Comparação entre métodos de predição de séries temporais

1. Identifica¸c˜ao do comportamento dinˆamico de
a¸c˜oes utilizando modelos no espa¸co de estados:
Um estudo de caso
C´esar Dalto´e Berci, Nilmaer Souza Silva
Resumo Resumo Resumo
Palavras-chave. Predi¸c˜ao, Sistemas Dinˆamicos
1 Introdu¸c˜ao
Compara¸c˜ao entre m´etodos de predi¸c˜ao de s´eries temporais
2 S´erie temporal
Ser´a utilizado nesta analise a s´erie temporal composta pelo pre¸co de
fechamento do papel CMIG4 negociado no BOVESPA, considerando os
preg˜oes di´arios ocorridos entre 16/03/2015 e 15/03/2017, totalizando 497
amostras das quais 50 ser˜ao reservadas para valida¸c˜ao dos modelos. O
gr´afico da 1 ilustra a s´erie temporal, diferenciando os conjuntos de dados
de identifica¸c˜ao yid e de valida¸c˜ao yvl.
3 Tendˆencias e An´alise T´ecnica
A an´alise do mercado de a¸c˜oes ´e comumente dividida em duas verten-
tes, a an´alise t´ecnica e a fundamentalista [5]. O modelo fundamentalista
se baseia na an´alise tanto dos dados econˆomicos publicos das empresas
quanto na observa¸c˜ao de seu desempenho e na vis˜ao do mercado.
A an´alise t´ecnica [3] [4] no entanto, se baseia principalmente na m´axima:
”The averages discount everything”’ [3], ou seja, o mercado desconta tudo.
Essa m´axima foi introduzida no inicio do s´eculo passado por William Ha-
milton, editor do Wall Street Journal.
Segundo Hamilton, os pre¸cos de um papel refletem todo o conheci-
mento acerca da economia, politica e do mercado de capitais. Essa pre-
missa permite supor que, dado o pre¸co atual e o pre¸co passado de uma
a¸c˜ao ´e poss´ıvel inferir o seu pre¸co futuro, ou sua tendˆencia.
Uma tendˆencia de alta ´e identificada quando picos e vales consecutivos
nos pre¸cos da a¸c˜ao formam um padr˜ao ascendente, sendo uma tendˆencia

2. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
2
4
6
8
10
12
14
16
CMIG4: Pre¸co de Fechamento
Fechamento[R$]
Tempo [dias]
yid
yvl
Figura 1. S´erie temporal financeira
de baixa o caso oposto [4]. Pode-se tamb´em possuir uma tendˆencia inde-
finida ou lateral, quando n˜ao h´a um movimento claro nos picos e vales
consecutivos.
Utilizando a an´alise das tendˆencias, unida a m´axima de Hamilton,
muitos investidores definem seus investimentos com base nas tendˆencias
dos pre¸cos.
Uma alternativa `a essa an´alise ´e considerar o comportamento dinˆamico
do mercado [1] (mais cita¸c˜oes!!!). Essa dinˆamica reflete o comportamento
tanto em tendˆencia quanto ciclico dos pre¸cos.
Essa afirma¸c˜ao ´e baseada na an´alise da forma¸c˜ao das linhas de su-
porte e resistˆencias [4], que s˜ao limites onde as for¸cas compradoras e
vendedoras encontram trincheiras, zonas de pre¸co que estabelecem limi-
tes naturais a varia¸c˜ao das cota¸c˜oes. Tra¸cando um an´alogo, sup˜oe-se aqui
que, a dinˆamica do sistema financeiro cria os pre¸cos a partir do estado do
sistema e esse estado, por sua vˆez armazena certa energia em virtude de
sua condi¸c˜ao atual.
Tomemos como exemplo um sistema massa-mola simples, nele o es-
tado pode ser descrito a partir de duas vari´aves e a sa´ıda como sendo a
posi¸c˜ao atual do sistema. Essa posi¸c˜ao depende do estado, ou ainda, es-
tado interno, que carrega a informa¸c˜ao a respeito de quanta energia est´a
armazenada na mola e quanta energia est´a armazenada na forma cin´etica.

3. A partir dessa informa¸c˜ao ´e poss´ıvel conhecer a exata posi¸c˜ao do sistema,
bem como seu passado e futuro.
A aplica¸c˜ao do mesmo raciocinio a sistemas financeiros leva a con-
cep¸c˜ao de sistemas dinˆamicos com os quais ´e poss´ıvel inferir o futuro do
sistema real atrav´es de simula¸c˜ao computacional da seguinte forma:
DADOS => MODELO => SIMULAC¸ ˜AO => PREVIS˜AO
Os dados utilizados neste documento s˜ao aqueles apresentados na Fi-
gura 1, esses dados est˜ao divididos em conjunto de identifica¸c˜ao, que ser´a
utilizado para defini¸c˜ao do modelo e valida¸c˜ao, utilizado para compara¸c˜ao
dos resultados.
4 Modelagem de s´eries financeiras
4.1 Crit´erio de avalia¸c˜ao do modelo
Ser´a utilizado como crit´erio para avaliar a adequa¸c˜ao do modelo o
valor de fitness calculado a partir do modelo NRMSE [2], utilizando a
seguinte equa¸c˜ao:
fit = 100 1 −
y − ˆy
y − mean(y)
(1)
5 Sistemas Dinˆamicos
O sistema ser´a modelado atrav´es de um sistema no espa¸co de estados
na forma: observability canonical form. Foi utilizado o algoritimo apre-
sentado em [6], Anexo 4, para ajustar os dados ao seguinte modelo:
x(t + 1) = Ax(t) + Ke(t) (2)
y(t) = Cx(t) + e(t) (3)
onde: n ´e a ordem do sistema, x ´e o estado do sistema, A ∈ Rn×n ´e
uma matriz canˆonica de ordem n, C ∈ Rn ´e um vetor linha tal que Ci = 0
quando i = 1 e C1 = 1. K ∈ Rn ´e um vetor coluna e e(t) ´e um sinal de
ru´ıdo tal que µ(e) = 0 e σ(e) = s.
Para o exemplo proposto o valor arbitrado o valor de n = 16.
A figura 2 mostra o resultado obtido para a predi¸c˜ao de 1 per´ıodo
utilizando o sistema dinˆamico para os dados de valida¸c˜ao do modelo.
Utilizando o crit´erio NRMSE de avalia¸c˜ao para definir a adequa¸c˜ao
desse modelo obt´em-se o valor: 79, 64%.

4. 455 460 465 470 475 480 485 490 495
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
y1
CMIG4: Pre¸co de Fechamento
Fechamento[R$]
Tempo [dias]
ˆy
y
Figura 2. Estima¸c˜ao futura de um passo a frente usando modelo dinˆamico, conjunto
de valida¸c˜ao
6 Estimador de tendencia
Tomando como base o comportamento dinˆamico do modelo, o esti-
mador de tendˆencia proposto utiliza a resposta futura da simula¸c˜ao para
criar uma expectativa para os valores. Essa expectativa vai ent˜ao se fun-
damentar no desenvolvimento do estado para o tempo t+n ap´os o sistema
passar pela trajet´oria real at´e o tempo t.
Complementarmente ´e calculada a for¸ca dessa expectativa, ou for¸ca
do indicador, com base na trajet´oria futura, privilegiando trajet´orias pu-
ramente ascendentes ou descentes com rela¸c˜ao `aquelas que oscilam.
A equa¸c˜ao 3 mostra o c´alculo do indicador proposto:
In
d (t) = ˆy(t + n) (4)
onde: ˆy(t + n) ´e a sa´ıda do sistema dinˆamico simulada no tempo t
n-passos a frente.
A for¸ca do indicador ´e calculada utilizando a equa¸c˜ao 5:
Fn(t) =
ˆy(t + n) − ˆy(t)
max(ˆy(t), ..., ˆy(t + n)) − min(ˆy(t), ..., ˆy(t + n))
(5)
Na Figura 3 s˜ao mostrados o indicador proposto Id
5 e a for¸ca desse
indicador F5, juntamente com a s´erie temporal completa (identifica¸c˜ao e

5. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
CMIG4: Tendˆencia
For¸ca[%]/Amplitude[R$]
Tempo [dias]
y
Id
5
F5
Figura 3. Indicador de tendˆencia dos pre¸cos
valida¸c˜ao) y. No gr´afico, quando a linha y esta acima da linha Id
5 , confir-
mada por uma for¸ca pr´oxima a −1, tem-se uma indica¸c˜ao de tendencia
de baixa nos valores, pois, a dinˆamica do sistema leva a valores menores
que os praticados, indicando uma sobrecompra do papel e aumento des-
proporcional nos pre¸cos. Por outro lado, quando a linha de pre¸cos y est´a
abaixo da linha Id
5 , confirmada por uma for¸ca pr´oxima a +1, h´a uma in-
dica¸c˜ao de tendencial altista do papel, pois, a dinˆamica do sistema prevˆe
valores maiores do que os praticados, indicando uma sobrevenda do papel
e queda desproporcional dos pre¸cos.
Analisando o gr´afico podemos confirmar esse comportamento em v´arios
pontos:
– Entre os dias 153 e 158 os pre¸cos se mant´em abaixo do indicador
com for¸ca igual a −1, indicando uma tendˆencia de recupera¸c˜ao que se
concretiza no dia 159;
– No dia 202, apesar da a¸c˜ao estar clara tendˆencia de baixa, o indicador
aponta uma tendˆencia de alta, realizada no dia seguinte;
– J´a para o conjunto de valida¸c˜ao, indicador aponta uma tendˆencia
altista durante os dias 446 e 474, per´ıodo no qual o papel apresentou
uma grande valoriza¸c˜ao;
– Posteriormente, a cota¸c˜ao continuou subindo, por´em, o indicador per-
deu for¸ca, indicando movimento do mercado contr´ario a dinˆamica do

6. sistema, gerando uma instabilidade na cota¸c˜ao. Essa instabilidade se
confirmou nos pr´oximos preg˜oes com a sucessiva desvaloriza¸c˜ao do
papel que retornou a patamar de R$7, 10 no dia 22/05/2017. Dife-
rentemente de outros pontos onde a for¸ca oscilou indicando latera-
liza¸c˜ao da tendˆencia, nesse caso o mercado contrariou o comporta-
mento dinˆamico, gerando instabilidade nos pre¸cos.
7 Analise de investimentos
Diferentemente da an´alise de tendˆencia, a analise de investimento visa
encontrar os pontos ´otimos de entrada e sa´ıda de uma a¸c˜ao, ou seja,
quando comprar ou vender um determinado papel visando lucro com a
sua valoriza¸c˜ao [5].
Resumidamente, o indicador propostos pode ser utilizado para analise,
pois, fornece expectativas para as cota¸c˜oes. O m´etodo utilizado para tanto
foi o seguinte:
Gatilhos de compra:
– Fechamento 1, 5% abaixo do valor da linha do indicador;
– For¸ca do indicador maior que 0, 5.
Gatilhos de venda:
– Fechamento 1, 5% acima do valor da linha do indicador;
– For¸ca do indicador menor que 0, 5.
Os resultados obtidos da utiliza¸c˜ao desses gatilhos1 est˜ao resumidos
na tabela 1.
Entrada Dia Sa´ıda Dia Resultado Tempo
R$ 6,18 261 R$ 7,10 265 14,9% 4
R$ 5,14 308 R$ 6,18 316 20,2% 4
R$ 7,02 325 R$ 9,14 347 30,2% 22
R$ 7,60 413 R$ 7,83 419 3,0% 6
R$ 7,45 451 R$ 9,04 476 21,3% 25
Tabela 1. Resultados Financeiros
De maneira geral, obteve-se um retorno financeiro de 85, 6% em 66
dias, implicando em um rendimento m´edio di´ario de 1, 30%
1
Os limites de Stop n˜ao ser˜ao discutidos nesse documento

7. 8 Conclus˜oes
O estimador proposto utiliza-se do comportamento dinˆamico das cota¸c˜oes
para realizar previs˜oes de tendˆencia, sendo esse tipo de comportamento o
mais esperado para os sistemas financeiros, de tal sorte que, estima-se que
esse tipo de modelo n˜ao se adeque apenas de forma num´erica aos dados
e sim, de forma intr´ınseca ao comportamento n˜ao observ´avel do mercado
financeiro.
Nesse trabalho foi utilizado um modelo dinˆamico linear, com o qual
foram obtidos resultados consistentes na an´alise da s´erie temporal em
estudo. Sabe-se por´em, que o comportamento, n˜ao linear, estoc´astico e
ca´otico dos sistemas financeiros possuem componentes significativos que
ainda n˜ao foram modelados. Assim, um poss´ıvel desdobramento deste
estudo ser´a a utiliza¸c˜ao de outros modelos dinˆamicos que incorporem as
caracter´ısticas supra-citadas.
Por fim, foi realizada aqui uma an´alise puramente t´ecnica da s´erie
temporal, sem levar em considera¸c˜ao fatores pol´ıticos e econˆomicos que
exercem influˆencia sobre os pre¸cos, ainda assim, obtendo resultados co-
erentes da an´alise, confirmando a hip´otese de William Hamilton: ”The
averages discount everything”’.
Referˆencias
1. M. Aoki. State Space Modeling of Time Series. Springer-Verlag, 1987.
2. Georgios Miaoulis Dimitri Plemenos. Intelligent Computer Graphics 2010, page 153.
Springer, 2010.
3. Alexander Elder. Trading for a Living; Psychology, Trading Tactics, Money Mana-
gement. 1993.
4. Julie R. Kirkpatrick, Charles D.; Dahlquist. Technical Analysis: The Complete
Resource for Financial Market Technicians. 2006.
5. V.J. Lameira. Neg´ocios em Bolsas de Valores. 1990.
6. L. Ljung. System Identification: Theory for the User. Prentice Hall, 2nd Ed., 1999.