Análise de Escoamentos em Dutos

1
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
INSTITUTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DESENVOLVIMENTO DE UM SOFTWARE PARA ANÁLISE DE ESCOAMENTOS
INTERNOS EM DUTOS DE SEÇÃO CIRCULAR UTILIZANDO MATLAB R2013a
(8.1)
Marco Túlio Pereira Silveira
Diamantina
2015

2
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
INSTITUTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
(8.1)
Autor:
Orientador:
Prof. MSc. Marcos Antonio Rodrigues dos Santos
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia,
como parte dos requisitos exigidos para a
conclusão do curso.
Diamantina
2015

3
(8.1)
Orientador:
Prof. MSc. Marcos Antônio Rodrigues dos Santos
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia,
como parte dos requisitos exigidos para a
conclusão do curso.
APROVADO em: ...../...../.....
_______________________________________________
Prof. Dr. João Vinícios Wirbitzki da Silveira - UFVJM
_______________________________________________
Prof. MSc. Matheus dos Santos Guzella- UFVJM
_______________________________________________
Prof. MSc. Marcos Antonio Rodrigues dos Santos – UFVJM

4
AGRADECIMENTOS
Agradeço em primeiro lugar а Deus quе iluminou о mеu caminho durante esta
caminhada.
Aos meus pais e minha irmã, Dalmy, Neusa e Mariana pelo amor, incentivo e apoio
incondicionais.
Ao meu orientador, Marcos Antonio Rodrigues dos Santos, pelo convívio, paciência,
apoio е amizade, que muito me auxiliou para conclusão deste trabalho.
A todos os mestres e amigos de verdade, que me ensinaram, incentivaram e ajudaram,
direta ou indiretamente, contribuindo assim, para que eu pudesse crescer.

5
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo do cálculo da perda de carga em escoamentos por
dutos de seção circular focado na determinação do fator de atrito por equações explícitas e
pela equação de Colebrook-White. Foi feita uma revisão da determinação do coeficiente de
perdas localizadas e examinados seis tipos de problemas típicos da análise de escoamentos
em dutos de seção circular, sendo proposto um software para ser aplicado à resolução desses.
Pretende-se com isso, tornar mais ágil e fácil a obtenção de parâmetros importantes, que
permitem a avaliação das condições de operação de sistemas em determinadas configurações
e a minimização de custos. Para o desenvolvimento dos programas foi empregado o software
MATLAB R2013a (8.1), que oferece o recurso de criação de interfaces gráficas, utilizado
neste trabalho. A funcionalidade pode ser executada em computadores com a versão
supracitada do MATLAB e o compilador (MCR) instalados.
Palavras chave: fator de atrito, perda de carga, equação de Darcy-Weisbach, equação da
energia.
ABSTRACT
This paper presents a study of head loss calculation for flowing through circular
section ducts focused on determining the friction factor by explicit equations and the equation
of Colebrook-White. A review of the determination of the coefficient of minor losses was
made. Six types of typical flow analysis problems in circular section ducts were examined
and a software to be applied to solve these propositions. The objective is to get important
parameters in an agile and easier way, which enables assessment of system operating
conditions in certain configurations and minimizing costs. For the development of the
programs it was used the MATLAB R2013a (8.1) software, which provides the ability to
create graphical interfaces used in this work. The functionality can be performed on
computers with this version of MATLAB and the compiler (MCR) installed.
Keywords: friction factor, head loss, Darcy-Weisbach equation, energy equation.

6
LISTA DE SÍMBOLOS E SIGLAS
hp – Perda de carga ou energia total
f – Fator de atrito de Darcy-Weisbach
L – Comprimento de tubulação
V – Velocidade média de escoamento
g – Aceleração gravitacional
D – Diâmetro interno ou nominal
Re – Número de Reynolds
ρ – Massa específica
μ – Viscosidade absoluta
ε – Rugosidade absoluta dos materiais
K – Coeficiente de perda localizada
hp,loc. – Perda localizada
Δp – Diferença de pressão entre dois pontos de um sistema
Leq – Comprimento equivalente
hp,dist. – Perda distribuída
P – Pressão absoluta ou relativa
hB – Altura da bomba
hT – Altura da turbina
z – Cota de tanque ou ponto
PBomba – Potência hidráulica de bomba
Q – Vazão volumétrica
A – Área da seção do duto
π – Número pi
υ – Viscosidade cinemática
MCR – Matlab Compiler Runtime

7
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Diagrama de Moody...........................................................................................16
Figura 3.1 – Esquema de um sistema com bomba conectando dois reservatórios. ................23
Figura 3.2 – Esquema simplificado de um sistema de bombeamento entre dois tanques. ....23
Figura 3.3 – Esquema simplificado de um sistema de bombeamento sem considerar o tanque
a montante................................................................................................................................24
Figura 3.4 – Arranjo de dutos em paralelo. ............................................................................26
Figura 3.5 – Arranjo de três dutos em série............................................................................28
Figura 3.6 – Sistema de três reservatórios. .............................................................................30
Figura 4.1 – Janela de criação de interfaces gráficas do MATLAB R2013a (8.1), com guia de
mensagem de erro criada. ........................................................................................................35
Figura 4.2 – Arquivo .fig gerado quando executado o projeto de interface da Figura 4.1.....36
Figura 4.3 – Tela inicial do software. .....................................................................................36
Figura 4.4 – Estrutura do software..........................................................................................37
Figura 4.5 – Fluxograma do programa para cálculo da perda e potência de bombas.............38
Figura 4.6 – Fluxograma do programa para cálculo da vazão por duto simples. ...................39
Figura 4.7 – Fluxograma do programa para cálculo das vazões por três dutos em paralelo. .40
Figura 4.8 – Fluxograma do programa para cálculo da vazão por três dutos em série...........41
Figura 4.9 – Fluxograma do programa para cálculo do diâmetro ideal de duto simples........42
Figura 4.10 – Fluxograma do programa para cálculo das vazões pelos dutos de um sistema
de 3 reservatórios. .................................................................................................................
424
Figura 5.1 – Esquema do problema. .......................................................................................44
Figura 5.2 – Interface gráfica do programa para cálculo da perda de carga e potência
hidráulica sob as condições do Exemplo 1. .............................................................................46
Figura 5.3 – Interface gráfica do programa para cálculo da perda de carga, sob as condições
do Exemplo 2...........................................................................................................................47
Figura 5.4 – Interface gráfica do programa para cálculo das vazões por três dutos em
paralelo, sob as condições do Exemplo 3. ...............................................................................48
Figura 5.5 – Interface gráfica do programa para cálculo das vazões por três dutos em série,
sob as condições do Exemplo 4. ..............................................................................................49
Figura 5.6 – Interface gráfica do programa dos para cálculo das vazões por um sistema de
três reservatórios, sob as condições do Exemplo 5..................................................................50

8
Figura 5.7 – Interface gráfica do programa para cálculo da vazão por um duto simples, sob as
condições do Exemplo 6..........................................................................................................51
Figura 5.8 – Interface gráfica do programa para cálculo do diâmetro ideal sob as condições
do Exemplo 7...........................................................................................................................52

9
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Rugosidades de materiais comumente empregados na fabricação de dutos......15
Tabela 2.2 – Coeficientes de perda para alguns componentes de tubulações.........................19
Tabela 2.3 – Comprimentos equivalentes para alguns acessórios, expressos em metros de
tubulação..................................................................................................................................20
Tabela 2.4 – Comprimentos equivalentes para alguns acessórios expressos em metros de
tubulação..................................................................................................................................21
Tabela 4.1 – Faixas de validade da metodologia empregada..................................................35

10
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................11
2. REVISÃO DA LITERATURA.........................................................................................13
2.1 – Cálculo do fator de atrito de Darcy-Weisbach...........................................................13
2.2 - Aproximações explícitas da equação de Colebrook-White........................................16
2.3 – Perdas localizadas.........................................................................................................18
3. TIPOS DE PROBLEMAS RESOLVIDOS PELO SOFTWARE..................................22
3.1 – Cálculos da perda de carga e potência hidráulica de bombas..................................22
3.2 – Cálculo da vazão ...........................................................................................................25
3.2.1 – Tubulação simples..............................................................................................25
3.2.2 – Cálculo da vazão por um sistema de três dutos em paralelo .........................26
3.2.3 – Cálculo da vazão por um sistema de três dutos em série ...............................27
3.3 – Cálculo da vazão pelos dutos de um sistema de três reservatórios ..........................30
3.4 – Cálculo do diâmetro (Problema de dimensionamento) .............................................32
4. METODOLOGIA..............................................................................................................33
4.1 – Resolução da Equação de Colebrook-White ..............................................................33
4.1.1 – O Método de Newton Raphson para solução da Equação de Colebrook-
White...............................................................................................................................33
4.2 – Obtenção das propriedades dos fluidos como funções da temperatura ..................34
4.3 – O software......................................................................................................................42
5. APLICAÇÕES ...................................................................................................................44
5.1 – Exemplos práticos para aplicação do software ..........................................................44
5.2 – Resultados e Discussão .................................................................................................46
6. CONCLUSÕES..................................................................................................................53
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................54
8. ANEXOS.............................................................................................................................55
9. AUTORIZAÇÃO ...............................................................................................................57

11
1. INTRODUÇÃO
Sistemas de tubulações constituem o meio mais comum de se realizar o transporte de
fluidos em geral. Nas plantas industriais, entre grandes distâncias, nos gasodutos e oleodutos,
situações cotidianas e outros contextos, é notória a utilização de dutos para se promover tanto
o escoamento de líquidos quanto o de gases.
Um fluido ao escoar por uma tubulação é submetido a variações de pressão,
decorrentes de mudanças na elevação da tubulação e ao fenômeno da perda de carga, devido
ao atrito viscoso (atrito entre as camadas do fluido e as paredes do duto) e perturbações
causadas por acessórios de canalização do sistema de escoamento, isto é, peças utilizadas
para montagem da tubulação e controle da vazão, como válvulas, curvas, joelhos e tês (Netto,
1998).
A perda de carga é uma restrição de projeto de sistemas de tubulações, como no
dimensionamento de bombas hidráulicas, que requer o conhecimento do consumo real de
energia para se determinar a potência requerida à bomba a ser utilizada. É um fator relevante
também na geração de energia, de uma central hidrelétrica, por exemplo, onde o aumento da
perda de carga diminui a capacidade de geração (Resende, 2010).
A vazão é uma das grandezas mais medidas nos processos industriais. Existem vários
instrumentos e mecanismos desenvolvidos com a finalidade de medir tal grandeza, dentre os
quais pode-se destacar, os tubos de Pitot e de Venturi, placas de orifício e rotâmetros
(Cassiolato, 2010). A medição de vazão também está presente em nosso dia-a-dia, o
hidrômetro das residências e o marcador de uma bomba de combustível nos veículos também
são dispositivos que a fazem essa mensuração.
A modelagem teórica dos escoamentos é outra forma de se estimar a vazão, baseada
no fenômeno da perda de carga e/ou relações entre as outras energias do escoamento, de
pressão, posição e cinética, feitas pela equação da energia. Basicamente consiste no
desenvolvimento de um método para estimar a velocidade média, que relacionada à área
normal ao escoamento, leva ao cálculo da vazão.
Quando se projeta um sistema de escoamento, a minimização dos custos para sua
construção deve ser levada em conta. Nesse contexto, determinar o diâmetro mínimo de um
duto que garante que sejam atendidas condições de operação desejadas é importante, uma vez
que um diâmetro maior aumenta gastos com material, além de não assegurar que o sistema
opere de acordo com as especificações. A vazão, por exemplo, seria maior e dependendo da
situação isso pode ser um problema.

12
A resolução de problemas de cálculo da perda de carga e especialmente os de vazão e
diâmetro, que requerem solução iterativa, pode ser exaustiva, se feita manualmente. Diante
disso, o objetivo deste trabalho é propor um software que forneça resultados confiáveis,
maior agilidade e facilidade na obtenção desses parâmetros em determinados sistemas.
O software desenvolvido pode ser aplicado para resolução de seis tipos de problema:
cálculo da perda de carga e potência hidráulica de bombas, em sistemas com tal equipamento
(na sua ausência é calculada apenas a perda); cálculos das vazões por sistemas de três dutos
em paralelo; três dutos em série; e três reservatórios; da vazão por um duto simples e do
diâmetro ideal.
É apresentada uma revisão de algumas das principais equações utilizadas para o
cálculo do fator de atrito, observando-se as variações que apresentam se comparadas à
equação de Colebrook-White. Seis são as equações abordadas, escolhidas para serem opções
de cálculo do usuário nos problemas de cálculo da perda de carga, vazão simples e diâmetro
ideal.
O programa conta com um banco de vinte e cinco materiais e sete fluidos, sendo as
propriedades físicas dos últimos determinadas em função da temperatura.
O software MATLAB R2013a (8.1) foi utilizado para o desenvolvimento da
aplicação. O MATLAB é uma ferramenta poderosa, cujo conhecimento, mesmo que básico é
fundamental para engenheiros. Poder trabalhar com esse software, extremamente difundido e
importante, bem como a facilidade de programação e o recurso de desenvolvimento de
interfaces gráficas, que o mesmo oferece, motivaram a sua utilização.

13
2. REVISÃO DA LITERATURA
2.1 – Cálculo do fator de atrito de Darcy-Weisbach
A perda de carga devida ao atrito de um fluido em movimento com o tubo pelo qual
escoa é comumente calculada através da equação de Darcy-Weisbach. Proposta em 1845,
essa equação é apontada por vários autores como a mais adequada para análise de
escoamentos em tubulações, sendo universalmente utilizada (Ell e Trabachini, 2009). Para
condutos circulares tal equação é expressa da seguinte forma:
2
,
2
p dist
LV
h f
gD
 (1)
Nessa equação, hp é a perda de carga ao longo do tubo, L e D, respectivamente, seu
comprimento e diâmetro interno, f o fator de atrito de Darcy-Weisbach, V a velocidade média
do escoamento, e g a aceleração gravitacional local.
A perda de carga é diretamente proporcional ao comprimento da tubulação, ao
quadrado da velocidade média, e ao fator de atrito, sendo esse um número adimensional
relacionado ao número de Reynolds (Re) e à rugosidade do material, dependendo do regime
do escoamento.
No regime laminar ( Re 2000 ), o f depende unicamente do Re, sendo expresso pela
equação de Hagen-Poiseille (Sá Marques e Souza, 1996 apud Camargo, 2001).
64
Re
f (2)
O número de Reynolds, dado pela equação 3, que também é adimensional, representa
fisicamente a relação entre as forças inerciais e viscosas do escoamento,
Re



V D
(3)
sendo ρ e μ nessa ordem, massa específica e viscosidade absoluta do fluido.

14
Em escoamentos cujo regime é turbulento (Re 4000), o fator de atrito tem
comportamentos diferentes em tubos lisos e rugosos. No primeiro caso (dutos com
rugosidade tendendo a zero), o fator de atrito depende exclusivamente do número de
Reynolds, de acordo com a equação 4, proposta por Prandtl-Von Karman e confirmada por
Nikuradse em 1932 (Sá Marques e Souza, 1996 apud Camargo, 2001), apresentando valores
menores se comparados ao regime turbulento rugoso. Esse por sua vez, caracteriza-se pelo
fato do fator de atrito ser independente do número de Reynolds (Re) e depender apenas da
rugosidade relativa do duto, D , sendo  a rugosidade absoluta do material empregado na
fabricação do duto e D seu diâmetro interno. Essa relação é expressa pela equação 5, a
fórmula de Von Karman (1930).
1 2,51
2log
Re
 
    
 f f
(4)
1
2,0log
3,7
 
   
 Df
(5)
Em regime de transição laminar para turbulento, isto é, para valores do Re na faixa
entre 2000 e 4000, segundo Netto (1998), podem ocorrer tanto o regime laminar quanto o
turbulento, mas de uma maneira instável, uma vez que qualquer perturbação é capaz de
mudar o regime. Entre esses limites considera-se uma zona crítica, que deve ser evitada
quando se projeta sistemas de escoamento em tubulações, pelo fato de não ser possível
determinar com precisão as características do escoamento (White, 2002).
A rugosidade dos materiais é influenciada por vários fatores, dentre eles, o processo
de fabricação, o estado de conservação, a existência de revestimentos, formação de
incrustações e corrosão. Todos esses fatores devem ser considerados quando se projeta
instalações hidráulicas, embora geralmente sejam admitidos valores médios de rugosidade. A
tabela 2.1 contém as rugosidades de materiais comumente empregados em tubulações. Estes
valores são os admitidos para os cálculos do software proposto.

15
Tabela 2.1 – Rugosidades de materiais comumente empregados na fabricação de tubulações.
Materiais Rugosidades absolutas (mm)
Aço comercial novo 0,045
Aço laminado novo 0,07
Aço soldado novo 0,065
Aço soldado usado 0,17
Aço soldado moderadamente oxidado 0,4
Aço laminado revestido de asfalto 0,05
Aço rebitado novo 2,0
Aço rebitado em uso 6,0
Aço ou ferro galvanizado 0,15
Ferro forjado 0,005
Ferro fundido novo 0,37
Ferro fundido com leve oxidação 0,30
Ferro fundido velho 4,0
Ferro fundido centrifugado 0,05
Ferro fundido com revestimento asfáltico 0,16
Ferro fundido oxidado 1,0
Concreto centrifugado novo 0,16
Concreto armado liso 0,25
Cimento amianto novo 0,025
Concreto com acabamento normal 2,0
Cobre, latão, aço inoxidável, PVC 0,0015
Fonte: Netto, 1998.
Em 1939, Colebrook e White obtiveram uma expressão que abrange todo o domínio
dos escoamentos turbulentos. A equação 6, de Colebrook-White é adotada universalmente
para o cálculo do fator de atrito, com erros da ordem 3 a 5%, sendo considerada a que mais se
aproxima das condições reais de escoamento (Sá Marques e Souza, 1996 apud Camargo,
2001).
1 2,51
2,0 log
3,7 Re
D
f f
   
           
(6)

16
Existem diagramas baseados na equação de Colebrook-White que podem ser
utilizados para a determinação fator de atrito. O mais conhecido é o Diagrama de Moody
(1944), que é adimensional e pode ser usado para qualquer fluido newtoniano, isto é, fluidos
que apresentam relação linear entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação.
Figura 2.1 – Diagrama de Moody.
Fonte: Metzger+Willard, INC.
2.2 - Aproximações explícitas da equação de Colebrook-White
A equação de Colebrook-White é considerada a equação referência para o cálculo do
fator de atrito. Entretanto, nela o f é dado implicitamente, aparecendo em ambos os lados da
equação, o que torna impraticável resolvê-la diretamente, sendo mais adequada uma solução
iterativa utilizando-se métodos numéricos. Com o objetivo de facilitar a obtenção do fator de
atrito alguns autores obtiveram equações explícitas, isto é, com o fator de atrito isolado.
Apresentando desvios razoáveis em relação à equação de Colebrook-White, essas são
aplicadas à escolha do usuário. A seguir são abordadas cronologicamente algumas das
principais, utilizadas neste trabalho. Os desvios mencionados são com relação à equação de
Colebrook-White.

17
Churchill (1973) obteve uma expressão simples (Eq.7), precisa e válida para todo o
domínio de escoamentos turbulentos, com desvios entre -0,6 e 3,4% (Sá Marques e Souza,
1996 apud Camargo, 2001).
0,9
1 7
2log
3,7 Re
  
    
   
D
f
(7)
Barr (1995) sugeriu uma alteração em sua primeira equação, proposta em 1972,
obtendo uma nova forma de explicitar o f que apresenta desvios entre -0,8 e 3% (Sá Marques
e Souza, 1996 apud Camargo, 2001).
0,89
1 5,1286
2log
3,7 Re
 
   
 
D
f
(8)
Swamee e Jain (1976) propuseram uma expressão bastante similar à aproximação
proposta por Churchill, que apresenta desvios entre 0,7 e 3,4% e é válida para
8
5000 Re 10  e 0,00004 0,05 D (Sá Marques e Souza, 1996 apud Camargo, 2001).
0,9
1 5,74
2log
3,7 Re
 
   
 
D
f
(9)
Chen (1979) apresentou a sua versão para substituir a equação de Colebrook-White
(Eq.10). A equação que não é muito atrativa apresenta desvios relativos inferiores a 0,3%,
sendo válida para todo regime turbulento e qualquer D (Sá Marques e Souza, 1996 apud
Camargo, 2001).
1,1098
0,8981
1 5,0452 1 5,8506
2log log
3,7 Re 2,8257 Re
     
             
D
Df
(10)
Haaland (1983) propôs uma variação no efeito da rugosidade relativa através da
equação seguinte, que apresenta desvios relativos inferiores a  1,5% (Sá Marques e Souza,
1996 apud Camargo, 2001).

18
1,11
1 6,9
1,8log
3,7 Re
  
       
D
f
(11)
Essas equações, conforme abordado reproduzem com bastante rigor os valores do
fator de atrito estimados pela equação de Colebrook-White. Para possibilitar a comparação de
resultados pelo usuário, utilizando os diferentes métodos de cálculo do fator de atrito, nos
programas de cálculo da perda da carga, da vazão por um duto simples e do diâmetro ideal,
todas elas são dadas como opção.
2.3 – Perdas localizadas
Conforme discutido, a perda de carga em dutos pode ser calculada utilizando o fator
de atrito obtido a partir das equações descritas anteriormente ou pelo Diagrama de Moody.
Contudo, as tubulações comumente apresentam componentes adicionais (singularidades ou
acessórios): válvulas, cotovelos, entre outros, que também contribuem para a perda de carga.
Essas perdas são denominadas perdas localizadas.
As perdas localizadas são determinadas a partir de um coeficiente adimensional,
obtido experimentalmente para cada tipo de acessório. É medida a pressão antes e depois do
elemento e de posse dessas determina-se a queda de pressão, p . O coeficiente K é definido
por,
   
, .
2 2
2 2

 
p loch p
K
V g V
(12)
onde,
21
2
p K V  (13)
e
2
,
2
p loc
V
h K
g
(14)

19
O valor da constante K pode ser considerado dependente da geometria do acessório,
podendo também ser influenciado pelas propriedades dos fluidos associada às condições do
escoamento (K = f (geometria, Re)). Em muitas situações reais, o número de Reynolds é
grande o suficiente para que os efeitos de inércia predominem no escoamento (os efeitos
viscosos são secundários) e por esse motivo, na maioria dos casos de interesse prático, os
coeficientes de perda localizada dependem apenas da geometria (Netto, 1998). Na Tabela 2.2
são apresentados valores de K para alguns componentes corriqueiramente encontrados em
sistemas de tubulações. São valores médios (aproximações), utilizados de modo prático para
dar uma ideia de quanto um sistema pode estar perdendo energia. Existem para algumas
singularidades, equações empíricas pelas quais esses valores são obtidos mais precisamente.
No capítulo seguinte são utilizadas duas dessas equações, para contrações e expansões
bruscas.
Tabela 2.2 – Coeficientes de perda para alguns componentes de tubulações.
Componentes K
Cotovelo 90° Raio longo 0,7
Cotovelo 90° Raio médio 0,9
Cotovelo 90° Raio curto 1,3
Cotovelo 45° 0,40
Curva 45° 0,30
Válvula Gaveta aberta 0,20
Válvula Globo aberta 10
Válvula em ângulo aberta 7,0
Entrada normal 0,5
Saída de canalização 1,0
Fonte: Netto, 1998.
Existe outra maneira de se calcular as perdas localizadas, utilizando o que se
denomina comprimentos equivalentes. Seu entendimento físico se dá pela igualdade da
equação 15, considerando-se que a perda local é equivalente a uma perda que o acessório
causaria se ele fosse trocado por um comprimento de tubulação, chamado comprimento
equivalente Leq. Esse é tabelado em função do tipo de acessório e pode estar
adimensionalizado ou não. É comum expressar o comprimento equivalente dividido pelo
diâmetro da tubulação, sendo nesse caso um coeficiente adimensional, do contrário possui
dimensão de comprimento.

20
2 2
,
2 2
 
eq
p loc
LV V
h K f
g D g
(15)
Da equação 15 obtém-se uma relação para o coeficiente de perda localizada em
função do fator de atrito e do comprimento equivalente (Eq.16). Esse é um conceito artificial
(White, 2002) e seu uso é aconselhado na falta de outros dados.

eqL
K f
D
(2.16)
Os comprimentos equivalentes, assim como os coeficientes de perdas localizadas são
estimados experimentalmente. Nas tabelas 2.3 e 2.4 constam os valores para alguns
acessórios, calculados para tubulações de ferro e aço, mas que podem ser aplicados com
aproximação razoável a casos de encanamentos de cobre ou latão (Netto, 1998).
Tabela 2.3 – Comprimentos equivalentes para alguns acessórios, expressos em metros de tubulação.
Diâmetro
(mm)
Cotovelo 90°
Raio longo
Cotovelo 90°
Raio médio
Cotovelo 90°
Raio curto
Cotovelo 45° Curva 45°
13 0,3 0,4 0,5 0,2 0,2
19 0,4 0,6 0,7 0,3 0,2
25 0,5 0,7 0,8 0,4 0,2
32 0,7 0,9 1,1 0,5 0,3
38 0,9 1,1 1,3 0,6 0,3
50 1,1 1,4 1,7 0,8 0,4
63 1,3 1,7 2,0 0,9 0,5
75 1,6 2,1 2,5 1,2 0,6
100 2,1 2,8 3,4 1,5 0,7
125 2,7 3,7 4,2 1,9 0,9
150 3,4 4,3 4,9 2,3 1,1
200 4,3 5,5 6,4 3,0 1,5
250 5,5 6,7 7,9 3,8 1,8
300 6,1 7,9 9,5 4,6 2,2
350 7,3 9,5 10,5 5,3 2,5
Fonte: Netto, 1998.

21
Tabela 2.4 – Comprimentos equivalentes para alguns acessórios expressos em metros de tubulação.
Diâmetro
(mm)
Válvula Gaveta
Aberta
Válvula Globo
Aberta
Válvula em
Ângulo
Entrada
Normal
Saída de
Canalização
13 0,1 4,9 2,6 0,2 0,4
19 0,1 6,7 3,6 0,2 0,5
25 0,2 8,2 4,6 0,3 0,7
32 0,2 11,3 5,6 0,4 0,9
38 0,3 13,4 6,7 0,5 1,0
50 0,4 17,4 8,6 0,7 1,5
63 0,4 21 10 0,9 1,9
75 0,5 26 13 1,1 2,2
100 0,7 34 17 1,6 3,2
125 0,9 43 21 2,0 4,0
150 1,1 51 26 2,5 5,0
200 1,4 67 34 3,5 6,0
250 1,7 85 43 4,5 7,5
300 2,1 102 51 5,5 9,0
350 2,4 120 60 6,2 11
Fonte: Netto, 1998.

22
3. TIPOS DE PROBLEMAS RESOLVIDOS PELO SOFTWARE
Neste capítulo são descritos tipos de problemas comuns da análise de escoamentos de
fluidos em tubulações que podem ser resolvidos utilizando-se o software desenvolvido.
3.1 – Cálculos da perda de carga e potência hidráulica de bombas
A perda de carga em tubulações é composta por duas parcelas:
, . , . p p dist p loch h h (17)
A perda de carga distribuída (hp,dist), ocorre devido ao atrito viscoso do fluido em
escoamento, podendo ser considerada a parcela de maior contribuição na perda total.
Entende-se por atrito viscoso a soma do atrito entre as diversas camadas do fluido (atrito
interno), e o atrito entre o fluido e as paredes do duto (atrito externo). As perdas localizadas
ocorrem devido a descontinuidades da tubulação, acessórios que a compõem, como válvulas,
conexões, curvas, cotovelos e etc., que modificam o formato do escoamento de forma brusca,
gerando turbulências adicionais e consequentemente uma maior dissipação de energia.
A maioria dos problemas de escoamento interno em dutos é resolvida com o auxílio
da equação seguinte, conhecida como equação da energia (Eq.18). Válida para escoamentos
em regime permanente, isto é, escoamentos em que a vazão não varia com o tempo, essa
equação relaciona todas as energias envolvidas no escoamento de fluidos entre dois pontos, 1
e 2 (Figura 3.1).
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2 
       p B T
P V P V
z z h h h
g g g g
(18)
Na equação acima, hp é a perda de carga que ocorre entre os pontos avaliados, P1 e P2
são as pressões absolutas (ou relativas) nos respectivos pontos, assim como V1 e V2 são as
velocidades médias de escoamento e z1 e z2 as cotas em que esses se encontram. Os termos hB
(altura da bomba) e hT (altura da turbina) referem-se respectivamente às energias adicionada
ao fluido (pela bomba) e extraída dele (pela turbina), em metros de coluna de líquido, caso
algum desses elementos esteja presente no sistema.

23
As bombas hidráulicas têm uma gama de aplicações. Seu uso é necessário para que o
escoamento de fluidos “vença” desníveis geométricos e as outras resistências abordadas
anteriormente (que causam as perdas localizadas e distribuída).
As figuras 3.1 e 3.2 ilustram configurações possíveis que envolvem o bombeamento
de um fluido e que podem ser projetadas pelo software desenvolvido, que não se aplica à
análise de turbinas.
Figura 3.1 – Esquema de um sistema com bomba conectando dois reservatórios.
Fonte: White, 2002, p. 410.
Figura 3.2 – Esquema simplificado de um sistema de bombeamento entre dois tanques.
Quando se deseja estimar a potência hidráulica que deve ser entregue ao fluido por
uma bomba, é necessário determinar a altura hB, uma vez que:
Bomba BP gQh (19)

24
De posse da potência da bomba, de acordo com catálogos de fabricantes pode-se
escolher a bomba mais apropriada para instalação.
Da equação da energia:
 
2 2
2 1 2 1
2 1
2
   
      
   
B p
P P V V
h h z z
g g
(20)
Quando se trata de escoamentos entre dois tanques abertos (Figuras 3.1 e 3.2), as
pressões P1 e P2, em termos relativos, são iguais a zero e, além disso, assume-se como
desprezíveis as velocidades 1V e 2V das superfícies de líquido, resultando a equação 21:
1 2( )  B ph h z z (21)
Caso os pontos de interesse se localizem na tubulação, com o fluido escoando a
determinadas velocidades, essas devem ser determinadas. Tal possibilidade não é considerada
no software, devendo necessariamente ser desprezíveis ou iguais as velocidades nos pontos
considerados. Não havendo bomba no sistema é calculada apenas a perda de carga (cálculo
direto).
Figura 3.3 – Esquema simplificado de um sistema de bombeamento sem considerar o tanque a montante.

25
3.2 – Cálculo da vazão
Neste caso, o(s) diâmetro(s) da(s) tubulação(ões) e a perda de carga no sistema são
conhecidos, devendo essa constituir um dado de projeto, ou ser estimada. Esse tipo de cálculo
pode ser dividido em três casos:
1 – Tubulação simples, 2 – Tubulações em paralelo e 3 – Tubulações em série.
3.2.1 – Tubulação simples
Quando se sabe o valor da perda de carga (hp) e, o diâmetro e o comprimento da
tubulação são conhecidos, calcula-se a vazão (Q) pelo duto de um sistema. Esse problema é
conhecido como problema inverso ao cálculo da perda de carga e requer uma solução
iterativa. Estabelece-se através da equação de Darcy-Weisbach uma relação da velocidade
média do escoamento em função dos demais parâmetros, um valor inicial para o fator de
atrito e inicia-se o processo iterativo.
2

pg Dh
V
f L
(22)
Utilizando a equação 22, calcula-se a velocidade, o número de Reynolds e o novo
fator de atrito, sendo esse comparado ao anterior. O processo é repetido até que o valor de f
convirja, isto é, não varie mais de acordo com uma tolerância pré-estabelecida, no software
fixada para todos os programas em 0,000001. Quando dessa convergência, toma-se a última
velocidade calculada como sendo a velocidade média do escoamento e a partir dessa, calcula-
se a vazão pela tubulação através da equação 23, onde A é a área da seção do duto, dada pela
equação 24. Considera-se que o escoamento se dê preenchendo toda a tubulação.
Q V A (23)
2
4A D (24)

26
3.2.2 – Cálculo da vazão por um sistema de três dutos em paralelo
A figura a seguir mostra três dutos dispostos em paralelo. Neste sistema o fluido pode
percorrer o caminho de A a B por qualquer um dos dutos mostrados e a vazão do arranjo é
igual a soma das vazões por cada duto.
Figura 3.4 – Arranjo de dutos em paralelo.
Aplicando-se a equação da energia entre os pontos A e B, é possível mostrar que, a
perda de carga assume o mesmo valor para os três dutos. Para o duto 1 tem-se:
2 2
1 2
, 1
2 2
A B
A B p d
P V P V
z z h
g g g g 
      (25)
Analogamente, para os dutos 2 e 3:
2 2
1 2
, 2
2 2
A B
A B p d
P V P V
z z h
g g g g 
      (26)
2 2
1 2
, 3
2 2
A B
A B p d
P V P V
z z h
g g g g 
      (27)
Isolando os termos hp,d1, hp,d2 e hp,d3 verifica-se que as perdas de carga dos
escoamentos pelos dutos 1, 2 e 3 devem ser iguais, mesmo que seus diâmetros, comprimentos
e vazões sejam diferentes.

27
A vazão Q é dada pela soma das vazões individuais.
1 2 3Q Q Q Q   (29)
A solução do problema requer um processo iterativo análogo ao abordado no item
3.2.1. Neste caso, devem ser obtidas as velocidades do fluido em cada duto. Como a perda de
carga é a mesma, resulta da equação de Darcy-Weisbach:
0,5
1
1 0,5
1 1
2 1
p
g D
V h
L f
 
  
 
(30)
0,5
2
2 0,5
2 2
2 1 
  
 
p
g D
V h
L f
(31)
0,5
3
3 0,5
3 3
2 1 
  
 
p
g D
V h
L f
(32)
Estabelecendo-se um valor inicial para f1, f2 e f3, calcula-se as velocidades, os números
de Reynolds e os novos fatores de atrito para cada duto. Esse processo se repete até que os
valores não variem mais, segundo a tolerância especificada.
De maneira similar ao caso da Vazão Simples, estima-se as vazões individuais pela
equação 23, sendo V a velocidade calculada quando da convergência dos fatores de atrito e A
as áreas das seções de cada duto.
3.2.3 – Cálculo da vazão por um sistema de três dutos em série
A figura 3.5 mostra um arranjo de três dutos em série. Neste sistema, a vazão é a
mesma em todos os dutos e a perda de carga, entre os pontos A e B, igual à soma das perdas
em cada um dos trechos. Conhecendo-se a diferença entre as pressões nos pontos, medidas
por dispositivos adequados, calcula-se a vazão.
, 1 , 2 , 3 p d p d p dh h h (28)

28
1 2 3Q Q Q Q   (33)
, , 1 , 2 , 3p total p d p d p dh h h h   (34)
Figura 3.5 – Arranjo de três dutos em série.
Aplicando-se a equação da energia entre os pontos A e B e isolando a perda de carga
obtém-se:
2 2
1 3
,
2
A B
p AB A B
V VP P
h z z
g g

    (35)
A perda distribuída de A a B é obtida aplicando-se a equação de Darcy-Weisbach em
cada duto e somando-se as parcelas. Para a configuração de dutos em série existe a
possibilidade de haver contrações ou expansões bruscas nos pontos de junção entre dois
dutos. Nesses casos, os coeficientes de perda podem ser determinados a partir de relações
entre os diâmetros dos dutos. Para expansões e contrações bruscas tem-se respectivamente:
2 2 2
exp (1 ) K d D (36)
2 2
0,42(1 )contK d D  (37)
onde d e D correspondem ao menor e maior diâmetros que constituem a expansão ou
contração. Assim, o somatório das perdas no sistema será,
22 2 2 2
3 31 1 2 2
, 1 2 3 exp/ exp/
1 2 32 2 2 2 2
    p AB cont cont
L VLV L V V V
h f f f K K
gD gD gD g g
(38)

29
com V sendo a velocidade no duto de menor diâmetro (maior velocidade), dentre os dois
dutos avaliados.
Da equação da vazão e da consideração de que essa é a mesma em todos os dutos,
obtém-se a relação expressa na equação 39, a partir da qual é possível associar as velocidades
do fluido em cada trecho em função dos diâmetros e de uma velocidade específica.
2 2 2
1 1 2 2 3 3V D V D V D  (39)
Para a solução desse problema, optou-se por expressar 2V e 3V em função de 1V .
2
1
2 1
2
D
V V
D
 
  
 
(40)
2
1
3 1
3
D
V V
D
 
  
 
(41)
Substituindo essas velocidades nas equações 35 e 38, igualando-as e isolando todos os
termos em função de 2
1V , obtém-se a equação 42. A resolução requer um processo iterativo
análogo ao anterior, sendo as outras velocidades determinadas através das equações 40 e 41.
As raízes do polinômio podem ser soluções do problema, entretanto deve-se garantir um
resultado condizente com a realidade física. Desse modo, assumindo o escoamento no sentido
de 1 para 2 ( 1 2P P ), uma solução negativa para 1V indicaria que o escoamento está no
sentido oposto, o que não se aplica à situação. Portanto, apenas as raízes positivas devem
tomadas no processo. Quando da convergência dos três fatores de atrito, toma-se a última
velocidade 1V estimada como sendo a velocidade média do escoamento pelo duto 1 e de
posse da área calcula-se a vazão Q.
4
1
exp44
3
2 1 1
1 1 1 2 2 3 3 4
2 3
1
0
2
   
     
              
    
 
  
cont
D
K K
DD D
V f c f c f c c
D D g
(42)

30
Na equação acima, 1
1
12
L
c
gD
 , 2
2
22
L
c
gD
 , 3
3
32
L
c
gD
 e  4


  A B
A B
P P
c z z
g
.
Conforme abordado os coeficientes das perdas localizadas ( expK e contK ) devem ser
multiplicados pela maior velocidade, dentre os dois dutos em que é avaliada a existência de
contração ou expansão. Na equação 42, esses termos devem estar relacionados com 2
1V e
dessa forma a velocidade maior deve relacionar-se com 1V , sendo:
2
1
1maior
menor
D
V V
D
 
  
 
(43)
3.3 – Cálculo da vazão pelos dutos de um sistema de três reservatórios
Outra configuração comum é a de sistemas com pontos de junção, como o mostrado
na figura 3.6. No caso apresentado, três dutos conectam tanques a um ponto de junção em
comum (J). Nesse tipo de problema, deseja-se determinar as vazões em cada duto,
considerando-se que o fluido escoa apenas por gravidade. Para a solução, considera-se que o
somatório das vazões no ponto J seja igual à zero, o que implica que uma ou duas das vazões
esteja saindo da junção, uma vez que deve ser satisfeita a lei da conservação da massa
(Eq.44).
1 2 3 0  Q Q Q (44)
Figura 3.6 – Sistema de três reservatórios.

31
Da aplicação da equação da energia entre as superfícies dos tanques 1, 2 e 3 e a junção
J:
22
1 1
1 ,1
2 2
J J
J p J
P VP V
z z h
g g g g 
      (45)
22
2 2
2 ,2
2 2
J J
J p J
P VP V
z z h
g g g g 
      (46)
2 2
3 3
3 ,3
2 2
J J
J p J
P V P V
z z h
g g g g 
      (47)
Considerando-se desprezíveis as velocidades das superfícies de líquido nos
reservatórios, as pressões em termos relativos e 0JV  (pelo fato de a soma das vazões na
junção ser zero) resulta nas equações 48 a 50.
,1 1
J
p J J
P
h z z
g
 
   
 
(48)
,2 2
J
p J J
P
h z z
g
 
   
 
(49)
,3 3
J
p J J
P
h z z
g
 
   
 
(50)
O termo entre parênteses representa a altura piezométrica Jh da junção, composta
pelas alturas de pressão e de posição.
Aplicando-se a equação de Darcy-Weisbach aos três dutos e substituindo as
respectivas perdas expressas anteriormente, são obtidas as equações seguintes para as
velocidades médias dos escoamentos em cada duto.
2 1 1
1
1 1
2 ( )JgD z h
V
f L

 (51)

32
2 2 2
2
2 2
2 ( )JgD z h
V
f L

 (52)
2 3 3
3
3 3
2 ( )JgD z h
V
f L

 (53)
A solução iterativa requer a convergência do parâmetro hJ. O valor inicial de hJ pode
ser a média das três cotas ou o valor intermediário das mesmas. Estabelece-se também
valores iniciais para os fatores de atrito e são resolvidas as equações das velocidades,
obtendo-se então as vazões pelos dutos pela equação 23. Se a soma das vazões na junção for
negativa, ao valor de hJ, é acrescido um fator pré-estabelecido, fixado no programa em
0,0001. Da mesma forma se a soma for negativa, é feito um decréscimo em hJ. Com as
velocidades calcula-se o número de Reynolds, novos fatores de atrito e o processo iterativo
continua até que o balanço das vazões na junção esteja de acordo com a equação 44.
3.4 – Cálculo do diâmetro (Problema de dimensionamento)
O cálculo do diâmetro de tubulações, quando dadas as especificações do sistema
também é um problema comum da análise de escoamentos em dutos. Além de outras
variáveis (L, ε), o dimensionamento do duto, é feito com a vazão e a perda de carga sendo
conhecidas. Combinando as equações de Darcy-Weisbach e a da vazão (Eq.23), obtém-se a
equação 54, que explicita o diâmetro em função dos parâmetros conhecidos e do fator de
atrito.
0,2
2
0,2
2
16
2 p
Q L
D f
g h
 
   
 
(54)
A solução é feita iterativamente a partir de um valor inicial do fator de atrito,
determinando-se o diâmetro, a rugosidade relativa, o número de Reynolds, novos fatores de
atrito e diâmetro. O processo iterativo cessa quando for atingida a tolerância pré-estabelecida
entre os fatores de atrito, tomando-se como diâmetro ideal o último calculado.

33
4. METODOLOGIA
Neste capítulo são abordados métodos empregados para o desenvolvimento do
software e apresentados elementos para o entendimento de seu funcionamento.
4.1 – Resolução da Equação de Colebrook-White
A equação de Colebrook-White, é dada implicitamente, isto é, o termo f aparece em
ambos os lados da equação e por esse motivo, é mais adequada sua solução por métodos
numéricos. Neste trabalho foi aplicado o Método de Newton Raphson, discutido a seguir.
4.1.1 – O Método de Newton Raphson para solução da Equação de Colebrook-White
O método de Newton é utilizado para encontrar sucessivamente melhores
aproximações para as raízes (ou zeros) de funções reais. O processo iterativo resume-se à
seguinte equação:
1
( )
'( )
n
n n
n
y x
x x
y x
   (55)
Da equação 55 nota-se que deve ser obtida uma função y(x) onde x é o parâmetro que
se deseja determinar. Para a equação de Colebrook-White tem-se:
1 2,51
( ) 2,0log
3,7 Re
 
    
 
D
y f
f f
(56)
Por conveniência assumiremos,
1
x
f
 ,
3,7
D
A

 e
2,51
Re
B  , resultando:
 ( ) 2,0logy x x A Bx   (57)
O termo '( )y x na equação 4.1 é a primeira derivada da função ( )y x . Da equação 57:

34
'( ) 1 2,0
( )ln10
B
y x
A Bx
 

(58)
Para se iniciar o processo iterativo do método é requerida uma estimativa inicial (x0).
Neste caso, será utilizada equação de Haaland (Eq.11), que conforme abordado é uma
equação explícita que oferece boa aproximação para o fator de atrito. Com esse valor itera-se
recursivamente, até a convergência. Especificamente nesse caso, geralmente três vezes são
suficientes (Maley, 2012). A solução é então obtida para f, pela equação 59:
2
1
n
f
x
 (59)
4.2 – Obtenção das propriedades dos fluidos como funções da temperatura
As propriedades físicas (massa específica (ρ), viscosidades absoluta (μ) e cinemática
(υ), peso específico (γ), etc), são responsáveis por distinguir analiticamente os fluidos. As
condições de escoamento (temperatura e pressão) têm influência sobre tais propriedades,
sendo a temperatura o fator que acarreta variações mais consideráveis, que modificam
diretamente a dinâmica do escoamento. Geralmente as variações devido à pressão são
negligenciadas.
Para obter um método que permitisse que as propriedades (ρ, µ e υ) de alguns fluidos
de interesse pudessem ser estimadas levando-se em consideração a variação citada, foram
obtidos dos gráficos 1 e 2 (em anexo), utilizando-se o software Plot Digitizer 2.6.6, pontos
das curvas de υ e μ para a água, óleo SAE 30, gasolina, querosene, petróleo bruto, ar e gás
carbônico, a partir dos quais foram montadas tabelas. Uma rotina que realiza interpolações
lineares nessas foi implementada, e dada a temperatura (informada pelo usuário) obtém-se os
valores das propriedades em questão. A massa específica é obtida pela relação    .
As faixas de temperatura nas quais se garante que os valores sejam obtidos com boa
precisão variam de fluido para fluido e são apresentadas na Tabela 4.1.

35
Tabela 4.1 – Faixas de validade da metodologia empregada.
Fluidos Faixa de validade (Temperaturas em °C)
Água 0 a 100
Óleo SAE 30 15 a 120
Gasolina -6 a 70
Querosene -5 a 55
Petróleo Bruto -8 a 115
Ar -18 a 116
Gás carbônico -17 a 118
4.3 – O software
O software MATLAB R2013a (8.1) foi utilizado no desenvolvimento da aplicação.
Essa ferramenta conta com o recurso de criação de interfaces gráficas, que facilita a
comunicação com o usuário, tornando prático o uso dos programas elaborados. O ambiente
de criação dessas guias consiste basicamente, de uma área onde devem ser inseridos os
componentes gráficos e uma aba com tais elementos predefinidos: botões, menus, eixos,
caixas de texto e etc. (Figura 4.1), cujas propriedades (cor, tamanho, fonte) podem ser
alteradas.
Figura 4.1 – Janela de criação de interfaces gráficas do MATLAB R2013a (8.1), com guia de mensagem de erro
criada. Elaborado pelo autor.

36
Ao ser executado o projeto de interface, dois arquivos são criados, com o mesmo
nome, mas com extensões distintas, um “.m” e outro “.fig”. O arquivo “.m” contém o código
para executar a interface (Figura 4.2) e a estrutura de chamadas de retorno (callbacks) para
cada elemento contido nela. Dentro dessas “callbacks” é escrito o código que implementa o
comportamento do programa quando elas forem acionadas.
Figura 4.2 – Arquivo .fig gerado quando executado o projeto de interface da Figura 4.1. Elaborado pelo autor.
Na tela inicial do MTMA Hydraulics Calculator 1.0, nome dado ao software
desenvolvido, o usuário tem acesso às janelas para solução dos seis tipos de problema,
clicando nos respectivos botões e posteriormente em “Avançar”. As interfaces dos programas
são mostradas no capítulo seguinte.
Figura 4.3 – Tela inicial do software. Elaborado pelo autor.

37
A estrutura (Figura 4.4) e o funcionamento do software são resumidas nos
fluxogramas apresentados a seguir.
Figura 4.4 – Estrutura do software. Elaborado pelo autor.
Para execução do programa de cálculo da perda de carga são requeridos os seguintes
parâmetros: diâmetro interno do duto (D), seu comprimento (L) e o material empregado na
sua fabricação; o fluido, sua temperatura, a vazão (Q) e a aceleração gravitacional local (g).
Caso uma bomba esteja presente, pede-se, além desses, as cotas dos pontos 1 e 2 e a diferença
de pressão entre eles. Na presença de alguma singularidade, deve-se selecioná-la e informar a
quantidade de ocorrências no sistema. São dadas como opções de cálculo do fator de atrito as
cinco equações explícitas abordadas no Capítulo 2, além da equação de Colebrook-White. A
execução ocorre mediante a escolha da equação desejada. (Ver fluxograma da Figura 4.5).
MTMA Hydraulics
Calculator 1.0
Vazão
simples
Perda de
carga
Arranjo em
paralelo
Arranjo em
série
Diâmetro
Três
reservatórios

38
Figura 4.5 – Fluxograma do programa para cálculo da perda de carga e potência de bombas. Elaborado pelo
autor.
No caso do cálculo da vazão por um sistema de duto simples, para o cálculo do fator
de atrito, também são dadas as diferentes equações como opção de cálculo do fator de atrito.
Para execução do programa é requerida a perda de carga e demais parâmetros relacionados
para o problema anterior, exceto a vazão, a ser determinada. Do mesmo modo, o software é
executado mediante a escolha da equação para o cálculo do fator de atrito. (Ver fluxograma
da Figura 4.6).
Perda de
carga
Cálculo do número de
Reynolds
Parâmetros de entrada
Q, D, L, ρ, μ, ε, g
Cálculo da velocidade
média
Há alguma
singularidade?
Cálculo do f pela equação
escolhida
Cálculo da perda
distribuída
Verifica quais e o número
de ocorrência
Cálculo dos K’s e
somatório desses
Cálculo da perda
localizada
Há bomba no
sistema?
Q, D, L, ρ, μ, ε, g, Δp, z1, z2
Cálculo da perda total
hp,total = hp,dist + hp,loc
Há bomba no
sistema?
Fim
Cálculo da altura da
bomba
Cálculo da potência da
bomba
Sim Não
S
i
m
Não
Não
Sim

39
Figura 4.6 – Fluxograma do programa para cálculo da vazão por duto simples. Elaborado pelo autor.
No programa para o cálculo das vazões por arranjos de três dutos em paralelo, é
utilizada apenas a equação de Colebrook-White. Para sua execução requer-se o fornecimento
da perda de carga total e demais parâmetros relacionados nos casos anteriores, porém para
cada um dos dutos. A rotina é executada mediante clique no botão “Calcular”. (Ver
fluxograma da Figura 4.7).
Vazão
Simples
média
hp, D, L, ρ, μ, ε, g
Chute inicial do fator de
atrito f
Verificação
da
convergência
do f
Vazão
(Q = VA)
Cálculo do número de
Reynolds
Cálculo do novo f pela
equação escolhida
Fim
N
ã
o
S
i
m

40
Figura 4.7 – Fluxograma do programa para cálculo das vazões por três dutos em paralelo. Elaborado pelo autor.
A equação de Colebrook-White é a utilizada também no programa para cálculo da
vazão por sistemas com três dutos em série. A rotina é executada mediante clique no botão
“Calcular” e requer-se o fornecimento das propriedades dos dutos, o fluido e sua temperatura,
as diferenças de pressão e de cotas entre a entrada e a saída do sistema (Δp e Δz), e a
aceleração gravitacional local. (Ver fluxograma da Figura 4.8).
Arranjo
Paralelo
Cálculo das velocidades
V1, V2, V3
hp, D’s, L’s, ρ, μ, ε, g
Chute inicial dos fatores
de atrito f1, f2, f3
Cálculo dos novos f’s por
Colebrook-White
Verificação
da
convergência
dos f’s
Cálculo dos números de
Reynolds
Vazões (Q1, Q2, Q3) e vazão
total (Q = Q1+Q2+ Q3)
Fim
N
ã
o
S
i
m

41
Figura 4.8 – Fluxograma do programa para cálculo da vazão por três dutos em série. Elaborado pelo autor.
Para execução do programa do cálculo do diâmetro ideal, a perda de carga, a vazão de
projeto, comprimento do duto e o material do qual esse é feito, o fluido e a aceleração
gravitacional local são requeridos. Assim como nos casos da Vazão Simples e Perda de carga,
as seis equações são dadas como opção para o cálculo do fator de atrito e o software é
executado mediante escolha de uma delas. (Ver fluxograma da Figura 4.9).
Arranjo
Série
Relação entre velocidades
V1D1² = V1D2² = V1D3²
Parâmetros de entrada:
D’s, L’s, ρ, μ, ε, Δp, Δz, g
Avaliação
(Expansão / Contração)
Termos em função de V1 e
termo independente
Verificação
da
convergência
dos f’s
Chute dos fatores de
atrito f1, f2 e f3
Vazão
(Q = VA)
Solução do polinômio do
2° grau
Tomada da raiz positiva
V2 e V3
Cálculo dos Números de
Reynolds
Colebrook-White
N
ã
o
Sim
Fim

42
Figura 4.9 – Fluxograma do programa para cálculo do diâmetro ideal de dutos simples. Elaborado pelo autor.
Para execução do programa para cálculo das vazões por sistemas de três reservatórios
requer-se o fornecimento dos diâmetros, comprimentos e materiais dos dutos; o fluido e sua
temperatura; as cotas dos três tanques e a aceleração gravitacional local. A rotina é executada
mediante clique no botão “Calcular”. A equação de Colebrook-White é a utilizada para o
cálculo do fator de atrito. (Ver fluxograma da Figura 4.10).
Diâmetro
Cálculo do diâmetro
hp, Q, L, ρ, μ, ε, g
Chute inicial do fator de
atrito f
Verificação
da
convergência
do f
Diâmetro ideal
média
Cálculo da rugosidade
relativa
Fim
N
ã
o
S
i
m
Cálculo do novo f pela
equação escolhida
Cálculo do Número de
Reynolds

43
Três
reservatórios
Chute dos fatores de
atrito f1, f2 e f3
Parâmetros de entrada:
D’s, L’s, ρ, μ, ε, z1, z2, z3, g
Cálculo hj
Verificação do sentido dos
escoamentos
Soma é
maior que
zero?
Vazões
V1, V2 e V3
Cálculo das vazões Q1, Q2
e Q3
hj = hj + 0,0001
Reynolds
Colebrook-White
escoamentos
Soma é
maior que
zero?
Não
S
i
m
S
i
m
N
ã
o
Soma das vazões
V1, V2 e V3
e Q3
Soma das vazões
hj = hj - 0,0001
Reynolds
Colebrook-White
escoamentos
Soma é
maior que
zero?
V1, V2 e V3
e Q3
Soma das vazões
Não
Fim
S
i
m
Figura 4.10 – Fluxograma do programa para cálculo das vazões pelos dutos de um sistema de três reservatórios.
Elaborado pelo autor.
Com todos os programas finalizados, foi criado um arquivo executável do ‘programa
chefe’, MTMA Hydraulics Calculator 1.0. A execução pode ser feita em computadores com o
MATLAB R2013a (8.1) e o compilador (MCR) dessa versão instalados.

44
5. APLICAÇÕES
5.1 – Exemplos práticos para aplicação do software
Neste capítulo são apresentados exemplos de problemas práticos, cuja solução pode
ser realizada utilizando-se o software desenvolvido. Para avaliação da autenticidade dos
métodos aplicados é feita uma comparação entre os resultados dados pelo software e os das
soluções apresentadas pelo autor dos problemas.
Exemplo 1
Água à 20°C é bombeada entre dois reservatórios (Figura 5.1) a uma vazão de 0,00566 m³/s,
por um sistema que consiste em um duto de ferro fundido centrifugado, com 122 m de
comprimento e diâmetro de 50,8 mm, com todas as singularidades mostradas na figura
seguinte. As cotas dos tanques z1 e z2 são respectivamente, 6 m e 36 m. Determinar a perda
de carga e a potência que deve ser entregue ao fluido pela bomba. (White, 2002, p. 374.
Adaptado.)
Figura 5.1 – Esquema do problema.
Fonte: White, 2002, p. 374. Adaptado.
Exemplo 2
Por um duto de ferro fundido novo, de 5 cm de diâmetro e 1200 m de comprimento, escoam
0,005 m³/s de água à 20°C. Dois cotovelos de 45° graus e quatro de 90° de raio longo, uma
válvula globo aberta e uma saída de duto em canto vivo compõem o sistema. Determine a
perda de carga total. (White, 2002, p. 413. Adaptado).

45
Exemplo 3
Água à 20°C escoa por um sistema de três dutos em paralelo. Determine as vazões em cada
duto e a vazão total, sabendo que a perda de carga de A a B é de 20,3 m e que os dutos têm as
propriedades apresentadas na tabela a seguir. (White, 2002, p. 378. Adaptado).
Duto Comprimento (L, m) Diâmetro (D, mm) Material
1 100 80 Ferro fundido novo
2 150 60 Aço galvanizado
3 80 40 Aço soldado usado
Exemplo 4
Água à 20°C escoa por um sistema de três dutos em série. Manômetros indicam P1 = 350 kPa
e P2 = 200 kPa, respectivamente, as pressões na entrada e saída. A diferença de cotas (z1-z2)
entre A e B é de 5 m. Assumindo os dutos com as mesmas propriedades do exemplo anterior,
determine a vazão pelo arranjo em m³/h. (White, 2002, p. 376. Adaptado).
Exemplo 5
Considere um sistema de três reservatórios com os seguintes dados:
L1 = 95 m L2 = 125 m L3 = 160 m
Z1 = 25 m Z2 = 115 m Z3 = 85 m
D1 = 28 cm D2 = 28 cm D3 = 28 cm
Determine as vazões e o sentido do escoamento em cada duto se água a 20°C escoa pelo
sistema e todos os dutos são de ferro fundido oxidado. (White, 2002, p. 415. Adaptado).
Exemplo 6
Dois reservatórios contém água à 22°C e são conectados por um duto de 4500 m de
comprimento, diâmetro de 40 mm, de cobre. Determine a vazão para uma diferença de cota
entre as superfícies dos tanques z = 100 m. (White, 2002, p. 409. Adaptado).
Exemplo 7
Para o sistema da figura 5.8, tomando z = 80 m, L = 185 m e que o duto é de ferro fundido
novo, qual é o diâmetro ideal para que água a 25 °C escoe a uma vazão de 0,0019 m³/s?
(White, 2002, p. 412. Adaptado).

46
5.2 – Resultados e Discussão
A perda de carga estimada pelo programa para o Exemplo 1 foi de 24,49 m (Figura
5.2) e a solução do autor indica uma perda total 25,60 m. Essa diferença é justificada
principalmente pelo método de cálculo do fator de atrito e valores dos coeficientes das perdas
localizadas. O autor utiliza o Diagrama de Moody, estimando um valor de f = 0,0216. Pelo
cálculo do programa (pela Equação de Colebrook-White) f = 0,0214986, um valor menor
que de acordo com a equação de Darcy-Weisbach (Eq.2.1) exprime uma perda mais baixa.
Nas equações 3.3 e 3.5 nota-se que menores perdas, resultam em menores potências
requeridas à bomba. Essa observação justifica a diferença entre as potências obtidas pelo
programa (3018,29 W) e pelo autor (3089,1 W).
Figura 5.2 – Interface gráfica do programa para cálculo da perda de carga e potência hidráulica sob as condições
do Exemplo 1. Elaborado pelo autor.
Para o Exemplo 2 foi estimada pelo programa uma perda de 282,574 m (Figura 5.3) e
a solução do autor indica uma perda total de 253 m. Considerando-se que pelo programa é
adotada  = 0,37 mm e o autor toma  = 0,26 mm, essa diferença se justifica, uma vez que o
aumento da rugosidade implica num maior fator de atrito ( autorf = 0,0315, programaf = 0,03490)
e consequentemente da perda. Assumindo  = 0,26 mm, para o cálculo com o programa

47
(apenas para efeito de comparação, tal rugosidade não é adotada para nenhum dos materiais)
é apresentada uma perda de 254,76 m, bem próxima da calculada pelo autor.
Figura 5.3 – Interface gráfica do programa para cálculo da perda de carga sob as condições do Exemplo 2.
Pelo programa foi estimada para o Exemplo 3, uma vazão total de 95,97 m³/h, a soma
de Q1 = 58,956 m³/h, Q2 = 25,295 m³/h e Q3 = 11,73 m³/h, vazões individuais pelos dutos 1, 2
e 3 (Figura 5.4). A vazão de 99,8 m³/h obtida pelo autor, resultado da soma de Q1 = 62,5
m³/h, Q2 = 25,9 m³/h e Q3 = 11,4 m³/h condiz com a calculada pelo software. O desvio
observado, assim como no Exemplo 2, também se justifica principalmente pela diferença
entre as rugosidades adotadas. Considerando-se que no programa são admitidas 1 = 0,37
mm, 2 = 0,15 mm e 3 = 0,17 mm e que o autor toma 1 = 0,24 mm, 2 = 0,12 mm e 3 =
0,20 mm, observa-se que o aumento da rugosidade acarreta a diminuição da vazão. Isso se
justifica pela consequente elevação dos fatores de atrito, que de acordo com as equações 3.14,
3.15 e 3.16 promove a redução das velocidades médias de escoamento e por consequência,
das vazões.
Assumindo as rugosidades adotadas pelo autor para o cálculo utilizando o programa,
obtém-se Q1 = 62,612 m³/h, Q2 = 25,975 m³/h e Q3 = 11,4676 m³/h, que resultam em uma
vazão total de 100,055 m³/h, aproximadamente igual à calculada pelo autor.

48
Figura 5.4 – Interface gráfica do programa para cálculo das vazões por três dutos em paralelo, sob as condições
do Exemplo 3. Elaborado pelo autor.
Para o arranjo em série, proposto no Exemplo 4, foi computada pelo programa a vazão
de 10,2752 m³/h, enquanto que de acordo com a solução do autor 10,22 m³/h escoam pelo
sistema.
Da solução de polinômios da forma 2
ax + c = 0, como o resolvido para o cálculo da
velocidade V1 (Eq. 3.26), o aumento do termo a resulta em valores menores das raízes. Por
outro lado, a diminuição de a, eleva os valores da raízes, o que no caso em análise aumenta a
velocidade V1.
O fator de maior contribuição para o aumento ou decréscimo do termo a na equação
3.26, quando se varia a rugosidade, é o terceiro (que acompanha f3). Isso pelo fato de a
relação D3/D1 ser a maior. O fator de atrito f3 estimado pelo autor é 0,0314 e pelo software f3 =
0,030090. Portanto, 0,0314 (D3/D1)4
é maior que 0,030090 (D3/D1)4
o que resulta em um
menor valor de a no software e por consequência maior velocidade e vazão.
Outro fator relevante é a desconsideração do efeito da energia cinética na perda de
carga (Eq.3.19), feita pelo autor. Com essa, o terceiro termo que divide ‘2g’ na equação 3.26
desaparece, contribuindo para o aumento da velocidade encontrada e consequentemente da

49
vazão. Embora menor, esse também é o efeito da desconsideração das perdas localizadas,
(devido às duas contrações). Pelo software os dois efeitos são considerados.
Assumindo as rugosidades adotadas pelo autor para o cálculo utilizando o programa e
fazendo as mesmas desconsiderações obtém-se Q = 10,2308 m³/h e a pequena diferença se
justifica pelo método de cálculo do fator de atrito, número de iterações e propriedades do
fluido.
Figura 5.5 – Interface gráfica do programa para cálculo das vazões por três dutos em série sob as condições do
Exemplo 4. Elaborado pelo autor.
Pelo software são calculadas as seguintes vazões pelos dutos 1, 2 e 3 para a situação
proposta no Exemplo 5: Q1 = -0,629975 m³/s, Q2 = 0,456683 m³/s e Q3= 0,173291 m³/s
(Figura 5.6). Da solução do autor: Q1 = -0,65 m³/s, Q2 = 0,47 m³/s e Q3= 0,18 m³/s. Mais uma
vez a diferença entre as rugosidades adotadas no programa ( = 1,25 mm) e pelo autor ( =
1,0 mm) é o fator preponderante para os desvios observados.
Conforme abordado, maiores rugosidades implicam em maiores fatores de atrito. De
acordo com as equações 3.35, 3.36 e 3.37, quanto maiores os fatores de atrito, menores as
velocidades de escoamento, o que em concordância com a equação da vazão resulta em

50
vazões mais baixas, como pode ser observado nos resultados apresentados para o problema
em questão.
Para efeito de comparação admitiu-se  = 1 mm para o cálculo com o programa,
tendo sido obtidas as seguintes vazões: Q1 = -0,650786 m³/s, Q2 = 0,471782 m³/s e Q3=
0,179003 m³/s, cujo arredondamento resulta nas encontradas pelo autor.
Na interface (Figura 5.6) são mostrados os sentidos dos escoamentos em cada duto. Se
a altura piezométrica da junção (hJ) for maior que a cota do tanque, o fluido escoa de J para o
reservatório, o que é indicado pelo sinal negativo que assumem as vazões com esse sentido.
Do contrário os escoamentos vão dos reservatórios para a junção.
Figura 5.6 – Interface gráfica do programa dos para cálculo das vazões por um sistema de três reservatórios sob
as condições do Exemplo 5. Elaborado pelo autor.
Pelo programa é computada uma vazão de 3,974 m³/h para o problema do Exemplo 6
(Figura 5.7). Pela solução do autor 4,0 m³/h escoam pela tubulação, tendo sido feita a
consideração de que se trata de um duto liso (com rugosidade desprezível). Para solução
utilizando o software, assumiu-se que o duto fosse feito de Cobre, com rugosidade  =
0,0015 mm. Essa diferença é o que justifica o desvio observado entre os resultados. O maior
fator de atrito, em decorrência da maior rugosidade, ocasiona a diminuição da velocidade do
escoamento, segundo a equação 3.6, resultando em uma menor vazão.

51
Figura 5.7 – Interface gráfica do programa para cálculo da vazão por um duto simples sob as condições do
Exemplo 6. Elaborado pelo autor.
O diâmetro estimado pelo programa para o problema do Exemplo 7 foi de 30,91 mm
(Figura 5.8). Pelo autor é encontrado um valor de 30,5 mm. Em ambos os casos deveria ser
adotado o diâmetro comercial imediatamente superior, de 50 mm, porém a vazão seria maior
que a de projeto. Nesse caso, a solução mais econômica seria fazer uma associação em série,
dos dutos de diâmetro comercial imediatamente superior e inferior, de forma que o conduto
misto seja equivalente ao projetado. A determinação dos comprimentos dos dois dutos não é
abordada aqui.

52
Figura 5.8 – Interface gráfica do programa para cálculo do diâmetro ideal sob as condições do Exemplo 7.
Os resultados obtidos são coerentes e as diferenças observadas justificam-se
principalmente pela adoção de valores distintos de rugosidades, que implicam em valores
maiores ou menores do fator de atrito. O autor dos problemas assume valores médios para
todos os parâmetros envolvidos (ρ, μ e K’s), enquanto que pelo software, os dois primeiros
são estimados em função da temperatura e o último do diâmetro. A determinação do fator de
atrito nos problemas resolvidos pelo programa é feita utilizando-se a equação de Colebrook-
White, sendo que, nos problemas que exigem processo iterativo, o f é tomado após sua
convergência. O autor por sua vez utiliza o Diagrama de Moody e nos processos iterativos
itera apenas duas vezes, assumindo dessa forma valores menos precisos do fator de atrito.
Todos esses fatores, que embora promovam variações menos expressivas, contribuem para as
diferenças verificadas. Pode-se dizer que os resultados apresentados neste trabalho são mais
confiáveis, tendendo a se aproximar mais das condições reais de escoamento.

53
6. CONCLUSÕES
Com base nos resultados obtidos pode-se concluir que o software desenvolvido
fornece resultados confiáveis para todos os tipos de problema propostos. As variações
observadas entre os resultados do autor e os obtidos pelo software justificam-se
especialmente pelos diferentes valores de rugosidade adotados. Os outros fatores
(propriedades dos fluidos, coeficientes de perda, método de cálculo do fator de atrito, número
de iterações) ocasionam alterações menores, que podem até mesmo ser negligenciadas em
situações que não requeiram grande precisão e consonância com as condições reais de
escoamento. Sobretudo, é recomendável a utilização da metodologia aplicada.
O desenvolvimento desse trabalho proporcionou um grande crescimento no que tange
à utilização da ferramenta MATLAB, consolidando conhecimentos principalmente para
desenvolvimento de interfaces gráficas, funções e estruturas de repetição.
O software pode ser executado em computadores com o MATLAB R2013a (8.1) e o
compilador (MCR) dessa versão instalados podendo ser utilizado por usuários que disponham
de tal ferramenta. De modo geral, os objetivos do trabalho foram alcançados.
A ampliação do software para aplicação a outros tipos de problema, bem como a
implementação de recursos que ofereçam uma maior autonomia ao usuário são objetivos para
trabalhos futuros. Pretende-se desenvolver programas aplicáveis a redes de dutos mais
complexas, problemas com associação de bombas em série e paralelo e nesses casos, com
variação do diâmetro, uma vez que geralmente o diâmetro de saída das bombas é menor que
o de entrada. Além disso, oferecer outros fluidos como opção (classes de petróleo, óleos,
etanol) e inserir as possibilidades de o usuário informar as propriedades de seu fluido de
trabalho, alterar e acrescer novas rugosidades e coeficientes de perda localizada.

54
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. AZEVEDO NETTO, J. M. Manual de Hidráulica, 8ª Edição, Editora Edgard
Blucher Ltda, São Paulo, 1998;
2. CAMARGO, L. A. Equações Explícitas para o Fator de Atrito de Darcy-Weisbach,
2001.
3. CHEN N.H. (1979). An explicit equation for friction factor in pipe. Industrial and
Engineering Chemistry Fundamentals, v. 18, 3rd
Edition, p. 296-297.
4. ELL, S. M.; TRABACHINI, A. Perda de carga em condutos forçados. Revista
Científica da Faculdade de Tecnologia da Tatuí. Vol.1, N°1, p. 1-7.
5. HAALAND, S.E. (1983). Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in
Turbulent Flow. Journal of Fluids Engineering, v. 103, n. 5, p. 89-90.
6. LEAL, A. B. Estudo do escoamento de fluidos não-Newtonianos em dutos.
Seropédica: UFRRJ, 2005. 101p. Dissertação, Mestrado em Engenharia Química.
7. MALEY, M. R. Moody Chart Calculator. Disponível em:
<http://advdelphisys.com/michael_maley/Moody_chart/learn_more.html>. Acesso em
05 de maio de 2015.
8. MUNSON, B.R.; YOUNG, D.F.; OKIISHI, T.H. Fundamentos da Mecânica dos
Fluidos. Editora Edgard Blucher Ltda. Tradução da 4ª edição americana, São Paulo,
2002.
9. QUINTELA, A.C. Hidráulica. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1981.
10. RESENDE, M. F. de. A variação das características Hidráulicas em condutos
forçados devido à infestação pelo limnoperna fortunei. Dissertação – Universidade
Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte 2007. Disponível em:
<http://www.smarh.eng.ufmg.br/defesas/273M.PDF >. Acesso em: 08 de maio de
2015.
11. SÁ MARQUES, J. A. A., SOUSA, J. J. Fórmula de colebrook-white: velha mas
actual. Soluções explícitas. 3.º Simpósio de Hidráulica e Recursos Hídricos dos Países
de Língua Oficial Portuguesa, Maputo, 1996, apud CAMARGO, L. A. Equações
explícitas para o fator de atrito de Darcy-Weisbach, 2001.
12. WHITE, F. M. Fluid Mechanics, 4th
Edition, Rhode Island, 2002.

55
8. ANEXOS
Anexo 1 – Viscosidade cinemática (υ) de fluidos comuns em função da temperatura à 1 atm.

56
Anexo 2 – Viscosidade absoluta (μ) de fluidos comuns em função da temperatura à 1 atm.

57
9. AUTORIZAÇÃO
Autorizo a reprodução e/ou divulgação total ou parcial do presente trabalho, por
qualquer meio convencional ou eletrônico, desde que citada a fonte.
________________________________________________
marcotuliosilveira@hotmail.com
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri

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