 − − Γ + + Γ − + = ( ) ( ) [ ] l L g g g l L L e Z Z Z Z V Z e Z Z I γ γ 2 0 0 0 0 2 1 − Γ − + + = + 0 0 Z Z Z Z g g g + − = Γ (coeficiente de reflexão no gerador) ( ) [ ] l L g g g l L L e V Z Z Z e Z Z I γ γ 2 0 0 0 1 2 1 − Γ Γ − + = + ( ) 0 0 2 1 Z Z I V L L + = + ( ) ( ) Γ Γ − Γ − + = Γ Γ − Γ + + = − − − − − − l L g z L z g l g l L g z L z g l g e e e Z Z e V z I e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 0 2 2 0 0 1 1 1 1 tensão e corrente definidas à custa de g L V Z l Z , , , , 0 γ
  • 64. OE 0607 Linhas 40 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) ( ) Γ Γ − Γ − + = Γ Γ − Γ + + = − − − − − − l L g z L z g l g l L g z L z g l g e e e Z Z e V z I e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 0 2 2 0 0 1 1 1 1 ( ) ( )( )1 2 2 0 0 1 1 − − − − Γ Γ − Γ + + = l L g z L z g l g e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ ( ) ( ) ( ) ( ) + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ + + = − − − − − − − − z L l L g z l L g z L l L g z l L g z L z g l g e e e e e e e e e e Z Z e V Z γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) + Γ Γ + Γ Γ + Γ + + = − − − − 2 2 2 0 0 1 l L g l L g z L z g l g e e e e Z Z e V Z γ γ γ γ γ + + + + = − 3 2 1 1 1 x x x x
  • 65. OE 0607 Linhas 41 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ Γ + Γ + + = − − − − − − − − z L l L g z l L g z L l L g z l L g z L z g l g e e e e e e e e e e Z Z e V Z z V γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) + + + + + + = − − + − − + − − + z z z z z z e V e V e V e V e V e V z V γ γ γ γ γ γ 3 3 2 2 1 1 − − + Γ = 1 2 2 V e V l g γ + − Γ = 3 3 V V L − − + Γ = 2 2 3 V e V l g γ + 2 V + − Γ = 2 2 V V L − 2 V g l g Z Z e V Z V + = − + 0 0 1 γ + 1 V + − Γ = 1 1 V V L − 1 V
  • 66. OE 0607 Linhas 42 Faculdade de Engenharia Linhas em circuitos ± g V g Z 0 L Z + − in V in I + − L V L I z l − ( ) + + + + + + = − − + − − + − − + z z z z z z e V e V e V e V e V e V z V γ γ γ γ γ γ 3 3 2 2 1 1 + 2 V − 2 V + 1 V − 1 V ( ) ( ) ( ) z z z z e V e V e V V V e V V V z V γ γ γ γ − − + − − − − + + + + = + + + + + + + = 0 0 3 2 1 3 2 1
  • 67. OE 0607 Linhas 43 Faculdade de Engenharia Potência na linha de transmissão – linha sem perdas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 0 0 ' 2 ' 0 1 ' 1 ' z j L z j z j L z j e e Z V z I e e V z V β θ β β θ β − + − + Γ Γ Γ − = Γ + = (linha sem perdas) ( ) ( ) ( ) { } ' ' Re 2 1 ' * z I z V z Pmed = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Γ − Γ + = − − − + − + Γ Γ ' 2 ' 0 * 0 ' 2 ' 0 1 1 Re 2 1 ' z j L z j z j L z j med e e Z V e e V z P β θ β β θ β ( ) ( ) ( ) { } ' 2 ' 2 2 0 2 0 1 Re 2 z j z j L L e e Z V β θ β θ − − − + Γ Γ − Γ + Γ − = ( ) { } ' 2 sin 2 1 Re 2 2 0 2 0 z j Z V L L β θ − Γ + Γ − = Γ + ( ) ( ) constante 1 2 ' 2 0 2 0 = Γ − = + L med Z V z P incidente reflectida potência fornecida pelo gerador à linha potência absorvida na carga
  • 68. OE 0607 Linhas 44 Faculdade de Engenharia Potência na linha de transmissão – caso geral ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ' 2 ' ' 0 0 ' 2 ' 2 ' ' 0 1 ' 1 ' z j z L z j z z j z L z j z e e e e Z V z I e e e e V z V β θ α β α β θ α β α − − + − − + Γ Γ Γ − = Γ + = ( ) ( ) ( ) { } ' ' Re 2 1 ' * z I z V z Pmed = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Γ − Γ + = − − − − + − − + Γ Γ ' 2 ' 2 ' ' 0 * 0 ' 2 ' 2 ' ' 0 1 1 Re 2 1 ' z j z L z j z z j z L z j z med e e e e Z V e e e e V z P β θ α β α β θ α β α ( ) { } ' 2 sin 2 1 Re 2 ' 2 ' 4 2 ' 2 0 2 0 z e j e e R V z L z L z β θ α α α − Γ + Γ − = Γ − − + ( ) ( ) ' 2 2 ' 2 0 2 0 2 ' z L z med e e R V z P α α − + Γ − = ( ) ( ) 2 0 2 0 , 1 2 0 ' L med L med R V z P P Γ − = = = + ( ) ( ) l L l med in med e e R V l z P P α α 2 2 2 0 2 0 , 2 ' − + Γ − = = = 0 0 R Z = se
  • 69. OE 0607 Linhas 45 Faculdade de Engenharia ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 im re im L im re im re L x r Γ + Γ − Γ = Γ + Γ − Γ − Γ − = Impedância de carga coeficiente de reflexão 1 1 + − = Γ L L L z z onde 0 Z Z z L L = (impedância de carga normalizada) 0 0 R Z jX R Z L L L = + = (linha sem perdas) L L L jx r z + = im re j L L j e Γ + Γ = Γ = Γ Γ θ L L L z Γ − Γ + = 1 1 ( ) ( ) im re im re L L j j jx r Γ − Γ − Γ + Γ + = + 1 1
  • 70. OE 0607 Linhas 46 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 im re im L im re im re L x r Γ + Γ − Γ = Γ + Γ − Γ − Γ − = Impedância de carga coeficiente de reflexão 2 2 2 1 1 1 + = Γ + + − Γ L im L L re r r r L r + 1 1 L L r r + 1 ( ) ( ) 2 2 0 2 0 R y y x x = − + − ( ) 0 1 = Γ + = Γ im L L re r r centrada em circunferência de raio ( ) L r + 1 1 Os coeficientes de reflexão de todos os ZL cuja parte real é rL estão nesta circunferência
  • 71. OE 0607 Linhas 47 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ Impedância de carga coeficiente de reflexão 2 2 2 1 1 1 + = Γ + + − Γ L im L L re r r r Notas: curva não depende de xL 0 = Γim 1 1 1 , , = Γ ∨ + − = Γ d re L L e re r r 1 1 1 + − L L r r 0 = L r 1 , − = Γ e re para qualquer ZL ∞ = L r 1 , = Γ e re 1 − circuito aberto
  • 72. OE 0607 Linhas 48 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 im re im L im re im re L x r Γ + Γ − Γ = Γ + Γ − Γ − Γ − = Impedância de carga coeficiente de reflexão ( ) 2 2 1 1 1 = − Γ + − Γ L L im re x x ( ) ( ) 2 2 0 2 0 R y y x x = − + − circunferência de raio L x 1 L im re x 1 1 = Γ = Γ centrado em L x 1 L x 1 1 1 ≤ ΓL Os coeficientes de reflexão de todos os ZL cuja parte imaginária é xL estão aqui
  • 73. OE 0607 Linhas 49 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ Impedância de carga coeficiente de reflexão L x 1 L x 1 1 Notas: curva não depende de rL ( ) 2 2 1 1 1 = − Γ + − Γ L L im re x x L x 1 − 0 = L x 0 = L x raio infinito curvas simétricas para xL < 0
  • 74. OE 0607 Linhas 50 Faculdade de Engenharia Diagrama de Smith re Γ im Γ 1 xL constante rL constante
  • 75. OE 0607 Linhas 51 Faculdade de Engenharia Diagrama de Smith
  • 76. OE 0607 Linhas 52 Faculdade de Engenharia Γ θ re Γ im Γ Diagrama de Smith 1 L Γ L Z •a partir de: ponto no diagrama ( intersecção de curvas referentes a rL e xL ) Γ θ e L Γ rL e xL L x L r L Γ •a partir de:
  • 77. OE 0607 Linhas 53 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha ao longo da linha: z z − = ' ' 2 ) ' ( z Le z γ − Γ = Γ linhas sem perdas: β γ j = ( ) ' 2 ) ' ( z j L e z β θ − Γ Γ = Γ re Γ im Γ 1 módulo constante fase diminui com z’ em direcção ao gerador em direcção à carga ( ) ( ) 0 0 ) ( Z z Z Z z Z z + − = Γ Nota: ( ) ( ) z L z z o inc ref e e V e V z V z V z γ γ γ 2 0 ) ( Γ = = = Γ − + − diagrama de Smith pode ser usado para determinar a partir de ( ) z Z ) (z Γ
  • 78. OE 0607 Linhas 54 Faculdade de Engenharia Impedância ao longo da linha No diagrama de Smith as distâncias medem-se em fracções de λ λ λ λ re Γ im Γ 1 em direcção ao gerador em direcção à carga ( ) ' 2 ) ' ( z j L e z β θ − Γ Γ = Γ quando π β 2 ' 2 = z 2 2 2 ' λ β π = = z a uma volta completa (360º) corresponde distância = λ λ λ λ/2 posição inicial
  • 79. OE 0607 Linhas 55 Faculdade de Engenharia Impedância de entrada 1. marcar no diagrama ponto correspondente à impedância de carga normalizada, zL ponto P1 2. desenhar circunferência centrada na origem que passa por P1 3. traçar segmento de recta que passa pela origem e por P1 4. traçar segmento de recta que passa na origem e corresponde a rotação de l em direcção ao gerador 5. intersecção da circunferência com este segmento ponto P2 6. , onde zin é directamente obtido de P2 re Γ im Γ 1 0 Z z Z in in ⋅ = P1 P2
  • 80. OE 0607 Linhas 56 Faculdade de Engenharia Admitância re Γ im Γ 1 ( ) ( ) ( ) ' tan ' tan ' 0 0 0 z jZ Z z jZ Z Z z Z L L β β + + = ( ) ( ) L L L Z Z jZ Z jZ Z Z z Z 2 0 0 0 0 2 tan 2 tan 4 ' = + + = = π π λ ( ) L Z Z Z Z 0 0 4 = λ ( ) L y z = 4 λ º 360 2 ⇔ λ º 180 4 ⇔ λ 1. marcar zL 2. rodar 180º L y L z
  • 81. OE 0607 Linhas 57 Faculdade de Engenharia Localização de máximos e mínimos ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 0 z Z V z I L L β θ − Γ − Γ + = Γ + ( ) ( ) ' 2 cos 2 1 ' 2 0 z V z V L L β θ − Γ + Γ + = Γ + ( ) 1 ' 2 cos = − Γ z β θ máximos de tensão e mínimos de corrente mínimos de tensão e máximos de corrente ( ) 1 ' 2 cos − = − Γ z β θ ( ) ( ) ' 2 ' z j L e z β θ − Γ Γ = Γ máximos de tensão quando ( ) π n z 2 ' = Γ ∠ mínimos de tensão quando ( ) ( )π 1 2 ' + = Γ ∠ n z
  • 82. OE 0607 Linhas 58 Faculdade de Engenharia Localização de máximos e mínimos re Γ im Γ 1 máximos de tensão quando ( ) π n z 2 ' = Γ ∠ mínimos de tensão quando ( ) ( )π 1 2 ' + = Γ ∠ n z máximos de tensão mínimos de tensão Notas: 1. máximos e mínimos ocorrem quando a impedância da linha é real 2. como seria de esperar, pontos de máximos (mínimos) estão separados por nλ λ λ λ/2
  • 83. OE 0607 Linhas 59 Faculdade de Engenharia Adaptação de linhas de transmissão 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ adaptação de linhas: 1. entrega de potência máxima à carga 2. evitar distorção dos sinais a transmitir ( ) 2 0 2 0 1 2 L med Z V P Γ − = + onde 0 = ΓL potência entregue à carga é máxima é vantajoso que a linha esteja adaptada linha sem perdas: 0 Z ZL =
  • 84. OE 0607 Linhas 60 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 ( ) ( ) ( ) ' tan ' tan ' 0 0 0 z jZ Z z jZ Z Z z Z L L β β + + = ( ) ( ) L L L Z Z jZ Z jZ Z Z z Z 2 0 0 0 0 2 tan 2 tan 4 ' = + + = = π π λ 4 λ L Z linha de quarto de comprimento pode ser usada para adaptar impedâncias
  • 85. OE 0607 Linhas 61 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 ( ) L Z Z Z 2 0 / = L Z 0 Z 4 λ / 0 Z L Z 0 Z linha desadaptada 0 0 / Z Z Z L = 0 Z = linha adaptada 0 Z ZL ≠ Nota: ZL tem de ser real
  • 86. OE 0607 Linhas 62 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – ZL complexa ( ) 1 2 0 / R Z Z = 4 λ / 0 Z L Z 0 Z 0 1 0 / Z R Z = 1 d 1 1 R Z = 0 Z = linha adaptada 0 Z
  • 87. OE 0607 Linhas 63 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – SWR 0 Z Z = 4 λ 0 1 0 / Z R Z = L Z 0 Z 1 d 1 1 R Z = 0 Z L L SWR Γ − Γ + = 1 1 0 0 Z Z Z Z L L L + − = Γ 0 ≠ ΓL 0 0 1 0 1 ≠ + − = Γ Z R Z R L troços desadaptados 0 0 0 0 0 = + − = Γ Z Z Z Z L 1 ≠ SWR 1 ≠ SWR 1 = SWR troço adaptado
  • 88. OE 0607 Linhas 64 Faculdade de Engenharia Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – diagrama de Smith L Z 0 Z Z = 4 λ 0 1 0 / Z R Z = 0 Z 1 d 1 1 R Z = 0 Z re Γ im Γ 1 0 Z Z z L L = L z 1 d 1 r 0 1 1 Z r R = 0 1 0 / Z R Z =
  • 89. OE 0607 Linhas 65 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ 1 re Γ im Γ 1 Adaptação com linhas λ λ λ λ/4 – frequência diferente L Z 0 2 Z Z = 4 2 p d λ = 0 Z 1 d 1 1 R Z = 0 Z L z 1 d 1 r projecto: p f f = linha desadaptada p p f v = λ d d f v = λ 0 1 0 / Z R Z = 4 / 2 d d λ ≠ 1 z L z 1 d 1 1 r z ≠ 0 1 0 / Z R Z ≠ 0 2 Z Z ≠ p d f f f ≠ = frequência diferente:
  • 90. OE 0607 Linhas 66 Faculdade de Engenharia linha adaptada a a jB jX 1 = Adaptação com elementos reactivos L Z 0 Z Nota: elementos em paralelo trabalhar com admitâncias a jB Y Y + = 1 2 1 d se 1 0 1 1 jB Z Y + = 0 2 Z Z = 0 2 1 Z Y = 1 B Ba − = Dimensionar adaptador determinar e a X 1 d para que { } 0 1 1 Re Z Y = para que { } 0 Im 2 = Y ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 tan tan 1 d jZ Z d jZ Z Z Y L L β β + + = 0 > a X ω = a X L indutância 0 < a X a X C ω = 1 capacidade
  • 91. OE 0607 Linhas 67 Faculdade de Engenharia a a jB jX 1 = Adaptação com elementos reactivos – diagrama de Smith L Z 0 Z a jB Y Y + = 1 2 1 d 1 0 1 1 jB Z Y + = admitâncias normalizadas: 0 Z Z z = 0 0 1 YZ Z Z z y = = = 1 1 1 jb y + = a a jb y = a jb y y + = 1 2 condição de adaptação: 0 2 Z Z = 1 2 = y 1 2 = y 1 1 1 jb y + = a jb y y + = 1 2 1 b ba − = 1 d tal que ( ) 1 Re 1 = y
  • 92. OE 0607 Linhas 68 Faculdade de Engenharia Adaptação com elementos reactivos – diagrama de Smith re Γ im Γ 1 L y 1 b ba − = 1 d tal que ( ) 1 Re 1 = y L Z 0 Z 1 1 1 jb y + = a a jb y = a jb y y + = 1 2 1 d 1 = r / 1 P // 1 P / 1 d // 1 d curva r =1 é intersectada em dois pontos duas soluções possíveis / 1 P // 1 P e 1 1 1 jb y + = 1 jb ba − = a a b Z X 0 − =
  • 93. OE 0607 Linhas 69 Faculdade de Engenharia Linhas como elementos reactivos l ( ) ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z l Z L L β + β + = tan tan 0 0 0 0 = L Z ( ) l jZ β = tan 0 linha em curto circuito ( ) ( ) ( ) l jZ Z l jZ Z Z l Z L L β + β + = tan tan 0 0 0 ( ) l j Z β = tan 0 0 Z impedâncias de entrada puramente imaginárias linhas em curto circuito ou circuito aberto podem ser usadas como elementos reactivos em adaptação l ∞ = L Z linha em circuito aberto 0 Z STUBs
  • 94. OE 0607 Linhas 70 Faculdade de Engenharia Linhas como elementos reactivos – admitância de entrada l 0 = L Z ∞ = L y linha em curto circuito 0 Z l ∞ = L Z linha em circuito aberto 0 Z i y re Γ im Γ 1 i i jb y = ∞ = L y l 0 = L y re Γ im Γ 1 0 = L y i i jb y = l i y
  • 95. OE 0607 Linhas 71 Faculdade de Engenharia projecto de adaptação: Adaptação com stub simples L Z 0 Z d l 2 y s s jb y = ( ) ( ) 1 2 Re Re y y = imaginário s y linha adaptada 1 2 = y ( ) 1 Re 1 = y s y y y + = 1 2 stub em paralelo 1 y ( ) ( ) 1 Im Im y ys − = 1. determinar d tal que ( ) 1 Re 1 = y 2. determinar l tal que ( ) ( ) 1 Im Im y ys − = 1 1 1 jb y + = 1 b bs − = ou circuito aberto
  • 96. OE 0607 Linhas 72 Faculdade de Engenharia re Γ im Γ 1 Adaptação com stub simples – diagrama de Smith Notas L Z 0 Z d l 1 2 = y 1 jb ys − = 1 1 1 jb y + = / d / 1 jb ∞ = y 1 = r L y 1. determinar d tal que 1 1 1 jb y + = 2. determinar l tal que 1 jb ys − = curva r = 1 intersectada em dois pontos duas soluções (apenas uma apresentada na figura) / l / 1 jb − para stub em circuito aberto l mede-se a partir de y = 0 projecto de adaptação / 1 y
  • 97. OE 0607 Linhas 73 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub simples – diagrama de Smith re Γ im Γ 1 / d / 1 jb L y / cc l / 1 jb − / 1 y / ca l re Γ im Γ 1 // d // 1 jb − // 1 y L y // cc l // 1 jb // ca l solução 1 solução 2
  • 98. OE 0607 Linhas 74 Faculdade de Engenharia 1 / d / 1 jb L y / l / 1 jb − Adaptação com stub simples – resumo L Z 0 Z d l 1 2 = y 1 jb ys − = 1 1 1 jb y + = 1. marcar yL 1 1 1 jb y + = 3. determinar l tal que 1 jb ys − = projecto de adaptação 2. determinar d tal que dificuldade: nem sempre é possível colocar o stub na posição desejada
  • 99. OE 0607 Linhas 75 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y ou circuito aberto sB sB jb y = A l 1 y ou circuito aberto quando a posição para colocar o stub está pré-definida, é ainda possível adaptar a linha de transmissão usando o método do stub duplo projecto do duplo stub dimensionar lA e lB se d é fixo
  • 100. OE 0607 Linhas 76 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y ou circuito aberto ou circuito aberto sB sB jb y = A l 1 y sA L y y y + = 1 stubs em paralelo sB y y y + = 2 3 s y ( ) ( ) L y y Re Re 1 = imaginário ( ) ( ) 2 3 Re Re y y = linha adaptada 1 3 = y d “deslocando” 2 y 1 y dimensionar stub A a partir de y1 2 2 1 jb y + = 2 b bsB − = dimensionar stub B a partir de y2 { } { } L sA sA L y b b b y b Im Im 1 1 − = ⇔ + = { } 1 1 Re jb y y L + =
  • 101. OE 0607 Linhas 77 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – projecto usando carta de Smith Como calcular y1 e y2 ? sA L y y y + = 1 ( ) ( ) L y y Re Re 1 = d “deslocando” 2 y 1 y 2 b bsB − = 2 2 1 jb y + = y1 na circunferência r = 1, rodada de “d” em direcção à carga y1 na circunferência r =Re{ yL } y2 na circunferência r = 1 L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y intersecção destas duas circunferências y1
  • 102. OE 0607 Linhas 78 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – carta de Smith r = 1, rodada de “d” em direcção à carga intersecção de r =Re{ yL } e L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y d L y r = 1, rodada de “d” em direcção à carga r =Re{ yL } / 1 y // 1 y determinação de y1 Importante: pode não existir y1
  • 103. OE 0607 Linhas 79 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – carta de Smith rodar y1 de “d” em direcção ao gerador L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y / 1 y // 1 y determinação de y2 // 2 y / 2 y d
  • 104. OE 0607 Linhas 80 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – carta de Smith dimensionamento dos stubs L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y a partir de y1 e y2 2 2 1 jb y + = 2 b bsB − = { } L sA y b b Im 1 − = { } 1 1 Re jb y y L + = determinação de lA e lB
  • 105. OE 0607 Linhas 81 Faculdade de Engenharia Adaptação com stub duplo – projecto 2. determinar y2 L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y projecto 3. determinar comprimento dos stubs / 1 y // 1 y // 2 y / 2 y d 1. determinar y1
  • 106. OE 0607 Linhas 82 Faculdade de Engenharia / 1 y // 1 y // 2 y / 2 y d Adaptação com stub duplo – resumo 2. desenhar circunferência r=1 rodada d em direcção à carga L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y projecto 1. marcar yL 3. determinar y1 pela intersecção desta circunferência com { } L y r Re = 4. determinar y2 rodando y1 uma distância d em direcção ao gerador 5. determinar lB a partir de 2 b bsB − = 6. determinar lA a partir de { } L sA y b b Im 1 − = Notas: •podem existir duas soluções possíveis para y1, y2, ySA e ySB •para cada stub pode ser necessário considerar soluções para terminação em curto-circuito e em circuito-aberto
  • 107. OE 0607 Linhas 83 Faculdade de Engenharia L y d Adaptação com stub duplo – valor da carga vs distância d r = 1 rodada de “d” em direcção à carga intersecção de r =Re{ yL } e determinação de y1 esta intersecção pode não ser possível para determinadas cargas e distâncias d { } L y r Re = rodada , 1 = r será possível adaptar a linha nesta situação usando um stub duplo? não colocar o stub junto da carga
  • 108. OE 0607 Linhas 84 Faculdade de Engenharia L Z 0 Z d B l 3 y sA sA jb y = 2 y sB sB jb y = A l 1 y L d 4 y L y d rodada , 1 = r Adaptação com stub duplo – valor da carga vs distância d colocando o stub a uma distância dL da carga L d { } 4 Re y r = 4 y / 1 y // 1 y
  • 109. OE 0607 Linhas 85 Faculdade de Engenharia Adaptação de linhas de transmissão – notas finais •a adaptação só é efectiva à frequência de projecto •só a linha principal está adaptada •nem sempre um dado método funciona: linhas λ λ λ λ/4 nem sempre se encontram linhas com desejado stub simples pode não ser possível colocar stub na posição desejada stub duplo pode não existir solução para y1 e não ser possível colocar stub a distância dL da carga / 0 Z
  • 110. OE 0607 Linhas 86 Faculdade de Engenharia Transitórios em linhas sem perdas terminadas resistivamente linha sem perdas LC v 1 = C L R Z = = 0 0 ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R − 1 V reflectida na carga + 1 V incidente + 2 V incidente (reflectida no gerador) num dado ponto da linha, a tensão (corrente) num dado instante é obtida pela soma de todos os degraus de tensão (corrente) que aí chegaram é necessário saber a amplitude e a posição dos diferentes degraus em função do tempo
  • 111. OE 0607 Linhas 87 Faculdade de Engenharia Amplitude dos degraus de tensão ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R − 1 V reflectida na carga + 1 V incidente + 2 V incidente (reflectida no gerador) coeficiente de reflexão na carga 0 0 R R R R L L L + − = Γ g g V R R R V 0 0 1 + = + 2º degrau + − Γ = 1 1 V V L 3º degrau − + Γ = 1 2 V V g + Γ Γ = 1 V L g 4º degrau + − Γ = 2 2 V V L ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g 5º degrau − + Γ = 2 3 V V g ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g coeficiente de reflexão no gerador 0 0 R R R R g g g + − = Γ 1º degrau amplitudes:
  • 112. OE 0607 Linhas 88 Faculdade de Engenharia Posição dos degraus de tensão ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R − 1 V reflectida na carga + 1 V incidente + 2 V incidente (reflectida no gerador) tempo de propagação ao longo da linha v l T = velocidade de propagação v carga, em T t = 1º degrau tempos de chegada: 2º degrau gerador, em T t 2 = 3º degrau carga, em T t 3 = 4º degrau gerador, em T t 4 = 5º degrau carga, em T t 5 =
  • 113. OE 0607 Linhas 89 Faculdade de Engenharia Diagrama de reflexões de tensão ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R diagrama de reflexões de tensão permite representar graficamente degraus de tensão z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 g g V R R R V 0 0 1 + = + v l T = + 1 V + − Γ = 1 1 V V L − 1 V + Γ Γ = 1 V L g − + Γ = 1 2 V V g + 2 V + − Γ = 2 2 V V L ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g − 2 V − + Γ = 2 3 V V g ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g + 3 V − 3 V
  • 114. OE 0607 Linhas 90 Faculdade de Engenharia Tensão ao longo da linha num dado instante ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V 0 t t = 0 z z = − + + 1 1 V V + − + + + 2 1 1 V V V 0 z z 0 l − ( ) z V
  • 115. OE 0607 Linhas 91 Faculdade de Engenharia Tensão num dado ponto em função do tempo ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V 1 t 0 z z = 4 t 2 t 5 t 3 t − + + 1 1 V V + − + + + 2 1 1 V V V 1 t t 0 ( ) 0 z V + 1 V 2 t 3 t 5 t 4 t − + − + + + + 2 2 1 1 V V V V + − + − + + + + + 3 2 2 1 1 V V V V V
  • 116. OE 0607 Linhas 92 Faculdade de Engenharia Tensão na carga em função do tempo ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V − + + 1 1 V V T t 0 L V T 3 T 5 − + − + + + + 2 2 1 1 V V V V − + − + − + + + + + + 3 3 2 2 1 1 V V V V V V
  • 117. OE 0607 Linhas 93 Faculdade de Engenharia Valor final da tensão na linha ( ) + + + + + + = ∞ → − + − + − + 3 3 2 2 1 1 V V V V V V t V z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R g g V R R R V 0 0 1 + = + + − Γ = 1 1 V V L − + Γ = 1 2 V V g + Γ Γ = 1 V L g + − Γ = 2 2 V V L ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g − + Γ = 2 3 V V g ( ) + 2 Γ Γ = 1 V L g ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ + = ∞ → + 3 2 1 1 1 L g L g L g L V t V
  • 118. OE 0607 Linhas 94 Faculdade de Engenharia Valor final da tensão na linha z 0 l − t T 2 T T 3 T 5 T 4 + 1 V − 1 V + 2 V − 2 V + 3 V − 3 V ± g V g R 0 L R + − L V L I z l − 0 = t 0 R ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ + = ∞ → + 3 2 1 1 1 L g L g L g L V t V 1 < Γ Γ L g se ( ) L g L V t V Γ Γ − Γ + = ∞ → + 1 1 1 ( ) g g L L V R R R t V + = ∞ → 0 0 0 0 0 0 1 R R R R R R R R V R R R V L L L g g g g g + − = Γ + − = Γ + = + valor final não depende de R0
  • 119. Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas http://www.bbemg.ulg.ac.be/Images/UKondeelm.gif OE – MIEEC 2006/2007
  • 120. OE 0607 Ondas 2 Faculdade de Engenharia Programa de OE Linhas de transmissão 6 aulas Ondas electromagnéticas planas 5 aulas Guias de onda e cavidades 7 aulas Antenas e radiação 4 aulas Métodos Numéricos 2 aulas
  • 121. OE 0607 Ondas 3 Faculdade de Engenharia Ondas – aula 1 • Equações de Maxwell • formas integral e diferencial • meios isotrópicos, homogéneos e lineares • campos harmónicos • Equação de onda e equação de Helmholtz • Ondas planas e uniformes em meios infinitos sem perdas • relação de dispersão • velocidade de fase • impedância característica do meio • propagação numa direcção arbitrária
  • 122. OE 0607 Ondas 4 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell –formas integral e diferencial forma diferencial lei de Gauss lei de Ampére lei de Faraday forma integral t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B s d t B l d E S C ⋅ ∂ ∂ − = ⋅ s d t D J l d H S C ⋅ ∂ ∂ + = ⋅ = ⋅ V S dv s d D ρ 0 = ⋅ S s d B
  • 123. OE 0607 Ondas 5 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell –formas integral e diferencial forma diferencial forma integral t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B s d t B l d E S C ⋅ ∂ ∂ − = ⋅ s d t D J l d H S C ⋅ ∂ ∂ + = ⋅ = ⋅ V S dv s d D ρ 0 = ⋅ S s d B campo eléctrico (V/m) ( ) t r E E , = densidade de fluxo magnético (T) ( ) t r B B , = campo magnético (A/m) ( ) t r H H , = deslocamento eléctrico (C/m2) ( ) t r D D , = densidade de carga eléctrica (C/m3) ( ) t r, ρ ρ = densidade de corrente eléctrica (A/m2) ( ) t r J J , =
  • 124. OE 0607 Ondas 6 Faculdade de Engenharia Meios isotrópicos, homogéneos e lineares meios: isotrópicos propriedades não dependem da direcção homogéneos propriedades não dependem da posição lineares satisfazem o princípio da sobreposição H B E D µ ε = = e µ ε e µ ε e constantes escalares t B E ∂ ∂ − = × ∇ ρ = ⋅ ∇ D t D J H ∂ ∂ + = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H Nota: em meios condutores E J σ = permitividade eléctrica (F/m) permeabilidade magnética (H/m) ε µ
  • 125. OE 0607 Ondas 7 Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell – campos hamónicos usando notação fasorial 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j J H H j E ε ρ ωε ωµ ( ) ( ) r X j t t r X ω → ∂ ∂ , t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H FASORES funções do espaço e do tempo funções do espaço
  • 126. OE 0607 Ondas 8 Faculdade de Engenharia Equação de onda – meios sem cargas e sem perdas meios em cargas 0 = ρ t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H meios em perdas 0 = σ 0 = J t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ 0 = ⋅ ∇ E t E H ∂ ∂ = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H ( ) ∂ ∂ × ∇ − = × ∇ × ∇ t H E µ ( ) H t × ∇ ∂ ∂ − = µ ( ) 2 2 t E E ∂ ∂ − = × ∇ × ∇ µ ε ( ) ( ) X X X 2 ∇ − ⋅ ∇ ∇ = × ∇ × ∇ 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε 0 = ⋅ ∇ E
  • 127. OE 0607 Ondas 9 Faculdade de Engenharia Equação de onda – meios sem cargas e sem perdas t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ t E H ∂ ∂ = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H ( ) ∂ ∂ × ∇ = × ∇ × ∇ t E H ε ( ) E t × ∇ ∂ ∂ = ε ( ) 2 2 t H H ∂ ∂ − = × ∇ × ∇ µ ε ( ) ( ) X X X 2 ∇ − ⋅ ∇ ∇ = × ∇ × ∇ 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 0 = ⋅ ∇ E 0 = ⋅ ∇ H 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε equações de onda
  • 128. OE 0607 Ondas 10 Faculdade de Engenharia Equação de onda – meios sem cargas e sem perdas 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε em coordenadas cartesianas 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2 2 2 2 2 2 2 z X y X x X X ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2 2 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ µ ε 2 2 2 2 2 2 2 2 t H z H y H x H ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ µ ε 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε
  • 129. OE 0607 Ondas 11 Faculdade de Engenharia Equação de Helmholtz 2 2 2 t H H ∂ ∂ = ∇ µ ε 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ µ ε 0 2 2 = + ∇ E E µ ε ω em notação fasorial ( ) ( ) ( ) ( ) r X r X j t t r X 2 2 2 2 , ω ω − = → ∂ ∂ 0 2 2 = + ∇ H H µ ε ω 0 2 2 = + ∇ E k E 0 2 2 = + ∇ H k H µ ε ω = k número de onda equações de Helmholtz
  • 130. OE 0607 Ondas 12 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas 0 2 2 2 = + x x E k dz E d seja ( ) ( ) ( )z z E y z E x z E z y x ˆ ˆ ˆ + + = 0 = ⋅ ∇ E 0 2 2 2 = + E k dz E d solução geral jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 k j r k r ± = ⇔ = + 0 2 2 z µ ε ω = k ( ) z E E = 0 2 2 = + ∇ E k E ( ) ( ) ( ) 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z z E y z E x z E z y x ( ) const. = z Ez ( ) 0 = z Ez z E ˆ ⊥ por exemplo, seja ( )x z E E x ˆ = ( )x z E E x ˆ = onda que se propaga segundo z
  • 131. OE 0607 Ondas 13 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas ondas planas uniformes amplitude é constante nos planos de fase constante ondas planas fase é constante em planos perpendiculares à direcção de propagação jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 z fase e amplitude constantes nos planos z=const. onda plana uniforme que se propaga segundo z
  • 132. OE 0607 Ondas 14 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas – velocidade de fase µ ε ω = k jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 ( ) { } t j Ve t v ω Re = ( ) ( ) ( ) kz t E kz t E t z Ex + + − = − + ω ω cos cos , 0 0 k vf ω = µ ε 1 = f v rad/m m/s no vazio H/m 10 4 F/m 10 36 1 7 0 9 0 − − × = = × ≅ = π µ µ π ε ε m/s 10 3 1 8 0 0 × ≅ = = µ ε c vf velocidade depende do meio
  • 133. OE 0607 Ondas 15 Faculdade de Engenharia Campo magnético ( )x z E E ˆ = jkz jkz x e E e E E − − + + = 0 0 ? = H 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j J H H j E ε ρ ωε ωµ E j H × ∇ = ωµ 0 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 jkz jkz e E e E z y x z y x j H − − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ωµ ( ) y e E e E z j jkz jkz ˆ 0 0 + ∂ ∂ + = − − + ωµ y e E k e E k jkz jkz ˆ 0 0 − = − − + ωµ ωµ µ ε ω = k y e E e E H jkz jkz ˆ 1 1 0 0 − = − − + η η ε µ η = z
  • 134. OE 0607 Ondas 16 Faculdade de Engenharia Impedância intrínseca ( )x e E e E E jkz jkz ˆ 0 0 − − + + = y e E e E H jkz jkz ˆ 1 1 0 0 − = − − + η η Ω = ε µ η é a impedância intrínseca do meio no vazio H/m 10 4 F/m 10 36 1 7 0 9 0 − − × = = × ≅ = π µ µ π ε ε Ω ≅ Ω ≅ = = 377 120 0 0 0 π ε µ η η
  • 135. OE 0607 Ondas 17 Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas transversais ( )x e E e E E jkz jkz ˆ 0 0 − − + + = y e E e E H jkz jkz ˆ 1 1 0 0 − = − − + η η direccção de propagação: z H E e são perpendiculares entre si e ambos são perpendiculares à direcção de propagação ondas electromagnéticas transversais ondas TEM
  • 136. OE 0607 Ondas 18 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – propagação numa direcção arbitrária ( ) e z k y k x k j p e E E z y x ˆ 0 + + − = versor que indica direcção do vector campo eléctrico seja ε µ ω = k 0 2 2 = + ∇ E k E ( ) 0 2 2 2 2 = + + + − E k E k k k z y x ε µ ω2 2 2 2 = + + z y x k k k z k y k x k k z y x ˆ ˆ ˆ + + = n a kˆ = componentes de um vector com valor absoluto z y x k k k e , ε µ ω = k e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = onde z z y y x x r ˆ ˆ ˆ + + = é o vector de posição vector segundo direcção de propagação
  • 137. OE 0607 Ondas 19 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – planos de fase constante planos de fase constante: n a k k ˆ = e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = const. = ⋅r k const. ˆ = ⋅ r an equação de planos perpendiculares a n â y x z P n â r projecção de na direcção de r n â plano de fase constante e amplitude uniforme
  • 138. OE 0607 Ondas 20 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – direcção do campo eléctrico e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = 0 = ⋅ ∇ E ( ) 0 ˆ 0 = ⋅ ∇ ⋅ − e r k j p e E ( ) 0 ˆ 0 = ⋅ ∇ ⋅ − e r k j p e E e n r k j p a e jkE ˆ ˆ 0 ⋅ − ⋅ − 0 = 0 ˆ ˆ = ⋅ e n p a E é perpendicular à direcção de propagação! ( ) f X X f X f ∇ ⋅ + ⋅ ∇ = ⋅ ∇ ( ) ( ) z k y k x k j r k j z y x e z z y y x x e + + − ⋅ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ˆ ˆ ˆ ( ) r k j z y x e z k y k x k j ⋅ − + + − = ˆ ˆ ˆ r k j e k j ⋅ − − =
  • 139. OE 0607 Ondas 21 Faculdade de Engenharia Ondas TEM – campo magnético e r k j p e E E ˆ 0 ⋅ − = H é perpendicular à direcção de propagação e a E j H × ∇ = ωµ ( ) E a H n × = ˆ 1 η E ( ) X f X f X f × ∇ + ⋅ ∇ = × ∇ ( ) e r k j p e jE H ˆ 0 ⋅ − × ∇ = ωµ ( ) e r k j p e jE H ˆ 0 × ∇ = ⋅ − ωµ ( ) r k j r k j e k j e ⋅ − ⋅ − − = ∇ n r k j a jke ˆ ⋅ − − =
  • 140. OE 0607 Ondas 22 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas para ondas TEM que se propagam segundo +z E direcção de polarização fixa x e E E z jk ˆ 0 − = se onda polarizada LINEARMENTE segundo x̂ ( ) ( )x z k t E t z E ˆ cos , 0 − = ω direcção de indica a POLARIZAÇÃO da onda z E ˆ ⊥ CASO GERAL y E x E E y x ˆ ˆ + = onde y e E x e E E z jk y z jk x ˆ ˆ 0 0 − − + = 2 1 2 0 1 0 φ φ j y j x e A E e A E = = são complexos 0 0 , y x E E ( ) ( ) y e A x e A E z k j z k j ˆ ˆ 2 1 2 1 − − + = φ φ
  • 141. OE 0607 Ondas 23 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização linear ( ) ( ) y e A x e A E z k j z k j ˆ ˆ 2 1 2 1 − − + = φ φ ( ) { } t j Ve t v ω Re = ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 1. 0 2 = A ( ) ( )x z k t A t z E ˆ cos , 1 1 φ ω + − = polarização linear segundo x̂ 2. 0 1 = A polarização linear segundo ŷ ( ) ( )y z k t A t z E ˆ cos , 2 2 φ ω + − = 3. A A A = = = = 2 1 2 1 φ φ φ polarização linear segundo p̂ ( ) ( )( ) y x z k t A t z E ˆ ˆ cos , + + − = φ ω ( )p z k t A ˆ cos 0 φ ω + − = 2 0 = A onde 2 ˆ ˆ ˆ y x p + = e p̂ 1 1 x º 45 y
  • 142. OE 0607 Ondas 24 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização linear ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 4. 2 1 2 1 A A ≠ = = φ φ φ polarização linear segundo p̂ ( ) ( )( ) y A x A z k t t z E ˆ ˆ cos , 2 1 + + − = φ ω ( )p z k t A ˆ cos 0 φ ω + − = 2 2 2 1 0 A A A + = onde 2 2 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ A A y A x A p + + = p̂ 1 A 2 A x y 1 2 1 tan A A − = α
  • 143. OE 0607 Ondas 25 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização circular direita ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 5. A A A = = − = = 2 1 2 1 2 0 π φ φ polarização circular ( ) ( ) y z k t A x z k t A t z E ˆ 2 cos ˆ cos , − − + − = π ω ω A x y ( ) ( )y z k t A x z k t A ˆ sin ˆ cos − + − = ω ω ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 1 1 1 ω ω + = ( ) x A E ˆ 0 , 0 = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 2 2 2 ω ω + = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 ω ω + = regra da mão direita polegar aponta no sentido de propagação dedos indicam direcção de ( ) t E , 0 polarização circular direita
  • 144. OE 0607 Ondas 26 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização circular esquerda ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 6. A A A = = + = = 2 1 2 1 2 0 π φ φ polarização circular ( ) ( ) y z k t A x z k t A t z E ˆ 2 cos ˆ cos , + − + − = π ω ω A x y ( ) ( )y z k t A x z k t A ˆ sin ˆ cos − − − = ω ω ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 1 1 1 ω ω − = ( ) x A E ˆ 0 , 0 = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 2 2 2 ω ω − = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 ω ω − = regra da mão “esquerda” polegar aponta no sentido de propagação dedos indicam direcção de ( ) t E , 0 polarização circular esquerda
  • 145. OE 0607 Ondas 27 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – polarização elíptica ( ) ( ) ( )y z k t A x z k t A t z E ˆ cos ˆ cos , 2 2 1 1 φ ω φ ω + − + + − = casos particulares 7. 2 1 2 1 2 0 A A ≠ ± = = π φ φ polarização elíptica ( ) ( ) y z k t A x z k t A t z E ˆ 2 cos ˆ cos , 2 1 ± − + − = π ω ω 1 A x y ( ) ( )y z k t A x z k t A ˆ sin ˆ cos 2 1 − − = ω ω ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 1 2 1 1 1 ω ω = ( ) x A E ˆ 0 , 0 1 = ( ) ( ) ( )y t A x t A t E ˆ sin ˆ cos , 0 2 1 ω ω = 2 A 2 2 π φ + = 2 2 π φ − =
  • 146. OE 0607 Ondas 28 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – resumo seja direcção do versor de polarização depende da relação entre amplitudes das duas ondas y E x E E y x ˆ ˆ + = se ondas em fase onda resultante tem polarização linear se diferença de fase = 90º onda resultante tem polarização elíptica (soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaço) circular amplitudes iguais elíptica amplitudes diferentes se diferença de fase arbitrária eixos da elipse não coincidem com x e y onda resultante tem polarização circular ou elíptica
  • 147. OE 0607 Ondas 29 Faculdade de Engenharia Polarização de ondas planas – aplicações emitidas em polarização linear, com orientado perpendicularmente ao solo antena de recepção deve ser paralela a ondas AM E emitidas em polarização linear, com orientado paralelamente ao solo antena de recepção deve ser paralela a ondas TV E E E emitidas em polarização circular antena de recepção deve estar num plano normal à direcção de propagação ondas FM antenas nos telhados são horizontais
  • 148. OE 0607 Ondas 30 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – permitividade complexa Equações de Maxwell para campos harmónicos em meios LHI com perdas e sem cargas: H B E D µ ε = = t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ ε ρ = ⋅ ∇ E t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε 0 = ⋅ ∇ H E J σ = 0 = ρ 0 0 = ⋅ ∇ = ⋅ ∇ + = × ∇ − = × ∇ H E E j E H H j E ωε σ ωµ ( )E j H ωε σ + = × ∇ E j c ωε = − = ωε σ ε ε j c 1 E j j − = ωε σ ωε 1 permitividade complexa
  • 149. OE 0607 Ondas 31 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – tangente de perdas − = ωε σ ε ε j c 1 tangente de perdas ωε σ δ = c tan bom condutor ωε σ >> bom isolador ωε σ << comportamento de um dado material varia com a frequência Ex: água do mar 0 72 S/m 4 ε ε σ = = z f H 50 = z f GH 1 = 7 10 2 − × = ωε σ << bom condutor 4 = ωε σ = condutor
  • 150. OE 0607 Ondas 32 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – constante de propagação − = ωε σ ε ε j c 1 0 2 2 = + ∇ E k E 0 2 2 = + ∇ H k H ε µ ω = k c c k ε µ ω = ωε σ ε µ ω j − = 1 β α γ j + = ωε σ ε µ ω j j − = 1 constante de propagação α − = ωε σ ε µ ω j j 1 Re β − = ωε σ ε µ ω j j 1 Im constante de atenuação constante de fase Nota: λ π β 2 = β ω = f v 0 2 2 = + ∇ E k E c 0 2 2 = + ∇ H k H c z z e E e E E γ γ − − + + = 0 0 (para propagação segundo z) c jk = γ
  • 151. OE 0607 Ondas 33 Faculdade de Engenharia Ondas planas em meios com perdas – impedância complexa − = ωε σ ε ε j c 1 ( ) E a H n × = ˆ 1 η Ω = ε µ η ( ) E a H n c × = ˆ 1 η Ω = c c ε µ η ωε σ ε µ ε µ η j c c − = = 1 impedância complexa H E e em meios com perdas, não estão em fase
  • 152. OE 0607 Ondas 34 Faculdade de Engenharia Bons condutores – constante de propagação β α γ j + = ωε σ ε µ ω j j − = 1 β π λ 2 = j j j − = − ≅ − ωε σ ωε σ ωε σ 1 bom condutor ωε σ >> j j 1 ωε σ ε µ ω γ ≅ ( ) j + = 1 2 σ ωµ j 1 ωε σ = j σ ωµ = ( ) j f + = 1 σ µ π σ µ π β α f = = f vf = β ω = f v σ µ ω 2 = f v σ µ π λ f 2 = ( )E j H ωε σ + = × ∇
  • 153. OE 0607 Ondas 35 Faculdade de Engenharia Bons condutores – impedância intrínseca ( ) j f c + = 1 σ µ π η ωε σ j − 1 ωε σ ε µ ε µ η j c c − = = 1 bom condutor ωε σ >> j 1 ωε σ ≅ º 45 = ∠ c η ( ) E a H n c × = ˆ 1 η H atrasado 45º em relação a E se º 45 = ∠ c η ωε σ >> bom condutor Nota:
  • 154. OE 0607 Ondas 36 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular bom condutor ωε σ >> σ µ π β α f = = z e E E γ − + = 0 factor de atenuação: z j z e e E β α − − + = 0 para propagação segundo +z: z e α − frequências elevadas α elevado onda sofre atenuação considerável propagação apenas numa pequena película profundidade de penetração efeito pelicular ) m ( 1 1 σ µ π α δ f = = z e α −
  • 155. OE 0607 Ondas 37 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular profundidade de penetração ) m ( 1 σ µ π δ f = material ) Hz ( 60 = f ) m / S ( σ ) MHz ( 1 = f ) GHz ( 1 = f prata cobre ouro alumínio água do mar 7 10 17 . 6 × 7 10 1 . 4 × 7 10 8 . 5 × 7 10 54 . 3 × 4 mm 27 . 8 mm 53 . 8 mm 14 . 10 mm 92 . 10 m 32 mm 066 . 0 mm 064 . 0 mm 079 . 0 mm 084 . 0 m 25 . 0 mm 002 . 0 mm 0021 . 0 mm 0025 . 0 mm 0027 . 0 (já não é bom condutor a esta frequência)
  • 156. OE 0607 Ondas 38 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular propagação apenas numa pequena película para altas frequências profundidade de penetração efeito pelicular ) m ( 1 1 σ µ π α δ f = = condutor cilíndrico a altas frequências, a corrente circula numa coroa cilíndrica exterior de espessura δ δ são usados tubos cilíndricos ocos em condutores para altas frequências (ex. antenas)
  • 157. OE 0607 Ondas 39 Faculdade de Engenharia Bons condutores – efeito pelicular circulação de corrente numa pequena película para altas frequências profundidade de penetração efeito pelicular ) m ( 1 1 σ µ π α δ f = = variação da resistência com a frequência resistência DC 2 a l RDC π σ = resistência AC a l RAC π δ σ 2 = δ a l δ 2 a R R DC AC = a altas frequências a << δ DC AC R R >>
  • 158. OE 0607 Ondas 40 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo – dispersão velocidade de fase velocidade de propagação da frente de onda de fase constante f v β α γ j + = ωε σ ε µ ω j j − = 1 − = ωε σ ε µ ω β j j 1 Im meios sem perdas ε µ ω β = é constante meios com perdas β não é função linear de ω depende da frequência β ω = f v em sinais que consistem numa dada banda de frequências, as componentes a diferentes frequências propagam-se a velocidades de fase diferentes distorção do sinal DISPERSÃO ε µ 1 = f v
  • 159. OE 0607 Ondas 41 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo – relação de dispersão; meios dispersivos meios dispersivos meios para os quais a velocidade de fase depende da frequência meios sem perdas são meios não dispersivos meios com perdas são meios dispersivos relação de dispersão equação que relaciona com β ω Ex: meios sem perdas ε µ ω β =
  • 160. OE 0607 Ondas 42 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo no caso geral relação de dispersão sinal de largura de banda centrada numa portadora ( ) ω β β = ( ) ω f f v v = ω ∆ 2 0 ω ω 0 ω 1 ω 2 ω ω ω ω ∆ − = 0 1 ω ω ω ∆ + = 0 2 ω ω ∆ >> 0 β β β ∆ + = 0 2 β β β ∆ − = 0 1 (propagação segundo +z) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] { } z t z t E t z E β β ω ω β β ω ω ∆ − − ∆ − + ∆ + − ∆ + = 0 0 0 0 0 cos cos , ondas planas correspondentes a ω1 e ω2: ( ) ( ) z t z t E 0 0 0 cos cos 2 β ω β ω − ∆ − ∆ =
  • 161. OE 0607 Ondas 43 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo ( ) ( ) ( ) z t z t E t z E 0 0 0 cos cos 2 , β ω β ω − ∆ − ∆ = z ( ) 0 , z E envolvente portadora portadora propaga-se à velocidade 0 0 β ω = f v envolvente propaga-se à velocidade β ω ∆ ∆ = g v 0 lim → ∆ω ( ) m/s 1 ω β d d vg = velocidade de grupo
  • 162. OE 0607 Ondas 44 Faculdade de Engenharia Velocidade de grupo – dispersão normal e anómala ω β d d vg 1 = velocidade de grupo β ω = f v velocidade de fase = f v d d d d ω ω ω β 2 f f f v d dv v ω ω − = ω ω d dv v v v f f f g − = 1 casos particulares 1. 0 = ω d dvf f g v v = 2. 0 < ω d dvf f g v v < sem dispersão ( constante) f v dispersão normal ( diminui com ) f v ω 3. 0 > ω d dvf f g v v > dispersão anómala f v ω ( aumenta com )
  • 163. OE 0607 Ondas 45 Faculdade de Engenharia Energia transportada por uma onda t H E ∂ ∂ − = × ∇ µ t E J H ∂ ∂ + = × ∇ ε E J σ = ( ) ( ) ( ) H E E H H E × ∇ ⋅ − × ∇ ⋅ = × ⋅ ∇ (igualdade vectorial) ( ) ∂ ∂ + ⋅ − ∂ ∂ − ⋅ = × ⋅ ∇ t E J E t H H H E ε µ ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ × V V S dv E dv E H t s d H E 2 2 2 2 2 σ ε µ ( ) ( ) ( ) J E E E t H H t H E ⋅ − ⋅ ∂ ∂ − ⋅ ∂ ∂ − = × ⋅ ∇ 2 1 2 1 ε µ ( ) A A t t A A ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 E E H t H E σ ε µ − + ∂ ∂ − = × ⋅ ∇ ( )dv A s d A V S ⋅ ∇ = ⋅ Nota: expressões instantâneas 2 W/m
  • 164. OE 0607 Ondas 46 Faculdade de Engenharia Teorema de Poynting ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ × V V S dv E dv E H t s d H E 2 2 2 2 2 σ ε µ potência que atravessa S diminuição da energia armazenada no campo EM por unidade de tempo potência dissipada por condução conservação de energia Nota: expressões instantâneas
  • 165. OE 0607 Ondas 47 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ × V V S dv E dv E H t s d H E 2 2 2 2 2 σ ε µ vector de Poynting ( ) 2 W/m H E S × = representa a densidade de potência instantânea transportada pela onda electromagnética ( ) − + ∂ ∂ − = ⋅ V V e m S dv p dv w w t s d S σ 2 E p σ σ = 2 2 1 H wm µ = 2 2 1 E we ε = Nota: expressões instantâneas
  • 166. OE 0607 Ondas 48 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting – campos harmónicos { } t j e r E t r E ω ) ( Re ) , ( = { } t j e r H t r H ω ) ( Re ) , ( = { } { } t j t j e r H e r E t r H t r E t r S ω ω ) ( Re ) ( Re ) , ( ) , ( ) , ( × = × = { } { } * 2 1 Re X X X + = { } { } { } { } * * 2 1 2 1 Re Re B B A A B A + × + = × { } * * * * 4 1 B A B A B A B A × + × + × + × = { } B A B A × + × = * Re 2 1 { } t j e r H r E r H r E t r S ω 2 * ) ( ) ( ) ( ) ( Re 2 1 ) , ( × + × = valor instantâneo fasores
  • 167. OE 0607 Ondas 49 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting médio { } t j e r H r E r H r E t r S ω 2 * ) ( ) ( ) ( ) ( Re 2 1 ) , ( × + × = Ondas TEM vector de Poynting médio aponta na direcção e sentido de propagação da onda = T dt t r S T r S ) , ( 1 ) ( med Densidade de potência média { } ( ) 2 * med W/m ) ( ) ( Re 2 1 ) ( r H r E r S × = n a H E ˆ ⊥ ⊥ { } n a E H E S ˆ 1 Re 2 1 Re 2 1 * 2 * med = × = η E a H n × = ˆ 1 η ( ) ∗ × × = × E a E H E n ˆ 1 * * η ( ) ( ) { } n n a E E a E E ˆ ˆ 1 * * * ⋅ − ⋅ = η n a E ˆ 1 2 * η = ( ) ( ) ( ) B A C B C A C B A ⋅ − ⋅ = × ×
  • 168. OE 0607 Ondas 50 Faculdade de Engenharia Vector de Poynting médio – casos particulares 1. Onda TEM com polarização linear z e E S z ˆ cos 2 1 2 2 0 med η α θ η − = y e E H z j ˆ 1 ) ( 0 β α η + − = x e E E z j ˆ ) ( 0 β α+ − = 2. Onda TEM com polarização circular z e E S z ˆ cos 1 2 2 0 med η α θ η − = ( ) x j y e E H z j ˆ ˆ 1 ) ( 0 − = + − β α η ( ) y j x e E E z j ˆ ˆ ) ( 0 + = + − β α { } n a E H E S ˆ 1 Re 2 1 Re 2 1 * 2 * med = × = η β α γ j + = η θ η η j e = caso geral: meio com perdas = 2 * Re 1 Re η η η η θη cos =
  • 169. OE 0607 Ondas 51 Faculdade de Engenharia Incidência de uma onda TEM numa interface plana meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε i θ t θ r θ plano de incidência plano xz ângulo de incidência i θ plano formado pela normal à interface e pela direcção de propagação da onda incidente nt â transmitida z x a i i ni ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = z x a t t nt ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = z x a r r nr ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ − = direcções de propagação: ni â incidente nr â reflectida
  • 170. OE 0607 Ondas 52 Faculdade de Engenharia Leis de Snell – lei da reflexão meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε ni â nr â nt â i θ t θ r θ frente de onda mesma fase O / O B / A A n â ondas planas frentes de onda são planos normais a r i OO OO θ θ sin sin / / = / 1 / 1 OA AO β β = pontos e têm mesma fase O A / O / A pontos e têm mesma fase fase = dist. ⋅ β r i θ θ =
  • 171. OE 0607 Ondas 53 Faculdade de Engenharia Leis de Snell – lei da refracção meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε ni â nr â nt â i θ t θ r θ O / O B / A A fase = dist. ⋅ β t i OO OO θ β θ β sin sin / 2 / 1 = 2 1 sin sin β β θ θ = i t 1 2 f f v v = n â ondas planas frentes de onda são planos normais a pontos e têm mesma fase O A B / O pontos e têm mesma fase OB AO 2 / 1 β β = f v ω β =
  • 172. OE 0607 Ondas 54 Faculdade de Engenharia Índice de refracção Índice de refracção quociente entre velocidades de propagação no vazio e no meio f v c n = 2 1 sin sin n n i t = θ θ lei de Snell da refracção Ex: meio sem perdas ε µ 1 = f v 0 0 ε µ ε µ = n r r ε µ = 1 ≥ n n elevado velocidade baixa 1 2 sin sin f f i t v v = θ θ
  • 173. OE 0607 Ondas 55 Faculdade de Engenharia Condições de fronteira meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε n â meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε equações de Maxwell 0 = ⋅ = ⋅ ⋅ ∂ ∂ + = ⋅ ⋅ ∂ ∂ − = ⋅ S V S S C S C s d B dv s d D s d t D J l d H s d t B l d E ρ ( ) 0 ˆ 2 1 = − × E E an ( ) S n J H H a = − × 2 1 ˆ seja agora o versor normal à interface que aponta do meio 2 para o meio 1 n â ( ) S n D D a ρ = − ⋅ 2 1 ˆ ( ) 0 ˆ 2 1 = − ⋅ B B an densidade superficial de corrente (A/m) densidade superficial de carga (C/m3)
  • 174. OE 0607 Ondas 56 Faculdade de Engenharia Condições de fronteira meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε n â meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε ( ) 0 ˆ 2 1 = − × E E an ( ) S n J H H a = − × 2 1 ˆ ( ) S n D D a ρ = − ⋅ 2 1 ˆ ( ) 0 ˆ 2 1 = − ⋅ B B an tan , 2 tan , 1 E E = contínuo norm B contínuo tan E 0 se contínuo tan = S J H 0 se contínuo norm = S D ρ norm , 2 norm , 1 B B = Nota: 0 e 0 ≠ ≠ S S J ρ apenas em condutores perfeitos
  • 175. OE 0607 Ondas 57 Faculdade de Engenharia Condições de fronteira – condutores perfeitos meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε n â meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε 0 0 0 0 cond cond cond cond = = = = B D H E condutores perfeitos 0 e 0 ≠ ≠ S S J ρ σ µ π α δ f 1 1 = = ∞ = σ 0 = Ex: ∞ = 2 σ ( ) 2 1 ˆ H H a J n S − × = ( ) 2 1 ˆ D D an S − ⋅ = ρ 1 ˆ H an × = t a H ˆ tan , 1 = 1 ˆ D an ⋅ = n a D ˆ norm , 1 =
  • 176. OE 0607 Ondas 58 Faculdade de Engenharia Incidência normal incidência normal 0 = i θ 2 1 sin sin n n i t = θ θ r i θ θ = 0 = = t r θ θ meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H incidente x e E E z i i ˆ 1 0 γ − = y e E H z i i ˆ 1 1 0 γ η − = reflectida x e E E z r r ˆ 1 0 γ + = y e E H z r r ˆ 1 1 0 γ η + − = transmitida x e E E z t t ˆ 2 0 γ − = y e E H z t r ˆ 2 2 0 γ η − = ( )x e E e E z r z i ˆ 1 1 0 0 γ γ + − + = y e E e E z r z i ˆ 1 1 1 0 1 0 − = + − γ γ η η r i E E E + = 1 r i H H H + = 1 meio 1 meio 2
  • 177. OE 0607 Ondas 59 Faculdade de Engenharia Incidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão condições fronteira meio 1 z x meio 2 y i E nt â t E t H i H ni â nr â r E r H contínuo tan E contínuo tan H ( ) 0 se = S J 1 E ( )x e E e E z r z i ˆ 1 1 0 0 γ γ + − + = 1 H y e E e E z r z i ˆ 1 1 1 0 1 0 − = + − γ γ η η meio 1 meio 2 x e E E z t ˆ 2 0 2 γ − = y e E H z t ˆ 2 2 0 2 γ η − = 2 0 1 0 1 0 0 0 0 η η η t r i t r i E E E E E E = − = + em z=0 2 1 2 1 H H E E = = 1 2 2 0 0 1 2 1 2 0 0 2 η η η η η η η + = + − = i t i r E E E E
  • 178. OE 0607 Ondas 60 Faculdade de Engenharia Incidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z i z i ˆ 1 1 0 0 1 γ γ + − Γ + = 1 H y e E e E z r z i ˆ 1 1 1 0 1 0 − = + − γ γ η η meio 1 meio 2 x e E E z t ˆ 2 0 2 γ − = y e E H z t ˆ 2 2 0 2 γ η − = 1 2 1 2 0 0 η η η η + − = i r E E η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 1 2 2 0 0 2 η η η + = i t E E coeficiente de transmissão coeficiente de reflexão τ = Γ + 1 Notas 1. 2. 1 ≤ Γ 3. 0 ≥ τ 4. x e E E z i ˆ 2 0 2 γ τ − = ( )x e E e E E z r z i ˆ 1 1 0 0 1 γ γ + − + =
  • 179. OE 0607 Ondas 61 Faculdade de Engenharia Incidência normal – onda estacionária meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z i z i ˆ 1 1 0 0 1 γ γ + − Γ + = η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 ( ) [ ]x e e E E z z i ˆ 1 1 0 1 γ γ τ + − Γ + Γ − = τ = Γ + 1 ( )x e e E x e E E z z i z i ˆ ˆ 1 1 1 0 0 1 γ γ γ τ − + − − Γ + = ( )x z E x e E E i z i ˆ sinh 2 ˆ 1 0 0 1 1 γ τ γ Γ + = − ( ) 2 sinh x x e e x − − = (meio 1 sem perdas) 1 1 β γ j = ( )x z E j x e E E i z i ˆ sin 2 ˆ 1 0 0 1 1 β τ β Γ + = − onda em propagação onda estacionária
  • 180. OE 0607 Ondas 62 Faculdade de Engenharia Incidência normal – máximos e mínimos meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z j i z j i ˆ 1 1 0 0 1 β β + − Γ + = η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 ( ) [ ] ( ) ( )2 1 2 1 0 1 2 sin 2 cos 1 z z E E i β θ β θ + Γ + + Γ + = Γ Γ meio 1 sem perdas ( )x z E j x e E E i z j i ˆ sin 2 ˆ 1 0 0 1 1 β τ β Γ + = − máximos: ( )x e e E z j z j i ˆ 1 1 1 2 0 β β + − Γ + = ( ) z Ei 1 2 0 2 cos 2 1 β θ + Γ + Γ + = Γ Γ Γ = Γ θ j e mínimos: ( ) 1 2 cos 1 + = + Γ z β θ ( ) 1 2 cos 1 − = + Γ z β θ ( ) π θ β n zMAX 2 2 1 1 + − = Γ ( ) [ ] π θ β 1 2 2 1 1 min + + − = Γ n z ( ) Γ + = 1 0 1 i MAX E E ( ) Γ − = 1 0 min 1 i E E
  • 181. OE 0607 Ondas 63 Faculdade de Engenharia Incidência normal – incidência num condutor ideal meio 1 z x meio 2 nr â y i E i H nt â t E t H ni â r E r H ( )x e E e E E z j i z j i ˆ 1 1 0 0 1 β β + − Γ + = η η η η + − = Γ 2 1 2 η η η τ + = 2 2 2 meio 1 sem perdas máximos: mínimos: ( )π β 1 2 2 1 1 + = n zMAX 1 min β π n z = 0 1 2 i MAX E E = 0 min 1 = E meio 2 condutor ideal ( ) 0 1 = σ ωε σ ε µ η j − = 1 0 2 = η ( ) ∞ = 2 σ 0 1 = − = Γ τ 0 2 = E ( )x e e E E z j z j i ˆ 1 1 0 1 β β + − − = ( )x z jEi ˆ sin 2 1 0 β − = não há onda móvel, apenas onda estacionária e e
  • 182. OE 0607 Ondas 64 Faculdade de Engenharia Incidência normal – múltiplas interfaces meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η meio 1 ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η meio 2 y e E H x e E E z z ˆ ˆ 2 2 2 2 3 2 3 γ γ η − + − + = = meio 3
  • 183. OE 0607 Ondas 65 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – condições fronteira meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = meios dieléctricos 0 = S J contínuo tan E contínuo tan H 0 = z 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 η η − + − + − + − + − = − + = + E E E E E E E E d z = 3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 η η γ γ γ γ γ γ γ γ d d d d d d d d e E e E e E e E e E e E e E e E − − + − − + − − + − − + − = − + = + 4 equações 4 incógnitas ( ) + − + − 3 2 2 1 , , , E E E E se conhecido + 1 E
  • 184. OE 0607 Ondas 66 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – analogia com linhas de transmissão meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = meio 1 meio 2 meio 3 y e E H x e E E z z ˆ ˆ 2 2 2 2 3 2 3 γ γ η − + − + = = ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η ( ) y e E e E H x e E e E E z z z z ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + = − − + − − + γ γ γ γ η η z z z z e Z V e Z V I e V e V V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 γ γ γ γ − − + − − + − = + = linha 1 linha 2 linha 3 z z z z e Z V e Z V I e V e V V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 γ γ γ γ − − + − − + − = + = z z e Z V I e V V 3 3 3 3 3 3 3 γ γ − + − + = = 2 Z 1 Z 3 Z 0 = z d z= z
  • 185. OE 0607 Ondas 67 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – analogia com linhas de transmissão 3 ) ( Z d z Z = ≥ linha 3 infinita ( ) ( ) ( ) ( ) z d Z Z z d Z Z Z d z Z − + − + = ≤ ≤ 2 3 2 2 2 3 2 tanh tanh ) 0 ( γ γ 1 1 eff , 12 ) 0 ( ) 0 ( Z z Z Z z Z + = − = = Γ 2 2 eff , 23 ) ( ) ( Z d z Z Z d z Z + = − = = Γ 2 3 2 3 Z Z Z Z + − = 2 Z 1 Z 3 Z 0 = z d z= z ) ( ) ( ) ( z I z V z Z = Impedância ao longo da linha linha 2 finita Coeficientes de reflexão ( ) d d d d e V e V e V e V 2 3 2 2 2 eff , 23 3 2 eff , 23 2 1 γ γ γ γ − + − + − + − Γ − = Γ = ( ) + + + − Γ − = Γ = 1 eff , 12 2 1 eff , 12 1 1 V V V V
  • 186. OE 0607 Ondas 68 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – analogia com linhas de transmissão meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = ) ( ) ( ) ( z H z E z Z y x = ( ) d d d d e E e E e E e E 2 3 2 2 2 eff , 23 3 2 eff , 23 2 1 γ γ γ γ − + − + − + − Γ − = Γ = 3 ) ( η = ≥ d z Z ( ) ( ) ( ) ( ) z d z d d z Z − + − + = ≤ ≤ 2 3 2 2 2 3 2 tanh tanh ) 0 ( γ η η γ η η η 1 1 eff , 12 ) 0 ( ) 0 ( η η + = − = = Γ z Z z Z 2 2 eff , 23 ) ( ) ( η η + = − = = Γ d z Z d z Z 2 3 2 3 η η η η + − = ( ) + + + − Γ − = Γ = 1 eff , 12 2 1 eff , 12 1 1 E E E E 4 equações 4 incógnitas ( ) + − + − 3 2 2 1 , , , E E E E se conhecido + 1 E meio 3 infinito Impedância de onda meio 2 finito Coeficientes de reflexão
  • 187. OE 0607 Ondas 69 Faculdade de Engenharia Múltiplas interfaces – aplicação meio 1 z x meio 2 y meio3 0 = z d z = Eliminação de reflexões na interface 1 3 através da inserção do meio 2 0 eff , 12 = Γ 1 ) 0 ( η = = z Z Aplicações práticas •eliminação de reflexos em lentes •atenuação de ecos de radar (aviões invisíveis) •… Nota: meio 2 pode ser visto como adaptador de 4 / λ
  • 188. OE 0607 Ondas 70 Faculdade de Engenharia Incidência oblíqua de uma onda TEM numa interface plana onda TEM n a H E ˆ ⊥ ⊥ i i H E e estão no plano n â ⊥ meio 1 ( ) 1 1 1 , , σ µ ε z x meio 2 ( ) 2 2 2 , , σ µ ε i θ t θ r θ nt â transmitida ni â incidente nr â reflectida 2. paralelo ao plano de incidência i E i E y e E E r a jk i i ni ˆ ˆ 0 1 ⋅ − = ( ) z x e E E i i r a jk i i ni ˆ sin ˆ cos ˆ 0 1 θ θ − = ⋅ − polarização perpendicular polarização paralela ( ) y e E z x e E E r a jk i i i r a jk i i ni ni ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ 2 , 0 ˆ 1 , 0 1 1 ⋅ − ⋅ − + − = θ θ polarização perpendicular polarização paralela 1. perpendicular ao plano de incidência Caso geral:
  • 189. OE 0607 Ondas 71 Faculdade de Engenharia Polarizações perpendicular e paralela – convenção polarização perpendicular meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H polarização paralela componentes de tangentes à interface mantêm o sentido t r i E E E e ,
  • 190. OE 0607 Ondas 72 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – campos eléctrico e magnético meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H incidente z x a i i ni ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = y e E E r a i i ni ˆ ˆ 0 1 ⋅ − = γ i ni i E a H × = ˆ 1 1 η ( ) x z e E i i r a i ni ˆ cos ˆ sin ˆ 1 0 1 θ θ η γ − = ⋅ − reflectida z x a r r nr ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ − = y e E E r a r r nr ˆ ˆ 0 1 ⋅ − = γ r nr r E a H × = ˆ 1 1 η ( ) x z e E i i r a r nr ˆ cos ˆ sin ˆ 1 0 1 θ θ η γ + = ⋅ − z x i i ˆ cos ˆ sin θ θ − = transmitida z x a t t nt ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = y e E E r a t t nt ˆ ˆ 0 2 ⋅ − = γ t nt t E a H × = ˆ 1 2 η ( ) x z e E t t r a t nt ˆ cos ˆ sin ˆ 2 0 2 θ θ η γ − = ⋅ − relações entre obtidas a partir das condições fronteira 0 0 0 e , t r i E E E
  • 191. OE 0607 Ondas 73 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – campos eléctrico e magnético meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H condições fronteira contínuo tan E contínuo tan H ( ) 0 se = S J em 0 = z t r i E E E = + tx rx ix H H H = + x j t x j r x j i t i i e E e E e E θ β θ β θ β sin 0 sin 0 sin 0 2 1 1 − − − = + 2 sin 0 1 sin 0 sin 0 2 1 1 cos cos cos η θ η θ θ θ β θ β θ β x j t t x j i r x j i i t i i e E e E e E − − − − = + − meios sem perdas 0 2 1 = =σ σ 2 2 1 1 β γ β γ j j = = t i θ β θ β sin sin 2 1 = 0 0 0 t r i E E E = + ( ) t t i r i E E E θ η θ η cos cos 1 2 0 0 0 1 = −
  • 192. OE 0607 Ondas 74 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H 0 0 0 t r i E E E = + ( ) t t i r i E E E θ η θ η cos cos 1 2 0 0 0 1 = − t i t i i r E E θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 0 0 + − = t i i i t E E θ η θ η θ η cos cos cos 2 1 2 2 0 0 + = t i t i θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 + − = Γ⊥ t i i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 + = ⊥ coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão
  • 193. OE 0607 Ondas 75 Faculdade de Engenharia Polarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H t i t i θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 + − = Γ⊥ t i i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 + = ⊥ coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão notas 1. ⊥ ⊥ = Γ + τ 1 (tal como para incidência normal) 2. é possível que 0 = Γ⊥ t i θ η θ η cos cos 1 2 = ⊥ = B i θ θ (ângulo de Brewster) t i n n θ θ sin sin 2 1 = ( )2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 sin µ µ ε µ ε µ θ − − = ⊥ B 3. se meio 2 for condutor perfeito, 0 2 = η 0 1 = − = Γ ⊥ ⊥ τ 2 1 µ µ ≠ só possível quando
  • 194. OE 0607 Ondas 76 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – campos eléctrico e magnético incidente z x a i i ni ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = ( ) z x e E E i i r a i i ni ˆ sin ˆ cos ˆ 0 1 θ θ γ − = ⋅ − y e E H r a i i ni ˆ ˆ 1 0 1 ⋅ − = γ η reflectida z x a r r nr ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ − = y e E H r a r r nr ˆ ˆ 1 0 1 ⋅ − − = γ η z x i i ˆ cos ˆ sin θ θ − = transmitida z x a t t nt ˆ cos ˆ sin ˆ θ θ + = ( ) z x e E E t t r a t t nt ˆ sin ˆ cos ˆ 0 2 θ θ γ − = ⋅ − y e E H r a t t nt ˆ ˆ 2 0 2 ⋅ − = γ η relações entre obtidas a partir das condições fronteira 0 0 0 e , t r i E E E meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) z x e E E i i r a r r nr ˆ sin ˆ cos ˆ 0 1 θ θ γ + = ⋅ −
  • 195. OE 0607 Ondas 77 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – campos eléctrico e magnético meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H condições fronteira contínuo tan E contínuo tan H ( ) 0 se = S J em 0 = z tx rx ix E E E = + t r i H H H = + x j t t x j i r x j i i t i i e E e E e E θ β θ β θ β θ θ θ sin 0 sin 0 sin 0 2 1 1 cos cos cos − − − = + 2 sin 0 1 sin 0 sin 0 2 1 1 η η θ β θ β θ β x j t x j r x j i t i i e E e E e E − − − = − meios sem perdas 0 2 1 = =σ σ 2 2 1 1 β γ β γ j j = = t i θ β θ β sin sin 2 1 = ( ) t t i r i E E E θ θ cos cos 0 0 0 = + ( ) 2 0 0 0 1 1 η η t r i E E E = − meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H
  • 196. OE 0607 Ondas 78 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão i t i t i r E E θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 0 0 + − = i t i i t E E θ η θ η θ η cos cos cos 2 1 2 2 0 0 + = coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) t t i r i E E E θ θ cos cos 0 0 0 = + ( ) 2 0 0 0 1 1 η η t r i E E E = − i t i t θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 || + − = Γ i t i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 || + =
  • 197. OE 0607 Ondas 79 Faculdade de Engenharia Polarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão notas 1. = Γ + i t θ θ τ cos cos 1 || || 2. é possível que 0 || = Γ i t θ η θ η cos cos 1 2 = || B i θ θ = (ângulo de Brewster) t i n n θ θ sin sin 2 1 = ( )2 2 1 2 1 1 2 || 2 1 1 sin ε ε ε µ ε µ θ − − = B 3. se meio 2 for condutor perfeito, 0 2 = η 0 1 || || = − = Γ τ 2 1 µ µ = quando coeficiente de reflexão coeficiente de transmissão i t i t θ η θ η θ η θ η cos cos cos cos 1 2 1 2 || + − = Γ i t i θ η θ η θ η τ cos cos cos 2 1 2 2 || + = ( ) 2 1 || 1 1 sin ε ε θ + = B meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H
  • 198. OE 0607 Ondas 80 Faculdade de Engenharia Campo eléctrico no meio 1 – polarização perpendicular r i E E E + = 1 ⊥ ⊥ = Γ + τ 1 ( ) [ ] y e e e E E x j z j z j i i i i ˆ sin cos cos 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β τ − ⊥ − ⊥ ⊥ Γ + Γ − = 1 1 β γ j = onda em propagação segundo onda em propagação segundo x, com amplitude dependente de z meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H meio 1 sem perdas y e E y e E r a j r r a j i nr ni ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 1 1 ⋅ − ⋅ − + = β β z x r a z x r a i i nr i i ni θ θ θ θ cos sin ˆ cos sin ˆ − = ⋅ + = ⋅ ( ) y e e e E y e E x j z j z j i r a j i i i i ni ˆ ˆ sin cos cos 0 ˆ 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β β τ − − ⊥ ⋅ − ⊥ − Γ + = ( ) y e z E j y e E x j i i r a j i i ni ˆ cos sin 2 ˆ sin 1 0 ˆ 0 1 1 θ β β θ β τ − ⊥ ⋅ − ⊥ Γ + = ni â
  • 199. OE 0607 Ondas 81 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos no meio 1 – polarização perpendicular meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H y e E y e E E r a j r r a j i nr ni ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 1 1 1 ⋅ − ⋅ − + = β β z x r a z x r a i i nr i i ni θ θ θ θ cos sin ˆ cos sin ˆ − = ⋅ + = ⋅ ( ) ( )y e e E E z j z x j i i i i ˆ 1 cos 2 cos sin 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β + ⊥ + − Γ + = ( ) [ ] ( ) [ ]2 1 2 1 0 1 cos 2 sin cos 2 cos 1 z z E E i i i θ β θ θ β θ + Γ + + Γ + = Γ ⊥ Γ ⊥ ( ) z E i i θ β θ cos 2 cos 2 1 1 2 0 + Γ + Γ + = Γ ⊥ ⊥ máximos: mínimos: ( ) 1 cos 2 cos 1 + = + Γ z i θ β θ ( ) π θ θ β n z i MAX 2 cos 2 1 1 + − = Γ ( ) [ ] π θ θ β 1 2 cos 2 1 1 min + + − = Γ n z i ( ) ⊥ Γ + = 1 0 1 i MAX E E ( ) ⊥ Γ − = 1 0 min 1 i E E ( ) 1 cos 2 cos 1 − = + Γ z i θ β θ Γ ⊥ ⊥ Γ = Γ θ j e
  • 200. OE 0607 Ondas 82 Faculdade de Engenharia Incidência num condutor ideal – polarização perpendicular meio 1 z x condutor ideal i θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H ( )y e e e E E z j z j x j i i i i ˆ cos cos sin 0 1 1 1 1 θ β θ β θ β − = − − máximos: mínimos: ( ) i MAX n z θ β π cos 2 1 2 1 + = i n z θ β π cos 1 min = 0 1 2 i MAX E E = 0 min 1 = E 0 2 = η ( ) ∞ = 2 σ 0 1 = − = Γ ⊥ ⊥ τ 0 2 = E ( )y z e E j i x j i i ˆ cos sin 2 1 sin 0 1 θ β θ β − − = meio 2 condutor ideal onda em propagação segundo x, com amplitude dependente de z e e
  • 201. OE 0607 Ondas 83 Faculdade de Engenharia Campo eléctrico no meio 1 – polarização paralela r i E E E + = 1 1 1 β γ j = meio 1 sem perdas meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) ( ) z x e E z x e E i i r a j r i i r a j i nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ 0 1 1 θ θ θ θ β β + + − = ⋅ − ⋅ − = Γ + i t θ θ τ cos cos 1 || || ( ) ( ) ( ) z x e E z x e E z x e E i i r a j i i i r a j i i i r a j i i t nr ni ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos cos cos ˆ 0 || ˆ 0 || ˆ 0 || 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ τ β β β + Γ + − Γ − − = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ( ) ( ) ( ) z e e e E x e e e E z x e E E i z j z j x j i i z j z j x j i i i r a j i i t i i i i i i ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos cos cos cos cos sin 0 || cos cos sin 0 || ˆ 0 || 1 1 1 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ τ θ β θ β θ β θ β θ β θ β β + Γ + − Γ + − = − − ⋅ − ( ) ( ) ( ) z z e E x z e E j z x e E i i x j i i i x j i i i r a j i i t i i ni ˆ sin cos cos 2 ˆ cos cos sin 2 ˆ sin ˆ cos cos cos 1 sin 0 || 1 sin 0 || ˆ 0 || 1 1 1 θ θ β θ θ β θ θ θ θ τ θ β θ β β − − ⋅ − Γ + Γ + − =
  • 202. OE 0607 Ondas 84 Faculdade de Engenharia Campo eléctrico no meio 1 – polarização paralela ondas em propagação segundo x, com amplitudes dependente de z onda em propagação segundo ni â meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H ( ) z x e E E i i r a j i i t ni ˆ sin ˆ cos cos cos ˆ 0 || 1 1 θ θ θ θ τ β − = ⋅ − ( ) x z e E j i i x j i i ˆ cos cos sin 2 1 sin 0 || 1 θ θ β θ β − Γ + ( ) z z e E i i x j i i ˆ sin cos cos 2 1 sin 0 || 1 θ θ β θ β − Γ +
  • 203. OE 0607 Ondas 85 Faculdade de Engenharia Máximos e mínimos no meio 1 – polarização paralela ( ) ( ) i r a a j r a j i x nr ni ni e e E E θ β β cos 1 ˆ ˆ || ˆ 0 1 1 1 ⋅ − ⋅ − Γ + = ( ) [ ] ( ) [ ]2 1 || 2 1 || 0 1 cos 2 sin cos 2 cos 1 cos z z E E i i i i x θ β θ θ β θ θ + Γ + + Γ + = Γ Γ ( ) z E i i i θ β θ θ cos 2 cos 2 1 cos 1 || 2 || 0 + Γ + Γ + = Γ máximos: mínimos: ( ) π θ θ β n z i MAX 2 cos 2 1 1 + − = Γ ( ) [ ] π θ θ β 1 2 cos 2 1 1 min + + − = Γ n z i ( ) || 0 1 1 cos Γ + = i i MAX E E θ ( ) || 0 min 1 1 cos Γ − = i i x E E θ Γ Γ = Γ θ j e || || meio 1 z x meio 2 i θ t θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H nt â t E t H r i E E E + = 1 ( ) ( ) z x e E z x e E i i r a j r i i r a j i nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ 0 1 1 θ θ θ θ β β + + − = ⋅ − ⋅ − ( ) ( ) z e E e E x e E e E i r a j r r a j i i r a j r r a j i nr ni nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 1 1 1 1 θ θ β β β β ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + − + + = ( ) i z j r a j i x i ni e e E E θ θ β β cos 1 cos 2 || ˆ 0 1 1 1 Γ + = ⋅ −
  • 204. OE 0607 Ondas 86 Faculdade de Engenharia condutor ideal Incidência num condutor ideal – polarização paralela máximos de E1x: ( ) i MAX n z θ β π cos 2 1 2 1 + = i n z θ β π cos 1 min = i i MAX x E E θ cos 2 0 1 = 0 min 1 = x E 0 2 = η ( ) ∞ = 2 σ 0 1 || || = − = Γ τ 0 2 = E meio 2 condutor ideal ondas em propagação segundo x, com amplitudes dependente de z meio 1 z x i θ r θ i E i H ni â nr â y r E r H ( ) ( ) [ ] z e e x e e E E i r a j r a j i r a j r a j i nr ni nr ni ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 1 1 1 1 θ θ β β β β ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + − − = ( ) ( ) z z e E x z e E j i i x j i i i x j i i i ˆ sin cos cos 2 ˆ cos cos sin 2 1 sin 0 1 sin 0 1 1 θ θ β θ θ β θ β θ β − − − − = mínimos de E1x: e e
  • 205. OE 0607 Ondas 87 Faculdade de Engenharia condutor ideal Guias de onda metálicos meio 1 z x i θ r θ y polarização perpendicular: i n z θ β π cos 1 = 0 1 = E ( )y z e E j E i x j i i ˆ cos sin 2 : 1 sin 0 1 1 θ β θ β − − = ⊥ ( ) ( ) z z e E x z e E j E i i x j i i i x j i i i ˆ sin cos cos 2 ˆ cos cos sin 2 : || 1 sin 0 1 sin 0 1 1 1 θ θ β θ θ β θ β θ β − − − − = em polarização paralela: i n z θ β π cos 1 = 0 1 = x E em para ambas polarizações, um plano condutor paralelo ao plano xy poderia ser colocado em , sem alterar o campo no meio 1 i n z θ β π cos 1 = i n z θ β π cos 1 =