Guia de Topografia e Geologia de Campo

Departamento de Ciências da Terra
Topografia e Geologia de Campo
1ª parte: Topografia
Licenciatura em Engenharia Geológica
Carlos Galhano, acag@fct.unl.pt
1

Representação da Terra:
É a forma da Terra por acção da
gravidade e da força centrífuga
provocada pela rotação sobre o
seu eixo, submetendo-a a
efeitos de achatamento polar e
protuberância equatorial.
Forma de esfera, mas não é
totalmente redonda (raios
polar e equatorial são
diferentes) e é representada
por uma elipse que
revoluciona sobre os seus
eixos; usado para cálculos
precisos de distâncias longas
- receptores de GPS
Representação tridimensional da
Terra, também conhecido como o
globo terrestre, onde se observam
definidos os paralelos e
meridianos.
Geóide Elipsóide Esfera terrestre
2

Geodesia
• Definida como a ciência da determinação do
tamanho, da forma e do campo gravítico da
Terra.
• Conhecendo o tamanho e o formato da Terra,
consegue-se determinar onde se está na Terra =
georreferenciação
• Snell (séc. 17) utilizou a triangulação
para avaliar o raio da Terra…
• Mede-se V, a e b
• Aplica-se a lei dos senos…
• Determina-se A e B; passa-se ao triangulo seguinte,
etc…

sina
A

sin b
B

sin
V
V = Linha de base
a
b
A
B 
Linha de base
3

Geodesia
• Objectivo principal da Geodesia é a
construção de redes geodésicas: conjunto
de pontos distribuídos de forma
homogénea num determinado território:
• os pontos formam uma malha
triangular
• as posições relativas e as coordenadas
geográficas são conhecidas com
exatidão
4

5

6

Cartografia
• Elaboração de mapas, ou cartografia, tem beneficiado muito com
os avanços tecnológicos que ocorreram após a II Guerra Mundial.
• Alguns dos avanços mais importantes foram o uso da fotografia
aérea e sensores remotos, o uso de computadores (PC) para o
armazenamento e processamento de dados, bem como traçado
de mapas e o Sistema de Posicionamento Global (GPS), que tem
reduzido substancialmente a margem de erro na determinação da
localização exacta dos pontos na superfície terrestre
7

Projecções de mapas_1
• Projeção cartográfica é uma representação sistemática de paralelos e meridianos
de uma superfície tridimensional numa superfície bidimensional e permite
representar uma superfície esférica como a Terra numa folha de papel plana.
• Ao colocar um papel disposto como um cilindro em volta de um globo iluminado, a
projeção sobre o cilindro é um mapa de projeção cilíndrica.
• A forma dos continentes disposta
para o centro do cilindro não
sofre praticamente nenhuma
distorção, enquanto que as
regiões perto dos pólos
ficam desproporcionadas.
http://geohistorias.wikispaces.com/
8

Projecções de mapas_2
• Ao colocar um papel disposto num único ponto de um globo
iluminado, a projeção do globo no papel resulta num mapa de
projeção polar; esta é usada para representar as regiões
polares, porque os pólos geralmente aparecem perto do centro,
com os meridianos que se unem neles e separando-se uns dos
outros à medida que se afastam dos pólos. As regiões polares
aparecem relativamente sem distorções, mas estas crescem à
medida que os meridianos se aproximam das áreas equatoriais.
• Se imaginarmos um cone de papel colocado sobre um globo
iluminado, a projeção resultante é um mapa de projeção cónica.
Estes mapas não apresentam quase distorção em regiões de
latitude média e usam-se para representar os países que estão
nessas zonas.
9

Elipsóide de referência
• elipsóide WGS 84 - World Geodetic System:
• Raio 6371 (228) km
• Circunferência 40.030,2 km
• Os sistemas GPS determinam a posição latitude, longitude e altitude
utilizando o elipsóide WGS84 como superfície de referência.
Raio equatorial a
Raio polar b
Achatamento (f) = (a-b)/a
Elipsóide WGS-84
a = 6371837 m
b = 6356752.3142
f=(a-b)/a = 1/298.257223563
10

Elipsóides de referên-
cia mais comuns:
Semi-eixo maior Semi eixo menor
Nome Data (a) (b) Uso
Airy 1830 6377563.396 6356256.91 Great Britain
Australian National 6378160 6356774.719
Bessel 1841 6377397.155 6356078.96284 Parte da Europa Central, Chile
e Indonésia
Clarke 1866 6378206.4 6356583.8 North American Continent e
Filipinas
Clarke 1880 6378249.145 6356514.86955 Franca, e parte de Africa
Everest 1830 6377276.3452 6356075.4133 Índia, Burma, Ceilão,
Malásia (parte)
Fischer 1960 6378166 6356784.28
Fischer 1968 6378150 6356768.33
GRS80 1980 6378137 6356752.31414
Heirnert 1907 6378200 6356818.17 Egipto
Hough 6378270 6356794.343479
International 1909 6378388 6356911.94613
Krasovsky 1940 6378245 6356863.0188 USSR e países do Leste
Europeu
Modified Airy 6377341.89 6356036.143
Modified Everest 6377304.063 6356103.039
Modified Fischer 1960 6378155 6356773.32
Modified Mercury 1968 6378150 6356768.337303
Mercury 1960 6378166 6356784.283666
New International 1967 6378157.5 6356772.2
South American 1969 6378160 6356774.72
Southeast Asia 6378155 6356773.3205
Sphere 6370997 6370997
Walbeck 6376896 6355834.8467
WGS66 6378145 6356759.769356
WGS72 6378135 6356750.519915
WGS84 1984 6378137 6356752.31 11

Elementos geográficos importantes para o uso de planos
Esfera terrestre
Eje terrestre
Polo Norte
Polo Sur
M
e
r
i
d
i
a
n
o Ecuador
Vertical
Cenit
Nadir
Plano horizontal
M
e
r
i
d
i
a
n
o
Esfera terrestre
Esfera terrestre
Eje terrestre
Eje terrestre
Polo Norte
Polo Sur
Polo Norte
Polo Sur
M
e
r
i
d
i
a
n
o Ecuador
Ecuador
Vertical
Vertical
Cenit
Nadir
Cenit
Nadir
Plano horizontal
Plano horizontal
M
e
r
i
d
i
a
n
o
M
e
r
i
d
i
a
n
o
Zénite
Polo S
Equador
Eixo terrestre
Polo N
Nadir
12

13

Coordenadas geográficas
• Para localizar um item num mapa ou descrever a extensão de uma
área, é necessário referir-se a coordenadas geográficas. O sistema
define dois ângulos medidos a partir do centro da Terra - os
meridianos de longitude (ângulo ao longo do Equador) e os
paralelos de latitude (ângulo com o Equador) .
• Por acordo internacional, o comprimento é medido até 180 ° E e
180 ° W de 0 ° = meridiano de referência em Greenwich, UK.
• A latitude é medida até 90 ° N e 90 ° S de 0 ° = Equador.
• A localização de um ponto no mapa pode ser precisamente
definido pelos graus, minutos e segundos de latitude e
longitude.
• Os mapas são orientados de tal modo que o verdadeiro N,
geralmente, ocupa a parte superior da folha, onde muitas
vezes existe ainda uma especificação do pólo magnético.
14

Unidades
Comprimento – a unidade de comprimento mais utilizada é o metro. Também são utilizadas outras,
como o km.
Área – são várias as unidades de área: m2, km2 e hectare (1 ha = 10.000 m2).
Ângulos – podem ser utilizadas as graduações sexagesimal ou centesimal.
Na graduação sexagesimal a circunferência é subdividida em 360 unidades designadas por grau
(º). Cada grau corresponde a 60 minutos (‘) e cada minuto a 60 segundos (‘’). Os segundos podem ter
casas decimais.
26º 12’ e 23,12’’ (26 graus, 12 minutos e 23,12 segundos)
Na graduação centesimal a circunferência é subdividida em 400 unidades designadas por grados
(g). Cada grado corresponde a 100 minutos (m) e cada minuto a 100 segundos (s). Os segundos podem
ter casas decimais.
35g 89m e 92,12s (35 grados, 89 minutos e 92,12 segundos) 15

Datum
• É um marco de referência para a medir a localização na superfície da Terra,
sendo um ponto onde se fazem coincidir as verticais das coordenadas
astronómicas e geodésicas do geóide e do elipsóide.
• Define a origem e a orientação das linhas de latitude e longitude.
 Sempre que se alterar o datum, os valores das coordenadas dos dados também se modificam…
Exactidão: A medida da diferença para o valor real
Precisão: avalia se o valor medido está perto do valor médio estimado, ou seja, refere-se à
consistência ao longo do tempo das posições medidas
Aumento do número de dígitos  > precisão e mais detalhe. Ex.º: Uma localidade com a latitude
em grados decimais registados com 5 casas decimais - 42,37891, tem uma precisão de 2 m; mas se
tiver apenas uma casa decimal - 42,3, tem uma precisão de 12 km
Coordenadas sexagesimais
Expressam-se em graus minutos e segundos
Latitude: 7° 16' 38.8" N
Longitude: 73° 00' 30.9" W
Coordenadas centesimais
Expressam os grados em forma decimal
Latitude: 7.27744444444444
Longitude:-72.9914166666667
16

17

Coordenadas UTM (Universal Transversal Mercator)
As letras
designam
zonas de
8º que se
estendem
a N e a S
do
Equador
(C, D, ...).
A última, X,
corresponde
a 12º
18

• Limites de uma zona coincidem com meridianos
espaçados de 6º
• No centro da zona passa um meridiano –
Meridiano Central (MC), que assinala o Norte
• A origem da coordenada UTM é a intersecção do
MC com o Equador e tem o valor 0 km N, 500 km
E no hemisfério N e 10.000 km N e 500km E para
o hemisfério S; não há números negativos
• As zonas UTM estendem-se desde o paralelo
84ºN até 80ºS; há 60 zonas UTM, cada uma com
6º, que correspondem aos 360º da Terra
• As zonas UTM estreitam e as suas áreas são
menores à medida que se aproximam dos pólos
Características da zona UTM 31:
19

Coordenadas UTM não são pontos
mas sim QUADRADOS
Sistema UTM:
Projecção de Gauss-
Kruger,
Datum europeu.
20

Coordenadas UTM e resolução:
21

Mapas…
• Representações planas da Terra.
• Têm a vantagem de serem fáceis de manusear,
• Possibilitam ter uma visão clara de uma determinada região,
• Contudo, por ser uma representação plana de um planeta de forma esférica,
quando se tentam observar continentes, há deformação das superfícies
mostradas,
• Tipo básico de mapa usado para representar áreas de terra = mapa topográfico:
• mostram os elementos da área analisada e também certos elementos artificiais,
humanos ou culturais, tais como as redes de transporte e aglomerados
populacionais, as fronteiras políticas, tais como as fronteiras de cidades,
províncias ou países,
• Mapas topográficos: devido à grande quantidade de informações que
contemplam, são frequentemente usados como mapas de consulta,
• Para q um mapa possa conter grande quantidade de informação fácil de ler,
recorre-se a um sistema de símbolos.
22

Informações de um mapa topográfico
• A principal informação de um mapa topográfico é a que se refere
ao relevo de um território (por exemplo, as montanhas, os vales e
as planícies de um lugar). Conhecer o relevo é importante em dois
sentidos: por identificar os agentes geológicos modelados ao longo
do tempo e, por outro lado, por ser um fator que influencia as
atividades humanas (o transporte, as infraestruturas e a
agricultura). Desta maneira, o relevo deve ser bem representado
dentro de um mapa topográfico.
23

• Para que a representação de um território esteja correta, o mapa
topográfico acrescenta descrições do relevo em um plano. São
descritas as diferenças de altitude através das conhecidas curvas
de nível. Suas dimensões também são refletidas (a altitude de um
ponto em relação ao nível do mar), assim como especifica a
informação sobre os rios, estradas e demais desníveis.
24

Principais elementos
• O elemento fundamental de um mapa topográfico é constituído
pelas coordenadas geográficas, ou seja, todo ponto de um
mapa é localizado através de sua latitude e longitude. Um
aspecto muito importante é a legenda, que é uma explicação
de todos os símbolos descritivos da representação cartográfica:
núcleos da população segundo o número de habitantes, os
diferentes usos do solo, as massas de água, etc. Normalmente,
as curvas de nível aparecem em cor castanha e cada acidente
geográfico aparece com uma cor e símbolo específico.
25

• Devem-se levar em conta que são usados dois tipos de escala:
a numérica e a gráfica.
• Por exemplo, uma escala numérica de 1:10000 expressa que
um centímetro no mapa corresponde a 10000 centímetros ou
100 metros na realidade.
• A escala gráfica é uma linha reta dividida em segmentos que
indica a real longitude de um segmento desenhado no mapa.
• Por último, todo mapa topográfico é representado através das
chamadas curvas de nível, estas que são as linhas que unem
os pontos de mesma altitude.
26

Escala
27

28

Topografia
• Palavra deriva das palavras gregas "topos" (lugar) e "graphen" (descrever), o que significa,
a descrição exacta e minuciosa de um lugar
• Base de estudos do terreno ou de qualquer projeto e de qualquer obra realizada por
engenheiros ou arquitetos (só se aplica a áreas quilométricas…senão temos de utilizar a
geodesia…)
• Túneis ferroviários (bi-tubos de 57 km) de S. Gotardo (Suiça), sob os Alpes (1 mm/ano)
• Estuda os procedimentos para determinar as posições relativas de objectos sobre a
superfície da Terra. Entre outras disciplinas engloba a Topometria - trata de medidas das
grandezas lineares e angulares que definem a posição dos pontos topográficos, tanto nos
planos horizontais e/ou verticais; esta por sua vez abrange a Planimetria e a Altimetria
• Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas, as lineares e as angulares,
mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas, as de
superfície e as de volume
29

Planimetria e Altimetria
Planimetria
• Conjunto dos trabalhos efectuados para adquirir no campo os dados geométricos
necessários que permitam construir uma figura semelhante à do terreno, projectada
num plano horizontal.
• As medidas, tanto lineares como angulares, são efetuadas em planos horizontais,
obtendo-se ângulos e distâncias horizontais, não levando em consideração o relevo.
Altimetria
• As medidas são efetuadas num plano vertical, onde se
obtêm os ângulos azimutais e verticais e as
distâncias horizontais e verticais (diferença de nível).
• As distâncias verticais, que se medem a partir da super-
ficie de nível – o plano de referência arbitrário, normal à
direcção da prumada, designam-se de COTAS.
• Quando o plano de referência coincide con o nível do mar, as
distâncias verticais medidas denominam-se Altitudes
30

Planimetria Altimetria
• Planimetria, compreende a representação da Terra sobre um plano horizontal imaginário
• Altimetria, compreende a representação da elevação ou terceira dimensão.
31

Símbolos cartográficos – formas codificadas para a representação da informação. Uma
boa simbologia não precisa de legenda.
Sinais convencionais – representação de objectos que não têm existência física no
terreno e representação de objectos sem estarem à escala.
Consoante a natureza dos objectos que representam:
-Hipsometria – símbolos destinados a representar o relevo da superfície: pontos
cotados, curvas de nível, cores entre as curvas de nível (cores hipsométricas)
representativas de intervalos.
-Hidrografia – símbolos relativos aos oceanos, lagos e cursos de água. Representação
por isolinhas de profundidade ou isobatimétricas.
Simbologia em cartas
32

Pontos cotados – pontos virtuais de altitude conhecida. Os pontos são
escolhidos de modo a que entre cada 3 pontos adjacentes o declive seja
aproximadamente constante.
Curvas de nível – linhas que resultam da união dos pontos de igual cota. Resultam
conceptualmente da intersecção do terreno com planos horizontais.
Equidistância natural – distância vertical real entre duas curvas de nível.
Equidistância gráfica – distância vertical à escala da carta entre duas curvas de nível.
Se a equidistância natural for 50m numa carta à escala 1/50.000 a equidistância gráfica
é: 50/50.000=5x10-4m ou 0.5mm
Quanto menor for a equidistância natural melhor fica representado o terreno. Existem
contudo limites para tornar possível a leitura das cartas: entre 0.4 e 1.0mm
Representação do relevo
33

Análise das formas do terreno
Qualquer forma de relevo complexa resulta sempre de duas formas simples: o
vale e o tergo
Vertente
ou
margem
35

Tergo
• Superfície formada pela reunião
de duas vertentes com
concavidade voltada para baixo;
• A linha de reunião das duas
superfícies é denominada linha
divisória ou linha de festo (pontos
de maior cota); também
denominada por linha de
separação de águas
• As curvas de nível de maior cota
são envolvidas pelas de menor
cota..
36

Outras formas
• Depressão (lago) - resultante da associação de dois ou
mais vales.
• Elevação (Colina, outeiro ou monte) - resultante da
associação de dois ou mais tergos.
37

Garganta, colo ou portela:
 associação de dois vales e dois tergos;
 lugar onde a superfície sobe para 2
lados opostos e desce para outros 2
lados opostos.
 ponto mais baixo de um divisor de
águas e ponto mais alto dos talvegues
que aí nascem.
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Cordilheira (range, en)
• Cadeia de montanhas
• Andes, Himalaias, Cascatas…
• Em Portugal: sistema montanhoso
Montejunto-Estrela
• Em Portugal não temos propriamente
montanhas, mas sim Serras (terrenos
acidentados, com desníveis significativos -
dezenas de km de extensão)
39

- Vegetação – símbolos destinados a representar o tipo de cobertura natural:
padrões gráficos destinados a representar dunas, florestas, matos, etc.
- Uso do solo – símbolos relativos aos objectos artificiais: estradas,
aeroportos, cidades, casas e outras construções.
Consoante o tipo de entidade geométrica:
- Pontuais – Quando o objecto é representado por uma única posição
geográfica. Pontos cotados, objectos sem representação perceptível à escala
do mapa.
- Lineares – Representação por linhas: estradas, rios, linhas d água.
- Areais – Representação por manchas com contornos: classes de altitude,
coberturas vegetais, etc.
40

 Nominais – Quando não
expressam informação
quantitativa.
 Ordinais – Quando expres-
sam informação quantitativa.
41

Escalas
• Escala em que se desenha um mapa mostra a relação entre a distância
entre dois pontos na Terra e a distância dos pontos que lhes
correspondem no mapa.
• As escalas utilizadas em mapas variam amplamente.
Geralmente, mapas topográficos e/ou utilizados em estudos regionais
são realizados em 1: 50.000 e 1: 25.000 (cartas militares);
• Quando os mapas são feitos para fins de engenharia/planeamento
local, utilizam-se as escalas maiores – 1: 10.000 ou 1: 5000.
• Estudos de detalhe (planeamento local e de projecto de obras de engenharia) usam
escalas ainda mais detalhadas – 1: 2000, 1: 1000,
1: 500 ou 1: 100.
• Desde o início do século XX, vários governos têm trabalhado em conjunto para
estabelecer mapas únicos de continentes em 1: 1.000.000.
Área de 1 km x 1 km
em diferentes escalas
42

Sendo , a distância gráfica entre dois pontos, e L, a correspondente distância real,
a escala é de:
- de ampliação : se   L (Ex.: 2:1);
- natural : se  = L (Ex.: 1:1);
- de redução : se   L (Ex.: 1:50).
A escala pode ser apresentada sob a forma numérica de:
-fração: 1/100, 1/2000 … ou proporção : 1:100, 1:2000,...
Ou gráfica:
Planta – mapa de maiores escalas (maior detalhe do terreno)
Carta – mapa de escalas menores (em regra médias) onde os detalhes são
simplificados (simbologia é adoptada para simplificar a leitura e interpretação da
carta)
Mapa – escalas pequenas (grandes regiões – geralmente países…)
Representa 10ha
43

Principais escalas e significado
ESCALA EQUIVALÊNCIA UTILIZAÇÃO
1 km (terreno) 1 cm (desenho)
1/100 10 m 1m
Plantas com detalhes para apoio à
construção - edifícios, terraplenagem,
etc.
1/200 5 m 2 m
1/250 4 m 2,5 m
1/500 2 m 5 m
1/1000 1 m 10 m Plantas para apoio a planos de
pormenor municipais e fases de
projecto de obras lineares (estradas,
ferrovias…)
1/2000 0,50 m 20 m
1/5000 0,20 m 50 m Cartografias de concelhos
1/10.000 0,10 m 100 m Cartografia produzida pelo Instituto
Geográfico Português - IGP
1/25.000 0,04 m 250 m Cartografia produzida pelo Instituto
Geográfico do Exército - IGeoE
1/50.000 0,02 m 500 m Cartografia produzida pelo IGP
1/100.000 0,01 m 1.000 m Carta de grandes países
1/200.000 0,005 m 2.000 m Carta aeronáutica
1/500.000 0,002 m 5.000 m Carta reduzida (carta internacional do
mundo)
1/1.000.000 0,001 m 10.000 m
Escala
grande
Plantas
Escala
média
Cartas
Escala
pequena
Mapas
44

Desenho cartográfico
• Por convenção admite-se que a vista humana tem uma percepção na dimensão
que ronda ¼ de milímetro, com erro inferior ou igual a 1/5 de milímetro. Esta
noção é importante para o significado de escala.
• Erro de graficismo – corresponde ao traçado de uma linha com um lápis fino
( 0,2 mm) e corresponde à precisão máxima que se obtém ao medir num mapa
distâncias/determinar coordenadas
• Por exemplo, numa representação à escala 1/50.000, um objecto que seja
representado por um segmento com 1 cm significa que na realidade mede
50.000cm, ou seja, 500 m.
Qual o erro de graficismo ?
45

Sistema Hayford-Gauss militar (SHGM)
Projecção de Gauss-Kruger (cilíndrica transversa, e conforme)
Elipsóide de Hayford
Origem fictícia - todo o País no quadrante positivo
Ponto
central
Origem
fictícia 200 km
300
km
Sistema de coordenadas militares
46

Geralmente coexistem 2 sistemas de coordenadas:
Coordenadas geográficas (latitude e longitude) – materializado numa rede de meridianos e
paralelos
Coordenadas cartesianas (meridiano e paralelo) – materializado numa rede de quadrículas.
Para a leitura de qualquer coordenada num mapa, deve-se:
i) Traçar linhas paralelas às redes de referência de modo que passem pelo ponto de cota
desconhecido;
ii) Medir as distâncias na carta relativamente à quadrícula de referência
iii) Somar essas distâncias aos valores representados na carta
Ao utilizar a latitude e longitude em graus, deve-se converter esses ângulos para graus
decimais, fazer as contas e converter novamente para graus, minutos e segundos.
Leitura das coordenadas numa carta
47

2ª aula TP
48

Entidades que produzem cartografia em Pt:
• Instituto Geográfico Português
– http://www.igeo.pt/
• Instituto Geográfico do Exército
– http://www.igeoe.pt/
• Instituto Hidrográfico
– http://www.hidrografico.pt/hidrografico/
49
Coordenadas cartográficas

As coordenadas definem posições
tridimensionais em relação ao centro da
esfera ou elipsóide de referência em que:
Eixo X - definido pela intersecção do plano
do meridiano e do equador.
Eixo Y - completa o sistema ortogonal por
um plano 90º a leste do eixo X e a sua
intersecção com o equador.
Eixo Z - referido ao Pólo Norte
Coordenadas cartesianas X, Y e Z, centradas na Terra

Projecção de Eratóstenes
• Fórmulas directas
• Fórmulas inversas
51
M

Sistemas cartográficos nacionais
52

Comparação sistemas portugueses
O = origem das coordenadas cartográficas; I, II, III e IV = quadrantes.
Bessel-Bonne-Lisboa Hayford-Gauss-Lisboa Hayford-Gauss-Melriça Hayford-Gauss-Militar
PC = Ponto central da projecção
Triângulo = ponto de fixação do datum

Sistema 2 - HAYFORD-GAUSS, DATUM LISBOA (SHGA)
54
PC - junto ao do v.g. da
Melriça
Ponto central
X = 0
Y = 0
Transformação de
coordenadas

Sistema 3 - HAYFORD GAUSS, DATUM LISBOA (SHGM)
55
P
M
Ponto central
Transformação de coordenadas

Sistema 4 - HAYFORD GAUSS, DATUM 73 (SHGDT73)
56
Ponto central
Transformação de coordenadas

Sistema 6 - UTM, DATUM ED50
57
Ponto central
0 º
9 º W GRW
= X

Sistema 7 – PT-TM06/ETRS89 (European Terrestrial Reference System 1989)
58
SISTEMA GEOCENTRICO - ETRS89 é um sistema global de referência recomendado
pela EUREF (European Reference Frame, subcomissão da IAG - Associação
Internacional de Geodesia)
Rede EUREF
Ponto central
39º40’05,73’’ N
8º07’59,19’’ W GRW X = 0
Y = 0
Transformação de
coordenadas

Coordenadas cartográficas do V.G. Melriça
• V.g. Melriça: diferenças são no máximo de  1m entre diferentes sistemas;
• Diferença entre sistemas varia ao longo do país…
• Diferença máxima: é entre HGDt73 e TM-ETRS89 e é de  6m;
59
Sistema de coordenadas X (m) Y (m)
HG – DTLx 253,06 2872,14
HG – DTLx militar 200253,06 302872,14
HG – 73 253,76 2873,66
UTM – 29N-ED50 574702,33 4394386,31
TM-ETRS89 254,05 2873,61

As projeções podem ser classificadas quanto:
• ao método: geométricas e analíticas;
• à superfície de projeção:
• planas,
• cônicas,
• cilíndricas,
• poli-superficiais;
• ao tipo de contato entre superfícies de projeção e de referência: tangentes ou secantes;
• as propriedades:
• conforme: manutenção dos ângulos
• equivalente: inalterabilidade das áreas
• equidistante: constância das relações entre as distâncias dos pontos representados e as
distâncias dos seus correspondentes
• afilática: não possui nenhuma das propriedades dos outros tipos.
O sistema UTM conserva os ângulos e a forma de pequenas áreas (projeção conforme).
60

Exercícios
61
1 Com base no documento cartográfico que recebeu para realizar esta atividade, indique:
• o título da folha:
• o índice de nomenclatura:
• a escala: (1 cm = metros)
• a projeção cartográfica:
• o datum horizontal:
• o datum vertical:
• o órgão responsável:
• a data de publicação:
• as coordenadas geográficas do canto inferior esquerdo (Ponto 1) e do canto superior
direito (Ponto 2):
• as coordenadas UTM (em km) próximas ao canto inferior esquerdo (Ponto 1) e ao canto
superior direito (Ponto 2):
• o fuso UTM;

62
3ª aula TP

UTM - Portugal
continental está
no Fuso 29 e nas
faixas S e T
63
Quadrados 100x100 km
em cada faixa
Quadrados 1x1 km em
cada 100x100km

Coordenadas UTM
(hectométricas)
64
Fuso Faixa
Letras do quadrado 100x100 km
Zona UTM =
Distância à
meridiana
Distância à
perpendicular

Malha do SHGM
• Linhas a castanho depois de 1965
65
Malha de 100x100 km

http://www.igeoe.pt/coordenadas/
IGeoE - Transformação de coordenadas
Efectuar transformações entre sistemas de coordenadas utilizados em
Portugal, sob a forma de Rectangulares (Militares, Ponto Central e
UTM) e Geográficas, bem assim como transformação entre os diversos
sistemas, sendo disponibilizadas conversões entre os data de Lisboa,
ED50, WGS84 e 73 na região do Continente.
66

Vista na carta e vista de perfil . . .
67
Na carta
Vista de perfil
Levantamento de perfil
(gráfico de eixos ortogonais)
Perfil = intercepção do terreno através de um plano vertical

Desenho de uma secção
sobre um mapa
Deve-se indicar:
i) Escala horizontal
ii) Sobreelevação vertical (n vezes)
Perfil: natural, elevado ou rebaixado

69
1 ) Pretende-se representar numa planta topográfica uma pequena propriedade rectangular
com 250 x 50 m, de modo a que a representação encaixe numa
folha de papel de formato A4 (21cm x 29,7cm) deixando uma margem de 2 cm de cada lado.
Que escala convencional deve utilizar na representação?
2) Considere a matriz de cotas em metros, com espaçamento igual a 10 metros.
Imagine que ocorreu sobre o terreno representado pela matriz uma precipitação de 10 litros
por metro quadrado. Qual o volume de água acumulado no elemento da terceira linha,
segunda coluna ?

3) Na seguinte quadrícula, centimétrica, está representado em planta a área para o
projecto de plantação de uma determinada espécie arbórea. Do local conhecem-se as
coordenadas de O e E (quadro abaixo).
a) Obtenha a escala da planta.
b) Apresente as coordenadas planas dos pontos 1, 4 e 7.
c) Obtenha a área real da figura usando um método exacto.
d) Qual a área, em cm2, que a figura acima ocuparia numa planta se esta estivesse à
escala 1:200?
70
Ponto X(m) Y(m)
O 32 200 164 800
E 32 365 164 845

4ª aula TP
71

Volumes
• Em muitos trabalhos de engenharia é necessário calcular volumes.
Normalmente estes volumes são determinados a partir de dados de
levantamentos topográficos, como as curvas de nível, seções
transversais ou malha de pontos com cotas conhecidas:
• Estrada: volumes de corte e aterro para a construção da mesma –
utilizam-se os métodos baseados em seções transversais,
• Barragens: volume de água armazenado em um reservatório -
trabalha-se com malhas de pontos ou contorno (volumes calculados
através das curvas de nível)
72

73
Método das alturas ponderadas
Este método baseia-se na decomposição de um sólido cujo volume
deseja-se calcular em sólidos menores, mais fáceis de calcular o
volume. Estes sólidos são normalmente de base quadrada ou
triangular.
Para realizar o cálculo do volume vamos fazer a seguinte
consideração: considere-se um sólido de base quadrada e área
igual a Q e arestas verticais com alturas Z1, Z2, Z3 e Z4.
Volume deste sólido será dado pelo produto da área da base pela
média das alturas das arestas:
V = Q . (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)/4

Determinação de volumes
Para o cálculo de volumes, o modo mais prático de representação do relevo é
por matrizes de cotas H(m,n) com espaçamento E.
Por exemplo, o volume acima da cota H0 é dado por:








 
 
)
,
(
0
0
)
,
(
)
,
(
0
1
)
,
(
)
0
)
,
(
)(
,
(
1 1
2
k
l
H
H
se
k
l
k
l
H
H
se
k
l
com
H
k
l
H
k
l
E
V
m
l
n
k



12
17
22
8
18 27
32
31
14

Para terraplenar o terreno para uma cota H0 é
necessário o seguinte volume de escavação E
e o volume de aterro A:
















 
 
m
l
n
k
A
m
l
n
k
E
H
k
l
H
k
l
E
V
H
k
l
H
k
l
E
V
1 1
2
1 1
2
)
0
)
,
(
))(
,
(
1
(
)
0
)
,
(
)(
,
(


A cota H0 que iguala o
volume de escavação
ao volume de aterro é
a média das cotas da
área em estudo:

 

m
l
n
k
k
l
H
mn
H
1 1
)
,
(
1
0
Ou: cota (Cp) para a qual o
volume de corte é igual ao
volume de aterro, estando
h referenciado ao plano de
cota da escavação (Co)

Malha triangular irregular
• Calcular área de cada triângulo:
78

Superfícies equidistantes:
• Utiliza secções horizontais
• Sendo d a equidistância entre curvas de nível:
79

Mais problemas…
4. Considere a matriz de cotas em metros com
espaçamento igual a 2,5 m. A qual das cotas 14,0 m ou
14,2 m se torna mais ou 14,2 m se torna mais
conveniente uma terraplanagem desta porção do
terreno representada pela matriz? Indique o balanço de
terras em cada situação: aterro e escavação.
5. A planta da figura representa uma linha de
água e o relevo através de curvas de nível com
equidistância 10 m. Pretende-se construir uma
barragem a unir os pontos A e B de forma a
elevar o nível da água até à cota 470 m.
a) Determine a área da albufeira no enchimento máximo.
b) Determine o volume máximo que a albufeira poderá
conter.
c) Construa um gráfico do volume de água armazenado
em função do nível da albufeira.
80

6. Nos terrenos de uma empresa existe uma acumulação de
resíduos que se pretende remover (Sabe-se que a cota de
implantação dos resíduos é aproximadamente 420 m pelo
que se pretende removê-los a partir daí). Tal encontra-se
representado em planta à escala 1:2000 na figura ao lado.
a) Percorreu-se a curva de nível 420 m 3 vezes com um
planímetro digital obtendo-se as leituras 3330, 3345 e
3322. Sabendo que o planímetro está calibrado para
obter áreas na carta em mm2 determine a área real mais
provável de implantação dos resíduos. Apresente-a em
m2.
b) Efectuou-se ainda uma leitura com o planímetro referente
à curva de nível 422 tendo-se obtido o valor 1020.
Calcule o volume aproximado de terras a remover
sabendo que se pretende fazê-lo a partir da cota 420 m.
Considere um índice de expansão volumétrica de 5%.
81

5ª aula TP
82

Cartografia de uma área
envolve dois tipos de
determinações:
• Coordenadas cartesianas (duas distâncias)
– Exigem medição na perpendicular
– Maior propagação de erros em medições
sequenciais
• Coordenadas polares (ângulo e distância)
–Equipamento caro para medida precisa de ângulo
83

Transporte de coordenadas
Considerando A (10.000, 20.000), AB=120 m e Az AB = 42º
• XB=10.000,00 + 120,00*SEN 42º = 10.080,30
• YB=20.000,00 + 120,00*COS 42º = 20.089,18
84
Projecção da distância D em X e Y
XB = XA + PROJEÇÃO X = XA + D* sen AzAB
YB = YA + PROJEÇÃO Y = YA + D* cos AzAB

85
- Distância horizontal (DH):
- Distância inclinada (DI):
é a distância medida entre dois pontos, em planos
que seguem a inclinação da superfície do terreno.
Planimetria e Nivelamento
é a distância medida entre dois pontos, num plano
vertical que é perpendicular ao plano horizontal.
Planimetria
- Distância vertical, ortométrica
ou desnível (DV ou DN):
é a distância medida entre dois
pontos, num plano vertical que é
perpendicular ao plano horizontal
Nivelamento
Grandezas observáveis

Grandezas observáveis
Ângulo azimutal (horizontal) orientado pelo N verdadeiro
J
I K
j
i
k
I, J, K – 3 pontos no terreno
i, j, k - respectivas imagens no
plano cartográfico
O ângulo azimutal orientado é:
Az jik = Az ik – Az ij
com Az ik e Az ij os azimutes cartográficos
Vante / adiante
Ré / atrás

Rumo
87

Ângulo zenital (vertical)
São ângulos verticais definidos
pela direcção vertical no ponto j e
os segmentos IJ (Zij) e IK (Zik).
J
I
j
i
Zij
Distâncias espaciais: Sij e Sik – comprimento do segmento de recta IJ e IK
Distâncias cartográficas: cij e cik – comprimento do segmento de recta ij e ik
Desnível ortométrico: Hij=Hj-Hi
Geralmente é medido entre um
alinhamento do terreno e o plano
do horizonte.
Pode ser ascendente (+) ou
descendente (-), conforme se
encontre acima (aclive) ou abaixo
(declive) deste plano

Levantamento topográfico
• Conjunto de operações de campo e de gabinete que permitem elaborar uma
representação topográfica. Consiste na medição sistemática da localização de
vários pontos. A partir de pontos de controlo ou referência de coordenadas
conhecidas, são medidos ângulos e distâncias relativamente às novas
localizações, e utiliza-se a trigonometria para calcular as novas posições.
• Baseia-se na geometria, trigonometria plana e auxilia-se da estatística clássica.
• Em termos instrumentais recorre a vários equipamentos:
 Teodolitos
 distanciómetros,
 Níveis,
 estações totais
 sistemas receptores GPS
89

Rede geodésica
90
O conjunto de pontos coordenados finito está subdividido em
duas categorias:
i) pontos fundamentais ou de apoio que fazem parte das
redes geodésicas ou topográficas
ii) pontos de pormenor que servem para definir a forma e a
posição dos elementos topográficos em relação a um
referencial cartográfico.
A determinação dos pontos coordenados, planimetria (M,P) e
nivelamento, h, é sempre realizada relativamente a pontos
de coordenadas conhecidas.
Levantamento = transporte de coordenadas  de pontos
conhecidos na rede geodésica – vértices geodésicos – para
os pontos de pormenor
Em Portugal os pontos da rede geodésica nacional: 1ª, 2ª e 3ª
ordem, função da importância e precisão das coordenadas.

Medição de distâncias
Métodos:
 Directos – contabilização directa da distância com uma escala de
medida de referência. Fita métrica, etc.
 Indirectos – medições baseadas na leitura de grandezas que se
relacionam com a distância
 Trigonométrico - resolução de um triângulo
 Electro-óptico = distanciómetros electromagnéticos (DEM). Podem medir
distâncias até dezenas de km com precisão elevada . São baseados na
emissão e reflexão de uma onda electromagnética e na avaliação do
atraso da onda.

Equipamentos
Ângulos azimutais e ângulos zenitais - teodolito
Distâncias espaciais - distanciómetro (electromagnético)
Desníveis ortométricos – níveis
Nivelamento indirecto ou trigonométrico – através de distâncias e ângulos
(teodolito + distanciómetro)
Nivelamento directo ou geométrico – nível óptico e miras
Notação:
Az jik (ângulo azimutal); Zij (ângulo zenital); Sij (distância espacial); Hij
(desnível ortométrico); Mi (meridiana); Pi (perpendicular); hi (altitude)

Teodolito – aparelho que permite a
determinação de ângulos verticais (ou
zenitais) e, nalguns casos, ângulos
azimutais. É constituído por:
- Parte fixa (base) que permite
solidarizar o teodolito com um
dispositivo sobre o terreno (tripé, pilar)
- Parte móvel (alidade) que roda em
torno de um eixo (principal).
Alidade horizontal
Alidade vertical
base

Nivelamento – operação que permite determinar a
diferença de nível entre 2 pontos.
Utiliza-se um aparelho – nível. Estes definem linhas de
visada horizontais com uma mira baseada num sistema
óptico.

Estação total / Taqueómetro – equipamento que
combina a medição de distâncias (DEM) e ângulos
(teodolito)
Um típico DEM de curta
distância pode medir
distâncias até 5 km
com uma precisão de
1 parte em 20.000.

Condição de estação
A
C
B
Medição do ângulo
azimutal [AB] e [AC] e do
ângulo zenital [AC]
1) Estacionar o teodolito em A. Centrar a base. Verticalização do eixo
principal de modo a passar por A.
2) Apontar a luneta para B e depois para C fazendo-se depois a
subtracção dos ângulos azimutais medidos no limbo horizontal.
3) Fazer a leitura directa do ângulo zenital sobre o limbo vertical.

Determinação da distância cartográfica (D)
D
L
B
A
α
θ

cos
L
D  )
90
cos( a


 L
D

Nivelamento geométrico ou directo
Diferença de nível entre A e B. Posiciona-se o aparelho entre A e B e
fazem-se duas visadas uma para A e outra para B.

Nivelamento trigonométrico ou indirecto
Diferença de nível entre A e B (h):
- Posiciona-se o teodolito em A e visa-se B.
- Conhecendo a distância horizontal entre A e B (D), o ângulo
zenital da linha de visada, z, e a altura do teodolito, i:
A
B
z Av’
D
i
h
z
D
h cotg
.

O desnível h é obtido trigonometricamente:

Precisão do nivelamento:
Nivelamento de alta precisão
Método geométrico (1mm/1km)
O nível está em estação ou pronto a efectuar medições
quando o eixo principal está vertical
Nivelamento ordinário
Método trigonométrico (1dm a 1cm/1km)

Determinação da altura de um objecto
D
L1
B
A
α
θ1
h1 h2
L2
θ2
D
h1
1
tan 

D
h2
2
tan 

)
(
.
. 1
2
1
2
1
2 


 tg
tg
D
tg
D
tg
D
h
h
h 







Execução prática de um nivelamento:
• É executado ao longo das chamadas linhas de nivelamento, em várias estações
de nível sucessivas.
• O nivelamento deve ser fechado – devem ser conhecidas as cotas dos pontos
inicial e final. Por exemplo, a partir de um nivelamento anterior de alta precisão.
• Pode fazer-se um nivelamento fechado – o primeiro ponto coincide com o
último. Pode fazer-se o chamado contra-nivelamento (por ordem inversa
compensar as diferenças).
• Quando não há possibilidade de fazer um nivelamento fechado, pode fazer-se
um nivelamento paralelo. A e1
B
e2
e3
1
2
3
4
A13B
A24B

Exemplo prático de resultados de um nivelamento
entre 2 pontos de cotas conhecidas A e B:
Niveladas Desníveis obs. Desníveis comp.
Ponto
atrás adiante + -
Corr.
+ -
Cotas
A 1.207 428.704
1 0.636 2.472 -1.265 -0.023 -1.288 427.416
2 0.886 3.544 -2.908 -0.023 -2.931 424.485
3 2.984 0.952 -0.066 -0.023 -0.089 424.396
4 3.747 1.478 1.506 -0.023 1.483 425.879
5 1.636 0.328 3.419 -0.022 3.397 429.276
6 0.148 1.522 0.114 -0.022 0.092 429.368
B 2.884 -2.736 -0.022 426.610
11.244 13.180 5.039 -6.975 4.972 -7.066
-1.936 -1.936 -2.094
A – B = 2,094 m

Niveladas Desníveis obs. Desníveis comp.
Ponto
atrás adiante + -
Corr.
+ -
Cotas
A 1.207 428.704
1 0.636 2.472 -1.265 -0.023 -1.288 427.416
2 0.886 3.544 -2.908 -0.023 -2.931 424.485
3 2.984 0.952 -0.066 -0.023 -0.089 424.396
4 3.747 1.478 1.506 -0.023 1.483 425.879
5 1.636 0.328 3.419 -0.022 3.397 429.276
6 0.148 1.522 0.114 -0.022 0.092 429.368
B 2.884 -2.736 -0.022 426.610
11.244 13.180 5.039 -6.975 4.972 -7.066
-1.936 -1.936 -2.094
Exemplo prático de resultados de um nivelamento
entre 2 pontos de cotas conhecidas A e B (cont.)
Diferença cotas A e B = -2,094m
Diferença cotas no nivelamento= -1,936m
Compensação = -0,158m
-2,758

Relações planimétricas fundamentais
Dados dois pontos i e j do plano cartográfico, as coordenadas de j
podem ser expressas pelas relações em função de i:
Mj = Mi + cij sen Azij
Pj = Pi + cij cos Azij
com
cij - distância cartográfica entre i e j
Aij – azimute cartográfico de i para j =
Cotg (Mj - Mi)/(Pj - Pi)
Atenção: verificar o resultado e o quadrante
i
j
Aij
cij

j
cij
i
k
cik
Aijk
Dados três pontos i, j e k do plano cartográfico, as coordenadas de
k podem ser expressas pelas relações em função de i e j:
Mk = Mi + cjik (Mij cosAzjik + Pij sen Azjik)
Pk = Pi + cjik (-Mij senAzjik + Pij cos Azjik)
Com: Mij = Mj - Mi; Pij = Pj - Pi
Az jik - ângulo azimutal orientado (medido)
cjik – quociente de distâncias cik/cij

Métodos práticos para o transporte de coordenadas
utilizando as relações planimétricas anteriores
- Triângulação
- Irradiação
- Intersecção
- Directa
- Lateral
- Inversa
- Poligonação

Lei dos cosenos
c
a
b
A B
C
)
(cos
2
)
(
)
(cos
2
)
(
)
(cos
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
ab
b
a
c
B
ac
c
a
b
A
bc
c
b
a









Lei dos senos
c
a
b
A B
C
B
sen
b
A
sen
a
C
sen
c



Triângulação
Dados: seja o triângulo [ABC] e conhecem-se as coordenadas
dos pontos B e C. Pretende-se determinar as coordenadas de A.
Procedimento: estaciona-se um teodolito sucessivamente
em cada ponto A, B e C (pontos estação) e medem-se os
ângulos:
Ĉ
B̂
Â
C
B
A(?)
Â
B̂
Ĉ

Resolução:
1) Cálculo do comprimento BC e rumo (BC)
2
2
)
(
)
(
BC B
C
B
C P
P
M
M 



B
C
B
C
P
P
M
M
BC
tg



)
(
Verificação:
)
(BC
sen
M
M
BC B
C 

)
cos(BC
P
P
BC B
C 

2) Compensação angular
a) Determinar o erro de fecho angular:
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
200 *
*
*
C
B
A
g
a 




C
B
Â
B̂
Ĉ

b) Distribui-se os ângulos observados, com uma
correcção:
3
a
i
a

 1
*
ˆ
ˆ a
A
A 
 ...
3) Resolução do triângulo
a) Determinação dos comprimentos BA e CA (lei dos
senos)
C
sen
A
sen
BC
BA ˆ
ˆ
 B̂
ˆ
sen
A
sen
BC
CA 
b) Determinação dos rumos BA e CA
C
CB
CA
B
BC
BA
ˆ
)
(
)
(
ˆ
)
(
)
(





c) Determinação das coordenadas de A a partir de B e
a partir de C
)
cos(
)
(
BA
AB
P
P
BA
sen
AB
M
M
B
A
B
A




)
cos(
)
(
CA
AC
P
P
CA
sen
AC
M
M
C
A
C
A




Nota: se a diferença for inferior a uma tolerância aceita-
se o resultado.

Problema
A e B são dois pontos do eixo de um troço recto de uma estrada com declive constante.
Pretende-se prolongar a estrada até um ponto C alinhado com os pontos A e B,
mantendo o declive. Com um teodolito estacionado em E, observou-se:
Sabendo que a distância cartográfica DEA =92.74 m e DEB = 98.85m, determine:
a) O declive do troço AB.
b) A altura de escavação ou aterro de terreno a efectuar em C.
113
Estação
Ponto
visado
Leitura ângulo
Azimutal Zenital
E
A 305.934g 98.372g
B 20.520g 100.482g
C 51.226g 101.260g

6ª aula TP
114

Irradiação
Dados: coordenadas dos pontos i e j, determinar as
coordenadas do ponto k.
Procedimento: estaciona-se uma estação total
(teodolito + DEM) em i e mede-se a distância
cartográfica cik e o ângulo azimutal orientado Azjik.
1) Determinar Mij, Pij, cji e cjik.
2) Utilizar as relações planimétricas fundamentais.
i
k (?)
j
Ajik
cik

Intersecção directa
Dados: determinar as coordenadas de k, conhecidas
as coordenadas dos pontos i e j.
Procedimento: estaciona-se o teodolito nos pontos
estação i e j medem-se os ângulos Akji e Ajik. Não são
medidas distâncias.
i
k
j
Ajik
Akji

1) Determina-se o ângulo
Aikj = 200g – (Ajik+Akji)
2) Determina-se o quociente (regra dos senos):
cjik= cik/cij = Sen Akji / Sen Aikj
3) Utilizar as relações planimétricas fundamentais
Mk = Mi + cjik (Mij CosAjik + Pij Sen Ajik)
Pk = Pi + cjik (-Mij SenAjik + Pij Cos Ajik)

Intersecção lateral (ou recorte)
Dados: determinar as coordenadas de k, conhecidas
as coordenadas dos pontos i e j.
Procedimento: estaciona-se o teodolito nos pontos
estação i e k medem-se os ângulos Ajik e Aikj. Não são
medidas distâncias.
i
k
j
Ajik
Aikj

1) Determina-se o ângulo
Akji = 200g – Ajik – Aikj
2) Determina-se o quociente (regra dos senos):
Cjik= cik/cij = Sen Akji / Sen Aikj
3) Utilizar as relações planimétricas fundamentais
Mk = Mi + cjik (Mij CosAjik + Pij Sen Ajik)
Pk = Pi + cjik (-Mij SenAjik + Pij Cos Ajik)

Intersecção inversa
Dados: conhecidas as coordenadas de k, i e j,
determinar as coordenadas de x
Procedimento: estaciona-se um teodolito no ponto
estação x e medem-se os ângulos: Akxi e Aixj
k
i
x
j
Aixj
Akxi

1) Determinar o ângulo Ajik (a partir das coordenadas de
i, j e k) e a relação de comprimentos cijk:
ij
ik
jik
c
c
c 
2) Determinar o ângulo B e o escalar Q:
kxi
ixj
jik
A
Sen
A
Sen
c
Q  )
(
400 jik
ixj
kxi
g
A
A
A
B 



3) Determinar o ângulo azimutal:
)
cos
(
B
Q
SenB
Arctg
Aikx



4) A partir dos ângulos Aikx e Akxi, pode-se
determinar a posição de X como uma intersecção
lateral.
NOTA IMPORTANTE: A intersecção inversa é o modo
de posicionamento mais expedito, do ponto de vista
prático. O teodolito é posicionado num único sítio
sendo retiradas duas medidas. Nalguns casos a
solução pode ser indeterminada – pontos sobre uma
circunferência centrada em X.

Poligonação – Método de transporte de coordenadas rápido
e expedito e muito popular.
Fechada - conhecidas as coordenadas de dois pontos A e A’
(ou um ponto e o rumo (AA’), determinam-se as coordenadas
dos restantes pontos segundo uma poligonal fechada.
A’
A
3
2
1
α0
α1
α3
α2
α4
d1
d2
d3
d4

A’
A
1
2
3
B
B’
d1
d2
d3
d4
α0
α1
α2
α3
α4
Aberta - conhecidas as coordenadas de quatro pontos A, B,
A’ e B’ (ou dois pontos e o rumo (BB’), determinam-se as
coordenadas dos restantes pontos segundo uma poligonal
aberta.

Algumas regras para o desenho de poligonais:
•As poligonais abertas devem ser o mais possível
esticadas, ou seja serem próximo de uma recta entre o
primeiro e último ponto.
•Não devem existir desníveis acentuados entre pontos
adjacentes
•Os lados devem ser todos da mesma ordem de
grandeza.
•Deve-se diminuir sempre que possível o número de
lados aumentando o comprimento dos lados. Ter em
consideração as limitações de acesso aos pontos
estação.

Cálculo e compensação de uma poligonal
Seja uma poligonal com os vértices A, 1, 2, 3, e B
apoiada nos vértices A e B. Conhecem-se as
coordenadas dos pontos A’ e B’ e os rumos (AA’) e
(BB’). A resolução consiste numa sucessão de
irradiações.
Medem-se todos os ângulos azimutais α0, α1, α2,
α3, α4 e as distâncias d1, d2, d3 e d4.
Se a poligonal tiver n vértices (incluindo os vértices
de apoio), medem-se n ângulos e n-1 lados: 2n-1
medidas. Como pretendemos estimar n-2 vértices
(dois são conhecidos), precisamos de n-2 ângulos e
n-2 lados. Sobram assim 3 medidas que servem
para ajustamento.

Fases de cálculo e ajustamento
1) Cálculo dos rumos provisórios dos lados da
poligonal.
2) Cálculo do erro de fecho angular e correcção dos
rumos.
3) Cálculo das coordenadas provisórias, erro de
fecho linear e correcção de coordenadas.
Tolerância
angular
Tolerância linear
Alta precisão n 05
.
0
005
.
0 
L
Média precisão n
2 1
.
0
01
.
0 
L
Baixa precisão n
4 L
06
.
0
Com n – nº de ângulos da poligonal e 

i
i
d
L

Quantidades
Dados Leituras
azimutais
Distâncias Pedidos
MA,PA,MA’,PA’ lAA’, lA1 d1 M1, P1
l1A, l12 d2 M2, P3
l21, l23 d3 M3, P3
l32, l3B d4
MB,PB,MB’,PB’ lB3, lBB’
A’
A
1
2
3
B
B’
d1
d2
d3
d4
α0
α1
α2
α3
α4

1ª Fase: cálculo dos rumos
1) Cálculo dos rumos (AA’) e (BB’)
B
B
B
B
A
A
A
A
P
P
M
M
BB
P
P
M
M
AA






'
'
'
'
)
'
tan(
)
'
tan(
2) Cálculo dos ângulos observados
BB'
B3
4
32
3B
3
21
23
2
1A
12
1
AA'
A1
0
l
-
l
l
-
l
l
-
l
l
-
l
l
-
l





a
a
a
a
a

3) Cálculo do rumo (BB’)
g
g
g
g
B
BB
B
A
AA
A
200
)
3
(
)
'
(
200
)
23
(
)
3
(
200
)
12
(
)
23
(
200
)
1
(
)
12
(
)
'
(
)
1
(
4
3
2
1
0














a
a
a
a
a
4) Erro de fecho angular e comparação com a tolerância
angular admissível Ta
Dado que (BB’) não coincide com o valor estimado
determina-se o erro de fecho angular.
a
a
a
T
BB
BB




 *
)
'
(
)
'
(

5) Se o erro for admissível, distribuem-se os erros
5
c
c
c
c
c
e 4
3
2
1
0
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
a
c
c
c
c
c

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a















6) Cálculo dos rumos corrigidos (BB’)
g
g
g
g
B
BB
B
A
AA
A
200
)
3
(
)
'
(
200
)
23
(
)
3
(
200
)
12
(
)
23
(
200
)
1
(
)
12
(
)
'
(
)
1
(
4
3
2
1
0














a
a
a
a
a

2ª Fase: cálculo das coordenadas
1) Cálculo das coordenadas provisórias (M e P) de 1,2,3 e
4



















i
A
B
B
A
M
M
M
B
d
M
M
M
d
M
M
M
d
M
M
M
A
d
M
M
M
*
* )
3
sin(
)
23
sin(
)
12
sin(
)
1
sin(
4
3
4
3
2
3
3
2
1
2
2
1
1
1
2) Cálculo do erro de fecho linear (M e P)
*
*
B
B
P
B
B
M P
P
M
M 


 




















i
A
B
B
A
P
P
P
B
d
P
P
P
d
P
P
P
d
P
P
P
A
d
P
P
P
*
* )
3
cos(
)
23
cos(
)
12
cos(
)
1
cos(
4
3
4
3
2
3
3
2
1
2
2
1
1
1

3) Cálculo do erro de fecho linear global e
comparação com a tolerância de referência (Tl)
l
l
M
P
l
T






 2
2
4) Distribuição dos erros εM e εP proporcionalmente
pelas diferenças de coordenadas
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
m
M
M
m
M
M
m
M
M
m
M
M
















4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
p
P
P
p
P
P
p
P
P
p
P
P

















Com

 











 i
M
j
j
M
M
M
m
M
M
m
M
m
M
m
M
m 

.
4
4
3
3
2
2
1
1

 











 i
P
j
j
P
P
P
p
P
P
p
P
p
P
p
P
p 

.
4
4
3
3
2
2
1
1
5) Cálculo das coordenadas definitivas
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
1
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M A












4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
1
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P A













Problema:
A costa de uma baia é limitada por 2 promontórios, onde se localizam 2 sinais
luminosos - pontos S1 e S2 – de coordenadas:
Para facilitar a navegação pretende-se construir um novo sinal luminoso num
ponto S3 da referida baia, e assim fizeram-se as seguintes observações:
a) Determine as coordenadas planas ajustadas do ponto S3.
b) Sabendo que o ponto E está situado a uma distância de S1 igual a 1/3 da
distância S1S2, e sobre o alinhamento definido pelos pontos S1 e S2, e constitui o
ponto mais favorável para a entrada das embarcações, determine a distância ES3.
c) Determine as coordenadas de um ponto O (ponto de orientação) situado sobre o
alinhamento definido pelos pontos S3 e E, a uma distância de E de 5000 metros,
no sentido S3  E.
136

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